PROJETO DE FILTRO CROSSOVER DUPLAMENTE … · assim como ter conhecimento do teor da presente...

PROJETO DE FILTRO CROSSOVER DUPLAMENTE

COMPLEMENTAR EM CIRCUITO INTEGRADO

Rodrigo de Souza Fructuoso da Silva

Projeto de Graduacao apresentado ao Curso

de Engenharia Eletronica e de Computacao

da Escola Politecnica, Universidade Federal

do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessarios a obtencao do tıtulo de Enge-

nheiro.

Orientador: Antonio Petraglia

Rio de Janeiro

Setembro de 2017

PROJETO DE FILTRO CROSSOVER DUPLAMENTE

COMPLEMENTAR EM CIRCUITO INTEGRADO

Rodrigo de Souza Fructuoso da Silva

PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO

DE ENGENHARIA ELETRÔNICA E DE COMPUTAÇÃO DA ESCOLA PO-

LITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO

PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU

DE ENGENHEIRO ELETRÔNICO E DE COMPUTAÇÃO

Autor:

rigo Fructuoso da Silva

Orientador:

Prof. Aiitoiiio Petr lia, Pli. D.

. Examinador:

Prof. Carlos Fernando Teodósio Soares, D. Sc.

Examinador:

Prof.)(sé/,~ab J~~ri~arneir ~ Gomes , Ph. D.

Rio de Janeiro

Setembro de 2017

11

Declaração de Autoria e de Direitos

Eu, Rodrigo de Souza Fructuoso da Sílva CPF 124.418.527-28, autor da mo-

nografia Projeto de Filtro Crossover em Circuito Integrado, subscrevo para os devi-

dos fins, as seguintes informações:

1. O autor declara que o trabalho apresentado na disciplina de Projeto de Gra-

duação da Escola Politécnica da UFRJ é de sua autoria, sendo original em forma e

conteúdo.

2. Excetuam-se do item 1. eventuais transcrições de texto, figuras, tabelas, conceitos

e idéias, que identifiquem claramente a fonte original, explicitando as autorizações

obtidas dos respectivos proprietários, quando necessárias.

3. O autor permite que a UFRJ, por um prazo indeterminado, efetue em 1qualquer

mídia de divulgação, a publicação do trabalho acadêmico em sua totalidade, ou em

parte. Essa autorização não envolve ônus de qualquer natureza à UFRJ, ou aos seus

representantes.

4. O autor pode, excepcionalmente, encaminhar à Comissão de Projeto de Gra-

duação, a não divulgação do material, por um prazo máximo de 01 (um) ano,

improrrogável, a contar da data de defesa, desde que o pedido seja justificado, e

solicitado antecipadamente, por escrito, à Congregação da Escola Politécnica.

5. O autor declara, ainda, ter a capacidade jurídica para a prática do presente ato,

assim como ter conhecimento do teor da presente Declaração, estando ciente das

sanções e punições legais, no que tange a cópia parcial, ou total, de obra intelectual,

o que se configura como violação do direito autoral previsto no Codigo Penal Bra-

sileiro no art.184 e art.299, bem como na Lei 9.610.

6. O autor é o único responsável pelo conteúdo apresentado nos trabalhos acadêmicos

publicados, não cabendo à UFRJ, aos seus representantes, ou ao(s) orientador(es),

qualquer responsabilização/ indenização nesse sentido.

7. Por ser verdade, firmo a presente declaração.

digodouzaFructuosodaSilva

111

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Escola Politecnica - Departamento de Eletronica e de Computacao

Centro de Tecnologia, bloco H, sala H-217, Cidade Universitaria

Rio de Janeiro - RJ CEP 21949-900

Este exemplar e de propriedade da Universidade Federal do Rio de Janeiro, que

podera incluı-lo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar

qualquer forma de arquivamento.

E permitida a mencao, reproducao parcial ou integral e a transmissao entre bibli-

otecas deste trabalho, sem modificacao de seu texto, em qualquer meio que esteja

ou venha a ser fixado, para pesquisa academica, comentarios e citacoes, desde que

sem finalidade comercial e que seja feita a referencia bibliografica completa.

Os conceitos expressos neste trabalho sao de responsabilidade do(s) autor(es).

iv

DEDICATORIA

Dedico este trabalho a minha famılia. Especialmente aos meus amados pais, Re-

nata e Marco, que se esforcaram ao maximo para que pudesse ter acesso a educacao

e estiveram sempre presentes quando necessitei. A minha avo, Doralice, que sempre

foi uma segunda mae. A memoria de meu avo Renato, com que tive pouco convıvio,

mas de quem tenho claras lembrancas das brincadeiras instigando o pensar e os

conselhos onde sempre dizia para nunca deixar de estudar. Dedico ao meu irmao

Renan, meu melhor e mais antigo amigo.

Sem o suporte e carinho destas pessoas, nao teria chegado ate a producao deste

texto, e por isso, dedico a eles nao somente este trabalho, mas todo o esforco ate

realiza-lo. Muito obrigado.

v

AGRADECIMENTO

Agradeco aos professores que tive no decorrer do curso de Engenharia Eletronica

e de Computacao. O Departamento de Engenharia Eletronica e de Computacao

e seu corpo discente tem o privilegio de contar com inumeros docentes de exce-

lente qualificacao tecnica. Gostaria de agradecer especialmente ao professor Carlos

Fernando Teodosio Soares por conseguir reunir o primor tecnico com a habilidade

e preocupacao em ensinar. Suas aulas e dedicacao foram motivadores em minha

graduacao.

Agradeco ao meu orientador, prof. Antonio Petraglia, pelos ensinamentos e

paciencia ao longo do desenvolvimento do projeto. Sou grato pela ajuda no di-

recionamento do trabalho, pelas duvidas sanadas, revisoes minuciosas deste texto

durante sua producao e, principalmente, por responder pacientemente a todos os

inumeros e longos e-mails que enviei.

Agradeco aos amigos que fiz durante o curso, as parcerias de estudo foram fun-

damentais para obter exito em diversas disciplinas. Agradeco aqueles cuja amizade

perdurou mesmo com o fim das materias. Obrigado Luiz Carlos Macedo de Oliveira

Filho e Michael Douglas Barreto e Silva por, alem de tudo, escutarem paciente-

mente minhas reclamacoes sobre os mais diversos assuntos durante tanto tempo.

Sou tambem grato ao Eduardo Santoro Morgan e ao Pedro Bandeira de Mello Mar-

tins por terem me ajudado a revisar este texto.

Agradeco aos membros da banca examinadora pela disposicao em avaliar o tra-

balho e participar deste rito importante que finaliza uma longa jornada. Muito

obrigado aos professores Carlos Fernando Teodosio Soares e Jose Gabriel Rodriguez

Carneiro Gomes pelo tempo despendido.

Finalmente, agradeco ao povo brasileiro que contribuiu de forma significativa a

minha formacao e estada nesta Universidade. Este projeto e uma pequena forma de

retribuir o investimento e confianca em mim depositados.

vi

RESUMO

Este trabalho consiste no estudo e projeto de uma rede crossover para audio que

seja duplamente complementar, ou seja, complementar em amplitude e potencia.

Deseja-se que o filtro seja inteiramente contido em um circuito integrado, dispen-

sando componentes externos, e que possa ser ajustavel, de forma a se adequar as

necessidades do usuario. Para tanto, sera apresentado estudo de filtros ativos es-

truturalmente passa-tudo e o projeto eletrico destes atraves da tecnica de filtros

Gm-C. Tambem sera englobado o projeto dos amplificadores operacionais de trans-

condutancia que suprem as necessidades do projeto. Como resultado, apresentare-

mos a implementacao em circuito da rede crossover desejada, adequada a integracao

e capaz de atingir distorcao harmonica total menor que -45 dB para a saıda passa-

altas e -55 dB para a passa-baixas.

Palavras-Chave: rede crossover, filtros estruturalmente passa-tudo, filtro Gm-C,

audio.

vii

ABSTRACT

This work consists of the study and design of a doubly complementary audio

crossover network, thus the network must be amplitude and power complementary.

It is desired that the filter be entirely contained in an integrated circuit, without any

external components. Besides, it is desired that it can be tunable to fit the needs of

the user. Therefore, we will present a study of structurally all-pass active filters and

their electrical design using Gm-C filter technique. We will also cover the project of

the operational transconductance amplifiers that suit the desired requirements. As

result, we will present the circuit implementation of crossover network, suitable to

integrated circuit design and able to hold total harmonic distortion lower than -45

dB to high-pass output and lower than -55 dB to low-pass output.

Key-words: crossover network, structurally all-pass filters, Gm-C filter, audio.

viii

SIGLAS

UFRJ - Universidade Federal do Rio de Janeiro

OTA - Operational Transconductance Amplifier

CMOS - Complementary Metal Oxide Semiconductor

MOSFET - Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor

AMS - Austriamicrosystems

DHT - Distorcao Harmonica Total

ix

Sumario

1 Introducao 1

1.1 Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Delimitacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Justificativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.4 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.6 Descricao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Fundamentacoes Teoricas 5

2.1 Redes Crossover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Filtros Passa-Tudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Filtros Estruturalmente Passa-Tudo . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Filtros Duplamente Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Filtro Gm-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4.1 Amplificador Operacional de Transcondutancia . . . . . . . . 13

3 Desenvolvimento 15

3.1 Especificacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 Sıntese das funcoes de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1 Escolha da funcao prototipo H(s) . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.2 Sıntese do par de funcoes de transferencia passa-tudo . . . . . 18

3.3 Decomposicao Estruturalmente Passa-Tudo . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Realizacao atraves de filtros Gm-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.5 Projeto dos OTAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.5.1 Recursos empregados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

x

3.5.2 Implementacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6 Desnormalizacao do circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Resultados 51

4.1 Simulacoes dos OTAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1.1 OTA de baixo ganho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1.2 OTA de alto ganho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Simulacoes da rede crossover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.1 Resposta em frequencia de A1(s) e A2(s) . . . . . . . . . . . . 56

4.2.2 Resposta em frequencia de H(s) e G(s) . . . . . . . . . . . . . 59

5 Conclusoes 64

5.1 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Bibliografia 66

xi

Lista de Figuras

1.1 Exemplo de rede crossover de duas vias, composto por dois filtros

H(s) e G(s), passa-baixas e passa-altas, respectivamente. . . . . . . . 2

1.2 Exemplo de rede crossover duas vias, onde H(s) e G(s) sao gerados

pela soma e subtracao de filtros passa-tudo. . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1 Exemplo de resposta em frequencia de rede crossover de duas vias,

em destaque a frequencia de cruzamento fc. . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Diagrama de fluxo de sinais de uma arquitetura estruturalmente passa-

tudo de ordem N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Implementacao em circuito do diagrama de fluxo de sinais que realiza

uma arquitetura estruturalmente passa-tudo. . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Circuito integrador, bloco basico de filtros Gm-C. . . . . . . . . . . . 12

