raclogico_aulasonline04
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1
Geometria Plana ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL • Ângulos correspondentes: a e e; b e f; c e g; d e h
Propriedade: são congruentes.
• Ângulos alternos internos: c e e; d e f Propriedade: são congruentes.
• Ângulos alternos externos: a e g; b e h Propriedade: são congruentes.
• Ângulos colaterais internos: c e f; d e e Propriedade: são suplementares.
• Ângulos colaterais externos: a e h; b e g Propriedade: são suplementares.
Exercícios
01. Na figura abaixo, sabendo que r//s calcule x + y.
a) 200º b) 190º c) 180º d) 170º e) 160º
t
a b
d c r
s
h
e
g
f r//s
y
25º
35º r
s
x
100º
60º
80º
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TRIÂNGULOS DEFINIÇÃO Sejam A, B e C três pontos não colineares. A união dos três segmentos,
ACeBC,AB chama-se triângulo ABC. ELEMENTOS Vértices: A, B e C Lados: BCeAC,AB
Ângulos internos: α, β eϒ Ângulos externos: α’, β’, ϒ’ Soma dos ângulos internos A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180º .
α + β + ϒ = 180º Ângulo externo Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes a ele.
+=
+=
+=
βαγ
γαβ
γβα
'
'
'
A B c α’
α
b a
C
ϒ
ϒ’
β’
β
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CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS Quanto aos lados, os triângulos classificam-se em:
Equilátero: é aquele que possui os três lados congruentes. Em todo triângulo eqüilátero os ângulos medem 60º Isósceles: é aquele que possui pelo menos dois lados congruentes. Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais. Escaleno: é aquele que possui os três lados não congruentes. Exercícios: 01. Na figura, BE DE , BC AB == e .CE CF = Se o ângulo A mede 50º, então a medida, em graus, do ângulo DÊF é:
01) 90 02) 95 03) 100 04) 105 05) 130
02. O triângulo ABC representado na figura é isósceles.
Se BC = BD = DE =EA, a medida θ do ângulo assinalado, em radianos, é:
A B D
F E
C
50º
A
E
B C
D
θ
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4
a) 15
π
b) 12
π
c) 9
π
d) 8
π
e) 7
π
03 . Na figura seguinte, ABDE é um quadrado e BCD é um triângulo equilátero.
Calcule a medida do ângulo x. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Triângulos semelhantes são triângulos que tem respectivamente os mesmos ângulos e os lados homólogos proporcionais.
......'''a'
a e 'C C ; 'ˆˆ;'ˆˆ =======
h
h
c
c
b
bBBAA
NOTA
Uma condição suficiente para que possamos concluir que dois triângulos são semelhantes é que eles tenham dois ângulos respectivamente congruentes.
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Exercícios: 04. Calcule o valor de x na figura, se r // s // t. 05. Qual a medida x do lado do quadrado inscrito num triângulo isósceles de base 6 e
altura 10?
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Seja o ∆ABC da figura retângulo em A. Representemos por D o ponto onde a altura conduzida do vértice A encontra a hipotenusa BC Elementos do triângulo: a : hipotenusa
12
15
x
4
8
r
s
t
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b e c : catetos h : altura relativa a hipotenusa m e n : projeções dos catetos na hipotenusa Relações métricas : b2 = a.n ; c2 = a.m ; h2 = m.n ; b.c = a.h e a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitágoras) Exercícios: 06 .Calcule x na figura abaixo:
a) 5
b) 62
c) 15
d) 36 e) NRA
07. Na figura abaixo , AB = 16cm , EC = 15cm, DF = 6 cm. A medida de BD , em centímetros, é: a) 15
b) 13,5
c) 12
d) 10,5
e) 9
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
a
b
hipotenusa
oposto catetoen xs ==
a
c
hipotenusa
adjacentes cateto xcos ==
c
b
adjacentes cateto
oposto cateto xtg ==
x
3
102
F
E
A B C D . . .
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7
b
h S
É importante saber os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30º , 45º e 60º
ARCO FUNÇÃO
30º
45º
60º
Seno 1
2 2
2 3
2
Cosseno 3
2 2
2 1
2
Tangente 3
3 1 3
Exercícios: 08. O pentágono ABCDE representado na figura é determinado pela reunião de um
trapézio isósceles e um triângulo retângulo.
Se BC = 5cm e ED = 10cm, o perímetro desse pentágono é, em centímetros, igual a
a) 45 b) 48 c) 52
d) 58 e) 55
ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS ÁREA DO RETÂNGULO S = b . h
(Use 1,73 = )
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ÁREA DO TRIÂNGULO ÁREA DO TRAPÉZIO
SB b h
=+( )
2
ÁREA DO CÍRCULO ÁREA DO SETOR CIRCULAR
2
º360
ºRS π
α=
Exercícios: 09. Na figura, têm-se 7 círculos tangentes entre si e cada um com 2cm de raio.
