Projeto Individual de Simulação

Disciplina de Análise e Simulação de Processos – Núcleo Orientado 2007ASimulação de Sistemas da Engenharia Química utilizando Software LivreProjeto de Simulação

APLICAÇÃO DA SIMULAÇÃO NUMÉRICA PELO MÉTODO DE EULER PARA A ANÁLISE E OTIMIZAÇÃO DE UM PROCESSO QUÍMICO.

Medeiros, P. N.1

1-Acadêmico do Curso de Engenharia Química Universidade do Sul de Santa Catarina. Tubarão-SC. E-mail: [email protected]

1. INTRODUÇÃO

Nos primórdios da Engenharia Química, processos eram projetados e operados de forma empírica e artesanal. Com o tempo, a busca de processos mais eficientes, seguros, limpos e econômicos passou a demandar conhecimentos cada vez mais aprofundados sobre os fenômenos que se passam nos equipamentos, sobre métodos de cálculo e sobre a própria forma de conceber os processos (PERLINGEIRO, 2005).

A simulação de processos foi uma técnica aprimorada com essa necessidade, onde modelos de processos podem ser analisados computacionalmente, para investigar seu comportamento, sem a necessidade de gastos ou a periculosidade de um processo real, com vistas a sua otimização (STREMEL, 2007).

Segundo PERLINGEIRO, 2005, não há um método universal de otimização de processos e os métodos existentes são dependentes do tipo de problema. Sendo estes dificultados por fatores como descontinuidades na função e nas restrições, não-linearidade da função e das restrições, sensibilidade da função em relação às variáveis de projeto e multimodalidade da função.

PALAVRAS-CHAVE: simulação; método de Euler; programa Scilab.

1.1 Métodos de Otimização de Processos

Método analítico: Consiste na solução exata do problema. Esse método se vale das próprias condições de existência de pontos extremos na função objetivo nos pontos estacionários (PERLINGEIRO, 2005).

Método numérico: Equações diferenciais ordinárias (EDO´s) podem se tornar complexas para serem calculadas através de métodos analíticos, por conta disso alguns dos principais matemáticos também dispenderam seu precioso tempo para encontrar maneiras mais rápidas e fáceis de se obter a resolução de EDO´S (MÉTODOS NUMÉRICOS).

Conforme PERLINGEIRO, 2005, os métodos numéricos foram criados para contornar as dificuldades encontradas na utilização do método analítico. Estes promovem a busca da solução por tentativas calculando a função objetivo, e às vezes a sua derivada, para diferentes valores de x, até que a diferença entre os dois últimos valores arbitrados for menor do que uma tolerância preestabelecida. Além disso, fornecem como solução apenas um intervalo de valores aceitáveis em função da tolerância estabelecida, ao invés de um único valor como no método analítico.


Os métodos existentes diferem, quanto à natureza da informação utilizada, em diretos e indiretos:

os métodos diretos utilizam apenas o valor da função objetivo calculado a cada tentativa;

os métodos indiretos utilizam, como informação adicional, o valor da derivada da função objetivo nesses mesmos pontos.

Por usarem mais informação, os métodos indiretos convergem para a solução com um número menor de tentativas. Entretanto, por terem de calcular essa informação extra, eles tendem a despender mais tempo em cada tentativa e se tornarem mais lentos do que os métodos diretos (PERLINGEIRO, 2005).

Um dos métodos numéricos existentes é o método de Euler, que consiste no método numérico mais elementar de resolução de equações diferenciais ordinárias. Nele, uma equação diferencial de primeira ordem (EDO) é reduzida a uma série de operações matemáticas (STREMEL, 2007). (quando tem duas como diferencio)

Outro método de grande relevância para a resolução numérica de equações diferenciais é o de Runge-Kutta, que foi desenvolvido por volta de 1900 pelos matemáticos C. Runge e M. W. Kutta (MÉTODO DE RANGE-KUTTA).

Estes serão melhores detalhados posteriormente, na metodologia do trabalho.

Acrescentar mais sobre os métodos, tem no exercício e na net!!!!

1.2 Aspectos Relevantes

O problema proposto é o seguinte:

O reator semibatelada consiste em um processo descontínuo, em que se tem somente uma única entrada ou saída, assume em seu processo uma reação de primeira ordem (A 2B) e fluxo volumétrico constante (F) com ausência de fluxo na saída do reator. As seguintes condições para um reator semibatelada devem ser consideradas: tempo de 2 horas de preenchimento, CAF é a concentração de entrada em moles/L, F é a vazão de entrada do reator em L/h, K1 é a constante de primeira ordem da reação, sendo h-1. Para um fluxo de 10 L/h e concentração de alimentação de 5 mol/L, sendo o tempo de alimentação de 2 horas, simular em ambiente de programação Scilab, conforme objetivos descritos abaixo, a variação da concentração de 0 a 10 horas.

