RadiciaoPotenciao de RadicaisObservando as potencias, temos que:

De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando quele expoente. Exemplos:

Diviso de RadicaisSegundo as propriedades dos radicais, temos que:

De um modo geral, na diviso de radicais de mesmo ndice, mantemos o ndice e dividimos os radicais: Exemplos:

:

=

Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo ndice e depois efetue a operao. Exemplos:

Observando as potencias, temos que:

De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando quele expoente. Exemplos:

Diviso de RadicaisSegundo as propriedades dos radicais, temos que:

De um modo geral, na diviso de radicais de mesmo ndice, mantemos o ndice e dividimos os radicais: Exemplos:

:

=

Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo ndice e depois efetue a operao. Exemplos:

Fonte: www.somatematica.com.brRadiciao

A matria de radiciao acaba ficando bem mais fcil se voc j viu "Potenciao". Radiciao o inverso da potenciao. Por exemplo, se elevarmos um nmero X quinta potncia e depois tirar a raiz quinta do resultado, voltamos ao nmero X.

ExemplosPara acharmos a raiz cbica de oito (), devemos nos perguntar qual o nmero que multiplicado por ele mesmo trs vezes resulta 8, ou seja, qual o nmero que elevado na potncia 3 resulta 8?. A resposta 2, pois 23=222=8

Nomenclatura:

Para facilitar as coisas, existe um meio de transformarmos uma raiz em uma potncia. Assim fica muito mais fcil, pois podemos utilizar as mesmas propriedade de potenciao.

Vamos agora ver alguma propriedades fundamentais de radiciao:

Isto acontece pois zero vezes zero sempre ser zero, no importa quantas "n" vezes ele aparecer. Mesma coisa, um vezes um sempre 1

Esta podemos provar pela definio de raiz. Qual o nmero que multiplicado uma vez por ele mesmo resula ele? Ele mesmo! Se colocarmos esta raiz na forma de potncia temos: an/n e a frao n/n vale 1, ento: an/n = a1= a

Esta propriedade idntica primeira desta matria , a nica diferena que agora o "a" est elevado em uma potncia diferente de 1. Estas so as principais propriedades de Radiciao. Agora vamos ver as propriedades operatrias, ou seja, como fazer operaes com raizes (multiplicao, diviso...).

PROPRIEDADES OPERATRIASAgora vamos dar uma viso mais genrica, visto que as propriedades iro se repetir pois so idnticas s de potnciao:

Ao transformarmos as raizes da multiplicao em potenciao, utilizamos a propriedade de multiplicao de potncias de mesma base: conserva a base e soma os expoentes. Se transformarmos a multiplicao de raizes em multiplicao de potncias, podemos utilizar a propriedade de multiplicao de dois nmeros na mesma potncia.

Novamente se transformarmos a raiz em potncia, teremos:

Agora o que devemos fazer voltar de potncia para raiz:

Fonte: www.cursinho.hpg.ig.com.brRADICIAO

A radiciao a operao matemtica oposta potenciao (ou exponenciao).A notao matemtica da radiciao :

Onde

a raiz, o ndice,

o radicando e

o radical.

A aplicao prtica da radiciao se d pela equivalncia:

Ou, de forma mais didtica:

Propriedades da radiciao

Fonte: pt.wikipedia.orgRadiciao

A radiciao a operao inversa da potenciao e, por isso, ela se define atravs da seguinte relao:

onde o smbolo que indica a operao radiciao e chamado radical; a um nmero real chamado radicando; n um nmero natural diferente de zero, chamado ndice. O resultado da operao um nmero real b, chamado raiz.

Potncia de expoente racionalonde a R , m Z, n Z* Como decorrncia dessa ltima igualdade, so vlidas, tambm para a radiciao, todas as propriedades operatrias citadas para a potenciao 2 Adio e Subtrao de Fraes Para adicionar ou subtrair fraes de mesmo denominador, somam-se os numeradores e repetese o denominador.

Temos que analisar dois casos: 1) denominadores iguais Para somar fraes com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador. Para subtrair fraes com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. Observe os exemplos:

2) denominadores diferentes Para somar fraes com denominadores diferentes, uma soluo obter fraes equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das fraes. Exemplo: somar as fraes Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc (5,2) = 10.

(10:5). 4 = 8

(10:2).5 = 25

Resumindo: utilizamos o mmc para obter as fraes equivalentes e depois somamos normalmente as fraes, que j tero o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1. Multiplicao e diviso de nmeros fracionrios Nas multiplicaes de fraes multiplica-se o numerador com numerador e denominador com denominador. Se necessrio, simplifique o produto. Veja os exemplos:

Na diviso de nmeros fracionrios, devemos multiplicar a primeira frao pelo inverso da segunda. Se necessrio simplifique. Veja o exemplo abaixo:

3 nmeros Decimais Esta pgina trata do estudo de fraes e nmeros decimais, bem como seus fatos histricos, propriedades, operaes e aplicaes. As fraes decimais e nmeros decimais possuem notria importncia cotidiana. Tais conceitos so usados em muitas situaes prticas, embora, muitas vezes passem despercebidas. Indo ao supermercado comprar 1/2 Kg de caf por R$ 2,80 e pagando a compra com uma nota de R$ 5,00, obtm-se R$ 2,20 de troco. Neste exemplo, podemos observar o uso de fraes e nmeros decimais. Atravs deste tipo de compra, usamos o conceito de frao decimal juntamente com o sistema de pesagem (1/2 Kg), nmeros decimais juntamente com o sistema monetrio. Muitas outras situaes utilizam de fraes e nmeros decimais. Observao: Para dividir um nmero X por outro nmero no nulo Y, usaremos frequentemente a notao X/Y, por ser mais simples.

Elementos histricos sobre os nmeros Decimais Hoje em dia comum o uso de fraes. Houve tempo, porm que as mesmas no eram conhecidas. O homem introduziu o uso de fraes quando comeou a medir e representar medidas. Os egpcios usavam apenas fraes que possuiam o nmero 1 dividido por um nmero inteiro, como por exemplo: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... Tais fraes eram denominadas fraes egpcias e ainda hoje tm muitas aplicaes prticas. Outras fraes foram descobertas pelos mesmos egpcios as quais eram expressas em termos de fraes egpcias, como: 5/6=1/2+1/3. Os babilnios usavam em geral fraes com denominador 60. provvel que o uso do nmero 60 pelos babilnios se deve ao fato que um nmero menor do que 100 com maior quantidade

de divisores inteiros. Os romanos, por sua vez, usavam constantemente fraes com denominador 12. Provavelmente os romanos usavam o nmero 12 por ser um nmero que embora pequeno, possui um nmero expressivo de divisores inteiros. Com o passar dos tempos, muitas notaes foram usadas para representar fraes. A atual maneira de representao data do sculo XVI. Os nmeros decimais tm origem nas fraes decimais. Por exemplo, a frao 1/2 equivale frao 5/10 que equivale ao nmero decimal 0,5. Stevin (engenheiro e matemtico holands), em 1585 ensinou um mtodo para efetuar todas as operaes por meio de inteiros, sem o uso de fraes, no qual escrevia os nmeros naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posio ocupada pela vrgula no numeral decimal. A notao abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matemtico escocs. 1437 1000 A representao dos algarismos decimais, provenientes de fraes decimais, recebia um trao no numerador indicando o nmero de zeros existentes no denominador. 437 = 4,37 100 Este mtodo foi aprimorado e em 1617 Napier props o uso de um ponto ou de uma vrgula para separar a parte inteira da parte decimal. Por muito tempo os nmeros decimais foram empregados apenas para clculos astronmicos em virtude da preciso proporcionada. Os nmeros decimais simplificaram muito os clculos e passaram a ser usados com mais nfase aps a criao do sistema mtrico decimal. 123 = 1, 4 3 7

Fraes e Nmeros Decimais Dentre todas as fraes, existe um tipo especial cujo denominador uma potncia de 10. Este tipo denominado frao decimal. Exemplos de fraes decimais, so: 1/10, 3/100, 23/100, 1/1000, 1/103 Toda frao decimal pode ser representada por um nmero decimal, isto , um nmero que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vrgula. A frao 127/100 pode ser escrita na forma mais simples, como: 127 = 1,27 100

onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notao subentende que a frao 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma: 127 = 100 100 100+27 = 100 100 + 100 27 = 1+0,27 = 1,27

A frao 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 a parte inteira e 8 a parte decimal. Aqui observamos que este nmero decimal menor do que 1 porque o numerador menor do que o denominador da frao.