2.5 Modelo ideal de um amplificador operacional de transcondutancia. . . 13

3.1 Exemplo de rede crossover obtida com H(s) gerada por aproximacao

elıptica com 1 dB de ripple na banda de passagem e 60 dB de ate-

nuacao mınima na faixa de rejeicao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Selecao de polos de H(s) para implementacao de A1(s) e A2(s). . . . 19

3.3 Resposta de ganho de H(s) e G(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4 Resposta de fase de A1(s) e A2(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.5 Implementacao direta de A1(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.6 Implementacao direta de A2(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.7 Problema com polos nao modelados devido a capacitores parasitas. . 24

3.8 Implementacao otimizada de A1(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.9 Implementacao otimizada de A2(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.10 Rede atenuadora responsavel por dividir o sinal aplicado por dois. . . 28

xii

3.11 Subtrator (a) e somador (b) utilizados para obter o passa-baixas e

passa-altas partindo do par de passa-tudos. . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.12 Circuito da rede crossover, composto pelos filtros passa tudo A1(s) e

A2(s) e pelos blocos algebricos de soma, subtracao e atenuacao. . . . 30

3.13 Par diferencial degenerado por MOSFET em triodo. . . . . . . . . . . 32

3.14 Divisor de tensao ativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.15 Divisor de corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.16 Amplificador Operacional de Transcondutancia dotado das estrategias

para atingir baixo ganho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.17 Fonte de corrente tipo P, de valor (N + 1)IB. . . . . . . . . . . . . . . 37

3.18 Fonte de corrente tipo N, de valor 2IB. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.19 Implementacao otimizada para o casamento e utilizacao de area do

divisor de tensao ativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.20 Circuito real do estagio de entrada do OTA de baixo ganho. . . . . . 47

3.21 Circuito real do estagio de saıda dos OTAs. . . . . . . . . . . . . . . 48

3.22 Circuito real do estagio de entrada do OTA de alto ganho. . . . . . . 49

4.1 Curvas de ganho de transcondutancia do OTA de baixo ganho para

diversas tensoes de ajuste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2 Resistencia equivalente de MTriodo em funcao de Vtun para OTA de

baixo ganho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3 Avaliacao do OTA de baixo ganho como integrador, com capacitor

de carga Cl = 15.9 pF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.4 Curvas de ganho de transcondutancia do OTA de alto ganho para

diversas tensoes de ajuste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.5 Avaliacao do OTA de alto ganho como integrador, com capacitor de

carga Cl = 15.9 pF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.6 Resposta de fase de A1(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.7 Resposta de fase de A2(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.8 Resultado da resposta de modulo do filtro A1(s) que compoem a rede

crossover. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.9 Resultado da resposta de modulo do filtro A2(s) que compoe a rede

crossover. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

xiii

4.10 Ganho residual existente na subtracao dos ganhos de A1(s) e A2(s). . 58

4.11 Resultado da resposta de modulo da rede crossover. . . . . . . . . . . 60

4.12 Comparativo entre a rede crossover ideal e a real para frequencia de

ajuste nominal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.13 Comparativo entre a rede crossover ideal e a real para frequencia de

ajuste nominal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.14 Distorcao Harmonica Total em funcao da tensao de sintonia. . . . . . 62

4.15 Distorcao Harmonica Total em funcao da amplitude do sinal de entrada. 63

xiv

Lista de Tabelas

3.1 Parametros do processo de fabricacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Parametros obtidos a partir de criterios de polarizacao para OTA de

baixo ganho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 Correntes de polarizacao dos transistores que implementam fontes de

corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 Dimensoes dos transistores que implementam fontes de corrente. . . . 39

3.5 Tensoes de polarizacao para transistores do OTA. . . . . . . . . . . . 39

3.6 Dimensoes de MA1 e MA2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.7 Dimensoes dos transistores do par diferencial e divisor de corrente. . . 44

3.8 Dimensoes do transistor utilizado como elemento de degeneracao. . . 46

3.9 Dimensoes de todos os transistores projetados para o OTA de baixo

ganho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.10 Dimensoes de todos os transistores projetados para o OTA de alto

ganho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.11 Parametros obtidos a partir de criterios de polarizacao para OTA de

alto ganho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.12 Valores reais dos capacitores do circuito. . . . . . . . . . . . . . . . . 50

xv

Capıtulo 1

Introducao

1.1 Tema

O tema do trabalho e o estudo e projeto de um filtro crossover duplamente com-

plementar monolıtico em circuito integrado. Neste sentido o problema e o projeto de

uma rede ativa crossover inteiramente contida num chip, capaz de manter a comple-

mentariedade em amplitude e potencia de suas saıdas, independentemente do ajuste

da frequencia de cruzamento e de erros introduzidos pelo processo de fabricacao.

1.2 Delimitacao

Este estudo foi conduzido para um filtro crossover de duas vias de terceira ordem

e para o processo de fabricacao CMOS 0.35 µm. Sera testado e avaliado com o uso

de programas de simulacao, sem prototipagem prevista.

1.3 Justificativa

Nas mais diversas aplicacoes, e usual que sinais de interesse possuam resposta em

frequencia ampla e para serem melhor analisados, processados ou amplificados, ne-

cessitam ser divididos em bandas, canais. Para estas aplicacoes, o filtro crossover se

faz util. Um exemplo comum, nao exclusivo, pode ser observado quando se trabalha

com sinais na faixa de audio. E comum em sistemas de audio a utilizacao de diversos

alto-falantes, com diferentes tamanhos e propriedades, para reproducao mais fide-

1

digna do audio. Isto se da porque um alto-falante apenas nao consegue reproduzir

de forma linear todo o espectro audıvel (20 Hz - 20 kHz, aproximadamente). Para

tanto, utilizam-se filtros crossover para separar o sinal de entrada em bandas de

frequencias aplicaveis ao alto-falante adequado a sua reproducao (ou amplificador

que o alimenta). A aplicacao mais simples e usual, nestes casos, e de redes crossover

de duas vias, onde o sinal e dividido em uma banda de frequencias baixas, adequada

a reproducao em woofers, e outras mais altas, melhor reproduzidas em tweeters.

Passa-

baixas

H(s)

Passa-altas

G(s)

Vin Woofer

Twetter

Amplificador

altas

frequências

Amplificador

baixas

frequências

Figura 1.1: Exemplo de rede crossover de duas vias, composto por dois filtros H(s)

e G(s), passa-baixas e passa-altas, respectivamente.

Em realizacoes mais simples, o filtro crossover pode ser implementado por um

passa-baixas e um passa-altas com mesma frequencia de corte, conforme Fig. 1.1. E

desejavel que estes filtros sejam ajustaveis, para se adequar as necessidades de pro-

jeto e eventuais flutuacoes no valor da frequencia de corte. Nesta realizacao, passa-

altas e passa-baixas, isto implicaria na necessidade de ajuste simultaneo e casado de

dois filtros distintos. Este processo geralmente e complicado de ser feito e culmina na

destruicao da complementariedade entre os filtros passa-baixas e passa-altas, tendo

por consequencia distorcao e a perda de informacao na saıda. A realizacao atraves

de secoes passa-tudo utilizada neste trabalho, ilustrada na Fig. 1.2, garante a com-

plementariedade entre os filtros passa-baixa e passa-alta que implementam a rede

crossover e um unico ponto de ajuste para a frequencia de sintonia, o que torna o

circuito mais robusto. Alem de ser realizado com numero mınimo de capacitores.

O presente projeto e uma complementacao de estudos anteriores, buscando es-

tudar e implementar um circuito com ampla faixa de aplicacao. A motivacao e a

2

Filtro

passa-tudo

A1(s)Divisor de

tensão

+

+

Passa-altas

Passa-baixasFiltro

passa-tudo

A2(s)

Vin

Figura 1.2: Exemplo de rede crossover duas vias, onde H(s) e G(s) sao gerados pela

soma e subtracao de filtros passa-tudo.

contribuicao deste projeto residem no fato de que esta realizacao em circuito inte-

grado, valendo-se de secoes estruturalmente passa-tudo, nao e usual, apesar de, em

teoria, ser capaz de prover importantes benefıcios.

1.4 Objetivos

O objetivo geral e, entao, realizar o projeto completo do circuito integrado para o

proposto filtro crossover para audio. Um filtro crossover de duas vias que apresente

complementariedade em amplitude e potencia de suas saıdas, alem de um unico

ponto para ajuste da frequencia de cruzamento. Para tanto, deve-se: (1) projetar os

filtros que comporao a rede crossover; (2) realizar o projeto dos OTAs (amplificadores

operacionais de transcondutancia); (3) avaliar o desempenho dos OTAs projetados;

(4) simular a rede crossover utilizando os OTAs projetados; (5) avaliar a realizacao

obtida.

1.5 Metodologia

Este trabalho implementara a rede crossover atraves da tecnica de filtros Gm-C,

ou OTA-C, e se valera de resultados encontrados na literatura para realizacao dos

amplificadores operacionais de transcondutancia. O projeto sera realizado com pro-

gramas de simulacao do pacote Cadence, atraves dos computadores do PADS/UFRJ

(Laboratorio de Processamento Analogico e Digital de Sinais), onde estao devida-

mente configurados e licenciados.

3

1.6 Descricao

O Capıtulo 2 apresentara o ferramental necessario para o desenvolvimento

do projeto, cobrindo a fundamentacao teorica necessaria para compreende-lo e as

tecnicas utilizadas para implementa-lo. No Capıtulo 3, sera abordada a realizacao da

rede crossover atraves dos filtros passa-tudo e serao determinadas as especificacoes

do projeto, bem como os valores dos componentes e especificacoes necessarias para os

amplificadores. Especificado o circuito e os amplificadores necessarios no capıtulo

anterior, serao realizados testes da rede crossover com componentes ideais e com

amplificadores reais. Estes testes serao desenvolvidos no Capıtulo 4. Por fim, no

Capıtulo 5, os resultados obtidos serao analisados e serao apresentadas as conclusoes,

indicando limitacoes e potenciais trabalhos futuros.

4

Capıtulo 2

Fundamentacoes Teoricas

Neste trabalho sera desenvolvido o projeto de uma rede crossover duplamente

complementar para audio em circuito integrado. Espera-se que o leitor tenha conhe-

cimentos de processamento de sinais relacionados a filtros, bem como conhecimen-

tos basicos de teoria de circuitos, como Leis de Kirchhoff e modelagem matematica

de componentes. Utilizaremos ferramental matematico para avaliar a resposta em

frequencia dos filtros desenvolvidos, como Transformada de Laplace e diagramas de

Bode. Portanto, e importante que o leitor tambem tenha conhecimentos de Sistemas

Lineares.

