1

PSI-2221 – PRÁTICAS DE ELETRICIDADE E ELETRÔNIC A I

Experiência 11 – Conceitos de Impedância e Admitância

Edição 2014

I.S./01 VHN/04/05/06

MTMS/07/09/10 MDM/09/10

DC/09

1 – Objetivos

• Apresentar os conceitos de impedância e admitância.

• Realizar medidas de defasagem.

• Medir a impedância de componentes discretos.

• Verificar a variação da impedância com a frequência.

• Usar essa variação para alterar sinais: filtragem e resposta em frequência.

2 – Definições e Fórmulas

2.1 – Impedância e Admitância Complexas

Em corrente contínua, CC, a resistência de um dispositivo linear de dois terminais é

definida como a relação entre a tensão sobre o dispositivo e a corrente que o atravessa, de

acordo com a lei de Ohm R = V / I. Essa quantidade é chamada de resistência CC, denotada

como RCC. Em corrente alternada (sinais senoidais), CA, a relação entre tensão e corrente

deve ser feita usando fasores e resulta, em geral, um número complexo. O equivalente CA da

lei de Ohm na representação cartesiana é $ $V I Z R jX= = + , sendo que Z é chamada de

impedância do dispositivo e $V e $I são os fasores da tensão e da corrente em seus terminais,

respectivamente. A parte real R é o componente resistivo ou dissipativo da impedância

(algumas vezes escrito como Rca). A parte imaginária X é o componente reativo da

impedância, também chamado de reatância e representa a parte de armazenamento de energia

da impedância. Ambas quantidades R e X são função da frequência. Em CC, X é igual a

zero ou infinito.

A recíproca da resistência em CC é a condutância em CC, e a recíproca da impedância

é chamada admitância, Y. A admitância é também uma grandeza complexa e tem uma parte

real chamada de componente condutivo, G, e uma parte imaginária chamada de componente

2

susceptivo, ou susceptância, B. Note que G e B não são os recíprocos de R e X,

respectivamente, pois:

2 2 2 2

1 1 R XY G jB j .

Z R jX R X R X= + = = = −

+ + + (1)

Como todas as grandezas envolvidas dependem da frequência, um dado valor de

qualquer uma delas não terá sua especificação completa a menos que a frequência da medida

seja conhecida.

2.2 – Forma Polar

A impedância pode ser dada nas formas cartesiana e polar; as relações entre essas

representações são:

θθθ je ) jsen cos ( Z jXRZ Z=+=+= , (2)

em que a magnitude da impedância é dada por Z R X2 2= + e a fase da impedância por

θ = arctan(X,R).

A representação na forma polar será útil para introduzirmos aspectos práticos relativos

às definições apresentadas. A uma dada frequência, suponha que um dado dispositivo

apresente uma impedância genérica Z Z ej= θ . Dessa representação, temos que os fasores

da tensão e da corrente aplicadas ao dispositivo obedecem a $ $V I Z e j= θ . Note que, $V

e $I são grandezas complexas: jˆ ˆV V e α= e $ $I I e j= β . Essas igualdades nos

dizem, em sua representação fasorial [1] que, para sinais senoidais e a uma determinada

frequência f, o sinal de tensão vale ) tf 2cos(V v(t) απ += e o sinal de corrente vale

) t f 2 ( cos I i(t) βπ += . Dessa forma,

ZV

I=

$

$ e θ α β= − . (3)

Isto é, a magnitude da impedância pode ser obtida pela razão entre os valores da amplitude da

tensão e da corrente senoidais sobre o dispositivo, e a fase da impedância é obtida pela

medida de defasagem entre os sinais senoidais de tensão e de corrente no dispositivo. O

Problema 1 a seguir ilustra o que foi dito.

3

Problema 1: Determine o valor da impedância do dispositivo cujas formas de onda de

tensão e de corrente medidas são dadas pela Figura 1.

Figura 1 – Tensão e corrente, em função do tempo, em um dispositivo

Analisando a Figura 1, vemos que os sinais têm período de 1 ms, correspondendo a

uma frequência f = 1 kHz, a frequência de medida. Temos também que:

-j 3ˆv (t) 2 cos (2 f t - /3 ) V 2 e ππ π= ⇒ =

2-j e 0,0015 I ) 2 - t f (2 cos 0,0015 (t) i πππ =⇒=

Portanto, em 1 kHz,

2

Z 13330,0015

= ≅ Ω e 6

2

- - 3

- πππθ =

= rad.

