MATEMÁTICA1

volume 1

01. Se b é ímpar, então ele é da forma b = 2k + 1, k d N, ou seja, a = 1 + (2k + 1)2 = 1 + 4k2 + 4k +1 = 2 + 4k + 4k2 = 2(1 + 2k + 2k2), de forma que a é par, pois 1 + 2k + 2k2 d N.

02. Fazendo a Divisão Euclidiana de N por 1 994, temosN = 1 994 ⋅ q + 148, q d Z.Assim, N + 2 000 = 1 994q + 2 148 + N + 2 000 = 1 994q + 1994 + 154+ N + 2 000 = 1 994 (q + 1) + 154.Logo, a divisão de N + 2 000 por 1 994 tem quociente q + 1 e resto 154.

03. Uma maneira:Dentre quatro números inteiros consecutivos, apenas um é da forma 4k, isto é, apenas um é divisível por 4. Logo, como dois dentre esses números são ímpares, se um produto de dois deles é divisível por 4, o produto dos outros dois não é e, portanto, não existem quatro números inteiros consecutivos tais que o produto de dois deles seja igual ao produto dos outros dois.Outra maneira:Sejam x, x + 1, x + 2 e x + 3 os números inteiros positivos.Como x(x +1) < (x + 2)(x + 3) e x (x + 2) < (x + 1)(x + 3), devemos ter x(x + 3) = (x + 1)(x + 2) + x2 + 3x = x2 + 3x + 2 + 0x = 2, o que é im-possível.Logo não existem quatro inteiros positivos consecutivos tais que o produto de dois deles é igual ao produto dos outros dois.

04. Como n3 – n = n(n2 – 1) = (n – 1) n(n + 1) é o produto de três inteiros consecutivos, obrigatoriamente um deles será múltiplo de 3, ou seja, n3 – n será múltiplo de 3 para todo n inteiro.

05. Sejam a, b e c os números inteiros em questão, com a ≥ b.

Assim abca b

276

=+ =

.

Como o produto de a, b e c é 27, a, b e c são todos divisores de 27.Assim, a, b, e c d {–27, –9, –3, 1, 3, 9, 27}. Os únicos pares de diviso-res que somam 6 são 9; –3 e 3; 3.Logo a = 9 e b = –3, ou a = b = 3.a) Se a, b, e c são positivos, a = b = 3 e c =

3 327$

= 3, de modo que a soma dos três números é 3 + 3 + 3 = 9.

b) Se há dois negativos entre a, b e c, a = 9, b = –3, e ( )

1,c9 3

27$

=−

= −

de modo que a soma dos três números é 9 + (–3) + (–1) = 5.

Questões escritas

MATEMÁTICA2

06. Sejam p e k inteiros, tais que:

68 ( ) ( ) 68n pn k

k p k p k p100168

2

22 2+ + $

+ =+ =

− = − + =

Como (k – p) e (k + p) são ambos pares ou ímpares e tem-se que68 = 1 ⋅ 68 = 2 ⋅ 34 = 4 ⋅ 17, então:k pk p

kp

234

1816

+− =+ =

==

Portando, n = 162 – 100 + n = 156.

07. Foi dado que n (a; b) = (a – b)2 + 2ab = a2 – 2ab + b2 + 2ab = a2 + b2. Logo:a) n (3; 9) = 32 + 92 = 9 + 81 = 90b) n (a; 3a) = a2 + (3a)2 = a2 + 9a2 = 10a2. Logo n (a; 3a) é sempre múl-tiplo de 10 e, portanto, seu algarismo final é sempre zero.

08. a) Como (abba)10 pertence ao século 20, seus dois primeiros dígi-tos são 19, logo o número é 1 991. Analogamente o outro número é2 002.b) Temos que (abba)10 + (cddc)10 = 1 991 + 2 002 = 3 993. Portanto, esse número representa um ano que pertence ao século XL.

09. Seja (abcd)10 o número, temos:I. a2 + d2 = 58II. b2 + c2 = 52III. (abcd)10 – 3 816 = (dcba)10De I podemos concluir por tentativa e erro que a = 7 e d = 3 ou a = 3 e d = 7. De II, analogamente, b = 6 e c = 4 ou b = 4 e c = 6. Logo, as possibili-dades para o número de acordo com as condições I e II são 3 467, 3 647, 7 463, 7 643. A única delas que satisfaz também a condição III é 7 463.

10. a) Como os divisores de 3 600 são da forma 2α3β5γ e temos 5, 3 e 3 possibilidades para α, β, γ, respectivamente, então o número de divisores é 5 ⋅ 3 ⋅ 3 = 45, pelo Princípio Fundamental da Contagem.

Como 720 = 24 ⋅ 32 ⋅ 51 é um divisor de 3 600, então o número de diviso-res positivos de 3 600 que também são divisores de 720 é 5 ⋅ 3 ⋅ 2 = 30.b) Para que um dos divisores de 3 600 seja par, devemos ter α ≠ 0, isto é, temos 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36 possibilidades. Para que um dos divisores de 3 600 seja quadrado perfeito, α d {0, 2, 4}, β d {0, 2} e γ d {0, 2}, ou seja, 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 12 possibilidades.

11. a) A quantidade de divisores de m que são múltiplos de 100 é igual

a quantidade de divisores de 2 3m100 2 5

2 3 52 2

6 3 24 3

$

$ $$= = , que é dada

por 2(4 + 1)(3 + 1) = 40.b) Para p ser um divisor comum de m e n, p deve ser um divisor do mdc (m, n) = 25 ⋅ 30 ⋅ 52.Assim, r, s e t d N e r ≤ 5, s = 0 e t ≤ 2, ou seja, r d {0, 1, 2, 3, 4, 5}, s = 0 e t d {0, 1, 2}.

