Densidade espectral

OBS: No programa Scalar, quando se seta a função de controle de Grms, a variação do PSD não influi nos resultados de deslocamento e velocidade.

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Densidade espectral, ou power spectral density (PSD), ou energy spectral density (ESD); é uma função real

positiva de uma frequência variável associada com um processo estocástico, ou uma função determinística do

tempo, que possua dimensão de energia ou força por Hertz. Geralmente é chamada apelas por espectro do sinal.

Intuitivamente, a densidade espectral auxilia na captura da frequência do processo estocástico e identifica

periodicidades.

Na física, o sinal geralmente surge como uma função de onda, como por exemplo ocorre na radiação

eletromagnética, ou em ondas sonoras. A densidade de espectro da onda, quando multiplicado pelo fator

apropriado dá a força carregada pela onda, por unidade de frequência, tratada como a densidade espectral de

força (power spectral density) do sinal. Ela é geralmente expressada na unidade Watts por Hertz ( ).[1]

Definição

A densidade espectral de energia descreve como a energia de um sinal ou uma série temporal será distribuída

com frequência. Se é uma função integrável de energia finita, a densidade espectral do sinal será o

quadrado da magnitude da transformada de Fourier do sinal.

onde é a frequência angular e é a transformada de Fourier de , e é seu conjugado

complexo.

Se os sinais forem discretos com valores , sobre um infinito número de elementos, ainda têm-se uma

densidade espectral de energia:

onde é a transformada de Fourier de tempo discreto de .

Densidade espectral de força

A definição acima de densidade espectral de energia requer que a transformada de Fourier exista, ou seja, que a

integral quadrada seja calculável, isto nem sempre é possível. Uma alternativa mais comum é a densidade

espectral de força, que descreve como a força de um sinal ou tempo serial é distribuído com frequência.

Conceitua-se força como a força física ou, mais comumente, como a força dissipada à carga, se o sinal for uma

tensão elétrica aplicada no sistema. Esta força instantânea é dada por

para um sinal .

Já que um sinal com força média não nula não terá integral quadrada calculável, a transformada de Fourier não

se aplicará a este caso. Sendo necessário recorrer ao Teorema de Wiener–Khinchin, o qual provê uma

alternativa. Neste teorema o sinal pode ser tratado como um processo estacionário.[2]

Que pode ser escrito como

A média do conjunto para o intervalo quando o tempo tender para o infinito pode ser provado (Brown &

Hwang[3]

) pelo método da densidade espectral de força:

A força do sinal na frequência dada pode ser calculada pela integral sobre as frequências positivas e negativas,

A densidade espectral de força de um dado sinal existe se e somente se o sinal pertencer a um processo

estacionário. Se o sinal não for estacionário, então a função correlacional precisará ser uma função de duas

variáveis e a densidade espectral de força não existirá.

A densidade espectral de força é definida como[4]

Aplicações

O conceito de densidade espectral de um sinal é fundamental para a engenharia eletrônica, especialmente em

telecomunicação. Muito esforço tem sido feito para se desenvolver o que ficou conhecido por analisador de

espectro para auxiliar engenheiros dos mais diversos campos na medição e observação da densidade espectral

de força de um sinal elétrico.

Referências

1. ↑ Gérard Maral. VSAT Networks (em inglês). [S.l.]: John Wiley and Sons, 2003. ISBN 0470866845

2. ↑ Dennis Ward Ricker. Echo Signal Processing (em inglês). [S.l.]: Springer, 2003. ISBN 140207395X

3. ↑ Robert Grover Brown & Patrick Y.C. Hwang. Introduction to Random Signals and Applied Kalman

Filtering (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons, 1997. ISBN 0471128392

4. ↑ Wilbur B. Davenport & Willian L. Root. An Introduction to the Theory of Random Signals and Noise

(em inglês). New York: IEEE Press, 1987. ISBN 0-87942-235-1

Ver também

Eficiência espectral

Domínio da frequência

Espectro sonoro

Intervalo de massa

Ligações externas

Função de autocorrelação e densidade espectral de potência (em português) - Universidade do Porto

Densidade espectral de estados de superficie (em português) - Universidade de Campinas