(-rA)= kCA

F=Fo CAF

V

Figura 1- Desenho esquemático do problema em questão

Este trabalho objetiva simular numericamente pelo método de Euler um reator semibatelada, considerando uma cinética A 2B e também, fazer uma análise de sensibilidade no modelo adimensional, com a variação de alguns parâmetros.

Para desenvolver a simulação do processo será utilizado o programa Scilab, o qual é um software científico para computação numérica semelhante ao Matlab, que fornece um poderoso ambiente computacional aberto para aplicações científicas. Este foi desenvolvido em 1990 pelos pesquisadores do INRIA (Institut National de Recherche en Informatique at em Automatique) e do ENPC (École Nationale des Ponts et


Chaussées), e agora mantido e desenvolvido pelo Consorcio Scilab desde sua criação em maio de 2003. Distribuído gratuitamente e em código aberto via internet desde 1994, o Scilab é atualmente usado em diversos ambientes industriais e educacionais pelo mundo (SCILAB).

A realização deste trabalho é de suma importância para a formação em Engenharia Química, visto à incessante busca das empresas por um processo bem planejado e também otimizado, ou seja, maximização dos lucros e minimização dos custos.

Além disso, tem-se o fato de que um profissional que compreende não só a resolução matemática de processos, mas também a parte computacional apresenta atualmente um diferencial no mercado de trabalho.

2. METODOLOGIA

2.1 Modelagem Matemática

O modelo envolve o desenvolvimento dos balanços no reator, como o caso é isotérmico, as equações são obtidas apenas considerando os balanços globais e por componente. Os modelos obtidos através dos balanços são:

Como o processo utiliza um reator semibatelada, quando obtivemos um tempo menor que 2 estaremos representando o tempo de enchimento do tanque, assim a equação é:

( 2)

Após 2 horas o reator passa a ser batelada, no entanto as condições iniciais para este reator, são as finais do caso semibatelada. A equação é:

(4)

Mostrar como se chegou a essas equações!!!!

2.1 Modelo Adimensional

Para execução da simulação por meio do software Scilab, primeiramente devemos adimensionalisar as Equações 2 e 4 em relação a concentração do processo, conforme segue:

Para o reator semibatelada:

(5)

(6)

Substituindo a Equação 5 na Equação 6 tem-se:

Simplificando os termos iguais no dois lados da equação e rearranjando os termos:

(8)

A Equação 8 é a equação adimensionalisada para a concentração em um reator semibatelada.

Para o reator batelada:

(9)

(1)

(3)

(7)


Substituindo a equação 5 na equação 9, obtém-se:

(10)

Simplificando os termos iguais nos dois lados da equação:

(11)

A Equação 11 é a equação adimensionalisada para a concentração em um reator batelada.

Desenvolver o modelo matemático de forma semelhante ao que foi feito no capítulo 1 do curso, procurando mostrar o sistema, o volume de controle e o procedimento para obtenção das equações diferenciais ordinárias com as equações algébricas constitutivas que fazem parte do modelo global.

2.2 Métodos Numéricos

Método de Euler: consiste em utilizar a primeira derivada e usar um passo pequeno de integração, truncando os termos de ordem superior.

A fórmula que rege esse método é a seguinte:

(12)

Onde y é igual a f(x) e h é um valor denominado passo; e f(yn, tn) = y,.

A origem da fórmula é expansão em série de Taylor, da qual retemos apenas o termo de primeira ordem.

O número de incrementos é definido por:

(13)

Iterações sucessivas são executadas até que se atinja a iteração limite calculada pela Equação 13; alcançando este valor limite de iteração, o y desejado será o valor encontrado conforme a Equação 12.

Enfim, o método de Euler é um método de Runge-Kutta de primeira ordem.

Método de Runge-Kutta: Este método imita os termos da série de Taylor sem, no entanto, derivar a equação original. Consiste em avaliar as derivadas no início, meio e fim do intervalo de integração, realizando por último uma soma ponderada dessas derivadas.

A sistemática de resolução do método de Euler é a mesma utilizada para o método de Runge-Kutta. Porém os termos intermediários são determinados pelas seguintes fórmulas:

(14)

Sendo:

K1=h*f(Xn, Yn);

K2=h*f(Xn + h/2, Yn + K1/2);

K3=h*f(Xn + h/2, Yn + K2/2);

K4=h*f(Xn + h, Yn + K3).

h= passo.

Procure abordar teoricamente os métodos numéricos para solução do sistema de equações

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0.3

0.4

0.5

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0.9

1.0


diferenciais ordinárias não linear e o sistema de equações algébricas não linear, como por exemplo, Runge-Kutta de quarta ordem e Newton-Raphson Multidimensional, respecti-vamente.