Note que nesse problema o sinal de tensão v (t) cruza o zero antes do sinal de corrente

i(t) e portanto, a tensão está adiantada em relação à corrente. Essa informação é importante e

nos diz que o dispositivo apresenta características indutivas. Sabemos que um indutor ideal

com indutância L possui impedância ( reatância ) Z j f L f LeLj o

= =2 2 90π π .

Caso v (t) estivesse atrasado em relação a i (t) o dispositivo teria características

capacitivas. Sabemos também que um capacitor ideal, com capacitância C, apresenta

impedância ( reatância ) o-j90 -1-1

C e ) C f 2 ( ) C f 2 (j Z ππ == . Quando v (t) está em fase

com i (t) o dispositivo é resistivo.

4

O Problema 1 sugere que com um voltímetro, um amperímetro e um osciloscópio

(para medir a defasagem entre os sinais de tensão e de corrente) poderemos determinar a

impedância de um dado dispositivo. Existem várias técnicas de medição de impedâncias que

prescindem do uso de um osciloscópio, como por exemplo [ 3, 4, 5 ]:

• método dos três voltímetros,

• método do wattímetro,

• pontes de impedância ( Wheatstone, Maxwell, Hay, Wien, Schering, etc. ).

2.3 – Resposta em frequência

Se um circuito linear for alimentado com um sinal senoidal, em regime permanente,

sua saída também será um sinal senoidal com a mesma frequência da entrada, mas poderá ter

a amplitude e a fase alteradas. O efeito que um circuito tem sobre a amplitude e a fase do sinal

senoidal de entrada para cada frequência é denominado resposta em frequência. Ela é definida

como a razão entre o fasor do sinal senoidal de saída e o fasor do sinal senoidal de entrada em

função da frequência ω. Por exemplo, considere o circuito da Figura 2.

Figura 2 – Uso da variação de uma impedância para alterar sinais.

Se a tensão de entrada eg(t) for senoidal, a tensão de saída v1(t) em regime permanente

também será senoidal, e seu fasor será dado por

A resposta em frequência desse circuito será

sendo seu módulo dado por

1 ( )

( ) . (5)ˆ ( )

g

V Z jG j

R Z jE

ωω

ω= =

+

v1(t)

A

eg(t)

R

B

i(t)

Impedância Z(jω)

~

^

1 ( )( ) = , (4)

ˆ ( )g

V Z jG j

R Z jE

ωωω

=+

1

( )ˆ ˆ .( ) g

Z jV E

R Z j

ωω

=+

5

É importante observar que como a entrada e a saída desse circuito são tensões, o

módulo da resposta em frequência é adimensional. Caso a entrada fosse uma corrente e a

saída fosse uma tensão, o módulo teria dimensão de impedância (Ω , no Sistema Internacional

de Unidades). É comum representar a resposta em frequência de um circuito graficamente,

exibindo separadamente os gráficos do módulo e da fase de ( )G jω em função da frequência.

Note que como ( )Z jω depende da frequência, tanto a amplitude quanto a fase de 1V

irão variar se a frequência do sinal de entrada eg(t) variar, mesmo que o fasor Êg permaneça

constante. Essa dependência pode ser usada para alterar sinais de maneira controlada. O

interesse dessa observação aparece quando a tensão eg(t) deixa de ser uma simples senóide

como é ilustrado no Problema 2 a seguir.

Problema 2: Suponha que você precise construir um oscilador senoidal, ou seja, um

circuito que tenha como saída uma tensão senoidal de uma certa frequência. É fácil

construir um oscilador que gere uma onda quadrada usando poucos circuitos integrados

de baixo custo. Mas como obter uma onda senoidal a partir de uma onda quadrada?

Para resolver esse problema, deve-se notar que um sinal periódico s(t) qualquer, com

período T, é igual a uma soma de senóides, ou seja,

0 1 1 2 2 3 3

2 2 2( ) cos cos 2 cos 3 (6)s t A A t A t A t

T T T

π π πϕ ϕ ϕ = + + + + + + +

L

Cada função periódica terá seus próprios valores para An, ϕn e T. Conhecendo esses valores,

pode-se descobrir informações que não são aparentes no gráfico de s(t). Essa representação de

um sinal periódico como uma somatória de co-senos é chamada Série de Fourier.