MATEMÁTICA3

12. a) Fatorando 168 em fatores primos obtemos 23 ⋅ 3 ⋅ 7. Portantod(168) = (3 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 16.b) Para que um número tenha 15 divisores positivos, a fatoração des-se número em fatores primos deve ter um primo com expoente 2 e outro com expoente 4, de forma que, sendo n esse número, tenhamos d(n) = (2 + 1) (4 + 1) = 15, pois o 15 também tem fatoração única em fa-tores primos que é 3 ⋅ 5. Para que esse número seja o menor possível, devemos tomar os menores primos possíveis como fatores, que são 2 e 3. Há duas possibilidades dentro dessas restrições: 24 ⋅ 32 e 22 ⋅ 34.A menor delas é 24 ⋅ 32 = 144.

13. a) mdc (a, b) ⋅ mmc (a, b) = ab = 5 ⋅ 105 + 35b = 5 ⋅ 105 + b = 15.b) Como mdc (a, b) = 5, o único fator comum aos inteiros positivos a e b é 5. Sendo mmc (a, b) = 105 = 3 ⋅ 5 ⋅ 7, temos duas possibilidades:• os fatores 3 e 7 pertencem a um único número, isto é,(a = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 e b = 5) ou (a = 5 e b = 3 ⋅ 5 ⋅ 7);• os fatores 3 e 7 pertencem a números distintos, isto é,(a = 3 ⋅ 5 e b = 5 ⋅ 7) ou (a = 5 ⋅ 7 e b = 3 ⋅ 5).Logo (a, b) d {(5; 105), (105; 5), (15; 35), (35; 15)}.

14. Sejam c o número de candidatos aprovados para a segunda fase do vestibular da Unicamp em 1991 e n o número de salas completas com 35 candidatos em cada. Como fi caram 18 candidatos em uma sala incompleta, temos que c = 35n + 18.Em 1992 o número de candidatos para a segunda fase, nessa cidade, foi de c + 42 = 35n + 18 + 42 = 35 ⋅ (n + 1) + 25.Portanto, nesse ano, o número de candidatos que fi caram em uma sala incompleta foi de 25.

15. Como o tecido deve ser vendido em retalhos iguais e deve ser usado todo o tecido, o comprimento de cada retalho deve ser um divisor comum de 48 = 24 ⋅ 31, 60 = 22 ⋅ 31 ⋅ 51 e 80 = 24 ⋅ 51.Logo, o maior comprimento do retalho é dado por mdc (48, 60, 80) = 22 = 4 m.Assim, o número de retalhos obtidos será de

448

460

480+ + = 12 + 15 + 20 = 47.

16. Seja x o valor da mesada de Ricardo. Logo, pelo enunciado, temos:

37 37x x x x x x x x8 7 5

3280

280 35 40 168+− − − = − − − =

37 10 360 280x x+ += =Como queremos o quanto foi gasto em livros, fazemos:

280 35x81

81

$ $= =

Portanto, foram gastos R$ 35,00 em livros.

17. a) Sejam:x – massa do corpo vazio em gramas;y – massa da água necessária para encher o copo em gramas.

MATEMÁTICA4

Pelo enunciado podemos representar a situação por um sistema de equações de tal forma que:

x y

x yx yy

x yy

305

32 270

305

335

305105

+ ++ =

+ =

+ =

== −=

xy

305 105 200105

+= − ==

Portanto, a massa do copo vazio é 200 gramas.b) Pelo item anterior, deduzimos que a massa da água necessária para encher o copo é 105 gramas. Como queremos a massa do copo

com 52 de água, fazemos:

200 + 52 105$d n = 200 + 42 = 242 gramas.

18. a) 0, 12, 100 100 12, 0, 99 12x x x x x12 12 12 12+ + += = − = − =

x9912

334

+ = =

b) 0,2 0,02 0,2 0,02 0,21x x x x x310

310

3 3109

+ + += = − = − =

,x9

219021

307

+ = = =

c) 5, 59, 10 10 59, 5, 9 54x x x x x9 9 9 9+ + += = − = − =

6x9

54+ = =

d) 0,1243 12,43 100 100 12,31 99 12,31x x x x x+ + += = − = =

,x99

12 3199001231

+ = =

19. a) Verdadeiro.Sejam:a d Q e b d R\QSuponhamos por absurdo que a soma de a e b seja um número racio-nal. Assim, temos:a + b = c d Q & b = c – a d Q. O que é um absurdo, pois por hipó-tese b d R\Q. Logo, a soma de um número racional com um irracional só pode ser um número irracional.b) Falso.Basta tomarmos como racional o número 0 e como irracional 2 . Assim temos:

0 ⋅ 2 = 0 d Q

c) Falso.Basta tomarmos como irracionais os números e1 3 1 3+ −_ _i i. Logo, a soma desses dois números irracionais será:

1 3 1 3+ + −_ _i i = 2 d Q

MATEMÁTICA5

d) Verdadeiro.Exemplo: 2 2$ = 2 d Q.e) Falso.Exemplo:

22 = 1 d Q.

20. 1 ( ( 7) )

( 3) ( 3) 7

( 3) ( ( 7) )

( 3)

3

1 73 2

0 4

3 2

4

$

$ $

$

$ $

− − −

− − − =− − −

− −−

d n

7 7A A

( 3) ( 7)

( 3) 7

( 3) 7

( 3) 7 ( 3)7 7

33 2

4

3 2

4

$

$

$

$=− −

− = −−

− = − = −

b) , 30 04 27 16 25100

4

2

1 53 1 244

44$ $ $ $ $ $=−

3102

25

23

$ $= =

21. a) Seja a = 2 , o qual sabemos que é irracional. Temos que

a4 2 42 24 4 2= = = =_ i é racional e a6 = 2 2 2 86 36 = = =_ i também é racional.b) Se a = 0, a d Q. Se a ≠ 0, sendo a7 d Q e a12 d Q, então:

a

a

a

a a12

7 22

12

14= =

_ i d Q. Assim,

a

a

a

a2 3 6

7 7= =

_ i

a d Q.

Outra maneira:

Como a7 e a12 são racionais, temos que ea a a a7 7 49 12 4 48= =_ _i i também o são.

Logo a

a48

49 = a é racional.

Nota: lembrar que operações de soma, subtração, multiplicação e divisão entre dois racionais não nulos resultam em números também racionais.

