Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 1

Uma agência de viagens pretende organizar uma excursão

para 500 pessoas que vão a um concerto de verão.

Para o efeito, terá de alugar autocarros a uma

empresa que apresentou as seguintes condições:

• Dispõe de 7 autocarros de 50 lugares e de 15 pequenos autocarros de 30 lugares;

• O aluguer de um autocarro de 50 lugares custa 850 euros e um de 30 lugares custa 450 euros;

• No dia da excursão apenas estão disponíveis 14 motoristas.

Quantos autocarros de cada tipo deverão ser alugados pela agência, para minimizar o custo da viagem?

Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 1 Resolução

• 7 autocarros de 50 lugares (850 € cada)

• 15 autocarros de 30 lugares (450 € cada)

• 14 motoristas disponíveis.

x : “n.º de autocarros de 50 lugares”

y : “n.º de autocarros de 30 lugares”

(n.º de lugares necessários nos autocarros)

(n.º de motoristas disponíveis)

(n.º de autocarros de 50 lugares disponíveis)

(n.º de autocarros de 30 lugares disponíveis)

, 850 450L x y x y

Função objetivo

0

0

x

y

50x + 30y ≥ 500

x + y ≤ 14

x ≤ 7

y ≤ 15

Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 1 Resolução

0

0

50 30 500

14

7

15

x

y

x y

x y

x

y

0

0

500

14

7

15

5030

x

y

y x

y

x

y

x

0

0

50 500

14

7

15

30

3

0

x

y

xy

x

y

xy

Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 1 Resolução

C. A.

Determinar coordenadas de dois pontos da reta

5 50 10x x

0

0

5 50

3 314

7

15

x

y

xy

y x

x

y

• Se y = 0;

• Se x = 1;

5 50

3 30

x

15 50

3 3y

(10, 0)

(1, 15)

5 50

3 3

xy

45

3y

15y

Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 1 Resolução

• Se y = 0;

0

0

5 50

3 314

7

15

x

y

xy

y x

x

y • Se x = 0; 14 140y y

14 10 4x x

(14, 0)

(0, 14)

C. A.

Determinar coordenadas de dois pontos da reta

14y x

Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 1 Resolução

10, 0 e 1, 1550

3

10 14

14

O

y

x

15

1 7

A

B

C

5 50

3 3

xy

14, 0 0, 14

14y x

7x

y = 15

5 50

3 3

xy

14y x

7x

y ≤ 15

Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 1 Resolução

14

5 50

3 3

y x

xy

14

3 42 5 50

y x

x x

14

2 50 42

y x

x

10

4

y

x4, 10A

Coordenadas

do ponto A 14

5 0

3 31

54

x

x

y

x

(3) (3)

8

4

4

14y

x

Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 1 Resolução

Coordenadas

do ponto B

Coordenadas

do ponto C

5 50

3 3 7

xy

x

5 50

3 3

7

7

y

x

35 50

3 37

y

x

15

37

y

x

5

7

y

xB(7, 5)

14

7

y x

x

14

7

7

y

x

7

7

y

xC(7, 7)

Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 1 Resolução

10 14

50

3

14

O

y

x 7

A

B

C

4

10

7

5

(x, y) L(x, y)=850x + 450y

A(4, 10) L(A)=3.400+4.500=7.900

B(7, 5) L(B)=5.950+2.250=8.200

C(7, 7) L(C)=5.950+3.150=9.100

Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 1 Resolução

10 14

50

3

14

O

y

x 7

A

B

C

4

10

7

5

(x, y) L(x, y)=850x + 450y

A(4, 10) L(A)=3.400+4.500=7.900

B(7, 5) L(B)=5.950+2.250=8.200

C(7, 7) L(C)=5.950+3.150=9.100

A(4, 10) L(A)=3.400+4.500=7.900 Solução ótima

Valor

mínimo

Para que o custo da viagem seja o menor

possível, 7.900 euros, a agência deve alugar

4 autocarros de 50 lugares e 10 autocarros

de 30 lugares.

Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 1 Resolução

10 14

50

3

14

O

y

x 7

A

B

C

4

10

7

5 17 ( , )

9 450

L x yy x

( , ) 8 45050L x y x y

( , ) 850 450L x y x y

Retas de nível

Função objetivo

Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 1 Resolução

10 14

50

3

14

O

y

x 7

A

B

C

4

10

7

5 17 ( , )

9 450

L x yy x

( , ) 8 45050L x y x y

( , ) 850 450L x y x y

Retas de nível

Função objetivo

Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 2

A empresa “Citrex” dedica-se à apanha e recolha de

citrinos na zona de Vila Real e Braga.