2.3 Procedimento Computacional

Fluxograma é um tipo de diagrama, e pode ser entendido como uma representação esquemática de um processo, ilustrando de forma descomplicada a transição de informações entre os elementos que o compõe. Podemos entendê-lo, na prática, como a documentação dos passos necessários para a execução de um processo qualquer.

A seguir encontra-se o fluxograma da lógica computacional do algoritmo para o problema em questão, objetivando facilitar o desenvolvimento do programa computacional em linguagem Scilab.

Já fiz o fluxograma só falta ver se posso colocá-lo como anexo ou como faço para diminuí-lo!!!!!

Após o fluxograma, descreva o que faz o fluxograma detalhando as etapas que serão implementadas computacionalmente.

2.4 Linguagem Computacional

O programa deverá ser desenvolvido em linguagem computacional adequada. Os alunos encontrarão suporte para aplicar a linguagem, na página do curso. É importante que se faça uma abordagem ao programa computacional explicando de que forma o algoritmo foi implementado e quais os comandos mais importantes que permitem resolver numericamente o modelo matemático proposto,

limitações, características do software, subprogramas ou “toolbox” utilizados, etc.

3 RESULTADOS E DISCUSSÕES

O gráfico abaixo nos mostra o resultado da simulação numérica pelo método de Euler, a partir de equações adimensionalisadas em relação à concentração de A.

Conforme esperado obtivemos um gráfico com a concentração variando somente de 0 até 1, devido a equação estar adimensionalisada em relação a concentração.

K1 com variação de 10 %.

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K1 com variação de -10 %.

Para F = 5.

Nesta etapa deve-se mostrar os gráficos com os perfis simulados e o comentário de cada resultado, procurando comparar os resultados com os dados experimentais caso haja, ou o modelo simulado numericamente com o modelo simulado com solução analítica.

Pode-se abordar os aspectos numéricos envolvidos como eficiência do método, etc. É importante verificar se o resultado do modelo simulado está de acordo com os resultados esperados ou se o modelo traduz a realidade, para isto é interessante variar as condições operacionais ou as condições iniciais, ou mesmo perturbar o sistema mudando as condições de entrada e verificar o que ocorre na resposta do modelo.

Para cada resposta de simulação é sempre importante mencionar quais as condições operacionais e iniciais foram utilizadas para obtenção daquele resultado.

3.1 Figuras

As figuras poderão ser coloridas, deverão fazer parte do arquivo inseridas no corpo do trabalho com moldura, tão próximas quanto possível das referências sobre elas. As figuras deverão, preferencialmente, estar em uma única coluna e, caso não seja possível, devem ocupar o espaço das duas colunas, não devendo exceder o


tamanho limitado pelo contorno da folha padrão.

Cada figura deve ter um título e ser numerada em algarismos arábicos. Os títulos devem ser centralizados na parte inferior das mesmas e digitados no seguinte formato: Figura 1 – Título da figura. No texto devem ser mencionadas da seguinte forma: “conforme mostra a Figura 1...”. Não esquecer de que ao serem exportadas para o texto a partir do programa, os gráficos devem ter clara identificação das variáveis dependente, independente e unidades utilizadas, esta identificação deverá ser inserida através dos comandos que permitem inserir títulos na janela gráfica como por exemplo o comando xtitle do Scilab. Procure plotar em um mesmo gráfico variáveis comparativas, como a solução numérica e analítica e/ou experimental para mostrar com detalhes o desempenho do método aplicado

3.2 Tabelas

As tabelas deverão ser digitadas de forma compacta e lançadas à medida que forem citadas, estando preferencialmente numa única coluna, ou então seguirem as mesmas instruções das figuras, porém, com os títulos centralizados na parte superior das mesmas.

3.3 Citações Bibliográficas.

As referências deverão ser citadas no texto, através do último sobrenome do autor principal e do ano de publicação, o qual deverá estar entre parênteses, conforme os exemplos a seguir: “O trabalho de Souza (2000) mostrou...”, ou “... tem sido mostrado (Souza, 2000)”. No caso de dois autores, ambos são citados, exemplo: “... segundo Rhodes e Geldart (1995)...” Em caso de três ou mais

autores, deve-se citar o sobrenome do primeiro autor seguido da expressão “et al.”.

Trabalhos publicados no mesmo ano e pelos mesmos autores deverão usar as letras a, b, c, junto ao ano, exemplo: “Os trabalhos de Campos et al. (1996 a, b) mostram...”.

