Projeto de um Conversor Ressonante LLC

Nuno Miguel Soares de Oliveira

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Eletrotécnica e de Computadores

Orientadores: Prof.ª Dr.ª Maria Beatriz Mendes Batalha Vieira Vieira Borges

Prof. Dr. Hugo dos Santos Marques

Júri

Presidente: Prof. Dr. Gonçalo Nuno Gomes Tavares

Orientador: Prof.ª Dr.ª Maria Beatriz Mendes Batalha Vieira Vieira Borges

Vogal: Prof. Dr. Pedro Nuno Mendonça Santos

Novembro de 2016

ii

Agradecimentos

À Prof. Beatriz Borges pelo conhecimento transmitido e orientação, sem a qual a realização

desta dissertação não seria possível. Um muito obrigado pela disponibilidade, apoio, ajuda e

paciência durante o desenvolvimento e revisão desta dissertação.

Ao Prof. Hugo Marques pelo interesse demonstrado e por toda a informação fornecida e

esclarecimentos prestados, bem como por todos os conselhos fornecidos ao longo da dissertação.

Um muito obrigado.

À minha mãe e irmãos por todo o apoio e confiança que sempre me proporcionaram ao longo

da vida académica.

Ao meu pai, pelo apoio incondicional e ajuda; por ser a pessoa que me ajudou a ultrapassar

os obstáculos para que, mesmo no meio do temporal, nunca perdesse o norte; por sempre acreditar

em mim. Obrigado por tudo.

À minha namorada, Marina Simão, pela sua motivação, carinho, compreensão e paciência ao

longo do meu percurso como estudante do Instituto Superior Técnico. Obrigado por me aturares.

A todos os meus amigos que sempre me ajudaram e apoiaram, tanto dentro como fora do

âmbito do I.S.T, entre os quais destacaria o Ricardo Diniz e a Cândida Melo, amigos de já há muitos

anos. Um muito obrigado.

Por último, aos meus avós, que apesar de já não estarem presentes, sempre me ajudaram e

apoiaram, e sei que gostariam de ver o fim desta etapa.

iii

Resumo

Sendo o rendimento e densidade de potência os requisitos chave na área de eletrónica de

potência, as topologias de conversão ressonante receberam uma atenção renovada nos últimos

anos, particularmente a topologia LLC, devido ao seu potencial para operar com uma frequência

elevada mantendo as perdas de comutação reduzidas, através da comutação dos dispositivos nos

zeros da tensão, Zero Voltage Switching (ZVS), ou nos zeros da corrente, Zero Current Switching

(ZCS).

Contudo, devido à não linearidade dos conversores ressonantes, em especial a operação

multiressonante do conversor LLC, a obtenção de um modelo exato que descreva o seu

comportamento é um processo complexo e demorado, levando a que métodos de cálculo

simplificados sejam adotados em grande escala pela comunidade científica. Um dos mais conhecidos

e utilizados é a Aproximação à Harmónica Fundamental, ou Fundamental Harmonic Approximation

(FHA). A FHA assume que, para uma frequência de operação igual à de ressonância, o tanque

ressonante filtra as harmónicas de ordem superior, podendo considerar-se apenas as componentes

fundamentais das grandezas elétricas aos terminais do tanque. Isto deixa de ser válido para

frequências diferentes da frequência de ressonância, introduzindo erros no dimensionamento do

conversor.

Neste contexto, surge a necessidade de quantificar o erro introduzido pela FHA, e a

necessidade de propor um modelo que, ainda que aproximado, permita obter resultados mais exatos.

Com o objetivo de quantificar este erro, propõe-se nesta tese um modelo analítico que descreve a

operação do conversor LLC, assumindo apenas que a corrente no tanque ressonante é sinusoidal. O

conversor é dimensionado com recurso a bibliografia adequada e posteriormente estudado com os

dois modelos, paralelamente à realização de simulações com recurso ao programa PSIM.

Por fim, os resultados teóricos são comparados com os resultados de simulação do conversor

LLC dimensionado, de 500W e frequência de ressonância de aproximadamente 400kHz, a fim de

avaliar a exatidão dos dois modelos.

Palavras-chave: Aproximação à Harmónica Fundamental, Comutação a Tensão Zero,

Comutação nos Zeros da Corrente, Conversão Ressonante, Conversor Ressonante LLC, Densidade

de Potência, Frequência de Ressonância.

iv

Abstract

With the efficiency and power density being the key traits in the power electronics area, the

resonant conversion topologies have gained renewed attention in the last few years, particularly the

LLC topology, due to its capability to operate at a high frequency while maintaining the commutation

losses very low, through Zero Voltage Switching (ZVS) or Zero Current Switching (ZCS) of the

devices.

However, due to the non-linearity of resonant converters, especially the multiresonant

operation of the LLC converter, obtaining an accurate model that describes its behavior is a complex

and time consuming process, meaning that simplified calculation methods are widely adopted and

used by the scientific community. One of the more known and used is the Fundamental Harmonic

Approximation (FHA). The FHA assumes that, for a operating frequency equal to the resonance

frequency, the resonant tank filters the higher order harmonics, allowing the use of only the

fundamental components of the voltages and currents at the tank terminals. This is no longer valid for

frequencies different from the resonant frequency, which introduces errors in the sizing of the

converter.

In this context, arises the necessity to quantify the error associated to the FHA and propose a

model that, even though it’s simplified as well, obtains more accurate results. With the goal of

quantifying this error, this thesis proposes an analytical model that describes the operation of the LLC

converter, assuming that only the current in the resonant tank is sinusoidal. The design of the

converter is done resorting to adequate bibliography, and later studied with both models, while

simulations are made using the simulation program PSIM.

Finally, the theoretical results are compared with the simulation results of the designed

converter, with 500W and a resonant frequency of approximately 400kHz, in order the evaluate the

accuracy of the two models.

Keywords: Fundamental Harmonic Approximation, LLC Resonant Converter, Power Density,

Resonant Conversion, Resonant Frequency, Zero Voltage Switching, Zero Current Switching.

v

Lista de figuras

Figura 2.1: (a) Esquema e (b) diagramas temporais do conversor em meia ponte com isolamento

galvânico................................................................................................................................................ 11

Figura 2.2: Esquema geral de um conversor ressonante. .................................................................... 14

Figura 2.3: Tanques ressonantes LC série e paralelo, LCC e LLC. ..................................................... 14

Figura 2.4: Conversor ressonante LC série. ......................................................................................... 15

Figura 2.5: Ganho de tensão do conversor LC série em função da frequência normalizada. Adaptado

de [20]. ................................................................................................................................................... 16

Figura 2.6: Energia de circulação no conversor LC série. Adaptado de [20]. ....................................... 18

Figura 2.7: Conversor ressonante LC paralelo. .................................................................................... 18

Figura 2.8: Ganho de tensão do conversor LC paralelo. Adaptado de [20]. ......................................... 19

Figura 2.9: Energia de circulação no conversor LC paralelo. Adaptado de [20]. .................................. 20

Figura 2.10: Conversor ressonante LCC. .............................................................................................. 20

Figura 2.11: Ganho de tensão do conversor LCC. Adaptado de [20]. .................................................. 21

Figura 2.12: Energia de circulação no conversor LCC. Adaptado de [20]. ........................................... 22

Figura 3.1: Conversor ressonante LLC. ................................................................................................ 23

Figura 3.2: Formas de onda do conversor LLC à frequência de ressonância. ..................................... 25

Figura 3.3: Circuito do conversor LLC simplificado pela FHA. .............................................................. 30

Figura 3.4: Curvas do ganho de tensão para e diversos valores de Q, obtidas pela FHA. 34

Figura 3.5: Curvas do ganho de tensão para e diversos valores de Q, obtidas pela FHA. 34

Figura 3.6: Curvas do ganho de tensão para e diversos valores de Q, obtidas pela FHA.

............................................................................................................................................................... 35

Figura 4.1: (a) Modelo de três parâmetros do transformador; (b) Indutâncias acopladas. .................. 37

vi

Figura 4.2: Esquema do conversor LLC, com o modelo de 3 parâmetros do transformador. .............. 39

Figura 4.3: Formas de onda do conversor LLC. Adaptado de [36]. ...................................................... 39

Figura 5.1: Forma de onda teórica da corrente de magnetização . .............................................. 46

Figura 5.2: Configuração do transformador. ......................................................................................... 48

Figura 5.3: Dimensões da ferrite ETD 39/20/13. Retirado de [42]. ....................................................... 49

Figura 5.4: (a) Circuito magnético e (b) circuito elétrico equivalente do transformador com entreferro.

............................................................................................................................................................... 51

Figura 5.5: Circuito elétrico equivalente reduzido do transformador. ................................................... 52

Figura 5.6: Transformador construído. .................................................................................................. 54

Figura 5.7: Circuito do transformador com não idealidades. ................................................................ 54

Figura 5.8: Formas de onda da corrente à saída do retificador e no condensador de saída ..... 57

Figura 6.1: Circuito do conversor LLC a simular no PSIM. ................................................................... 59

Figura 6.2: Formas de onda das tensões (a) no primário e no secundário , (b) no

condensador e na bobina ressonante e (c) de saída , obtidas por simulação. ................... 60

Figura 6.3: Formas de onda das correntes (a) no secundário e no tanque e (b) de

magnetização , obtidas por simulação. ........................................................................................... 61

Figura 6.4: Ganho de tensão do conversor LLC projetado, obtido por simulação. ..................... 62

Figura 7.1: Formas de onda das tensões (a) no primário e no secundário e (b) no

condensador e na bobina ressonante , obtidas pela FHA. ...................................................... 64

Figura 7.2: Formas de onda das correntes (a) no secundário e no tanque e (b) de

magnetização , obtidas pela FHA. .................................................................................................. 64

Figura 7.3: Ganho de tensão do conversor LLC projetado, obtido pela FHA. ............................ 65

Figura 7.4: Característica de saída obtida pela FHA. ................................................................ 66

Figura 7.5: Formas de onda das tensões (a) no primário e no secundário e (b) no

condensador e na bobina ressonante , obtidas pelo modelo analítico aproximado. ............... 67

vii

Figura 7.6: Formas de onda das correntes (a) no primário e no secundário e (b) de

magnetização , obtidas pelo modelo analítico aproximado. ........................................................... 67

Figura 7.7: Ganho de tensão do conversor LLC projetado, obtido pelo modelo analítico

aproximado. ........................................................................................................................................... 68

Figura 7.8: Característica de saída obtida pelo modelo aproximado. ....................................... 69

Figura 8.1: Erro relativo da FHA e do modelo aproximado no cálculo do valor de pico da corrente no

tanque em função da frequência. ................................................................................................... 73

Figura 8.2: Erro relativo da FHA e do modelo aproximado no cálculo do valor de pico da corrente de

magnetização em função da frequência. ....................................................................................... 73

Figura 8.3: Erro relativo da FHA e do modelo aproximado no cálculo do valor de pico da corrente no

secundário em função da frequência. ............................................................................................ 74

Figura 8.4: Erro relativo da FHA e do modelo aproximado no cálculo do valor de pico da tensão no

condensador de ressonância em função da frequência. ............................................................... 74

Figura 8.5: Erro relativo da FHA e do modelo aproximado no cálculo do valor de pico da tensão na

bobina de ressonância em função da frequência. .......................................................................... 75

Figura 8.6: Erro relativo da FHA e do modelo aproximado no cálculo do valor de pico da tensão no

secundário em função da frequência. ........................................................................................... 75

Figura 8.7: Erro relativo da FHA e do modelo aproximado no cálculo do ganho de tensão em função

da frequência. ........................................................................................................................................ 76

1

Lista de abreviações

CA - CC – Corrente Alternada - Corrente Contínua

CC - CC – Corrente Contínua - Corrente Contínua

EMI – Interferência electromagnética (Electromagnetic Interference)

FHA – Aproximação à harmónica fundamental (Fundamental Harmonic Approximation)

CC - CA – Corrente Contínua - Corrente Alternada

CA - CA – Corrente Alternada - Corrente Alternada

GTO – Tiristores de corte comandado (Gate Turn Off)

TJB – Transístor de Junção Bipolar

MOSFET – Transístor de Efeito de Campo (Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor)

IGBT – Transistor bipolar de porta isolada (Insulated Gate Bipolar Transistor)

PWM – Modulação de largura de impulso (Pulse Width Modulation)

ZCS – Comutação a corrente zero (Zero Current Switching)

ZVS – Comutação a tensão zero (Zero Voltage Switching)

MCC – Modo de Condução Contínua

eFHA – Aproximação à harmónica fundamental extendida (Extended Fundamental Harmonic

Approximation)

2

Índice

Agradecimentos ........................................................................................................................................ ii

Resumo ................................................................................................................................................... iii

Abstract.................................................................................................................................................... iv

Lista de figuras .........................................................................................................................................v

Lista de abreviações ................................................................................................................................ 1

1. Introdução ............................................................................................................................................ 6

1.1. Introdução ..................................................................................................................................... 6

1.2. Objetivos ....................................................................................................................................... 7

1.3. Estrutura do trabalho .................................................................................................................... 8

2. Conversores Corrente Contínua – Corrente Contínua ........................................................................ 9

2.1. Introdução ..................................................................................................................................... 9

2.2. Conversores Comutados ............................................................................................................ 10

2.3. Conversores Ressonantes ......................................................................................................... 13

2.3.1. Conversor Ressonante LC Série ........................................................................................ 15

2.3.2. Conversor Ressonante LC paralelo .................................................................................... 18

2.3.3. Conversor Ressonante Série-paralelo LCC ........................................................................ 20

2.4. Conclusões ................................................................................................................................. 22

3. Conversor DC-DC Ressonante LLC ................................................................................................. 23

3.1. Introdução ................................................................................................................................... 23

3.2. Operação à frequência de ressonância ...................................................................................... 24

3.3. Estado da Arte ............................................................................................................................ 26

3.4. Aproximação à harmónica fundamental ..................................................................................... 27

3.5. Conclusões ................................................................................................................................. 35

4. Conversor DC-DC Ressonante LLC: Modelo Analítico Aproximado ................................................ 37

4.1. Introdução ................................................................................................................................... 37

3

4.2. Estabelecimento do modelo ....................................................................................................... 40

4.3. Conclusões ................................................................................................................................. 43

5. Dimensionamento do conversor LLC ................................................................................................ 44

5.1. Introdução ................................................................................................................................... 44

5.2. Metodologia ................................................................................................................................ 44

5.2.1. Dimensionamento do transformador ................................................................................... 47

5.2.2. Dimensionamento do tanque ressonante ........................................................................... 55

5.2.3. Dimensionamento dos dispositivos de comutação ............................................................. 56

5.2.4. Dimensionamento do condensador de saída ..................................................................... 56

5.3. Conclusões ................................................................................................................................. 58

6. Conversor DC-DC Ressonante LLC: Simulação .............................................................................. 59

6.1. Introdução ................................................................................................................................... 59

6.2. Formas de onda .......................................................................................................................... 60

6.3. Ganho de tensão ........................................................................................................................ 61

6.4. Conclusões ................................................................................................................................. 62

7. Obtenção de resultados .................................................................................................................... 63

7.1. Introdução ................................................................................................................................... 63

7.2. Aproximação à Harmónica Fundamental ................................................................................... 63

7.2.1. Formas de onda .................................................................................................................. 63

7.2.2. Valores máximos ................................................................................................................. 65

7.2.3. Ganho de tensão ................................................................................................................. 65

7.2.4. Tensão de saída – corrente de carga ................................................................................. 65

7.3. Modelo Analítico Aproximado ..................................................................................................... 66

7.3.1. Formas de onda .................................................................................................................. 66

7.3.2. Valores máximos ................................................................................................................. 67

7.3.3. Ganho de tensão ................................................................................................................. 68

7.3.4. Tensão de saída – corrente de carga ................................................................................. 69

4

7.4. Conclusões ................................................................................................................................. 69

8. Comparação de resultados ............................................................................................................... 71

8.1. Introdução ................................................................................................................................... 71

8.2. Erros relativos da FHA e do Modelo Aproximado ...................................................................... 72

8.3. Conclusões ................................................................................................................................. 76

8.3.1. Erros no cálculo dos valores máximos das correntes......................................................... 76

8.3.2. Erros no cálculo dos valores máximos das tensões ........................................................... 77

8.3.3. Erros no cálculo do ganho de tensão M (w) ....................................................................... 78

9. Conclusões Finais e Trabalho Futuro ............................................................................................... 79

Referências Bibliográficas ..................................................................................................................... 80

Anexo A: Código MATLAB para obtenção do ganho de tensão do conversor LLC pela FHA ............. 83

Anexo B: Medições do transformador efetuadas com o medidor de impedâncias ............................... 84

Anexo C: Lista de componentes ........................................................................................................... 86

Anexo D: Código MATLAB para obtenção das formas de onda do conversor LLC pela FHA ............. 87

Anexo E: Código MATLAB para obtenção das formas de onda do conversor LLC pelo modelo analítico ................................................................................................................................................. 88

Anexo F: Código MATLAB para obtenção do ganho de tensão do conversor LLC pelo modelo analítico ................................................................................................................................................. 89

Anexo G: Valores máximos teóricos e de simulação das grandezas elétricas ..................................... 90

5

6

1. Introdução

1.1. Introdução

Com o atual crescimento das tecnologias informática e de telecomunicações, surge a

necessidade, que acompanha esse crescimento, de miniaturizar o equipamento, aliando a essa

miniaturização um rendimento elevado. A combinação dessas características resulta num

equipamento com uma elevada densidade de potência, que é em última instância o que se pretende

realizar.

Contudo, a maior parte das aplicações eletrónicas operam com diversos níveis de tensão

diferentes do valor de tensão da fonte, tipicamente por recurso a uma bateria ou através da rede por

meio de um conversor corrente alternada - corrente contínua (CA - CC), o que revela a importância

de um conversor corrente contínua - corrente contínua (CC - CC), com o intuito de adaptar a

alimentação às cargas.

Como tal, é de elevada importância o projeto de conversores que transformam estes níveis de

tensão, mantendo o rendimento o mais elevado possível e, por outro lado, reduzindo ao máximo o

volume que ocupam. Esta redução de volume obtém-se através do aumento da frequência de

operação do conversor, que afeta por sua vez a dimensão dos elementos magnéticos e

condensadores de filtragem. É possível projetar conversores de comutação abrupta, por exemplo,

com frequência de operação de 100 kHz e potência de saída até 100, 200W, que operam com um

rendimento de aproximadamente 85% [1].

Para valores de frequência superiores, o rendimento destes conversores decresce

rapidamente, devido ao aumento das perdas de comutação que são proporcionais à frequência,

aumentando também a interferência eletromagnética, ou EMI (Electromagnetic Interference). Estas

desvantagens podem ser minoradas com a inserção de malhas ressonantes constituídas por bobinas

e condensadores que, ao fazer oscilar as grandezas elétricas a que os dispositivos de comutação

estão sujeitos, permitem a sua comutação nos zeros da tensão ou da corrente. Entre os conversores

que empregam a técnica de comutação ressonante, existem os conversores ressonantes, que serão

os estudados nesta tese.