Leitura de nmeros decimais Para ler nmeros decimais necessrio primeiramente, observar a localizao da vrgula que separa a parte inteira da parte decimal. Um nmero decimal pode ser colocado na forma genrica: Centenas Dezenas Unidades , Dcimos Centsimos Milsimos Por exemplo, o nmero 130,824, pode ser escrito na forma: 1 Centena 3 dezenas 0 unidades , 8 dcimos 2 centsimos 4 milsimos Exemplos: 0,6 0,37 0,189 3,7 13,45 Seis dcimos Trinta e sete centsimos Cento e oitenta e nove milsimos Trs inteiros e sete dcimos Treze inteiros e quarenta e cinco centsimos

130,824 Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milsimos

Transformando fraes decimais em nmeros decimais Podemos escrever a frao decimal 1/10 como: 0,1. Esta frao lida "um dcimo". Notamos que a vrgula separa a parte inteira da parte fracionria: parte inteira parte fracionria 0 , 1 Uma outra situao nos mostra que a frao decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se l da seguinte maneira: "dois inteiros e trinta e um centsimos". Novamente observamos que a vrgula separa a parte inteira da parte fracionria: parte inteira parte fracionria 2 , 31

Em geral, transforma-se uma frao decimal em um nmero decimal fazendo com que o numerador da frao tenha o mesmo nmero de casas decimais que o nmero de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a diviso do numerador pelo denominador. Por exemplo:(a) 130/100 = 1,30 (b) 987/1000 = 0,987 (c) 5/1000 = 0,005

Transformando nmeros decimais em fraes decimais Tambm possvel transformar um nmero decimal em uma frao decimal. Para isto, toma-se como numerador o nmero decimal sem a vrgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do nmero dado. Como exemplo, temos:(a) 0,5 = 5/10 (b) 0,05 = 5/100 (c) 2,41 = 241/100 (d) 7,345 = 7345/1000

Propriedades dos nmeros decimais Zeros aps o ltimo algarismo significativo: Um nmero decimal no se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros direita do ltimo algarismo no nulo de sua parte decimal. Por exemplo:(a) 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000 (b) 1,0002 = 1,00020 = 1,000200 (c) 3,1415926535 = 3,141592653500000000

Multiplicao por uma potncia de 10: Para multiplicar um nmero decimal por 10, por 100, por 1000, basta deslocar a vrgula para a direita uma, duas, ou trs casas decimais. Por exemplo:(a) 7,4 x 10 = 74 (b) 7,4 x 100 = 740 (c) 7,4 x 1000 = 7400

Diviso por uma potncia de 10: Para dividir um nmero decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vrgula para a esquerda uma, duas, trs, ... casas decimais. Por exemplo:(a) 247,5 10 = 24,75 (b) 247,5 100 = 2,475 (c) 247,5 1000 = 0,2475

Operaes com nmeros decimais Adio e Subtrao: Para efetuar a adio ou a subtrao de nmeros decimais temos que seguir alguns passos: (a) Igualar a quantidade de casas decimais dos nmeros decimais a serem somados ou subtrados acrescentando zeros direita de suas partes decimais. Por exemplo:(a) 2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723 (b) 2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723

(b) Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de forma que:

i. ii. iii. iv. v.

o algarismo das unidades de um nmero dever estar embaixo do algarismo das unidades do outro nmero, o algarismo das dezenas de um nmero dever estar em baixo do algarismo das dezenas do outro nmero, o algarismo das centenas dever estar em baixo do algarismo das centenas do outro nmero, etc), a vrgula dever estar debaixo da outra vrgula, e a parte decimal (dcimos, centsimos, milsimos, etc) de forma que dcimos sob dcimos, centsimos sob centsimos, milsimos sob milsimos, etc.

Dois exemplos:2,400 2,400 + 1,723 - 1,723 --------- --------. 4,123 0,677

(c) Realizar a adio ou a subtrao. Multiplicao de nmeros decimais: Podemos multiplicar dois nmeros decimais transformando cada um dos nmeros decimais em fraes decimais e realizar a multiplicao de numerador por numerador e denominador por denominador. Por exemplo: 225 2,253,5 = 100 10 35 = 10010 22535 = 1000 7875 = 7,875

Podemos tambm multiplicar os nmeros decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas s do multiplicador. Por exemplo: 2,25 2 casas decimais multiplicando x 3,5 1 casa decimal multiplicador 1125 + 675 7875 7,875 3 casas decimais Produto Diviso de nmeros decimais: Como visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como o divisor de uma diviso por 10, 100 ou 1000, o quociente no se alterar. Utilizando essas informaes poderemos efetuar divises entre nmeros decimais como se fossem divises de nmeros inteiros. Por exemplo: 3,60,4=? Aqui, dividendo e divisor tm apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que o quociente no se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor sero nmeros inteiros. Na prtica, dizemos que "cortamos" a vrgula. 3,6 3,60,4 = 0,4 Um outro exemplo: 0,357= 0,35 = 0,35100 = 35 = 357 = 5 = 0,05 = 410 3610 = 4 36 =9

7

7100

700

7007

100

Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor um inteiro, logo multiplicamos ambos por 100 para que o quociente no se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor sero inteiros. Exerccio: Uma pessoa de bom corao doou 35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas. Sabendo-se que cada alqueire paulista mede 24.200 metros quadrados, qual ser a rea que cada um receber? Diviso com o dividendo menor do que o divisor: Vamos considerar a diviso de 35 (dividendo) por 700 (divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, ..., para obter 350 dcimos, 3500 centsimos, ... at que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a diviso se torne possvel. Neste caso, h a necessidade de multiplicar por 100. Assim a diviso de 35 por 700 ser transformada numa diviso de 3500 por 700. Como acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma vrgula aps o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente ficar dividido por 100. dividendo 3500 700 divisor resto 0 0,05 quociente Realiza-se a diviso de 3500 por 700 para obter 5, concluindo que 0,35/7=35/700=0,05. Diviso de nmeros naturais com quociente decimal: A diviso de 10 por 16 no fornecer um inteiro no quociente. Como 10 < 16, o quociente da diviso no ser um inteiro, assim para dividir o nmero 10 por 16, montamos uma tabela semelhante diviso de dois nmeros inteiros. 10 16 ?

(1) Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficar dividido por 10. Isto justifica a presena do algarismo 0 seguido de uma vrgula no quociente. 100 16 0,

(2) Realizamos a diviso de 100 por 16. O resultado ser 6 e o resto ser 4. 100 -96 4 16 0,6

(3) O resto 4 corresponde a 4 dcimos = 40 centsimos, razo pela qual colocamos um zero (0) direita do nmero 4. 100 -96 40 16 0,6

(4) Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto ser 8. 100 -96 40 -32 8 16 0,62

(5) O resto 8 corresponde a 8 centsimos = 80 milsimos, razo pela qual inserimos um 0 direita do nmero 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0. 100 -96 40 -32 80 -80 0 16 0,625

A diviso 10/16 igual a 0,625. O o quociente um nmero decimal exato, embora no seja um inteiro.

Comparao de nmeros decimais A comparao de nmeros decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses nmeros. Para isso, faremos uso dos sinais: > (que se l: maior); < (que se l: menor) ou = (que se l: igual). Nmeros com partes inteiras diferentes: O maior nmero aquele que tem a parte inteira maior. Por exemplo:(a) 4,1 > 2,76, pois 4 maior do que 2. (b) 3,7 < 5,4, pois 3 menor do que 5.

Nmeros com partes inteiras iguais: Igualamos o nmero de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necessrios. Aps esta operao, teremos dois nmeros com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual o maior deles. Alguns exemplos, so:(a) 12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31. (b) 8,032 < 8,47 pois 8,47=8,470 e 032 < 470. (c) 4,3 = 4,3 pois 4=4 e 3=3.

PorcentagemAo abrir um jornal, ligar uma televiso, olhar vitrines, comum depararmos com expresses do tipo:

A inflao do ms foi de 4% (l-se quatro por cento) Desconto de 10% (dez por cento) nas compras vista.

O ndice de reajuste salarial de maro de 0,6% (seis dcimos por cento)

A porcentagem um modo de comparar nmeros usando a proporo direta, onde uma das razes da proporo uma frao cujo denominador 100. Toda razo a/b na qual b=100 chama-se porcentagem. Exemplos: (1) Se h 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o nmero de meninas com o nmero total de alunos da sala, usando para isto uma frao de denominador 100, para significar que se a sala tivesse 100 alunos ento 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento o mesmo que 30 = 30% 100 (2) Calcular 40% de R$300,00 o mesmo que determinar um valor X que represente em R$300,00 a mesma proporo que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na proporo: 40 = 100 300 X

Como o produto dos meios igual ao produto dos extremos, podemos realizar a multiplicao cruzada para obter: 100X=12000, assim X=120 Logo, 40% de R$300,00 igual a R$120,00. (3) Li 45% de um livro que tem 200 pginas. Quantas pginas ainda faltam para ler? 45 = 100 200 X

o que implica que 100X=9000, logo X=90. Como eu j li 90 pginas, ainda faltam 200-90=110 pginas. 4 Sistema de medidas de volume e capacidade Unidades de medida ou sistemas de medida um tema bastante presente em concursos pblicos e por isto mais um dos assuntos tratados em nosso site. Para podermos comparar um valor com outro, utilizamos uma grandeza predefinida como referncia, grandeza esta chamada de unidade padro. As unidades de medida padro que ns brasileiros utilizamos com maior frequencia so o grama, o litro e o metro, assim como o metro quadrado e o metro cbico. Alm destas tambm fazemos uso de outras unidades de medida para realizarmos, por exemplo a medio de tempo, de temperatura ou de ngulo. Dependendo da unidade de medida que estamos utilizando, a unidade em si ou muito grande ou muito pequena, neste caso ento utilizamos os seus mltiplos ou submltiplos. O grama

geralmente uma unidade muito pequena para o uso cotidiano, por isto em geral utilizamos o quilograma, assim como em geral utilizamos o mililitro ao invs da prpria unidade litro, quando o assunto bebidas por exemplo.

