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A Trigonometria é uma área bem interessante da Matemática com muitasaplicações e para o aluno aprofundar seu conhecimento é imprescindível aprenderas fórmulas para o seno e cosseno da soma.

Nesta edição de Prova sem Palavras, convido o leitor a analisar a figura abaixo ededuzir que

e

Gostará de ler também:

- Provas sem Palavras (Parte 12) (A Lei dos Cossenos);

Provas sem Palavras (Parte 12) Usando um teorema de Geometria Plana, podemos provar a lei dos cossenos.

Analise a figura abaixo e conclua que , donde segueque

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A lei dos cossenos é uma importante ferramenta matemática para o cálculo

das medidas dos lados e dos ângulos de triângulos quaisquer.

Para demonstrá-la, consideremos um triângulo ABC qualquer e o ângulo Â.

O triângulo ABC é acutângulo

No triângulo BCH, pelo Teorema de Pitágoras, temos:

No triângulo ACH, também pelo Teorema de Pitágoras, temos:

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Substituindo (II) em (I), vem:

Ainda no triângulo ACH, temos:

Substituindo (IV) em (III), obtemos:

O triângulo ABC é obtusângulo a  é obtuso

No triângulo BCH, pelo Teorema de Pitágoras, temos:

No triângulo retângulo ACH, novamente por Pitágoras, temos:

Substituindo (II) em (I), vem:

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Ainda no triângulo retângulo ACH, temos:

Substituindo (IV) em (III), obtemos:

Usando raciocínio análogo, obtemos as expressões:

Podemos enunciar a lei dos cossenos:

Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos

quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das

medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.

Em breve a demonstração da Lei dos Senos

Nesta vigésima prova sem palavras, convido o leitor a analisar a figura abaixo eprovar o Limite Trigonométrico Fundamental (LTF).

ESTUDO DOS LIMITES

Prof Sérgio Flávio Schmitz

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A Teoria dos Limites, tópico introdutório e fundamental da Matemática Superior,será vista aqui, de uma forma simplificada, sem aprofundamentos, até porque,o nosso objetivo nesta página, é abordar os tópicos ao nível do segundo grau,voltado essencialmente para os exames vestibulares.Portanto, o que veremos a seguir, será uma introdução à Teoria dos Limites,

dando ênfase principalmente ao cálculo de limites de funções, com base naspropriedades pertinentes.O estudo teórico e avançado, vocês verão na Universidade, no devido tempo.Outro aspecto importante a ser comentado, é que este capítulo de LIMITESabordará o estritamente necessário para o estudo do próximo tópico:DERIVADAS.

O matemático francês - Augustin Louis CAUCHY - 1789/1857 , foi, entre outros,um grande estudioso da TEORIA DOS LIMITES. Antes dele, Isaac NEWTON -inglês - 1642 /1727 e Gottfried Wilhelm LEIBNIZ - alemão - 1646 /1716 , jáhaviam desenvolvido o Cálculo Infinitesimal.

DEFINIÇÃO

Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que estafunção f possui um limite finito L quando x tende para um valor x0, se para cadanúmero positivo ε , por menor que seja, existe em correspondência umnúmero positivo δ , tal que para| x - x0 | < δ   , se tenha |f(x) - L | < ε , para todo x ≠  x0 . Indicamos que L é o limite de uma função f ( x ) quando x tende a x0 , através dasimbologia abaixo:

lim f(x) = Lx→x0

Exemplo:Prove, usando a definição de limite vista acima, que:lim (x + 5) = 8x→3

Temos no caso:f(x) = x + 5x0 = 3L = 8.

Com efeito, deveremos provar que dado um ε > 0 arbitrário, deveremosencontrar um δ > 0, tal que, para |x - 3| < δ , se tenha |(x + 5) - 8| < ε . Ora, |

(x + 5) - 8| < ε é equivalente a | x - 3 | < ε . Portanto, a desigualdade |x - 3| < δ , é verificada, e neste caso δ = ε .Concluímos então que 8 é o limite da função para x tendendo a 3 ( x →3) .

O cálculo de limites pela definição, para funções mais elaboradas, éextremamente laborioso e de relativa complexidade.Assim é que, apresentaremos as propriedades básicas, sem demonstrá-las e,na sequência, as utilizaremos para o cálculo de limites de funções.

Antes, porém, valem as seguintes observações preliminares:

a) é conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando x→x0 , não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto x0 ,

pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tãopróximos quanto queiramos do ponto x0 , porém não coincidente com x0, ou

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seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto x0 .Para exemplificar, consideremos o cálculo do limite da função abaixo, para x →

3.