22. a) A metade de 222 é 2

2 2 222

22 1 21= =− .

b) 8 9 2 3 4 3 72 3,0 5 3 2 2/ / /2 3 2 3 1 2+ = + = + = + =_ _i i

23. 4 (0,5)4 + , 8 4 (2 ) 20 2521

41

164

214 3 2/ /2 3 2 3

$+ = + + = + + −− −d n

141

21

41

21

21= + + = + =

24. 3 3 2b a 27 64 3 2 3 2 3 24 3 64 3− = − = − = − = −

3 (1,73) 2 (1,41) 5,19 2,82 2,37$ $= − = − =

MATEMÁTICA6

25. e4 4 64 3 3 814 34 3 12 3 43 4 12= = = =$ $ .

Logo, como 81 64>12 12 , segue que 3 4>3 4 .

26. Seja:

A B A B17 12 2 17 12 22 2

++ = + + = +_ _i i

17 12 2 17A A B B A B AB2 4 2882 2 2+ + = + + = + + = +

( )A BAB

B AAB

B AA A

174 288

1772

1717 72

2

2

2

2

2+ ==

= −=

= −− =

+ + +

8 9B A

A AB AA A

B AA A

1717 72

1717 72 0

172

2

2

2

2

0

= −− =

= −− + =

= −= =

+ + +

Para:A = 8 & B2 = 17 – 8 = 9 + B = ±3

A = 9 & B2 = 17 – 9 = 8 + B = ±2 2Como queremos que A e B sejam inteiros positivos, então adotamos

A = 8 e B = 3. Logo, 317 12 2 8+ = + .

27. a) 1010

510 105 10 5 10

210

$

$= = =

b) 3

1

3 3

1 3381

39

26 26 46

46 6 3

$

$= = =

c) 2

6 2 6 25 26

5 26

55 2

5 45 1 5 1$

−=

− ++ =

−+ = +

d) 15( ) ( )5 3 3 5

155 3 3 5

155 3 3 55 3 3 5

25 3 9 55 3 3 5

$ $$ $+

=+ −

− =−

−

15 1575 45

5 3 3 530

5 3 3 52

5 3 3 5$ $=

−− = − = −

e) 3 5 2 2

33 5 2 2

33 5 2 23 5 2 2

$

+ −=

+ − + ++ +

_ _ _ _

_ _

i i i i

i i

3 33 5 2 2

3 5 2 23 2 15 5 8

3 5 2 22 2

$ $=+ −

+ + =+ + −

+ +

_ _

_ _ _ _

i i

i i i i

32 15

3 5 2 223

153

155

152 2

$ $= + + = + +f p

23

51

31 2

152

23

55

33 2

1530

$= + + = + +f dp n

23

153 5 5 3 2 30

103 5 5 3 2 30= + + = + +

d n

MATEMÁTICA7

f) 1 14

1

4

1

4 4 1

4 4 14 1

16 4 13 3 3 2 3

3 2 3 3 3$

−=

− + +

+ + =−

+ +

_

_

i

i

32 2 4 13 3

= + +

28. Temos:

a – b = 7 35 2

5 27 3

+− −

+−

7 3 5 25 2 5 2 7 3 7 3$ $=

+ +− + − − +

_ _

_ _ _ _

i i

i i i i

( ) 07 3 5 2

5 2 7 37 3 5 2

1 <=+ +− − − =

+ +−

_ _ _ _i i i i

Logo b > a.

29. Sabemos que x2 ≥ 0, para todo x d R.Sejam a e b dois números reais positivos.

Assim, 0 2 0a b a ab b a b ab2

2+ +$ $ $− − + +

_ i

30. Temos:

( )( )

( )a b

a bp p a ba b

a bp p a b> >a b2 0 2>, $

++ +

++ +

+ _ i

+ a + bp2 > p(a + b) + a + bp2 > ap + bp + bp2 – bp > ap – a

+ bp(p – 1) > a(p – 1) p 1 0>,−

bp > a pba

ba p> <

b 0>, +

31. Como x ≠ y, então (x – y)2 > 0. Logo:

(x – y)2 > 0 + x2 – 2xy + y2 > 0 + x2 – xy + y2 > xyx y 0>,+

(x + y)(x2 – xy + y2) > (x + y)(xy) + x3 + y3 > x2y + xy2

32. a) x = ( ) ( ) ( ) 22 2 222

2 2 2= = =$9 C

b) Sabemos que 2 é irracional e que ( )2 22

9 C é racional (pelo

item a). Ora, 2 2 é racional ou irracional. Se 2 2 é racional, então

existem dois irracionais α e β tais que αβ é racional (α = β = 2 ).

Se 2 2 é irracional, então existem dois irracionais α e β tais que αβ

é racional (α = 2 2 e β = 2 ).

33. a) 10x + 12y = (5x ⋅ 2) + (6y ⋅ 2) = 2 ⋅ (5x + 6y)b) 24xy2 – 18x3y4 + 15x2y3 = (3xy2 ⋅ 8) – (3xy2 ⋅ 6x2y2) + (3xy2 ⋅ 5xy)= 3xy2(8 – 6x2y2 + 5xy)

MATEMÁTICA8

c) (x – 2)(y + 3) + (x – 2)(z – 1) = (x – 2)[(y + 3) + (z – 1)] = (x – 2)(y + z + 2)d) xn + 1 – xn + 3 = xn + 1 – xn + 1 ⋅ x2 = xn + 1(1 – x2) = xn + 1(1 – x)(1 + x)e) x(a – b) + y(a – b) – 2a + 2b = x(a – b) + y(a – b) – 2(a – b) = (a – b)(x + y – 2)f) 4a + 8b + ax + 2bx = 4(a + 2b) + x(a + 2b) = (a + 2b)(4 + x)g) mp – mq – np + nq = m(p – q) – n(p – q) = (p – q)(m – n)h) 4x2 – 10xy – 8xy + 20y2 = 2x(2x – 5y) – 4y(2x – 5y) = 2[x(2x – 5y) – 2y(2x – 5y)] = 2(2x – 5y)(x – 2y)