2.1 Redes Crossover

Redes crossover, por vezes tambem chamadas de filtros crossover, sao circuitos

que promovem o processamento de um sinal de interesse com objetivo de separa-lo

em faixas (bandas) de frequencias adequadas a analise ou aplicacao. A quantidade

de faixas em que o sinal de entrada e fracionado determina quantas vias o filtro

crossover possui, logo, um filtro crossover de duas vias tem por caracterıstica separar

um sinal de entrada em duas faixas de frequencia, conforme Fig. 2.1. A ordem, por

sua vez, esta relacionada com caracterısticas dinamicas da rede. A ordem de uma

rede crossover esta intimamente ligada a ordem dos filtros que a compoem. Quanto

maior a ordem de uma rede crossover, mais seletiva ela sera. Alem disto, maior sera

o numero de elementos reativos (capacitores, indutores) necessarios para construı-la.

5

fc

Passa-baixas Passa-altasH(s) G(s)

Amplitude

Frequência

Figura 2.1: Exemplo de resposta em frequencia de rede crossover de duas vias, em

destaque a frequencia de cruzamento fc.

Uma rede crossover pode ser avaliada e especificada em funcao da quantidade

de vias, frequencia de cruzamento, bem como de acordo com as figuras de merito

comuns aos demais filtros, como ganho em banda passante, atenuacao na banda de

rejeicao e ordem. A frequencia de cruzamento e definida como a frequencia onde

considera-se o fim de uma banda de frequencia e inıcio da seguinte. Numa rede

crossover de duas vias, por exemplo, temos duas bandas de frequencia definidas,

uma com caracterısticas de uma transferencia passa-baixas e a outra com carac-

terısticas de uma transferencia passa-altas, conforme Fig. 2.1. O ponto onde as

frequencias de corte destas transferencias coincidem e chamado de frequencia de

cruzamento. Em redes crossover sintonizaveis, como a desejada a se alcancar neste

projeto, esta frequencia de cruzamento deve ser ajustavel, ou seja, as frequencias de

corte das transferencias que compoem bandas vizinhas do proposto filtro devem ser

modificadas conjuntamente.

2.2 Filtros Passa-Tudo

Esta classe de filtros e reconhecida por resposta em frequencia com ganho cons-

tante, geralmente unitario, para todas as frequencias. Uma vez que estes filtros

nao modificam o modulo do sinal aplicado a sua entrada, a filtragem ocorre efeti-

vamente na fase. Embora menos usual, a manipulacao de fase pode ser util. Esta

propriedade sera utilizada adiante neste trabalho. Filtros passa-tudo contınuos no

tempo sao caracterizados no domınio s pela Eq. (2.1), para o caso de coeficientes

6

reais. A consequencia deste formato e a distribuicao simetrica dos polos e zeros em

relacao ao eixo imaginario no plano complexo s. Isto confere modulo da funcao de

transferencia constante para todo s = jw.

A(s) = ±k · D(−s)D(s)

= ±k · (−1)N · aN · sN + · · · − a1s1 + a0bN · sN + · · ·+ b1s1 + b0

, onde aN = bN ∀N

(2.1)

2.2.1 Filtros Estruturalmente Passa-Tudo

Filtros estruturalmente passa-tudo sao uma realizacao particular de um filtro

passa-tudo, onde os pares de coeficientes aN e bN ∀N da Eq. (2.1) sao realizados

pelos mesmos elementos. No caso de filtros analogicos ativos, sao realizados pelos

mesmos componentes eletronicos (pelos mesmos capacitores e ganhos de transcon-

dutancia, por exemplo). Definamos entao δN = |aN − bN |. Vale notar que valores

de δN > 0 posicionam os polos e zeros do sistema de forma nao simetrica e, assim,

degeneram a caracterıstica passa-tudo do filtro. A vantagem desta topologia e que,

mesmo que exista erro na implementacao dos coefientes, costumeiramente gerado

pela precisao finita na fabricacao dos componentes, a transferencia realizada conti-

nua tendo as propriedades de um filtro passa-tudo, uma vez que a origem comum

de aN e bN resulta em δN = 0.

A robustez desta estrutura ja foi abordada anteriormente [1] para filtros dessa

categoria desenvolvidos no domınio z. No entanto, seus benefıcios podem ser esten-

didos para o domınio contınuo no tempo, existem outros trabalhos que exploraram

esta abordagem [2]. Os erros nos valores de coeficientes que introduzem desvio da

resposta desejada no cenario digital sao analogos aos erros obtidos nos valores das

capacitancias e ganhos dos amplificadores encontrados na realizacao analogica destas

estruturas.

O filtro passa-tudo descrito na Eq. (2.1) pode ser decomposto como apresentado

na Eq. (2.2) [3].

A(s) = ±k · (−1)N ·(

1− 2

1 + Y (s)

)(2.2)

7

Esta equacao pode ser traduzida em um diagrama de fluxo de sinais, como tambem

foi desenvolvido em [3] e representado na Fig. 2.2. Partindo desta definicao, basta

encontrar o circuito que realize as operacoes descritas pelo diagrama para conseguir

implementar o filtro desejado. Para tanto, e necessario realizar a expansao de Y (s)

em fracoes continuadas e encontrar os termos de primeira ordem que implementam

os coeficientes dos ramos do diagrama de fluxos. Segue um exemplo de um filtro

passa-tudo de segunda ordem, descrito na Eq. (2.3):

A(s) =a2 · s2 − a1 · s+ a0a2 · s2 + a1 · s+ a0

= 1 − 2

1 + Y (s)= 1 − 2

1 +a2

a1· s+

1

a1

a0· s

(2.3)

Deste exemplo, encontramos para Yn(s) os seguintes valores:

Y1(s) =a2a1s Y2(s) =

a1a0s (2.4)

Feito isto, definimos, entao, os valores de c1 = a2/a1 e c2 = a1/a0 que implementam

A(s) atraves do diagrama de fluxo de sinais apresentado na Fig. 2.2.

Uma implementacao em circuito para a rede pode ser vista na Fig. 2.3. Nela

implementa-se o diagrama de fluxo de sinais introduzido anteriormente, utilizando

apenas amplificadores de transcondutancia e capacitores, tecnica muito comum em

projeto de circuitos analogicos integrados para processamento de sinais, conforme

sera abordado adiante.

Filtros estruturalmente passa-tudo possuem outra vantagem. Por terem seus co-

eficientes (logo, seus polos e zeros) realizados pelos mesmos elementos, utilizam o

numero mınimo de componentes reativos. Sao implementacoes canonicas. Alem da

economia de recursos, que se torna evidente, a realizacao estruturalmente passa-tudo

tambem facilita a sintonia destes filtros, visto que uma modificacao nos coeficientes

se reflete simultaneamente no numerador e denominador da funcao de transferencia,

sem afetar a caracterıstica passa-tudo do filtro.

8

1

1

1

-1

-2

1 1

-1 1

1 -1

-1 1

1 -1

-1 1

1V IN V OUT

N ímpar

N par

1

2c s1

2c s

1

1c s1

1c s

1

3c s1

3c s

1

4c s1

4c s

1

Nc s1

Nc s

1

Nc s1

Nc s

Figura 2.2: Diagrama de fluxo de sinais de uma arquitetura estruturalmente passa-

tudo de ordem N.

9

-+

1

-+

1

- +

1

- +

1

-+

1

-+

1

- +2

- +2

-+

1

-+

1

-+

1

-+

1

-+

1

-+

1

C1

C 3

C 2

Vin

Vout

-+

1

-+

1C 4

-+

1

-+

1 CN

-+

1

-+

1CN

N ímpar

N par

Figura 2.3: Implementacao em circuito do diagrama de fluxo de sinais que realiza

uma arquitetura estruturalmente passa-tudo.

10

2.3 Filtros Duplamente Complementares

E conhecido que a percepcao do ouvinte de um sinal de audio e muito mais sensıvel

a distorcoes em amplitude do que em fase, desde que o atraso de grupo nao seja

significativo [4]. Logo, um importante requisito para projeto de filtros crossovers e

que as funcoes de transferencia que o compoem sejam passa-tudo complementares,

ou seja, respeitem a Eq. (2.5). Isto justamente porque um passa-tudo tem por

caracterıstica nao modificar a amplitude do sinal aplicado, embora introduza des-

vios de fase, aceitaveis nesta aplicacao. Por outro lado, espera-se que um sistema

crossover apresente em suas saıdas sinais que sejam bem definidos em frequencia, ou

seja, enquanto uma de suas saıdas se encontra na banda de passagem a outra deve

estar na faixa de rejeicao, conforme Fig. 2.1. A complementariedade em potencia,

enunciada na Eq. (2.6), e uma forma de garantir que isto ocorra [5]. Alem disso,

garante tambem a potencia experimentada pelo usuario do sistema seja constante

para toda faixa de frequencias.

|H(jw) +G(jw)| = 1 (2.5)

|H(jw)|2 + |G(jw)|2 = 1 (2.6)

As Eqs. (2.5) e (2.6) sao simultaneamente satisfeitas por todos os pares passa-

baixas/passa-altas obtidos por aproximacoes classicas de ordem ımpar (maior que

um), como de Butterworth, Chebyshev e elıptica. Uma forma de implementar esses

pares de transferencias e atraves da soma e subtracao de filtros passa-tudo, como

enunciado nas Eqs. (2.7) e (2.8).

H(s) =A1(s) + A2(s)

2(2.7)

G(s) =A1(s)− A2(s)

2(2.8)

Onde H(s) e G(s) sao, respectivamente, os passa-baixas e passa-altas e A1(s) e

A2(s) o par de passa-tudo que atende as equacoes.

11

2.4 Filtro Gm-C

Filtros Gm-C sao circuitos compostos apenas por amplificadores operacionais de

transcondutancia (dispositivos caracterizados pelo seu ganho de transcondutancia

- Gm) e capacitores (C). Como abordado em [6], filtros contınuos no tempo sao

implementados majoritariamente em circuitos integrados com a tecnica Gm-C (ou

OTA-C - Operational Transconductance Amplifiers-Capacitors) devido as desvanta-

gens presentes na principal tecnica alternativa, MOSFET-C. Esta segunda utiliza

uma implementacao de filtros ativos RC, onde resistores sao emulados por transis-

tores operando na regiao de triodo. Tal abordagem restringe a faixa de excursao

de sinal e ocupa mais espaco em silıcio. Alem disso, a sintonia de filtros analogicos

Gm-C necessita apenas do ajuste do ganho Gm de seus amplificadores. Ja existem

diversas abordagens na literatura para o ajuste do ganho de transcondutancia, bem

como para sua linearizacao, permitindo grandes excursoes para o sinal de entrada

[7, 8, 9].

