MATEMÁTICARAPHAELL MARQUES

01 PROPRIEDADESDETERMINANTES

02/06/2020

2

Seja a matriz de 2ª ordem:

A = a11 a12

a21 a22

O determinante associado à matriz A é o número real obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 2° ORDEM

3

a11 a12

a21 a22

= a11 · a22 – a12 · a21

a11 · a22a12 · a21

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 2° ORDEM

4

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 2° ORDEM

Exemplo

+-

7 2

3 5= 7.5 - 2.3=29

53

27A

5

(2 36 10)=2.10−3.6=20−18=2

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 2° ORDEM

Exemplo

6

PROPRIEDADES DE DETERMINANTES

7

Para matrizes 3x3, podemos aplicar a regra de Sarrus ou ainda o Teorema de Laplace. Vale lembrar que esse último pode ser utilizado também para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem superior a 3. Em casos específicos, o cálculo do determinante pode ser simplificado através apenas de algumas propriedades de determinantes.Para entender como é feito o cálculo do determinante com a Regra de Sarrus, considere a seguinte matriz A de ordem 3.

PROPRIEDADES DE DETERMINANTES

Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada.Notação: det A ou |A|.

ATENÇÃO

=

8

REGRAS DE SARRUSPara entender como é feito o cálculo do determinante com a regra de Sarrus, considere a seguinte matriz A de ordem 3

DUPLIQUE AS DUAS PRIMEIRAS COLUNAS

det (𝐴)={−𝐴11 .𝐴22 .𝐴33+𝐴12 .𝐴23 .𝐴31+𝐴13 .𝐴21 .𝐴32𝐴13 .𝐴22 .𝐴31+𝐴11 .𝐴23 .𝐴32+𝐴12 .𝐴21 .𝐴33

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ExemploVeja agora o cálculo do determinante da seguinte matriz B de ordem 3x3.

10

ExemploVeja agora o cálculo do determinante da seguinte matriz B de ordem 3x3.

det (𝐴)=(1 5 −28 3 04 −1 2

1 58 34 −1)

11

det (𝐴)=(1 5 −28 3 04 −1 2

1 58 34 −1)

Exemplo

det (𝐴)=(1 5 −28 3 04 −1 2

1 58 34 −1)det (𝐴)={−1.3 .2+5.0 .4+(−2) .8 .(−1)

(−2).3 .4+1.0 . (−1)+5.8 .2

det (𝐴)=6+0+16−(−24+0+80)

12

det (𝐴)=6+0+16−(−24+0+80)

Exemplo

13

Vamos praticar o que aprendemos para calcular o determinante da matriz 3×3 abaixo.

Exemplo

14

Vamos praticar o que aprendemos para calcular o determinante da matriz 3×3 abaixo.

Exemplo

Repetindo as duas primeiras colunas da matriz.

15

Exemplo

det (𝐴)=2.2 .1+3.4 .0+1.1.5−(1.2.0+2.4 .5+3.1.1)

16

ExemploVamos praticar o que aprendemos para calcular o determinante da matriz 3×3 abaixo.

Repetindo as duas primeiras colunas da matriz.

17

Exemplo

det (𝐴)=1.7 .2+3.8 .3+6.2.6−(6.7 .3+1.8 .6+3.2.2)det (𝐴)=14+72+72−(132+48+8)

18

Casos em que um determinante é igual a ZERO:

Ex: 1)

2)

Quando todos os elementos de uma fila são nulos

0

000

892

531

0

1605

802

501

19

Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais

3)

4)

Casos em que um determinante é igual a ZERO:

0

918

0921

2318

0921

0

884

201

693

31 LL

31 C.C2

20

Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.

5)

6)

Casos em que um determinante é igual a ZERO:

0

9114

053

961

0

0957

8770

9713

0531

321 LLL

321 CC.C2

21

det(A)=det(At)

Ex: 1)

2)

Propriedades de Determinante.

6121894

32 61218

93

42

,10 Se tsr

zyx

cba

10 então tzc

syb

rxa

22

1)Ex:

Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal

2)

Propriedades de Determinante.

3151893

52 31815

39

25

,5 Se tsr

zyx

cba

5 então cba

zyx

tsr

23

Ex: 1)

2)

Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também fica multiplicado por esse no

Propriedades de Determinante.

694

32 306.5

94.5

32.5

,10 Se tsr

zyx

cba

7010.7.7.7.7 então tsr

zyx

cba

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1. Considerando a matriz quadrada A abaixo, e det(A) seu determinante, calcule o valor de 5.det(A).

𝐴=(7 −132 4 )

25

26

27

Exemplo

28

TEOREMA DE LAPLACEO Teorema de Laplace é um método para calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem n. Normalmente, é utilizado quando as matrizes são de ordem igual ou superior a 4.Esse método foi desenvolvido pelo matemático e físico Pierre-Simon Laplace (1749-1827).

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Como Calcular?O teorema de Laplace pode ser aplicado a qualquer matriz quadrada. Entretanto, para as matrizes de ordem 2 e 3 é mais fácil utilizar outros métodos.Para calcular os determinantes, devemos seguir os seguintes passos:Selecionar uma fila (linha ou coluna), dando preferência a fila que contenha a maior quantidade de elementos igual a zero, pois torna os cálculos mais simples;Somar os produtos dos números da fila selecionada pelos seus respectivos cofatores.

TEOREMA DE LAPLACE

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CofatorO cofator de uma matriz de ordem n ≥ 2 é definido como:Aij = (-1) i + j. Dij

OndeAij: cofator de um elemento aij

i: linha onde se encontra o elementoj: coluna onde se encontra o elementoDij: é o determinante da matriz resultante da eliminação da linha i e da coluna j.

TEOREMA DE LAPLACE

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