Os conversores ressonantes são desenvolvidos com o principal objetivo de maximizar a

densidade de potência, ao reduzir as dimensões dos componentes magnéticos, condensadores e

dissipadores a utilizar, estabelecendo uma frequência de operação elevada, e minimizando as perdas

nos dispositivos semicondutores do conversor. Para isso, o seu princípio de operação consiste na

excitação de uma malha LC próximo da sua frequência de ressonância, por forma a provocar a

oscilação das grandezas elétricas aos terminais dos dispositivos eletrónicos e comutá-los nos seus

pontos de anulamento:

7

No zero da tensão (normalmente obtém-se entrada em condução a tensão nula);

No zero da corrente (normalmente obtém-se passagem ao corte a corrente nula).

A introdução das malhas ressonantes acarreta as suas desvantagens, entre elas:

Aumento da complexidade da análise dos circuitos;

Controlo do conversor mais complexo;

Atraso inerente à comutação nos zeros das grandezas elétricas, relativamente à

comutação abrupta;

Sobredimensionamento dos componentes activos e passivos devido ao aumento dos

valores máximos das grandezas eléctricas na operação longe de condições

favoráveis.

No entanto, o potencial dos conversores ressonantes para obter um elevado rendimento e

alta densidade de potência conduziu a um estudo intensivo dos mesmos nos últimos anos, fazendo

com que seja essencial que os métodos utilizados na análise e dimensionamento destes sejam o

mais fidedignos possível, ou se se verificar o contrário, que o erro introduzido por estes métodos seja

quantificado e tido em conta.

1.2. Objetivos

A realização da presente dissertação apresenta como objetivos principais a análise de um

dos métodos mais utilizados no estudo dos conversores ressonantes – a aproximação à harmónica

fundamental, ou Fundamental Harmonic Approximation (FHA) – e o dimensionamento de um

conversor ressonante LLC. Mais concretamente, pretende-se testar a validade da FHA para

diferentes condições de funcionamento. É proposto também um modelo analítico que, espera-se,

permita obter resultados mais exatos do que a FHA.

Para este fim, foram delineados objetivos parciais a cumprir:

Estudar o conversor LLC através da FHA;

Dimensionar o conversor LLC com base nas especificações a atingir e com recurso a

bibliografia adequada;

Propor um modelo analítico para estudo do conversor LLC;

Estudar o conversor através da FHA, do modelo analítico e com recurso a um

simulador, a fim de obter resultados para avaliar os modelos;

Confrontar os resultados teóricos com resultados de simulação, de modo a quantificar

os erros dos dois modelos face aos resultados de simulação.

8

1.3. Estrutura do trabalho

Esta dissertação encontra-se dividida em 9 capítulos, bibliografia e anexos, sendo que os

capítulos são sumariamente apresentados a seguir.

No capítulo 1 introduz-se o trabalho e descreve-se os motivos que conduziram à sua

realização, os objetivos e a estrutura da dissertação.

No capítulo 2 apresentam-se os conversores CC-CC, restringindo de seguida o estudo aos

conversores ressonantes, dadas as vantagens face a outros tipos de conversores CC-CC. Dentro das

topologias ressonantes, descreve-se a motivação da escolha da topologia LLC.

No capítulo 3 é apresentado um breve estudo da operação do conversor LLC , sendo também

introduzido o modelo da aproximação à harmónica fundamental, empregue em muitos estudos para

modelização e dimensionamento de conversores ressonantes. É ainda revisto o estado da arte do

conversor LLC, mais concretamente, da aplicação da aproximação à harmónica fundamental no seu

estudo e dimensionamento.

No capítulo 4, um modelo analítico para análise do conversor LLC é proposto.

No capítulo 5, o conversor LLC é dimensionado, sendo apresentada a metodologia

subjacente à escolha dos diferentes elementos do conversor.

O conversor projetado é simulado no capítulo 6, recorrendo ao programa PSIM, sendo os

resultados de simulação analisados com a finalidade de verificar a validade das aproximações

efetuadas no dimensionamento. São ainda obtidas as formas de onda, os valores máximos das

grandezas elétricas e o ganho de tensão do conversor LLC projetado, através do programa de

simulação.

No capítulo 7, através dos dois modelos teóricos apresentados nos capítulos 3 e 4, são

obtidas as formas de onda, os valores máximos das grandezas elétricas e do ganho de tensão do

conversor LLC projetado, a operar no modo de condução contínua.

No capítulo 8, determinam-se os erros relativos dos dois modelos no cálculo dos valores

máximos das grandezas elétricas, face aos resultados de simulação, podendo assim avaliar-se a

exatidão dos modelos no estudo do conversor LLC.

No capítulo 9, são apresentadas as conclusões relativas aos dois modelos de análise do

conversor LLC, conclusões gerais do trabalho elaborado e são propostas ações a concretizar para

melhoramento do trabalho e apontam-se pistas para investigação futura.

9

2. Conversores Corrente Contínua – Corrente Contínua

2.1. Introdução

Neste capítulo será feita uma revisão dos circuitos de conversão de tensão existentes,

nomeadamente, conversores comutados de elevada frequência. O estudo será então restringido aos

conversores ressonantes, devido a vantagens que serão enumeradas e explicitadas no decurso do

capítulo.

Uma parte significativa dos sistemas eletrónicos atuais requerem fontes de potência de

volume reduzido, leves, fiáveis e eficientes. Por forma a controlar a potência fornecida pela fonte,

podem ser utilizados dois tipos de reguladores de potência: os lineares e os comutados [2].

Os conversores lineares, cujo princípio de operação assenta na divisão de tensão ou corrente

através de dispositivos electrónicos a operar na zona linear, são ineficientes, apresentam uma

densidade de potência e rendimento baixos, e os filtros e transformadores que empregam operam a

baixa frequência (50 ou 60 Hz), ocupando por isso elevadas dimensões. Como tal, estes adequam-se

apenas a aplicações de potência reduzida.

Para aumentar o rendimento, são utilizados reguladores comutados de potência, ou

conversores comutados a uma determinada frequência, que utilizam dispositivos eletrónicos de

potência, semicondutores que agem como interruptores, nos estados ON e OFF. Existem vários tipos

de conversores consoante as características da fonte e da carga que interligam: CC-CC, CC-CA

(corrente contínua-corrente alternada), CA-CC (corrente alternada-corrente contínua) e CA-CA

(corrente alternada-corrente alternada).

Para muitos equipamentos eletrónicos, é necessário garantir o isolamento galvânico entre a

entrada e a saída, isto é, garantir que os circuitos de potência de entrada e saída estão eletricamente

isolados, por motivos de segurança, de adaptação de tensões e de fiabilidade. Para tal, o conversor

utiliza tipicamente um andar intermédio que opera a alta frequência através de transformador de

potência, dimensionado e construído para poder operar a alta frequência com um mínimo de perdas.

Assim, obtêm-se conversores que efectuam conversão CC-CA(AF)-CC com dimensões reduzidas. No

caso deste trabalho estudaremos um conversor que interliga uma tensão contínua a uma carga que

absorve tensão contínua através de um conversor CC-CC com um andar intermédio de alta

frequência.

Os conversores designados por CC-CC têm como função [2]:

Converter a tensão contínua da fonte para uma tensão contínua requerida pela

carga;

10

Reduzir o tremor, ou ripple, da tensão da fonte;

Adaptar as tensões e isolar a carga da fonte de tensão;

Proteger tanto a carga como a fonte contra a interferência electromagnética, EMI;

Satisfazer normas de qualidade nacionais e internacionais estabelecidas;

Regular as grandezas elétricas (tensão e corrente na carga).

2.2. Conversores Comutados

Como o próprio nome indica, os conversores comutados efetuam a transferência de energia

da fonte para a carga de forma comutada, alimentando a carga apenas com a energia por ela

requerida, com recurso a dispositivos eletrónicos de potência [2].

Os dispositivos controlados podem ser: tíristores, GTO - Gate Turn Off, TJB - “Transístor de

Junção Bipolar”, MOSFET – “Transístor de Efeito de Campo Metal Óxido Semicondutor”ou IGBT –

Insulated Gate Bipolar Transistor. No caso deste trabalho serão utilizados MOSFETs, devido ao facto

de operarem a frequências mais elevadas do que os IGBTs e com menores perdas. A comutação é

efetuada a uma frequência elevada da ordem das centenas de kHz. Pelo que, os interruptores

controlados operam a uma frequência muito superior à das variáveis de entrada e saída [3].

Os conversores CC-CC de maior aplicação [2-4] que garantem isolamento galvânico e

operam com comutação forçada, são o conversor direto (forward converter), o conversor de retorno

(flyback converter), o conversor de comutação alternada (push-pull converter), e os conversores em

meia-ponte ou ponte completa (half-bridge converter ou full-bridge converter).

Estes conversores são normalmente controlados por modulação de largura de impulso, PWM

(Pulse Width Modulation), em que a tensão de saída é controlada ajustando o intervalo de tempo em

que um interruptor conduz, que por sua vez influencia a largura de um impulso da tensão à entrada

do filtro de saída, variando assim o valor médio da onda de tensão na carga.

Define-se como fator de ciclo, ao qual se atribui a letra , como sendo o quociente entre o

tempo em que o interruptor conduz, , e o período

, (onde é a frequência de comutação dos

interruptores, ou frequência de operação do conversor):

(2.1)

Para ilustrar o funcionamento destes conversores, apresenta-se na Figura 2.1 (a) e (b) o

esquema do conversor em meia ponte e as formas de onda típicas deste conversor, respetivamente

[3].

11

Figura 2.1: (a) Esquema e (b) diagramas temporais do conversor em meia ponte com isolamento galvânico.

Durante o transístor S1 conduz (S2 permanece desligado), polarizando diretamente o

díodo D1 devido à tensão aplicada no primário de

e, como tal, a fonte de entrada fornece energia

à bobina L, através do transformador. A tensão nesse intervalo de tempo assume o valor:

(2.2)

Onde representa a relação do número de espiras do transformador de isolamento.

Para , o transístor S1 é desligado (enquanto que S2 permanece aberto),

ocorrendo condução simultânea dos díodos D1 e D2 para garantir que a corrente na bobina não

possui descontinuidades. Esta condução simultânea dos dois díodos provoca o anulamento do fluxo

resultante no núcleo do transformador e, consequentemente, o anulamento das tensões no primário e

secundário do transformador.

Para , o transistor S2 é ligado (S1 permanece aberto), aplicando uma

tensão de

no primário do transformador, polarizando o díodo D2 à condução e D1 é desligado.

A tensão é, mais uma vez:

(2.3)

Para , S2 é desligado (S1 permanece desligado), ocorrendo o mesmo

processo descrito para o intervalo , sendo a tensão nula neste intervalo.

Sabendo que a tensão aos terminais da bobina é dada por

12

{

(2.4)

É possível obter o ganho de tensão

em função do fator de ciclo , para o modo de

condução contínua [3]:

(2.5)

As vantagens inerentes à utilização deste tipo de conversores são [2-4]:

Número reduzido de componentes;

Operação a frequência constante;

Funcionamento do conversor simples e previsível;

No modo de condução contínua a tensão de saída só depende do factor de ciclo e da

relação do número de espiras do transformador de isolamento;

Controladores em circuitos integrados amplamente disponíveis no mercado.

Porém, as formas de onda de tensão e de corrente nos dispositivos, de comutação abrupta,

fazem com que durante as transições (condução/corte e corte/condução) exista simultaneamente

tensão e corrente nos dispositivos, provocando perdas de comutação, e introdução de ruído

electromagnético no sistema. Como as perdas de comutação aumentam com a frequência, esta fica

limitada, não sendo possível maior redução de volume dos componentes magnéticos.

Com o intuito de reduzir as perdas de comutação e, consequentemente, aumentar a

frequência de operação, introduziu-se a técnica de comutação ressonante, também apelidada de

comutação suave.

A técnica de comutação ressonante consiste na excitação de uma malha ressonante LC para

que as grandezas elétricas no dispositivo a comutar oscilem obtendo-se comutação nos pontos de

anulamento da corrente ou da tensão: no zero da corrente, ZCS (Zero Current Switching); ou no zero

da tensão, ZVS (Zero Voltage Switching). Deste modo, comutando os dispositivos nos pontos de

anulamento das grandezas elétricas, não existe simultaneamente tensão e corrente no dispositivo

resultando as perdas de comutação muito reduzidas, teoricamente nulas.

Existem diversos tipos de conversores que utilizam tecnologia ressonante, sendo os mais

importantes os seguintes: conversores ressonantes [5,6], quase ressonantes [7,8], multi-ressonantes

13

[9] e PWM ressonantes (pseudo-ressonantes, de transição ressonante, conversores de quase onda

quadrada) [10-13]. Estas designações estão relacionadas com as características das diferentes fases

de operação existentes em cada caso, e/ou com a importância que a malha ressonante tem na

transferência de energia da alimentação para a carga e vice-versa. Assim, quando toda a

transferência de energia é totalmente ressonante tratar-se-á de um conversor ressonante. Por

exemplo, um conversor apelida-se de conversor quase-ressonante, quando, em cada período de

funcionamento, existirem intervalos de tempo durante os quais a transferência de energia se faz

através de um processo ressonante e de intervalos durante os quais a transferência de energia se faz

através de um processo de carga ou de descarga de um elemento reactivo. Os conversores PWM

ressonantes são conversores onde os elementos ressonantes têm apenas a função de provocar o

anulamento da corrente ou da tensão no dispositivo, não estando envolvidos na transferência de

energia, reduzindo os efeitos negativos decorrentes dos processos ressonantes.

Como foi referido anteriormente, este trabalho considerará essencialmente o estudo de

conversores ressonantes e focar-se-á em especial incidência no conversor ressonante LLC.

2.3. Conversores Ressonantes

Neste parágrafo introduz-se os conversores ressonantes e faz-se a caracterização e distinção

entre os diferentes tipos de conversores, deste tipo. Seguidamente, efetua-se um estudo teórico com

base na aproximação à harmónica fundamental, dos conversores ressonantes mais utilizados.

Os conversores ressonantes podem ser decompostos, de forma geral, em quatro estágios de

conversão de energia [14]:

O inversor (em meia-ponte ou ponte completa), que transforma a tensão contínua de

entrada numa onda quadrada;

O tanque ressonante, que excitado pela onda quadrada à frequência de ressonância

(frequência para a qual a impedância do tanque é mínima) proveniente do inversor,

reage maioritariamente à harmónica fundamental, reduzindo as harmónicas de maior

ordem, e gerando uma tensão e/ou corrente aproximadamente sinusoidais;

O retificador, que converte a corrente sinusoidal em pulsada;

Um filtro de saída, constituído por uma bobina e um condensador ou apenas um

condensador, para garantir que a tensão de saída tenha uma componente CC

elevada.

Na Figura 2.2 está representado o esquema geral de um conversor ressonante, onde

corresponde à resistência que, por sua vez, representa a carga a alimentar.

14

Figura 2.2: Esquema geral de um conversor ressonante.

As topologias ressonantes são normalmente caracterizadas pelo seu tanque ressonante,

constituído por elementos indutivos (L) e capacitivos (C), onde algumas dessas topologias são

apresentadas na Figura 2.3, sendo elas as configurações LC série, LC paralelo, LCC e LLC.

Figura 2.3: Tanques ressonantes LC série e paralelo, LCC e LLC.

Quando comparados com outras topologias, os conversores ressonantes apresentam um

elevado rendimento, dado que é possível estabelecer uma região de operação em que a comutação

dos interruptores do conversor de entrada é feita com tensão nula (ZVS), resultando numa redução

das perdas de comutação e menor interferência eletromagnética. Assim é viável operar estas

topologias ressonantes a frequências na ordem das centenas de quilohertz, reduzindo o seu volume,

[2,15]. Além disso, para frequências suficientemente elevadas e para potências relativamente baixas

é possível integrar não-idealidades dos componentes do circuito no tanque ressonante, isto é, por

exemplo, as indutâncias de dispersão do transformador de isolamento podem ser absorvidas pela

bobina do tanque ressonante.

O conceito de “comutação ressonante” tem sido estudado desde os anos 30 [16]. Todavia, só

a partir do fim dos anos 70 e durante as décadas de 80 e 90, com a emergência de dispositivos

electrónicos rápidos, os conversores ressonantes tiveram o seu intenso desenvolvimento.

E, embora com características que lhes permite obter rendimentos elevados a altas

frequências, estes conversores não tiveram aceitação imediata por parte da indústria devido ao

acréscimo de complexidade que advém da introdução de várias malhas ressonantes: que alteram o

comportamento dos circuitos dificultando o seu dimensionamento. Porém, dadas as vantagens

enumeradas anteriormente, os conversores ressonantes têm sido alvo de estudo e aplicação em

diversas áreas, como por exemplo, na transmissão de energia sem contato, onde a sua aplicação é

sempre imprescindível. A título de exemplo, são apresentadas algumas das aplicações de

conversores ressonantes.

15

No trabalho [17], um conversor ressonante LLC é utilizado para aplicações LED de alta

potência na área de iluminação. Em [18], um conversor ressonante LC série (uma bobina em série

com um condensador) é utilizado no fornecimento de potência a um laser. Em [19], um conversor

ressonante LLC é utilizado no carregamento de baterias de veículos elétricos, o que indica que os

conversores ressonantes têm sido utilizados em aplicações onde é essencial a utilização de uma

fonte de potência com volume reduzido, isolamento galvânico e rendimento elevado.

De seguida, é apresentado um breve estudo dos conversores ressonantes. As diferentes

topologias resultam da aplicação dos tanques dispostos na Figura 2.3, à excepção do conversor LLC.

Este último será posteriormente estudado em detalhe, sendo que os conversores LC série e paralelo

e o LCC serão abordados neste capítulo com vista à exposição de desvantagens que, em última

análise, levam à escolha do conversor LLC como objeto de estudo desta tese.

2.3.1. Conversor Ressonante LC Série

É apresentado na Figura 2.4 um circuito típico de aplicação do tanque ressonante LC série,

semelhante ao conversor em meia ponte apresentado na Figura 2.1.

Figura 2.4: Conversor ressonante LC série.

A bobina de ressonância está em série com a entrada do retificador a díodos, pelo que a

entrada deste possui características de fonte de corrente, tendo a saída características de fonte de

tensão. Como tal, é incluído um condensador como filtro de saída [3, 20], a fim de manter a tensão

na carga aproximadamente constante.

