PROJETO ÓTIMO DE UM CANAL ABERTO DE ÁGUAS PLUVIAIS SEGUNDO O MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE...

PROJETO ÓTIMO DE UM CANAL ABERTO DE ÁGUAS PLUVIAIS SEGUNDO O MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Samuel Sander de CarvalhoDepartamento de Eng. Mecânica – Universidade Federal de São João del-Rei – UFSJ, São Jao del-Rei - MGE-mail: [email protected]

Cristiano Gabriel Persch Departamento de Eng. Civil – Universidade Federal de Santa Maria – UFSM, Santa Maria - RSE-mail: [email protected]

André Luis ChristoforoDepartamento de Eng. Mecânica – Universidade Federal de São João del-Rei – UFSJ, São Jao del-Rei - MGE-mail: [email protected]

Vânia Regina Velloso SilvaDepartamento de Eng. Mecânica – Universidade Federal de São João del-Rei – UFSJ, São Jao del-Rei - MGE-mail: [email protected]

RESUMO: As dificuldade encontradas em otimizar projetos na construção de canais abertos de águas pluviais são muitos.Geralmente o método adotado para tal é o de tentativa e erro, o que se torno um processo dispendioso e demorado, uma vez que não houve qualquer tipo cálculo para encontrar resultados otimizados. Com o intuito de apresentar uma solução plausível com o menor custo possível e uma eficiencia considerável, este trabalho objetivou empregar o método dos multiplicadores de Lagrange utilizando da equação de Manning e formando uma equação objetivo, a qual foi resolvida aplicando a metodologia de Newton-Raphson, sendo este um dos principais métodos utilizado hoje para a resolução de equações não lineares. O trabalho tomou como material, uma parede com revestimento dos taludes e fundo em alvenaria de pedra argamassa em condições regulares. Os resultados obtidos deram um parecer favorável ao projeto, entretando, algumas perdas puderam ser observadas como um gasto computacional grande quando empregado o método de Newton-Raphson com atualização da expressão Jacobiana, apesar desse método apresentar uma melhor eficiencia, e ao utilizar uma variação desse mesmo método onde a expressão Jacobiana foi encontrada uma única vez e desse ponto em diante ficou fixa, obteve um resultado não tão preciso, por outro lado, caso as condições iniciais estiverem muito próximas do resultado real, esse método diminui e muito o gasto processual.

Palavras-chave: Multiplicadores de Lagrange, Método de Newton-Raphson, Otimização de canal.

mailto:[email protected]



1° Congresso das Engenharias de Mato Grosso – 1° CONEMAT 2010Sinop, Mato Grosso, 22 a 25 de Setembro de 2010

1 INTRODUÇÃO

De modo geral, os escoamentos dos fluidos estão sujeitos a determinação das condições gerais, princípios e leis da dinâmica e à teoria da turbulência.

No caso dos líquidos, em particular a água, a metodologia de abordagem consiste em agrupar os escoamentos em determinados tipos, cada um dos quais com suas características comuns, e estudá-los por métodos próprios.

O escoamento de água através de uma tubulação, sob condições de conduto forçado, tem por principais características o fato de a tubulação ser fechada, a seção ser plena, de atuar sobre o líquido uma pressão diferente da atmosférica e o escoamento se processar por gravidade ou bombeamento. Nos condutos livres ou canais, a característica principal é a presença da pressão atmosférica atuando sobre a superfície do liquido, em uma seção aberta, como canais de irrigação e drenagem, ou fechada, como nos condutos de esgotos e galerias de águas pluviais. Como características deste tipo de escoamento, pode-se dizer que ele se dá necessariamente pela ação da gravidade e que qualquer perturbação em trechos localizados pode dar lugar a modificações na seção transversal da corrente em outros trechos.

A Canalização de águas pluviais tem como um de seus objetivos evitar que essa se espalhe de forma desordenada e acabe por carregar todo o tipo de lixo para o leito dos rios. No entanto, projetar esses canais tem-se utilizado de uma metodologia conhecida por tentativa e erro. A utilização desse método consiste primeiramente em ter uma meta, em seguida ajustar o canal seja pela inclinação ou pelo dimencionamento das paredes, e por fim, verificar se a meta pré-estabelecida foi alcançada. Em caso negativo, ajusta-se novamente o canal e esse procedimento finaliza quando encontra-se um resultado plausivel para o problema.