34. a) x2 – ax – xy + ay – xz + az = x(x – a) – y(x – a) – z(x – a) = (x – a)(x – y – z)

b) 3a3 + 9a2b + 9ab2 + 3b3 = 3(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) = 3 ⋅ (a + b)3

c) a2 + 2ab + b2 – x2 = (a + b)2 – x2 = (a + b + x)(a + b – x)

d) m2 – y2 – x2 – 2xy = m2 – (x2 + 2xy + y2) = m2 – (x + y)2

= [m + (x + y)] ⋅ [m – (x + y)] = (m + x + y)(m – x – y)

e) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a2 – 2ab – b2 = (a + b)3 – (a2 + 2ab + b2)

= (a + b)3 – (a + b)2 = (a + b)2[(a + b) – 1] = (a + b)2 (a + b – 1)

f) b2 – a2 + 2ab – b2 = –a2 + 2ab = a(2b – a)

g) 81 – y4 = (32)2 – (y2)2 = (32 + y2)(32 – y2) = (9 + y2)(3 + y)(3 – y)

h) axn + bxn + ayn + byn = xn(a + b) + yn(a + b) = (a + b)(xn + yn)

i) a2bc – 4bc + a2b – 4b = bc(a2 – 4) + b(a2 – 4) = (a2 – 4) ⋅ b ⋅ (c + 1)

= b(a + 2)(a – 2)(c + 1)j) a2 – c2 + 4c2 + 4ac = (a + c)(a – c) + 4c(c + a) = (a + c)(a – c + 4c)= (a + c)(a + 3c)k) 8x3 – y3 = (2x)3 – y3 = (2x – y)[(2x)2 + (2x) ⋅ y + y2]= (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

35. a) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

xy x yxy x y

x y yx y y

x yx y

yy

2 23 2 6

1 2 13 2 3

2 12 3

13– – – – – –

+ + ++ =

+ + ++ =

+ ++ =

+

b) ( ) ( )a b

a ba b a b

a ba b

1

– – –2 2+ =

++ =

c) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

b

a b a bb b

a b bb bb a

9

3 33 33 3

3 33 1

–

– ––

–––

2

2 2 2 2+ =++ + =

++

( )( ) ( )

ba a

31 1

––= +

d) ( ) – ( – ) [( ) ( )] [( ) ( )] ( ) ( ) 1ab

a b a bab

a b a b a b a bab

a b4 4 4

2 2– – –2 2$ $+ = + + + = =

e) ( )

( ) ( )

a b

a b

a b

a b a b a b–

–

–

–2 2

4 4

2 2

2 2 2 22 2= + = +

f) ( – 1)

( ) ( )

( – 1)

( – 1) ( )

x x

x x x

x

x x x

x

x xxx

2 1

1 1 1 111

–

– – – ––2

3 2

2

2 2

2

2

+

+ = + = + = +

MATEMÁTICA9

g) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

a a b ab b

a b

a a b b a b

a b a b

a b a b

a b a b a b– – –3 2 2 3

4 4

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

+ + +=

+ + +

+ =+ +

+ +

= a – b

36. 232 – 1 = (216)2 – 1 = (216 + 1)(216 – 1) = (216 + 1)(28 + 1)(28 – 1)

= (216 + 1)(28 + 1)(24 + 1)(24 – 1) = (216 + 1)(28 + 1)(24 + 1)(22 + 1)(22 – 1)

= (216 + 1)(28 + 1) (24 + 1) (22 + 1)(2 + 1)(2 – 1) = (216 + 1)(28 + 1)17 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 1

Logo (232 – 1) é divisível por 17, 5 e 3.

37. a) (x + 2)2 = x2 + 4x + 4

b) (4 – a)2 = 42 – 2 ⋅ 4a + a2 = 16 – 8a + a2

c) (x2 – 3)2 = (x2)2 – 2 ⋅ x2 ⋅ 3 + 32 = x4 – 6x2 + 9

d) (2m3 + n2)2 = (2m3)2 + 2 ⋅ 2m3 ⋅ n2 + (n2)2 = 4m6 + 4m3n2 + n4

e) ( – ) ( ) – 2 ( )3 2 3 3 2 2 3 2 6 2 5 2 6– –2 2 2$= + = + =

f) (a – b2 + c)2 = [(a – b2) + c]2 = (a – b2)2 + 2 ⋅ (a – b2) ⋅ c + c2

= a2 – 2ab2 + b4 + 2ac – 2b2c + c2 = a2 + b4 + c2 – 2ab2 + 2ac – 2b2c

38. a) a2 – 6a + 9 = a2 – 2 ⋅ 3a + 32 = (a – 3)2

b) x2 + 10x + 25 = x2 + 2 ⋅ 5 ⋅ x + 52 = (x + 5)2

c) 3m2 – 12m + 12 = 3(m2 – 4m + 4) = 3(m – 2)2

d) x8 + 8x4 + 16 = (x4)2 + 2 ⋅ 4 ⋅ x4 + 42 = (x4 + 4)2

e) x4 + x2 + 41 = (x2)2 + 2 ⋅ x2 ⋅

21

21x

21 2 2 2

+ = +d dn n

f) a2 – 2ab + b2 – c2 = (a – b)2 – c2 = (a – b – c)(a – b + c)g) x2 – y2 + 2yz – z2 = x2 – (y2 – 2yz + z2) = x2 – (y – z)2

= [x – (y – z)][x + (y – z)] = (x – y + z)(x + y – z)h) x3 – 18x2 + 81x = x(x2 – 18x + 81) = x(x – 9)2

39. a ab ac b bc c4 6 4 12 92 2 2+ + + + +

(2 ) (3 ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )a b c a b a c b c2 2 3 2 2 32 2 2$ $ $ $ $ $= + + + + +

( ) | |a b c a b c2 3 2 32= + + = + +

40. yx2 + xy2 + x + y = 63 + x ⋅ (xy) + y ⋅ (xy) + x + y = 63+ 6x + 6y + x + y = 63 + 6(x + y) + (x + y) = 63 + 7(x + y) = 63