A impedância do tanque ressonante LC varia com a frequência da tensão de entrada , e é

miníma para a frequência que é definida como sendo a frequência de ressonância, dada por

√

(2.6)

16

Como o tanque ressonante está em série com a carga , a tensão de entrada é dividida

entre o tanque ressonante e a carga.

Para uma frequência de operação (de comutação dos dispositivos Q1 e Q2) próxima da

frequência de ressonância, como a impedância do tanque é mínima, a tensão de entrada é toda

imposta aos terminais da carga (à parte de perdas nos díodos D1 e D2 e nos interruptores Q1 e Q2 e

da relação de transformação do transformador).

Uma vez que a impedância do tanque ressonante varia com a frequência, é possível controlar

a tensão com que se alimenta a carga variando a frequência de operação, pelo que, normalmente, os

conversores ressonantes são controlados por variação da frequência. É então essencial determinar a

dependência entre as tensões de entrada e saída em função da frequência [3].

A fim de retirar algumas conclusões sobre o conversor LC série, o ganho de tensão

em

função da frequência é apresentado na Figura 2.5, imagem adaptada de [20].

Figura 2.5: Ganho de tensão do conversor LC série em função da frequência normalizada. Adaptado de [20].

O ganho é apresentado em função da frequência , que corresponde à frequência

normalizada à frequência de ressonância . As diferentes curvas de ganho representam as curvas

obtidas para diferentes fatores de qualidade Q. O fator de qualidade Q é um fator adimensional que é

utilizado na caracterização e dimensionamento de conversores ressonantes, que para o LC série é

dado por

(2.7)

17

Onde representa a resistência de carga e que, para um conversor CC-CC, é dada pelo

quociente entre os valores médios da tensão e corrente de saída e , respetivamente, e

representa a impedância característica do tanque ressonante LC, dada por

√

(2.8)

Ou seja, as diferentes curvas de ganho representam os ganhos de tensão obtidos para

diferentes condições de carga, definindo-se aqui a carga como a corrente de carga , uma vez que a

tensão de saída é considerada constante.

Logo, com a redução da corrente da carga, ou carga, a resistência de carga aumenta e,

para o conversor LC série, o fator de qualidade diminui, e vice-versa.

É possível observar que o ganho de tensão do conversor LC série é sempre menor que 1,

devido ao facto de se comportar como um divisor de tensão, sendo que o ganho é máximo para a

frequência de ressonância [20]. Observa-se também que, para valores de carga sucessivamente

menores (valores de Q menores), as curvas apresentam uma seletividade cada vez menor, isto é,

para uma grande variação de frequência, há uma reduzida variação da tensão de saída. No limite,

isto é, para uma carga nula, a curva de ganho corresponde a uma linha horizontal [21]. A isto equivale

dizer que o controlo de tensão no conversor LC série é perdido para cargas reduzidas.

Uma grandeza importante a avaliar é a energia de circulação, que é definida como sendo a

energia que é devolvida à fonte de entrada a cada ciclo de comutação [20]. É importante a sua

averiguação pois quanto maior for, mais energia tem que ser processada pelos semicondutores,

representando perdas de condução maiores [20]. Na Figura 2.6 são apresentadas as formas de onda

da tensão de entrada e da corrente no tanque ressonante , e a energia de circulação

corresponde à área marcada a azul.

A tensão de entrada no tanque é uma onda de tensão quadrada, de amplitudes e

, que é gerada pela comutação dos interruptores Q1 e Q2, alternadamente e com um fator de

ciclo de 50%. A excitação do tanque ressonante pela onda de tensão quadrada gera uma corrente

sinusoidal, desde que a frequência da tensão de entrada seja igual ou próxima da frequência de

ressonância .

18

Figura 2.6: Energia de circulação no conversor LC série. Adaptado de [20].

O conversor LC série apresenta uma energia de circulação elevada, e que aumenta com o

aumento da frequência. Por forma a reduzir a tensão de saída, há que aumentar a frequência de

operação, o que aumenta a impedância do tanque ressonante e, consequentemente, aumenta esta

energia de circulação, representando uma desvantagem significativa do LC série [20]. Como tal, o

conversor LC série não é uma boa escolha para muitas aplicações de conversão CC-CC.

2.3.2. Conversor Ressonante LC paralelo

Na Figura 2.7 é apresentado o mesmo circuito da Figura 2.4, com exceção do tanque

ressonante, agora composto por uma bobina em paralelo com um condensador.

Figura 2.7: Conversor ressonante LC paralelo.

Neste caso, como o condensador de ressonância está em paralelo com os terminais do

retificador, a entrada deste possui características de fonte de tensão e, consequentemente, a saída

do retificador tem características de fonte de corrente, logo há que incluir uma bobina de filtragem

[3,20] (sem prejuízo do condensador de filtragem ). Mais uma vez, o tanque ressonante é excitado

pela onda de tensão quadrada e, desde que a frequência dessa tensão seja aproximadamente

igual à frequência de ressonância do tanque, também dada por (2.6), é gerada uma corrente

sinusoidal ou quase sinusoidal no tanque.

19

O ganho de tensão do conversor LC paralelo é apresentado na Figura 2.8 [20], a fim de

analisar o comportamento deste para diferentes condições de carga. Para este conversor, o fator de

qualidade é dado por

(2.9)

Onde é dado por (2.8). No caso do conversor LC paralelo, com a redução da corrente de

carga, ou carga, o fator de qualidade Q aumenta.

Figura 2.8: Ganho de tensão do conversor LC paralelo. Adaptado de [20].

Ao contrário do verificado para o conversor LC série, é possível controlar a tensão de saída

para cargas reduzidas, pelo que o controlo de tensão é mantido, o que constitui uma vantagem

importante. Outra vantagem reside na sua proteção inerente de curto-circuito, pois a bobina de

ressonância limita uma eventual corrente de curto-circuito [3,21].

Contudo, como a resistência de carga está em paralelo com o condensador de

ressonância, mesmo para condições de carga nula, a impedância de entrada permanece muito

reduzida, o que implica uma corrente no tanque ressonante elevada. Isto leva a que a energia de

circulação seja elevada [20], o que é possível observar na Figura 2.9, e aproximadamente

independente da carga [3], o que leva a uma degradação significativa do rendimento para cargas

reduzidas.

20

Figura 2.9: Energia de circulação no conversor LC paralelo. Adaptado de [20].

É possível eliminar as desvantagens verificadas em ambos os conversores LC acrescentando

um elemento ressonante no tanque. Contudo, como se verificará, a adição de um elemento

ressonante acarreta também um aumento da complexidade na análise a efetuar, pois o

comportamento do conversor passa a ser ainda mais difícil de prever.

2.3.3. Conversor Ressonante Série-paralelo LCC

A Figura 2.10 apresenta um possível circuito de aplicação do tanque ressonante LCC, que

pode ser visto como uma combinação das topologias LC série e paralelo, uma vez que consiste na

colocação de um condensador, designado por , em paralelo com a série da bobina e condensador

de ressonância, surgindo assim a sua designação de conversor ressonante “série-paralelo”.

Tal como verificado para o conversor LC paralelo, a colocação de em paralelo com a

entrada do retificador impõe características de fonte de tensão à sua entrada, o que significa que a

sua saída possui características de fonte de corrente, sendo necessária a colocação de uma bobina

de filtragem, .

Figura 2.10: Conversor ressonante LCC.

Uma vez que o conversor LCC é uma combinação dos LC série e paralelo, verifica-se que

este elimina as desvantagens mais significativas presentes em ambos os casos, isto é:

21

Para o conversor LC série, o controlo da tensão de saída é perdido para cargas

reduzidas. Contudo, no caso do conversor LCC, o condensador em paralelo permite

recuperar o controlo da tensão para cargas reduzidas, tal como se verifica no LC

paralelo [3,20];

Para o conversor LC paralelo, a energia de circulação é elevada e independente da

carga. Contudo, a série da bobina e condensador de ressonância - que por sua vez

está em série com a resistência de carga - faz com que a impedância do tanque seja

mais elevada e, consequentemente, a energia de circulação é mais baixa do que o

verificado no conversor LC paralelo [20].

Estes pontos podem ser observados por análise das Figuras 2.11 e 2.12, onde são

apresentados o ganho de tensão e a energia de circulação, respetivamente, do conversor LCC. Para

este conversor, o fator de qualidade, designado por , é dado por

(2.10)

O que implica que cargas menores resultam num fator de qualidade menor, tal como

observado para o conversor LC série.

Figura 2.11: Ganho de tensão do conversor LCC. Adaptado de [20].

22

Figura 2.12: Energia de circulação no conversor LCC. Adaptado de [20].

2.4. Conclusões

O conversor LC série é usualmente, por apresentar uma energia de circulação elevada e

perda do controlo da tensão de saída para cargas reduzidas, um mau candidato para a maioria das

aplicações de conversão CC-CC.

O conversor LC paralelo, apesar de ser capaz de controlar a tensão de saída para condições

de carga reduzida, apresenta também uma energia de circulação elevada e independente da carga, o

que implica que ocorre uma redução do rendimento que acompanha a redução de carga, o que não é

desejável.

O conversor LCC soluciona ambos estes problemas pois, para além de conseguir regular a

tensão para cargas reduzidas - ou nulas [20] - a colocação de um condensador em paralelo permite

manter a impedância mais elevada e, consequentemente, a energia de circulação é reduzida

(menores perdas de condução nos interruptores de entrada). Isto verifica-se também no conversor

ressonante LLC, pois a indutância em paralelo aumenta a impedância do tanque e reduz a energia de

circulação.

Contudo, como exposto nos trabalhos [22-24], a utilização do conversor LLC acarreta uma

vantagem muito significativa face ao LCC, e que usualmente leva à preferência do LLC: o conversor

LLC utiliza como elemento ressonante em paralelo uma bobina, que corresponde à indutância de

magnetização do transformador. A não utilização da bobina de ressonância em paralelo, substituída

por uma não idealidade do transformador, reduz o volume do conversor e, como tal, aumenta a

densidade de potência do mesmo.

É possível ainda integrar a indutância de dispersão do transformador na bobina de

ressonância do transformador, reduzindo ainda mais o volume do conversor [22-25]. Para além desta

vantagem, os díodos do retificador de saída comutam nos zeros da corrente, o que permite aumentar

o seu rendimento. Como tal, o conversor LLC é escolhido como objeto de estudo nesta tese.

23

3. Conversor DC-DC Ressonante LLC

3.1. Introdução

Na Figura 3.1 é apresentado o circuito do conversor ressonante LLC a estudar, que

apresenta, para cada estágio presente na Figura 2.2:

O inversor em meia-ponte, uma vez que a utilização de dois dispositivos de

comutação implica um controlo menos complexo, com a desvantagem de terem de

suportar o dobro da corrente, o que aumenta as perdas de condução;

O tanque ressonante LLC, isto é, uma bobina e um condensador em série, e uma

bobina em paralelo com o tanque e o primário do transformador, que é designada por

;

O retificador de meia-onda a díodos;

O filtro de saída, composto por um condensador, devido ao mencionado no ponto

2.3.1, i.e., que a bobina em série com a entrada do retificador impõe características

de fonte de tensão à saída deste.

Figura 3.1: Conversor ressonante LLC.

Adicionalmente, um transformador de potência e alta frequência, com ponto intermédio de

ligação no secundário, ou center-tapped, é incluído, a fim de garantir isolamento galvânico e de

reduzir a tensão no secundário, por meio da sua relação de transformação .

O conversor LLC é designado por multiressonante devido ao facto de existirem duas

frequências de ressonância [20]. Uma é determinada pela ressonância entre a indutância ressonante

série e o condensador, e corresponde à frequência de ressonância dos conversores LC série e

paralelo, , dada pela equação (2.6). A outra, designada por frequência de ressonância em paralelo,

, ocorre quando o condensador entra em ressonância com a soma das indutâncias ressonantes,

que será abordada posteriormente.

24

Neste capítulo, serão abordados os seguintes pontos:

1. É feita uma breve análise da operação do conversor LLC, no modo de condução

contínua, ou MCC, e para uma frequência de operação igual à de ressonância;

2. É elaborada uma revisão bibliográfica, ou um estudo do estado da arte, do conversor

LLC, mais concretamente, na aplicação da aproximação à harmónica fundamental no

seu estudo e dimensionamento;

3. A aproximação à harmónica fundamental é exposta, com foco nas aproximações

efetuadas ao longo da sua aplicação na análise do conversor LLC.

3.2. Operação à frequência de ressonância

As formas de onda típicas do conversor LLC (circuito da Figura 3.1), para operação a

frequência constante e igual à frequência de ressonância e no modo de condução contínua, ou

MCC, são apresentadas na Figura 3.2, correspondentes às grandezas delineadas no circuito da

Figura 3.1. Define-se MCC como o modo de operação no qual a corrente à saída do retificador, ,

não apresenta intervalos nos quais é nula.

A tensão de entrada no tanque ressonante (Figura 3.2 (a)), tal como nos conversores

descritos no ponto 2.3, é gerada pela comutação alternada dos dispositivos Q1 e Q2, e consiste

numa onda quadrada de amplitudes e 0.

O condensador ressonante elimina a componente contínua da tensão , de valor

, sendo

que a tensão resultante designada por (Figura 3.2 (b)), com amplitudes de aproximadamente

, é imposta aos terminais da bobina (assim designada por representar a indutância de

magnetização do transformador). Esta tensão aos terminais da bobina origina uma onda de

corrente triangular (Figura 3.2 (c)), uma vez que a corrente numa bobina é dada por

∫

(3.1)

A corrente no tanque ressonante (Figura 3.2 (d)), desde que a frequência de operação do

conversor esteja próxima da frequência de ressonância, é aproximadamente sinusoidal.

Isto acontece porque, para frequências de operação próximas da de ressonância, o tanque

filtra o conteúdo harmónico de ordem superior da onda de tensão quadrada, restando apenas a sua

componente fundamental, que consiste numa sinusóide.

25

Figura 3.2: Formas de onda do conversor LLC à frequência de ressonância.

As tensões nos secundários do transformador, e à entrada do retificador, e (Figura

3.2 (e)), são ondas de tensão quadrada de amplitudes e desfasadas de . Uma vez que têm a

mesma amplitude e forma, por motivos de simplicidade, daqui em diante, refere-se apenas a tensão

num dos secundários, , que se denomina . Os díodos D1 e D2 que compõem o retificador

retificam estas tensões e, em conjunto com o condensador de filtragem , originam uma onda de

tensão quase contínua que alimenta a carga .

As correntes nos díodos D1 e D2 (Figura 3.2 (f)), que correspondem às correntes nos

secundários e , são correntes retificadas em meia onda, isto é, iguais mas desfasadas de .

Pelas mesmas razões definidas no parágrafo anterior, apenas se refere a corrente num dos

26

secundários, , que se denomina . A corrente à saída do retificador (Figura 3.2 (f)) é uma

corrente cujo valor médio equivale à corrente de carga .

O conversor LLC consegue obter um rendimento elevado devido à oscilação da corrente no

tanque ressonante , que é a mesma que passa nos interruptores Q1 e Q2. Esta oscilação é obtida

através dos ciclos de carga e descarga dos elementos ressonantes, e aliada à desfasagem entre a

tensão e a corrente introduzida pelo tanque ressonante [17] - que tem um carácter indutivo à

frequência de ressonância – permite a comutação dos dispositivos Q1 e Q2 com ZVS, uma vez que a

corrente está em atraso em relação à tensão .

3.3. Estado da Arte

Como referido anteriormente, o conversor ressonante LLC, dada a sua capacidade de

comutar os MOSFET da ponte inversora a tensão zero, tem o potencial para operar com uma

frequência muito elevada sem que haja redução do rendimento global do conversor, dada a

capacidade de comutar os dispositivos com ZVS ou ZCS. Ao empregar uma frequência de operação

muito elevada, o volume dos componentes magnéticos é reduzido. Utiliza-se ainda a indutância de

dispersão série do transformador como sendo a indutância ressonante série , e a indutância de

magnetização como sendo a indutância em paralelo , reduzindo-se também o volume do

conversor, ao evitar a inclusão de novos elementos.

Assim, o conversor LLC tem sido alvo de um estudo intenso [25], estudo esse impulsionado

pela procura global pela miniaturização do equipamento electrónico. A não linearidade e a operação

multi-ressonante (que será explicada posteriormente) do conversor ressonante LLC leva a que o seu

estudo exato seja de elevada complexidade [26, 27], dificultando a obtenção de um modelo analítico

exato que descreva o comportamento do conversor [27]. Tendo em conta também que a modelização

assistida por computador requer a resolução de equações transcendentais [27, 28], o

dimensionamento do conversor LLC – efetuado em diversas aplicações ou para concretização

experimental – é tipicamente feito com base em modelos aproximados de cálculo e dimensionamento

[29-34], sendo um dos mais utilizados a aproximação à harmónica fundamental, ou FHA.

Em [29], são propostos dois modelos simplificados, obtidos com base na FHA, para estudo

do comportamento do conversor LLC, mais concretamente, estudo das regiões de operação de

comutação a tensão zero. Com base nos resultados obtidos pela FHA, é possível determinar

expressões expeditas para o dimensionamento de diferentes configurações do conversor LLC.

Contudo, o erro cometido com a aplicação da FHA na obtenção dos modelos não é avaliado.

No trabalho [30], a FHA é utilizada no dimensionamento de um Interleaved Converter, ou

conversor intercalado, que consiste na junção de dois conversores com um desvio de fase de 180º

entre si, efetivamente reduzindo o tremor na corrente de saída, entre outras vantagens. Uma vez que

27

a frequência de operação utilizada é fixa e igual à frequência de ressonância do tanque, o erro

cometido com a utilização da aproximação é reduzido.

Nos trabalhos [31-34], a FHA é utilizada no dimensionamento do conversor LLC, mais

concretamente, no cálculo do ganho de tensão que, posteriormente, é necessário para o

dimensionamento dos elementos do tanque ressonante, dispositivos comutadores, filtro e

transformador. Mais uma vez, o erro introduzido pela FHA não é quantificado.

No trabalho [35], são introduzidos os modelos da FHA e da aproximação à harmónica

fundamental extendida, ou eFHA (Extended Fundamental Harmonic Approximation), sendo realizada

uma análise em detalhe da exatidão dos dois modelos, para uma gama de frequências de operação.

Esta análise é feita determinando o erro relativo no cálculo dos valores máximos das grandezas

elétricas relevantes do conversor, face à solução exata no domínio do tempo.

A FHA tem por base que, para frequências de operação próximas da frequência de

ressonância do tanque, o tanque ressonante filtra as harmónicas de ordem superior, podendo-se

considerar apenas a harmónica fundamental das grandezas elétricas aos terminais do tanque.

Contudo, ao operar com frequências de comutação diferentes da frequência de ressonância, este

modelo introduz erros inevitáveis no dimensionamento do conversor [28].

