TÓPICOS DE MATEMÁTICA B – ANÁLISE COMBINATÓRIA TURMA D – 1O

SEMESTRE 2008 CORREÇÃO DA 1A

PROVA Questão 1 De quantas maneiras é possível distribuir 20 brinquedos diferentes e 30 balas iguais entre 10 crianças? Solução: Primeiro distribuimos os 20 brinquedos e depois as 30 balas, o que pode ser feito de

20 3910

9

maneiras diferentes.

Questão 2 a. Quantas são as 10-sequências de letras do alfabeto (que tem 26 letras, de acordo com nossa convenção) em que as letras A, B, C e D aparecem nessa ordem a partir da esquerda (atenção: elas não precisam estar juntas)? b. Quantas são as 10-sequências de letras do alfabeto em que as letras aparecem em ordem alfabética a partir da esquerda? Solução: a. Faltou um “distintas” depois de “10-sequência de letras”, mas nossa conversa sobre interpretação de enunciados imprecisos vale! Isso posto, passamos à solução. Primeiro escolhemos as posições das letras A, B, C e D, colocamos essas letras em ordem nas posições escolhidas e finalmente completamos as posições vazias com uma 6-sequência das letras

restantes. Isto pode ser feito de 22

6

101

4A

⋅ ⋅

maneiras distintas.

b. Idem quanto a “distintas”. Aqui basta escolher as letras que vamos usar e ordená-las em

ordem alfabética, o que pode ser feito de 26

110

⋅

maneiras distintas.

Questão 3 Uma formiguinha quer ir do ponto A até o ponto B, andando ao longo dos segmentos da figura. Ela pode andar para a direita, para cima e para baixo, mas não pode percorrer o mesmo segmento duas vezes.

a. De quantas maneiras ela pode fazer isso? b. De quantas maneiras ela pode fazer isso passando por C? E sem passar por C? c. De quantas maneiras ela pode fazer isso passando por C e por D? d. De quantas maneiras ela pode fazer isso passando por C ou por D? E sem passar por

nenhum desses dois pontos?

Solução: a. Problema visto em sala; nossa formiguinha pode ir de A até B de 102 maneiras diferentes. b. Contamos primeiro o número de caminhos que não passam por C. Tais caminhos devem necessariamente passar pelos dois

segmentos marcados na figura ao lado; segue que seu número é 82 . O número de caminhos que

passam por C é então 10 82 2− .

c. O argumento de b. mostra que o número de caminhos que não passam por D é 82 e o

número de caminhos que não passam nem por C nem por D é 62 . Logo o número de caminhos

que não passam por C ou por D é 8 8 6 9 62 2 2 2 2+ − = − , e segue que o número de caminhos que

passam por C e por D é 10 9 6 9 62 (2 2 ) 2 2− − = + .

d. O número de caminhos que não passam nem por C nem por D foi calculado no item

anterior. O número de caminhos que passam por D é 10 82 2− , como no item b. Logo o número de

caminhos que passam por C ou por D é 10 8 10 8 9 6 10 6(2 2 ) (2 2 ) (2 2 ) 2 2− + − − + = − .

Questão 4 De quantas maneiras é possível fazer uma fila com 20 pessoas, duas das quais são João e Maria, de modo que entre João e Maria haja exatamente 5 pessoas? Solução: Escolhemos primeiro as posições de João e Maria e depois distribuimos as pessoas

restantes nas posições que faltam. O primeiro passo pode ser feito de 14 2

1 1

maneiras distintas

(um deles deve ocupar uma das 14 primeiras posições e o outro deve ficar 6 posições à frente) e o

segundo de 18! maneiras distintas. No total, temos 14 2

18!1 1

filas possíveis.

Podemos também fazer primeiro uma subfila de 7 pessoas com João e Maria nos extremos

e depois uma fila com essa subfila e as pessoas restantes. isso pode ser feito de

2

1

A

5

1814!

maneiras distintas.

