2. Propriedades físicas dos sedimentos 2.1. Propriedades ...
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES Matemática Dorta. O determinante de uma matriz quadrada é nulo se:...
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PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
Matemática
Dorta
O determinante de uma matriz quadrada é nulo se:
Observação: válido para as três primeiras propriedades que serão citadas nesta aula.
0 Bdet
61 log74
490 cos53
30sen 32
1041
B
0 A det
962
000
531
A
P1) A matriz apresenta uma fila de zeros (fila nula).
P2) A matriz possui filas paralelas proporcionais:
0 Bdet
9066
5255
8133
5822
B
0 A det
642
341-
321
A
)LL(L 0 Bdet
4633
0312
9521-
4321
B
)(C 0 A det
21-3
312
431
A
431
321
CC
P3) Uma fila é a combinação linear de outras filas paralelas:
P4) O determinante de uma matriz é igual
ao determinante de sua transposta.
731053
12B det
731051
32Adet
(A.B)det Bdet A.det queobeservar Podemos
824-32 (A.B)det 86
44A.B
40-4 Bdet 21
02B
22-4 Adet 41
21A
P5) Teorema de Binet det (A.B) = det A . detB
P6) Troca de filas paralelas
Dada uma matriz Anxn, se trocarmos as posições de duas filas de A, teremos uma nova matriz Bnxn, cujo determinante é igual ao determinante de A mudando-se apenas o sinal (+ ou -).
Exemplo da P6
710332
51 B det
731051
32Adet
P7) k. (fila)
Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um número real k não-nulo, o seu determinante ficará multiplicado por k.
Exemplo da P7
Adet 3. Bdet Assim,
21 7 3. B det
2193051
96B det
B) matriz (da L A) matriz (da 3.L
731051
32Adet
11
P8) Conseqüência da propriedade anterior
Se multiplicarmos uma matriz Amxn por um número real k não-nulo, obtemos uma matriz Bmxn= k. Amxn
tal que det B = kn.det A.
Exemplo da P8
Adet .3 Bdet Assim,
63 7 .3 3.7 3. B det
632790153
96B det
A 3. B
731051
32Adet
2
2
P9) Válida para matrizes triangulares
Se os elementos situados abaixo ou acima da diagonal principal de uma matriz quadrada são todos iguais a zero, o determinante da matriz é o produto dos elementos da diagonal principal.
Exemplos da P9
-241.(-2).3.4 Bdet
4793
0368
002-5
0001
B
6 1.2.3 Adet
300
620
451
A
P10) Válida para matrizes similares as triangulares
Se os elementos situados abaixo ou acima da diagonal secundária de uma matriz quadrada são todos iguais a zero, o determinante da matriz é o produto dos elementos da diagonal principal multiplicados por (-1) [n.(n-1)]/2; em que n é a ordem da matriz.
Exemplos da P10
241.2.3.4 (-1) Bdet
4794
0330
0200
1000
B
6- .1.2.3(-1) Adet
003
025
164
2
4.3
2
3.2
A
P11) Soma de determinantes
São dadas três matrizes, A, B e C, de ordem n, com n-1 filas correspondentes iguais. Se os elementos da outra fila de C forem iguais à soma dos elementos correspondentes das outras filas de A e B, então det C = det A + det B.
Exemplo da P11
Bdet A det Cdet Assim,
6
102
154
112
det
78
202
554
412
det
84
302
654
312
det
C
B
A
P12) Teorema de Jacobi
Multiplicando-se uma fila de uma matriz A por um número real não-nulo e adicionando-se o resultado à outra fila, o seu determinante fica inalterado.
Exemplo da P12
BA
B
CC
A
detdet
1
011
201
101
det
.2
1
031
221
121
det
21
P13) Determinante de Vandermonde
Um determinante de ordem n maior ou igual a 2 é chamado determinante de Vandermonde se na primeira linha os elementos forem todos iguais a 1; na segunda, números reais quaisquer; na terceira, seus quadrados; na quarta seus cubos, e assim sucessivamente.
Cálculo do determinante de Vandermonde
Os elementos da segunda linha no determinante de Vandermonde são chamados de elementos característicos.
Um determinante de Vandermonde é calculado por meio do produto de todas as diferenças que se obtêm subtraindo de cada um dos elementos característicos os elementos que os precedem.
Exemplo da P13
121.2.3.1.2.1det
34.24.14.23.13.12
642781
16941
4321
1111
det
A
A