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O papel e a função de uma

classificação hierárquica de quadriláteros

MICHAEL DE VILLIERS

Introdução

Uma distinção bem conhecida e útil entre diferentes tipos de compreensão em matemática é a

que distingue entre compreensão instrumental, relacional e lógica [e.g. Skemp, 1976; Byers &

Herscovics, 1977]. Enquanto “compreensão” instrumental (o autor prefere o termo

“proficiência”) se refere à capacidade de um indivíduo manipular correcta e eficientemente

conteúdos matemáticos (e.g. usando algoritmos, regras e definições), compreensão relacional e

lógica referem-se respectivamente à compreensão da relação conceptual entre conteúdos e à

lógica subjacente em que essas relações se baseiam.

Um defeito importante neste modelo é que não contempla a compreensão funcional, por outras

palavras, a compreensão do papel, função ou valor de um conteúdo matemático específico ou

um processo particular [comparar com Human, 1989]. Experiências alargadas com crianças em

contextos de entrevista e de sala de aula parecem indicar que muitos dos seus problemas com

processos e conteúdos matemáticos não se prendem tanto com uma fraca proficiência

instrumental, nem com uma compreensão relacional ou lógica inadequada, mas sim com a falta

de compreensão da sua utilidade ou função. Deveria ser notado que esta funcionalidade não se

restringe apenas às aplicações do mundo real fora da matemática, mas também aos valores e

funções relativos a conteúdos e processos dentro da matemática.

Em grande medida, parece que a ausência, presença ou nível de compreensão funcional

individual determina a sua motivação para o estudo e aprendizagem da matemática. Sem

compreensão funcional, a matemática simplesmente degenera num assunto inútil, sem

significado e arbitrário, desmotivando o estudante a tentar aprendê-la e a explorá-la. O

desenvolvimento adequado da compreensão funcional é, por isso, um importante critério para

avaliar qualquer abordagem de ensino.

Neste artigo serão abordados diferentes tipos de classificação, bem como será feita a análise

teórica do papel e função da classificação hierárquica em matemática. Por fim, far-se-ão alguns

comentários breves relativamente ao ensino de uma classificação hierárquica dos quadriláteros.

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Interlúdio

O extracto seguinte é um exemplo razoavelmente típico de várias entrevistas e experiências com

crianças do Nível 7 ao Nível 10 (Graus 9 a 12) ao longo dos últimos anos [ver De Villiers, 1987,

1990]:

P: Se definirmos um paralelogramo como um quadrilátero com lados opostos paralelos, podemos dizer que um rectângulo é um paralelogramo?

A: Sim, … porque um rectângulo também tem lados opostos paralelos… Mas eu não gosto dessa definição de paralelogramo … Eu sei que nos ensinaram essa definição na escola e que quadrados e rectângulos são paralelogramos (cara franzida), mas não gosto …

P: Então como definirias paralelogramo?

A: Como qualquer quadrilátero com lados opostos paralelos mas sem todos os

ângulos iguais.

P: Então e quanto ao losango? … Dirias que o losango é um paralelogramo?

A: Hum … de acordo com a minha definição, sim… mas também não gosto disso… preferiria antes dizer que um paralelogramo é um quadrilátero com lados opostos paralelos, mas sem os lados ou os ângulos todos iguais.

Claramente que este aluno não tem problema em tirar conclusões correctas das definições nem

em fazer classes inclusivas hierárquicas, mas prefere não o fazer. Além disso, este aluno revela

claramente ter a capacidade de formular uma definição. De igual modo, Clements & Battista

[1992, 63] reportaram o caso de dois alunos capazes de seguir a lógica de uma classificação

hierárquica de quadrados e rectângulos mas com dificuldades em a aceitar. Por isso, o problema

parece não ser tanto a falta de compreensão relacional ou lógica, ou mesmo de proficiência em

definir, mas antes a falta de compreensão funcional (i.e. qual é a função ou valor da

classificação hierárquica de quadriláteros).

Classificação por partição e hierárquica

Por classificação hierárquica entende-se a classificação de um conjunto de conceitos de tal

forma que os mais particulares formam subconjuntos dos mais gerais. Vários exemplos podem

ser apresentados, como a classificação de números reais ou a classificação de várias geometrias

segundo a perspectiva de transformação (programa Erlangen) mas, para o propósito deste artigo,

focar-nos-emos principalmente na classificação de quadriláteros.

