MATEMTICA IIIAULA 01:FATORIAL

EXERCCIOS PROPOSTOSANUAL

VOLUME 1

OSG.: 099999/15

01. Note que o valor de A o produto de todos os nmeros mpares de 1 a 49: A = 1 3 5 7 49. Neste caso, multiplicando ambos os membros dessa igualdade pelo produto 2 4 6 8 50, obtemos:

A (2 4 6 8 50) = 1 3 5 7 49 (2 4 6 8 50) A (2 4 6 8 50) = 1 2 3 4 5 6 7 8 49 50

A (2 4 6 8 50) = 50! (*)

Ora, mas o produto 2 4 6 8 50 , obviamente, igual ao produto 225 (1 2 3 4 25), o qual, desde que1 2 4 25 = 25!, pode ser escrito como 225 25!. Portanto, substituindo este resultado em (*), conclumos que:

A (2 4 6 8 50) = 50! A 225 25! = 50!

A = 50

2 2525!

!

Resposta: E

02. Observando a funo f nn n n

n n( ) = +( ) +( ) ( )

+ ( )1 1 1

1

! !

! !, a fi m de facilitar a soluo do problema, decresceremos (n +1)! e n! at

chegarmos a (n 1)!. Neste caso, temos:

f nn n n

n n( )

! !

! !=

+( ) +( ) ( )+ ( )

1 1 1

1

( ) = +( ) ( ) +( ) ( )( ) + ( )f n

n n n n n

n n n

1 1 1 1

1 1

! !

! !

( ) = +( ) ( ) ( )( ) +( )f n

n n n

n n

1 1 1

1 1

!

!

( ) = f n n 1 Agora simples! De fato, como queremos calcular o valor de f (2009), substituindo 2009 em n, obtemos:

f f2009 2009 1 2009 2008( ) = ( ) = . Resposta: B

03. Observando que, de 1 a 60, aparecem 8 mltiplos de 7 (7, 14, 21, 28, 36, 42, 49, 56), ento claro que o fator 7 aparece 9 vezes,

pois 49 = 7 7. Assim, o maior valor de x para que 60

7

!x

seja natural igual a 9.

Resposta: C

04. Inicialmente, observe que:2 4 6 (2m) = 2 2 2 (1 2 3 m) = 2m m!

Da, multiplicando a igualdade dada de um lado por 2m m! e do outro por 2 4 6 (2m), obtemos:9 2 2 2 1 2 3 4 5 6 7 2 2

2

( ) = m m mm mm

! ! ! ... m( )!

mm

m m m m mm m

m

m m

+( ) ( ) = ( ) +( )

= + = =

1

9 2 2 2 2 2 19 2 1 8 2

4

! ! ! !

Resposta: D

05. Observando que, na soma S = 5! + 2000!, todos os fatoriais so mltiplos de 10, ento claro que o algarismo das unidades desta 0.Da, uma vez que 1! + 2! + 3! + 4! = 33, segue que o algarismo das unidades da soma S = 1! + 2! + 3! + + + 2000! 3.

Resposta: C

06. Inicialmente, note que, em cada parcela do produto 6 12 18 24 300, o fator 6 sempre aparece.

6 12 18 24 300 = 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5050

... ( ) ( ) ( ) ( ) ( )parcelas

Neste caso, reorganizando este produto, obtemos o seguinte resultado:

6 12 18 24 300 = 650 ( 1 2 3 5 50) = 650 50!

OSG.: 099999/15

Resoluo Matemtica III

Assim, levando em conta que, por hiptese, 6 12 18 24 300

50216

. . .

!,= n obtemos:

6 12 18 24 300

50216

6 50

50216

50 . . .

!

!

!= =n n

= =6 6 50 350 3n n

=n50

3.

Resposta: E

07. n nn

n nn

n

n n n n

n2 22 1

12

1 2 1 ! !

!( )

= ( )

=

( ) ( ) = n (n 1) (n 2)! = n!

Resposta: A

08. Uma vez entedido o signifi cado de na!, seja "Q" o quociente

72 !

18 !8

2

o qual devemos calcular: Q = 72 !

18 !8

2

. Neste caso, temos que:

Q Q= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

72

18

72 72 8 72 16 72 64

18 18 2 18 48

2

!

!

...

( ) =

=

......

...

18 1672 64 56 8

18 16 14 2

72

18

64

16

56

1Q

44

8

2 ...

Note os numeradores: 72 = 8 9; 64 = 8 8; 56 = 8 7; ; 8 = 8 1.

Assim, Q = =4 4 4 4 49... .9 vezes

Resposta: D

09. Neste problema, a fi m de facilitar os clculos, decresceremos o (x 1)! at o (x 3)! e, em seguida, o x! at (x 2)!. Neste caso, temos:

x

x

x

xx

( )( ) + ( ) + =1

3 3 2 215 15

!

! !

!

! !

( ) ( ) ( )

( ) +( ) ( )

( ) + =x x x

x

x x x

xx

1 2 3

3 3

1 2

2 215 15

!

! !

!

! !

( ) ( )

+( )

+ =x x x x

x1 2

6

1

215 15

( ) ( )

+( )

=

x x x xx

1 2

6

3 1

615 15

( ) + = ( )x x x x1 2 3 6 15 1 [ ] , com x 1 = =4 2 90 4 92x x

=x 23.

Resposta: D

10.( )!( ) ( )! ( )( )!

x x xx x x x xx

+ = ++ = + =

11 1 11 1

2

Se x +1 = 0 x = 1 1 = 2 (Falso). Logo, x = 1 no raiz. Se x = 0 1 = 0 (Falso). Logo, x = 0 no raiz. Se x 0 e x 1, temos:

( ) ( )! ( ) ( )!

( )

( )x x x x x x

x x

x x+ = + =

+=1 1 1 1

1

11

Ento:x 1 = 0 x = 1oux 1 = 1 x = 2

Logo, a soma das razes = 1 + 2 = 3

Resposta: D Joo Guilherme: 08/05/2015 Rev.: AP09112315- pro-aula 01-Fatorial