UFPE CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMATICA AREA II

GEOMETRIA ANALITICA 2011.2 1o EXERCICIO ESCOLAR 09/09/2011GABARITO

Nas questoes deste exerccio, considere uma base ortonormal B = (~i,~j, ~k) doespaco vetorial tridimensional e nele, os vetores ~u = (1, 1, 1), ~v = (2,1, 3), ~w =(1, 5,3) e ~t = (7, 0,8).

1. Mostre que ~u, ~v e ~w sao coplanares, ou seja, que estes vetores formam um conjuntolinearmente dependente, e escreva ~w como combinacao linear de ~u e ~v. (Peso 2,5)

Solucao: (~u, ~v, ~w) e LD [~u, ~v, ~w] = 0

1 1 12 1 3

1 5 3

= 0.

1 1 12 1 3

1 5 3

= 3 3 + 10 1 15 + 6 = 0 ~u, ~v e ~w sao coplanares.

Para escrever ~w como combinacao linear de ~u e ~v precisamos determinar a e b taisque ~w = a~u+ b~v, ou seja, (1, 5,3) = a(1, 1, 1)+ b(2,1, 3) que fornece o sistema

a+ 2b = 1a b = 5a+ 3b = 3

3b = 6 b = 2a = 2 + 5 = 33 6 = 3(ok)

~w = 3~u 2~v

2. Mostre que o vetor ~v nao esta na bissetriz do angulo formado pelos vetores ~u e ~w.(Peso 2,5)

Solucao 1: Podemos comparar o angulo entre ~u e ~v com o angulo entre ~w e ~v calculandoseus cossenos:

cos = ~u.~v||~u||.||~v|| =21+3314

= 442

cos = ~w.~v||~w||.||~v|| =25935

14

= 16490

cos 6= cos 6= . Portanto ~v nao esta na bissetriz do angulo formado pelosvetores ~u e ~w

Solucao 2: Podemos comparar o angulo entre ~u e ~v com o angulo entre ~w e ~u. Nessecaso, precisamos mostrar que 2 6= e 2( ) 6= . Podemos fazer isso tambemcomparando os cossenos mas, cuidado, 2 cos 6= cos nao equivale a 2 6= . Epreciso mostrar que cos 2 = 2 cos2 1 6= cos e cos(2( )) 6= cos .cos = ~u.~v||~u||.||~v|| =

21+3314

= 442

cos = ~w.~u||~w||.||~u|| =1+53

353= 1

105

cos 2 = 2.1642 1 = 5

216= 1

105

cos(2( )) = cos(2 2) = cos 2 6= cos . Portanto ~v nao esta na bissetriz doangulo formado pelos vetores ~u e ~w.

3. Qual a medida da area do triangulo determinado pelos vetores ~u, ~v e ~v ~u? (Peso1,5)

Solucao: A medida da area do triangulo determinado pelos vetores ~u, ~v e ~v~u e a metade damedida da area do paralelogramo determinado pelos vetores ~u e ~v, que e ||~u ~v||.

~u ~v =

~i ~j ~k

1 1 12 1 3

= (4,1,3); ||(4,1,3)|| = 16 + 1 + 9 = 26.

A medida da area do triangulo determinado pelos vetores ~u, ~v e ~v ~u e26

2.

4. Sejam A,B,C e D pontos do espaco tais que ~u = ~AB, ~v = ~AC e ~t = ~AD.

a) Escreva o vetor ~u = ~AB como a soma de dois vetores: um vetor ~a paralelo

ao vetor ~v = ~AC e outro vetor ~b perpendicular, tambem, ao vetor ~v = ~AC.(Peso 2,0)

(b) Mostre que os pontos A,B,C eD sao vertices de um tetraedro ABCD e calculeo seu volume. (Peso 1,5)

Solucao (a): Um vetor ~b perpendicular a ~v e coplanar com ~u e ~v e paralelo ao vetor (~v ~u) ~v.

(~v ~u) ~v =

~i ~j ~k

4 1 32 1 3

= (6, 18, 2). Seja ~c = (3, 9, 1)~v.

Entao ~a = Proj~u~v e~b = Proj~u~c

Proj~u~v =~u.~v

~v.~v~v = 21+3

4+1+9~v = 2

7~v =

(4

7, 2

7, 67

)e

Proj~u~c =~u.~c

~c.~c~c = 3+9+1

9+81+1~c = 1

7~c =

(3

7, 97, 17

).

Portanto, ~u = (1, 1, 1) =(4

7, 2

7, 67

)+(3

7, 97, 17

).

Solucao (b): Para que ABCD seja um tetraedro basta que os vetores ~AB, ~AC e ~AD sejam LI.

Entao basta calcular o produto misto [ ~AB, ~AC, ~AD] que, nao sendo nulo, mostra

que ABCD e um tetraedro cujo volume e 16|[ ~AB, ~AC, ~AD]|.

[ ~AB, ~AC, ~AD] =

1 1 12 1 37 0 8

= 8 + 21 + 0 + 7 + 16 0 = 52.

Portanto, ABCD e um tetraedro e seu volume e 566= 26

3.