Questão 5 Sejam m, n inteiros positivos com n m≥ . Demonstre combinatorialmente (isto é,

com uma historinha) a identidade

0

2

n

n m

k

n k n

k m m

−

=

=

∑

Solução: Para o lado direito podemos fazer a seguinte historinha: temos n pessoas e queremos escolher m delas para vestir uma camiseta azul, dando às outras a opção de escolher entre uma camiseta branca ou uma verde. No lado esquerdo temos a mesma historinha dividida em casos O índice k representa o número de pessoas que vão ganhar camisetas azuis ou brancas; o produto

n k

k m

corresponde a escolher essas k pessoas e depois, entre elas, escolher as que vão usar as camisetas azuis. Questão 6 De quantas maneiras é possível sentar n meninos e n meninas em uma roda gigante de n bancos, cada banco comportando exatamente duas crianças,

a) sem restrições? b) de modo que em cada banco se sentem uma menina e um menino? c) de modo que em cada banco se sentem duas meninas ou dois meninos?

Solução: a. Para descrever a disposição de 2n crianças na roda gigante, podemos começar do banco da Maria. Primeiro dizemos se ela está à esquerda ou à direita. Depois, em um sentido fixo (horário ou anti-horário) ao longo da roda gigante, vamos listando as crianças em cada banco, na mesma ordem em que descrevemos o banco da Maria; isso é o mesmo que falar de uma fila de

2n crianças com a Maria em primeiro lugar. O resultado final é então 2 (2 1)!n⋅ − .

Podemos também escolher n das crianças para ocupar o assento esquerdo em cada banco; depois colocamos essas crianças na roda gigante e finalmente sentamos as outras crianças nos assentos da direita. Isso pode ser feito de

2( 1)! !

nn n

n

−

maneiras diferentes; observamos que o segundo fatorial acima não é ( 1)!n − pois, uma vez as

primeiras n crianças sentadas, os bancos da roda gigante passaram a ser distintos. Podemos ainda dividir as crianças em grupos de 2; depois decidimos em cada grupo quem

vai ficar no assento da direita e finalmente fazemos entrar os grupos na roda. Isso pode ser feito de

21 1

2 ( 1)! (2 )!( 1)!2,2, ,2! !

n

n vezes

n

n n nn n

− = −

⋯⋯�����

maneiras diferentes. Este raciocínio corresponde ao lado esquerdo da igualdade acima; interpretar combinatorialmente o lado direito fica como exercício. Fica também para o(a) leitor(a) o (fácil) trabalho de mostrar que todas essas respostas coincidem. b. Podemos primeiro formar os casais e depois colocá-los na roda gigante, decidindo finalmente da

ordem dos casais em cada banco. Isso pode ser feito de !( 1)!2nn n − maneiras.

Alternativamente, podemos primeiro colocar as meninas na roda gigante, uma por banco, depois os meninos e finalmente decidir da ordem das crianças nos bancos; isso pode ser feito de

( 1)! !2nn n− maneiras diferentes. Notamos que nessa solução os casais são automaticamente

formados nos bancos, ao contrário da solução anterior onde tivemos que formar os casais.

c. Se n é ímpar a resposta é evidentemente 0, de modo que vamos considerar apenas n par.

Uma primeira solução é a seguinte. Escolhemos

n

2 meninos para sentar à direita nos

bancos, fazemos o mesmo com as meninas, colocamos essas n crianças na roda gigante e depois sentamos as n crianças restantes na roda de modo que meninos se sentem com meninos e meninas idem. Isso pode ser feito de

n

n 2

2

(n − 1)!n

2

!

2

maneiras diferentes. Podemos também descrever a posição das crianças na roda gigante começando da Maria,

dizendo se ela está à esquerda ou à direita (por exemplo, vendo os bancos de frente). Depois, em um sentido fixo ao longo da roda gigante, dizemos quais são os bancos ocupados por meninos. Finalmente, começando em cada banco pela posição ocupada por Maria e no sentido escolhido da roda gigante, damos as sequências de meninas (a partir da Maria) e de meninos. Nossa resposta é então

2n −1

n 2

(n − 1)!n!

Outro modo de proceder consiste em dividir os meninos em grupos de dois, fazer o mesmo com as meninas, decidir da ordem de cada grupo nos bancos e finalmente fazer com que os grupos entrem na roda gigante. Isto nos dá

( )

2

2

12,2, ,2 2 ( 1)!

2 !

n

nvezes

n

nn

−

⋯�����

O(a) leitor(a) pode se divertir mostrando que essas duas respostas são realmente iguais.