Quadratura de Gauss-Legendre

Integração Numérica

A idéia da Quadratura de Gauss-Legendre é determinar fórmulas de integração que sejam exatas para polinômios de grau ≤ 2n - 1.

Para isso, relaxa-se o critério de Newton-Cotes de que os pontos de integração sejam igualmente espaçados.

Os pontos podem ser escolhidos de tal maneira que a área do trapézio seja a mais próxima possível da área sob a curva.

Graficamente:

a b

CD

. .A.

B.

Então, considerando dois pontos (n=2), o trabalho é determinar uma fórmula do tipo:

De modo que ela seja exata para polinômios de grau ≤ 3.

Para facilitar os cálculos, façamos uma mudança de variável de x para t, no intervalo [-1,1], representando em:

Dizer que a fórmula é exata para polinômios de grau ≤ 3 equivale dizer que a fórmula é exata para

Assim:

I

II

III

IV

Podemos reunir I, II, III e IV em um sistema não linear de ordem 4:

Cuja solução é:

Para generalizar o resultado para o intervalo [a, b], precisamos entender como x se relaciona com t:

x

ta

b

-1 1

(-1, a)

(1,b)

Para relacionar x com t, posso definir uma reta passando pelos pontos (-1, a) e (1, b), Então, tomando a equação da reta, temos que:

Para relacionar x com t, posso definir uma reta passando pelos pontos (-1, a) e (1, b), Então, tomando a equação da reta, temos que:

De modo que:

Assim:

Exemplo: Calcular usando a quadratura de Gauss Legendre com dois pontos.

Exemplo: Calcular usando a quadratura de Gauss Legendre com dois pontos.

Fórmula Geral

n i ti Ai

1 1 0 22 2;1 ±0,5774 1

3 23;1

0±0,7746

0,8880,555

4 3;24;1

±0,3400±0,8611

0,6520,348

53

4;25;1

0±0,538±0,906

0,5680,4780,237

64;35;26;1

±0,239±0,661±0,932

0,4680,3610,171