+ x + y = 9 + x2 + 2xy + y2 = 81

+ x2 + y2 = 81 – 2 ⋅ xy = 81 – 2 ⋅ 6 = 81 – 12 = 69

41. a) a4 + a2b2 + b4 = a4 + 2a2b2 + b4 – a2b2 = (a2 + b2)2 – a2b2

= (a2 + b2)2 – (ab)2 = (a2 + b2 – ab)(a2 + b2 + ab)

b) a4 + 4 = a4 + 4a2 + 4 – 4a2 = (a2 + 2)2 – (2a)2

= [(a2 + 2) – 2a][(a2 + 2) + 2a] = (a2 + 2 – 2a)(a2 + 2 + 2a)

MATEMÁTICA10

42. a) (a + 2)3 = a3 + 3 ⋅ (2a2) + 3 ⋅ (22a) + 23 = a3 + 6a2 + 12a + 8

b) (x – 4)3 = x3 – 3 ⋅ (4x2) + 3 ⋅ (42x) – 43 = x3 – 12x2 + 48x – 64

c) (m2 + 1)3 = m6 + 3 ⋅ (1m4) + 3 ⋅ (12m2) + 13 = m6 + 3m4 + 3m2 + 1

d) (x2 + y)3 = x6 + 3 ⋅ (x4y) + 3 ⋅ (x2y2) + y3 = x6 + 3x4y + 3x2y2 + y3

43. a) x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 3 ⋅ (x)2 ⋅ 1 + 3 ⋅ (x)1 + 13 = (x + 1)3

b) x6 + 3x4y + 3x2y2 + y3 = (x2)3 + 3 ⋅ (x2)2y + 3(x2)2(y)2 + y3 = (x2 + y)3

c) x3 – 12x2 + 48x – 64 = x3 – 3 ⋅ 4x2 + 3 ⋅ 42x – 43 = (x – 4)3

44. � 4 16 2 16 14xx

xx

xx

xx

1 1 1 12 22

22

& + ++ = + = + + = + =d n

• 4 64 3 3 64xx

xx

x xx

xx x

1 1 1 1 13 3 22 3

& ++ = + = + + + =d n

3 3 64 3 64x xx x

x xx x

1 1 1 133

33

+ ++ + + = + + + =d n

3 4 64 52xx

xx

1 133

33

& +$+ + = + =

45. a) B C A (B C)

A B

C

A B

C

b) A B A C

A B

C

A B

C

MATEMÁTICA11

A B

C

(A B) (A C)

c)

A B

C

A B

C

B C A (B C)

d)

A B A B

CC

A B A C

A B

C

(A B) (A C)

MATEMÁTICA12

46.

B

C

A B

C

A _ B B _ A

A

B

C

A B

C

A

A B (A B) (B

A)= (A B) _ C_ _

B

C

A

C

(A B)_

A B

C

A B C [(A B)

C] [C (A B)]__=

47. a)

BA A B B A

U U U

b) Temos:A , C = {x d R | 2 < x < 5 ou 6 ≤ x ≤ 10}C(AjC) = {x d R | x ≤ 2 ou 5 ≤ x < 6 ou x > 10}CB = {x d R | x > 3}

(A , C) * B = C(AjC) + CB = {x d R | 5 ≤ x < 6 ou x > 10}= [5; 6[ , ]10; +3 [

MATEMÁTICA13

48. Seja n o número de elementos de A. Então o conjunto P(A) tem 2n

elementos e P(P(A)) tem 22n elementos. Logo, 22n

= 256 = 28

+ 2n = 8 = 23 + n = 3.

49. Considere a representação no Diagrama de Venn a seguir:

esportista preguiçoso

marcianos

João

a) Falsa. Pode existir pelo menos 1 preguiçoso que não é marciano.b) Falsa. Como todos os marcianos são preguiçosos e nenhum espor-tista é preguiçoso, a afi rmação é falsa.c) Falsa, mesmo argumento de b.d) Verdadeira. Vide diagrama anterior.

50. Como na tentativa 1 houve dois resultados positivos, podemos ter esses dois resultados falsos, um falso e o outro verdadeiro ou os dois verdadeiros. Porém, note que não é possível ter os dois resultados falsos, pois ambos deveriam ser negativos na tentativa 2 e tal tentati-va apresentou somente um negativo. Sendo assim, obrigatoriamente um dos pacientes é portador da bactéria, eliminando a possibilidade de nenhum dos cinco ser portador.

51. a) :5 3 3 5– –< <F F

& verdadeira.

b) ~( ):2 2 4 3 6 6V F

V

0+ = + =1 2 344444 44444

falsa.

c) :2 2 4 3 3 6F V

/!+ + = falsa.

d) :3 5 3 5– –< <V F

& falsa.

e) :3 5 5 3< >V V

& verdadeira.

f) 3 2 5V

+ = Q :2 3 5V

+ = falsa.

g) ( ):N Z Q2 2 2V V V

V

& &d d d

1 2 34444 4444

verdadeira.

h) ~( ):N N2 2V V

F

0d d1 2 344 44

verdadeira.

MATEMÁTICA14

52. a)p q ~q p & ~q ~(p & ~q)

V V F F V

F V F V F

V F V V F

F F V V F

b) α é (p & q) e β é (~p ∨ q)

p q α ~p β α + β

V V V F V V

F V V V V V

V F F F F V

F F V V V V

c) α é (p ∨ q) e β é (p ∨ r)

p q r q ∧ r p ∨ (q ∧ r) α β α ∧ β S + T

V V V V V V V V V

F V V V V V V V V

V F V F V V V V V

F F V F F F V F V

V V F F V V V V V

F V F F F V F F V

V F F F V V V V V

F F F F F F F F V

S T

53. a) Se a sentença: “O nariz de Pinóquio não vai crescer” é verdadeira, então Pinóquio diz a verdade e seu nariz, de fato, não crescerá. Se a sentença for falsa, será verdade que “O nariz de Pinóquio vai crescer”, e, de fato, o seu nariz crescerá. Logo as duas coisas podem aconte-cer, dependendo da veracidade da sentença “O nariz de Pinóquio não vai crescer”.b) Se Pinóquio disse “Meu nariz vai crescer” e essa frase for verda-deira, o seu nariz não poderá crescer, pois ele diz a verdade, logo isso é um absurdo. No caso contrário, ou seja, se a frase for falsa, então é verdade que “Meu nariz não vai crescer”, o que não condiz com o enunciado, já que quando Pinóquio diz uma frase falsa seu nariz deve crescer. Logo Pinóquio não pode dizer a frase do enunciado.