Na época da apanha, esta empresa precisa de criar

equipas que vão laborar nestas zonas.

Para criar as equipas, a “Citrex”, sabe que:

• Em Vila Real, cada equipa custa 5 mil euros e tem de ser constituída por 1 chefe e 9 trabalhadores;

• Em Braga, cada equipa custa 8 mil euros e tem de ser constituída

por 1 chefe e 5 trabalhadores;

• Para pôr o projeto no terreno, a “Citrex” dispõe de 20 chefes, 144 trabalhadores e 136 mil euros.

Determine o número máximo de equipas que a empresa pode formar em cada uma destas duas regiões do

país.

Indique todas as soluções possíveis.

Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 2 Resolução

• Vila Real: 1 chefe + 9 trabalhadores – 5 mil € por equipa

• Braga: 1 chefe + 5 trabalhadores – 8 mil € por equipa

• Disponibilidade: 20 chefes, 144 trabalhadores e 136 mil euros

x : “n.º de equipas para Vila Real”

y : “n.º de equipas para Braga”

(relativa ao n.º de chefes) x + y ≤ 20

9x + 5y ≤ 144

0

0

x

y

5x + 8y ≤ 136

(relativa ao n.º de trabalhadores)

(relativa ao dinheiro)

Função objetivo

L(x, y) = x + y

Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 2 Resolução

x + y ≤ 20

9x + 5y ≤ 144

0

0

x

y

5x + 8y ≤ 136

0

0

20

9 144

5 55

17 8

x

y

y x

y x

y x

…

Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 2 Resolução

C. A.

Coordenadas de dois pontos das retas:

(0, 20) e (20, 0)

0

0

20

9 144

5 55

17 8

x

y

y x

y x

y x

20y x

517

8y x

(0, 17) e (8, 12)

(16, 0) e (6, 18)

9 144

5 5y x

Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 2 Resolução

O

y

x

12

8 20

20

17

6

18

16

144

5

20y x

(0, 20) e (20, 0)

517

8y x

(0, 17) e (8, 12) 136

5

20y x

(6, 18) e (16, 0)

9 144

5 5y x

9 144

5 5y x

517

8y x

Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 2 Resolução

O

y

x 20

20

17

16

144

5

20y x

517

8y x

136

5

9 144

5 5y x

A

B

C

D

A(0, 17)

D(16, 0)

O(0, 0) 5

178

20

y x

y x

Coordenadas do ponto B

B(8, 12)

Coordenadas do ponto C

9 144

5 5

20

y

x

x

y

C(11, 9)

Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 2 Resolução

O

y

x 20

20

17

16

144

5

136

5

A

B

C

D

(x, y) L(x, y)=x + y

O(0, 0) L(0, 0) = 0 + 0 = 0

B(8, 12) L(8, 12) = 8 + 12 = 20

C(11, 9) L(11, 9) = 11 + 9 = 20

A(0, 17) L(0, 17) = 0 + 17 = 17

D(16, 0) L(16, 0) = 16 + 0 = 16

Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 2 Resolução

O

y

x 20

20

17

16

144

5

136

5

A

B

C

D

(x, y) L(x, y)=x + y

O(0, 0) L(0, 0) = 0 + 0 = 0

B(8, 12) L(8, 12) = 8 + 12 = 20

C(11, 9) L(11, 9) = 11 + 9 = 20

A(0, 17) L(0, 17) = 0 + 17 = 17

D(16, 0) L(16, 0) = 16 + 0 = 16

L(8, 12) = 8 + 12 =

L(11, 9) = 11 + 9 =

B(8, 12) 20

C(11, 9) 20

8

12

11

9

20y x

9 10

10

11 E(9, 11)

F(10, 10)

Matemática B

11.º ano

Proposta de trabalho – 2 Resolução

A empresa tem quatro soluções possíveis que maximizam a função objetivo,

isto é, o número máximo de equipas de trabalho que é possível constituir, em

cada distrito:

8 equipas em Vila Real e 12 em Braga;

9 equipas em Vila Real e 11 em Braga;

10 equipas em Vila Real e 10 em Braga;

11 equipas em Vila Real e 9 em Braga.

Matemática B

11.º ano

Matemática B – 11.º ano

2019/2020

Fim