Prova de matemática comentada

Matemática – Técnico da ANTT/NCE-UFRJ/2005

www.editoraferreira.com.br 1 Thiago Honório Lima

PROVA DE MATEMÁTICA COMENTADA CARGO: TÉCNICO DA ANTT. BANCA NCE/2005

Meu nome é Thiago Honório Lima Chaves e sou formado em Engenharia Mecânica e de Automóveis pelo IME (Instituto Militar de Engenharia). Sou ex-aluno do Colégio Naval e fui aprovado em alguns concursos como: ITA, ICMS-PB, ISS-SP, entre outros. Atualmente, exerço o cargo de auditor fiscal do Município de São Paulo e ministro aulas de matemática básica, estatística, matemática financeira e raciocínio lógico em cursos preparatórios nessa cidade. Com objetivo de ajudar os concurseiros que irão prestar o concurso da PRF, que será feito pela banca NCE, seguem abaixo os comentários sobre esta prova para técnico da ANTT. Vamos suar a camisa!!!!!!! 21 - A tabela a seguir apresenta um resumo dos dados de transporte rodoviário coletivo interestadual e internacional de passageiros no Brasil em 2002.

Quantidade de empresas 213 Quantidade de veículos - ônibus 13.567

Quantidade de motoristas 22.984 Passageiros transportados 135.749.449

Viagens realizadas 4.352.144 Distância percorrida pela frota - km 1.472.368.730

Fonte: ANTT

Com base nesses dados, e considerando que todos os motoristas percorreram aproximadamente a mesma distância, podemos concluir que cada motorista percorreu, em 2002, a seguinte distância em quilômetros, aproximadamente: (A) 1.200.000; (B) 500.600; (C) 64.000; (D) 3.000; (E) 200. Solução: Caro concurseiro, a tabela dada na questão fornece vários dados para tentar confundir o candidato, porém o concurseiro atento percebe rapidamente, que para solucionar esta questão, precisa apenas de duas linhas dessa tabela: Distância percorrida pela frota – km e Quantidade de motoristas.

Distância = Km6,6406022984

1472368730motoristas de Quantidade

km - frota pela percorrida Distância==

Resposta: C 22 - O diagrama a seguir apresenta a distribuição dos vários tipos de transportes de cargas no país em 2000:



Assinale a opção que melhor indica o percentual do transporte ferroviário no total de cargas transportado no país, em 2000: (A) 20%; (B) 40%; (C) 50%; (D) 60%; (E) 70%. Solução: No diagrama apresentado, o transporte rodoviário é responsável por mais de 50% do transporte de cargas no país em 2002, portanto descarta-se as alternativas C, D e E. Em segundo lugar, aparece o transporte ferroviário e em terceiro, o aquaviário. A alternativa que mais se aproxima do percentual referido na questão é a A, 20%, pois a alternativa B indica um percentual muito alto, porque ainda existe o transporte aquaviário com uma percentagem expressiva a ser levado em conta. Resposta: A 23 - Um adesivo colado em um caminhão de carga indica: “CARGA MÁXIMA 1 TON”, o que significa que aquele caminhão pode transportar, com segurança, no máximo uma tonelada de carga. O caminhão será abastecido com caixas de um certo produto. Cada caixa tem um peso bruto de 4.250g. Nesse caso, o caminhão poderá transportar, no máximo, a seguinte quantidade de caixas: (A) 23; (B) 24; (C) 205; (D) 235; (E) 2350. Solução: Questão muito simples, bem parecida com a questão 21, bastando apenas ao candidato fazer uma simples conta de divisão. Pontinho dado pela banca.

Número de caixas = 3,23525,4

1000caixa cada de bruto peso

máxima carga==

KgKg

Resposta: D 24 - Os dados a seguir são um resumo de uma nota fiscal que mostra, para cada produto comprado, o preço de uma unidade do produto e a quantidade adquirida do produto.