Observe que para x = 3, a função não é definida. Entretanto, lembrando que x2

- 9 = (x + 3) (x - 3), substituindo e simplificando, a função fica igual a f(x) = x +3, cujo limite para x →3 é igual a 6, obtido pela substituição direta de x por 3.

b) o limite de uma função y = f(x), quando x →x0, pode inclusive, não existir,mesmo a função estando definida neste ponto x0 , ou seja , existindo f(x0).

c) ocorrerão casos nos quais a função f(x) não está definida no ponto x0, porémexistirá o limitede f(x) quando x →x0 .

d) nos casos em que a função f(x) estiver definida no ponto x0 , e existir o limite

dafunção f(x) para x →x0 e este limite coincidir com o valor da função no ponto x0,diremos que afunção f(x) é CONTÍNUA no ponto x0 .

e) já vimos a definição do limite de uma função f(x) quando x tende a x0 , ou x→x0 .Se x tende para x0 , para valores imediatamente inferiores a x0 , dizemos quetemos um limite à esquerda da função. Se x tende para x0 , para valoresimediatamente superiores a x0 , dizemos que temos um limite à direita dafunção. Pode-se demonstrar que se esses limites à direita e à esquerda foremiguais, então este será o limite da função quando x →x0 .

Propriedades operatórias dos limites.

P1 - o limite de um soma de funções, é igual à soma dos limites de cadafunção.lim ( u + v + w + ... ) = lim u + lim v + lim w + ...

P2 - o limite de um produto é igual ao produto dos limites.lim (u . v) = lim u . lim v

P3 - o limite de um quociente de funções, é igual ao quociente dos limites.lim (u / v) = lim u / lim v , se lim v ≠ 0.

P4 - sendo k uma constante e f uma função, lim k . f = k . lim f 

Observações: No cálculo de limites, serão consideradas as igualdadessimbólicas, a seguir, envolvendo os símbolos de mais infinito ( + ∞ ) e menosinfinito ( - ∞ ), que representam quantidades de módulo infinitamente grande. Éconveniente salientar que, o infinitamente grande, não é um número e, sim ,uma tendência de uma variável, ou seja: a variável aumenta ou diminui, semlimite.

Na realidade, os símbolos + ∞ e - ∞ , não representam números reais, nãopodendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de cálculo algébrico.

Dado b ∈ R - conjunto dos números reais, teremos as seguintes igualdadessimbólicas:

b + (+ ∞ ) = + ∞ b + ( - ∞ ) = - ∞ 

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(+ ∞ ) + (+ ∞ ) = + ∞ (- ∞ ) + (- ∞ ) = - ∞ (+ ∞ ) + (- ∞ ) = nada se pode afirmar inicialmente. O símbolo ∞ - ∞ , é dito umsímbolo de indeterminação.(+ ∞ ) . (+ ∞ ) = + ∞ 

(+ ∞ ) . 0 = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.∞ / ∞ = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.

No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a expressõesindeterminadas, o que significa que, para encontrarmos o valor do limite,teremos que levantar a indeterminação, usando as técnicas algébricas. Osprincipais símbolos de indeterminação, são:∞ - ∞ ∞ . 0∞ / ∞ ∞ 0

0 / 0

1∞ 1- ∞ 

Vamos agora calcular alguns limites imediatos, de forma a facilitar oentendimento dos exercícios mais complexos que virão em seguida:

a) lim (2x + 3) = 2.5 + 3 = 13.....x→5

b) lim (x2 + x) = (+ ∞ )2 + (+ ∞ ) = + ∞ + ∞ = + ∞ .....x→+∞ 

c) lim (4 + x3) = 4 + 23 = 4 + 8 = 12

.....x→

2d) lim [(3x + 3) / (2x - 5)] = [(3.4 + 3) / (2.4 - 5)] = 5.....x→4

e) lim [(x + 3) (x - 3)] = (4 + 3) (4 -3) = 7.1 = 7.....x→4

f)

 

25 4

1 1

 x x Lim

 x x

− +

→ −

R -3

g)3

21

3 2

1 x

 x x Lim

 x→

− +

−

R 0

h)

0

3 3

 x

 x Lim

 x→

+ −

R

3

6

i)4

31

11 x

 x Lim x→

−−

R 4/3

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 j)3

1

1

1 x

 x Lim

 x→

−

−

R 2/3

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

1) 2)