O bloco basico de um filtro Gm-C e o integrador, cuja implementacao para filtros

de saıda simples (nao diferencial) pode ser vista na Fig. 2.4. Nele, uma tensao

diferencial aplicada a entrada e integrada na saıda, neste caso:

VOUT =Gm

sC· VIN (2.9)

Gm

-+

Gm

-+

-+

C

VinVout

Figura 2.4: Circuito integrador, bloco basico de filtros Gm-C.

12

2.4.1 Amplificador Operacional de Transcondutancia

Amplificador de pouca utilizacao em circuitos discretos, o amplificador operacio-

nal de transcondutancia tem grande importancia no projeto de circuitos analogicos

integrados, conforme citado acima. Este pode ser modelado para baixas frequencia

como apresentado na Fig. 2.5. E um dispositivo que apresenta em sua saıda uma

corrente proporcional por um fator gm a tensao diferencial aplicada em suas en-

tradas. Idealmente deve possuir impedancia de entrada (Ri) e saıda (Ro) infinitas.

Diferentemente aos amplificadores operacionais, pode ser operado em malha aberta,

sem a necessidade de compensacao, o que lhes confere melhor resposta em altas

frequencias.

Ri Rogm(V – V )

V Vo

V

+ _

+

_

Figura 2.5: Modelo ideal de um amplificador operacional de transcondutancia.

Em amplificadores operacionais, o ganho de malha aberta somente necessita ser

muito maior do que o que se espera utilizar na aplicacao. Idealmente, e considerado

infinito. A grandeza de interesse no projeto e o ganho de malha fechada, que e

definido por uma malha de realimentacao. No caso de um amplificador operacio-

nal de transcondutancia, o ganho de malha aberta dependente demasiadamente de

parametros de fabricacao e os circuitos que utilizam OTAs dependem diretamente

deste ganho de transcondutancia, a exemplo dos filtros Gm-C, que utilizam o ganho

de transcondutancia para posicionamento de polos e zeros.

Isto se apresenta como um consideravel demerito para utilizacao discreta destes

amplificadores. No entanto, em circuitos integrados, ainda que nao exista grande

acuraria no valor absoluto dos ganhos realizados, existe uma boa precisao relativa,

13

de forma que todos os amplificadores integrados num mesmo chip possuem valo-

res proximos de ganho de transcondutancia. O desvio no valor dos ganhos e um

problema contornavel, visto que, conforme mencionado acima, existem diversas ar-

quiteturas de amplificadores operacionais de transcondutancia que possibilitam o

ajuste do ganho Gm. Os erros podem ser bem estimados por simulacoes previas,

envolvendo os parametros do processo utilizado e mitigados atraves do ajuste, que

pode ser manual ou ate mesmo automatico [10].

14

Capıtulo 3

Desenvolvimento

Conforme apresentado na Secao 1.4, desejamos projetar um filtro crossover de

duas vias que apresente complementariedade em amplitude e potencia dos sinais de

saıda e possua apenas um ponto de sintonia da frequencia de cruzamento.

Apos a fundamentacao teorica, pode-se concluir que a implementacao dos filtros

que compoem a rede crossover atraves de filtros duplamente complementares e ade-

quada para suprir os requisitos de complementariedade de amplitude e potencia,

e portanto, sera utilizada neste projeto. Para implementar as transferencias dos

filtros requeridos, ultilizaremos a abordagem de filtros estruturalmente passa-tudo.

Esta escolha, teoricamente, nos aproxima de uma estrutura mais robusta a variacao

nos valores dos componentes e minimiza o uso de elementos reativos (capacitores) e

amplificadores (OTAs).

Dado que o sistema sera desenvolvido para circuito integrado contınuo no tempo,

serao utilizados apenas OTAs e capacitores em sua sıntese, ou seja, realizaremos

filtros Gm-C estruturalmente passa-tudo.

Tendo em maos as funcoes de transferencia dos filtros passa-tudo e suas imple-

mentacoes em circuito, fica pendente realizar em circuito as operacoes algebricas

descritas pelas Eqs. (2.7) e (2.8). Ou seja, implementar blocos capazes de realizar

soma, subtracao e divisao por dois, para, enfim, obter a rede crossover desejada.

15

3.1 Especificacoes

Para prosseguimento e necessario definir algumas especificacoes da rede crossover

a ser construıda. Definiremos como frequencia de cruzamento central fc = 2 kHz,

este valor e adequado por estar proximo do utilizado como frequencias de corte para

woofers e tweeters.

Como consequencia das frequencias das raızes do sistema, esperam-se capacitores

de valores relativamente elevados. Como em filtros Gm-C o posicionamento das

raızes depende da razao gm/C, uma forma de minimizar os capacitores sem alterar

as constantes de tempo e reduzir o valor do ganho de transcondutancia gm. Com

a frequencia central determinada, podemos definir o ganho de transcondutancia a

partir da ordem de grandeza da capacitancia desejada.

Podemos calcular a constante de tempo dos filtros, vide Eq. (3.1), e aplicar a

Eq. (3.2) para encontrar o valor de gm que atende a relacao. Para esta faixa

de frequencia e para o processo de fabricacao de 0.35 µm sao razoaveis valores de

capacitancias da ordem de 10 pF.

τ =1

2 · π · fc≈ 79.58 µs (3.1)

τ =C

gm→ C = 10 pF, gm ≈ 125.66 nA/V (3.2)

No entanto, a construcao de amplificadores operacionais de transcondutancia de

baixo ganho nao e trivial. Deseja-se ainda, a capacidade de ajuste da frequencia de

cruzamento uma oitava para cima e para baixo em relacao a frequencia central, ou

seja, atingir faixa de ajuste de fc2

a 2fc. Desta forma, o circuito devera ser capaz de

implementar um ganho que vai de metade ate o dobro do nominal.

Por esta restricao, optaremos por escolher um valor de ganho nominal razoavel-

mente maior do que o sugerido por Eq. (3.2), ao preco de ter de utilizar capacitores

maiores. Definiremos gm = 200 nA/V.

16

3.2 Sıntese das funcoes de transferencia

3.2.1 Escolha da funcao prototipo H(s)

Para a sıntese dos filtros duplamente complementares e necessario que a funcao

de transferencia alvo para o projeto seja de ordem ımpar e maior que um. Para

validar o proposto no trabalho sem elevar a complexidade deste desnecessariamente,

arbitraremos um filtro de terceira ordem. A aproximacao escolhida para o projeto

sera de Butterworth, uma vez que esta apresenta um bom benefıcio entre maxima

planitude na banda de passagem, seletividade e baixa distorcao de fase.

Esta aproximacao oferece um bom meio termo entre minimizacao de valores de

capacitancias, que conduziria a aproximacao elıptica, ou otimizacao da resposta

temporal com reducao de distorcoes de fase, que conduziriam a aproximacoes como

de Bessel.

E importante ter em mente tambem que a escolha de aproximacoes com elevado

ripple na banda de passagem impoe que a transferencia complementar apresente

elevado ripple na faixa de rejeicao. Isto porque as respostas em frequencia sao

passa-tudo complementares, conforme Eq. (2.5), e suas somas e subtracoes devem

resultar em modulo unitario. Desta forma, a atenuacao mınima na faixa de rejeicao

numa dada frequencia esta associada ao ripple na faixa de passagem da funcao de

transferencia complementar. Ou seja, optar por uma funcao H(s) com elevado ripple

pode limitar a atenuacao na faixa de rejeicao da funcao complementar, neste caso,

a transferencia passa-altas G(s).

Um exemplo desta dependencia do ripple pode ser visto na Fig. 3.1. Nela a

transferencia H(s) alvo e um passa-baixas com 1 dB de ripple na banda de passagem

e 60 dB de atenuacao mınima na faixa de rejeicao, obtido por aproximacao elıptica.

O resultado foi um filtro de quinta ordem, cuja equacao esta descrita na Eq. (3.3).

Podemos notar a relacao entre os pontos de maximo ripple no passa-baixas e pobre

atenuacao no passa-altas.

H(s) =0.01501s4 + 0.1512s2 + 0.3203

2s5 + 1.861s4 + 3.504s3 + 2.071s2 + 1.329s+ 0.3203(3.3)

17

-80

-60

-40

-20

0

Mag

nitu

de (

dB)

H(s)G(s)

10-1 100 101-540

-360

-180

0

180

Fas

e (d

eg)

Diagrama de Bode

Frequência (rad/s)

Figura 3.1: Exemplo de rede crossover obtida com H(s) gerada por aproximacao

elıptica com 1 dB de ripple na banda de passagem e 60 dB de atenuacao mınima na

faixa de rejeicao.

Com estas consideracoes, temos, entao, como H(s) adequada para aplicacao, a

funcao apresentada na Eq. (3.4). Esta transferencia normalizada pode ser obtida

facilmente atraves de programas numericos ou com auxılio de gabaritos.

H(s) =1

s3 + 2s2 + 2s+ 1(3.4)

3.2.2 Sıntese do par de funcoes de transferencia passa-tudo

Determinada a funcao H(s) e tendo em maos o conjunto de Eqs. (2.5)-(2.8),

conseguimos calcular A1(s) e A2(s). E importante notar atraves de (2.7) e (2.8) que

os polos de A1(s) ± A2(s) sao os polos de H(s) e G(s). Isto possibilita entender o

procedimento da forma que sera ilustrado a seguir.

Se H(s) tiver ordem n, contera n polos. Desta forma, podemos afirmar que A1(s)

contera m polos e A2(s) k polos, de forma que m + k = n. Como consequencia de

n ser ımpar, por definicao (Secao 2.3), m e k serao: um par e outro ımpar. Assim,

18

observado que o conjunto de polos de H(s) define os polos de A1(s)±A2(s), podemos

tomar uma porcao par de polos de H(s) e construir A1(s) e a porcao ımpar restante

A2(s). A escolha dos polos que comporao cada transferencia, neste trabalho, deve

ser feita de forma a nao produzir filtros de coeficientes complexos. Para tanto, sendo

H(s) um filtro de coefientes reais, basta ao tomar polos complexos de H(s) para

uma montagem de AN(s), sempre os selecionar em pares conjugados. Um exemplo

pode ser visto na Fig. 3.2.

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

↑ A2(s)

← A1(s)

← A1(s)

Diagrama de polos e zeros

Eixo real (seconds -1)

Eix

o im

agin

ário

(se

cond

s-1

)

Figura 3.2: Selecao de polos de H(s) para implementacao de A1(s) e A2(s).

A escolha dos polos que comporao A1(s) e A2(s) determinam a transferencia

por completo, uma vez que nos filtros passa-tudo, os coeficientes do numerador da

transferencia sao iguais aos coeficientes do denominador em modulo. Computados

os coeficientes do par de passa-tudo, obtem-se G(s), dada definicao da Eq. (2.8).

