8/2/2019 Questo 1 - Pgian 261

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Estruturas Algbricas

Moiss Toledo

4 de maio de 2012

1 Soluo de exerccios - Pgina 261

Exerccio 1. Sejap um nmero primo e G um grupo no-abeliano de ordemp3. Mostreque:

a) |Z(G)| = p.

b) Z(G) = G.

c) G/Z(G) = Z/pZ Z/pZ

Demonstrao.

a) Como Z(G) < G ento |Z(G)| | |G|. Agora vejamos os possveis casos:

(i) |Z(G)| = p3 pois G no abeliano (isto |Z(G)| = |G|).

(ii) |Z(G)| = p2 pois caso contrario

G

Z(G)

= p e assim G

Z(G) cclico logo

Z(G) = G o qual no possvel (ver pgina 140).

(iii) |Z(G)| = 1 (isto Z(G) = {e}) pois o centro tem sempre pelo menos pelementos para qualquer grupo de ordem potencia de um primo (ver pgina

233).

Por tanto temos |Z(G)| = p.

b) Vejamos que G Z(G): J vimos que

G

Z(G)

= p2, assim G

Z(G) um grupo

abeliano (ver pgina 234), isto Z(G) G tal que GZ(G)

abeliano. Logo como G

o menor subgrupo normal tal que GG

abeliano (ver pgina 140) ento Z(G) G.Agora como:

(i) GG

= 1 pois caso contrario G = G logo Z(G) = {e} o qual no possvel

pois |Z(G)| = p.

Universidade Federal da Paraba

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Estruturas Algbricas Pgina 2

(ii) GG

= p pois caso contrario G

G cclico (por tanto abeliano) logo G abeliano

(de fato: seja a G tal que < aG >= G/G ento abG = (aG)(bG) =(bG)(aG) = baG assim ab = ba).

(iii) GG

= p3 pois caso contrario G = {e} assim dado x, y G temos xyx1y1 =

e isto xy = yx logo G abeliano.

ento |G| = p, e como G Z(G) temos Z(G) = G.

c) Como |Z(G)| = p ento cclico logo existe b Z(G) tal que < b >= Z(G). Sejax G\Z(G) ento < x >= Z(G), considerando y /< x > ento < x > = {e}. Tambm | < x > | = | < y > | = p, pois x G\Z(G). Logo < x, y > um subgrupo de G/Z(G) com ordem p2 assim < x, y >= G/Z(G).Por ultimo consideremos o homomorfismo:

: G/Z(G) Z/pZ Z/pZxn ym (n, m)

o qual claramente bijetivo, por tanto um isomorfismo.