3) 4) Não existe pois e

5) 6)

7)

EXERCÍCIOS ESPECIAIS

a) RESP 0 b) RESP -2

c) RESP 1/3 d) RESP 1/2

e) RESP

2

1

3

 A

a

−

  f) RESP

3X2

g) RESP 1 h) RESP 1/2

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i) RESP 3  j) RESP 1/9

k) RESP -1/56 l) RESP 12

m) RESP 3/2 n) RESP -1/3

o) RESP 1 p) RESP

2 X 

q) RESP

3 2

1

3 x

  r) RESP

-1/3

LIMITES ENVOLVENDO INFINITOS 

Seja a função polinomial f(x) = an xn + na-1xn-1 + ... + a2 x2 + a1x + a0

( )n

n x x  Lim f x Lim a x

→±∞ → ±∞

=

  Para o cálculo de limite com

 x → ±∞

toma-se o termo de maior 

grau da função e aplica-se o limite .

Exemplos :2 2

(2 3) 2 x x

  Lim x x Lim x→∞ →∞

+ − = = ∞

 Exercícios para resolução em sala :

1)

 

3 2

4

2 4 1

3 2 2 x

 x x Lim

 x x→∞

+ −

+ −

R 0

2)

4

4 3

4 3

3 1 x

 x x Lim

 x x→∞

+ +

+ −

R 4/3

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3)

3 2

2

4 2 3

2 3 8 x

  x x x Lim

 x x→∞

+ − +

+ −

R ∞

4)

4

2

2 1

2 1 x

 x x Lim

 x→∞

+ −

−

R ½

LIMITES FUNDAMENTAIS

A técnica de cálculo de limites, consiste na maioria das vezes, em conduzir aquestão até que se possa aplicar os limites fundamentais, facilitando assim, assoluções procuradas. Apresentaremos a seguir - sem demonstrar - cinco limitesfundamentais e estratégicos, para a solução de problemas.

Primeiro limite fundamental : O limite trigonométrico

Intuitivamente isto pode ser percebido da seguinte forma: seja x um arco emradianos, cuja medida seja próxima de zero, digamos x = 0,0001 rad. Nestascondições, o valor de senx será igual asen 0,0001 = 0,00009999 (obtido numa calculadora científica).

Efetuando-se o quociente, vem: senx / x = 0,00009999 / 0,0001 = 0,99999 ≈ 1.Quanto mais próximo de zero for o arco x, mais o quociente (senx) / x seaproximará da unidade, caracterizando-se aí, a noção intuitiva de limite de umafunção.

Exercício:

Observe o cálculo do limite abaixo:

Observe que fizemos acima, uma mudança de variável, colocando 5x = u, de

modo a cairmos num limite fundamental. Verifique também que aomultiplicarmos numerador e denominador da função dada por 5, a expressãonão se altera. Usamos também a propriedade P4 vista no início do texto.

Segundo limite fundamental : Limite exponencial 

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de forma geral :.

.(1 )

cx a c

d b d 

 x

a  Lim ebx→ ∞

+ =

ou ainda

.

.

0(1 )

c a c

dx b d  

 x

ax  Lim e

b→

+ =

Onde e é a base do sistema de logaritmos neperianos, cujo valor aproximado ée ≈ 2,7182818.

Exercício:Observe o cálculo do limite abaixo:

Terceiro limite fundamental : Conseqüência do anterior 

Exercício:Observe o cálculo do limite abaixo.lim (1 + x)5/x = lim [(1 + x)1/x]5 = e5

x→0 ................x→0

Quarto limite fundamental : outro limite exponencial 

de modo geral :

 

0

1.ln

kx

 x

a  Lim k a

 x→

−=

ou ainda

0

11

 x

 x

e Lim

 x→

−=

Para a > 0.

Exemplos :

1)

43(1 )

x

 x

 Lim x→∞

+

R e12 2)3

0(1 2 ) x

 x

  Lim x→

+

R e6 

3)

0

3 1

2

 x

 x

 Lim x→

−

R

1.ln

2e

4)