Mltiplos e SubmltiplosOs mltiplos e submltiplos mais frequentemente utilizados esto expostos na tabela a seguir:

Tabela de Mltiplos e Submltiplos mais Utilizados das Unidades de MedidaMltiplos mltiplo quilo hecto deca sigla k h da relao com a unidade mil vezes a unidade cem vezes a unidade dez vezes a unidade submltiplo deci centi mili Submltiplos sigla d c m relao com a unidade dcima parte da unidade centsima parte da unidade milsima parte da unidade

Abaixo temos a tabela completa com todos os mltiplos e submltiplos definidos:

Tabela Completa de Mltiplos e Submltiplos das Unidades de MedidaMltiplos mltiplo sigla yotta zetta exa peta tera giga mega quilo y Z E P T G M k fator multiplicador 1 000 000 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 1 000 000 000 1 000 000 1 000 submltiplo sigla deci centi mili micro nano pico femto atto d c m n p f a Submltiplos fator multiplicador 0,01 0,01 0,001 0,000 001 0,000 000 001 0,000 000 000 001 0,000 000 000 000 001 0,000 000 000 000 000 001

hecto deca

h da

100 10

zepto yocto

z y

0,000 000 000 000 000 000 001 0,000 000 000 000 000 000 000 001

Utilizao das Unidades de MedidaQuando estamos interessados em saber a quantidade de lquido que cabe em um recipiente, na verdade estamos interessados em saber a sua capacidade. O volume interno de um recipiente chamado de capacidade. A unidade de medida utilizada na medio de capacidades o litro. Se estivssemos interessados em saber o volume do recipiente em si, a unidade de medida utilizada nesta medio seria o metro cbico. Para ladrilharmos um cmodo de uma casa, necessrio que saibamos a rea deste cmodo. reas so medidas em metros quadrados. Para sabermos o comprimento de uma corda, necessrio que a meamos. Nesta medio a unidade de medida utilizada ser o metro ou metro linear. Se voc for fazer uma saborosa torta de chocolate, precisar comprar cacau e o mesmo ser pesado para medirmos a massa desejada. A unidade de medida de massa o grama. Veja a tabela a seguir na qual agrupamos estas principais unidades de medida, seus mltiplos e submltiplos do Sistema Mtrico Decimal, segundo o Sistema Internacional de Unidades - SI:

Subconjunto de Unidades de Medida do Sistema Mtrico DecimalMedida de Capacidade Volume rea Comprimento Massa Grandeza Litro Metro Cbico Fator 10 1000 kl km3 km2 km kg Mltiplos hl hm3 hm2 hm hg dal dam3 dam2 dam dag Unidade l m3 m2 m g dl dm3 dm2 dm dg Submltiplos cl cm3 cm2 cm cg ml mm3 mm2 mm mg

Metro Quadrado 100 Metro Grama 10 10

Observe que as setas que apontam para a direita indicam uma multiplicao pelo fator multiplicador (10, 100 ou 1000 dependendo da unidade de medida), assim como as setas que apontam para a esquerda indicam uma diviso tambm pelo fator. A converso de uma unidade para outra unidade dentro da mesma grandeza realizada multiplicando-se ou dividindo-se o seu valor pelo fator de converso, dependendo da unidade

original estar esquerda ou direita da unidade a que se pretende chegar, tantas vezes quantos forem o nmero de nveis de uma unidade a outra.

Exemplos de Converso entre Unidades de MedidaConverta 2,5 metros em centmetros Para convertermos 2,5 metros em centmetros, devemos multiplicar (porque na tabela metro est esquerda de centmetro) 2,5 por 10 duas vezes, pois para passarmos de metros para centmetros saltamos dois nveis direita. Primeiro passamos de metros para decmetros e depois de decmetros para centmetros:

Isto equivale a passar a vrgula duas casas para a direita. Portanto: 2,5 m igual a 250 cm

Passe 5.200 gramas para quilogramas Para passarmos 5.200 gramas para quilogramas, devemos dividir (porque na tabela grama est direita de quilograma) 5.200 por 10 trs vezes, pois para passarmos de gramas para quilogramas saltamos trs nveis esquerda. Primeiro passamos de grama para decagrama, depois de decagrama para hectograma e finalmente de hectograma para quilograma:

Isto equivale a passar a vrgula trs casas para a esquerda. Portanto: 5.200 g igual a 5,2 kg

Quantos centilitros equivalem a 15 hl? Para irmos de hectolitros a centilitros, passaremos quatro nveis direita. Multiplicaremos ento 15 por 10 quatro vezes:

Isto equivale a passar a vrgula quatro casas para a direita. Portanto: 150.000 cl equivalem a 15 hl.

Quantos quilmetros cbicos equivalem a 14 mm3? Para passarmos de milmetros cbicos para quilmetros cbicos, passaremos seis nveis esquerda. Dividiremos ento 14 por 1000 seis vezes:

Portanto: 0,000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-17 km3 se expresso em notao cientfica equivalem a 14 mm3.

Passe 50 dm2 para hectometros quadrados Para passarmos de decmetros quadrados para hectometros quadrados, passaremos trs nveis esquerda. Dividiremos ento por 100 trs vezes:

Isto equivale a passar a vrgula seis casas para a esquerda. Portanto: 50 dm2 igual a 0,00005 hm2

Equivalncia entre medidas de volume e medidas de capacidadeUm cubo com aresta de 10 cm ter um volume de 1.000 cm3, medida esta equivalente a 1 l. Como 1.000 cm3 equivalem a 1 dm3, temos que 1 dm3 equivale a 1 l. Como um litro equivale a 1.000 ml, podemos afirmar que 1 cm3 equivale a 1 ml. 1.000 dm3 equivalem a 1 m3, portanto 1 m3 equivalente a 1.000 l, que equivalem a 1 kl.

Exemplos de Converso entre Medidas de Volume e Medidas de CapacidadeQuantos decalitros equivalem a 1 m3? Sabemos que 1 m3 equivale a 1.000 l, portanto para convertermos de litros a decalitros, passaremos um nvel esquerda. Dividiremos ento 1.000 por 10 apenas uma vez:

Isto equivale a passar a vrgula uma casa para a esquerda.

Poderamos tambm raciocinar da seguinte forma: Como 1 m3 equivale a 1 kl, basta fazermos a converso de 1 kl para decalitros, quando ento passaremos dois nveis direita. Multiplicaremos ento 1 por 10 duas vezes:

Portanto: 100 dal equivalem a 1 m3.

348 mm3 equivalem a quantos decilitros? Como 1 cm3 equivale a 1 ml, melhor dividirmos 348 mm3 por mil, para obtermos o seu equivalente em centimetros cbicos: 0,348 cm3. Logo 348 mm3 equivale a 0,348 ml, j que cm3 e ml se equivalem. Neste ponto j convertemos de uma unidade de medida de volume, para uma unidade de medida de capacidade. Falta-nos passarmos de mililitros para decilitros, quando ento passaremos dois nveis esquerda. Dividiremos ento por 10 duas vezes:

Logo: 348 mm3 equivalem a 0,00348 dl.

Dvidas FrequentesNotei que com muita frequncia esta pgina acessada atravs do resultado de pesquisas semelhantes a estas nos sites de buscas: Um metro cbico equivale a quantos metros quadrados? Converter medidas em decilitros para gramas. Quantos litros cabem em um metro quadrado? Como passar litros para milmetros? Quantos centmetros lineares h em um metro quadrado? Converso de litros para gramas. Um centmetro corresponde a quantos litros?

Como passar de centmetros quadrados para mililitros? Quantos mililitros tem um centmetro? Transformar m3 em metro linear. Quanto vale um centmetro cbico em gramas? Voc consegue notar algum problema nestas pesquisas? O problema que elas buscam a converso entre unidades de medidas incompatveis, como por exemplo, a converso de metro cbico para metro quadrado. A primeira uma unidade de medida de volume e a segunda uma unidade de medida de rea, por isto so incompatveis e no existe converso de uma unidade para a outra. Ento todas as converses acima no so possveis de se realizar, a no que se tenha outras informaes, como a densidade do material na ltima questo, mas isto j uma outra disciplina. Acredito que a razo destas dvidas o fato de o estudante no conseguir discernir claramente o que so comprimento, rea, volume e capacidade, por isto vou procurar esclarecer tais conceitos com maiores detalhes.