Produto Preço unitário (R$) Quantidadepurificador de

água

550,00 02

filtro p/ purificador

84,50 04

fogão elétrico

440,00 01

lanterna

64,60 05

O valor total da compra descrita, em reais, foi: (A) 1.550,00; (B) 2.124,60; (C) 2.201,00; (D) 2.358,80; (E) 2.569,90. Solução: Outra questão bastante simples, bastando apenas que o concurseiro fizesse uma simples conta de multiplicação do preço unitário de cada produto pela quantidade correspondente ao dado produto e ao final, somar esses valores obtidos. Lembrem-se, uma prova é constituída de questões fáceis, médias e difíceis. As fáceis não podem ser erradas de jeito nenhum para aqueles que almejam a tão sonhada aprovação. Valor total da compra = 550 x 2 + 84,5 x 4 + 440 x 1 + 64,60 x 5 = 1100 + 338+ 440 + 323 = 2201 Resposta: C 25 - Um artista plástico pretende fazer uma obra que apresentará três esferas, cada uma com 10cm de raio, dispostas, uma sobre a outra, no interior de uma peça cilíndrica transparente cujo interior tem 20cm de diâmetro e 60cm de altura. O artista vai preencher o espaço que ficará vazio no interior do cilindro, depois de postas as esferas, com um líquido translúcido. O volume a ser preenchido com o líquido, em cm3, vale, aproximadamente: (A) 1.260; (B) 3.570; (C) 4.240; (D) 5.350; (E) 6.280. Solução: Nesta questão a banca aborda os conceitos de volume do cilindro e volume da esfera. O volume a ser preenchido com o tal líquido translúcido é dado pela expressão abaixo:

Vlíquido = Vcilindro – 3 x Vesfera O concurseiro tem que lembrar que o volume do cilindro é dado pela fórmula V = hr ⋅⋅ 2π e o da

esfera por V = 3

4 3r⋅π, onde r representa o raio e h altura.

Logo,



Vlíquido = Vcilindro – 3 x Vesfera = hr ⋅⋅ 2π - 3 x 3

4 3r⋅π= hD

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

2

2π - 34 r⋅π =

332

628014,3200020004000600010460220 cmx ===−=⋅−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅ πππππ

Resposta: E 26 - Jessé trabalha no setor administrativo de uma empresa e precisou consultar, num certo dia, três processos diferentes. Cada um desses processos estava numa gaveta diferente de um pequeno arquivo que continha quatro gavetas. No final do dia, Jessé deveria devolver cada processo a sua respectiva gaveta. Jessé, entretanto, resolveu escolher ao acaso uma gaveta para guardar um dos processos, uma segunda gaveta, diferente da primeira, para guardar o segundo e uma terceira gaveta, das duas que sobraram, para guardar o terceiro processo. A probabilidade de que Jessé tenha conseguido devolver cada processo a sua gaveta original é de: (A) 1/48; (B) 1/24; (C) 1/12; (D) 1/6; (E) 1/3. Solução: Questão que envolve probabilidade. Assunto que causa um verdadeiro terror nos concurseiros, mas esta questão pode ser resolvida de uma forma bem simples. Vejamos:

Gavetas A B C DQuantidade de eventos 4 3 2 1

Logo, o total de hipóteses é dado por: 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Para elucidar melhor, faremos as explicações abaixo: Na gaveta A, posso ter o evento 00(gaveta vazia), 01(processo n° 1), 02 (processo n° 2), 03 (processo n° 3). Na gaveta B, quando eu fixo para gaveta A um evento, por exemplo, 00, sobra para gaveta B o evento 01(processo n° 1), 02 (processo n° 2), 03 (processo n° 3). Na gaveta C, quando eu fixo para gaveta B um evento, por exemplo, 01, sobra para gaveta C o evento 02 (processo n° 2), 03 (processo n° 3). Na gaveta D, quando eu fixo para gaveta C um evento, por exemplo, 02, sobra para gaveta D o evento 03 (processo n° 3). Posso visualizar melhor através do diagrama abaixo: 02→ D→ 03 01 C→ 03→ D→ 02 01→ D→ 03 A = 00→B → 02→ C→ 03→ D→ 01 01→ D→ 02 03→ C→ 02→ D→ 01



Pelo diagrama acima, posso concluir que existem seis hipóteses distintas, mas como a gaveta A pode ter quatro eventos, o total de hipóteses é dado por 4 x 6 = 24