Sb h
=.
2
R S = πR2
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(Use π=3,1 e 1,73 = )
A área da figura sombreada é, em centímetros quadrados, igual a
a) 7,2 b) 6,4 c) 5,2 d) 4,8 e) 3,6
10. Considere o trapézio isósceles ABCD, representado na figura abaixo.
Se AB = 8cm e CD = 12 cm, então a área do trapézio, em centímetros quadrados, pode ser dada pela expressão
a) 24 ⋅ tg θ b) 20 ⋅ tg θ c) 20 ⋅ cos θ d) 18 ⋅ sen θ e) 18 ⋅ cos θ
11. Qual a área de um triângulo isósceles cujos lados medem 10m , 13m e 13m ?
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. Na figura, sabe-se que e AD = BD = BC; AB = AC.
Calcule x. a) 36º b) 48º c) 60º d) 30º e) 45º
02. Na figura abaixo calcule a medida x sabendo que ABCD é um quadrado.
a) 5 b) 7,5 c) 6,5 d) 6 e) 8
03. Qual a área de um trapézio isósceles cujos lados medem AB = 13, BC = 6, CD = 5 e AD = 6? a) 54 u.a. b) 108 u.a.
c) .a.u526
d) 518 u.a. e) NRA 04. Os dois círculos maiores da figura ao lado têm raios de
medidas 12. Obter o raio do círculo menor, se os três círcu-los são tangentes dois a dois.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) NRA
x D A
9
B C
4
• •
•
•
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05. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado. Os dois arcos de extremos B e D tem centros em A e C. Calcule o valor aproximado da área hachurada.
a) 6,88 u.a. b) 8 u.a. c) 9,12 u.a. d) 8,56 u.a. e) 7,44 u.a. 06. No retângulo de lados AB = 4 e BC = 3, o segmento DM é perpendicular à AB.
O segmento AM mede:
a) 3/2 b) 12/5 c) 5/2
d) 9/5 e) 2
07. Considere a figura. BE = 4 cm AE = 8 cm AD = 10 cm A área, em cm2, da região hachurada é: a) 24 b) 30 c) 32 d) 36 e) impossível de ser determinada pelas informações dadas.
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O8. O triângulo ABC tem altura h e base b (ver figura). Nele, está inscrito o retângulo
DEFG, cuja base ( )EF é o dobro da altura ( )GF . Nessas condições, a altura do retângulo, em função de h e b é dada pela fórmula:
a) bh
bh
+
b) bh
bh2
+
c) b2h
bh
+
d) bh2
bh
+
e) )bh(2
bh
+
09. Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência maior e mede 12 cm. Determine a área da região hachurada. a) 10π cm2 b) 12π cm2 c) 13π cm2 d) 14π cm2 e) 16π cm2 10. Sabendo que ABCD é um quadrado, ABP é um triângulo eqüilátero e P é um ponto
interno ao quadrado, calcule a medida do ângulo DPC ˆ . a) 150º b) 135º c) 120º d) 90º e) 75º
11. Em um trapézio ABCD, as bases AB e CD medem respectivamente 30 cm e 10 cm e a altura mede 20 cm. Sabendo que as diagonais AC e BD deste trapézio se encontram no ponto E, calcule a área do triângulo CDE.
a) 20 cm2 b) 25 cm2 c) 40 cm2 d) 50 cm2 e) 225 cm2
b B
D G
F
A
E C
h
A B
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12. Os catetos de um triângulo retângulo medem 6 e 53 e as projeções destes catetos na hipotenusa medem respectivamente m e n. Calcule n2 – m2 .
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
13. De um ponto A no solo um estudante observa o topo de uma torre sob um ângulo de 30º com a horizontal. Em seguida ele caminha 40 m, na direção da base da torre, até o ponto B, de onde observa o topo da torre sob um ângulo de 60º com a horizontal. Calcule a medida aproximada da altura da torre.
a) 34,6 m b) 51,9 m c) 69,2 m d) 86,5 m e) 103,8 m
14. ABCD é um quadrado inscrito num círculo. Sabendo que área do quadrado é 32 cm2, calcule a área do círculo.
a) 8π b) 12π c) 16π d) 24π e) 32π
Gabarito:
1.a 2.d 3.d 4.b 5.c 6.d 7.b 8.d 9.d 10. a 11. b 12. d 13. a 14. c