ComprimentoVamos entender o que uma medida de comprimento analisando o cubo ao lado. Caso voc no saiba ou no se lembre, as arestas de um cubo so as linhas originadas pelo encontro de suas faces. Nosso cubo em estudo possui doze arestas, sendo onze pretas e uma vermelha. Como todas as seis faces de um cubo so formadas por quadrados iguais, todas as suas arestas possuem o mesmo tamanho. Pela figura identificamos que a aresta vermelha, e tambm as demais, j que so todas iguais, tem uma medida linear de 5 cm. Esta a medida do seu comprimento. J que a aresta vermelha esta na posio vertical, podemos utiliz-la para medir a altura do cubo, ou seja, ele mede 5 cm de altura. Utilizamos medidas de comprimento para a medio de alturas, larguras, profundidades. Como voc pode notar, todos estes exemplos tem apenas uma dimenso. A aresta do cubo s tem uma dimenso, voc tem como medir o seu comprimento, mas no a sua espessura, por exemplo.

Comprimentos so extenses unidimensionais.

rea ou SuperfcieAgora o nosso cubo tem a sua face frontal em rosa. Qual a superfcie desta face? Quando falamos em superfcie estamos falando em rea. reas so extenses bidimensionais, pois como podemos ver na figura, a face que estamos analisando possui uma altura de 5 cm e uma base, que por se tratar de um cubo, com a mesma medida. Diferentemente da aresta que possui apenas uma dimenso, o seu comprimento, a rea das faces possui duas dimenses, altura e base, por exemplo. Como este cubo tem uma aresta de 5 cm, a rea das suas faces ser igual a 5 cm . 5 cm que igual a (5 cm)2, igual a 52 cm2, ou seja, 25 cm2. O expoente 2 do cm2 indica que esta uma unidade de medida com duas dimenses, portanto no uma unidade de medida linear que possui apenas uma dimenso.

Volume e CapacidadeAgora cubo est todo em rosa. Qual o volume deste cubo? O volume o espao ocupado por um slido. Normalmente para lquidos utilizamos o termo capacidade.

Nosso cubo possui altura, largura e profundidade, portanto, possui trs dimenses. Volumes so extenses tridimensionais. O volume do nosso cubo obtido atravs do produto 5 cm . 5 cm . 5 cm que igual a (5 cm)3, igual a 53 cm3 que resulta em 125 cm3. O expoente 3 do cm3 nos diz que esta uma unidade de medida com trs dimenses, portanto no uma unidade de medida linear que s possui uma dimenso, nem bidimensional que s possui duas. Como unidades de capacidade tambm so unidades de volume, podemos estabelecer relaes como, por exemplo, 1 cm3 equivale a 1 ml, o que nos permite transformaes de unidade de medida de volume em unidades de medida de capacidade e vice-versa. Converses entre unidades de diferentes dimenses no so possveis, por isto as converses levantadas acima pelos internautas no so permitidas. 5 Regra de trs simples e composta.

REGRA DE TRES SIMPLES E COMPOSTA

REGRA DE TRS SIMPLESRegra de trs simples um processo prtico para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos trs deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos trs j conhecidos. Passos utilizados numa regra de trs simples: 1) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia. 2) Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais. 3) Montar a proporo e resolver a equao. Exemplos: 1) Com uma rea de absoro de raios solares de 1,2m, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa rea para 1,5m, qual ser a energia produzida? Soluo: montando a tabela: rea (m) Energia (Wh) 1,2--------400 1,5-------- x Identificao do tipo de relao: rea--------Energia 1,2---------400 1,5---------- X

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x (2 coluna). Observe que: Aumentando a rea de absoro, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas so diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1 coluna. Montando a proporo e resolvendo a equao temos:

rea--------Energia 1,2---------400 1,5-----------x

1,2X = 400.1,5

x= 400.1,5 / 1,2 x= 500 Logo, a energia produzida ser de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade mdia de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Soluo: montando a tabela: 1) Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400-----------------3 480---------------- x 2) Identificao do tipo de relao: velocidade----------tempo 400-----------------3 480---------------- x Obs: como as setas esto invertidas temos que inverter os numeros mantendo a primeira coluna e invertendo a segunda coluna ou seja o que esta em cima vai para baixo e o que esta em baixo na segunda coluna vai para cima velocidade----------tempo 400-----------------X 480---------------- 3

480X = 400 . 3 x = 400 . 3 / 480

X = 2,5

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x (2 coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras so contrrias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas so inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrrio (para cima) na 1 coluna. Montando a proporo e resolvendo a equao temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preo? Soluo: montando a tabela: Camisetas----preo (R$) 3------------- 120 5---------------x 3x=5.120 o trs vai para o outro lado do igual dividindo x = 5.120/3 x= 200

Observe que: Aumentando o nmero de camisetas, o preo aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas so diretamente proporcionais. Montando a proporo e resolvendo a equao temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operrios, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o nmero de horas de servio for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe far o mesmo trabalho? Soluo: montando a tabela: Horas por dia-----Prazo para trmino (dias) 8------------------------20

5------------------------x invertemos os termos Horas por dia-----Prazo para trmino (dias) 8-------------------------x 5------------------------20

5x = 8. 20 passando-e o 5 para o outro lado do igual dividindo temos: 5x = 8. 2 / 5 x = 32 Observe que: Diminuindo o nmero de horas trabalhadas por dia, o prazo para trmino aumenta. Como as palavras so contrrias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas so inversamente proporcionais. Montando a proporo e resolvendo a equao temos:

EXERCICIOS

1) Uma roda d 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dar em 28 minutos? (R:112) 2) Com 8 eletricistas podemos fazer a instalao de uma casa em 3 dias. Quantos dias levaro 6 eletricistas para fazer o mesmo trabalho? (R: 4) 3) Com 6 pedreiros podemos construir um a parede em 8 dias. Quantos dias gastaro 3 pedreiros para fazer a mesma parede? (R:16) 4) Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levar para engarrafar 4000 refrigerantes? (R: 8) 5) Quatro marceneiros fazem um armrio em 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam o mesmo armrio? (R:8) 6) Trinta operrios constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operrios construiriam essa casa? (R: 90) 7) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de gua em 20 minutos. Quantas horas levar para despejar 600 litros? (R: 4)

8) Na construo de uma escola foram gastos 15 caminhes de 4 m de areia. Quantos caminhes de 6 m seriam necessrios para fazer o mesmo trabalho? (R: 10) 9) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m. Quantos litros so necessrios para pintar uma parede de 15 m? (R: 6)

10) Um nibus, a uma velocidade mdia de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levar, aumentando a velocidade mdia para 80 km/h? (R:3) 11) Para se obterem 28 kg de farinha, so necessrios 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo so necessrios para se obterem 7 kg de farinha? (R:10) 12) Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias levaro 15 pedreiros para fazer a mesma casa? (R:10) 13) Uma mquina produz 100 peas em 25 minutos. Quantoas peas produzir em 1 hora? (R:240) 14) Um automvel faz um percurso de 5 horas velocidade mdia de 60 km/h. Se a velocidade fosse de 75 km /h quantas horas gastaria para fazer o mesmo percurso? (R:4) 15)Uma maquina fabrica 5000 alfinetes em 2 horas. Qauntos alfinetes ela fabricar em 7 horas? (R:17.500) 16) Quatro quilogramas de um produto qumico custam R$ 24.000,00 quanto custaro 7,2 Kg desse mesmo produto? (R:43.200,00) 17) Oito operarios fazem um casa em 30 dias. quantos dias gastaro 12 operrios para fazer a mesma casa? (R:20) 18) Uma torneira despeja 2700 litros de gua em 1 hora e meia. Quantos litros despeja em 14 minutos? (R: 420) 19) Quinze homens fazem um trabalho em 10 dias, desejando-se fazer o mesmo trabalho em 6 dias, quantos homens sero necessrios? (R:25) 20) Um nibus, velocidade de 90 Km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto tempo levaria se aumentasse a velocidade para 120 Km/h? (R: 3) 21) Num livro de 270 pginas, h 40 linhas em cada pgina. Se houvesse 30 linhas, qual seria o nmero de pginas desse livro? (R:360)

REGRA DE TRS COMPOSTAregra de trs composta utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhes descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhes sero necessrios para descarregar 125m3? Soluo: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espcie e, em cada linha, as grandezas de espcies diferentes que se correspondem:

Horas --------caminhes-----------volume 8----------------20----------------------160 5------------------x----------------------125 A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde est o x. Observe que: Aumentando o nmero de horas de trabalho, podemos diminuir o nmero de caminhes. Portanto a relao inversamente proporcional (seta para cima na 1 coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o nmero de caminhes. Portanto a relao diretamente proporcional (seta para baixo na 3 coluna). Devemos igualar a razo que contm o termo x com o produto das outras razes de acordo com o sentido das setas. Montando a proporo e resolvendo a equao temos: Horas --------caminhes-----------volume 8----------------20----------------------160 5------------------x----------------------125

20/ x = 160/125 . 5/8 onde os temos da ultima frao foram invertidos simplificando fica 20/x = 4/5 4x = 20 . 5 4x = 100 x = 100 / 4 x = 25 Logo, sero necessrios 25 caminhes 2) Numa fbrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos sero montados por 4 homens em 16 dias? Soluo: montando a tabela:

Homens----- carrinhos------ dias 8-----------------20--------------5 4-------------------x-------------16 Observe que: Aumentando o nmero de homens, a produo de carrinhos aumenta. Portanto a relao diretamente proporcional (no precisamos inverter a razo). Aumentando o nmero de dias, a produo de carrinhos aumenta. Portanto a relao tambm diretamente proporcional (no precisamos inverter a razo). Devemos igualar a razo que contm o termo x com o produto das outras razes. Montando a proporo e resolvendo a equao temos: 20/x= 8/4 . 5/16

20 / x = 40 / 64 40x = 20 . 64 40 x = 1280 x = 1280 / 40 x = 32 Logo, sero montados 32 carrinhos

EXERCICIOS

1) Uma olaria produz 1470 tijolos em 7 dias, trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolos produziro em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia? (R=5600) 2) Oitenta pedreiros constroem 32m de muro em 16 dias. Quantos pedreiros sero necessrios para construir 16 m de muro em 64 dias? (R=10) 3) Um nibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilmetros percorrero em 10 dias, correndo 14 horas por dia? (R=4340) 4) Numa fbrica, 12 operrios trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 864 caixas de papelo. Quantas caixas sero feitas por 15 operrios que trabalhem 10 horas por dia? (R=1350) 5) Vinte mquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para fazer um trabalho. Quantas mquinas sero necessrias para executar o mesmo servio, se trabalharem 20 horas por dia durante 12 dias? (R=8) 6) Numa indstria txtil, 8 alfaiates fazem 360 camisas em 3 dias quantos alfaiates so necessrios para que sejam feitas 1080 camisas em 12 dias ? (R=6) 7) Um ciclista percorre 150 km em 4 dias pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem de 400 km, pedalando 4 horas por dia? (R=8) 8) Uma mquina fabricou 3200 parafusos, trabalhando 12 horas por dia durante 8 dias. Quantas horas dever trabalhar por dia para fabricar 5000 parafusos em 15 dias? (R=10) 9) Trs torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levaro 10 torneiras para encher 2 piscinas? (R: 6 horas.) 10) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvo. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguiro extrair 5,6 toneladas de carvo? (R: 35 dias). 11) Vinte operrios, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levar uma turma de 16 operrios, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? (R: 15 dias.)

12) Um caminhoneiro entrega uma carga em um ms, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade mdia de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade mdia de 60 km/h? (R: 10 horas por dia.) 13) Com uma certa quantidade de fio, uma fbrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centmetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? (R: 2025 metros.) 14) Para pintar 20 m de muro de 80 cm de altura foram gastas 5 latas de tinta. Quantas latas sero gastas para pintar 16 m de muro de 60 cm de altura? (R: 3 latas) 15) Trs mquinas imprimem 9000 cartazes em 12 dias. Em quantos dias 8 mquinas imprimem 12000 cartazes, trabalhando o mesmo nmero de horas por dia (R: 6 dias ) 16) Na fabricao de 20 camisetas, 8 mquinas gatam 4 horas. Para produzir 15 camisas, 4 mquinas quantas horas gastam? (R: 6 horas) 17) Nove operrios produzem 5 peas em 8 dias. Quantas peas sero produzidas por 12 operrios em 6 dias ? (R: 5 peas) 18) Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 Kg de rao, Em quantos dias 15 cachorros consumiro 75 kg de rao ? (R: 14 dias) 6 PorcentagemUtilizamos o clculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos: Ex.1) Uma loja lana uma promoo de 10% no preo dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passar a custar? O desconto ser de 10% do valor de R$120,00. Logo:

Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108 Passaremos a pagar, com a promoo, R$108,00.

Ex.2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% so meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos?

A quantidade de meninas ser: E a de meninos ser: 100 - 40 = 60. Sugesto: Caso tenham dvidas em multiplicao de fraes, visitem a seo Fraes, presente neste site, antes de iniciar o estudo de porcentagem. Razo centesimal: Como o prprio nome j diz, a frao cujo denominador igual a 100. Exemplos:

(l-se 10 por cento)

(l-se 150 por cento) Definio de taxa porcentual ou porcentagem: Chama-se taxa porcentual ou porcentagem de um nmero a sobre um nmero b, tal que , razo

Indica-se

por

Definio meio complicada no acham? Pois muito simples: Porcentagem o valor obtido quando aplicamos uma razo centesimal a um determinado valor. Porcentagem, como o nome j diz, por 100 (sobre 100). Exemplos para compreendermos melhor: Ex.1) Calcule: a) 10% de 500: A razo centesimal : Portanto, b) 25% de 200:

Portanto, Ex.2) Qual a taxa porcentual de: a) 3 sobre 5?

5x = 300 x= 60 A taxa de 60% b) 10 sobre 20?

20x = 1000 x = 50 A taxa de 50% Certa vez, perguntaram-me algo to simples, mas que ,talvez, tenham dvidas: Como se calcula porcentagem em uma calculadora? Vamos a um exemplo: Quanto 20% de 500? Digitem: 500

Aperte a tecla de multiplicao: X Digitem: 20 Aperte a tecla de porcentagem: % O resultado, como pode ser visto, 100. Agora que compreendemos a definio de porcentagem, vamos a resoluo de alguns exerccios elementares. Exerccios resolvidos: 1) Uma compra foi efetuada no valor de R$1500,00. Obteu-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago?

O desconto ser: Portanto, pagou-se: 1500 - 300 = 1200. Dica: Para agilizarmos o clculo, vamos pensar um pouco: O valor total da compra 100%. Se obtivermos um desconto de 20%, isso quer dizer que pagaremos somente 80% do valor (100% - 20% = 80%) Logo, 2) Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorizao (acrscimo) de 10% sobre o seu preo. Quanto ele passou a custar?

O acrscimo ser de: Portanto, passar a custar: 12.000 + 1.200 = 13.200 Dica: O valor inicial do carro era de 100%, se ele sofreu uma valorizao de 10%, isso quer dizer que ele passar a custar 110% (100 + 10 = 110) do seu valor inicial. Logo:

3) Um computador que custava R$2.000,00, apresentou um lucro de R$100,00. De quanto porcento foi o lucro sobre o preo de venda?

2000x = 10000 x=5 Portanto, 5%. 4) Um comerciante que no possuia conhecimentos de matemtica, comprou uma mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um fregus pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preo, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuzo? Qual foi esse valor? Vamos por etapas: O comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e acresceu 50% sobre esse valor.

Logo, a mercadoria passou a custar R$300,00.

Como deu um desconto de 40% sobre o preo de venda:

Portanto, como o comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e a vendeu por R$180,00, obteve um prejuzo de R$20,00.

7 Proporo:

A igualdade entre duas razes forma uma proporo, vale lembrar que razo a diviso entre dois nmeros a e b, tal que b 0 e pode ser escrito na forma de a/b. Observe os exemplos de propores a seguir:

uma proporo, pois 10:20 = 3:6

uma proporo, pois 9:12 = 3:4 As propores possuem uma propriedade que diz o seguinte: em uma proporo, o produto dos extremos igual ao produto dos meios. Essa propriedade pode ser colocada em prtica na verificao da proporcionalidade, realizando uma operao denominada multiplicao cruzada.

9 x 4 = 12 x 3 36 = 36

Multiplicao cruzada

4 x 15 = 6 x 10 60 = 60

As propores possuem uma enorme aplicabilidade em situaes problemas envolvendo informaes comparativas, na regra trs a proporcionalidade usada no intuito de calcular o quarto valor com base nos trs valores estabelecidos pelo problema. Acompanhe os exemplos a seguir no intuito de demonstrar a importncia do estudo das propores. Exemplo 1 Para fazer 600 pes, so gastos, em uma padaria, 100 Kg de farinha. Quantos pes podem ser feitos com 25kg de farinha? Estabelecemos a seguinte relao: 600 -------------- 100 x -------------- 25

Podem ser feitos 150 pes.

Exemplo 2 Se com 40 laranjas possvel fazer 26 litros de suco, quantos litros de suco sero obtidos com 25 laranjas? 40 -------- 26 25 -------- x

Com 25 laranjas podemos fazer 16,25 litros de suco. Rogerio e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerio pesa 120kg, e seu co, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu co, 16kg. Observe a razo entre o peso dos dois rapazes:

Observe, agora, a razo entre o peso dos cachorros:

Verificamos que as duas razes so iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade uma proporo. Assim:

Proporo uma igualdade entre duas razes. 8 Figuras geomtricas Segmentos Lineares e poligonais abertas Na que segue, apresentamos um segmento, dois segmentos consecutivos e trs segmentos consecutivos. Segmentos consecutivos so aqueles em que a extremidade final do primeiro segmento a extremidade inicial do segundo e a extremidade final do segundo a extremidadade inicial do terceiro e assim por diante.

Uma linha poligonal aberta formada por segmentos de reta consecutivos e no colineares, ou seja, segmentos de reta que no esto alinhados na mesma reta e que no se fecham.

Polgono (Poligonal fechada) e Regio poligonal Polgono uma figura geomtrica cuja palavra proveniente do grego que quer dizer: poli(muitos) + gonos(ngulos). Um polgono uma linha poligonal fechada formada por segmentos consecutivos, no colineares que se fecham.