A somatória que descreve ( )s t é composta de parcelas com frequências angulares

iguais a 0, 2π/T, 4π/T, 6π/T, ... Cada parcela é uma harmônica do sinal ( )s t . A parcela

constante A0 é denominada componente contínua, a parcela com frequência igual à do sinal

(ou seja,

+ 11

2cos ϕπ

T

tA ) é chamada componente fundamental ou primeira harmônica de

s(t), a parcela correspondente ao dobro da frequência é a segunda harmônica, e assim por

diante. A frequência do sinal é f0=1/T em hertz ou ω0=2π/T em radianos/segundo.

A série de Fourier mostra que uma tensão ( )qe t em forma de onda quadrada com

amplitude A (valor pico-a-pico) como a da Figura 3 (a) é composta pela soma de infinitas

senóides, como mostra a expressão seguinte

6

1

2 2 2 2 2 2( ) sen sen 3 sen 5

3 5

2 1 2 (2 1) sen . (7)

2 1

q

k

A A Ae t t t t

T T T

A kt

k T

π π ππ π π

ππ

∞

=

= + + +

− = − ∑

L

Na expressão (7), o número da harmônica é n = 2k – 1. Para a onda quadrada, todas as

harmônicas pares (frequências 2f0, 4f0, 6f0, ...) são nulas. Por isso, a somatória contém só as

harmônicas ímpares.

Construindo um circuito cuja resposta em frequência tenha ganho muito pequeno para

todas as harmônicas, exceto para a fundamental e colocando uma onda quadrada eq(t) em sua

entrada, você terá uma onda senoidal ( )se t na saída1! Isso será verificado na parte prática, no

item 3.3.1.

Cabe observar que uma onda senoidal na saída do circuito também pode ser obtida

quando ele é alimentado com uma onda triangular. Isso acontece pois a série de Fourier da

onda triangular é similar à da onda quadrada. Uma onda triangular ( )te t com amplitude A

(valor pico-a-pico) como a da Figura 3 (b) tem série de Fourier dada por

2 2

1

2 21

4 2 (2 1) 4 2( ) sen sen 3

9

4 ( 1) 2 (2 1) sen . (8)

(2 1)

t

k

k

A k Ae t t t

T T

A kt

k T

π ππ π

ππ

−∞

=

− = − +

− − = − ∑

L

Note que como acontece com a onda quadrada, todas as harmônicas pares da onda triangular

(frequências 2f0, 4f0, 6f0, ...) são nulas.

As Figuras 4 e 5 mostram a soma dos 2, 3 e 10 primeiros termos das expressões (7) e

(8) para a onda quadrada e a onda triangular, respectivamente.

Figura 3 – Ondas quadrada (a) e triangular (b).

1 Note que essa não é a maneira mais eficiente de se gerar uma onda senoidal e foi usada aqui para efeitos didáticos.

a) b)

A / 2 A / 2

− A / 2 − A / 2

7

Figura 4 – Formação de uma onda quadrada a partir de suas harmônicas com 2A = .

Somando as senóides indicadas nos gráficos à esquerda, obtêm-se os gráficos à direita. Note

que todas as harmônicas pares são nulas neste caso.

8

Figura 5 – Formação de uma onda triangular a partir de suas harmônicas com 2A = .

Somando as senóides indicadas nos gráficos à esquerda, obtêm-se os gráficos à direita. Note

que também para a onda triangular, todas as harmônicas pares são nulas.

9

Como explicado anteriormente, o fato da impedância ser em geral dependente da

frequência (senoidal) pode ser usado para alterar sinais de maneira controlada. Essa alteração

é chamada de filtragem. Para ilustrar isso, suponha que um circuito ressonante com frequência

de ressonância 0 0f 1/ / 2T ω π= = seja alimentado por um gerador de corrente que fornece

uma onda quadrada ( )qi t com valor de pico-a-pico A e frequência f0, como mostrado na

Figura 6. Como o circuito ressonante “responde” bem para sinais senoidais de frequências

próximas a f0 e atenua sinais senoidais de frequências diferentes de f0, o sinal de saída será

aproximadamente um sinal senoidal de frequência f0. Esse fato pode ser entendido, ao se

considerar a série de Fourier da onda quadrada dada pela expressão (7), como ilustra a Figura

7. A resposta em frequência do circuito na frequência f0 é maior que nas demais frequências, o

que faz com que o componente da série de Fourier da onda quadrada na frequência

fundamental f0 se sobressaia em relação aos demais. Dessa forma, a série de Fourier do sinal

de saída do circuito é aproximadamente composta pelo componente da fundamental da onda

quadrada multiplicado pelo ganho da resposta em frequência do circuito em ω0, ou seja,

( )1 1 0v (t) sen tB ω≈ , (9)

sendo ( ) ( )1 0 1 0

2.