Portanto, a probabilidade questionada é dada por: 241

Resposta: B 27 - Num campeonato de futebol, a vitória numa partida vale três pontos para o vencedor e nenhum ponto para o perdedor; em caso de empate, cada equipe ganha um ponto. Um campeonato foi disputado por oito equipes, em turno e returno, de modo que cada equipe jogou duas vezes com cada uma das demais. Das partidas jogadas, exatamente vinte e duas terminaram empatadas. Nesse caso, se somarmos os totais de pontos obtidos, por cada equipe, obteremos: (A) 130; (B) 146; (C) 168; (D) 190; (E) 222. Solução: Esta questão é interessante não só por tratar de futebol, paixão nacional, mas também por exigir uma certa atenção do candidato. O enunciado diz que o campeonato é disputado por oito equipes, logo o número de jogos é dado por 8 x 7 = 56. Como 22 terminaram empatadas, restam 56 – 22 = 34 que terminaram com vitórias e derrotas. Neste conjunto de 34 partidas, 34 times venceram e 34 times foram derrotados. Com empate, cada time ganha um ponto, portanto nas vinte e duas partidas empatadas, o total de pontos foi 22 x 1 x 2 = 44, pois no empate os dois times pontuam. Com vitória, cada time ganha 3 pontos, logo nas 34 partidas o total de pontos foi de 34 x 3 = 102 pontos. Com derrotas, o total é zero, pois o time não pontua quando perde. Conseqüentemente, a soma do total de pontos obtidos, por cada equipe, é 44 + 102 = 146. Resposta: B 28 - Em cada vagão de um trem de cargas, cabem 100 caixotes de um certo produto. Em cada caixote é possível acomodar vinte conjuntos, sendo que cada conjunto tem 12 unidades do produto. O trem tem dezoito vagões, todos lotados com o carregamento do produto. Se o preço de uma unidade do produto é R$ 3,10, e se é cobrado, de imposto, 5% do valor total da carga, então o imposto a ser pago por esse carregamento, em reais, é de: (A) 64.800,00; (B) 72.500,00; (C) 90.600,00; (D) 102.200,00; (E) 108.300,00. Solução: Para resolver esta questão, basta associarmos os valores correspondentes, ou seja, um conjunto tem 20 unidades, um caixote tem 20 conjuntos = 20 x 12 unidades, um vagão tem 100 caixotes = 100 x 20 x 12 unidades, um trem tem 18 vagões = 18 x 100 x 20 x 12 unidades. Logo, o valor total da carga é dado por: 18 x 100 x 20 x 12 x 3,10 e o valor do imposto é 5% x 18 x 100 x 20 x 12 x 3,10 = 66960,00 Resposta: Não há alternativa para esta questão. A questão foi anulada. 29 - Um comerciante aumentou o preço de um certo produto em 30%. Como a venda do produto caiu, o comerciante, arrependido, pretende dar um desconto no novo preço de modo a fazê-lo



voltar ao valor anterior ao aumento. Nesse caso, o comerciante deve anunciar um desconto de, aproximadamente: (A) 15%; (B) 19%; (C) 23%; (D) 28%; (E) 30%. Solução: Questão que envolve porcentagem e desconto. Basta atenção do candidato para não errar. Consideremos que o produto inicialmente custava P0. Com o aumento de 30%, passou a custar P1 = 1,3 P0. Com o desconto de d%, passou a custar P2 = P1 – desconto. O enunciado diz que P2 = P0. Logo: P1 – desconto = P0

1,3 P0 - 1001Pd ⋅

= P0

1,3 P0 - 1003,1 0Pd ⋅

= P0

1003,1 0Pd ⋅

= 0,3 P0

d = 08,233,11003,0

=x

Resposta: C 30 - Você está pensando em contrair uma dívida em um banco que cobra 10% de juros mensal sobre o saldo devedor. Por exemplo, se você pegar R$100,00 emprestados, ao final de um mês estará devendo R$110,00. Se, ao final desse primeiro mês, você pagar apenas R$ 20,00 dos R$110,00, deverá, no mês seguinte, R$99,00 (os R$90,00 que ficou devendo mais os 10% de juros). Imagine que você resolva tomar emprestados R$500,00 e que seu plano seja pagar R$100,00 ao final do primeiro mês, R$100,00 ao final do segundo mês, R$100,00 ao final do terceiro mês e quitar a dívida no quarto mês. Nesse caso, você terá de pagar, no quarto mês, a seguinte quantia, em reais: (A) 200,00; (B) 265,45; (C) 367,95; (D) 398,90; (E) 412,32. Solução: No próprio enunciado da questão é fornecido a forma de resolução, bastando apenas ler com cuidado e montar o esquema de resolução.