A regio interna a um polgono a regio plana delimitada por um polgono. Muitas vezes encontramos na literatura sobre Geometria a palavra polgono identificada com a regio localizada dentro da linha poligonal fechada ms bom deixar claro que polgono representa apenas a linha. Quando no h perigo na informao sobre o que se pretende obter, pode-se usar a palavra num ou no outro sentido.

Considerando a figura anexada, observamos que: 1. Os segmentos AB, BC, CD, DE e EA so os lados do polgono e da regio poligonal. 2. Os pontos A, B, C, D, E so os vrtices da regio poligonal e do polgono. 3. Os ngulos da linha poligonal, da regio poligonal fechada e do polgono so: A, B, C, D e E.

Regies poligonais quanto convexidade Regio poligonal convexa: uma regio poligonal que no apresenta reentrncias no corpo da mesma. Isto significa que todo segmento de reta cujas extremidades esto nesta regio estar totalmente contido na regio poligonal.

Regio poligonal no convexa: uma regio poligonal que apresenta reentrncias no corpo da mesma, o que ela possui segmentos de reta cujas extremidades esto na regio poligonal mas que no esto totalmente contidos na regio poligonal.

Nomes dos polgonos Dependendo do nmero de lados, um polgono recebe os seguintes nomes de acordo com a tabela: No. de lados Polgono No. de lados Polgono 1 no existe 11 undecgono 2 no existe 12 dodecgono 3 tringulo 13 tridecgono 4 quadriltero 14 tetradecgono 5 pentgono 15 pentadecgono 6 hexgono 16 hexadecgono 7 heptgono 17 heptadecgono 8 octgono 18 octadecgono 9 enegono 19 eneadecgono

10

decgono

20

icosgono

Polgono Regular: o polgono que possui todos os lados congruentes e todos os ngulos internos congruentes. No desenho animado ao lado podemos observar os polgonos: tringulo, quadrado, pentgono, hexgono e heptgono.

Tringulos e a sua classificao Tringulo um polgono de trs lados. o polgono que possui o menor nmero de lados. Talvez seja o polgono mais importante que existe. Todo tringulo possui alguns elementos e os principais so: vrtices, lados, ngulos, alturas, medianas e bissetrizes.

Apresentaremos agora alguns objetos com detalhes sobre os mesmos.

1. Vrtices: A,B,C. 2. Lados: AB,BC e AC. 3. ngulos internos: a, b e c. Altura: um segmento de reta traado a partir de um vrtice de forma a encontrar o lado oposto ao vrtice formando um ngulo reto. BH uma altura do tringulo.

Mediana: o segmento que une um vrtice ao ponto mdio do lado oposto. BM uma mediana.

Bissetriz: a semi-reta que divide um ngulo em duas partes iguais. O ngulo B est dividido ao meio e neste caso = .

ngulo Interno: formado por dois lados do tringulo. Todo tringulo possui trs ngulos internos.

ngulo Externo: formado por um dos lados do tringulo e pelo prolongamento do lado adjacente(ao lado).

Classificao dos tringulos quanto ao nmero de lados

Tringulo Equiltero

Os trs lados tm medidas iguais. m(AB)=m(BC)=m(CA)

Tringulo Issceles

Dois lados tm a mesma medida. m(AB)=m(AC)

Tringulo Escaleno

Todos os trs lados tm medidas diferentes.

Classificao dos tringulos quanto s medidas dos ngulos Tringulo Todos os ngulos internos so agudos, isto , as medidas dos Acutngulo ngulos so menores do que 90.

Tringulo Obtusngulo

Um ngulo interno obtuso, isto , possui um ngulo com medida maior do que 90.

Tringulo Retngulo

Possui um ngulo interno reto (90 graus).

Medidas dos ngulos de um tringulo ngulos Internos: Consideremos o tringulo ABC. Poderemos identificar com as letras a, b e c as medidas dos ngulos internos desse tringulo. Em alguns locais escrevemos as letras maisculas A, B e C para representar os ngulos.

A soma dos ngulos internos de qualquer tringulo sempre igual a 180 graus, isto : a + b + c = 180

Exemplo: Considerando o tringulo abaixo, podemos escrever que: 70+60+x=180 e dessa forma, obtemos x=180-70-60=50.

ngulos Externos: Consideremos o tringulo ABC. Como observamos no desenho, em anexo, as letras minsculas representam os ngulos internos e as respectivas letras maisculas os ngulos externos.

Todo ngulo externo de um tringulo igual soma dos dois ngulos internos no adjacentes a esse ngulo externo. Assim: A = b+c, B = a+c, C = a+b

Exemplo: No tringulo desenhado ao lado: x=50+80=130.

Congruncia de Tringulos A idia de congruncia: Duas figuras planas so congruentes quando tm a mesma forma e as mesmas dimenses, isto , o mesmo tamanho.

Para escrever que dois tringulos ABC e DEF so congruentes, usaremos a notao: ABC ~ DEF Para os tringulos das figuras abaixo:

existe a congruncia entre os lados, tal que: AB ~ RS, BC ~ ST, CA ~ TR e entre os ngulos: A~R,B~S,C~T Se o tringulo ABC congruente ao tringulo RST, escrevemos: ABC ~ RST Dois tringulos so congruentes, se os seus elementos correspondentes so ordenadamente congruentes, isto , os trs lados e os trs ngulos de cada tringulo tm respectivamente as mesmas medidas. Para verificar se um tringulo congruente a outro, no necessrio saber a medida de todos os seis elementos, basta conhecer trs elementos, entre os quais esteja presente pelo menos um lado. Para facilitar o estudo, indicaremos os lados correspondentes congruentes marcados com smbolos grficos iguais.

Casos de Congruncia de Tringulos 1. LLL (Lado, Lado, Lado): Os trs lados so conhecidos. Dois tringulos so congruentes quando tm, respectivamente, os trs lados congruentes. Observe que os elementos congruentes tm a mesma marca.

2. LAL (Lado, ngulo, Lado): Dados dois lados e um ngulo Dois tringulos so congruentes quando tm dois lados congruentes e os ngulos formados por eles tambm so congruentes.

3. ALA (ngulo, Lado, ngulo): Dados dois ngulos e um lado Dois tringulos so congruentes quando tm um lado e dois ngulos adjacentes a esse lado, respectivamente, congruentes.

4. LAAo (Lado, ngulo, ngulo oposto): Conhecido um lado, um ngulo e um ngulo oposto ao lado. Dois tringulos so congruentes quando tm um lado, um ngulo, um ngulo adjacente e um ngulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.

Razo entre segmentos de Reta Segmento de reta o conjunto de todos os pontos de uma reta que esto limitados por dois pontos que so as extremidades do segmento, sendo um deles o ponto inicial e o outro o ponto

final. Denotamos um segmento por duas letras como por exemplo, AB, sendo A o incio e B o final do segmento. Exemplo: AB um segmento de reta que denotamos por AB. A _____________ B No possvel dividir um segmento de reta por outro, mas possvel realizar a diviso entre as medidas dos dois segmentos. Consideremos os segmentos AB e CD, indicados: A ________ B C ______________ D m(AB) =2cm m(CD)=5 cm

A razo entre os segmentos AB e CD, denotado aqui por, AB/CD, definida como a razo entre as medidas desse segmentos , isto : AB/CD=2/5

Segmentos Proporcionais Proporo a igualdade entre duas razes equivalentes. De forma semelhante aos que j estudamos com nmeros racionais, possvel eatabelecer a proporcionalidade entre segmentos de reta, atravs das medidas desse segmentos. Vamos considerar primeiramente um caso particular com quatro segmentos de reta:

m(AB) =2cm A______B P__________Q m(PQ) =4cm m(CD) =3cm C__________D R___________________S m(RS) =6cm

A razo entre os segmentos AB e CD e a razo entre os segmentos PQ e RS, so dadas por fraes equivalentes, isto : AB/CD = 2/3; PQ/RS = 4/6 e como 2/3 = 4/6, segue a existncia de uma proporo entre esses quatro segmentos de reta. Isto nos conduz definio de segmentos proporcionais. Diremos que quatro segmentos de reta, AB, BC, CD e DE, nesta ordem, so proporcionais se: AB/BC = CD/DE Os segmentos AB e DE so os segmentos extremos e os segmentos BC e CD so os segmentos meios. A proporcionalidade acima garantida pelo fato que existe uma proporo entre os nmeros reais que representam as medidas dos segmentos: m(AB) = m(CD)

m(BC)

m(DE)

Propriedade Fundamental das propores: Numa proporo de segmentos, o produto das medidas dos segmentos meios igual ao produto das medidas dos segmentos extremos. m(AB) m(DE) = m(BC) m(CD)

Feixe de retas paralelas Um conjunto de trs ou mais retas paralelas num plano chamado feixe de retas paralelas. A reta que intercepta as retas do feixe chamada de reta transversal. As retas A, B, C e D que aparecem no desenho anexado, formam um feixe de retas paralelas enquanto que as retas S e T so retas transversais.

Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. A figura ao lado representa uma situao onde aparece um feixe de trs retas paralelas cortado por duas retas transversais.

