RACIOCÍNIO LÓGICO - PROFESSOR CARLOS...

RLM - PROFESSOR CARLOS EDUARDO

AULA 3

Sucessões = sequências(numéricas) São conjuntos de números reais dispostos numa certa ordem. Uma sequência pode ser FINITA ou INFINITA. Ex: a) (3, 6, 9, 12) → sequência finita P.A de razão 3 b) (5, 10, 15, ...) → sequência infinita P.A de razão 5 IPC: É importante destacar que, ao contrário do que ocorre num conjunto, qualquer alteração na ordem dos elementos de uma sequência altera a própria sequência. Representação (a1, a2, a3, ..., an-1, an), em que:

a1 é o primeiro termo

a2 é o segundo termo

a3 é o terceiro termo

Ex: Monte a sucessão numérica onde o termo geral é dado pela seguinte fórmula an =2.an-1 + 1 e o a1 = 1 IPC: Nem sempre uma sequência será uma P.A. ou P.G. Sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...)

an = an-1 + an-2 (a partir do 3º termo)

1) Considere que os termos da sequência seguinte foram obtidos segundo determinado

critério:

( 1, 5, 3 , 15 , 13 , 65 , 63, ...)

1 4 3 12 11 44 43

Se x/y é o 9º termo dessa sequência, obtido de acordo com esse critério, então a soma x + y é um número:

a) menor que 400.

b) múltiplo de 7.

c) ímpar.


d) quadrado perfeito.

e) maior que 500.

Progressão Aritmética (PA) É toda sequência (a1, a2, a3, ...) tal que: a1 = a an+1 = an + r (para n ≥ 1) Ex: (3, 7, 11, 15, 19)

PA

5 termos

a1 = 3

r = 4

Propriedades I)

II) Média Aritmética

III) (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7)

Termo geral da PA

Ex: Qual o a15 de uma PA de razão 3 e o a8 = 10?

an+1 - an = r

an = an+1 + an-1

2

a3 + a5 = a1 + a7

an = a1 + (n-1)r


Soma dos termos da PA

Ex: Numa PA com 30 termos o a1 = 12 e o a30 = 58. Qual o valor da soma de todos eles?

Progressão Geométrica (PG) É toda sequência (a1, a2, a3, ...) tal que: a1 = a an+1 = an q (para n ≥ 1) a ≠ 0 e q ≠ 0 Ex: (3, 6, 12, 24)

PG

4 termos

a1 = 3

q = 2

Propriedades I)

II) Média Geométrica

III) (3, 6, 12, 24)

Sn = (a1 + an) n

2

a1 + a4 = a2 + a3

an+1 = q

an

IanI =√ an-1 x an+1


Termo geral da PG

Ex: Numa PG de razão 3, cujo 1º termo vale 2, o valor do 4º termo é?

Soma dos termos da PG

Ex: Numa PG com 10 termos, o a1 = 25 e a razão é 2. Determinar a soma destes termos.

Soma-limite de uma PG infinita

Acontece numa PG onde a razão está entre 0 e 1

an = a1q n-1

Sn = a1 (qn - 1)

q-1 Para q ≠ 1


Ex: Determinar a soma-limite da expressão

2 + 1 + 1_ + 1_ + 1_ + ...

2 4 8

2) Considerando que, em uma PA a razão seja positiva, a1 = 2 e os termos a1, a3 e a11

estejam, nessa ordem, em PG, julgue o item a seguir:

A média aritmética de 3 termos quaisquer dessa progressão aritmética será sempre

um número inteiro.

3) Uma sequência de números k1 , k2 , k3 , k4 ,....,kn é denominada Progressão

Geométrica - PG - de n termos quando, a partir do segundo termo, cada termo

dividido pelo imediatamente anterior for igual a uma constante r denominada razão.

S∞ = a1__

1 - q


Sabe-se que, adicionando uma constante x a cada um dos termos da sequência (p - 2);

p; e (p + 3) ter-se-á uma PG. Desse modo, o valor de x, da razão e da soma dos termos

da PG são, respectivamente, iguais a:

a) (6 - p); 2/3; 21

b) (p +6); 3/2; 19

c) 6; (6 – p); 21

d) (6 - p); 3/2; 19

e) (p - 6); p; 20

MDC e MMC

Múltiplos → É só lembrar-se da tabuada que aprendemos lá na infância.

Ex: 3 x 0 = 0

3 x 1 = 1

3 x 2 = 6

3 x 3 = 9

3 x 4 = 12

3 x 5 = 15

3 x 6 = 18

3 x 7 = 21

3 x 8 = 24

3 x 9 = 27

3 x 10 = 30

.

.

Primeiros 11 múltiplos

Conjunto infinito


.

Divisores → É o nº que divide certo número dando resto “zero”.

Ex: 12 : 4 = 3 → O nº “4” é divisor de “12”

Conjunto dos divisores de um nº natural

D(50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50} → conjunto finito

50 = 2 x 5² → 6 divisores

M.D.C. e M.M.C.

Calcular o MDC e o MMC entre os números “64” e “24”

M(64) = {64, 128, 192...}

D(64) = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}

M(24) = {24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192...}

D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

MDC (64, 24) = 8

MMC (64, 24) = 192

4) Uma empresa confeccionou catálogos dos tipos A e B

para presentear seus clientes. Um catálogo do tipo A pesa 240 g e


um do tipo B, 350 g. Os catálogos foram organizados em pacotes,

contendo cada um deles apenas catálogos de um mesmo tipo.