Neste trabalho, à semelhança do estudo realizado em [35] e por forma a avaliar o erro

cometido com a aproximação à harmónica fundamental, o conversor LLC é estudado através da

mesma. De seguida, é desenvolvido e aplicado o modelo proposto em [36], modelo esse que assume

apenas que a corrente no tanque ressonante é sinusoidal. Posteriormente, são obtidos os valores

máximos das grandezas elétricas mais importantes através dos dois modelos. Finalmente, os erros

relativos dos dois modelos são calculados face a resultados de simulação obtidos através do

programa de simulação PSIM.

Deste modo, serão comparados em detalhe os dois modelos usados na modelização do

conversor LLC, para uma gama de frequências abaixo e acima da frequência de ressonância.

3.4. Aproximação à harmónica fundamental

A aproximação à harmónica fundamental, ou FHA, é empregue em muitos estudos e

trabalhos sobre conversores ressonantes, entre eles, [14, 17-25, 29-34]. Ao aplicar esta aproximação

assume-se que, para frequências próximas da frequência natural da malha ressonante, esta filtra as

harmónicas de ordem superior e, como tal, as grandezas elétricas aos seus terminais são sinusoidais.

Mais concretamente, são contabilizadas apenas as componentes fundamentais na transferência de

energia. Daí advém uma simplificação substancial do circuito e, consequentemente, da análise do

conversor, uma vez que se passa a considerar um regime de operação puramente sinusoidal.

28

Considerando que o conversor LLC da Figura 3.1 está a operar com uma frequência de

comutação igual à frequência de ressonância e no MCC, como explicado anteriormente, são

verificadas as condições para aplicação da FHA. Ao abrigo deste modelo são feitas diversas

aproximações, que serão explicitadas e explicadas ao longo deste ponto.

Como referido anteriormente, a tensão de entrada do tanque é uma onda de tensão

quadrada que toma os valores e 0 (como apresentado na Figura 3.2), sendo que o condensador

de ressonância série elimina a componente contínua de

.

A primeira aproximação é efetuada ao considerar que, uma vez que se opera à frequência de

ressonância do tanque LLC, este filtra o conteúdo harmónico de ordem superior, pelo que se

considera apenas a componente fundamental da tensão à entrada do tanque. Esta componente

fundamental, designada por , é sinusoidal e dada por

(3.2)

Onde corresponde à frequência angular de operação, dada por

(3.3)

A tensão no secundário, , é síncrona com a corrente no tanque ressonante , isto é,

quando a corrente é positiva, a tensão no secundário é , quando é negativa, é – .

Matematicamente, tem-se

{

(3.4)

Sendo assim, a segunda aproximação é a de considerar que a tensão no secundário é

quadrada, e a terceira aproximação é a de considerar apenas a componente fundamental desta

tensão, que é dada por

(3.5)

Onde designa a desfasagem entre as componentes fundamentais da tensão de entrada

do tanque, e da tensão no secundário

[37]. Logo, remetendo para o primário, obtém-se a

componente fundamental da tensão no primário

(3.6)

29

A corrente no secundário do transformador, , é aproximadamente sinusoidal, ao abrigo da

FHA, e à saída do retificador, designada por (representada na Figura 3.2), tem que apresentar um

valor médio igual à corrente de carga (visto que o condensador de saída retém a componente

alternada). A corrente consiste num seno retificado, pelo que é possível demonstrar que o valor

máximo da corrente é, de modo a ter um valor médio de :

(3.7)

Sendo que este valor é também o valor máximo da corrente no secundário do transformador

, isto é,

(3.8)

A quarta e última aproximação efetuada pela FHA é a de, em vez de considerar o conjunto

transformador, retificador, filtro e carga, transformar este conjunto numa resistência equivalente

que simboliza a sua acção, visto que se opera num regime sinusoidal [17,37]. Esta resistência é

calculada através do quociente entre os valores máximos da componente fundamental da tensão à

entrada do retificador e da corrente à entrada do retificador, ou seja [17]:

(3.9)

É importante salientar que, como exposto em [37], se , isto é, se a frequência de

comutação for igual à frequência de ressonância, a impedância da bobina em série com o

condensador é nula, e a desfasagem entre as componentes fundamentais das tensões de entrada

e no secundário do transformador, , é aproximadamente nula, permitindo determinar .

Matematicamente, tem-se

(3.10)

É possível então determinar a resistência equivalente [17]:

(3.11)

Estas aproximações permitem simplificar o circuito da Figura 3.1, obtendo-se o circuito

representado na Figura 3.3, onde todas as grandezas são sinusoidais, o que simplifica a análise

significativamente [37]. A componente fundamental da tensão no secundário e a corrente no

secundário são referidas ao primário dividindo e multiplicando pela relação de transformação do

transformador, respetivamente.

30

Figura 3.3: Circuito do conversor LLC simplificado pela FHA.

Com base no circuito da Figura 3.3, é possível determinar algumas grandezas elétricas

essenciais para a modelização do conversor, sendo elas as correntes no tanque e no secundário

, a corrente na bobina em paralelo e as quedas de tensão na bobina de ressonância

e no

condensador de ressonância .

A corrente na bobina em paralelo , designada por , advém da divisão da componente

fundamental da tensão no primário pela reatância da bobina:

(3.12)

É importante sublinhar que, apesar desta corrente ser triangular - como observado no ponto

3.2 - , ao abrigo da FHA, assume-se que a mesma é sinusoidal.

Sabendo que as grandezas são (assume-se) sinusoidais, a corrente no secundário é

dada por

(3.13)

Uma vez que o seu valor máximo é determinado através de (3.8).

Aplicando a lei dos nós, determina-se a corrente no tanque ressonante para a frequência

de ressonância:

(

) (3.14)

Sabendo que a corrente que passa no condensador de ressonância é , a queda de

tensão aos seus terminais é dada por

∫

(

) (3.15)

31

O valor médio da tensão no condensador é igual ao valor médio da tensão , como

decorre diretamente da aplicação da lei das malhas à malha que contém o primário do transformador,

visível na Figura 3.1. Logo, a constante que resulta da integração é

(3.16)

Como tal, o valor máximo da queda de tensão no condensador corresponde a

(

)

(3.17)

De forma análoga, sabendo que a corrente que passa na bobina de ressonância é também

, a queda de tensão na bobina de ressonância é dada por

(

) (3.18)

Pelo que o valor máximo da queda de tensão na bobina de ressonância é

(

) (3.19)

Para além das grandezas elétricas já determinadas, é importante também determinar o ganho

de tensão do conversor. Partindo ainda do circuito da Figura 3.3, é possível calcular a queda de

tensão na resistência equivalente , em função da frequência, através de um divisor de tensão, que

se traduz em

(3.20)

Daqui advém o ganho de tensão em função da frequência , que é dado por

(3.21)

Designando o ganho de tensão de um conversor CC - CC

por , isto é,

(3.22)

32

E recorrendo a (3.2) e (3.5), verifica-se que o ganho de tensão de um conversor CC - CC

se relaciona com o ganho de tensão através de

(3.23)

Assumindo, mais uma vez, que a desfasagem é aproximadamente nula à frequência de

ressonância.

Como tal, o ganho de tensão é dado por

(3.24)

De modo a generalizar o estudo para qualquer conversor LLC com a mesma topologia

apresentada na Figura 3.1, é necessário normalizar o ganho de tensão dado por (3.24). Para tal, há

que definir alguns parâmetros, sendo que alguns já foram introduzidos anteriormente.

Primeiramente, o fator de qualidade do conversor LLC é calculado, dado por [37]:

√

(3.25)

Onde e são a impedância característica do tanque ressonante LLC e a resistência

equivalente do conjunto retificador, filtro e carga, respetivamente. A impedância característica do

tanque LLC é igual à do tanque LC série, dada por (2.8).

De seguida, define-se como sendo o quociente entre a bobina em paralelo e a bobina

de ressonância série :

(3.26)

Como o ganho de tensão depende da frequência de operação, é necessária também a sua

normalização. Sendo assim, define-se a frequência de operação (ou de comutação) angular

normalizada como

(3.27)

onde corresponde à frequência de ressonância angular.

33

Finalmente, após alguma manipulação matemática, é possível obter o ganho de tensão

em função dos parâmetros adimensionais , e da frequência normalizada :

|

(

) (

)| (3.28)

De modo a avaliar o comportamento do conversor em função da frequência, para diferentes

valores do quociente entre as bobinas do tanque ressonante e para diferentes condições de carga,

isto é, diferentes valores do fator de qualidade , são realizadas simulações da equação (3.28) no

programa de simulação MATLAB. Contudo, é necessário atribuir valores aos parâmetros .

Como referido no ponto 2.4, a energia de circulação é um ponto importante a ter em conta, e

no conversor LLC, esta está diretamente relacionada com a corrente na bobina em paralelo . Uma

vez que esta corrente circula no primário, sem estar envolvida na transferência de energia, é

essencial que esta seja muito reduzida face à corrente que circula no primário , de modo a que as

perdas de condução nos dispositivos do inversor sejam reduzidas.

Para tal, é necessário que a bobina seja no mínimo uma ordem de grandeza superior à

bobina de ressonância . De modo a averiguar a influência da relação entre as bobinas no ganho

do conversor, são escolhidos os valores:

(3.29)

Quanto ao fator de qualidade , é escolhido o intervalo de valores:

(3.30)

As curvas do ganho de tensão obtidas por simulação da equação (3.28) para os

parâmetros referidos acima são apresentadas nas Figuras 3.4 a 3.6. Para efeitos de consulta, o

programa em MATLAB utilizado na obtenção dos ganhos de tensão das Figuras 3.4 a 3.6 é

apresentado no Anexo A.

34

Figura 3.4: Curvas do ganho de tensão para e diversos valores de Q, obtidas pela FHA.

Figura 3.5: Curvas do ganho de tensão para e diversos valores de Q, obtidas pela FHA.

35

Figura 3.6: Curvas do ganho de tensão para e diversos valores de Q, obtidas pela FHA.

3.5. Conclusões

Por análise das Figuras 3.4 a 3.6, é possível concluir sobre alguns pontos, entre eles, o

impacto dos parâmetros e no comportamento do conversor.

Primeiramente, é importante referir que o ganho de tensão para a frequência de

ressonância, o mesmo que dizer frequência normalizada igual a um, é unitário e independente dos

parâmetros e , ou seja,

(3.31)

Sendo a tensão de saída à frequência de ressonância .

Isto é, para qualquer carga a alimentar e para qualquer quociente das bobinas do tanque

ressonante escolhido, a tensão de saída mantém-se constante, desde que a frequência de operação

seja constante e igual à frequência de ressonância. Isto constitui uma vantagem importante do

conversor LLC, pois permite alimentar um vasto leque de cargas para diversas configurações do

tanque ressonante, mantendo a tensão de saída no nível desejado.

Verifica-se que, à medida que aumenta, isto é, quando se aumenta o valor da indutância

de magnetização face à de ressonância série , o ganho de tensão máximo é reduzido. É de

notar também que, para valores de elevados, o controlo de tensão é reduzido, uma vez que o

ganho de tensão não varia significativamente com a frequência. Verifica-se também que, quando

aumenta, o ganho de tensão máximo desloca-se para frequências mais baixas.

36

Isto denota a existência de uma segunda frequência de ressonância, aqui designada por -

notação que advém de frequência de “ressonância em paralelo” – ressonância que ocorre entre o

condensador e o conjunto das duas bobinas do tanque, e dada por [20]

√

(3.32)

Com o aumento do fator de qualidade , isto é, à medida que a corrente de carga aumenta, o

ganho de tensão máximo é reduzido, contudo, as curvas apresentam uma maior seletividade, sendo

possível controlar a tensão de saída. Com a redução da corrente de carga (redução de ), o ganho

de tensão máximo aumenta significativamente, implicando um cuidado adicional no controlo da

frequência de operação. É possível concluir também sobre a possibilidade de comutação dos

dispositivos do inversor de entrada em ZVS ou ZCS a partir das curvas de ganho, como referido em

[20]:

- Se o declive da curva de ganho for positivo, é possível comutar com ZCS;

- Se o declive for negativo, é possível comutar com ZVS.

Normalmente são escolhidos MOSFETs para os dispositivos de comutação de entrada, e

uma vez que estes apresentam maiores perdas de comutação na entrada em condução, é preferível

iniciá-los na condução com ZVS [20]. Assim, a zona preferencial é definida pela zona de declive

negativo das curvas de ganho. Esta barreira entre a operação a ZVS e ZCS deve-se ao facto de que,

abaixo do pico da curva de ganho, a impedância de entrada do tanque ressonante tem um carácter

capacitivo. Como tal, a corrente de entrada está em avanço em relação à tensão, não sendo possível

comutar os dispositivos do inversor nos zeros da tensão. Acima do pico da curva de ganho, o tanque

assume um carácter indutivo, a corrente está em atraso em relação à tensão, e é possível obter ZVS.

Contudo, é preciso ter em conta que as curvas do ganho de tensão do conversor LLC obtidas

pela FHA perdem exatidão à medida que a frequência de operação se afasta da frequência de

ressonância. Isto acontece porque, para frequências de operação diferentes da ressonância, a

desfasagem entre as componentes fundamentais das tensões de entrada e no secundário do

transformador, , assume um valor não nulo (visto que a impedância da série de e deixa de

ser desprezável).

A presença desta desfasagem afeta a equação (3.5), ou seja, afeta o cálculo da tensão no

secundário, que é uma das bases na qual assenta o estudo pela FHA, pois permite determinar a

resistência equivalente e, consequentemente, simplificar o circuito a estudar. Revela-se assim a

necessidade da obtenção de um modelo, também analítico e aproximado (a fim de manter a

complexidade matemática reduzida) que permita contabilizar a desfasagem inserida pelo tanque

ressonante, sendo assim menos sujeito a erros na modelização do conversor LLC.

37

4. Conversor DC-DC Ressonante LLC: Modelo Analítico

Aproximado

4.1. Introdução

No trabalho [36], é apresentada a análise e implementação de um sistema de carregamento

de baterias sem contato, a utilizar num sistema eletrónico portátil. Uma vez que a transferência de

energia é feita sem contato, o acoplamento magnético é reduzido, fazendo com que a perda de fluxo

magnético útil no primário seja elevada [36], isto é, a indutância de magnetização apresenta valores

próximos da indutância de dispersão.

Isto revela a necessidade de um tipo específico de conversores eletrónicos capazes de

compensar a perda de fluxo magnético útil – conversores ressonantes. No referido trabalho, é

utilizada uma compensação série no primário, e para facilitar a modelização do sistema, é proposto

um modelo equivalente do transformador, de três parâmetros, cujo esquema é apresentado na Figura

4.1 (a).

Figura 4.1: (a) Modelo de três parâmetros do transformador; (b) Indutâncias acopladas.

Contudo, há que assegurar coerência entre este modelo e o modelo de um transformador

ideal, que consiste no modelo que descreve duas indutâncias acopladas apresentado na Figura 4.1

(b):

[

] [

]

[

] (4.1)

Onde , e representam as indutâncias próprias do primário e secundário e a

indutância mútua, respetivamente.

38

Resultam de (4.1) as equações

{

(4.2)

Através de alguma manipulação matemática das equações (4.2) e sabendo que a indutância

mútua é dada por, em função do fator de acoplamento magnético ,

√ (4.3)

É possível chegar à equação para o cálculo da tensão :

√

(4.4)

Atendendo a que a corrente corresponde à corrente no tanque , por análise do circuito

da Figura 4.1 (a) e aplicando a lei das malhas à malha que contém as indutâncias, é possível concluir

que a tensão é calculada como sendo:

(4.5)

Comparando as equações (4.4) e (4.5), e sabendo que a indutância própria do primário é

medida no primário com o secundário em aberto, resultando em

(4.6)

É possível determinar os parâmetros , e que garantem coerência entre os modelos:

{

√

(4.7)

O modelo proposto em [36] para modelização do transformador pode ser aplicado ao

presente trabalho, sendo que a indutância simboliza a indutância de dispersão do transformador, a

indutância representa a indutância de magnetização e a relação do número de espiras do

transformador. O esquema do conversor ressonante LLC onde é aplicado o modelo proposto para o

39

transformador é representado na Figura 4.2, sendo que as formas de onda típicas das correntes e

tensões assinaladas na mesma encontram-se representadas na Figura 4.3 [36].

Figura 4.2: Esquema do conversor LLC, com o modelo de 3 parâmetros do transformador.

Figura 4.3: Formas de onda do conversor LLC. Adaptado de [36].

Considerando que se opera com uma frequência de operação igual à frequência de

ressonância, dada por (2.6), é possível utilizar o modelo proposto em [36], que foi desenvolvido com o

propósito de estabelecer as características de saída e fornecer equações expeditas de

dimensionamento do conversor [36].

O modelo foi desenvolvido sabendo que a corrente à saída do inversor é

aproximadamente sinusoidal à frequência de ressonância, sendo que a única aproximação efetuada é

a de assumir que é uma sinusóide pura [36].

40

4.2. Estabelecimento do modelo

O modelo é válido apenas para o MCC, uma vez que, quando a corrente no secundário se

anula, os díodos de retificação deixam de conduzir e a tensão no secundário deixa de ser uma

onda quadrada de amplitude igual à tensão de saída [36], como a apresentada na Figura 4.3.

Na análise que se segue, e designam a frequência angular de ressonância e a

impedância característica, sendo dada por (2.8). É de notar também que, para efeitos de aplicação

deste modelo, considera-se que a indutância de dispersão corresponde à bobina de ressonância

utilizada previamente, a indutância de magnetização corresponde à bobina em paralelo e o

condensador corresponde ao condensador de ressonância . Adicionalmente, a relação do

número de espiras fictícia do transformador corresponde à relação de transformação

Os ângulos , e marcados na Figura 4.3 são definidos como sendo [36]:

Ângulo – desfasagem entre as harmónicas fundamentais da tensão proveniente do

inversor e da corrente no tanque ;

Ângulo – desfasagem entre as harmónicas fundamentais da tensão do inversor

e da tensão do secundário

Ângulo – diferença de fase entre e :

(4.8)

É importante assinalar que o ângulo do trabalho [36] corresponde à desfasagem

referida no ponto 3.4.

A. Condições para a definição do modelo do conversor [36]:

Para além de assumir que a corrente no tanque ressonante uma sinusóide pura, as seguintes

condições foram também consideradas a fim de desenvolver o modelo:

1) O conversor opera a uma frequência próxima da frequência de ressonância .

2) A potência de entrada é igual à potência de saída:

(4.9)

3) A corrente no secundário é nula no instante definido por

:

(

) (4.10)

41

4) O valor médio da corrente de saída do retificador corresponde à corrente na carga :

⟨| |⟩ ⟨ ⟩ (4.11)

5) A diferença entre a tensão do inversor e a tensão no secundário referida ao primário

é igual à tensão aplicada ao circuito ressonante definido pela série de com :

(4.12)

6) O conversor opera no MCC, para a corrente no secundário;

7) A tensão de saída é praticamente constante.