A descricao manual do processo serve para ilustrar como chegamos a tres funcoes

de transferencia partindo de apenas uma. Consequencia da complementariedade do

sistema e da dependencia dos polos que o compoem. Todo procedimento pode ser

automatizado e um exemplo de script pode ser encontrado na referencia [3].

Seguindo este procedimento, partindo da funcao H(s) definida em (3.4) encontra-

mos:

19

A1(s) =s2 − s+ 1

s2 + s+ 1(3.5)

A2(s) = −s− 1

s+ 1(3.6)

G(s) =s3

s3 + 2s2 + 2s+ 1(3.7)

10-2 10-1 100 101 102

Frequência (rad/s)

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Gan

ho (

dB)

Resposta de ganho dos filtros passa-baixas e passa-altas

H(s)G(s)

Figura 3.3: Resposta de ganho de H(s) e G(s).

10-2 10-1 100 101 102

Frequência (rad/s)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Fas

e º

Resposta de fase dos filtros passa-tudo normalizados

A1(s)A2(s)

Figura 3.4: Resposta de fase de A1(s) e A2(s).

20

Atraves das Figs. 3.3 e 3.4 e possıvel ter boa visao qualitativa do funcionamento

da rede crossover obtida a partir da soma e subtracao de filtros passa-tudo. Para

tanto, devemos nos lembrar que, embora a resposta de modulo de A1(s) e A2(s)

sejam sempre iguais e unitarias, existe diferenca entre suas respostas de fase.

Em baixas frequencias, a diferenca de fase de A1(s) e A2(s) e nula, ou seja, sub-

metidos a uma mesma excitacao, os sinais encontrados na saıda dos filtros possuem

mesmo modulo e fase. Se os somarmos, obtemos como resultado o sinal original com

amplitude dobrada, por isso o fator de 1/2 em (2.7) e (2.8). E se subtrairmos as

saıdas dos passa-tudo, obtemos resultado nulo.

De forma analoga, ao passo que nos distanciamos da frequencia de sintonia do

crossover, a diferenca de fase dos filtros passa-tudo se aproximam de 180. Neste

caso, em altas frequencias, ao somarmos as saıdas obtemos como resultado zero, e

ao subtrairmos, recuperamos o sinal da entrada.

Em resumo, podemos observar por este exercıcio, acompanhado pelas Figs. 3.3 e

3.4, que a soma dos filtros passa-tudo reproduz uma transferencia passa-baixas e a

subtracao uma transferencia passa-altas.

3.3 Decomposicao Estruturalmente Passa-Tudo

Estabelecidas as funcoes de transferencia, devemos agora decompo-las de forma

a construı-las atraves de secoes estruturalmente passa-tudo. Seguindo o descrito na

Secao 2.2.1 e fatorando A1(s) e A2(s), obtemos:

A1(s) = 1− 2

1 + s+1

s

(3.8)

A2(s) = (−1) ·(

1− 2

1 + s

)(3.9)

Disto encontramos:

Y11(s) = 1s Y12(s) = 1s → c11 = 1 c12 = 1 (3.10)

21

Y21(s) = 1s → c21 = 1 (3.11)

3.4 Realizacao atraves de filtros Gm-C

Encontrados os coeficientes apos a expansao de A1(s) e A2(s), podemos imple-

mentar os respectivos filtros passa-tudo diretamente pelo proposto na Fig. 2.3. Em

verdade, para filtros de ordem ımpar, a estrutura proposta implementa -A(s). No

entanto, isto e um problema contornavel. Bastando apenas trocar os sinais que sao

aplicados as entradas do somador e subtrator para obter H(s) e G(s), descritos nas

Eqs. (2.7) e (2.8). Os resultados destas implementacoes diretas de A1(s) e A2(s)

estao representados nas Figs. 3.5 e 3.6, respectivamente.-

+

1

-+

1

- +

1

- +

1

-+

1

-+

1

- +2

- +2

-+

1

-+

1

-+

1

-+

1

Vin

Vout

1C =2

IC1IC1

VC1VC1

1C =1 1C =1

IC2IC2

VC2VC2

V1V1

Figura 3.5: Implementacao direta de A1(s).

Nos de saıda de OTAs, mesmo que nao conectados explicitamentes a um capaci-

tor, criam polos. Estes polos nao modelados surgem pela interacao da impedancia

22

-+

1

-+

1

- +

1

- +

1

-+

1

-+

1

- +2

- +2

-+

1-

+1

1

Vin

Vout

C =3

V2

IC3IC3

VC3VC3

Figura 3.6: Implementacao direta de A2(s).

de saıda e ganhos dos amplificadores com as capacitancias parasitas (oriundas por

capacitancias de portas de MOSFETs, por exemplo). Este problema ocorre nas

implementacoes das Figs. 3.5 e 3.6.

De antemao, deve-se ter em mente que as dimensoes dos transistores nao devem ser

demasiadamente grandes, para nao criar capacitancias parasitas de valores elevados,

e portanto, polos dentro da banda de interesse. Em contrapartida, a minimizacao

do comprimento de canal (L), visando a reducao das areas, tem impacto sobre a

distorcao harmonica total (DHT) introduzida pelo amplificador, por conta do efeito

de modulacao de canal em transistores [11]. Alem disto, diminuir o comprimento

de canal tambem reduz a impedancia de saıda do amplificador, o que distancia o

amplificador operacional de transcondutancia de suas caracterısticas ideais.

Logo, deve haver um compromisso entre a reducao da area de silıcio ocupada,

visando reduzir capacitancias parasitas e custos de fabricacao, e a escolha do com-

primento de canal adequado para manter o comportamento linear do filtro.

23

Va

Vb

Cp

Vogm

-+

gm

-+

gm-+

gm-+

Figura 3.7: Problema com polos nao modelados devido a capacitores parasitas.

As secoes dos circuitos passa-tudo implementados acima que nao sao utilizadas

para geracao de parcelas integrativas sofrem com o problema do polo nao modelado.

As secoes responsaveis por implementar parcelas integrativas ja interagem com um

capacitor de valor elevado (quando comparado aos parasitas), o que torna este pro-

blema desprezıvel nestas secoes. O problema esta ilustrado na Fig. 3.7. Neste

exemplo, temos que:

VoVa − Vb

=1

1 + sCpgm

→ fCp =gm

2πCp

(3.12)

Com gm = 200 nA/V qualquer valor de Cp > 1.59 pF produziria um polo abaixo

de f = 20 kHz, ou seja, dentro da faixa de audio. Alem disso, para que nao interfira

na resposta do filtro, e desejavel que este polo fique posicionado em frequencia bem

acima da maxima frequencia aplicavel ao sistema. Capacitancias desta ordem nao

sao difıceis de serem obtidas com capacitores parasitas de transistores e trilhas de

roteamento em circuito integrado quando sao utilizados transistores de dimensoes

elevadas. Neste projeto, encontramos capacitancias da ordem de 800 fF conectadas

a estes nos sensıveis, valor grande o suficiente para produzir polos dentro da faixa

de interesse quando ganho de transcondutancia assumir seu valor mais baixo, gm =

100 nA/V.

Uma solucao para amenizar este problema e a utilizacao de amplificadores com ga-

nho de transcondutancia mais elevado. Esta abordagem, sem realizar modificacoes,

24

imporia a utilizacao de capacitores de valores mais elevados para atingir as funcoes

de transferencias desejadas. Mas, alternativamente, podemos observar que e possıvel

utilizar dois tipos de amplificadores neste circuito.

Como mencionado anteriormente, os amplificadores responsaveis por compor as

parcelas integrativas ja possuem um capacitor muito maior que os parasitas conec-

tado aos seus nos de saıda. Assim, podem ter ganho de transcondutancia menor,

exatamente como desejado. Por sua vez, os amplificadores responsaveis por imple-

mentar funcoes algebricas nao precisam ter o mesmo ganho que os responsaveis por

construir integradores. Basta que estes possuam a mesma relacao de ganho entre si.

Desta forma, para essa ultima classe de amplificadores, podemos empregar ganhos

mais elevados.

Seguindo esta estrategia, podemos estabelecer duas classes de amplificadores, um

de baixo ganho (gm2) e outra de alto ganho (gm1). A classe de baixo ganho sendo

aplicada na construcao de integradores e a de alto ganho para implementacao das

funcoes de soma e subtracao. Outra importante diferenca nesta abordagem e que

os amplificadores de alto ganho, por nao influırem no posicionamento dos polos e

zeros do sistema, nao necessitam ser sintonizaveis.

Alem desta diferenciacao entre os amplificadores, podemos fazer algumas modi-

ficacoes na topologia original de forma a utilizar menos OTAs e melhorar o casa-

mento entre os ganhos. Na implementacao original, apresentada nas Figs. 3.5 e 3.6,

o amplificador de ganho 2 pode ser substituıdo por dois amplificadores de ganho

unitario em paralelo. Embora esta abordagem gaste mais transistores e mais area

de silıcio existe maior garantia que este conjunto implementara ganho igual ao do-

bro do unitario. Mudancas de roteamento podem ser feitas a fim de economizar o

numero de amplificadores utilizados. Os circuitos com as melhorias implementadas

podem ser vistos nas Figs. 3.8 e 3.9. A equivalencia entre as versoes originais e

otimizadas de A1(s) e A2(s) pode ser demostrada observando a corrente que flui

sobre o capacitor C1 em A1(s) e C3 em A2(s).

25

-+

gm

-+

gm

-+

gm

-+

gm

-+gm

-+gm

-+

gm

-+

gm-

+

gm

-+

gm

1

Vin

Vout

C =1

1C =2

- +gm

- +gm

1

1 1

2

2

2

IC1IC1

VC1VC1

IC2IC2

VC2VC2

IAIA

IBIB

Figura 3.8: Implementacao otimizada de A1(s).

Na versao original de A1(s), Fig. 3.5, temos que a corrente IC1 e igual a:

IC1 = gmunit(V1 − VC2), (3.13)

logo,

IC1 = gmunit(Vin − VC1 − VC2). (3.14)

Na versao otimizada deste filtro, Fig. 3.8, a mesma corrente e descrita como:

IC1 = IA + IB = gm2(Vin − VC1) + gm2(−VC2), (3.15)

ou seja,

IC1 = gm2(Vin − VC1 − VC2). (3.16)

Podemos observar atraves de (3.14) e (3.16) que a porcao modificada do circuito

continua implementando a mesma funcao, guardada a mudanca do ganho de trans-

condutancia. O ganho gmunit = 1 e o utilizado no projeto normalizado e gm2 e

26

o que desejamos implementar. A mudanca do ganho unitario para o nominal sera

compensada adiante ao se reescalar o valor das capacitancias, ate entao, tambem

unitarias.