Em contraste com a classificação hierárquica, também existe a possibilidade de uma

classificação dos conceitos por partição. Contudo, numa tal classificação, os vários

subconjuntos de conceitos são disjuntos uns dos outros. Por exemplo, na figura 1, uma

classificação hierárquica de paralelogramos, rectângulos, losangos e quadrados é posta em

contraste com uma classificação por partição. (São mostrados dois diferentes tipos de

representação para cada classificação.) Na classificação hierárquica podemos ver claramente

que os rectângulos e os losangos são subconjuntos dos paralelogramos, com os quadrados como

intersecção dos rectângulos com os losangos. Pelo contrário, na classificação por partição, os

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quadrados não são rectângulos, nem losangos, nem os rectângulos e os losangos são

paralelogramos.

Paralelogramos Paralelogramos

Rectângulos

Rectângulos

Quadrados

Quadrados

LosangosLosangos

Figura 1

Relação entre classificar e definir

A classificação de qualquer conjunto de conceitos não tem lugar independentemente do

processo de definição. Por exemplo, para classificar hierarquicamente um paralelogramo como

um trapézio, requer definir trapézio como “um quadrilátero com pelo menos um par de lados

opostos paralelo”. Se, por outro lado, quisermos excluir os paralelogramos dos trapézios

(classificação por partição), precisamos de definir trapézio como “um quadrilátero com apenas

um par de lados opostos paralelos”.

Além disso, deve ser inequivocamente sublinhado que uma definição (e classificação) por

partição não é matematicamente “errada “simplesmente por ser por partição (desde que

contenha, claro, informação suficiente para assegurar que todos os não exemplos são excluídos).

Por exemplo, a definição por partição de paralelogramo dada anteriormente pelo aluno (i.e. um

quadrilátero com lados opostos paralelos, mas sem que os lados e ângulos sejam todos iguais)

pode ser pouco convencional, mas não é uma definição errada. De facto, é uma definição

economicamente correcta pois contém apenas propriedades necessárias e suficientes. Claro que,

assim como há alunos que dão muitas vezes definições hierárquicas que são correctas, mas não

económicas, (i.e. contêm informação supérflua) o autor também tem encontrado,

Paralelogramos

Rectângulos Losangos

Quadrados

Quadriláteros

Quadrados Rectângulos Paralelogramos

Por Partição Hierárquica

Losangos

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frequentemente, alunos que dão definições por partição correctas e não económicas, como a

seguinte:

Um paralelogramo é um quadrilátero com lados opostos iguais e paralelos, ângulos opostos iguais, diagonais de comprimento diferente que se cortam ao meio, mas não perpendicularmente.

(Talvez seja necessário referir que mesmo os matemáticos nem sempre aderem completamente à

economia das definições e axiomas. Por exemplo, na definição de grupo só o inverso à esquerda

é realmente necessário, já que o inverso à direita está implícito, mas normalmente dizemos

apenas que deve haver inversos para todos os elementos. A razão para isto é a da conveniência,

i.e., evitar uma demonstração extra e algo complicada. De igual modo, é habitual o uso de cinco

axiomas para a Álgebra de Boole, embora, de facto, sejam necessários apenas três.)

CôncavoConvexo

Quadrláteros cruzadosQuadriláteros fechados simples

Quadriláteros

Figura 2

Por vezes, a classificação por partição e as suas correspondentes definições são úteis e

necessárias para distinguir claramente os conceitos. Por exemplo, considere-se a classificação

de quadriláteros por partição em convexo, côncavo e cruzado, mostrados na figura 2, com as

seguintes definições possíveis:

Um quadrilátero é qualquer figura plana de 4 lados, fechada e com 4 vértices.

Um quadrilátero fechado simples é um quadrilátero cujos lados se encontram apenas nos vértices.

Um quadrilátero cruzado é um quadrilátero com dois dos lados cruzando-se num ponto que não é vértice.

Quadrilátero convexo é um quadrilátero fechado simples sem qualquer ângulo reflexo1.