Este trabalho tem por finalidade ilustrar a potencialidade do método dos multiplicadores de Lagranfe nos problemas de engenharia, mais especificamente na área de hidráulica, através da maximização da área da seção transversal de um canal trapezoidal em termos das dimensões do mesmo (x1, x2 e ), onde, x1 e x2 são os lados do canal e a inclinação das paredes laterais. Evitando assim, o método de tentativa e erro, a fim de economizar gastos, tempo e apresentando uma metodologia mais eficaz.

2 SOBRE O PROJETO DE CANAIS

Os canais podem ser classificados como naturais, que são os cursos d’água existentes na natureza, como as pequenas correntes, córregos, rios, estuários, etc., ou artificiais, de seção aberta ou fechada, construídos pelo homem, como canais de irrigação, de navegação, aquedutos, galerias, etc.

Os canais podem ser ditos prismáticos se possuírem ao longo do comprimento seção reta e declividade de fundo constante; caso contrário, são ditos não prismáticos.

Primeiramente, considerando o aspecto relativo à rugosidade das paredes de tubulações usuais em condutos forçados, se têm rugosidades bem caracterizadas, já que os tubos decorrem de produção industrial, e a gama de variação destes materiais é pequena (ferro fundido, aço, concreto, etc.). O mesmo não ocorre com as rugosidades dos canais, em que, além dos tipos dos materiais usados serem em menor número, é mais difícil a especificação do valor numérico da rugosidade em revestimentos sem controle de qualidade industrial ou, mais difícil ainda, no caso dos canais naturais.

Anais do 1° CONEMAT – Congresso das Engenharias de Mato Grosso | 2


No que concerne ao estabelecimento dos parâmetros geométricos da seção (área, perímetro, altura d’água), é visível a maior dificuldade para os canais, pois, enquanto os condutos forçados têm, basicamente, seções circulares, os canais, se apresentam nas mais variadas formas geométricas, além do que esses parâmetros geométricos podem ainda variar no espaço e no tempo.

Do ponto de vista de responsabilidade técnica, os projetos em canais são mais preocupantes, já que, se um erro de 0,30 m no plano piezométrico de uma rede de distribuição de água não traz maiores conseqüências, uma diferença de 0,30 m no nível de água em um projeto de sistemas de esgoto ou galerias de águas pluviais pode ser desastroso. Uma abordagem mais detalhada sobre o assunto está disponível na obra de Netto e Martiniano (2000).

Tanto nos canais prismáticos como nos não prismáticos, uma série de parâmetros é necessária para descrever geometricamente a seção e as declividades de interesse. Conforme a figura abaixo, os principais elementos geométricos são:

Figura 1 - Elementos geométricos de uma seção

Área molhada (A): é a área da seção reta do escoamento, normal à seção de fluxo;

Perímetro molhado (P): é o comprimento da parte da fronteira sólida de seção do canal (fundo e paredes) em contato com o liquido; a superfície livre não faz parte do perímetro molhado.

Altura d’água (y): é a distância vertical do ponto mais baixo da seção do canal até a superfície livre.

Raio hidráulico (Rh): é a relação entre a área molhada e o perímetro molhado.

Declividade de fundo (Io): é a declividade longitudinal do canal. Em geral as declividades são muito baixas, podendo ser expressar por I o=tan (α )=sin(α ).

3 PROBLEMA MODELO

Dimensionar um canal coletor aberto de águas pluviais de seção trapezoidal, com declividade de fundo Io = 0,0010 m/m, com revestimento dos taludes e fundo em alvenaria de pedra argamassa em condições regulares, para transportar uma vazão máxima de 6 m3/s. Considere que na situação crítica, a área molhada é igual a própria área da seção. Dessa forma, minimizar o custo do revestimento em função da utilização racional da área da seção, tendo como restrição, o valor numérico do perímetro da seção molhada.



No dimensionamento de canais, o projetista muitas vezes deve decidir primeiro o estabelecimento da forma geométrica da seção e, após esta definição, quais serão suas dimensões para escoar uma determinada vazão, dados a declividade de fundo e o coeficiente de rugosidade.

Figura 2 - Características geométricas da seção

O problema não leva a uma solução única, isto é, existe mais de uma seção de forma definida que satisfaz a equação de Manning.

n .Q=A . Rh2 /3 .√I 0

(1)

Onde:

n é o valor do coeficiente de rugosidade dado pela Tabela1:

Tabela 1 - Valores de coeficientes de rugosidade.