Empréstimo Dívida no final do mês n Pagamento Saldo devedor 500 500 x 1,1 = 550 100 550 – 100 = 450 450 450 x 1,1 = 495 100 495 – 100 = 395 395 395 x 1,1 = 434,5 100 434,5 – 100 = 334,5

334,5 334,5 x 1,1 = 367,95 Resposta:C



31 - Ao fazer uma divisão entre dois números inteiros, numa calculadora, Josimar obteve, no visor, como resultado, 0,1234123412341234.... Assinale o item que pode indicar a divisão feita por Josimar:

(A)999

1234;

(B) 10001234

;

(C) 3412

;

(D) 9000000

12341234;

(E) 99991234

.

Solução: Questão que envolve o conceito de dízima periódica e pede para determinar a fração geratriz. O numerador da fração é determinado pela diferença entre o número formado pelos algarismos da parte inteira, não periódica e periódica e o número formado pelos algarismos da parte inteira e não periódica. Numerador = 01234 – 0 = 1234 O denominador será composto de tantos noves quanto forem os algarismos da parte periódica e quantos zeros quanto forem os algarismos da parte não periódica. Denominador = 9999 Um outro exemplo, a fração geratriz de 2,513232..... é: O algarismo da parte inteira é 2 Os algarismos da parte não periódica são 5 e 1 Os algarismos da parte periódica são 3 e 2 Numerador = 25132 – 251 = 24881 Denominador = 9900

990024881

Resposta: E 32 - Gumercindo comprou um lote que tinha a forma de um triângulo isósceles de lados 400m, 250m e 250m. Ele está pensando em dividir seu terreno em quatro lotes, como mostra a figura:

Na figura, as linhas tracejadas representam alturas dos respectivos triângulos e indicam o planejamento de Gumercindo para a divisão do lote que resultará, evidentemente, em dois lotes maiores de mesma área A e dois lotes menores de mesma área B. A razão A/B é então igual a: (A) 10/7; (B) 12/5;



(C) 14/8; (D) 16/9; (E) 9/5. Solução: Questão que envolve conceitos básicos de geometria plana como área, ângulos e triângulo retângulo.

d b c

h

O lado ad é igual ao lado ac, pois o triângulo é isósceles. No triângulo aob, cos bao = ___ab

n e no

triângulo boc, sen obc = ___bc

m

A área A é dada por A = 2

mh e a área B por B =

2nh

Logo, )cos(

)(

2

2___

___

baoab

obcsenbcnm

nh

mh

BA

⋅

⋅=== , mas o ângulo obc é igual ao ângulo bao, portanto:

___

___

___

___)(

)cos(

)(

ab

baotgbc

baoab

baosenbcBA ⋅

=⋅

⋅= e tg(bao) = ___

___

ab

bc

___

___)(

ab

baotgbcBA ⋅= = 2

2___

__ab

bc

No triângulo retângulo abc, temos: 2___2___2___

acbcab =+ 2___

ab = 2502 - 2002

___ab = 150

Portanto: =BA

2

2___

__ab

bc=

916

150200 2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

n

m

a

o



Resposta: D 33 - Agenor está fazendo um curso de especialização. O curso é dividido em módulos e cada módulo tem um certo número de créditos, dependendo da importância do módulo. O coeficiente de rendimento do aluno é a média ponderada das notas por ele obtidas nos respectivos módulos, tendo como pesos os créditos correspondentes. A tabela a seguir apresenta as notas obtidas por Agenor e o número de créditos de cada módulo:

Módulo No de créditos NotaI 4 6,0 II 5 7,0 III 5 8,0 IV 3 6,0 V 3 6,0 VI 5 9,0

O coeficiente de rendimento de Agenor no curso é igual a: (A) 6,4; (B) 6,8, (C) 7,0; (D) 7,2; (E) 7,6. Solução: Questão simples que envolve o conceito de média ponderada, tendo como peso os números de créditos. Mais um pontinho de graça pra você, meu amigo concurseiro.