Quadrilátero côncavo é um quadrilátero fechado simples com um dos seus ângulos reflexo.

De modo análogo, é útil e necessário dividir os papagaios em convexos e côncavos. Além disso, quando classificamos um dado quadrilátero, a partição é uma estratégia espontânea e natural. Por exemplo, quando temos um quadrado à nossa frente, nós não diríamos normalmente: aha! temos aqui um rectângulo. Em vez disso, naturalmente, chamaríamos ao quadrado um

1 NT: ângulo reflexo: entre 180º e 360º

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“quadrado” e reservaríamos o termo “rectângulo” apenas para um rectângulo não quadrado (ou rectângulo propriamente dito). Do mesmo modo, empregaríamos normalmente o termo “losango” apenas quando se tratasse de um losango não quadrado. Precisamente, da mesma maneira, Dennis [1978] fez uso da partição para especificar um programa informático de classificação de quadriláteros (de acordo com dadas coordenadas). De facto, a partição é um método matemático geralmente aceite em muitas áreas de matemática, mas particularmente aceite no estudo de superfícies e espaços topológicos, em que o problema fundamental é a subdivisão destas superfícies e espaços em subconjuntos disjuntos [Patterson, 1956]. Além disso, uma vez que a classificação e correspondentes definições são arbitrárias e não absolutas, deveríamos reconhecer que a escolha entre uma classificação hierárquica e uma por partição é, muitas vezes, uma questão pessoal e de conveniência. Por exemplo, recentemente, o autor encontrou a seguinte definição por partição num antigo livro de geometria de Wentworth [1881:58] que era muito usado nas escolas e universidades americanas no século passado: Um losango é um paralelogramo que tem os lados iguais mas ângulos oblíquos

2. A pergunta fundamental, abordada mais tarde neste artigo, é portanto: Por que é que convencionalmente preferimos a classificação hierárquica dos vários quadriláteros convexos à classificação por partição. Ou, dito de maneira diferente, que vantagens tem a classificação hierárquica, neste caso, sobre a classificação por partição? Classificação descritiva e construtiva

Analogamente ao que acontece nos processos de axiomatização e definição [ver Krygowska, 1971; Human, 1978; De Villiers, 1986] é também possível distinguir entre dois tipos diferentes de classificação, chamadas descritiva (a posteriori) ou construtiva (a priori), podendo ser, tanto uma como outra, hierárquica ou por partição. Por classificação a priori, entende-se aqui o processo matemático de generalização e particularização utilizados deliberadamente para produzir novos conceitos que são imediatamente colocados, quer numa relação hierárquica, quer numa relação por partição, com outros conceitos existentes. Uma generalização ocorre quando um novo e mais geral conceito B é construído a partir de um conceito A ao desprezar certas propriedades (condicionantes) ou ao substituir algumas por outras mais gerais. Contudo, durante a particularização, é construído a partir de A um novo conceito B mais específico adicionando propriedades (condicionantes) ou substituindo algumas delas por outras mais específicas. Naturalmente, a generalização ou a particularização não resultam necessariamente de apenas um conceito, mas podem envolver dois ou mais. Por exemplo, um novo conceito C pode ser generalizado a partir de 2 ou mais conceitos, seleccionando uma ou mais propriedades (condicionantes) comuns a esses conceitos. Do mesmo modo, um novo conceito C pode ser particularizado a partir dois ou mais, exigindo-se que combine todas as propriedades (condicionantes) desses conceitos. Em geral, a função mais importante de uma classificação a priori é, portanto, claramente a descoberta/criação de novos conceitos. Olhemos, brevemente para alguns exemplos de classificações a priori e a posteriori, tendo em vista os quadriláteros. Uma classificação a posteriori poderia ocorrer, por exemplo, considerando a classificação de quadrados e rectângulos, depois de eles serem conhecidos durante algum tempo e as suas propriedades terem sido exaustivamente examinadas. Por outro lado, com uma classificação a priori poderíamos começar com o conceito mais específico, um quadrado e generalizar o rectângulo e o paralelogramo consecutivamente como

2 NT: ângulo oblíquo = ângulo não recto

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novos conceitos como se mostra na figura 3. Por exemplo, o rectângulo pode ser generalizado do quadrado desprezando o requisito de que todos os lados têm que ser iguais, mas mantendo a propriedade de ângulos iguais. Do mesmo modo, o paralelogramo pode ser generalizado a partir do rectângulo desprezando o requisito de que todos os ângulos têm de ser iguais, mas mantendo a propriedade de lados opostos paralelos. Analogamente, podemos generalizar do losango para o paralelogramo.