54. a) x d R ∧ x d Q + ~(x d Q’)b) x d R & ~(x d Q ∧ x d Q’)c) x d R & x d Q Q x d Q’d) x d R & x d Q ∨ x d Q’

MATEMÁTICA15

55. a) Verdadeira. 6x; x d Q & x d Rb) Falsa. 7x; x d R ∧ (x d Q ∧ x d Q’)c) Verdadeira. 6x; x d R & (x d Q ∨ x d Q’)

56. a) 2x – 1 = 5 + 2x = 6 + x = 3 V = {3}

b) –3x + 1 = 0 + –3x = –1 + x = 31 V =

31

( 2

c) x5

2 + 7 = 8 + x5

2 = 1 + 2x = 5 + x = 25 V =

25

( 2

d) 5(x – 3) + 7 = –2(4 – x) – 3x = –8 + 2x – 3x = –8 – x + 5x – 8 + x = –8 + 6x = 0 + x = 0 V = {0}

e) x x3

14

2 5–+ = + 4x + 4 = 6 – 15x + 19x = 2 + x V192

192= = ( 2

f) – –x x x x2

13

24

312

4– – – –=

12 – 12 – 12x x x2

13

24

3– – –+ $ $d d dn n n 12 x

124–

$= d n

+ 6(x – 1) – 4(x – 2) – 3(x – 3) = x – 4+ 6x – 6 – 4x + 8 – 3x + 9 – x = –4 + –2x = –15 + x = V

215

215= ( 2

g) ( ) 2(5 – ) ( )x x x x3

4 34

3 2 3– –+ = +

12 ( )x3

4 3–+ < F + 12[2(5 – x)] ( )x12

43 2 3–= < F + 12x

+ 16(x – 3) + 24(5 – x) = 9(2 – 3x) + 12x + 16x – 48 + 120 – 24x = 18 – 27x + 12x+ 16x – 24x + 27x – 12x = 18 + 48 – 120 + 7x = –54

+ x = – V7

547

54–= ( 2

h) (2x + 1)(4x + 5) = (2x + 1)(3x + 2) + (2x + 1)(4x + 5) – (2x + 1)(3x + 2) = 0 + (2x + 1)(4x + 5 – 3x – 2) = 0 + (2x + 1)(x + 3) = 0

+ ou oux

x

x

x

2 1 0

3 0

21

3+

+ =

+ =

=

= −

;V21 3– –= ( 2

57. a) 5x + 1 = –5x + 1 + 10x = 0 + x = 0 V = {0}b) 7x + 5 = 7x + 5 + 0x = 0 V = Rc) 2x – 4 = 2x – 1 + 0x = 3 V = 4

58. (m – 3)x = n + 5 + x = mn

35

–+ . Assim, teremos 3 possibilidades:

I. Se m ≠ 3 & V = – 35

mn +

( 2

MATEMÁTICA16

II. Se m = 3 e n = –5 & V = RIII. Se m = 3 e n ≠ –5 & V = 4

59. – 1 – – 1 0 ( )mxm

x mxm

xm

m x x m4

24

24

4 2 4– – – – –2+ += = = 0

( ) 0( ) ( ) ( )

em

m x mm m x m

m4

4 8 42 2 4 2 0

4 0

– –– – –

2+ +

!

+ =+ =

*

( ) ( ) ( )e

m m x m

m

2 2 4 2

0

– –+

!

+ =

*

a) A equação admite solução única ( 2) ( – 2)

( )2

xm m

mm

4 2 4–=+

=+

desde

que ( ) ( )

–2 0 2e e em m

mm m m

2 2 0

0

–+

!

!

! ! !

+

* .

b) A equação não admite solução se:

( ) ( )

( )e

ou

m m

m

m

2 2 0

4 2 0

0

–

– !

+ =

=

J

L

KKKK

N

P

OOOO

Z

[

\

]]]

]]]

+

e

oum

m

2

0

!

=

( )oum m2 2–= =J

L

KKK

N

P

OOO

Z

[

\

]]]

]]]

+ m = –2 ou m = 0

c) A equação admite infi nitas soluções se:

( ) ( )

( )e

e

m m

m

m

2 2 0

4 2 0

0

–

–

!

+ =

=

Z

[

\

]]]

]]]

+

( )oue

e

m m

m

m

2 2

2

0

–

!

= =

=

Z

[

\

]]]

]]]

+ m = 2

60. O discriminante da equação 3x2 – 6x + (k – 1) = 0 éΔ = (–6)2 – 4 ⋅ 3(k – 1) + Δ = –12k + 48, assim:a) a equação não admite raízes reais + Δ < 0 + –12k + 48 < 0 + k > 4.b) a equação admite duas raízes reais distintas + Δ > 0+ –12k + 48 > 0 + k < 4.c) a equação admite duas raízes reais iguais + Δ = 0 + –12k + 48 = 0 + k = 4.

61. Sejam a e 2a as raízes da equação. Então

m a aa a

a ma

a am m

28 2

34

2 26 62

$

0

0

= +=

==

= = −= = −

+ + . Portanto, m = 6 ou m = –6.