2,725

180533554

956363857564==

++++++++++

=xxxxxxCR

Resposta: D 34 - No planejamento de um certo setor, o chefe distribuiu as oitenta e duas tarefas do mês por seus três funcionários de modo que Maria ficou com sete tarefas a mais que Josias que, por sua vez, recebeu menos quinze tarefas que Inácio. O produto entre o número de tarefas de Maria e de Inácio é igual a: (A) 945; (B) 894; (C) 732; (D) 710; (E) 697. Solução: Problema do 1° grau que envolve 3 equações e 3 incógnitas, portanto possível e determinado. O enunciado diz que Maria ficou com 7 tarefas a mais que Josias, logo: 1) M = 7 + J. Que por sua vez, recebeu 15 tarefas a menos que Inácio, logo: 2) J = I – 15. E 3) M + J + I = 82. Substituindo 1) e 2) em 3), temos: 7 + J + I – 15 + I = 82 J +2I = 90



Substituindo 2) na equação acima, temos: I – 15 + 2I = 90 3I = 105 I = 35 Substituindo o valor de I em 2), encontramos J = 35 – 15 = 20. Substituindo o valor de J em 1), encontramos M = 7+ 20 = 27. O problema pede o valor de M x I = 27 x 35 = 945. Resposta: A 35 - As raízes da equação x2 + mx + n = 0 são 5 e –1. A soma dos valores das constantes m e n é igual a: (A) –9; (B) –5; (C) 0; (D) 1; (E) 5. Solução: Questão que envolve o conceito de soma e produto das raízes de uma equação do segundo grau.

A soma das raízes de uma equação do 2° grau, ax2 + bx + c, é dada por S = ab−

e o produto por

P = ac

.

Na equação fornecida na questão a soma das raízes é 5 + (-1) = 4 e o produto é 5 x (- 1) = - 5. Utilizando as fórmulas de soma e produto, encontramos:

S = ab−

= mm−=

−1

= 4, logo m = - 4

P = ac

= 51

−== nn, logo n = - 5

Então, m + n = - 4 – 5 = -9 Porém, se o candidato não lembrasse destas fórmulas, uma outra forma de resolver a questão seria substituir os valores 5 e – 1 na equação dada e igualar a zero, pois são raízes da equação. Logo: 52 + 5m + n = 0 5m + n = -25 (I) ( -1)2 – m + n = 0 -m + n = -1 (II) Fazendo (I) – (II), 6m = -24 m = -4 Substituindo o valor de m na equação (I), encontramos n = -5 Resposta: A



36 - A cada 1200m rodados em viagem, o automóvel de Pascoal gasta 0,09 litro de combustível. Numa viagem, Pascoal gastou 54,9 litros de combustível. O percurso teve então a seguinte quantidade de quilômetros: (A) 776; (B) 732; (C) 688; (D) 654; (E) 586. Solução: Mais um pontinho dado candidato. Fique feliz, mas lembre-se que você não pode errar de jeito nenhum. Uma simples regrinha de três para solucioná-la. 1200m ------- 0,09l x ------- 54,9l

Kmmxxx

73273200009,012009,54

9,5409,01200

===→=

Resposta: B 37 - De cada vértice de um hexágono regular saem três diagonais, como mostra a figura:

O número total de diagonais de um hexágono é então igual a: (A) 18; (B) 16; (C) 12; (D) 9; (E) 6. Solução: O número de diagonais de um polígono regular de n lados é dado por:

2)3( −

=nnd

O hexágono é o polígono que possui seis lados. Substituindo na fórmula acima, encontramos que:

92

362

)36(62

)3(==

−=

−=

xnnd

Resposta: D 38 - A média aritmética dos pesos de dezenove pessoas que entraram num elevador é igual a 70kg. Se entrar mais uma pessoa, que pesa 82kg, a nova média dos pesos das vinte pessoas, em kg, será igual a:



(A) 80,2; (B) 76,3; (C) 72,0; (D) 71,2; (E) 70,6. Solução:

A média aritmética é dada por nx

X i∑=___

O enunciado da questão diz que a média aritmética dos pesos de dezenove pessoas é 70 Kg,

portanto 7019

........... 1911

___=

++=

xxX .