Natureza das ParedesCondiçõesMuito boas

Boas Reg. Más

Tubos de ferro fundido sem revestimento 0,012 0,013 0,014 0,015Tubos de ferro fundido com revestimento de alcatrão 0,011 0,012 0,013 ---Tubos de bronze ou de vidro 0,009 0,010 0,011 0,013Condutos de barro vitrificado, de esgotos 0,011 0,013 0,015 0,017Condutos de barro, de drenagem 0,011 0,012 0,014 0,017Alvenaria de tijolos com argamassa de cimento 0,012 0,013 0,015 0,017Tubos de concreto 0,012 0,013 0,015 0,016Condutos e aduelas de madeira 0,010 0,011 0,012 0,013Calhas de prancha de madeira aplainada 0,010 0,012 0,013 0,014Idem, não aplainada 0,011 0,013 0,014 0,015Idem, com pranchões 0,012 0,015 0,016 ---Superfície de argamassa de cimento 0,011 0,012 0,013 0,015Superfície de cimento alisado 0,010 0,011 0,012 0,013Alvenaria de pedra argamassada 0,017 0,020 0,025 0,030Alvenaria de pedra seca 0,025 0,033 0,033 0,035Alvenaria de pedra aparelhada 0,013 0,014 0,015 0,017Calhas metálicas lisas (semicirculares) 0,011 0,012 0,013 0,015Calhas metálicas lisas (semicirculares) corrugadas 0,023 0,025 0,028 0,030

Fonte: Porto (1998) e Cirilo et al. (2001)



Como o canal pode ter interferência com outros elementos do local de sua implantação, existem condições de contorno que limitam a liberdade do projetista. Entre outras condições, pode-se citar a natureza do terreno, a limitação do gabarito do canal pela presença de avenidas construídas ou projetadas, limitação de profundidade por questões de escavação, lençol freático, ou tipo de revestimento a ser usado, compatível com a velocidade média, etc.

Assim, o dimensionamento do canal, embora simples e rápido do ponto de vista hidráulico, envolve fatores técnicos, construtivos e econômicos muito importantes.

Observando a fórmula de Manning, verifica-se que para declividade de fundo e rugosidade fixada, a vazão será máxima quando o raio hidráulico adquirir o máximo valor possível, o que ocorre quando o perímetro molhado for o menor possível e compatível com a área.

Desta maneira, uma seção com esta propriedade de mínimo perímetro molhado é uma das que devem ser estudadas no projeto.

O que se pretende nesse é minimizar o custo de revestimento do canal, através da maximização da área da seção do mesmo, determionando os parâmetros x1, x2 e , definindo também a geometria da seção (se = 0, canal retangular, caso contrario, ou seja, 0 < < 90, o canal será trapezoidal (Área do trapézio).

A=( x1+x2 . sin α ) . x2 . cosα (2)

Convém lembrar que este problema possui uma restrição, ou seja:

P=x1+2. x2 (3)

Após definida a escolha das variáveis x1 e x2 em função de P (perímetro do canal trapezoidal) e do ângulo que definirá a geometria da seção, retorna-se ao problema inicial de engenharia, onde serão calculados a velocidade da água no coletor, o Rh e os demais parâmetros de interesse.

Tomando-se como partida, a formula de Manning (Equação 1), e lembrando-se que o Raio hidráulico é a relação entre a área molhada e o perímetro molhado, tem-se:

n .Q

√I 0

=A .3√( A

P ) (4)

Elevando se ao cubo ambos os lados da equação e isolando a área:

A5=P2 .(n3 . Q3 . I 0−3 /2) ou −A5+P2 .(n3 .Q 3 . I 0

−3/2 )=0 (5)

Utilizando a Equação 2 (área do trapézio), a função objetivo tem a forma:

P2 . (n3 .Q3 . I 0−3/2)−(x1. x2 . cosα +x2

2 . sin α .cosα )5=0 (6)



Sujeita à seguinte restrição:

x1+2. x2−P=0 (7)

4 MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Algumas das aplicações mais importantes do cálculo diferencial referem-se à resolução de problemas de otimização. De fato, existem vários exemplos de problemas cujas soluções exigem a determinação de valores máximos e/ou mínimos absolutos das funções que os representam.