MATEMÁTICA17

62. a) 7x x x x

x x1 1

2127

1 2 1 2

1 2$

+ = + = =

b) x x12

22+ = (x1 + x2)2 – 2x1 ⋅ x2 =

27 2

d n – 2 ⋅ 21

445=

c) ( ) 1x x x x

x x

x x

1 1 445

2

445

4512

22

12

22

12

22

1 22 2

$ $

+ = + = = =

d n

d) ( )x x x x x x x x4

4521

162 021

14

12

22

24

12

22 2

12

22 2 2

+ + = + − = − =d dn n

63. Δ = 4 – 4(m – 2) = 4 – 4m + 8. Para que a equação tenha raízes reais e positivas, Δ ≥ 0 e (m – 2) > 0. Assim, –4m ≥ –12 + m ≤ 3 e m > 2. Portanto, 2 < m ≤ 3.

64. a) (x – 1)(x – 5) b) (x + 2)(x + 4)c) 2(x + 2)(x + 3) d) x(x + 2)(x – 3)

65. Temos x x12

22+ = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = (3a)2 – 2 ⋅ a2 = 7a2.

Assim, 7a2 = 1,75 + a2 = 0,25 = 41 + a =

21 ou a = –

21

66. xx

xx2

22

221

22

22

21 0+

+ +−

=− + +−

+ =

( )( ) ( ) ( ) 0

( )0

xx x x

xx x

2 22 2 2 2 1 2

2 222

+ +$ $

−+ − + + − =

−+ − =

( )

( )2 1e

oue ou

x x

x

x x

xx x

2 0

2 2 0

2 1

2

2

+ + +

! !

+ − =

−

= − == − =

Z

[

\

]]

]]*

V = {–2, 1}

67. a) Se x + x1 = b, então 1x

x

2+d n = b2 + x2 + 2 ⋅ x ⋅

x1 + 1

x

2d n = b2

+ x2 + x

12

+ 2 = b2 + x2 + x

12

= b2 – 2.

b) x2 – 5x + 8 – x x

5 12

+ = 0 + x2 + x

12

– 5 xx1+d n + 8 = 0

Fazendo x + x1 = y, do item a temos que x2 +

x

12

= y2 – 2. Logo:

(y2 – 2) – 5 ⋅ y + 8 = 0 + y2 – 5y + 6 = 0 + y = 2 ou y = 3

MATEMÁTICA18

Assim:

ou ou ou

xx

xx

xx

xx

xx x

xx x

1 2

1 3

1 2 0

1 3 0

2 1 0

3 1 0

2

2+ +

+ =

+ =

+ − =

+ − =

− + =

− + =

Z

[

\

]]]

]]

Z

[

\

]]]

]]

Z

[

\

]]]

]]]

ou

ou

x

x x

1

23 5

23 5

+

=

= − = +d n

Z

[

\

]]

]]

V = , ,12

3 52

3 5− +( 2

68. A B C D

Seja AB = x. Então BCAB =

23 + BC =

32 x e CD = AD – AB – BC

= 24 – x – 32 x = 24 –

35 x.

Como ACCD

51= , então

x x

x

32

2435

51

35

+

+

−= x = 120 –

325 x

+ 3

30 x = 120 + x = 12.

Logo AB = 12, BC = 32 ⋅ 12 = 8 e CD = 24 –

35 ⋅ 12 = 4.

69. A B CM T N P

a) AM = MB = 4, AC = AB + BC = 12. Logo AN = 6, BP = PC = 2. Assim, MN = AN – AM = 2. Seja T o ponto médio de MN, então MT = TN = 1 e, portanto, AT = AM + MT = 5. Mas AP = AB + BP = 8 + 2 = 10, logo T é ponto médio de AP.b) TA = 5

70. A B CY

y

Xx 2x 2y

Seja AX = x e YC = y. Então BX = 2x e BC = 3y & BY = 3y – y = 2y. Temos:

AC = 10 + x + 2x + 2y + y = 10 + 3x + 3y = 10 + x + y = 3

10

Então XY = 2x + 2y = 2(x + y) = 2 ⋅ 3

10 = 3

20 cm.

71. Temos:• (3x + 120o) + x = 180o + 4x = 60o + x = 15o

• 19y – 23o = x + 19y – 23o = 15o + 19y = 38o + y = 2o (alternos externos)

Logo x + y = 15o + 2o = 17o.

MATEMÁTICA19

72.

x

y

r

s

60°60°

30°

80°

Na fi gura, β + 60o + 30o = 180o + β = 90o. Então, o ângulo α entre as retas x e y é tal que α + β + 80o = 180o + α + 90o = 100o + α = 10o.

73. r

sx

100°

80°

60°

60°

Na fi gura, x + 60o + 100o = 180o + x = 20o.

74. a) D EB

A C s

r

Devemos provar que se α, β e γ são as medidas dos três ângulos internos de um triângulo, então α + β + γ = 180o.Tracemos pelo vértice B de um triângulo ABC uma reta r paralela à reta s = AC . Assim, α = m (BACt ) = m (ABDt ) (alternos internos) eγ = m (BCAt ) = m (CBEt ) (alternos internos).Portanto α + β + γ = m (ABDt ) + m (ABCt ) + m (CBEt ) = 180o.

b) Cada um dos outros ângulos mede 2

180 100o o− = 40o (são iguais pois o triângulo é isósceles).

75. Seja m (DBCt ) = x. Então m (BDAt ) = 4x. Ainda, m (ABDt ) = 60o + x= m (BADt ).Temos m (BADt ) + m (ABDt ) + m (BDAt ) = 180o

+ 60o + x + 60o + x + 4x = 180o + 6x = 60o

+ x = 10o e m (BDAt ) = 4x = 40o.

MATEMÁTICA20

76. Temos:

ab

f

c

de

• α + a + b = 180o

+ α = 180o – a – b• β + e + f = 180o

+ β = 180o – e – f • γ + c + d = 180o

+ γ = 180o – c – d Logo α + β + γ = 180o

+ 180o – a – b + 180o – e – f

+ 180o – c – d = 180o

+ a + b + c + d + e + f = 360o.

77. Como CD = AD, m (CADt ) = m (ACDt ) = 30o. Logom (ADBt ) = m (CADt ) + m (DCAt ) = 30o + 30o = 60o.

Como AD = BD, m (ABDt ) = m (ADBt ) = 2

180 60o o− = 60o. Logo o

ΔABD é equilátero. Se M é ponto médio de BD, AM é mediana e

também bissetriz do ΔABD. Logo α = ( )m BAD2 2

60o=

t = 30o.