Na versao original de A2(s), Fig. 3.6, por sua vez, temos que a corrente IC3 e

igual a:

IC3 = gmunit(V2), (3.17)

logo,

IC3 = gmunit(Vin − VC3). (3.18)

Na versao otimizada deste filtro, Fig. 3.9, a mesma corrente e descrita como:

IC3 = gm2(Vin − VC3). (3.19)

Portanto, de forma analoga ao discutido com A1(s), podemos concluir que os cir-

cuitos para A2(s) sao equivalentes ao observar as Eqs. (3.18) e (3.19).

-+

gm

-+

gm

-+

gm

-+

gm

-+gm

-+gm

1

Vin

Vout

C =3

- +gm

- +gm

1

1 1

2

IC3IC3

VC3VC3

Figura 3.9: Implementacao otimizada de A2(s).

Em resumo, podemos observar que os nos V1 e V2, nas implementacoes originais,

existem apenas para efetuar a subtracao entre as tensoes Vin e VC1 e Vin e VC3 ,

respectivamente. Estas operacoes podem ser realizadas de formas alternativas, eco-

nomizando um amplificador em A2(s) e eliminando esses nos, que nao possuem um

capacitor explicitamente conectado.

27

Realizadas as transferencias de A1(s) e A2(s), fica pendente apenas a realizacao

dos circuitos capazes de realizar a soma, subtracao e a divisao por dois requeridas

pelas Eqs. (2.7) e (2.8) para alcancar H(s) e G(s). Por conta do ja explicado

anteriormente, estes blocos algebricos serao implementados utilizando amplificadores

de alto ganho. Vale notar que a operacao de divisao pode ser feita antes ou depois do

processamento do sinal de entrada. Realizar a operacao logo que o sinal de excitacao

adentra a rede crossover e vantajoso, pois possibilita que os circuitos posteriores

recebam uma excitacao de menor amplitude, e portanto, operem em regiao mais

linear. Os blocos responsaveis pela divisao por dois, soma e subtracao podem ser

vistos nas Figs. 3.10 e 3.11, respectivamente.

-+

gm

-+

gm

-+

gm

-+

gm

Vi

Vi

2

1

1

Figura 3.10: Rede atenuadora responsavel por dividir o sinal aplicado por dois.

28

-+

gm

-+

gm

-+

gm

-+

gm

-+

gm

-+

gm

-+

gm

-+

gm

V

V

V

V

1

1

2

2

V1 V2

V1 V2

-

+

1

1

1

1

(a)

(b)

Figura 3.11: Subtrator (a) e somador (b) utilizados para obter o passa-baixas e

passa-altas partindo do par de passa-tudos.

Finalmente, depois de discutidos e implementados todos os blocos basicos, temos

o necessario para construir o circuito completo para a rede crossover. O resultado

final, apos feitas as interconexoes, pode ser visto na Fig. 3.12.

29

-+

gm

-+

gm

-+

gm

-+

gm

V (s)

1

1

-+

gm

-+

gm

-+

gm

-+

gm

-+gm

-+gm

-+

gm

-+

gm

-+

gm

-+

gm

1C =1

1C =2

- +gm

- +gm

1

1 1

2

2

2

-+

gm

-+

gm

-+

gm

-+

gm

-+gm

-+gm

1C =3

- +gm

- +gm

1

1 1

2

-+

gm

-+

gm

-+

gm

-+

gm

-+

gm

-+

gm

-+

gm-

+gm

1

1

1

1

A (s)

H(s)

G(s)

1

-A (s)2

IN

Figura 3.12: Circuito da rede crossover, composto pelos filtros passa tudo A1(s) e

A2(s) e pelos blocos algebricos de soma, subtracao e atenuacao.

30

3.5 Projeto dos OTAs

Conforme discutido anteriormente, a fim de minimizar problemas com elementos

parasitas, este projeto contara com dois tipos de amplificadores: os de baixo ganho e

de alto ganho. Realizar amplificadores de transcondutancia com baixo ganho e boa

linearidade, por sua vez, nao e trivial. Para esta categoria, seguiremos as tecnicas

exploradas por SOARES et al. [8]. A diferenca entre a tecnica utilizada no presente

trabalho e a citada acima e o estagio de saıda dos amplificadores, que naquela e

diferencial e nesta e simples em cascode dobrado [12].

3.5.1 Recursos empregados

No trabalho referido, sao obtidos amplificadores com baixo ganho de transcon-

dutancia, boa linearidade e capacidade de sintonia. O ganho ajustavel e alcancado

com o uso de um MOSFET operando em triodo como um resistor de degeneracao

para o par diferencial de entrada do OTA, conforme Fig. 3.13. O ganho efetivo do

par diferencial fica ditado pela resistencia equivalente do MOSFET, conforme

Rs =L

kNW (VGS − Vt)(3.20)

e

gm =2

2gmpar

+Rs

≈ 2

Rs

se gmpar 2

Rs

. (3.21)

Ajustando-se a tensao de porta do MOSFET em triodo e possıvel ajustar sua re-

sistencia equivalente, e portanto, o ganho do amplificador.

Para alcancar baixos ganhos de transcondutancia, sem precisar de resistores de

degeneracao elevados, e portanto, transistores de degeneracao muito longos, sao

utilizados divisores de tensao ativos e divisores de corrente, ilustrados nas Figs.

3.14 e 3.15.

O divisor de tensao ativo possui ganho descrito por

AV =VAV

= 1−√

λ

λ+ 1sendo λ =

WA2/LA2

WA1/LA1

. (3.22)

Ao coloca-lo em serie com a entrada do amplificador, a tensao que efetivamente e

amplificada e menor que a aplicada as entradas do OTA. Isto reduz o ganho efetivo

31

Vtun

VDD

Mpar Mpar

VDD

IB IB

MTriodoVin+Vx Vin - Vx

IB - Ix IB+Ix

Ix

Figura 3.13: Par diferencial degenerado por MOSFET em triodo.

V+ V-

MA1

MA2

MA1

MA2

VA+ VA-

Figura 3.14: Divisor de tensao ativo.

do amplificador e melhora a linearidade, uma vez que ao aplicar tensoes menores,

o par diferencial opera mais proximo da condicao de pequenos sinais e o transistor

de degeneracao permanece operando em triodo. Pode-se compreender facilmente o

que ocorre atraves do seguinte exemplo:

Seja gm =iovi, se vi = AV · VIN , Gm =

ioVIN

= AV · gm (3.23)

Para tanto, tomemos vi e gm como sendo, respectivamente, a tensao aplicada ao

par diferencial do OTA e o ganho de transcondutancia do par, e VIN e Gm como

a tensao aplicada ao atenuador ativo e o ganho efetivo do OTA quando a entrada

do par diferencial recebe o sinal atenuado pelo divisor. Dado que AV e sempre

32

menor que um, o ganho efetivo do amplificador e sempre menor que o ganho do par

diferencial e dependente de λ.

O funcionamento do divisor de corrente, ilustrado na Fig. 3.15, pode ser explicado

de forma similar. A corrente de sinal Ix, gerada pelo transistor de degeneracao ao

sofrer uma diferenca de potencial VDS = v1 − v2, e coletada pelos transistores Mpar

e Mdiv. Sendo o comprimento de canal L o mesmo para todos os transistores,

Wdiv = N ·Wpar e VGSdiv= VGSpar , dado que a corrente de dreno e descrita por

ID =1

2kPW

L(VGS − Vt)2, (3.24)

podemos concluir que o transistor Mdiv coleta uma porcao de corrente igual a NN+1

de Ix. Resta, entao, para o par diferencial apenas 1N+1

de Ix.

Vtun

VDD VDD

(N+1)IB (N+1)IB

Mpar MparMdiv Mdiv

v1 v2

V+ V-MTriodo

Ix

Figura 3.15: Divisor de corrente.

Como a corrente de saıda do OTA e proporcional a corrente do par diferencial,

ao reduzir a corrente Ix por fator N + 1, reduz-se tambem o ganho efetivo do

amplificador por um fator N + 1, conforme ilustrado pelo exemplo:

Seja gm =Ixvi, se Io =

IxN + 1

, Gm =Iovi

=gm

N + 1. (3.25)

Para esta analise, considerar que gm e Ix sao, respectivamente, o ganho e a corrente

de saıda de um amplificador antes do uso do divisor de corrente e Gm e Io sao o

ganho e a corrente de saıda obtidos com o amplificador ao aplicar um divisor de

corrente. Os transistores possuem larguras de canal tais que Wdiv = N ·Wpar.

33

Reunindo estas estrategias, obtemos o circuito representado na Fig. 3.16. A

expressao para o ganho do amplificador completo e descrita por

Gm =2

Rs

1

N + 1

(1−

√λ

λ+ 1

), (3.26)

onde λ e a razao entre as razoes de aspecto dos transistores que compoem o fator

de atenuacao do divisor de tensao ativo, N a razao do divisor de corrente e Rs a

resistencia equivalente do transistor de degeneracao.

Vtun

VDD VDD

(N+1)IB (N+1)IB

Mpar Mpar

Mdiv Mdiv

v1 v2

2IB 2IB

VDD

V+ IOUT

Vbx

Vby

VDD

V-

VDD

VDD

MA1 MA1

MA2 MA2

M1 M1

M2 M2

M3 M3

MTriodo

Figura 3.16: Amplificador Operacional de Transcondutancia dotado das estrategias

para atingir baixo ganho.

Para os amplificadores de alto ganho sera utilizada basicamente a mesma topo-

logia que os de baixo ganho. No entanto, dados os diferentes requisitos para estes

amplificadores de alto ganho, existirao algumas diferencas: nao serao empregados

divisores de corrente e os divisores de tensao serao empregados apenas para melhorar

a linearidade do par, com atenuacao menor possıvel. Alem disso, serao utilizados

transistores com comprimento de canal menor, o que confere maior corrente de pola-

rizacao e maior ganho de transcondutancia ao amplificador. Com estas modificacoes,

estes amplificadores de alto ganho serao regidos por

Gm =2

Rs

(1−

√λ

λ+ 1

). (3.27)

34

3.5.2 Implementacao

O projeto do circuito integrado sera conduzido para o processo de fabricacao

CMOS de 0.35 µm e 3.3 V da AMS, cujos parametros aproximados sao descritos

na Tab. 3.1. Para inicializar o dimensionamento dos transistores, devemos definir

a corrente de polarizacao do amplificador. O dimensionamento dos componentes

neste trabalho e realizado atraves de varreduras parametricas utilizando simulador,

pois a estimativa feita manualmente, utilizando modelos de nıvel 1, nao traduzem

tao bem o comportamento do transistor em circuito integrado quanto os modelos de

nıveis elevados empregados no simulador, utilizando os parametros fornecidos pelo

pretenso fabricante do integrado.