Com o método de Lagrange, por exemplo, pode-se determinar valores de máximos e mínimos de funções sujeita a restrições, porém diferentemente do teste da segunda derivada, aplicado a funções de duas variáveis, este pode ser utilizado para funções genéricas.

4.1. Vetor gradiente para uma função f de três variáveis

∇ f =⟨ f x , f y , f z ⟩= ∂ f∂ x

i+ ∂ f∂ x

j+ ∂ f∂ x

k (8)

4.2. Multiplicadores de Lagrange para uma função f de três variáveis

Seja f : R3→ R Para determinar os valores máximo e mínimo de f (x , y , z) sujeita a g( x , y , z )=k [supondo que esses valores extremos existam e que ∇ g ≠ 0 sobre a superfície g ( x , y , z)=k]:

i) Determine todos os valores de x, y, z e λ tal que:

∇ f ( x , y , z )=λ∇ g (x , y , z ) (9)

g ( x , y , z)=k (10)

ii) Calcule f em todos os pontos (x, y, z) que resultaram do passo (i). O maior desses valores será o valor máximo de f , e o menor será o valor mínimo de f .

Maiores detalhes sobre Multiplicadores de Lagrange pode ser encontrado na obra de da Costa (2009)

5 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA SISTEMAS NÃO LINEARES

Geometricamente o método de Newton-Raphson pode ser obtido considerando o ponto estimativa inicial (x ( k ) , f ( x (k ) )) pelo qual se traça a reta L(k )(x) tangente a curva neste ponto. Logo:

L(k ) ( x )=f ( x (k ) )+ f ' ( x (k )) ( x ( k+1 )−x( k ) ) (11)

Fazendo: L(k ) ( x )=0:

x (k +1)=x ( k )−[ f ' ( x ( k ) ) ]−1f ( x( k ) ) (12)



Uma outra forma do método de Newton pode ser encontrada no trabalho de Christoforo (2008). Vale ressaltar que o bom desempenho do método de Newton depende de uma escolha cuidadosa da estimativa inicial. Pois dependendo da escolha de x (k ) pode-se não garantir a convergência do método.

(a) (b)

Figura 3 – (a) Método converge para a raiz, (b) Método diverge da raiz

No método de Newton-Raphson nem sempre há uma garantia quanto à sua convergência. Outro fato é que a cada iteração se faz necessário efetuar o cálculo da função e de sua derivada. Contudo, em comparação com outros métodos como o da bissecção, pode ser muito mais rápido, apresentando um número bastante reduzido de iterações.

O objetivo agora consiste em ampliar a idéia do método de Newton para a solução de sistemas não-lineares. Seja, então, uma função não-linear definida por F : D⊂Rn⟶Rn, no

qual F ( X )=( f 1 ( X ) , f 2 ( X ) ,…, f n ( X ) )T e X=( X1 , X2 , , …, Xn ,)T . Deve-se encontrar as soluções

para F ( X )=0. O que irá se determinar, então, não é mais a reta tangente ao gráfico da função no ponto, mas o hiperplano tangente.

Adequando o método considerando como domínio o Rn se tem:

X (k+1 )=X ( k )−[ J ( X (k ) ) ]−1 [ F ( X (k )) ] (13)

Na Equação 12 f ' ( x ( k ) ) representa a função derivada de f ( x ( k ) ) em relação a uma única

variável. Neste caso é preciso calcular as derivadas parciais de cada f i ( x1 , x2 , …, xn ), com i=1,2 , …, n. A matriz das derivadas parciais de F ( X ) é chamada matriz Jacobiana e é dada por

J ( X )=(∂ f 1( X )

∂ x1

∂ f 1(X )∂ x2

…∂ f 1( X)

∂ xn

∂ f 2( X )∂ x1

∂ f 2(X )∂ x2

…∂ f 2( X )

∂ xn

⋮ ⋮ ⋱ ⋮∂ f n( X )

∂ x1

∂ f n(X )∂ x2

…∂ f n( X )

∂ xn

) (14)



Reescrevendo a Equação 13 e considerando δ(k)=X ( k+1 )−X (k) se tem:

J ( X ( k ) ) . δ(k)=−F ( X(k)) (15)

Assim, está definida a fórmula de Newton para o cálculo da solução de sistemas de equações não-lineares.