AB G j A G jω ω

π= =

Observe que a frequência da onda quadrada poderá ser diferente da frequência de

ressonância f0 do circuito. Neste caso, o circuito ressonante “filtrará”, isto é, deixará passar

apenas a(s) harmônica(s) do sinal de entrada que estiver(em) próxima(s) a f0 e a forma de

onda da saída continuará sendo aproximadamente uma senóide.

Figura 6 – Circuito ressonante alimentado com uma onda quadrada com frequência igual à

frequência de ressonância ω0.

T

qi (t)

t / 2A

/ 2A−

1v (t)

T

1v (t)

t

1B−

1B

0ω

|G(j )|ω

ω

Circuito ressonante

10

Figura 7 – Circuito ressonante alimentado com uma onda quadrada com frequência igual à

frequência de ressonância ω0; representação das séries de Fourier (SF) da entrada e da saída.

3 – Parte Prática

Toda a parte prática da experiência será baseada no esquema elétrico da Figura 8 e o

procedimento experimental para a determinação do valor da impedância será fundamentado

na solução do Problema 1 da página 3. O dispositivo para o qual desejamos determinar o

valor da impedância aparece com a denominação “Carga” e poderá ser apenas um resistor ou

uma combinação de componentes passivos ( resistores, indutores, e/ou capacitores ).

A frequência da medida será definida pelo gerador de sinais senoidais, Eca (que possui

resistência interna de 50Ω). A função da resistência Rs é de fornecer ao canal 2 do

osciloscópio um sinal proporcional e em fase com a corrente elétrica i(t) que atravessa a

carga, desde que o canal 2 do osciloscópio esteja invertido, já que 2 sv R = - i(t) devido à

convenção do gerador.

Usaremos nesta experiência um gerador de funções, cuja saída tem normalmente um

terminal aterrado através da tomada. Esse gerador será conectado então à rede através de um

transformador de isolação que tem relação de espiras 1:1. O primário é ligado à rede de

alimentação e o secundário tem os dois terminais flutuando, isto é, nenhum está aterrado. Ao

se conectar a tomada do gerador ao secundário do transformador, sua saída estará flutuante.

Dessa forma, o sinal de saída do gerador não estará aterrado. O ponto de terra do circuito será

definido pelo terminal de terra da ponta de prova do osciloscópio (que poderá ser qualquer

ponto de conexão da placa didática, e não necessariamente os pontos “GND” e “ T1” ).

O canal 1 do osciloscópio apresenta a forma de onda da tensão v1(t) sobre a carga.

Portanto, da tela do osciloscópio poderemos obter os valores desejados: valor pico-a-pico da

0ω

|G(j )|ω

ω

Circuito ressonante

0/ω ω

2A

π

1 3 5 7

SF de qi (t)

qi (t)

1 3 5 7

SF de 1v (t)

0/ω ω

1v (t)

1B

11

tensão, V1pp , amplitude pico-a-pico da corrente, Ipp, (vamos usar valores pico-a-pico, que são

mais fáceis de serem medidos no osciloscópio), e a defasagem entre tensão e corrente θ,

permitindo o cálculo da impedância na frequência da medida.

Sabendo que um um sinal senoidal de amplitude A tem valor eficaz A / 2 (veja

experiência 5), o valor fornecido pelo amperímetro “A” na Figura 8 corresponde ao valor

eficaz da corrente elétrica através da carga, que é dado por $I 2 . Esse valor também

pode ser obtido através de manipulação matemática com o valor pico-a-pico do sinal no canal

2 do osciloscópio, V2pp , e o valor de Rs, ou seja,

s

2ppmax R 2

V I I == ⇒ Leitura do amperímetro = 2ppmax

s

VI

2 2 2 R= .

Figura 8 – Esquema elétrico do circuito básico

Nas seções seguintes estudaremos o comportamento do circuito elétrico da Figura 8

para carga resistiva e carga ressonante. A carga ressonante será constituída por um indutor e

um capacitor em paralelo. Atente que os valores dos componentes a serem utilizados

encontram-se definidos na Seção 4.