Entrando mais uma pessoa de 82 Kg, a média se alterará e passará a ser

2082........... 191

2

___ +++=

xxX

Porém, x1 +.......+x19 = 70 x 19 = 1330. Substituindo este valor em 2

___X , temos:

6,7020

141220

8213302

___==

+=X

Resposta: E 39 - Três números inteiros, M, N e O, quando decompostos em fatores primos, podem ser escritos como

onde os expoentes a, b, ..., h, i, ..., o, p, ..., u são todos números inteiros positivos. Nesse caso, NÃO é correto afirmar que: (A) M, N e O são divisíveis por 210; (B) M, N e O são múltiplos de 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 ; (C) M pode ser múltiplo de N e de O; (D) M, N e O não são múltiplos de 31; (E) O máximo denominador comum de M, N e O é 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17. Solução: A) 210 = 2 x 3 x 5 x 7. Como todos os coeficientes são inteiros positivos, implica que eles também são diferentes de zero, logo M, N e O quando fatorados sempre terão os fatores, 2, 3 , 5, 7, 11, 13, 17. Portanto M, N e O são divisíveis por 210. B) Pelo mesmo motivo da alternativa A, M, N e O são múltiplos de 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17. C) Sim, M pode ser múltiplo de N e O, pois apresentam os mesmos fatores. D) 31 = 1 x 31. M, N e O não apresentam fatores comuns com 31, logo não são múltiplos de 31. E) O MDC entre números fatorados é dado pelo produto dos fatores comuns com menores expoentes, mas ninguém garante que 1 é o menor expoente de 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17. Resposta: E



40 - Numa praça de pedágio, quatro cabines abertas durante 8h por dia são capazes de atender a 22.400 veículos por semana. Nesse caso, se num feriado forem abertas oito cabines, em seis horas pode ser atendida a seguinte quantidade de veículos, no máximo: (A) 4.200; (B) 4.800; (C) 5.200; (D) 5.600; (E) 6.000. Solução: Questão que aborda o conceito de regra de três composta. O modo de solução de uma regra de três composta é bem simples, bastando seguir os passos abaixo: Primeiramente, monta-se o esquema de visualização com os dados do enunciado 4 cabines ----- 8h -----22400 -----1semana 8 cabines ----- 6h ----- y -----1/7 semana, 1/7, pois a questão pergunta a quantidade de veículos em um feriado, suposto de um dia. O segundo passo é verificar se as grandezas são direta ou indiretamente proporcionais. Para fazer esta verificação basta fazer as seguintes perguntas. a) Como o número de cabines aumentou de 6 para 8, eu consigo atender mais ou menos carros? Lógico que eu atenderia mais, portanto é uma grandeza direta. Observe, que tanto o número de cabines quanto de carros diminuíram. É direta, porque "menos com menos dá mais". b) Como o número de horas diminuiu de 8 para 6, eu consigo atender mais ou menos carros? Lógico que eu atenderia menos, portanto é uma grandeza direta. Observe, que tanto o número de horas quanto de carros diminuíram. É direta, porque "menos com menos dá mais". c) Como o número de dias diminuiu de 1 para 1/7, eu consigo atender mais ou menos carros? Lógico que eu atenderia menos carros, portanto é uma grandeza direta. Observe, que tanto o número de dias quanto de carros diminuíram. É direta, porque "menos com menos dá mais". O terceiro passo é montar as proporções

7/11

68

8422400

⋅⋅=y

Logo, y = 4800 Observação: se alguma grandeza fosse indireta, bastaria inverter a fração desta grandeza. Supondo que no exemplo o número de cabines fosse indiretamente proporcional, teríamos como modificação:

7/11

68

4822400

⋅⋅=y

Resposta: B Até a próxima pessoal! Thiago Honório Lima www.editoraferreira.com.br

Prova de matemática comentada

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