B. Modelo do conversor na operação próxima da ressonância [36]:

Comutando os transístores Q1 e Q2 do inversor em meia-ponte alternadamente, a uma

frequência próxima da frequência de ressonância , a componente alternada da tensão do inversor

é dada por:

(4.13)

Como definido acima, a corrente que passa no tanque ressonante, , é aproximadamente

um seno, podendo ser escrita como

(4.14)

Onde e o ângulo têm que ser calculados.

A tensão no secundário do transformador (tensão à entrada do retificador), desde que a

corrente no secundário seja não nula (MCC), é uma onda de tensão quadrada alternada, de

amplitude .

Esta tensão referida ao primário do transformador fornece a variação da corrente em .

Integrando esta tensão, é possível calcular a corrente em , através da relação (3.1):

∫

(4.15)

O retificador de saída é um retificador de corrente, isto é, os díodos conduzem sincronamente

com a corrente no secundário . A tensão aos terminais do condensador de saída surge na entrada

do retificador a díodos, também sincronamente com . Sendo assim, a tensão no secundário é

dada por:

42

(4.16)

Finalmente, a corrente no secundário obtém-se subtraindo a corrente em da corrente

do inversor e referindo a mesma ao secundário, multiplicando-a por :

(4.17)

De modo a concluir a modelização do conversor, há que calcular alguns parâmetros. Usando

as relações (2.8) e (4.13) a (4.17), e após alguma manipulação matemática, é possível determinar os

ângulos pré-definidos e as amplitudes da corrente no tanque ressonante, da corrente de saída e da

tensão de saída, dados por:

(

) (4.18)

(

) (4.19)

(4.20)

(4.21)

(4.22)

(4.23)

Substituindo as relações (4.18) a (4.23) nas equações (4.13) a (4.17), é possível obter todas

as variáveis do circuito elétrico [36]. As quedas de tensão no condensador de ressonância e na

bobina de ressonância são determinadas como feito no ponto 3.4, através de (3.15) e (3.18),

respetivamente, resultando

(4.24)

(4.25)

A tensão no primário é obtida referindo a tensão do secundário para o primário, multiplicando

a mesma pela relação de transformação , isto é,

(4.26)

43

4.3. Conclusões

Este modelo analítico tem em conta as desfasagens introduzidas pelos elementos do tanque

ressonante, enquanto que a FHA não as considera. Como tal, à medida que a frequência de

operação se afasta da de ressonância, espera-se que este modelo produza resultados mais exatos

do que a FHA.

Observa-se também que, ao contrário da FHA, onde as grandezas são consideradas

sinusoidais, este modelo considera apenas a corrente no tanque ressonante como sendo sinusoidal,

pelo que as formas de onda obtidas através deste modelo refletem com mais exatidão o

comportamento do conversor, face à FHA.

Contudo, o modelo apresenta também as suas limitações para frequências de operação

distantes da de ressonância, uma vez que este assenta na aproximação de que a corrente é uma

sinusóide pura. Esta aproximação é válida para frequências de operação próximas da ressonância,

pois o tanque ressonante filtra as harmónicas de ordem superior para essa frequência. Para

frequências muito diferentes da de ressonância, o tanque ressonante deixa passar conteúdo

harmónico de ordem superior, levando a que as grandezas elétricas deixem de ser sinusoidais.

44

5. Dimensionamento do conversor LLC

5.1. Introdução

A fim de obter resultados que possam ser analisados, há que dimensionar o conversor LLC.

Mais concretamente, é necessário dimensionar o transformador de isolamento, o tanque ressonante,

o condensador de saída (de filtragem) e os dispositivos de comutação, tanto do inversor de entrada

como os de retificação à saída.

Para tal, é necessário estabelecer algumas especificações. As especificações previstas para

o conversor ressonante LLC foram estabelecidas por análise da bibliografia referenciada, onde se

encontram a maioria das aplicações deste conversor, sendo elas:

Tensão de entrada nominal ;

Tensão de saída ;

Potência de saída ;

Gama de frequências de operação: ;

Tremor da tensão de saída ;

Frequência de ressonância .

5.2. Metodologia

Por forma a facilitar o dimensionamento do conversor, o modelo de três parâmetros do

transformador apresentado na secção 4 é utilizado e, como tal, o circuito a analisar corresponde ao

apresentado na Figura 4.2.

É importante salientar que, mais uma vez, a indutância de dispersão corresponde à

bobina de ressonância utilizada previamente, a indutância de magnetização corresponde à

bobina em paralelo e o condensador corresponde ao condensador de ressonância .

Adicionalmente, a relação do número de espiras fictícia do transformador corresponde à relação

de transformação

Para dimensionar o transformador, é necessário estabelecer alguns parâmetros que

decorrem das especificações do circuito:

Sabendo que o ganho de tensão obtido pela FHA é unitário à frequência de

ressonância e dado por (3.23), é possível determinar a relação de transformação do

transformador de isolamento:

45

(5.1)

Sendo que a relação de transformação de um transformador center-tapped, ou com

ligação ao ponto intermédio, é dada por

(5.2)

onde representa o número de espiras do primário e e representam o número

de espiras de cada secundário (como se pode observar pela Figura 4.1 (a));

Assumindo que a potência de saída é aproximadamente igual à potência de entrada

(especificada), é possível determinar a corrente de carga , sabendo que a potência

de saída é dada por

(5.3)

A resistência de carga nominal

(5.4)

Como demonstrado no ponto 3.4, o valor médio da corrente à saída do retificador, ,

corresponde à corrente de carga , logo o valor máximo da corrente e da corrente no

secundário é dado por (3.8):

(5.5)

O valor máximo da corrente no primário é obtido referindo o valor dado por (5.4) para

o primário, dividindo pela relação de transformação :

(5.6)

A indutância de magnetização do transformador , uma não idealidade do transformador,

atua como bobina em paralelo do tanque ressonante. A corrente de magnetização , isto é, a que

percorre esta bobina, circula no primário e nos dispositivos do inversor de entrada, sem participar na

transferência de energia [17] e, como tal, esta corrente contribui para perdas de condução nos

dispositivos do inversor.

46

Para iniciar o dimensionamento do transformador, e manter as perdas de condução nos

dispositivos de entrada reduzidas, impõe-se que a corrente de magnetização tenha um valor

máximo, para toda a gama de operação:

(5.7)

A corrente de magnetização tem a forma de onda representada na Figura 5.1.

Figura 5.1: Forma de onda teórica da corrente de magnetização .

As tensões nos secundários do transformador são quadradas e de amplitudes , pelo que a

amplitude da tensão imposta aos terminais da indutância é a mesma tensão no primário do

transformador, ou seja, referindo a tensão para o primário:

(5.8)

A tensão aos terminais de uma bobina é dada por

(5.9)

Recorrendo à aproximação de considerar que a corrente é linear (como a forma de onda é

triangular, é uma boa aproximação), a derivada da corrente é aproximadamente igual ao declive da

reta, calculado como sendo o quociente entre a variação da corrente e o correspondente intervalo

de tempo . Aplicando ao caso em questão, tem-se

(5.10)

47

Por análise da Figura 5.1, observa-se que a variação de corrente e o correspondente intervalo

de tempo são

{

(5.11)

Isto é, o dobro da amplitude e metade do período , respetivamente.

É possível então determinar a indutância de magnetização que satisfaz a condição (5.6):

(5.12)

Ou seja, para a frequência mínima de operação de 300kHz, a indutância de magnetização

tem que ser superior ao valor calculado para que o valor máximo da corrente de magnetização seja

inferior a um décimo da corrente que flui no condensador ressonante e bobina ressonante série.

Sendo assim, tem-se um parâmetro real do transformador a partir do qual se começa o

dimensionamento do mesmo.

5.2.1. Dimensionamento do transformador

1) Escolha do núcleo:

Primeiramente, há que escolher um núcleo, mais concretamente, o formato e o material do

mesmo, isto é, a ferrite que o constitui.

Quanto ao formato do núcleo, os núcleos do tipo E ou ETD são de fácil montagem e custo

reduzido, apresentam uma dissipação de calor boa, sendo simples também a concretização dos

enrolamentos [38]. Para além disto, estes tipos de núcleo têm uma grande variedade de dimensões e

materiais, pelo que se escolhe um transformador de duas metades E ou ETD, e a configuração do

transformador é apresentada na Figura 5.2.

Dentro dos tipos de núcleo E ou ETD, pretende-se utilizar um núcleo de dimensão reduzida,

de modo a manter o volume geral do conversor reduzido (densidade de potência elevada), reduzindo

também as perdas magnéticas, que são diretamente proporcionais ao volume do núcleo.

Para além do formato, há que escolher também um núcleo consituído por um material

apropriado às frequências de operação do conversor. Atualmente, os núcleos são tipicamente feitos

de ferrites, materiais ferromagnéticos desenhados para operar a frequências elevadas com perdas

magnéticas reduzidas [39].

48

Figura 5.2: Configuração do transformador.

Na Tabela 5.1 são apresentadas a gama de frequências de operação apropriadas à ferrite

e a respetiva densidade de fluxo de saturação das ferrites que suportam a frequência de

operação máxima de 500kHz [40,41].

Material

3F3 200 – 500 0,4

N87 25 – 500 0,49

N95 25 – 500 0,525

N97 25 – 500 0,51

Tabela 5.1: Ferrites e respetivas gamas de frequência e densidades de fluxo de saturação.

Sendo assim, e de acordo com a disponibilidade de aquisição na Farnell, o núcleo escolhido

foi o ETD 39/20/13, constituído pela ferrite N97. Este núcleo apresenta as seguintes características,

retiradas da datasheet [42]:

- Comprimento médio do caminho magnético: ;

- Área da secção reta da perna central: ;

- Permeabilidade magnética relativa: .

É também apresentado na Figura 5.3 um esquema que contém todas as dimensões

relevantes para o dimensionamento do transformador [42].

49

Figura 5.3: Dimensões da ferrite ETD 39/20/13. Retirado de [42].

2) Número de espiras que garante :

Por forma a minimizar as perdas de dispersão magnética, é necessário garantir que a

densidade de fluxo máxima nunca excede a densidade de fluxo do material. Para tal, há que

determinar a densidade de fluxo máxima verificada em toda a gama de operação.

A indutância própria do primário é dada pelo quociente entre o fluxo ligado e a corrente

que passa no primário [43]:

(5.13)

Sabendo que o fluxo ligado corresponde ao produto entre o número de espiras do primário

e o fluxo magnético [43]

(5.14)

E que o fluxo magnético relaciona-se com a densidade de fluxo através de [43]

(5.15)

Chega-se à seguinte condição, que depende de :

(5.16)

Onde o fator multiplicativo de 0,9 foi inserido para garantir uma margem em relação à

densidade de fluxo de saturação.

50

A partir do modelo de três parâmetros apresentado em (4.7) e, assumindo um fator de

acoplamento ideal de (desprezando a dispersão magnética), chegam-se às seguintes relações:

{

(5.17)

Finalmente, calcula-se assim o número de espiras do primário que garante que a densidade

de fluxo máxima é inferior à de saturação do material N97:

(5.18)

E o correspondente número de espiras dos secundários:

(5.19)

3) Determinar indutância de magnetização e verificar se é necessário um entreferro:

A indutância própria do primário de um transformador de permeabilidade relativa e sem

entreferro é dada por [43]:

(5.20)

Onde corresponde à permeabilidade magnética do vácuo.

De (5.20) resulta . Esta indutância é muito superior do que o pretendido - obtido

em (5.12) – pelo que há que colocar um entreferro, uma vez que esta indutância elevada leva a que a

corrente de magnetização seja muito baixa, potencialmente impossibilitando a comutação dos

dispositivos do inversor com ZVS [37].

Contudo, há que determinar agora uma relação que permita calcular a indutância de um

transformador ETD com entreferro, pelo que se recorre ao método do circuito elétrico equivalente do

circuito magnético [40]. Na Figura 5.4 (a) e (b) apresenta-se o circuito magnético do transformador

com entreferro e o circuito elétrico equivalente, respetivamente.

51

Figura 5.4: (a) Circuito magnético e (b) circuito elétrico equivalente do transformador com entreferro.

Na Figura 5.4 (a), são identificadas:

e áreas de secção reta do núcleo;

, e : comprimento de troços do núcleo;

: comprimento do entreferro.

Na Figura 5.4 (b) o circuito elétrico equivalente é composto por:

, e : relutâncias magnéticas da ferrite;

e : relutâncias magnéticas dos entreferros;

e : forças magnetomotrizes do primário e secundários.

Sabendo que uma relutância magnética é dada por

(5.21)

onde é o comprimento corresponde ao caminho do troço que a relutância representa, é

possível determinar as diferentes relutâncias do circuito, sendo estas:

52

{

(5.22)

As forças magnetomotrizes do primário e secundário são calculadas como o produto entre

número de espiras do enrolamento e a corrente que o percorre, ou seja:

{

(5.23)

Por manipulação do circuito, chega-se ao circuito elétrico equivalente reduzido, representado

na Figura 5.5, onde e são a força magnetomotriz e a relutância magnética equivalentes,

respetivamente.

Figura 5.5: Circuito elétrico equivalente reduzido do transformador.

Estas são calculadas como sendo:

(5.24)

(5.25)

Uma vez que a indutância de magnetização é calculada como sendo:

(5.26)

É necessário apenas calcular a relutância magnética equivalente .

53

Sabendo que as dimensões assinaladas na Figura 5.4 (a) são

{

(5.27)

E recorrendo às equações (5.25) e (5.26), obtém-se uma expressão para o cálculo da

indutância de magnetização em função do entreferro :

(5.28)

Finalmente, para obter a indutância de magnetização pretendida de , o entreferro

tem que ter um comprimento de aproximadamente .

4) Concretização experimental

Após realização dos cálculos, é construído um transformador, com o núcleo ETD 39/20/13

acima estudado, com:

{

(5.29)

Na Figura 5.6 é apresentada uma imagem do transformador construído, e na Figura 5.7 é

apresentado um circuito do transformador onde são identificadas a indutância de dispersão e a

resistência do primário e , respetivamente, as indutâncias de dispersão e resistências do

secundário, e e e , respetivamente.

Estes parâmetros são não idealidades que são cruciais para o estudo e dimensionamento do

conversor LLC, visto que a indutância de dispersão do primário pode ser implementada como

sendo a bobina de ressonância série do tanque ressonante e a indutância de magnetização -

como referido anteriormente – como a bobina em paralelo.

54

Figura 5.6: Transformador construído.

Figura 5.7: Circuito do transformador com não idealidades.

Por forma a determinar os parâmetros apresentados na Figura 5.7, foram efetuadas medições

com um medidor de impedâncias, onde as imagens – que contêm os dados – retiradas do medidor de

impedâncias são apresentadas no Anexo B, bem como o processo de cálculo dos parâmetros

apresentados. As medições efetuadas permitiram chegar aos seguintes resultados:

{

(5.30)

Com a indutância de magnetização obtida, a amplitude da corrente de magnetização é,

calculando com base na relação (5.12):

(5.31)

Apesar de estar ligeiramente acima da condição (5.7) estabelecida anteriormente, está dentro

do pretendido.

55

É necessário verificar se a densidade de fluxo máxima está de facto abaixo da

saturação do material, logo há que calcular a mesma para os parâmetros do transformador

concretizado:

(5.32)

Sendo assim, tendo o transformador dimensionado, passa-se então ao dimensionamento do

tanque ressonante.

5.2.2. Dimensionamento do tanque ressonante

Como referido anteriormente, é possível utilizar a indutância de dispersão do primário

como sendo a bobina de ressonância série . Sendo assim, recorrendo a (2.6), calcula-se a

capacidade do condensador ressonante série que permite obter a frequência de ressonância de

400kHz:

{

(5.33)

Contudo, dentro das capacidades disponíveis comercialmente, a mais próxima do valor

pretendido corresponde a , levando a uma frequência de ressonância de, através de

(2.6):

{

(5.34)

Para escolher um condensador apropriado, é necessário também ter em conta os valores

máximos de tensão e corrente que o mesmo tem que suportar. A corrente que percorre o

condensador é a do tanque ressonante , logo o valor máximo da corrente no condensador

é

(5.35)

E a queda de tensão máxima é calculada através de (3.17):

(5.36)

56

5.2.3. Dimensionamento dos dispositivos de comutação

Os dispositivos de comutação do conversor LLC consistem nos dois dispositivos do inversor

de entrada, para os quais são escolhidos MOSFETs, e os dois díodos do retificador de saída, que são

de díodos de Schottky, devido à necessidade de tempos rápidos de comutação.

Os MOSFETs de entrada são dimensionados de acordo com os valores máximos de tensão e

corrente a que são sujeitos, bem como a sua frequência máxima de operação. Os valores máximos

de tensão e corrente máxima

a que são sujeitos, e a frequência máxima à qual têm que

comutar são

{

(5.37)

Quanto aos díodos do retificador, estes são dimensionados de acordo com os valores

máximos que têm que suportar. As correntes que passam nos díodos são as dos secundários

(correntes com o mesmo valor máximo), e é possível observar pelo circuito do conversor LLC

apresentado na Figura 4.2 que, quando um díodo está ligado, é aplicada uma tensão máxima aos

terminais do outro díodo de duas vezes a do secundário. Logo, os valores máximos de tensão

e e corrente são, para os dois díodos:

{

(5.38)

5.2.4. Dimensionamento do condensador de saída

O condensador de saída , como referido anteriormente, tem como função eliminar a

componente alternada da corrente à saída do retificador , por forma a que apenas o valor médio

dessa corrente, que corresponde à corrente de carga , alimente a resistência de carga .

Como especificado, pretende-se também que o ripple ou componente alternada da tensão de

saída seja menor que 2% da tensão , isto é,

(5.39)

As formas de onda da corrente à saída do retificador e da corrente que flui no condensador

são apresentadas na Figura 5.7.

57

Figura 5.8: Formas de onda da corrente à saída do retificador e no condensador de saída .

Para determinar a capacitância que consiga lidar com a componente alternada de e reduzir

o ripple da tensão abaixo do limite especificado, recorre-se à aproximação empregue no cálculo da

indutância de magnetização , no ponto 5.2, isto é, a aproximação de considerar que a corrente é

linear, levando a que

(5.40)

Sabendo também que a amplitude da corrente que flui no condensador, , corresponde à

amplitude da corrente subtraída do seu valor médio

(

) (5.41)

E que o intervalo de tempo durante o qual ocorre a variação de tensão é

(5.42)

Obtém-se

(

)

(5.43)

Logo, escolhe-se um condensador de capacidade de 10

58

5.3. Conclusões

A metodologia adotada no dimensionamento dos diferentes elementos que compõem o

conversor é assim apresentada, tendo sido iniciada pelo dimensionamento do transformador. Após o

dimensionamento do transformador, são obtidos parâmetros que permitem o dimensionamento do

tanque ressonante que, por sua vez, permitem obter condições que são utilizadas na escolha dos

diferentes dispositivos do inversor, retificador e de filtragem.