As tabelas 2 e 7 do relatório deverão ser preenchidas com valores medidos e

calculados, em que

f : frequência do sinal senoidal,

V1pp : tensão pico-a-pico no canal 1,

V2pp : tensão pico-a-pico no canal 2,

A : corrente lida no amperímetro,

$ maxV V= 1 : amplitude da tensão na carga,

$ maxI V R s= 2 : amplitude da corrente na carga,

Z = $ $V I : magnitude da impedância da carga,

θ : defasagem entre sinal de tensão e corrente na carga.

50Ω v1(t)

A

A

Eca

Rs

B

i(t)

carga

Osciloscópio

1 2

v2(t) ~

Resistência interna do gerador

12

A frequência f pode ser obtida do osciloscópio ou lida no painel do amperímetro.

V1pp e V2pp podem ser medidos diretamente no osciloscópio. O parâmetro θ, como visto no

Problema 1, é a fase da impedância da carga e corresponde à defasagem entre os sinais de

tensão e de corrente na carga. Esse parâmetro pode ser facilmente obtido da representação

desses sinais na tela do osciloscópio por

o360 T

t )( ∆±=θ , em graus (10)

ou πθ 2 T

t )( ∆±= , em radianos (11)

sendo que T = 1/f é o período dos sinais em segundos e ∆t é o atraso, em segundos, entre

os sinais ( 0 ≤ ∆t ≤ T/2 ). Se o sinal de tensão estiver adiantado em relação ao sinal de

corrente, a carga será indutiva e θ > 0. Em contrapatida, se o sinal de tensão estiver atrasado

em relação ao sinal de corrente, a carga será capacitiva e θ < 0. Na Figura 9, o sinal v(t)

está adiantado de ∆t = 83,3 µs em relação ao sinal i(t). Como ambos os sinais têm T = 1

ms, utilizando as expressões (10) e (11) resulta θ = + 30o ou π /6 rad.

Figura 9 - Diferença ∆t entre dois sinais de período T

13

3.1 – Procedimento para carga resistiva

Antes de montar o circuito da Figura 10, meça com o multímetro o valor da

resistência da carga R e da resistência Rs1 e preencha a Tabela 1 do relatório.

Agora, monte o circuito esquematizado na Figura 10 (lembre-se de inverter o canal 2

para fazer corretamente as medidas de fase). Ajuste o gerador de sinais para fornecer entre

os nós A e B uma tensão senoidal de 4 V pico-a-pico (com a carga já conectada ao

circuito) com frequência f = 1 kHz. Para fazer essa medida, troque momentaneamente o

terra do osciloscópio para o ponto A e faça a medida com o canal 1. Não se esqueça de voltar

a(s) garra(s) de terra para o ponto indicado na Figura 10. Obtenha os sinais na tela do

osciloscópio, os quais deverão estar estáveis. Para diminuir a influência de ruídos, recomenda-

se que o recurso de cálculo de médias dos sinais mostrados na tela do osciloscópio seja

ativado. Faz-se isso através da tecla “ACQUIRE” e da escolha dos menus “Média” e

“Médias = 128”. Utilize acoplamento CA. Nota: Ao se usar o recurso “AUTOSET ” do

osciloscópio, o equipamento desabilita a inversão do canal 2.

Figura 10 – Circuito com carga resistiva

Preencha a Tabela 2 do relatório com os valores medidos e calculados para os valores

de frequência já indicados na tabela e interprete os resultados.

3.2 – Procedimento para carga ressonante

A carga ressonante será composta pela associação em paralelo de uma bobina e um

capacitor. Antes de montar o circuito da Figura 11, meça com o multímetro o valor da

resistência Rs2, o valor da capaciância C e preencha a Tabela 5 do relatório. O indutor tem

valor nominal de L = 600 µH e pode ser medido com um medidor de impedâncias, com o

professor.

50Ω

A

A

Eca

Rs1=47Ω

B Osciloscópio

1 2

~ R

Resistência interna do gerador

v1(t)

v2(t)

14

Agora, monte o circuito esquematizado na Figura 11. Ajuste o gerador de sinais para

fornecer uma tensão senoidal com aproximadamente 15V pico-a-pico, com frequência

-10 ) C L 2 ( f π= . Como você já pôde comparar as medidas do amperímetro com as do

osciloscópio no item 3.1, não usaremos mais o amperímetro. Use agora um resistor

Rs2 =10kΩ para medir a corrente. Nesse item, use o canal 2 para controlar o disparo do

osciloscópio (botão TRIGGER, opção – à esquerda – Origem: CH2).