ParticularizaçãoParticularização

ParticularizaçãoParticularização

GeneralizaçãoGeneralização

GeneralizaçãoGeneralização

. todos os lados podem ser = (hierárquica)

OU

todos os lados não são = (partitiva)

. todos os ângulos podem ser = (hierárquica)

OU

todos os ângulos não são = (partitiva)

. lados opostos //

. todos os lados podem ser = (hierárquica)

OU

todos os lados não = (partitiva)

. todos os ângulos 90º

. lados opostos //

. todos os lados =

. ângulos podem ser 90º (hierárquica)

OU

não podem ser 90º (partitiva)

. lados opostos //

. todos os lados =

. todos os ângulos 90º

. lados opostos //

Losango

Paralelogramo

Rectângulo

Quadrado

Figura 3 Reciprocamente, partindo do conceito, mais geral, paralelogramo, podemos particularizar impondo mais e mais propriedades para, finalmente, chegarmos ao quadrado. Por exemplo, o losango pode ser particularizado a partir do paralelogramo, requerendo a propriedade adicional de “lados iguais”. Analogamente, o quadrado pode ser particularizado do losango requerendo a propriedade adicional de ângulos iguais (por outras palavras, combinando todas as propriedades dos rectângulos e losangos). É, no entanto, importante voltar a chamar a atenção de que a generalização e a particularização não têm que ser feitas necessariamente em contexto hierárquico, podendo ser feitas teoricamente em contexto de partição (embora na prática esta possa ser mais a excepção do que a regra). Analogamente, podemos generalizar o conceito de papagaio para um novo conceito, por exemplo, de quadrilátero perpendicular, desprezando as condições de que dois lados adjacentes têm de ser iguais, mas retendo a perpendicularidade das diagonais (figura 4). (Note-se que também podemos ter quadriláteros perpendiculares côncavos ou cruzados). Uma interessante propriedade dos quadriláteros perpendiculares é que se ligarmos os pontos médios de lados adjacentes obtemos um rectângulo). Uma definição hierárquica de quadrilátero perpendicular poderia, agora, ser simplesmente um quadrilátero com diagonais perpendiculares. Em contraste, uma classificação por partição de quadrilátero perpendicular, teria de excluir os papagaios, acrescentando que não pode haver dois pares de lados adjacentes iguais.

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Figura 4 Podemos também particularizar os conceitos de quadrilátero cíclico e papagaio (convexo) para produzir um novo conceito, digamos, um papagaio recto, requerendo que seja a intersecção dos dois (i.e. tem as propriedades de ambos) (fig5). Como anteriormente, teríamos de juntar mais condições aos quadriláteros cíclicos (i..e. não podem ter dois pares de lados adjacentes iguais) e aos papagaios (i.e. não podem ser cíclicos) se se pretender excluir os papagaios rectos dos quadriláteros cíclicos e dos papagaios.

Quadrilátero cíclico

Papagaio recto

Papagaio

Figura 5

Algumas funções importantes da classificação hierárquica

Isto traz-nos, finalmente, à questão principal deste documento, nomeadamente, qual é o valor ou função da classificação hierárquica? Algumas das funções mais importantes são:

• Conduz a definições de conceitos e a formulações de teoremas mais económicas • Simplifica a sistematização dedutiva e conduz ao aparecimento de propriedades de

conceitos mais específicos • Proporciona muitas vezes um esquema conceptual durante a resolução de problemas • Sugere, algumas vezes, definições alternativas e novas proposições • Proporciona uma perspectiva global muito útil

Cada uma delas será discutida em maior detalhe.