Esta metodologia de dimensionamento do transformador assenta no facto de que a bobina de

magnetização tem que ser elevada o suficiente para a corrente de magnetização seja muito inferior à

corrente que flui no tanque ressonante, e também no facto de que a bobina de ressonância série

consiste na indutância de dispersão do primário - não sendo incluída uma bobina adicional -

contribuindo para um volume geral reduzido.

Contudo, esta metodologia leva a que o rácio entre as bobinas do tanque ressonante seja

muito elevado - neste caso, aproximadamente 110 - e leva a um fator de qualidade baixo -

aproximadamente 0,14 - o que por sua vez faz com que o controlo de tensão seja reduzido, como

observado no ponto 3.4.

Caso seja necessário operar numa zona de alta variação de ganho, ter-se-á que trabalhar

longe da frequência de ressonância, por forma a proceder à regulação de tensão.

No anexo C é apresentada uma lista dos componentes selecionados e adquiridos com base

no dimensionamento realizado, sendo estes os MOSFETs do inversor, os díodos de Schottky do

retificador, os componentes que compõem o transformador e um controlador, que permite comutar os

MOSFETs de entrada com uma frequência de operação até 500kHz.

59

6. Conversor DC-DC Ressonante LLC: Simulação

6.1. Introdução

Por forma a testar a validade dos modelos analíticos apresentados - a FHA e o modelo

aproximado – é necessário confrontar os resultados teóricos com resultados que, mesmo não sendo

os verdadeiros, se aproximem do que se obteria num caso real de experimentação. Para tal,

recorreu-se a um programa de simulação de circuitos elétricos de controlo e conversão de potência, o

PSIM.

O circuito utilizado dentro do programa, representado na Figura 6.1, é idêntico ao circuito do

conversor LLC apresentado na Figura 4.2, exceptuando:

Os blocos de comando (Gating Blocks) designados por GB1 e GB2, ligados às portas

(gates) dos MOSFETs, necessários para fornecer aos MOSFETs de entrada os sinais

para ligar e desligar, tendo estes sido modelados como ideais, isto é, sem possuir

uma corrente de díodo inverso e uma tensão de limiar;

Os voltímetros e amperímetros colocados para poder visualizar as formas de onda

das tensões e correntes e, assim, retirar os valores máximos pretendidos;

As não idealidades do transformador, sendo elas as resistências de perdas (no cobre)

, e e as indutâncias de dispersão , e , explicitadas no ponto 5.2.1,

que foram fixadas no valor e , respetivamente, para representar um

transformador quase ideal.

Figura 6.1: Circuito do conversor LLC a simular no PSIM.

60

6.2. Formas de onda

É representada na Figura 6.2 a evolução temporal das tensões no primário , no

secundário , no condensador ressonante e na bobina ressonante

e a tensão de saída .

Na Figura 6.3, é representada a evolução temporal das correntes no tanque ressonante , no

secundário e de magnetização . As formas de onda referidas são obtidas por simulação do

circuito da Figura 6.1 à frequência de ressonância.

Figura 6.2: Formas de onda das tensões (a) no primário e no secundário , (b) no condensador e na

bobina ressonante e (c) de saída , obtidas por simulação.

61

Figura 6.3: Formas de onda das correntes (a) no secundário e no tanque e (b) de magnetização ,

obtidas por simulação.

6.3. Ganho de tensão

De modo a obter o ganho de tensão do conversor em função da frequência, foram realizadas

diversas simulações do circuito, variando a frequência entre 300kHz e 500kHz (com intervalos de 5

kHz) e extraindo o valor da tensão de saída . Posteriormente, o ganho de tensão é obtido dividindo

a tensão de saída pela tensão de entrada , e a frequência é normalizada dividindo-a pela

frequência de ressonância .

Os resultados obtidos são apresentados sob a forma de um gráfico, apresentado na Figura

6.4, obtido por colocação do conjunto de valores discretos no programa de cálculo Excel. É de notar

que o ganho representado corresponde ao ganho de tensão dado por (3.22), diferente dos

ganhos de tensão obtidos no estudo pela FHA no ponto 3.4.

A gama de frequências normalizadas de aproximadamente 0,72-1,20 visualizada na Figura

6.4 corresponde à gama de frequências 300-500 kHz mencionada previamente, normalizada à

frequência de ressonância de 416 kHz. Observa-se ainda que o ganho de tensão varia entre

(6.1)

62

Figura 6.4: Ganho de tensão do conversor LLC projetado, obtido por simulação.

Desnormalizando o ganho de tensão e a frequência de operação - multiplicando pela tensão

de entrada e pela frequência de ressonância - verifica-se que corresponde à gama de tensões

de saída

(6.2)

6.4. Conclusões

Como referido no ponto 4.2 e possível agora de confirmar pela Figura 6.2, as formas de onda

das tensões de entrada no tanque e nos secundários e são quadradas e de ampltitudes

(que se verifica na onda a vermelho) e

(que se verifica nas ondas a verde

e rosa), respetivamente, o que significa que o modelo aproximado de [36] descreve estas tensões de

uma forma precisa.

Quanto às correntes e, mais uma vez, como referido no ponto 4.5, verifica-se que, de facto, a

corrente no secundário e a corrente na bobina em paralelo estão desfasadas da corrente no

tanque ressonante , que o modelo analítico tem em conta e a FHA não, potencialmente levando a

que o modelo calcule estas tensões com um erro menor do que a FHA.

Verifica-se também que o controlo de tensão é reduzido para a gama de frequências de

operação adotada, uma vez que o parâmetro elevado e reduzido levam a que o ganho de tensão

seja praticamente constante, o que corrobora o referido no ponto 3.5. Como tal, conclui-se que,

embora a metodologia adotada no dimensionamento do transformador conduza a uma corrente de

magnetização reduzida, o controlo de tensão torna-se difícil, o que conduz à necessidade de um

equilíbrio entre o aumento admissível das perdas de condução e a operação como fonte de tensão.

0,425

0,43

0,435

0,44

0,445

0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2

M(w

)

Frequência normalizada wn

Ganho de tensão

63

7. Obtenção de resultados

7.1. Introdução

De modo a avaliar a FHA e modelo analítico aproximado na modelização do conversor LLC,

determina-se o erro relativo no cálculo dos valores máximos das grandezas elétricas, para uma dada

gama de frequências. Para tal, há que determinar esses valores máximos através dos dois modelos,

para posteriormente calcular o erro relativo dos mesmos em relação aos valores de simulação.

Para tal, são desenvolvidos programas em MATLAB que permitem simular as equações que

descrevem o conversor LLC, obtidas pela FHA e pelo modelo analítico aproximado, modelos esses

introduzidos nos capítulos 3 e 4, respetivamente.

Adicionalmente, são obtidas as formas de onda das grandezas elétricas pelos dois modelos,

para posteriormente comparar com as formas de onda obtidas por simulação e, assim, averiguar se

os modelos descrevem corretamente o comportamento do conversor LLC.

7.2. Aproximação à Harmónica Fundamental

Neste ponto, pretende-se obter os valores máximos das grandezas elétricas mais relevantes,

bem como as formas de onda dessas mesmas grandezas.

7.2.1. Formas de onda

As equações (3.6), (3.5), (3.15) e (3.18) foram simuladas no programa MATLAB com vista à

obtenção das formas de onda das tensões no primário , no secundário , no condensador

ressonante e na bobina ressonante , respetivamente, representadas na Figura 7.1. As

equações (3.12) a (3.14) foram simuladas para obter as formas de onda das correntes de

magnetização , no secundário e no primário , representadas na Figura 7.2. As formas de

onda das Figuras 7.1 e 7.2 são obtidas para a frequência de ressonância e no modo de condução

contínua.

O código MATLAB para obtenção das formas de onda através da FHA é apresentado no

anexo D, para efeitos de consulta.

64

Figura 7.1: Formas de onda das tensões (a) no primário e no secundário e (b) no condensador e na

bobina ressonante , obtidas pela FHA.

Figura 7.2: Formas de onda das correntes (a) no secundário e no tanque e (b) de magnetização ,

obtidas pela FHA.

65

7.2.2. Valores máximos

Como referido anteriormente, pretende-se obter os valores de pico das correntes e tensões

nos dispositivos através da FHA e do modelo aproximado desenvolvido em [36], a fim de comparar os

mesmos com os valores de simulação.

Para tal, é utilizado o mesmo programa em MATLAB para a obtenção das formas de onda

apresentadas nas Figuras 7.1 e 7.2, a partir do qual são retirados os valores para a gama de

frequências 300-500kHz especificada anteriormente, em intervalos de 5kHz, como realizado no ponto

6.3.

7.2.3. Ganho de tensão

O ganho de tensão apresentado na Figura 7.3 é obtido através da adaptação do código

apresentado no anexo A para o conversor LLC projetado no ponto 5.2.

Figura 7.3: Ganho de tensão do conversor LLC projetado, obtido pela FHA.

7.2.4. Tensão de saída – corrente de carga

Para analisar o comportamento do conversor projetado face a uma variação da corrente de

carga, são obtidas as curvas , isto é, da tensão de saída em função da corrente de carga, para

várias frequências de operação.

Estas são obtidas com recurso à FHA, determinando a tensão de saída por meio da

equação do ganho de tensão (3.28), mantendo a frequência de operação fixa e variando a resistência

de carga , podendo-se calcular a correspondente corrente de carga.

66

Finalmente, repete-se o processo para diferentes frequências de operação. A tensão de saída

é normalizada multiplicando por e dividindo pela tensão de entrada , obtendo-se o ganho de

tensão , e a corrente de carga é normalizada multiplicando pela impedância característica e

dividindo por , como realizado no trabalho [36]. As curvas obtidas são apresentadas na Figura 7.4.

Figura 7.4: Característica de saída obtida pela FHA.

7.3. Modelo Analítico Aproximado

7.3.1. Formas de onda

Na Figura 7.5 são representadas as evoluções temporais das tensões , , e

,

obtidas simulando as equações (4.26), (4.16), (4.24) e (4.25), respetivamente. As correntes ,

e são obtidas simulando as equações (4.15), (4.14) e (4.17), respetivamente, e as suas evoluções

temporais apresentadas na Figura 7.6. As formas de onda das Figuras 7.5 e 7.6 são obtidas para a

frequência de ressonância e no modo de condução contínua.

Para efeitos de consulta, o programa utilizado para obtenção das formas de onda pelo

modelo analítico aproximado é apresentado no anexo E.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,2 0,4 0,6

(2n

Vo

)/V

dc

ZoIo/Vi

Característica de saída Vo(Io) normalizada obtida pela FHA

fn=0,2

fn=0,3

fn=0,4

fn=0,5

fn=0,6

fn=0,7

fn=0,8

fn=0,9

fn=1

67

Figura 7.5: Formas de onda das tensões (a) no primário e no secundário e (b) no condensador e na

bobina ressonante , obtidas pelo modelo analítico aproximado.

Figura 7.6: Formas de onda das correntes (a) no primário e no secundário e (b) de magnetização ,

obtidas pelo modelo analítico aproximado.

7.3.2. Valores máximos

De forma análoga ao realizado no ponto 7.2.2, isto é, a obtenção de valores máximos pela

FHA, é utilizado o programa em MATLAB para a obtenção das formas de onda pelo modelo analítico,

68

apresentadas nas Figuras 7.5 e 7.6, a partir do qual são retirados os valores para a gama de

frequências 300-500kHz especificada anteriormente, com intervalos de 5kHz.

Estes são posteriormente comparados com resultados de simulação, a fim de avaliar o

modelo analítico no cálculo dos valores máximos das tensões e correntes no circuito.

7.3.3. Ganho de tensão

O ganho de tensão de um conversor CC-CC é dado por (3.22). A tensão de saída é dada

por (4.23), e a tensão corresponde à tensão contínua de entrada, que se fixou a 110V. Por

combinação das equações (4.21) a (4.23), é possível obter a tensão de saída em função da

frequência angular :

(7.1)

Como tal, o ganho de tensão é dado por:

(7.2)

Na Figura 7.7 é apresentada a curva do ganho de tensão em função da frequência, para a

resistência de carga nominal. Esta foi obtida simulando a equação (7.2) no programa MATLAB.

Para efeitos de consulta, o código em MATLAB utilizado na obtenção dos ganhos de tensão da

Figura 7.7 é apresentado no anexo F.

Figura 7.7: Ganho de tensão do conversor LLC projetado, obtido pelo modelo analítico aproximado.

69

7.3.4. Tensão de saída – corrente de carga

De forma análoga ao realizado no ponto 7.2.4, as curvas correspondentes à tensão de saída

em função da corrente de carga são obtidas e apresentadas na Figura 7.8, sendo neste caso obtidas

através do modelo analítico aproximado. Cada curva é determinada calculando as relações (4.18) a

(4.23), para uma determinada frequência de operação e variando a resistência de carga , obtendo-

se a tensão de saída em função da corrente de carga . As diferentes curvas são obtidas

repetindo o processo para várias frequências de operação.

Figura 7.8: Característica de saída obtida pelo modelo aproximado.

7.4. Conclusões

Por análise da Figura 6.2, onde são apresentadas as tensões no primário , no secundário

e no condensador e bobina ressonantes e

, respetivamente, obtidas por simulação,

verifica-se que:

As tensões no primário e secundário são quadradas, de amplitudes e ,

respetivamente, e de fator de ciclo de 50 %;

As tensões no condensador e bobina ressonantes são sinusoidais, sendo que a

tensão no condensador tem valor médio de

e a tensão na bobina tem valor médio

nulo.

Por análise da Figura 7.1, onde são apresentadas as tensões no primário , no secundário

e no condensador e bobina ressonantes e

, respetivamente, obtidas através da FHA,

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 0,2 0,4 0,6

(2n

Vo

)/V

dc

ZoIo/Vi

Característica de saída Vo(Io) normalizada obtida pelo modelo

fn=0,2

fn=0,3

fn=0,4

fn=0,5

fn=0,6

fn=0,7

fn=0,8

fn=0,9

fn=1

70

verifica-se que as tensões de entrada e no secundário

são apresentadas como sendo

sinusoidais.

Tal deve-se ao facto de que na FHA são consideradas apenas as componentes fundamentais

das tensões de entrada e no secundário. Isto leva a que sejam representadas de forma incorreta.

Quanto às tensões nos elementos ressonantes, estas são representadas com precisão.

Pelo modelo analítico aproximado, todas as tensões referidas são modeladas corretamente,

como é possível observar pela Figura 7.5. Logo, quanto às tensões, o modelo analítico representa de

forma mais precisa o funcionamento do conversor LLC.

Quanto às correntes no tanque ressonante , de magnetização e no secundário ,

obtidas por simulação e apresentadas na Figura 6.3, verifica-se que as correntes no primário e

secundário são sinusoidais e com desfasagem quase nula, uma vez que se está a operar à

frequência de ressonância, e a corrente de magnetização é triangular.

Por observação da Figura 7.2, onde são apresentadas as formas de onda das correntes

referidas, obtidas pela FHA, verifica-se que as correntes no primário e secundário são sinusoidais, o

que está de acordo com os resultados de simulação porque, como referido anteriormente, à

frequência de ressonância, o tanque filtra o conteúdo harmónico de ordem superior, gerando uma

corrente aproximadamente sinusoidal. Quanto à corrente de magnetização, devido ao facto de ser

calculada a partir da harmónica fundamental da tensão no secundário, , através de (3.12), é

sinusoidal, o que não se verifica na realidade.

O modelo, por outro lado, modela estas correntes com exactidão, como se pode observar

pela Figura 7.6. O modelo tem em conta também as desfasagens introduzidas pelos elementos

ressonantes que, apesar de não terem um impacto significativo à frequência de ressonância, afetam

o comportamento do conversor para frequências distantes desta.

Por análise das Figuras 7.3 e 7.7, verifica-se que o ganho de tensão é aproximadamente

constante para toda a gama de frequências de operação, o que significa que o controlo de tensão é

reduzido. Isto corrobora o verificado por simulação no ponto 6.3 e deve-se, como mencionado, à

metodologia adotada no dimensionamento do transformador.

Finalmente, por análise das Figuras 7.4 e 7.8, observa-se que, para a frequência de

ressonância ( , a tensão de saída mantém-se constante para a variação da corrente de carga,

actuando como uma fonte de tensão. Para frequências abaixo da frequência de ressonância, a

tensão baixa com o aumento da corrente de carga e vice-versa, pelo que atua como uma fonte de

corrente, podendo-se controlar a tensão de saída. Caso ocorra um aumento da corrente de carga,

levando a uma redução da tensão de saída, é possível aumentar a frequência de operação e manter

a tensão constante.

71

8. Comparação de resultados

8.1. Introdução

Neste capítulo são comparados em detalhe os resultados obtidos através da FHA e do

modelo analítico aproximado, com os valores de simulação. Mais concretamente, serão comparados

os valores máximos das tensões e correntes do conversor LLC, e dos ganhos de tensão, obtidos

pelos dois modelos, para diferentes frequências de operação.

Para avaliar quantitativamente o erro introduzido por cada modelo, calcula-se o erro relativo

dos dados obtidos pelos modelos teóricos em relação aos dados de simulação, sendo o erro relativo

calculado através da equação para o erro relativo [35]:

(

) (8.1)

corresponde ao valor teórico da variável (obtido através da FHA ou do modelo analítico

aproximado) e corresponde ao seu valor real, que por sua vez consiste no valor obtido por

simulação.

Pretende-se avaliar a validade da FHA e do modelo analítico aproximado para diversas

frequências de operação e diversas cargas. Para tal, são calculados os valores de pico das tensões e

correntes de interesse no circuito, sendo elas as tensões e correntes nos elementos ressonantes, nos

dispositivos de comutação do inversor de entrada e do retificador, e no primário e secundários do

transformador.

Calculam-se os valores de pico pois seriam estes os valores utilizados na escolha dos

componentes para a concretização experimental do conversor. O erro relativo é calculado para a

gama de frequências de operação especificada de 300-500 kHz, e para três condições de carga:

resistência de carga nominal, o dobro da resistência de carga, e metade da resistência de

carga,

. Assim, é possível ver se a variação de carga afeta a exatidão dos modelos.

São também comparados os ganhos de tensão obtidos pela FHA e pelo modelo aproximado

com o ganho obtido por simulação, a fim de testar a eficácia dos modelos no cálculo da tensão de

saída. Para facilitar a comparação dos ganhos de tensão, é necessário uniformizá-los. Para

generalizar o estudo, todos os ganhos de tensão são apresentados em função da frequência

normalizada e apresentados como sendo o ganho , dado por (3.22), bastando multiplicar pela

tensão de entrada para obter a tensão de saída .