Antes de mais nada, meça o valor pico-a-pico VBA da tensão do gerador VBA(t),

mudando a posição do terra, como feito no item 3.1. Cuidado para não deixar os terras das

pontas de prova em lugares diferentes do circuito (se fizer isto, você vai estar curto-

circuitando o trecho do circuito entre as duas garras de terra).

Figura 11 – Circuito para carga ressonante

Preencha a Tabela 6 do relatório com os valores de f0, f1 e f2, sendo f1 a frequência

para a qual a defasagem entre os sinais de tensão e de corrente na carga é nula e f2 a

frequência em que a amplitude V1pp é máxima. Em f1, meça também os valores da tensão

pico-a-pico dos canais 1 e 2 do osciloscópio e calcule a relação $V / $I . Em seguida,

preencha a Tabela 7 do relatório com os valores medidos e calculados para as frequências já

indicadas na tabela e interprete os resultados.

Depois de feitas as medidas e os cálculos, trace na grade milimetrada do Gráfico 1 a

curva de Z = $V / $I em função da frequência, obtida da Tabela 7. No mesmo gráfico,

desenhe também a curva do módulo da impedância de um circuito LC (com os valores de L e

C do circuito da Figura 11). Ainda no mesmo gráfico, desenhe a curva do módulo da

L 50Ω

A

VBA(t) ≈ eg(t)

Rs2=10kΩ

B Osciloscópio

1 2

~ L C

eg(t)

v1(t)

v2(t)

15

impedância de um circuito RLC paralelo (valores de L e C do circuito da Figura 11, mas

calculando o valor de R pela relação $V / $I , na frequência f1).

3.3 - Resposta em frequência

No circuito da Figura 11, considere agora que a tensão fornecida pelo gerador de sinais

é a entrada e a tensão v1(t) é a saída. Como Rs2 é muito maior que a resistência interna de 50Ω

do gerador, a tensão entre os pontos B e A, VBA(t) é aproximadamente igual a eg(t). Dessa

forma, a resposta em frequência do circuito pode ser estimada como

^

1 1^

ˆ( ) ,

BAg

V VG j

VEω = ≈ (12)

sendo o seu módulo dado por

1 1ˆ ˆ

( ) . ˆ ˆ

g BA

V VG j

E Vω = ≈ (13)

Preencha a Tabela 8 do relatório com os valores de |G(jω)|, usando os valores já

medidos de f e V1pp, registrados na Tabela 7. Note que VBA é o valor da amplitude da tensão

VBA(t) medido no item 3.2 e pode ser considerado constante com a variação da frequência.

Trace na grade milimetrada do Gráfico 2 a curva de |G(jω)| em função da frequência.

3.3.1 Efeito do circuito ressonante sobre uma onda quadrada Vamos ver o efeito do circuito da Figura 11 sobre uma onda quadrada. Para isso, a

série de Fourier do sinal de saída v1(t) será estimada em três situações distintas,

correspondentes a três frequências da onda quadrada: f2, f2/3 e f2/5.

Você pode observar da Tabela 8 que o maior ganho do circuito é para f = f2, e que o

ganho diminui à medida que a frequência de entrada se afasta do valor f2. Isto significa que o

circuito da Figura 11 com a carga LC ressonante “responde” bem para sinais senoidais de

frequências próximas a f2 e atenua sinais senoidais de frequências diferentes de f2.

Nesse item, use o canal 2 para controlar o disparo do osciloscópio (botão TRIGGER,

opção – à esquerda – Origem: CH2). Meça também as frequências dos sinais do canal 1 e do

canal 2 (use o botão MEASURE).

16

Situação 1

Ajuste o gerador de sinais para fornecer uma onda quadrada de aproximadamente 15V

pico-a-pico e ajuste sua frequência para f2. Meça o valor pico-a-pico da tensão VBA(t), como

explicado anteriormente (item 3.1). Desenhe na grade milimetrada do Gráfico 3 a forma de

onda observada da tensão v1(t). Explique o que está acontecendo.

Calcule teoricamente a componente fundamental da série de Fourier do sinal v1(t).

Para isso, use a série de Fourier da onda quadrada, os valores pico-a-pico de VBA(t) medidos,

os valores do módulo da resposta em frequência da Tabela 8 e a expressão (13), como

ilustrado nas Figuras 6 e 7 e na expressão (9). Observe que os valores calculados com a série

de Fourier correspondem aos valores de pico das harmônicas do sinal. Portanto, você

deverá multiplicar por 2 os valores teóricos calculados, para obter os valores pico-a-pico.