Parametro Valor

kN 170 µA/V

Vthn 0.5 V

kP 58 µA/V

Vthp -0.65 V

Tabela 3.1: Parametros do processo de fabricacao.

3.5.2.1 Definicao da corrente de polarizacao

A relacao entre a corrente maxima de saıda do amplificador na arquitetura utili-

zada e a corrente de polarizacao e descrita por

Io = 2IB → Gm =2IBvD

. (3.28)

Podemos encontrar a corrente de polarizacao demandada para suprir o pior caso

de operacao dos amplificadores. Este cenario e alcancado quando os OTAs sao

submetidos a maior tensao diferencial de entrada vD e implementam o maior ganho

Gm desejado.

Logo, como foi especificado atingir fc = 2 kHz com Gm = 200 nA/V para al-

cancarmos fmin = 1 kHz e fmax = 4 kHz, e necessario suprir Gmmin = 100 nA/V e

Gmmax = 400 nA/V. Quanto a tensao diferencial maxima aplicavel a entrada, sendo

um circuito com alimentacao de 3.3 V, podemos assumir, para pior caso, vDmax =

3.3 V.

35

Desta forma, aplicando a Eq. (3.29), obtemos o resultado IB = 660 nA . Vale

notar que este valor de corrente de polarizacao reflete o mınimo necessario para que

o amplificador consiga produzir uma corrente em sua saıda proporcional a seu ganho

ate os limites de excursao do sinal de entrada.

IB =Gmmax · vDmax

2(3.29)

MOSFETs com dimensoes submicrometricas sofrem com efeitos de canal curto

[13, 14, 15], alem da impedancia de saıda dos amplificadores ser diretamente pro-

porcional ao comprimento de canal, conforme Eq. (3.30). Assim, deve-se evitar

L < 1 µm e escolher o valor para o comprimento de canal que resulte em transisto-

res de dimensoes razoaveis, ou seja, W da ordem de grandeza de L, para a corrente

de polarizacao definida. Portanto, a escolha do comprimento de canal L para basear

o dimensionamento dos transistores dos amplificadores tem relacao com a corrente

de polarizacao a ser definida.

Correntes de polarizacao da ordem de IB = 660 nA produz transistores com lar-

gura de canal muito pequena para comprimento de canal da ordem de unidades

de micrometros. Por isto, definiu-se IB = 2 µA. O acrescimo na corrente de pola-

rizacao tem por desvantagens a elevacao no consumo de energia circuito e reducao

da impedancia de saıda do amplificador. Como nao existe um requisito de consumo

neste projeto, portanto, isto nao representa um problema. No entanto, a reducao

da impedancia de saıda nao e desejavel para amplificadores de transcondutancia.

Logo, visando elevar a impedancia de saıda, arbitrou-se um comprimento de canal

razoavelmente maior que o mınimo, um micrometro, definiu-se L = 5 µm.

Ro ∝ L

IB(3.30)

Um benefıcio da elevacao da corrente de polarizacao e que o ganho de transcon-

dutancia do par diferencial do OTA e proporcional a ela, conforme:

gm =

√2kP

W

LIB. (3.31)

36

Parametro Valor

IB 2 µA

L 5 µm

Tabela 3.2: Parametros obtidos a partir de criterios de polarizacao para OTA de

baixo ganho.

Elevar IB aumenta o ganho de transcondutancia obtido para um dado W/L e facilita

o cumprimento da Eq. (3.21). Ou seja, elevar a corrente de polarizacao facilita a

obtencao de um par diferencial degenerado mais linear, uma vez que o ganho fica

mais fortemente definido pelo componente de degeneracao.

3.5.2.2 Fontes de corrente

As fontes de corrente exibidas na Fig. 3.16 serao implementadas com transistores

como nas Figs. 3.17 e 3.18.

VDD

Vb2

VDD

M5 M5

M6 M6

Vb1

(N+1)IB (N+1)IB

Figura 3.17: Fonte de corrente tipo P, de valor (N + 1)IB.

As fontes de corrente, M5 - M6 e M4, bem como os transistores M1 - M3 do

estagio de saıda, foram dimensionados de forma a maximizar a excursao de sinal.

Para que o MOSFET continue operando em saturacao, e necessario que o enunciado

na Eq. (3.32) seja respeitado.

37

2IB 2IB

Vb3M3M3

Vb4M4 M4

IB

IB

IB IB

VDD

IOUT

Vb2

VDD

M1 M1

M2 M2

Figura 3.18: Fonte de corrente tipo N, de valor 2IB.

|VDS| ≥ |VGS − Vth| (3.32)

Definindo ∆VGS = |VGS − Vth|, podemos concluir que a minimizacao de ∆VGS

maximiza a regiao de operacao em saturacao do transistor. De acordo com [16], a

menor tensao ∆VGS que garante a operacao em regime de inversao forte do canal

de um MOSFET e ∆VGS = 200 mV. Por outro lado, e necessario que haja uma

pequena folga no valor de VDS para garantir que o transistor permaneca operando

em saturacao, conforme Eq. (3.33). As tensoes de porta resultantes para atingir

estes requisitos sao nomeadas de Vb1 − Vb4 nas Figs. 3.17 e 3.18.

|VDS| = ∆VGS + 100 mV = 300 mV (3.33)

Para obtermos as larguras de canais W dos MOSFETs M1 - M6, faremos a

varredura parametrica desta dimensao por simulacao. Para tanto, serao fixadas as

tensoes de polarizacao, de acordo com Eq. (3.32) e (3.33), e L = 5 µm, definido

anteriormente. O dimensionamento sera feito selecionando o valor de W que apre-

38

Transistor |ID|(µA)

M1 −M3 2

M4 −M6 4

Tabela 3.3: Correntes de polarizacao dos transistores que implementam fontes de

corrente.

Transistor W (µm) L(µm)

M1 −M2 7.4 5

M3 3.4 5

M4 6.8 5

M5 −M6 14.8 5

Tabela 3.4: Dimensoes dos transistores que implementam fontes de corrente.

sentar o valor de ID desejado para o transistor em teste. Os valores de corrente

esperados estao listados na Tab. 3.3. O dimensionamento dos transistores M5−M6

foram feitos considerando-se N = 1 para o divisor de corrente, como sera abordado

adiante.

O resultado do dimensionamento, bem como as tensoes de controle ja ajustadas

para refletir melhor os resultados encontrados para o ∆VGS obtido em simulacao,

incluindo compensacoes por efeito de corpo, podem ser vistos nas Tabs. 3.4 e 3.5.

O circuito para geracao das tensoes de controle nao sera abordado neste trabalho,

mas pode ser encontrado na literatura.

Tensao de Controle Valor (V)

Vb1 2.37

Vb2 2.00

Vb3 1.09

Vb4 0.705

Tabela 3.5: Tensoes de polarizacao para transistores do OTA.

39

3.5.2.3 Atenuador de tensao ativo

O projeto do atenuador de tensao e composto basicamente pela escolha de λ, Eq.

(3.22), para alcancar a atenuacao desejada. No entanto, existem alguns graus de

liberdade no projeto, uma vez que a atenuacao so define a relacao entre os tran-

sistores MA1 e MA2 (Fig. 3.14). Um criterio para a escolha das dimensoes destes

transistores e a minimizacao da area ocupada em funcao de um determinado fa-

tor de atenuacao. A minimizacao desta area reduz o espaco ocupado no circuito

e, principalmente, diminui as capacitancias intrınsecas do transistores [17]. Estas

capacitancias aparecem nas entradas dos amplificadores que utilizam o atenuador e

sao facilmente fonte de problemas. Exemplos sao a criacao de polos nao modelados

ao conectar saıdas a entradas de amplificadores, ou perda de acuracia na realizacao

de coeficientes devido a criacao de malhas envolvendo estes capacitores parasitas e

os capacitores do circuito.

E desejavel que os comprimentos de canais envolvidos sejam maiores que 1 µm

para evitar os problemas com canal curto e, uma vez que λ e dependente da relacao

entre as dimensoes dos transistores, e importante que exista um bom casamento entre

os dispositivos que compoem a razao para poder realiza-la de forma mais acurada.

A solucao utilizada para atender a estes requisitos de casamento e minimizacao de

area e demostrada a seguir.

Dado que o valor de λ e o definidor do fator de atenuacao do atenuador de tensao

ativo, de acordo com a Eq. (3.22), podemos maximizar o esforco para atingir um

determinado fator de atenuacao assumindo

WMA2= LMA1

= k e LMA2=

k2

λWMA1

. (3.34)

Isto porque ambos os valores, WMA2e LMA1

, contribuem no numerador da Eq.

(3.22), que define λ. Aplicada esta restricao, podemos enunciar a area ocupada pelo

atenuador ativo da seguinte forma:

A(WMA1) = LMA1

·WMA1+ LMA2

·WMA2= k

(WMA1

+k2

λWMA1

). (3.35)

Minimizar a area do divisor ativo reduz tambem as capacitancias intrınsecas destes

dispositivos, responsaveis por boa parte das capacitancias parasitas do circuito.

40

Podemos alcancar isto encontrando o valor de WMA1que minimiza a area descrita

na equacao anterior (3.35) :

∂A

∂WMA1

= 0→ WMA1=

k√λ

. (3.36)

Aplicando o resultado encontrado acima (3.36) na Eq. (3.34), obtemos as dimensoes

para os transistores do atenuador ativo que implementam a atenuacao desejada

ocupando area mınima:

WMA1=

k√λ, LMA1

= k, WMA2= k, LMA2

=k√λ

(3.37)

Esta solucao, enunciada nas Eqs. (3.36) e (3.37), sugere que, caso se deseje que

as dimensoes dos transistores sejam descritas por numeros racionais (mais faceis e

precisos de serem implementados), e necessario que o valor do fator de atenuacao λ

seja um quadrado perfeito.

Vale notar que o resultado enunciado na Eq. (3.37) privilegia o casamento entre

os dispositivos MA1 e MA2. Isto porque, desta forma, MA1 pode ser realizado com k

transistores identicos MU em serie e MA2 com k destes em paralelo, conforme Fig.

3.19.

41

V+ V-

MU

VA+ VA-

MU MUMU MU

MU MUMU MU

MUMU MU

k transistores MU

em paralelo

k transistores MU

em série

Figura 3.19: Implementacao otimizada para o casamento e utilizacao de area do

divisor de tensao ativo.