Identificamos na sequncia algumas propores: AB/BC = DE/EF BC/AB = EF/DE AB/DE = BC/EF DE/AB = EF/BC Exemplo: Consideremos a figura ao lado com um feixe de retas paralelas, sendo as medidas dos segmentos indicadas em centmetros.

Assim:

BC/AB = EF/DE AB/DE = BC/EF DE/AB = EF/BC

Observamos que uma proporo pode ser formulada de vrias maneiras. Se um dos segmentos do feixe de paralelas for desconhecido, a sua dimenso pode ser determinada com o uso de razes proporcionais.

Semelhana de Tringulos A idia de semelhana: Duas figuras so semelhantes quando tm a mesma forma, mas no necessariamente o mesmo tamanho.

Se duas figuras R e S so semelhantes, denotamos: R~S.

Exemplo: As ampliaes e as redues fotogrficas so figuras semelhantes. Para os tringulos:

os trs ngulos so respectivamente congruentes, isto : A~R, B~S, C~T

Observao: Dados dois tringulos semelhantes, tais tringulos possuem lados proporcionais e ngulos congruentes. Se um lado do primeiro tringulo proporcional a um lado do outro tringulo, ento estes dois lados so ditos homlogos. Nos tringulos acima, todos os lados proporcionais so homlogos. Realmente: AB~RS pois m(AB)/m(RS)=2 BC~ST pois m(BC)/m(ST)=2 AC~RT pois m(AC)/m(RT)=2 Como as razes acima so todas iguais a 2, este valor comum chamado razo de semelhana entre os tringulos. Podemos concluir que o tringulo ABC semelhante ao tringulo RST. Dois tringulos so semelhantes se, tm os 3 ngulos e os 3 lados correspondentes proporcionais, mas existem alguns casos interessantes a analisar.

Casos de Semelhana de Tringulos Dois ngulos congruentes: Se dois tringulos tem dois ngulos correspondentes congruentes, ento os tringulos so semelhantes.

Se A~D e C~F ento: ABC~DEF

Dois lados congruentes:Se dois tringulos tem dois lados correspondentes proporcionais e os ngulos formados por esses lados tambm so congruentes, ento os tringulos so semelhantes.

Como m(AB) / m(EF) = m(BC) / m(FG) = 2 ento ABC ~ EFG

Exemplo: Na figura abaixo, observamos que um tringulo pode ser "rodado" sobre o outro para gerar dois tringulos semelhantes e o valor de x ser igual a 8.

Realmente, x pode ser determinado a partir da semelhana de tringulos. Identificaremos os lados homlogos e com eles construiremos a proporo: 3 = 6 x 4

Trs lados proporcionais: Se dois tringulos tm os trs lados correspondentes proporcionais, ento os tringulos so semelhantes.

Quadrilteros e a sua classificao Quadriltero um polgono com quatro lados e os principais quadrilteros so: quadrado, retngulo, losango, trapzio e trapezide.

No quadriltero acima, observamos alguns elementos geomtricos: 1. Os vrtices so os pontos: A, B, C e D. 2. Os ngulos internos so A, B, C e D. 3. Os lados so os segmentos AB, BC, CD e DA.

Observao: Ao unir os vrtices opostos de um quadriltero qualquer, obtemos sempre dois tringulos e como a soma das medidas dos ngulos internos de um tringulo 180 graus, conclumos que a soma dos ngulos internos de um quadriltero igual a 360 graus.

Exerccio: Determinar a medida do ngulo x na gravura abaixo.

Classificao dos Quadrilteros Paralelogramo: o quadriltero que tem lados opostos paralelos. Num paralelogramo, os ngulos opostos so congruentes. Os paralelogramos mais importantes recebem nomes especiais: 1. Losango: 4 lados congruentes 2. Retngulo: 4 ngulos retos (90 graus) 3. Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ngulos retos.

Trapzio: o quadriltero que tem apenas dois lados opostos paralelos. Alguns elementos grficos de um trapzio (parecido com aquele de um circo).

1. 2. 3. 4.

AB paralelo a CD BC no paralelo a AD AB a base maior DC a base menor

Os trapzios recebem nomes de acordo com os tringulos que tm caractersticas semelhantes. Um trapzio pode ser: 1. Retngulo: dois ngulos retos 2. Issceles: lados no paralelos congruentes 3. Escaleno: lados no paralelos diferentes

Exerccio: Prolongar as retas apoiadas nos lados opostos no paralelos dos trapzios da figura acima para obter, respectivamente, um tringulo retngulo, um issceles e um escaleno. Observar mais acima nesta mesma pgina os nomes dos tringulos obtidos e os nomes destes trapzios! 9 Equaes de 1 Grau Introduo s equaes de primeiro grau Para resolver um problema matemtico, quase sempre devemos transformar uma sentena apresentada com palavras em uma sentena que esteja escrita em linguagem matemtica. Esta a parte mais importante e talvez seja a mais difcil da Matemtica. Sentena com palavras 2 melancias + 2Kg = 14Kg Sentena matemtica 2 x + 2 = 14

Normalmente aparecem letras conhecidas como variveis ou incgnitas. A partir daqui, a Matemtica se posiciona perante diferentes situaes e ser necessrio conhecer o valor de algo desconhecido, que o objetivo do estudo de equaes.

Equaes do primeiro grau em 1 varivel Trabalharemos com uma situao real e dela tiraremos algumas informaes importantes. Observe a balana:

A balana est equilibrada. No prato esquerdo h um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. No prato direito h um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia? 2 melancias + 2Kg = 14Kg Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equao poder ser escrita, do ponto de vista matemtico, como: 2x + 2 = 14 Este um exemplo simples de uma equao contendo uma varivel, mas que extremamente til e aparece na maioria das situaes reais. Valorize este exemplo simples. Podemos ver que toda equao tem:

Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que so denominadas variveis ou incognitas; Um sinal de igualdade, denotado por =. Uma expresso esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda; Uma expresso direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.

No link Expresses Algbricas, estudamos vrias situaes contendo variveis. A letra x a incgnita da equao. A palavra incgnita significa desconhecida e equao tem o prefixo equa que provm do Latim e significa igual. 2x+2 1o. membro = sinal de igualdade 14 2o. membro

As expresses do primeiro e segundo membro da equao so os termos da equao. Para resolver essa equao, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x. 2x + 2 = 14 2x = 12 x=6 Equao original Dividimos por 2 os dois membros Soluo

2x + 2 - 2 = 14 - 2 Subtramos 2 dos dois membros

Observao: Quando adicionamos (ou subtramos) valores iguais em ambos os membros da equao, ela permanece em equilbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equao por um valor no nulo, a equao permanece em equilbrio. Este processo nos permite resolver uma equao, ou seja, permite obter as razes da equao. Exemplos: 1. A soma das idades de Andr e Carlos 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que Andr 4 anos mais novo do que Carlos. Soluo: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemtica. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de Andr, logo a=c-4. Assim:

c + a = 22 c + (c - 4) = 22 2c - 4 = 22 2c - 4 + 4 = 22 + 4 2c = 26 c = 13

Resposta: Carlos tem 13 anos e Andr tem 13-4=9 anos. 2. A populao de uma cidade A o triplo da populao da cidade B. Se as duas cidades juntas tm uma populao de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B? Soluo: Identificaremos a populao da cidade A com a letra a e a populao da cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever:a + b = 100.000 3b + b = 100.000 4b = 100.000 b = 25.000

Resposta: Como a=3b, ento a populao de A corresponde a: a=325.000=75.000 habitantes. 3. Uma casa com 260m2 de rea construda possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual a rea de cada quarto, se as outras dependncias da casa ocupam 140m 2? Soluo: Tomaremos a rea de cada dormitrio com letra x.3x + 140 = 260 3x = 260 -140 3x = 120 x = 40

Resposta: Cada quarto tem 40m2. Exerccios: Resolver as equaes1. 2x + 4 = 10 2. 5k - 12 = 20 3. 2y + 15 - y = 22 4. 9h - 2 = 16 + 2h

Desigualdades do primeiro grau em 1 varivel Relacionadas com as equaes de primeiro grau, existem as desigualdades de primeiro grau, (tambm denominadas inequaes) que so expresses matemticas em que os termos esto ligados por um dos quatro sinais: < > < > menor maior menor ou igual maior ou igual

Nas desigualdades, o objetivo obter um conjunto de todas os possveis valores que pode(m) assumir uma ou mais incgnitas na equao proposta.

Exemplo: Determinar todos os nmeros inteiros positivos para os quais vale a desigualdade: 2x + 2 < 14 Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos: Passo 1 Passo 3 Passo 4 2x + 2 < 14 2x < 12 x0, colorimos a regio que contm este ponto, caso contrrio, colorimos a regio que est do outro lado da reta. (4) A regio colorida o conjunto soluo para a desigualdade.