5.1. Variação do metodo de Newton-Raphson

Uma variação desse método foi derivar as funções somente uma vez e manter seus valores fixo na matriz Jacobiana. Essa nova funcionalidade, foi utilizada para verificar a aplicabilidade dessa estrutura em decorrente da original.

5.2. Implementação dos métodos

Um aplicativo foi construido no sistema Mathcad 2000 para a realização dos cálculos e verificação dos resultados. O método original, com a frequente atualização da matriz Jacobiana, foi chamada de Matriz Newton Linear (MNL), e sua variação, Matriz Newton Linear Fixo (MNLF).

6 RESOLUÇÃO DO PROBLEMA

Como comentado anteriormente, o problema modelo é construído via o método dos multiplicadores de Lagrange, pelo problema conter restrições de igualdade e, a sua solução é obtida analítica e numericamente, sendo o método de Newton.

6.1. Resolução analítica

Utilizando-se os multiplicadores de Lagrange, o novo problema (sem restrições) é dado por:

P2 . (n3 .Q3 . I 0−3/2)−( x1 . x2 .cosα+ x2

2 . sin α . cosα )5+¿...

…+ λ .(x1+2.x2−P)=0(16)

Derivando-se a função respectivamente em função dos parâmetros x1, x2, e , tem-se:

∂ f∂ x1

=−5.(x1 . x2 .cos α+x22 .sin α . cosα )4 . x2 . cosα +λ (17a)

∂ f∂ x2

=−5. (x1 . x2 .cos α+x22 . sin α .cos α )4

.¿¿

…+2.x2 .sin α .cos α ¿+2. λ=0¿(17b)

∂ f∂ α

=−5. (x1 . x2 .cos α+x22 .sin α .cosα )4 .¿¿

…+x2 . cos2 α ¿=0(17c)

∂ f∂ λ

=x1+2. x2−P=0 (17d)



Lembrando que da trigonometria,

cos2 α−sin2 α=cos2α (18)

Pela Equação 17a, e 17b obtem-se respectivamente:

λ=5.(x1 . x2. cos α+x22. sin α . cos α)4 . x2 . cosα (19)

λ=52

. (x1 . x2 . cos α+x22 . sin α .cos α )4

.¿¿

…+2. x2 . sin α . cos α ¿¿(20)

Igualando a Equação 18 com a Equação 19:

x2 . cos α=12

.(x1 . cosα +2 . x2 .sin α .cos α) (21)

Dividindo-se ambos os lados por cos e isolando o termo sen, obtem-se:

sin α=2. x2−x1

2. x2sin2 α=( 2. x2−x1

2.x2)

2

cos2 α=1−( 2. x2−x1

2. x2)

2

(22)

Da Equação 17c, tem-se:

−5.(x1 . x2 .cos α+x22. sin α .cos α )4, Parte I

−x1 . x2. sin α +x2. cos2α , Parte II

Para anular toda a equação acima é necessário que pelo menos uma das parcelas citadas anteriormente, ou ambas, sejam nulas. Desta forma, assumindo:

Parte I = 0:

(x1 . x2. cos α+x22. sin α .cos α)4=0 ⇔ x1. x2 . cos α+x2

2 . sin α .cos α=0 (23)

Ou ainda:

x2 . cos α . ( x1+x2 .sin α )=0 (24)

Como x2 . cos α ≠ 0(x2≠ 0 , ecos α=0↔ α=900), tem-se:

x1+ x2 . sin α=0 ⇔ x1+x2(−x1+2 . x2

2. x2)⇔2 . x2=−x1 (25)

(Não convém, pois x1 , x2>0)



x2 . cos α ( x1+x2 . sin α )=0

Desta forma, cabe apenas a análise da Parte II.

Parte II = 0.

−x1 . x2. sin α +x2. cos2α=0 (26)

Substituindo,

−x1 . x2. {−x1+2. x2

2. x2

+x22 .[1−(−x1+2. x2

2. x2)

2

−(−x1+2. x2

2. x2)

2]}=0 (27)

Ou ainda:

x12−2. x1. x2

2+x2[ 4.x2

2

4.x22 −

4. x22−4. x1 . x2+x1

2

4. x22 −…

…−4. x2

2−4. x1 . x2+x12

4.x22 ]=0 (28a)

x12−2. x1. x2

2+x2[−4. x2

2+8. x1 . x2−2. x12

4. x22 ]=0 (28b)

x12−2. x1. x2

2+−2. x2

2+4. x1 . x2−x12

2=0 (28c)

−x1 . x2−x22+2. x1 . x2=0 (28d)

x2 .(−x1+x2)=0 (28e)

x1=x2 (28f)

Substituindo-se os resultados acima (x1 = x2), na Equação 17d, tem-se:

x1=x2=P3

(29)

Retomando-se novamente a relação sin α , em função de x1 e x2 e substituindo-se os valores, obtém-se:



sin α=2. x2−x1

2. x2

→ sin α=2.