78. No ΔABC, m (BACt ) = 180o – 30o – 60o = 90o > m (ACBt ) > m (ABCt ). Logo BC > AC e BC > AB.No ΔCBD, m (BCDt ) = 180o – 80o – 80o = 20o. Logo BC = DC > BD.No ΔCDE, m (CDEt ) = 180o – 70o – 60o = 50o. Como 70o > 60o e70o > 50o, então DE > DC e DE > CE. Logo o maior segmento é DE.

79. Como DE // BC, m (ADEt ) = m (ABCt )= m (ACBt ) = m (AEDt ) = α. Assim, pelo caso AA, temos ΔADE ~ ΔABC e sendo k a razão

de tal semelhança, temos k = BCDE

42

21= = .

Logo ACAE AE

21

6 21

+= = + AE = 3 = EC.

Sendo F e G as projeções ortogonais de D e E sobre BC, respectivamente, temos, pelo caso LAA0, ΔDFB , ΔEGC, onde

BF = GC = 2

4 2− = 1.

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao ΔEGC, vem 32 = h2 + 1 + h2 = 8, de onde 3h2 = 3 ⋅ 8 = 24.

80. Sendo E d AC, tal que AE = AB, temos, pelo caso LAL,ΔABD , ΔAED. Como EC = AC – AE = AB + BD – AB = BD = DE, o triângulo CDE é isósceles e, sendo α = m ( )ECDt = m ( )EDCt , temos

m ( )ABDt = m ( )AEDt = m ( )ECDt + m ( )EDCt = α + α = 2α. Logo:

3

h h 3

B CF G1 12

3

3

A

D E2

4

MATEMÁTICA21

m ( )ACBt + m ( )ABCt + m ( )BACt = 180o

+ m ( )ECDt + m ( )ABDt + m ( )BACt = 180o + 3α = 120o

+ α = 40o. Portanto, m ( )ABCt = 2α = 80o e m ( )ACBt = α = 40o.

81. A seguir, temos uma fi gura ilustrativa da situação descrita, em queAP = PQ = x.Pelo Teorema de Pitágoras,

B

A C

Q

P3

3 _ x

x

x

4

5

BC2 = 32 + 42 + BC = 5.Como m ( )QBPt = m ( )ABCt e

m (BQPt ) = m (BACt ) = 90o, temos,

pelo caso AA, ΔBQP ~ ΔBAC

& ACPQ

BCBP x x

4 53

+= = −

5 12 4x x+ = − 9 12 .x x34

+ += =

82. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao ΔPQR, temos 152 = 122 + QR2 + QR = 9.

Como ( ) ( )( ) ( )

~m QRP m MRNm PQR m NMR

QRP MRNAA+ T T=

=

t t

t t* . Sendo N o ponto

médio de QR, vem que NM1529

12= + NM = 3,6 cm.

83. Consideremos a fi gura a seguir:

B

SP

D

0,90 m

Q

A

x

1,20 m

E

0,80 m 0,40 m

R

V,

C

0,40 m

V

Como os ângulos de incidência e refl exão em A são iguais e em C também são iguais, pelo caso AA, ΔAEV‘ ~ ΔABD. Logo:

,,

,,

xx

0 41 2

0 80 9

+− = + 9,6 – 8x = 9x + 3,6 + x =

176 m

MATEMÁTICA22

84. m (ADEt ) = m (DAEt ) = 2

180 108o o− = 36o (ΔADE é isósceles)

m (ABEt ) = m (DAEt ) = 36o (ΔADE , ΔBEA)m (BECt ) = 180o – 2 ⋅ m (EBCt ) = 180o – 2 ⋅ [m (ABCt ) – m ( )ABEt ] = 180o – 2 ⋅ (108o – 36o) = 36o m (AGEt ) = 180o – 36o – 72o = 72o e m (EFGt ) = 180o – 36o – 72o = 72o

Logo os triângulos AEG, AEF e EFG são isósceles com ΔAGE ~ ΔEFG

&AGEF

EGFG AF

EFAF AF

AFAF

11

11

+ += = − = − + AF 2 + AF – 1 = 0

+ AF = 2

5 1− .

85. Seja x a distância do pé da escada à parede; como a escada deslizou 1 m e parou no pé do muro, concluímos que a distância do muro à parede é igual a x + 1.

DepoisAntes

d

x 1

14x + 1

d

x + 1

45°

Seja d o comprimento da escada. Na situação inicial, a escada, a pa-rede e o muro formam um triângulo retângulo no qual, pelo Teorema de Pitágoras, temos:d2 = ( 14 )2 + x2 = 14 + x2 (I)Após o deslizamento, no triângulo retângulo formado temos:d2 = (x + 1)2 + (x + 1)2 = 2(x + 1)2 (II)a) Das igualdades I e II temos:14 + x2 = 2(x + 1)2 + 14 + x2 = 2(x2 + 2x + 1) + 14 + x2 = 2x2 + 4x + 2 + x2 + 4x – 12 = 0 + x = –6 ou x = 2.Como x > 0, concluímos que x = 2, ou seja, a distância entre a parede da casa e o muro é igual a 2 + 1 = 3 metros.b) O comprimento da escada é igual a

d = ( ) ( )x2 1 2 2 12 2+ = + = 3 2 metros.

86.

60°

10 x _

10 x _

A 10 B

E

D F x C

10

60°

60°

x

MATEMÁTICA23

Seja , o lado do triângulo equilátero e x = AE = FC. Então, aplicando Teorema de Pitágoras nos triângulos ABE e DEF, temos:

( )2 (10 ) ( )

III

xx

102 2 2

2 2$

,

,

= += −

Substituindo I em II:100 + x2 = 200 – 40x + 2x2 + x2 – 40x + 100 = 00 cmx 10< <

, x = (20 – 10 3 ) cmEm II, , = (10 – x) 2 + , = (10 3 – 10) 2 cm + , = 10( 6 – 2 ) cm.