Sistemas linear de equaes do primeiro grau Uma equao do primeiro grau, aquela em que todas as incgnitas esto elevadas potncia 1. Este tipo de equao poder ter mais do que uma incgnita. Um sistema de equaes do primeiro grau em duas incgnitas x e y, um conjunto formado por duas equaes do primeiro nessas duas incgnitas. Exemplo: Seja o sistema de duas equaes:

2 x + 3 y = 38 3 x - 2 y = 18 Resolver este sistema de equaes o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente a ambas as equaes. x=10 e y=6 so as solues deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de nmeros reais: S = { (10,6) }

Mtodo de substituio para resolver este sistema Entre muitos outros, o mtodo da substituio, consiste na idia bsica de isolar o valor algbrico de uma das variveis, por exemplo x, e, aplicar o resultado outra equao. Para entender o mtodo, consideremos o sistema: 2 x + 3 y = 38 3 x - 2 y = 18 Para extrair o valor de x na primeira equao, usaremos o seguinte processo: 2x + 3y = 38 2x = 38 - 3y x = 19 - (3y/2) Primeira equao Dividimos ambos os membros por 2 Este o valor de x em funo de y

2x + 3y - 3y = 38 - 3y Subtramos 3y de ambos os membros

Substitumos aqora o valor de x na segunda equao 3x-2y=18: 3x - 2y = 18 57 - 9y/2 - 2y = 18 114 - 9y - 4y = 36 114 - 13y = 36 114 - 36 = 13y 78 = 13y 13 y = 78 y=6 Segunda equao multiplicamos os termos por 2 reduzimos os termos semelhantes separamos variveis e nmeros simplificamos a equao mudamos a posio dos dois membros dividimos ambos os membros por 6 Valor obtido para y

3(19 - (3y/2)) - 2y = 18 Aps substituir x, eliminamos os parnteses

Substituindo y=6 na equao x=19-(3y/2), obtemos: x = 19 - (36/2) = 19 - 18/2 = 19-9 = 10 Exerccio: Determinar a soluo do sistema:

x+y=2 x-y=0 Cada equao do sistema acima pode ser visto como reta no plano cartesiano. Construa as duas retas no plano e verifique que, neste caso, a soluo um par ordenado que pertence interseo das duas retas.

Relao entre sistemas lineares e retas no plano No contexto que estamos trabalhando aqui, cada equao da forma ax+by=c, representa uma reta no plano cartesiano. Um sistema com duas equaes de primeiro grau em 2 incgnitas sempre pode ser interpretado como um conjunto de duas retas localizadas no plano cartesiano. Reta 1: ax + by = c Reta 2: dx + ey = f H trs modos de construir retas no plano: retas concorrentes, retas paralelas e retas coincidentes.

Se o sistema formado por duas equaes que so retas no plano cartesiano, temos a ocorrncia de: Retas concorrentes: quando o sistema admite uma nica soluo que um par ordenado localizado na interseo das duas retas; Retas paralelas: quando o no admite soluo, pois um ponto no pode estar localizado em duas retas paralelas; Retas coincidentes: quando o admite uma infinidade de solues pois as retas esto sobrepostas. Exemplos das trs situaes Tipos de retas Sistema x+y=2 Concorrentes x-y=0 x+y=2 Paralelas x+y=4 x+y=2 Coincidentes 2x + 2y = 4 Problemas com sistemas de equaes: 1. A soma das idades de Andr e Carlos 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que Andr 4 anos mais novo do que Carlos. Soluo: A idade de Andr ser tomada com a letra A e a idade de Carlos com a letra C. O sistema de equaes ser:

C + A = 22 C-A=4

Resposta: C = 13 e A = 9 2. A populao de uma cidade A o triplo da populao da cidade B. Se as duas cidades juntas tm uma populao de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B? Soluco: Identificando a populao da cidade A com a letra A e a populao da cidade B com B, o sistema de equaes ser:A + B = 100000 A = 3B

Resposta: A = 75000, B= 25000. 3. Uma casa com 260m2 de rea construda tem 3 dormitrios de mesmo tamanho. Qual a rea de cada dormitrio se as outras dependncias da casa ocupam 140m 2? Soluo: Identificaremos a rea de cada dormitrio com a letra D e a rea das outras dependncias com a letra O. Assim, o sistema ser:3D + O = 260 O = 140

Resposta: D = 40 Desigualdades com 2 Equaes em 2 variveis Outra situao bastante comum aquela em que existe uma desigualdade com 2 equaes em 2 ou mais incgnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 equaes e 2 incgnitas x e y. Uma forma geral pode ter a seguinte forma tpica: ax+byf onde as constantes: a, b, c, d, e, f; so conhecidas. Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de nmeros reais para os quais: 2x + 3y > 6 5x + 2y < 20 H infinitos pares ordenados de nmeros reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossvel exibir todas as solues. Para remediar isto, utilizaremos um processo geomtrico que permitir obter uma soluo geomtrica satisfatria. Processo geomtrico: (1) Traar a reta 2x+3y=6 (em vermelho); (2) Escolher um ponto fora da reta, como o par (2,2) e observar que ele satisfaz primeira desigualdade; (3) Devemos colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2) (em verde);

(4) Traar a reta 5x+2y=20 (em azul); (5) Escolher um ponto fora da reta, por exemplo, o prprio par j usado antes (2,2) (no necessrio que seja o mesmo) e observamos que ele satisfaz segunda desigualdade; (6) Colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2), inclusive a prpria reta. (cor azul) (7) Construir a interseo (em vermelho) das duas regies coloridas. (8) Esta interseo o conjunto soluo para o sistema com as duas desigualdades.

Esta situao grfica bastante utilizada em aplicaes da Matemtica a estudos de Economia e Processos de otimizao. Um dos ramos da Matemtica que estuda este assunto a Pesquisa Operacional.10 Potenciao:

As principais operaes so: adio, subtrao, diviso e multiplicao. Utilizando o processo da multiplicao podemos encontrar outra operao: a potenciao, que para a realizao de seus clculos necessrio saber multiplicar. Os nmeros envolvidos em uma multiplicao so chamados de fatores e o resultado da multiplicao o produto, quando os fatores so todos iguais existe uma forma diferente de fazer a representao dessa multiplicao que a potenciao. 2 . 2 . 2 . 2 = 16 multiplicao de fatores iguais. Podemos representar a mesma multiplicao da seguinte forma: 2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16 Fatores iguais. Essa representao conhecida como potenciao, portanto, sempre que tivermos fatores iguais, podemos montar uma potncia. Representamos uma potncia da seguinte forma:

A base sempre ser o valor do fator.

O expoente a quantidade de vezes que o fator repete. A potncia o resultado do produto.Sendo a um nmero real e n um nmero natural positivo, temos: Definio:

N fatores

Propriedades:

Exemplos: 1) 2=2.2.2=8 2) 3)

4) 5)

6) 7)

8) 9) 10)

11 Fatorao.Fatorar transformar equaes algbricas em produtos de duas ou mais expresses, chamadas fatores. Ex: ax + ay = a.(x+y) Existem vrios casos de fatorao como: 1) Fator Comum em evidncia Quando os termos apresentam fatores comuns Observe o polinmio: ax + ay Ambos os termos apresentam o fator a em evidncia. Assim: ax + ay = a.(x+y) Forma fatorada Exs : Fatore: a) bx + by - bz = b.(x+y-z) b) c) d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y) e) 2) Fatorao por agrupamento Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinmios especiais. Como por exemplo: ax + ay + bx + by Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois ltimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidncia: a.(x+y) + b.(x+y) Este novo polinmio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidncia: (x+y).(a+b) Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b) Exs: Fatore: a) x fator comum b) comum comum a fator comum (x-3) fator comum Forma fatorada fator Forma comum fatorada fator (2+a) fator

3) Fatorao por diferena de quadrados: Consiste em transformar as expresses em produtos da soma pela diferena, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado Assim: Exs: Fatore: a) b) c) Note que possvel fatorar a expresso duas vezes 4) Fatorao do trinmio quadrado perfeito: O trinmio que se obtm quando se eleva um binmio ao quadrado chama-se trinmio quadrado perfeito. Por exemplo, os trinmios ( )e( se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente. ) so quadrados perfeitos porque so obtidos quando

Assim: | |

| | 2x 3y |__________| | 2.2x.3y = 12xy note que igual ao segundo termo de Portanto trata-se de um trinmio quadrado perfeito. = |_______________| Sinal Logo: = |_______________| Sinal forma fatorada

forma fatorada

Exs: a) b) *Convm lembrarmos que ao fatorarmos uma expresso algbrica, devemos fator-la por completo: Exs: a)

b) Outros casos de fatorao: 1) 2) 3)

Fatorar uma expresso algbrica significa escrev-la na forma de um produto de expresses mais simples. Casos de fatorao:

1. FATOR COMUMax + bx + cx = x . (a + b + c) O fator comum x. 12x3 - 6x2 + 3x = 3x . (4x2 - 2x + 1) O fator comum 3x.

2. AGRUPAMENTOax + ay + bx + by Agrupar os termos de modo que em cada grupo haja um fator comum. (ax + ay) + (bx + by) Colocar em evidncia o fator comum de cada grupo a(x + y) + b(x + y) Colocar o fator comum (x + y) em evidncia (x + y) . (a + b) Este produto a forma fatorada da expresso dada