72

Como tal, os ganhos de tensão obtidos pela FHA e que correspondem a - equação

(3.28) – são divididos por , obtendo-se

|

(

) (

)| (8.2)

Finalmente, através de (8.1), é feita uma análise qualitativa dos dois modelos para uma dada

gama de frequências, através da representação gráfica do erro relativo dos dois modelos face aos

resultados de simulação.

8.2. Erros relativos da FHA e do Modelo Aproximado

Neste ponto são apresentados os erros relativos dos dois modelos utilizados na modelização

do conversor LLC em função da frequência de operação , mais concretamente, os erros relativos

cometidos no cálculo dos valores de pico das correntes, tensões e no cálculo do ganho de tensão

. Os erros são calculados em relação aos resultados de simulação, através de (8.1), com

recurso ao programa de cálculo Excel.

Os valores máximos das grandezas elétricas no conversor LLC, teóricos e obtidos por

simulação, são apresentados no anexo G.

Em primeiro lugar, são apresentados nas Figuras 8.1 a 8.3 o erro relativo de ambos os

modelos no cálculo dos valores de pico das correntes , e , respetivamente, em função de

. De seguida, o erro relativo cometido no cálculo dos valores de pico das tensões , e é

apresentado nas Figuras 8.4 a 8.6, para os dois modelos. Finalmente, é apresentado na Figura 8.7 o

erro relativo do cálculo do ganho de tensão.

Nas Figuras 8.1 a 8.7, as curvas a tracejado representam o erro relativo da FHA no cálculo

dos valores máximos da respetiva grandeza elétrica ao longo da frequência, face aos resultados de

simulação, e as curvas contínuas representam o erro relativo do modelo analítico.

É importante salientar que se o erro relativo é negativo, significa que o modelo calcula um

valor máximo da grandeza elétrica inferior ao verificado pela simulação, se é positivo, então o modelo

estima um valor acima.

73

Figura 8.1: Erro relativo da FHA e do modelo aproximado no cálculo do valor de pico da corrente no tanque

em função da frequência.

Figura 8.2: Erro relativo da FHA e do modelo aproximado no cálculo do valor de pico da corrente de magnetização

em função da frequência.

-40,000

-30,000

-20,000

-10,000

0,000

10,000

20,000

30

0

31

0

32

0

33

0

34

0

35

0

36

0

37

0

38

0

39

0

40

0

41

0

42

0

43

0

44

0

45

0

46

0

47

0

48

0

49

0

50

0

Err

o (

%)

f (kHz)

Erros cálculo iprimáx

FHA

FHA R/2

FHA 2R

Modelo

Modelo R/2

Modelo 2R

-25,000

-20,000

-15,000

-10,000

-5,000

0,000

5,000

10,000

15,000

20,000

30

0

31

0

32

0

33

0

34

0

35

0

36

0

37

0

38

0

39

0

40

0

41

0

42

0

43

0

44

0

45

0

46

0

47

0

48

0

49

0

50

0

Err

o (

%)

f (kHz)

Erros cálculo iLmmáx

FHAFHA R/2FHA 2RModeloModelo R/2Modelo 2R

74

Figura 8.3: Erro relativo da FHA e do modelo aproximado no cálculo do valor de pico da corrente no secundário em função da frequência.

Figura 8.4: Erro relativo da FHA e do modelo aproximado no cálculo do valor de pico da tensão no condensador de ressonância em função da frequência.

-50,000

-40,000

-30,000

-20,000

-10,000

0,000

10,000

20,000

30,000

30

0

31

0

32

0

33

0

34

0

35

0

36

0

37

0

38

0

39

0

40

0

41

0

42

0

43

0

44

0

45

0

46

0

47

0

48

0

49

0

50

0

Err

o (

%)

f (kHz)

Erros cálculo isecmáx

FHA

FHA R/2

FHA 2R

Modelo

Modelo R/2

Modelo 2R

-1,500

-1,000

-0,500

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

30

0

31

0

32

0

33

0

34

0

35

0

36

0

37

0

38

0

39

0

40

0

41

0

42

0

43

0

44

0

45

0

46

0

47

0

48

0

49

0

50

0

Err

o (

%)

f (kHz)

Erros cálculo vCrmáx

FHA

FHA R/2

FHA 2R

Modelo

Modelo R/2

Modelo 2R

75

Figura 8.5: Erro relativo da FHA e do modelo aproximado no cálculo do valor de pico da tensão na bobina de ressonância em função da frequência.

Figura 8.6: Erro relativo da FHA e do modelo aproximado no cálculo do valor de pico da tensão no secundário em função da frequência.

-60,000

-40,000

-20,000

0,000

20,000

40,000

60,000

80,000

30

0

31

0

32

0

33

0

34

0

35

0

36

0

37

0

38

0

39

0

40

0

41

0

42

0

43

0

44

0

45

0

46

0

47

0

48

0

49

0

50

0

Err

o (

%)

f (kHz)

Erros cálculo vLrmáx

FHA

FHA R/2

FHA 2R

Modelo

Modelo R/2

Modelo 2R

-10,000

-5,000

0,000

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

30,000

35,000

30

0

31

0

32

0

33

0

34

0

35

0

36

0

37

0

38

0

39

0

40

0

41

0

42

0

43

0

44

0

45

0

46

0

47

0

48

0

49

0

50

0

Err

o (

%)

f (kHz)

Erros cálculo vsecmáx

FHA

FHA, R/2

FHA, 2R

Modelo

Modelo, R/2

Modelo, 2R

76

Figura 8.7: Erro relativo da FHA e do modelo aproximado no cálculo do ganho de tensão em função da frequência.

8.3. Conclusões

8.3.1. Erros no cálculo dos valores máximos das correntes

- Corrente no tanque ressonante :

É possível observar pela Figura 8.1 que, no cálculo dos valores máximos da corrente que

passa no tanque ressonante , a FHA é mais exata que o modelo analítico no cálculo do valor

máximo até à frequência de aproximadamente 405kHz, ou seja, ligeiramente abaixo da frequência de

ressonância de 416 kHz.

Por outro lado, para frequências acima da frequência de ressonância, o modelo é mais exato

no cálculo do valor máximo, com um erro relativo sempre inferior a 10%. Verifica-se ainda que tanto a

FHA como o modelo analítico aproximado calculam valores máximos inferiores aos de simulação

(erros negativos) para frequências abaixo da frequência de ressonância e acima dos de simulação

(erros positivos) para frequências acima da de ressonância.

O cálculo da amplitude desta corrente é essencial para o dimensionamento dos dispositivos

de comutação do inversor, do condensador ressonante e para o dimensionamento do transformador,

pelo que ambos os modelos podem levar a um subdimensionamento dos mesmos, para frequências

abaixo da ressonância. Para frequências em torno e acima da frequência de ressonância, o modelo

analítico conduz a um dimensionamento com maior rigor.

- Corrente de magnetização :

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

30

0

31

0

32

0

33

0

34

0

35

0

36

0

37

0

38

0

39

0

40

0

41

0

42

0

43

0

44

0

45

0

46

0

47

0

48

0

49

0

50

0

Err

o (

%)

f (kHz)

Erros cálculo M(f)máx

FHA

Modelo

77

No cálculo das amplitudes da corrente de magnetização para as frequências de operação

referidas, é possível observar na Figura 8.2 que a FHA apresenta um erro negativo de até 20% para

toda a gama de operação. Isto significa que esta corrente é na realidade superior ao calculado pela

FHA, o que pode levar a um sobredimensionamento da indutância de magnetização , como se

pode observar pela equação (5.12).

Este sobredimensionamento da indutância pode fazer com que a corrente de magnetização

seja muito reduzida, o que por sua vez pode impossibilitar a operação com ZVS [37], como referido

no ponto 5.2.1.

O modelo analítico, por sua vez, apresenta um erro muito reduzido, abaixo de 5% acima da

frequência de ressonância e próximo de zero acima da frequência de ressonância, pelo que este é

exato no cálculo da corrente de magnetização e, consequentemente, conduz a um dimensionamento

rigoroso do transformador.

- Corrente no secundário :

À semelhança do verificado para a corrente no tanque ressonante, é possível verificar pela

Figura 8.3 que tanto a FHA como o modelo analítico aproximado calculam valores máximos inferiores

aos de simulação para frequências abaixo de aproximadamente 430kHz e acima dos de simulação

para frequências acima dessa frequência, ou seja, em torno da frequência de ressonância de 416kHz.

É também mais exata do que o modelo analítico abaixo da frequência de ressonância, com um erro

de 30% no pior caso.

Acima e em torno da frequência de ressonância, ambos os modelos são exatos, contudo, o

modelo analítico apresenta um erro inferior a 10%, sendo mais exato para esta gama de frequências.

A amplitude da corrente no secundário é utilizada no dimensionamento dos díodos do

retificador. Como tal, há que sublinhar que a FHA é a mais exata no cálculo do valor máximo da

corrente no secundário para frequências abaixo da frequência de ressonância, e o modelo analítico

para frequências acima da ressonância, para obter um bom dimensionamento dos dispositivos do

retificador.

8.3.2. Erros no cálculo dos valores máximos das tensões

- Tensão no condensador ressonante :

Pela Figura 8.4, é possível observar que tanto a FHA como o modelo analítico aproximado

são exatos no cálculo dos valores máximos da tensão no condensador ressonante , contudo, o

modelo analítico é o mais exato em toda a gama de operação, com um erro relativo sempre inferior a

1%.

78

Como tal, o modelo analítico conduz a um dimensionamento correto do condensador

ressonante.

-Tensão na bobina ressonante :

Como é possível observar na Figura 8.5, o erros relativos da FHA e do modelo analítico no

cálculo dos valores máximos da tensão na bobina ressonante são elevados, com um máximo de

aproximadamente 50%.

Devido ao erro elevado apresentado pelos dois modelos, estes são inapropriados para o

dimensionamento da bobina ressonante. É importante salientar que, como a bobina ressonante foi

implementada como sendo a indutância de dispersão do transformador, não seria necessário o

dimensionamento dessa bobina na concretização experimental.

- Tensão no secundário :

Pela Figura 8.6, verifica-se que a FHA apresenta erros relativos no cálculo dos valores

máximos da tensão no secundário entre 25% e 30% para toda a gama de operação, sendo pouco

exata.

O modelo analítico, por outro lado, apresenta um erro sempre inferior a 1% para toda a gama

de operação, o que indica que o dimensionamento dos díodos do retificador pode ser efetuado com

recurso a este modelo.

Porém, o erro reduzido do modelo analítico aproximado deve-se principalmente à tensão de

saída ser praticamente constante para a gama de frequências de operação do conversor.

8.3.3. Erros no cálculo do ganho de tensão M (w)

Os erros relativos dos dois modelos no cálculo do ganho de tensão são apresentados

na Figura 8.7. Verifica-se que tanto a FHA como o modelo analítico aproximado são exatos no cálculo

do ganho de tensão, apresentando erros relativos inferiores a 2% para toda a gama de frequências

de operação.

Isto deve-se principalmente ao facto de que, para o conversor LLC projetado, a tensão de

saída ser praticamente constante para toda a gama de frequências de operação, devido ao fator de

qualidade reduzido e elevado (como referido nos pontos 3.5 e 6.4).

79

9. Conclusões Finais e Trabalho Futuro

Analisando o referido no ponto 8.3, chega-se à conclusão de que, para frequências abaixo da

frequência de ressonância, a FHA apresenta um menor erro relativo para a maior parte das

grandezas elétricas.

Para frequências acima da de ressonância, o modelo analítico aproximado determina os

valores máximos de todas grandezas elétricas com mais exatidão do que a FHA. Observa-se também

que a variação da resistência de carga não influencia significativamente a exatidão dos modelos.

Verifica-se ainda que em torno da frequência de ressonância, que é a frequência para a qual

ambos os modelos são estabelecidos, estes têm uma boa exatidão, podendo ser utilizados no

dimensionamento do conversor.

Contudo, apesar de ambos os modelos serem de baixa complexidade matemática, isto é, não

é necessária a resolução de equações transcendentais, cálculos iterativos, etc, estes modelos são

aproximações e, como tal, apresentam erros relativamente elevados para frequências distantes da de

ressonância. Sendo assim, num caso de dimensionamento de um conversor LLC para concretização

experimental, é necessário acompanhar o estudo teórico realizado com qualquer um destes modelos

aproximados com resultados de simulação.

No final, conclui-se que o modelo analítico aproximado é, no geral, mais exato na

modelização do conversor - exceto para frequências abaixo da frequência de ressonância - e que

ambos os modelos apresentam erros relativamente elevados para frequências de operação distantes

da frequência de ressonância, o que indica que a simulação é necessária para garantir um bom

dimensionamento.

Quanto às sugestões para trabalhos futuros, seria benéfico para o estudo a aplicação da FHA

e do modelo analítico aproximado a diferentes conversores LLC, por forma a verificar se a alteração

dos parâmetros do conversor - entre eles, o rácio entre as bobinas ressonantes e o fator de

qualidade - influencia a exatidão dos modelos em função da frequência.

É de máxima importância concretizar experimentalmente o conversor LLC dimensionado no

decorrer do trabalho, para verificar a validade dos resultados obtidos. Devido a limitações a nível de

tempo, a concretização experimental não foi realizada, porém, a metodologia de dimensionamento do

conversor LLC é apresentada, bem como a aquisição de todos os componentes necessários para a

sua concretização.

80

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[43] S. D. Umans, “Máquinas Elétricas”, McGraw Hill, 7ª Ed., 2014.

83

Anexo A: Código MATLAB para obtenção do ganho de tensão do

conversor LLC pela FHA

clc;clear all;syms f; %f=fn=fs/fr (frequência normalizada, em Hz). for Q=0.2:0.2:5 %Fatores de qualidade. Ln=90; %Quociente entre as bobinas do tanque ressonante Ln=Lm/Lr. M(f)=1/(1+(1/Ln)*(1-1/f^2)+1i*Q*(f-1/f)); %Ganho de tensão M'(f). figure(1); display(abs(M(f))); h1=ezplot(abs(M(f)), [0.1,2]); axis([0.1 1.2 0.1 1.3]); if Q==0.2 set(h1,'color','r') end if Q==0.4 set(h1,'color','b') end if Q==0.6 set(h1,'color','m') end if Q==0.8 set(h1,'color','k') end if Q==1 set(h1,'color','r') end if Q==1.2 set(h1,'color','b') end if Q==2 set(h1,'color','m') end if Q==3 set(h1,'color','k') end if Q==4 set(h1,'color','r') end if Q==5 set(h1,'color','b') end hold on; title('Ganho de tensão do conversor LLC'); ylabel('M´(f)'); xlabel('Frequência normalizada fn'); grid on; end

84

Anexo B: Medições do transformador efetuadas com o medidor de

impedâncias

Por análise da Figura 5.7, é possível observar que, através da medição da indutância do

transformador vista do primário com os secundários em aberto, a soma das indutâncias de dispersão

e de magnetização é determinada (Figura B-1).

De seguida, repetindo o processo mas com um dos secundários em curto-circuito, é medida a

soma entre a indutância de dispersão do primário e o paralelo da indutância de magnetização e a

indutância de dispersão de um secundário remetida para o primário (Figura B-2), sendo o mesmo

feito com o outro secundário em curto-circuito (Figura B-3).

Finalmente, é medida a indutância vista do primário com os secundários ligados entre si, por

forma a medir a soma da indutância de dispersão do primário com o paralelo entre a soma das

indutâncias de dispersão dos secundários e a indutância de magnetização (Figura B-4).

As indutâncias são determinadas resolvendo o sistema de 4 equações e 4 incógnitas

resultante, atendendo a que é necessário subtrair aos valores obtidos uma indutância parasita de

dos instrumentos de medição:

{

(

)

(B-1)

Figura B - 1: Medição da indutância do transformador vista do primário com os secundários em aberto.

85

Figura B - 2: Medição da indutância do transformador vista do primário com um secundário em curto-circuito.

Figura B - 3: Medição da indutância do transformador vista do primário com um secundário em curto-circuito.

Figura B - 4: Medição da indutância do transformador no primário com os dois secundários em curto-circuito.

86

Anexo C: Lista de componentes

Um esquema do circuito do conversor LLC é apresentado na Figura C-1, para facilitar a

visualização dos componentes.

Figura C-1: Circuito do conversor LLC.

Lista de componentes adquiridos:

MOSFETs Q1 e Q2: MOSFET IRFU4615;

Díodos de Schottky D1 e D2: Schottky STPS60170CT;

Transformador T:

o Núcleo: ETD39 Transformer Half Core B66363GX197;

o Carreto: ETD39 Transformer Coil Former B66364W1016T1;

o Grampos: ETD 39 Transformer Clip B66364A2000X.

Controlador K: Controller IRS27952SPBF.