Meça o valor pico-a-pico do sinal v1(t) e compare com o valor calculado teoricamente.

Para fazer esta medida use cursores e não o botão MEASURE do osciloscópio, pois o sinal

pode conter spikes que produzem erros nas medidas do valor pico-a-pico. Utilize a opção

AMOSTRA do menu ACQUIRE.

Situação 2

Considerando agora a frequência da onda quadrada igual a f2/3, calcule teoricamente o

valor da terceira harmônica do sinal v1(t).

Baixe a frequência do gerador para f2/3 e meça o valor pico-a-pico de v1(t), usando o

mesmo procedimento de medida da Situação 1. Compare com o valor pico-a-pico obtido

teoricamente.

Situação 3

Repita o procedimento descrito acima, ajustando a frequência do gerador para f2/5 e

calcule o valor da quinta harmônica do sinal v1(t).

Preencha a Tabela 9 com os valores medidos e calculados para f2, f2/3 e f2/5 e interprete os

resultados.

17

4 –Lista de Material

• Resistores:

– Rs1 = 47 Ω – Rs2 = 10 kΩ – R = 47 Ω

• Capacitor: C = 100 nF / 250V, 5%

• Indutor: L = 600 µH

• Osciloscópio: Tektronix TDS220, two channel, digital real-time Oscilloscope, 100 MHz, 1GS/s

• Multímetro: Tektronix TX3 true RMS multimeter

• Gerador de sinais: Tektronix CFG253, 3 MHz

• Placa didática

• Cabo BNC/BNC

• Cabo Banana/ Bergstick

• Cabos de ligação

• Transformador de isolação 1:1

• Programa em LabVIEW: Sintese – pode ser obtido em www.lps.usp.br Graduação,

PSI2316, Download, Síntese de Fourier.

• Medidor RLC

5 – Referências

[1] – L.Q. Orsini e D. Consonni, Curso de Circuitos Elétricos. Editora Edgard Blücher Ltda, Volume 1, 2002.

[2] – L.Q. Orsini e D. Consonni, Curso de Circuitos Elétricos. Editora Edgard Blücher Ltda, Volume 2, 2004.

[3] – Hai Hung Chiang, Electrical and Electronic Instrumentation. John Wiley & Sons, 1984

[4] – Solon de Medeiros Filho, Fundamentos de Medidas Elétricas. Editora Universitária, Universidade Federal de Pernambuco, 1979

[5] – Bernard M. Oliver e John M. Cage, editores, Electronic Measurements and Instrumenta- tion, McGraw-Hill, 1971

18

PSI-2221 Práticas de Eletricidade e Eletrônica I

Roteiro de Relatório Experiência 11 – Conceitos de Impedância e Admitância

Nomes:____________________________________________No USP:________________ ____________________________________________ ________________ Turma: Observação: Na tabela seguinte estão listados os ítens e as tabelas que devem ser obrigató-riamente preenchidos no laboratório. Os demais ítens podem ser feitos fora do laboratório a partir das medidas realizadas.

Ítens Tabelas

a), b) e c) do 3.2

a) e b) do 3.3.1

1, 2,5,6,7, 9 (coluna

das medidas)

3.1 Carga Resistiva Tabela 1 – Valores das resistências Rs1 e R medidos com o multímetro

Rs1 R

Valor medido Ω Ω

Valor nominal 47 Ω 47 Ω

Tolerância % %

Tabela 2 – Valores para Carga Resistiva

f, Hz V1pp , V V2pp , V A, A $V , V $I , A Z , Ω θ , graus

100

1 k

5 k

4a feira manhã 4a feira tarde 5a feira manhã 6a feira manhã

19

a) Relacione a coluna Z com os valores medido e nominal de R, justificando eventuais

diferenças. b) Os valores obtidos para θ eram esperados? (foram nulos? explique discrepâncias entre o

que você observa e o que você esperaria observar.)

c) Compare a coluna $I da Tabela 2 com A 2 , preenchendo a Tabela 3.