4. REFERÊNCIA

Scilab.http://pt.wikipedia.org/wiki/Scilab

MÉTODO DE EULER DE INTEGRAÇÃO DE EQUAÇÕESDIFERENCIAIS ORDINÁRIAShttp://www.arauto.uminho.pt/pessoas/EPereira/Portugues/Cadeiras/FisicaI-LESI/Problemas/ComputacaoParticula-FisI.pdf

3-http://www.geoma.lncc.br/pdfs/edo.pdf

http://www.arauto.uminho.pt/pessoas/EPereira/Portugues/Cadeiras/FisicaI-LESI/Problemas/ComputacaoParticula-FisI.pdf




As referências deverão estar de acordo com a norma ABNT – NBR 6023. A lista deverá incluir somente os trabalhos citados no texto, relacionados em ordem alfabética, de acordo com o sobrenome do primeiro autor. Ex:

MÉTODOS NUMÉRICOS. Disponível em: < http://pt.wikibooks.org/wiki/M%C3%A9todos_Num%C3%A9ricos:_Equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais_ordin%C3%A1rias>. Acesso em: 28 nov. 2007.

MÉTODO DE RUNGE-KUTTA. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Runge-Kutta>. Acesso em: 28 nov. 2007.

PERLINGEIRO, C. A. Engenharia de processos: análise, simulação, otimização e síntese de processos químicos. São Paulo: Edgard Blücher, 2005.

STREMEL, D. P. Modelagem e simulação dinâmica de processos. Tubarão, 2007. Apostila da disciplina de análise e simulação de processos do curso de Engenharia Química da Unisul.

STREMEL, D. P. Modelagem matemática dos sistemas da Engenharia Química. Tubarão, 2007. Apostila da disciplina de análise e simulação de processos do curso de Engenharia Química da Unisul.

As referências deverão conter todos os principais nomes dos autores, os títulos dos periódicos devem aparecer abreviados e em itálico, conforme o exemplo:

REH, L.; RHODES, M.; KUNII, D. A new method of solving fluidization problems. J. Chem. Eng. Japan, v. 10, p. 200-205, 1977.

5. DISPOSIÇÕES GERAIS

Todos os projetos deverão ser enviados por E-mail, cada Equipe enviará um trabalho, juntamente com os programas em anexo. Cada grupo de alunos deverá receber um tema e desenvolver o projeto de forma diferenciada, onde diferentes abordagens deverão ser contempladas, os alunos serão avaliados individualmente pelo conteúdo, mas deverão entregar um único artigo com o nome de todos. Se o tema for modelagem e simulação de intraparticular, um aluno desenvolverá um trabalho voltado a partícula esférica, outro cilíndrica, outro plana, outro aluno desenvolverá o trabalho voltado a análise da eficiência dos métodos numéricos em problemas desta natureza e assim por diante, de forma que não haja títulos iguais.

6. ANEXO

Deve constar a listagem do programa computacional. Para ilustrar, considere a derivada dy/dx = (x-y)/2, cuja solução analítica é dada por y =x-2+3*exp(-0,5x). Esta deve ser resolvida numericamente. Neste exemplo, o intervalo de integração é [0 3], a condição inicial é y(0)=1. São comparados dois métodos numéricos, o método de Euler e de Runge-Kutta com a solução exata, para diferentes passos de integração. A seguir encontra-se a listagem do programa.


Anexo 1 – Programa que calcula uma EDO através do método de Euler e Runge-kutta

// COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS NUMÉRICOS DE EULER E RUNGE-KUTTA COM A SOLUÇÃO EXATA//EDO dy/dx =(x-y)/2//Solução y(x)=x-2+3*exp(-0,5*x)//________________________________________________________________________________

//subrotina que calcula as derivadasfunction [fxy] = f(x,y)fxy = (x - y)/2endfunction

//________________________________________________________________________________//MÉTODO DE RUNGE-KUTTA//condição inicial - método de Runge-Kutta para x=0y0=1.; //variável dependentex0=0; //variável independentedx=0.5;// passo inicial do Runge-kutta

//Método de integração por Runge-Kutta passo constante empregando subrotina odex=[0:dx:3]; //vetor para variável independentey=ode("rk",y0,x0,x,f); // Equação que chama a subrotina rk a cada passo//_________________________________________________________________________________//MÉTODO DE EULERa=0; //condição inicial para a variável independenteb=3; //condição final h=0.2; //passo do método de eulern=(b-a)/h;xx(1)=a;Yeu(1)=1;

for k=1:nxe=xx(k);ye=Yeu(k);Yeu(k+1)=Yeu(k)+h*f(xe,ye);xx(k+1)=xx(k)+h;end//_________________________________________________________________________________

//MÉTODO ANALÍTICOz=[0:0.01:3];Yex=z-2+3*exp(z.*(-0.5));//adiciona ao vetor vety as duas soluções//__________________________________________________________________________________

//SAÍDA GRÁFICAclf( )plot2d(x,y,1);// plota a solução numérica com a cor preta plot2d(z,Yex,2); //plota a solução exata com a cor azulplot2d(xx,Yeu,-1);//plota a solução de euler com o sinal +xset("font",1)xset('thickness',2);

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