87

Anexo D: Código MATLAB para obtenção das formas de onda do

conversor LLC pela FHA

clc;clear all; %Parâmetros do conversor LLC: Vdc=110; %Tensão de entrada (V) Vo=48; %Tensão de saída(V) Po=500; %Potência de saída(W) Io=Po/Vo; %Corrente de carga(A) fr=416.001*10^3; %Frequência de ressonância (Hz) n=Vdc/(2*Vo); %Relação de transformação Rl=Vo/Io; %Resistência de carga (Ohm) Lm=28.708*10^-6; %Bobina de magnetização (H) Lr=261.375*10^-9; %Bobina de ressonância (H) Cr=0.56*10^-6; %Condensador de ressonância (F) Rac=8*n^2*Rl/pi^2; %Resistência equivalente Rac (Ohm) Ln=Lm/Lr; %Quociente entre as bobinas Lm e Lr Zo=sqrt(Lr/Cr); %Impedância característica (Ohm) Q=Zo/Rac; %Fator de qualidade fs=416*10^3; %FREQUÊNCIA DE OPERAÇÃO; (Hz) ws=2*pi*fs; %Frequência de ressonância angular (rad/s) disp('Especificações:'); display(fs);display(Lr);display(Cr);display(Lm);display(fr); display(Vo);display(Io);display(Rl);display(Rac); display(Ln);display(Q); %% %Equações da FHA: t=-0.001*10^-6:0.001*10^-6:4*10^-6; %Tempo (s) vin=(2*Vdc/pi)*sin(ws*t); %Tensão de entrada do tanque(V) vsec=(4*Vo/pi)*sin(ws*t); %Tensão no secundário (V) vpri=(4*n*Vo/pi)*sin(ws*t); %Tensão no primário (V) iLm=((4*n*Vo)/(pi*ws*Lm))*sin(ws*t); %Corrente de magnetização (A) isec=(pi*Io/2)*sin(ws*t); %Corrente no secundário (A) ipri=iLm+isec/n; %Corrente no primário (A) io=abs(isec); %Corrente à saída do retificador (A) ico=io-Io; %Corrente no condensador de saída Co (A) vCr=(-1/(ws*Cr))*((4*n*Vo)/(pi*ws*Lm)+(pi*Io/(2*n)))*cos(ws*t)+Vdc/2; %Queda de tensão no condensador Cr (V) vLr=ws*Lr*((4*n*Vo)/(pi*ws*Lm)+(pi*Io/(2*n)))*cos(ws*t); %Queda de tensão na bobina Lr (V) %% figure (1); plot(t,vpri,t,vsec,'r'); title('Tensões vpri (azul) e vsec (vermelho)'); xlabel('t(s)');ylabel('vpri, vsec, vCr, vLr (V)');grid on; figure (2); plot(t,vCr,'g',t,vLr,'k'); title('Tensões vCr (verde) e vLr (preto)'); xlabel('t(s)');ylabel('vCr e vLr (V)');grid on; figure (3);plot(t,ipri,t,isec,'k'); title('Correntes ipri (azul) e isec (preto)'); xlabel('t(s)');ylabel('ipri, isec (A)');grid on; figure (4);plot(t,iLm); title('Corrente iLm'); xlabel('t(s)');ylabel('iLm (A)');grid on;

88

Anexo E: Código MATLAB para obtenção das formas de onda do

conversor LLC pelo modelo analítico

clc;clear all; %Parâmetros do conversor LLC: nx=55/48; %Relação de transformação Rl=4.607; %Resistência de carga (Ohm) fr=416.001*10^3; %Frequência de ressonância (Hz) Q=0.134; %Fator de qualidade Ln=109.835; %Quociente entre as bobinas Lm e Lr Rac=8*nx^2*Rl/pi^2; %Resistência equivalente (Ohm) Cx=0.56*10^-6;%Condensador de ressonância (F) Llx=261.375*10^-9;%Bobina de ressonância (H) Lmx=28.708*10^-6;%Bobina de magnetização (H) wr=2*pi*fr; %Frequência angular de ressonância (Hz) f=416*10^3; w=2*pi*f; Vdc=110; %Tensão de entrada (V) Vo=Vdc/(2*nx); %Tensão de saída (V) %Modelo analítico: x=atan((nx^2*Rl)/(w*Lmx)); alpha=atan((pi^2/(8*nx^2*Rl))*(w*Llx-1/(w*Cx))/cos(x)^2+tan(x)); teta=alpha-x; Ipri=(pi/(4*w*Lmx))*(cos(alpha)/(cos(x)*sin(x)))*Vdc; Io=(2/pi)*nx*cos(x)*Ipri; Vo=Rl*Io; t=-0.001*10^-6:0.001*10^-6:4*10^-6;%Tempo (s) y=square(w*t); vi=Vdc/2*square(w*t,50); ipri=Ipri*sin(w*t-alpha); vsec=Vo*square(w*t-teta); vpri=nx*vsec; iLmx=(nx*Vo/(4*Lmx*f))*sawtooth(w*t-teta,0.5); isec=nx*(ipri-iLmx); vCr=(-1/(w*Cx))*Ipri*cos(w*t-alpha)+Vdc/2; vLr=w*Llx*Ipri*cos(w*t-alpha); io=abs(isec); ico=io-Io; figure (1); plot(t, vpri, 'g', t,vsec); title('Tensões vpri (verde) e vsec (azul)'); ylabel('vpri, vsec(V)');xlabel('t(s)');grid on; figure (2); plot(t,vCr,'r',t,vLr,'k'); title('Tensões vCr (vermelho) e vLr (preto)'); ylabel('vCr, vLr(V)');xlabel('t(s)');grid on; figure (3); plot(t,ipri,t,isec,'k'); title('Correntes ipri (azul) e isec (preto)'); ylabel('ipri, iLm, isec (A)');xlabel('t(s)');grid on; figure (4); plot(t,ipri,t,iLmx,'r',t,isec,'k'); title('Corrente iLm (vermelho)'); ylabel('iLm(A)');xlabel('t(s)');grid on;

89

Anexo F: Código MATLAB para obtenção do ganho de tensão do

conversor LLC pelo modelo analítico

clc;clear all; %Parâmetros: nx=55/48; %Relação de transformação Rl=4.607; %Resistência de carga (Ohm) fr=400*10^3; %Frequência de ressonância (Hz) Q=0.134; %Fator de qualidade Ln=109.835; %Quociente entre as bobinas Lm e Lr Rac=8*nx^2*Rl/pi^2; %Resistência equivalente (Ohm) %Cx=1/(2*pi*fr*Q*Rac); %Condensador de ressonância (F) %Llx=1/((2*pi*fr)^2*Cx); %Bobina de ressonância (H) %Lmx=Ln*Llx; %Bobina de magnetização (H) Cx=0.56*10^-6; Llx=261.375*10^-9; Lmx=28.708*10^-6; w=2*pi*fr; %Frequência angular de ressonância (rad/s) Vdc=110; %Tensão de entrada (V) Vo=Vdc/(2*nx); %Tensão de saída (V) %% %Gráfico: syms f; x=atan((nx^2*Rl)/(2*pi*f*Lmx)); alpha=atan((pi^2/(8*nx^2*Rl))*(2*pi*f*Llx-1/(2*pi*f*Cx))/cos(x)^2+tan(x)); M(f)=(Rl*nx*cos(alpha))/(2*2*pi*f*Lmx*sin(x)); figure(1); h1=ezplot(M(f), [100000,800000]); axis([300000 500000 0.434 0.44]); grid on; title('Ganho de tensão M(f) pelo modelo analítico aproximado');

90

Anexo G: Valores máximos teóricos e de simulação das grandezas

elétricas

Figura G - 1: Valores máximos das grandezas elétricas utilizados no cálculo dos erros relativos dos modelos.

f (kHz) 300 305 310 315 320 325 330 335 340 345 350 355 360 365 370 375 380 385 390 395 400

vsec(FHA) 62,115 62,073 62,017 61,975 61,933 61,891 61,849 61,807 61,765 61,737 61,695 61,667 61,639 61,611 61,583 61,555 61,527 61,499 61,471 61,457 61,429

vpri (FHA) 70,989 70,941 70,877 70,828 70,780 70,732 70,684 70,636 70,588 70,556 70,508 70,476 70,444 70,412 70,380 70,348 70,316 70,284 70,252 70,236 70,204

iLm (FHA) 1,312 1,289 1,268 1,247 1,226 1,207 1,187 1,169 1,151 1,134 1,117 1,101 1,085 1,069 1,055 1,040 1,026 1,012 0,999 0,986 0,973

isec (FHA) 16,634 16,622 16,607 16,596 16,585 16,574 16,562 16,551 16,540 16,532 16,521 16,514 16,506 16,499 16,491 16,484 16,476 16,469 16,461 16,457 16,450

ipri (FHA) 15,866 15,834 15,799 15,768 15,738 15,709 15,680 15,651 15,623 15,600 15,573 15,550 15,528 15,506 15,484 15,463 15,442 15,422 15,402 15,386 15,367

iCo (FHA) 6,044 6,040 6,035 6,031 6,027 6,023 6,018 6,014 6,010 6,008 6,003 6,001 5,998 5,995 5,993 5,990 5,987 5,984 5,982 5,980 5,978

vCr (FHA) 70,031 69,755 69,484 69,227 68,978 68,737 68,504 68,278 68,060 67,851 67,645 67,449 67,258 67,074 66,894 66,719 66,550 66,385 66,224 66,070 65,918

vLr (FHA) 7,817 7,931 8,043 8,157 8,271 8,384 8,498 8,611 8,724 8,838 8,951 9,066 9,180 9,295 9,409 9,523 9,637 9,751 9,865 9,981 10,094

ipri (MOD) 14,533 14,526 14,520 14,514 14,507 14,501 14,495 14,490 14,484 14,478 14,473 14,467 14,462 14,456 14,451 14,446 14,440 14,435 14,430 14,425 14,420

Io (MOD) 10,509 10,506 10,504 10,501 10,498 10,496 10,493 10,490 10,488 10,485 10,482 10,480 10,477 10,474 10,471 10,469 10,466 10,463 10,461 10,458 10,455

Vo (MOD) 48,415 48,402 48,390 48,378 48,365 48,353 48,341 48,328 48,316 48,304 48,292 48,279 48,267 48,254 48,242 48,229 48,217 48,204 48,192 48,179 48,166

vsec (MOD) 48,415 48,402 48,390 48,378 48,365 48,353 48,341 48,328 48,316 48,304 48,292 48,279 48,267 48,254 48,242 48,229 48,217 48,204 48,192 48,179 48,166

vpri (MOD) 55,331 55,317 55,303 55,289 55,275 55,261 55,247 55,233 55,218 55,204 55,190 55,176 55,162 55,148 55,134 55,119 55,105 55,091 55,076 55,062 55,047

iLm (MOD) 1,606 1,579 1,554 1,528 1,504 1,481 1,458 1,436 1,414 1,393 1,373 1,354 1,334 1,316 1,298 1,280 1,263 1,246 1,230 1,214 1,198

isec (MOD) 14,774 14,797 14,819 14,840 14,861 14,881 14,900 14,919 14,937 14,954 14,971 14,987 15,002 15,018 15,032 15,046 15,060 15,073 15,086 15,098 15,110

vCr (MOD) 68,768 68,536 68,312 68,095 67,885 67,681 67,484 67,293 67,107 66,927 66,752 66,582 66,417 66,256 66,100 65,948 65,800 65,656 65,516 65,379 65,245

vLr (MOD) 7,160 7,276 7,392 7,508 7,624 7,740 7,856 7,972 8,087 8,203 8,319 8,434 8,550 8,665 8,781 8,896 9,012 9,127 9,242 9,357 9,472

iCo (MOD) 4,265 4,290 4,315 4,339 4,363 4,385 4,407 4,428 4,449 4,469 4,488 4,507 4,526 4,543 4,561 4,578 4,594 4,610 4,625 4,640 4,655

vsec(PSIM) 48,890 48,890 48,820 48,780 48,750 48,720 48,690 48,650 48,620 48,590 48,570 48,540 48,510 48,490 48,480 48,440 48,410 48,390 48,370 48,350 48,330

vpri (PSIM) 55,880 55,880 55,790 55,750 55,720 55,680 55,640 55,600 55,570 55,540 55,500 55,480 55,440 55,410 55,400 55,360 55,330 55,310 55,280 55,260 55,230

iLm (PSIM) 1,495 1,475 1,458 1,442 1,433 1,405 1,387 1,374 1,359 1,342 1,327 1,308 1,297 1,281 1,264 1,256 1,244 1,227 1,209 1,197 1,187

isec (PSIM) 23,160 22,800 22,390 22,030 21,640 21,320 21,000 20,670 20,370 20,060 19,770 19,510 19,220 18,970 18,760 18,430 18,170 17,940 17,710 17,490 17,260

ipri (PSIM) 19,960 19,660 19,330 19,030 18,720 18,440 18,180 17,910 17,660 17,400 17,170 16,950 16,710 16,510 16,330 16,070 15,860 15,670 15,470 15,290 15,100

iCo (PSIM) 12,620 12,250 11,870 11,510 11,170 10,800 10,490 10,170 9,870 9,560 9,280 9,020 8,730 8,490 8,290 7,960 7,730 7,480 7,250 7,032 6,810

vCr (PSIM) 68,890 68,620 68,420 68,200 67,980 67,760 67,570 67,360 67,180 66,980 66,810 66,650 66,460 66,310 66,210 65,980 65,830 65,690 65,540 65,410 65,270

vLr (PSIM) 13,730 13,520 13,280 13,070 12,850 12,650 12,470 12,280 12,100 11,920 11,750 11,590 11,420 11,280 11,160 10,970 10,820 10,680 10,540 10,420 10,280

M(f) FHA 0,444 0,443 0,443 0,443 0,442 0,442 0,442 0,441 0,441 0,441 0,441 0,440 0,440 0,440 0,440 0,440 0,439 0,439 0,439 0,439 0,439

M(f) MOD 0,439 0,439 0,439 0,439 0,439 0,438 0,438 0,438 0,438 0,438 0,438 0,438 0,438 0,438 0,437 0,437 0,437 0,437 0,437 0,437 0,437

M(f) PSIM 0,444 0,444 0,443 0,443 0,442 0,442 0,442 0,442 0,442 0,442 0,441 0,441 0,442 0,440 0,441 0,440 0,440 0,440 0,440 0,439 0,439

f (kHz) 405 410 415 420 425 430 435 440 445 450 455 460 465 470 475 480 485 490 495 500

vsec(FHA) 61,415 61,387 61,373 61,345 61,331 61,317 61,289 61,275 61,261 61,247 61,233 61,219 61,205 61,191 61,177 61,163 61,149 61,135 61,121 61,121

vpri (FHA) 70,188 70,156 70,140 70,108 70,092 70,076 70,044 70,028 70,012 69,996 69,980 69,964 69,948 69,932 69,916 69,900 69,884 69,868 69,852 69,852

iLm (FHA) 0,961 0,949 0,937 0,925 0,914 0,903 0,893 0,882 0,872 0,862 0,853 0,843 0,834 0,825 0,816 0,807 0,799 0,790 0,782 0,775

isec (FHA) 16,446 16,439 16,435 16,427 16,424 16,420 16,412 16,409 16,405 16,401 16,397 16,394 16,390 16,386 16,382 16,379 16,375 16,371 16,367 16,367

ipri (FHA) 15,351 15,332 15,318 15,299 15,285 15,271 15,254 15,240 15,227 15,213 15,200 15,188 15,175 15,163 15,151 15,139 15,127 15,115 15,104 15,096

iCo (FHA) 5,976 5,973 5,972 5,969 5,968 5,967 5,964 5,963 5,961 5,960 5,958 5,957 5,956 5,954 5,953 5,952 5,950 5,949 5,948 5,948

vCr (FHA) 65,773 65,628 65,490 65,353 65,221 65,093 64,966 64,844 64,725 64,608 64,495 64,383 64,275 64,169 64,065 63,963 63,864 63,767 63,672 63,581

vLr (FHA) 10,210 10,324 10,440 10,553 10,668 10,784 10,897 11,012 11,128 11,243 11,358 11,473 11,589 11,704 11,819 11,934 12,049 12,163 12,278 12,396

ipri (MOD) 14,415 14,410 14,405 14,400 14,395 14,390 14,385 14,380 14,375 14,370 14,365 14,360 14,355 14,350 14,345 14,341 14,336 14,331 14,326 14,321

Io (MOD) 10,452 10,449 10,447 10,444 10,441 10,438 10,435 10,432 10,429 10,427 10,424 10,421 10,418 10,415 10,412 10,409 10,406 10,402 10,399 10,396

Vo (MOD) 48,153 48,141 48,128 48,115 48,101 48,088 48,075 48,062 48,048 48,035 48,021 48,008 47,994 47,980 47,966 47,952 47,938 47,924 47,910 47,895

vsec (MOD) 48,153 48,141 48,128 48,115 48,101 48,088 48,075 48,062 48,048 48,035 48,021 48,008 47,994 47,980 47,966 47,952 47,938 47,924 47,910 47,895

vpri (MOD) 55,032 55,018 55,003 54,988 54,973 54,958 54,943 54,928 54,912 54,897 54,882 54,866 54,850 54,834 54,819 54,803 54,787 54,770 54,754 54,738

iLm (MOD) 1,183 1,169 1,154 1,140 1,126 1,113 1,100 1,087 1,075 1,062 1,050 1,039 1,027 1,016 1,005 0,994 0,984 0,973 0,963 0,953

isec (MOD) 15,122 15,133 15,143 15,154 15,164 15,173 15,183 15,192 15,200 15,209 15,217 15,225 15,232 15,239 15,246 15,253 15,259 15,265 15,271 15,277

vCr (MOD) 65,115 64,989 64,865 64,744 64,626 64,511 64,398 64,288 64,181 64,076 63,973 63,872 63,774 63,678 63,583 63,491 63,401 63,312 63,225 63,140

vLr (MOD) 9,587 9,702 9,817 9,932 10,047 10,162 10,276 10,391 10,505 10,620 10,734 10,848 10,962 11,077 11,191 11,304 11,418 11,532 11,646 11,759

iCo (MOD) 4,669 4,683 4,697 4,710 4,723 4,735 4,747 4,759 4,771 4,782 4,793 4,804 4,814 4,825 4,835 4,844 4,854 4,863 4,872 4,881

vsec(PSIM) 48,310 48,290 48,270 48,250 48,220 48,110 48,090 48,000 47,950 47,930 47,870 47,810 47,770 47,720 47,680 47,640 47,590 47,550 47,490 47,420

vpri (PSIM) 55,210 55,190 55,160 55,140 55,110 54,990 54,980 54,850 54,810 54,780 54,710 54,640 54,590 54,520 54,480 54,450 54,420 54,360 54,280 54,190

iLm (PSIM) 1,175 1,163 1,156 1,139 1,122 1,121 1,100 1,082 1,075 1,058 1,052 1,035 1,020 1,009 0,998 0,985 0,975 0,962 0,951 0,942

isec (PSIM) 17,040 16,840 16,630 16,440 16,260 16,090 15,940 15,800 15,650 15,550 15,430 15,330 15,190 15,130 15,030 14,950 14,880 14,790 14,720 14,680

ipri (PSIM) 14,930 14,760 14,590 14,440 14,310 14,170 14,040 13,930 13,810 13,730 13,620 13,560 13,450 13,400 13,320 13,270 13,210 13,120 13,040 13,070

iCo (PSIM) 6,590 6,390 6,190 5,990 5,820 5,660 5,510 5,380 5,240 5,150 5,060 4,950 4,820 4,760 4,670 4,610 4,540 4,480 4,310 4,380

vCr (PSIM) 65,130 65,000 64,880 64,760 64,650 64,530 64,410 64,290 64,180 64,090 63,950 63,890 63,760 63,670 63,550 63,460 63,360 63,240 63,170 63,070

vLr (PSIM) 10,160 10,040 9,920 9,780 9,690 9,610 9,490 9,450 9,350 9,280 9,110 9,180 9,090 9,040 8,970 8,970 8,920 8,890 8,860 8,840

M(f) FHA 0,439 0,438 0,438 0,438 0,438 0,438 0,438 0,438 0,437 0,437 0,437 0,437 0,437 0,437 0,437 0,437 0,437 0,437 0,436 0,436

M(f) MOD 0,437 0,437 0,436 0,436 0,436 0,436 0,436 0,436 0,436 0,436 0,435 0,435 0,435 0,435 0,435 0,435 0,435 0,435 0,434 0,434

M(f) PSIM 0,439 0,438 0,438 0,437 0,437 0,437 0,436 0,435 0,436 0,434 0,433 0,432 0,432 0,431 0,431 0,431 0,430 0,428 0,427 0,427