Tabela 3 – Comparação de $I com A 2

f, Hz A 2 , A $I , A Erro relativo (%)

100

1 k

5 k

d) Determine a admitância (condutância, neste caso) da carga, preenchendo a Tabela 4

Tabela 4 – Admitância da carga em função da frequência

f, Hz |Z|1/G = , mS

100

1 k

5 k

20

3.2 Carga Ressonante Tabela 5 – Valores das resistências Rs2 e C medidos com o multímetro

Rs2 C

Valor medido kΩ nF

Valor nominal 10 kΩ 100 nF

Tolerância % 5 %

Valor nominal de L = 600 µH

Caso tenha medido o valor L com o medidor RLC, anote aqui: L =___________ µH

a) Anote a tensão VBA= V

b) Calcule o valor de ( )-1

0f 2 L Cπ= , meça os valores de 1f e 2f e preencha a Tabela 6.

Tabela 6 – Frequências de ressonância

1f : frequência para a qual a defasagem entre tensão e corrente na carga é nula

2f : frequência em que a amplitude V1pp é máxima

c) Em 1f , meça os valores de V1pp e de V2pp:

V1pp = _______________V V2pp = _______________V

Calcule a relação ˆ| V | | I |= _______________Ω

d) Compare os valores de f0 , f1 e f2 (calcule a diferença percentual entre os três valores).

0f (kHz) 1f (kHz) 2f (kHz)

21

Tabela 7 – Valores para Carga Ressonante

f f, kHz V1pp, V V2pp, V $V , V $I , mA Z , Ω ∆t (µs) θ , graus

f2/5

f2/3

0,75 f2

f2

1,25 f2

3 f2

5 f2

e) Qual é o comportamento de Z (indutivo, resistivo ou capacitivo) para cada valor de

frequência na Tabela 7?

f) Comente sobre as características predominantes da impedância antes e depois de f1 (a

impedância é predominantemente indutiva ou capacitiva? E exatamente na frequência f1, a

carga tem que característica?)

22

g) Obtenha a expressão teórica da impedância da associação em paralelo de um indutor ideal,

L, com um capacitor ideal, C

h) Obtenha a expressão teórica da impedância de um circuito RLC paralelo

i) Trace na grade milimetrada (Gráfico 1) as três curvas seguintes:

1. curva de Z = $V / $I em função da frequência;

2. curva do módulo da impedância de um circuito LC (L e C: valores medidos)

3. curva do módulo da impedância de um circuito RLC paralelo (L e C: valores

medidos; use para R o valor de $V / $I , na frequência f1).

Qual das curvas obtidas a partir das expressões teóricas está mais próxima da curva medida?

Qual modelo representa melhor a associação paralela da bobina com o capacitor? Justifique.

Como deveria então ser modificada a representação da carga na Figura 11?

23

Gráfico 1 – | Z | x f

3.3 Resposta em Frequência

Tabela 8 – Resposta em frequência

f f, kHz V1pp, V VBApp, V |G(jω)|

f2/5

f2/3

0,75 f2

f2

1,25 f2

3 f2

5 f2

24

Desenhe o gráfico de |G(jω)| em função da frequência na grade milimetrada (Gráfico 2).

Gráfico 2 - |G(jω)| x f

3.3.1 Efeito do circuito ressonante sobre uma onda quadrada

a) Na frequência f2, meça os valores pico-a-pico da tensão VBA(t) para uma onda quadrada

VBA,quadr = V

b) Desenhe na grade milimetrada (Gráfico 3) a forma de onda observada da tensão v1(t) e

explique o que está acontecendo.

25

Gráfico 3 - v1(t) x t

Tabela 9 – Série de Fourier da onda quadrada

f f, kHz Harmônica V1pp, V (medido) V1teo, V (calculado)

f2 1a

f2/3 3a

f2/5 5a

Cálculos:

26

3.4 Questões a) Qual deve ser a defasagem entre tensão e corrente em um resistor ideal? b) Em um capacitor, a tensão está adiantada ou atrasada em relação à corrente? c) Como se comporta, em função da frequência, o módulo da impedância da associação em paralelo de um resistor, um capacitor e um indutor? d) Esboce na grade milimetrada abaixo (Gráfico 4) as formas de onda de tensão e corrente sobre uma carga cuja impedância vale ( 2 + j 2 ) Ω com a aplicação de um sinal de tensão, em volts, igual a 4sen(2π 60 t + π/6), com t em segundos.

Gráfico 4 – v(t), i(t) x t

27

e) Qual é a expressão teórica da resposta em frequência G(jω) (módulo e fase) no circuito da Figura 11?

f) Explique o que acontece se ao invés da onda quadrada o circuito da Figura 9 (com a carga

ressonante) fosse alimentado com uma onda triangular de f2.