I. Se 540 catálogos do tipo A e 340 do tipo B forem separados em lotes, de modo que

cada lote contenha catálogos dos dois tipos e a mesma quantidade de catálogos de

cada tipo, então a quantidade máxima de lotes em que poderão ser separados esses

catálogos será igual a:

a) 20

b) 34

c) 54

d) 10

e) 17

II. Com base nas informações do texto, é correto afirmar que, se todos os pacotes

tiverem o mesmo peso e se esse peso for inferior a 10 kg, então cada pacote pesará:

a) 8,3 kg

b) 8,4 kg

c) 8 kg

d) 8,1 kg

e) 8,2 kg


Teoria dos Conjuntos

Conjunto → Uma definição básica para conjunto é que ele é uma reunião de elementos.

Estes elementos podem ser pessoas, animais, objetos, números etc.

Ex: A = {a, b, c, d, e,..., z}

Pode também ser representado por uma propriedade...

A = {x/x é letra do alfabeto}

...ou através de um diagrama, chamado Diagrama de Venn

Pertinência (Є ou Є)

Analisar se um elemento qualquer pertence ou não pertence a determinado conjunto.

Ex: B = {x/x é consoante da palavra FEDERAL}

→ P Є B?

Conjunto Vazio→ não possui elementos. É representado por { } ou Ø.

Conjunto unitário→ possui apenas um elemento.

Conjuntos numéricos

Conjunto dos números Naturais

N = {0, 1, 2, 3, 4,...}

Conjunto dos números Inteiros

Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

Conjunto dos números Inteiros Não Positivos

A

a b c d e f g h i j l

m n o p q r s t u v

x z


Z _ = {...-4, -3, -2, -1, 0}

Conjunto dos números Inteiros Negativos

Z* _ = {...-4, -3, -2, -1}

IPC: O “zero” não é positivo nem negativo.

Conjunto dos números Racionais

Z = {x/x = a , a Є Z e b Є Z*}

b

Conjunto dos números Irracionais

I = {√2, √7, π, ...}

**

Conjunto dos números Reais

R = Q U I

Q

I

Igualdade entre conjuntos

A = {3, 5, 11}

B = {11, 11, 11, 3, 5, 3, 5}

A = B?

Relação de Inclusão

A Ϲ B ou B Ͻ A / A Ȼ B ou B Ͻ A

N

Z

. √2

. √3

. π

. – 3

7

. 2

5 . -3

. 0

. 1

.0,222...

R


Se todos os elementos da A forem também de B, A está contido em B ou B contém A. E se

pelo menos um elemento de A não for também elemento de B, A não está contido em B

ou B não contém A.

A Ϲ B ou B Ͻ A

A Ȼ B ou B Ͻ A

IPC: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto porque ele não tem nenhum

elemento que não seja elemento do outro conjunto.

5) Classifique em C ou E os itens abaixo:

a) Ø Є {11, 12, 13}

b) -4 Є N

c) N* = Z*+

d) Ø Ϲ {0, 1, 2, √2}

e) R Ϲ Q

A

B A=B

A B


Conjunto das Partes

O conjunto das partes de A é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.

Ex: A = {1, 3, 5}

P(A) = {Ø, {1}, {3}, {5}, {1}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5}}

N [P(A)] = 2n

Interseção de conjuntos

A ∩ B → É o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e também a

B.

União de conjuntos

A U B → É o conjunto formado por todos os elementos de A e todos os elementos

de B.

IPC: n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩B)

**

Propriedades

A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

Diferença de conjuntos

A - B → É o conjunto formado pelos elementos de A que não pertençam a B.

A B

A B


Conjunto Universo

Quando definimos um conjunto para fazermos uma operação matemática.

Ex: x + 6 = 3, sendo U = Z

x = -3 Є Z (tem solução)

x + 6 = 3, sendo U = N

x = -3 Є N (não tem solução)

Conjunto Complementar

CB A → É a diferença B – A, quando A é subconjunto de B.

**

6) Julgue C ou E. Considere os conjuntos A, B e C, seus respectivos

complementares e as seguintes declarações:

Para esses conjuntos e seus respectivos complementares, estão corretas as

declarações I, II e III.

A B

A

B


7) (Analista/SEBRAE/Cespe-Unb/2008) Considere que os livros L, M e N foram indicados

como referência bibliográfica para determinado concurso. Uma pesquisa realizada

com 200 candidatos que se prepararam para esse concurso usando esse livros revelou

que:

10 candidatos utilizaram somente o livro L;

20 candidatos utilizaram somente o livro N;

90 candidatos utilizaram o livro L;

20 candidatos utilizaram os livros L e M;

25 candidatos utilizaram os livros M e N;

15 candidatos utilizaram os três livros;

Considerando esses 200 candidatos e os resultados da pesquisa, julgue os itens seguintes:

I) Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L e

M.

II) Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses

livros.

III) 90 candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelo menos dois desses livros.

IV) O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi

inferior a 105.

8) (IDENE - FUNRIO) Um levantamento entre leitores revelou que: 37% leem a revista X,

42% leem a revista Y e 18% leem as duas revistas, X e Y. A porcentagem dos leitores

entrevistados que não leem a revista X nem a revista Y é:

a) 39 %

b) 40 %

c) 41 %

d) 42 %


e) 43 %

GABARITO

1) D

2) C

3) D

4) I) A; II) B

5) a) E; b) C; c) C; d) C; e) E

6) E

7) I) E; II) C; III) C; IV) E

8) A

Exercício extra “Racha-Cuca”

Corte uma torta em 8 pedaços, fazendo apenas 3 cortes.

Divirta-se! E persista até alcançar o êxito!

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