P3

−P3

2.P3

=

P3

2.P3

=12

→

→ α=sin−1( 12 )=300

(30)

Retomando agora ao problema original, ou seja, substituindo os valores na equação de Manning, com n = 0,025 (com revestimento dos taludes e fundo em alvenaria de pedra argamassada em condições regulares), declividade de fundo I0 = 0,0010 m/m, Q=QMAX=6 m3/s. A área da seção é dada pela Equação 2, ou seja:

A=( x1+x2 . sin α ) . x2 . cosα=¿ (P3

+ P3

. sin 300)=P2 .√312

¿ (31)

Rh=AP

= P2 .√312. P

= P .√312

(32)

Substituindo todos os termos na Equação 1, tem-se:

n .Q

√I 0

=A . Rh2 /3 →

0,025 x6√0,0010

=( P2 .√312 ) .( P .√3

12 )2/3

(33)

Resolvendo a equação acima, tem-se que p = 6 m. Dessa forma, os outros parâmetros são:

A=5,20 m2 Rh=0,86 m λ=6313,33

x1=x2=2m x3=300

Mais informações sobre equações diferenciais podem ser encontradas na obra de Stewart (2002).

6.2 Resolução Numérica do Problema Modelo

Adotando como estimativas iniciais, x1=1,5 , x2=1,6 , α=π6

, λ=150, número de

iterações igual a dez e aplicando a Equação 13, com auxílio de uma equação de erro dada pela diferença entre os valores encontrados com a utilização do método de Newton-Raphson e os valores estimados inicialmente, monta-se um gráfico com os resultados de erro por número de iterações feitas além de apresenta os resultado finais obtidos em uma tabela.



(a) (b)Figura 4 - Gráficos da variação da diferença X (k)−X (k +1) em relação ao número de iterações obtido com

o Método de Newton variando jacobiano e mantendo-o com o valor inicial, respectivamente

Tabela 02 – Resultados da aplicação do Método de Newton variando jacobiano e mantendo-o com o valor inicial, respectivamente.

XNL x1 2 XNLF x1 4,42434670x2 2 x2 0,78782665

α 0,52359878 α 1,76766375

λ 6.313,32519359 λ 0,98028579

7 CONCLUSÃO

Este trabalho permitiu através de um método numérico comparar duas expressões, sendo uma a variação da outra.

Baseado nos resultados obtidos, quando se aplica o método de Newton-Raphson, variando Jacobiano e com uma estimativa de valores iniciais para x1 , x2 ,α e λ, razoavelmente próximos, os resultados aparecem com maior eficiência, o que não ocorre quando se mantém os valores iniciais fixos para Jacobiano, eles aproximam-se de zero com um maior número de iterações e não apresentam resultados satisfatórios. Em contrapartida, o custo processual para se calcular Jacobiano variável é alto em relação ao se adotar valores fixos para o mesmo. Todavia, os valores iniciais adotados devem ter um critério lógico, caso contrário, ambos os métodos não resultarão de valores plausíveis.

O mais importante a se obervar aqui, foi o fato de que é possível construir um canal otimizado por uma metodologia existente, e não mais pelo método de tentativa e erro. O que trazia consigo, muita perda de tempo e um gasto muito maior.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

COSTA, P. POSSANI DA. Resolvendo problemas de otimização. ERMAC. CD-ROM. João Pessoa, Sinop, Mato Grosso, 2009

CHRISTOFORO, A.L. Análise do comportamento não-linear em estruturas planas do tipo treliça. I Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional. ERMAC. CD-ROM. Bauru, São Paulo, 2008.

NETTO, J.M. de AZEVEDO. Manual de Hidráulica. 8ª Ed. Edgard Blucher Ltda. 1998

STEWART, JAMES. Cálculo Vol. II. 5ª Ed. Thomson Pioneira. 2002


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