Papagaio Quadrilátero perpendicular

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Definições económicas e formulação de teoremas

A economia nas definições e na formulação de teoremas é, provavelmente, uma das mais importantes vantagens da classificação hierárquica. Como já anteriormente vimos com a classificação de paralelogramos, uma definição hierárquica é mais curta do que uma definição por partição, a qual tem de incluir propriedades adicionais para excluir os losangos, quadrados e rectângulos. Para outro exemplo, considere-se a definição por partição para o trapézio isósceles. (ver Figura 6).

CruzadoConvexo

B C

A D

C B

A D

Figura 6

Uma definição hierárquica que inclua os rectângulos (quadrados) como casos especiais seria, por exemplo, dizer que um trapézio isósceles é um qualquer quadrilátero com um eixo de simetria que corta (pelo menos) um par de lados opostos. (Note-se que é então necessário subdividir os trapézios isósceles em convexos e cruzados). Uma definição por partição, por outro lado, que exclua os rectângulos e os quadrados, teria de ter a condição adicional de não poder ter ângulos rectos. A classificação por partição torna também, muitas vezes, complicada e ineficiente a formulação de certos teoremas. Considere-se, por exemplo, as seguintes duas formulações de resultados bem conhecidos de um ponto de vista partitivo: Se ligarmos consecutivamente os pontos médios E, F, G e H dos lados de um quadrilátero ABCD, então EFGH é um paralelogramo, um rectângulo, um losango ou um quadrado. O ângulo externo de um quadrilátero cíclico, trapézio isósceles, papagaio recto, rectângulo ou quadrado é igual ao ângulo interno oposto. Simplificação da sistematização dedutiva

Ao classificar (definir) o conceito A como subconjunto (caso especial) do conceito B, torna-se desnecessário repetir qualquer das demonstrações das propriedades do conceito B para o conceito A, já que estão automaticamente implícitas para A, dada a inclusão hierárquica. Por exemplo, ao classificar um losango como um papagaio, todos os teoremas anteriormente demonstrados para os papagaios podem ser imediatamente aplicados aos losangos (ou aos quadrados). Por outras palavras, não é necessário demonstrar, por exemplo, que as diagonais de um losango (ou quadrado) são perpendiculares, uma vez que é uma propriedade dos papagaios facilmente demonstrável.

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Por outro lado, se os losangos (e os quadrados) tivessem sido excluídos dos papagaios, teríamos de provar de novo, a partir da definição utilizada, seja ela qual for, que essa propriedade era também verdadeira para os losangos (e para os quadrados), Para além da economia de definição ou de formulação, a classificação hierárquica resulta também num sistema dedutivo económico.

F

G

H

E

Figura 7

Um esquema conceptual útil na resolução de problemas

A inclusão de classes hierárquicas é, muitas vezes, útil na resolução de problemas; em particular para demonstrações adicionais. Por exemplo, suponhamos que queremos provar que um papagaio com um par de lados opostos paralelos é um losango. Usando a perspectiva hierárquica que o losango é a intersecção de papagaios e paralelogramos, é então suficiente demonstrar que a figura é um paralelogramo, uma vez que qualquer papagaio com os dois pares de lados opostos paralelos tem de ser um losango. Um outro exemplo, particularmente elucidativo, envolve um caso particular do teorema de Von Aubel. O teorema de Von Aubel estabelece que se construirmos quadrados nos lados de um qualquer quadrilátero, então os segmentos de recta que ligam os centros dos quadrados opostos são iguais e perpendiculares. [A demonstração está feita em Yaglon, 1962: 95-96] Um caso especialmente interessante é o de, se construirmos quadrados nos lados de um paralelogramo, então os centros desses quadrados formam também um quadrado (ver Figura 7). Embora haja muitas formas diferentes de provar este caso especial, uma maneira elegante que utiliza a classificação hierárquica, é simplesmente mostrar que o quadrilátero EFGH é um paralelogramo, uma vez que o quadrado é o único paralelogramo com as diagonais iguais e perpendiculares (a última resulta de Von Aubel directamente). Definições alternativas e novas proposições

A relação hierárquica entre conceitos pode, por vezes, sugerir definições alternativas e novas proposições. Se, por exemplo, o conceito A é a intersecção de dois outros conceitos B e C, então tem de possuir todas as propriedades de ambos os conceitos B e C. Considerando agora vários

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subconjuntos do conjunto total das propriedades do conceito A, podem ser sugeridas definições alternativas, ou novas proposições. Por exemplo, uma vez que qualquer trapézio isósceles é cíclico, o trapézio isósceles pode ser considerado a intersecção entre o trapézio e os quadriláteros cíclicos. Isso sugere imediatamente que um quadrilátero cíclico com pelo menos um par de lados opostos paralelos é um trapézio isósceles (ver Figura 8a).