0

1

2

 x

 x

e

 Lim  sen x→

−

R

1

2

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Quinto limite fundamental

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Determine os seguintes limites:

a) lim (2 senx - cos2x + cotgx).....x→ π /2Resp: 3

b) lim (5 - 1/x + 3/x2).....x→ ∞ Resp: 5

c) lim (4x3 - 2x2 + 1) / (3x3 - 5).....x→ ∞ Sugestão: divida numerador e denominador por x3.Resp: 4/3

d) lim (senx / tgx).....x→0Resp: 1

e) lim (sen4x) / x.....x→0Resp: 4

f) lim [(1 + 1/x)

x + 3

 ....x→ ∞ Resp: e

g) lim [(1 + x)m - 1] / mx.....x→0Resp: 1

Neste post, iremos mostrar geometricamente que

Para isto, basta analisar a figura abaixo:

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Fatos das Funções Pares e Ímpares (Parte 1) 

Uma propriedadeinteressante nas funções reais e muito usada no Cálculo e em Séries de Fourier é aparidade das funções, isto é, saber se uma função é par ou ímpar reduz muito oscálculos de integrais definidas e a dedução de algumas fórmulas trigonométricas,como veremos neste post.

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Definição 1: Dizemos que a função é ímpar se

.

As funções e são exemplos de funções ímpares. A

demonstração que é ímpar é imediata e para provar que é uma funçãoímpar basta analisar a figura acima.

Definição 2: Dizemos que a função é par se .

As funções e são exemplos de funções pares e a

demonstração que é uma função par, baseia-se novamente na figura acima.

Vejamos as principais propriedades das funções pares e ímpares.

Proposição 1: Toda função cujo domínio é ou um intervalo simétrico emrelação à origem, pode ser escrita como a soma de uma função par e uma funçãoímpar.

Demonstração: Sejam e duas funções obtidas de e dadas por

Note que

e que . Assim, é uma função ímpar e é uma função par. Para

encerrar a prova, note que .

Proposição 2: A soma de duas funções de mesma paridade mantém a paridade.

Demonstração: Sejam e duas funções ímpares definidas em ou em um

intervalo simétrico em torno da origem. Assim,

De modo análogo, se e , são funções pares,

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Proposição 3: O produto de duas funções e de mesma paridade é uma função

par, isto é, se e são funções pares ou ímpares, então a função é umafunção par.

Demonstração: A prova é bem simples e fica a cargo do leitor.

Proposição 4: O produto duas funções e de paridades distintas é uma funçãoímpar.

Demonstração: Análoga a prova da proposição anterior.

Proposição 5: A derivada de uma função par é uma função ímpar e a derivada de

uma função ímpar é uma função par.

Demonstração: Seja uma função par e considere a função . Sendo

uma função par, para todo . Derivando ambos os lados destaexpressão, temos

ou seja, é uma função ímpar. A segunda parte da proposição é análoga.

Vejamos agora aplicação da propriedade de paridade sobre as funções

trigonométricas. Por exemplo, é fácil provar que além da função , as funções

e são funções ímpares.

As fórmulas de adição e diferença de arcos também podem ser deduzidas usando apropriedade de paridade. Vejamos um exemplo.

Exemplo 1: Sabendo que , calcule

.

Resolução: Usando o fato que a função é par e a função é uma funçãoímpar, temos:

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Exercício: Use o fato que e o exemplo anterior e deduza as

fórmulas e .

Gostará de ler também:- O Teorema de Ptolomeu e as Fórmulas Trigonométricas;- Alguns Fatos Sobre a Tangente de x;- Demonstração que sen a = cos ( pi 

 

 /2 - a); (Blog O Baricentro da Mente)- Demonstração da adição e subtração de arcos; (Blog O Baricentro da Mente)

Fatos das Funções Pares e Ímpares (Parte 2) 

Geometricamente, uma função

ímpar é anti-simétrica e uma função par é simétrica em relação ao eixo para

valores de em um intervalo simétrico.

Deste modo, se uma função está definida sobre um intervalo , então ocálculo de integrais definidas pode ser simplificado, conforme veremos neste post.

Proposição 1: Se é uma função contínua e par em , então

Demonstração: Sendo contínua neste intervalo, a integral existe e sendo uma

função par, temos . Assim,

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Exemplo 1: Observando a figura acima e aplicando a Proposição , temos:

Proposição 2: Se é uma função contínua e ímpar em , então

Demonstração: Sendo uma função contínua, a integral existe e sendo ímpar,

segue que . Assim,

Exemplo 2: Calcule a integral imprópria

Resolução: Sejam e . Sendo uma função par e uma

função ímpar, segue que o integrando é uma função ímpar em um

intervalo simétrico. Pela Proposição , concluímos que a integral imprópria é nula.

Exemplo 3: Se é uma função ímpar e

determine

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Resolução: Usando a propriedade de integrais definidas, podemos escrever

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