Figura 8

Analogamente, uma vez que as diagonais de um trapézio isósceles são iguais, sugere-se a seguinte definição (ou proposição) alternativa:

Um trapézio isósceles é um quadrilátero cíclico com diagonais iguais (ver Figura 8b). Ter presente a classificação hierárquica, pode, por vezes, permitir a generalização de certos resultados. Suponha, por exemplo, que descobríamos acidentalmente por experimentação que, se unirmos os centros dos quadrados sobre os lados de qualquer triângulo ao vértice oposto do triângulo, os segmentos de recta obtidos são concorrentes (ver Figura 9a). Uma vez que todos os quadrados são semelhantes, e rectângulos especiais, poderíamos conjecturar que o mesmo se verificaria para rectângulos semelhantes, como na Figura 9b. (A demonstração em que se baseia e a sua generalização é feita em De Villiers, [1989].) Analogamente, na Figura 7, unindo os centros (ou outros pontos correspondentes) de (quaisquer) figuras semelhantes desenhadas sobre os lados de um paralelogramo base, obtém-se um paralelogramo.

E

F

D

E

F

DA

CB B C

A

Figura 9

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Uma perspectiva global útil

A classificação hierárquica dá uma perspectiva global útil que pode conduzir a uma perspectiva mais coesa ao sublinhar as relações entre conceitos, e por isso também uma melhor retenção. Além disso, é esteticamente mais agradável e mais perceptivo ver como as várias intercepções entre conceitos mais gerais produzem as propriedades dos conceitos mais específicos. Por exemplo, uma vez que os losangos são a intersecção entre os papagaios e os paralelogramos, resulta imediatamente das propriedades das diagonais dos papagaios e paralelogramos que as diagonais do losango são perpendiculares e se cortam ao meio. Analogamente, uma vez que os rectângulos são a intersecção entre os paralelogramos e os trapézios isósceles, segue-se imediatamente que o rectângulo deve ter ângulos opostos iguais (propriedade do paralelogramo) assim como ângulos adjacentes iguais (propriedade do trapézio isósceles), dos quais se obtém a propriedade, que nos é tão familiar, de que todos os seus ângulos são iguais. Do mesmo modo, o rectângulo herda diagonais iguais, do trapézio isósceles, assim como diagonais que se bisectam, dos paralelogramos. Alguns comentários breves sobre o ensino da classificação hierárquica dos quadriláteros

Infelizmente, muitos professores e autores de livros de texto ainda parecem manter a perspectiva de que só a classificação hierárquica é matematicamente aceitável, enquanto a classificação por partição é matematicamente ilógica e, por conseguinte, inaceitável. Contudo, como foi acentuado neste documento, a classificação por partição é igualmente aceitável e frequentemente aplicável em métodos matemáticos. A única razão para a preferência convencional pela classificação hierárquica dos quadriláteros reside na sua maior funcionalidade, como evidenciado anteriormente. A maioria dos livros e dos professores, contudo, ignoram completamente a discussão deste aspecto fundamental, impondo simplesmente a classificação hierárquica e as suas definições aos alunos, para as quais os alunos têm pouca ou nenhuma compreensão funcional. Muitos estudos da teoria de Van Hiele nos últimos anos mostraram claramente que muitos estudantes têm problemas com a classificação hierárquica dos quadriláteros [e.g. Mayberry, 1981; Usiskin, 1982; Burger and Shaughnessy, 1986, Fuys, Geddes & Tischler, 1988]. Pesquisas do autor e de alguns dos seus alunos [e.g. Malan, 1986; De Villiers & Njisane, 1987; Smith, 1989; De Villiers, 1987, 1990] indicaram ainda que algumas das dificuldades das crianças com a inclusão da classe hierárquica (especialmente crianças mais velhas) não reside necessariamente na lógica da inclusão enquanto tal, mas frequentemente com o significado da actividade, quer linguística, quer funcional; linguística no sentido da interpretação correcta da linguagem usada para a inclusão na classe, e funcional no sentido de perceber por que é mais útil do que a classificação por partição. Nos Nível 1 (Visualização) e Nível 2 (Exploração) de Van Hiele o uso dos micro-mundos computacionais tais como Logo Geometry [e.g. ver Battista & Clements, 1992], ou software dinâmico tais como o Cabri ou o Sketchpad, oferecem grande potencial por permitirem a muitas crianças ver e aceitar a possibilidade de inclusões hierárquicas (por exemplo, deixando que construam um quadrado com o procedimento de construção do rectângulo no Logo, ou deixando-as arrastar os vértices de um paralelogramo dinâmico no Cabri ou no Sketchpad para o transformar num rectângulo, losango ou quadrado). Para que uma classificação hierárquica de quadriláteros tenha sentido para os alunos no Nível 3 de Van Hiele (ordenação) é também essencial que uma negociação apropriada do significado linguístico já tivesse tido lugar anteriormente. A partir de entrevistas individuais das crianças e

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no contexto da sala de aula, o autor verificou que muitos tinham dificuldade com o significado da palavra “é ” numa frase como “o quadrado é um rectângulo”. Pareciam interpretá-lo como significando que o quadrado “é equivalente a” ou “o mesmo que” um rectângulo, e portanto (correctamente) rejeitando a afirmação como ridícula ou falsa. Usando o adjectivo “especial” por exemplo, “o quadrado é um rectângulo especial”, ajudou muitos alunos a compreender que o que realmente se pretende dizer é que um é subconjunto do outro. Fazer referência a situações análogas do dia-a-dia, onde um objecto pode ser visto como um conjunto particular de um conjunto mais vasto e, por conseguinte, tendo dois diferentes “nomes” ( e.g. “um mamífero é um

vertebrado” e “um cavalo é um mamífero e um vertebrado”) foi também útil. Em segundo lugar, é absolutamente vital no Nível 3 de Van Hiele que a negociação de um significado funcional tenha também lugar; isto é, devem ser dadas oportunidades suficientes e actividades adequadas para a discussão do valor ou função da classificação hierárquica. Por exemplo, o autor achou muito útil permitir aos alunos formular, comparar e escolher primeiro as suas próprias definições e classificações dos quadrados, rectângulos e losangos; muitos deles, espontaneamente, preferiram a partição. Desafiando estes alunos a continuar a formular definições por partição para quadriláteros cada vez mais gerais, e comparando-as com as alternativas hierárquicas, em breve começaram a compreender e apreciar a economia desta última. Insistindo simultaneamente que demonstrassem todas as propriedades dos quadriláteros classificados por partição, e pedindo-lhes para comparar criticamente o seu sistema de definições com um sistema dedutivo baseado numa classificação hierárquica, a maior parte dos alunos viram a conveniência da inclusão hierárquica e fizeram a mudança para ela. A ideia que aos alunos não devem ser dadas definições e classificações já prontas, mas que devem participar activamente no processo de definir e classificar, e comparar criticamente alternativas, é fortemente apoiada pela epistemologia e teoria da aprendizagem construtivista. Em vez de simplesmente ignorar ou rejeitar a classificação por partição dos quadriláteros feita pelas crianças, deveríamos abordar a questão com muito mais empatia e reconhecer que a sua abordagem é uma tentativa racional e com significado que faz sentido. É bastante alarmante ver tantos professores e até pesquisadores que defendem o construtivismo apenas de boca (i.e. proclamam a autonomia da criança na aprendizagem e construção da matemática, mas quando se trata da classificação dos quadriláteros em nada a aplicam). Nota [1] Este documento foi apresentado na PME 17, Universidade de Tsukuba, Japão, 18-23 de Julho de 1993. A participação nesta conferência foi possível com o patrocínio do Fundo para Pesquisa e Desenvolvimento (FDR) do Conselho de Pesquisa de Recursos Humanos (HSRC), Pretória, África do Sul. Os pontos de vista expressos neste documento são do autor e não necessariamente do HSC. Referências References

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