Tomadas estas consideracoes, definiremos λ = 9. Este valor ja e capaz de prover

uma boa atenuacao (AV ≈ 0.051) sem crescer exageradamente as dimensoes do

atenuador. Com este valor de λ, para obter WMA1e LMA2

inteiros, e necessario que

k seja multiplo de 3. A opcao que minimiza a area sem resultar em transistores com

dimensoes submicrometricas e k = 3. Com isto, temos as dimensoes enunciadas na

Tab. 3.6, que resultam na arquitetura de 3 transistores de W = L = 1 µm em serie

para realizar MA1 e 3 em paralelo para MA2.


MA1 1 3

MA2 3 1

MU 1 1

Tabela 3.6: Dimensoes de MA1 e MA2

42

3.5.2.4 Divisor de corrente

Como a atenuacao obtida com o atenuador de tensao ativo ja e razoavel, empre-

garemos N = 1. Desta forma garantimos uma boa reducao ao ganho de transcon-

dutancia do par diferencial sem reduzir demasiadamente a amplitude do sinal de

entrada, que pode aproximar o sinal de interesse ao nıvel do ruıdo. A dimensao

dos transistores do divisor sera obtida conjuntamente com o dimensionamento dos

transistores do par diferencial.

3.5.2.5 Par diferencial

O par diferencial do OTA e os transistores que compoem o divisor de corrente

estao submetidos a uma tensao de polarizacao de porta igual a tensao de saıda do

atenuador ativo. Portanto, para seu dimensionamento, e importante saber o valor

desta tensao, dada a Eq. (3.38).

gm =2ID

|VGS − Vth|=

2IB∆VGS

(3.38)

Para um projeto mais acurado no sentido de refletir melhor as grandezas encontra-

das apos a fabricacao do integrado, a tensao de saıda do atenuador ativo foi obtida

atraves de simulacao com os parametros encontrados na Tab. 3.6. O resultado foi

que VGPAR= 46.73 mV.

Neste ponto, existe a liberdade de escolher o valor de gm ou ∆VGS. A escolha de

∆VGS do par diferencial esta atrelada aos limites de ajuste do MTriodo. Para ilustrar

isto, seguindo a notacao de ∆VGS = |VGS − Vth|, VthP< 0 e VthN

> 0, podemos

descrever VSPARe VGTriodo

como abaixo:

VSPAR= VGPAR

+ ∆VGSPAR − VthPAR (3.39)

VGTriodo= VSTriodo

+ ∆VGSTriodo + VthTriodo (3.40)

A topologia do par diferencial degenerado pode ser consultada na Fig. 3.16, dela

podemos observar que VSPAR= VSTriodo

. Realizando a substituicao, temos o enunci-

ado

VGTriodo= VGPAR

+ ∆VGSPAR − VthPAR + ∆VGSTriodo + VthTriodo. (3.41)

43

Desta equacao, podemos ver que as unicas variaveis que temos sao os ∆VGS,

uma vez que os valores para Vth sao determinados basicamente pelos parametros

do processo de fabricacao e VGPAResta definido pelo atenuador de tensao ativo. E

possıvel concluir que diminuir o ∆VGSPAR diminui a tensao mınima para por MTriodo

em conducao. Em verdade, a diminuicao de ∆VGSPAR diminui tambem VSTriodo, e

por consequencia, VthTriodo, uma vez que este transistor e atingido pelo efeito de

corpo por nao ter a tensao de fonte igual a tensao de corpo.

Assim, operar com ∆VGSPAR reduzido e duplamente benefico para extensao da

faixa de ajuste do amplificador e tambem propicia alcancar maiores ganhos de trans-

condutancia para o par diferencial com uma dada corrente de polarizacao, conforme

Eq. (3.38).

Neste projeto, foi escolhido o valor de ∆VGSPAR = 150 mV. Com este valor e

possıvel atingir teoricamente gm = 26.7 µA/V e VSPAR= 850 mV. Alem de ser capaz

de garantir MTriodo em conducao com VGTriodo≥ 1.8 V, para ∆VGSTriodo ≈ 200 mV.

A tensao de dreno de MPAR e definida pela tensao de dreno de M4, obtida no projeto

das fontes de corrente, e a corrente de polarizacao do par e igual a IB. Desta forma,

temos todas as variaveis necessarias para realizar a varredura e podemos chegar

a largura de canal dos transistores do par diferencial atraves de simulacoes. Os

resultados estao expostos na Tab. 3.7.


MPAR 28.4 5

Mdiv 28.4 5

Tabela 3.7: Dimensoes dos transistores do par diferencial e divisor de corrente.

3.5.2.6 Transistor de degeneracao do par diferencial

Para definicao do ganho do amplificador, descrito na Eq. (3.26), fica restando de-

finir apenas o valor de Rs. Porem, como o valor de Gm deve ser ajustavel numa faixa

de 100 nA/V a 400 nA/V, para que a Eq. (3.26) continue valida, e necessario que

a condicao da Eq. (3.21) continue valida. Caso contrario, o ganho do amplificador

44

passa a ser descrito por

Gm =2

Rs+ 2gm

1

N + 1

(1−

√λ

λ+ 1

)(3.42)

e o valor de Rs necessario para alcancar determinado Gm igual a

Rs =2

Gm

1

N + 1

(1−

√λ

λ+ 1

)− 2

gm, (3.43)

onde gm representa o ganho de transcondutancia dos transistores do par diferencial.

Considerando que a aproximacao permanece valida, ao isolar Rs na Eq. (3.26),

temos:

Rs =2

Gm

1

N + 1

(1−

√λ

λ+ 1

). (3.44)

Aplicando a equacao anterior a faixa de Gm desejada, obtemos o intervalo de valores

para Rs:

Rs ≈ [128 kΩ, 512 kΩ]. (3.45)

Neste intervalo, podemos observar que para os maiores valores de Rs, atrelado

aos menores valores de Gm, a aproximacao permanece razoavel. Por exemplo,

para o ganho nominal, Gm = 200 nA/V, temos Rs = 256.6 kΩ. Para este caso,

gm = 26.7 µA/V e ainda e cerca de 3.4 vezes maior que 2Rs

. No entanto, para

valores maiores de Gm, a aproximacao se torna ruim. Logo, embora a linearidade

do amplificador deva ser preservada, devido ao emprego do atenuador ativo e di-

visor de corrente, utilizar a Eq. (3.43) fornecera uma melhor estimativa para os

valores de Rs necessarios. Importante notar que a correcao necessaria e alcancada

com uma subtracao, basta retirar uma porcao igual a 2gm

de todo o intervalo obtido

anteriormente. Como resultado, temos:

Rs ≈ [53 kΩ, 437 kΩ]. (3.46)

De mao de uma boa estimativa, realizamos simulacoes para encontrar o tran-

sistor MTriodo que atendesse a Eq. (3.46). Depois, foi feito o ajuste fino deste tran-

sistor para que as curvas de ganho do amplificador coincidissem com o desejado. A

unica restricao foi utilizar W = 1 µm. Resultado na Tab. 3.8.

45


MTriodo 1 14

Tabela 3.8: Dimensoes do transistor utilizado como elemento de degeneracao.

3.5.2.7 Circuito final para OTA de baixo ganho

Resumindo o projeto do OTA de baixo ganho, obtemos o circuito demostrado nas

Fig. 3.20 e 3.21. Embora nao exposto na Fig. 3.20, os transistores Mdiv tambem

possuem tensao de corpo (VB) igual a sua tensao de fonte (VS). As dimensoes

dos transistores, encontradas nos passos anteriores, estao reunidas na Tab. 3.9.

Na pratica, MTriodo foi implementado pela serie de dois transistores, cada um com

comprimento de canal igual a metade do original. Os transistores M5-M6 foram

implementados pelo paralelo de dois transistores de mesmas dimensoes que M1 e,

de mesma forma, M4 pelo paralelo de dois transistores iguais ao M3. Isto garante

melhor casamento dos dispositivos e espelhamentos de corrente mais precisos [6].


M1-M2 7.4 5

M3 3.4 5

M4 6.8 5

M5-M6 14.8 5

MPAR 24.8 5

Mdiv 24.8 5

MTriodo 1 14

MU 1 1

Tabela 3.9: Dimensoes de todos os transistores projetados para o OTA de baixo

ganho.

3.5.2.8 Circuito final para OTA de alto ganho

Para solucao, podemos seguir todos os passos de projeto do amplificador de baixo

ganho. Valendo lembrar que aqui o ganho almejado sera diferente e nao havera

emprego de divisor de corrente. Visando mitigar os problemas introduzidos pelos

46

Vtun

Mpar MparMdiv

MTriodo

VDD

M5

M6

VDD

M5

M6

Vb1

Vb2

V+

MU

MU

MUMU MU

MU

VDD

Mdiv

V-

MU

MU

MU MUMU

MU

VDD

i+ i-

Figura 3.20: Circuito real do estagio de entrada do OTA de baixo ganho.

amplificadores responsaveis por implementar as funcoes algebricas, conforme expla-

nado na Secao 3.4, definimos para estes circuitos um ganho muito maior que a versao

de baixo ganho, Gm ≈ 20 µA/V. Para atingir este objetivo e necessario o emprego

de corrente de polarizacao mais elevada e e adequada a reducao do comprimento de

canal. Os resultados do dimensionamento para atingir estas configuracoes podem

ser vistos nas Tabs. 3.10 e 3.11.


M1-M2 54.2 2

M3 26.2 2

M4 52.4 2

M5-M6 54.2 2

MPAR 49.55 2

MTriodo 1 2

MU 1 2

Tabela 3.10: Dimensoes de todos os transistores projetados para o OTA de alto

ganho.

Ilustracao do circuito do estagio de entrada do OTA de alto ganho pode ser visto

na Fig. 3.22. A topologia do estagio de saıda e a mesma utilizada para o amplificador

47

VDD

IOUT

Vb2

Vb3

VDD

M1 M1

M2 M2

M3 M3

Vb4M4 M4

i+

i-

Figura 3.21: Circuito real do estagio de saıda dos OTAs.

Parametro Valor

IB 30 µA

L 2 µm

Tabela 3.11: Parametros obtidos a partir de criterios de polarizacao para OTA de

alto ganho.

de baixo ganho na Fig. 3.21.

3.6 Desnormalizacao do circuito

Por fim, apos dimensionado os amplificadores e projetados os filtros, e necessario

realizar a desnormalizacao da resposta em frequencia obtida na Secao 3.2.1, de forma

a posicionar a frequencia de cruzamento em 2 kHz e reescalar o valor dos capaci-

tores para que atinjam a resposta em frequencia especificada com OTAs de ganho

diferente do unitario, utilizado para projeto normalizado na Secao 3.4. Utilizaremos

o subscrito n para indicar variaveis normalizadas.

48

Vtun

Mpar Mpar

MTriodo

VDD

M5

M6

VDD

M5

M6

Vb1

Vb2

V+

MU

MU

VDD

V-

MU

MU

VDD

i+ i-

Figura 3.22: Circuito real do estagio de entrada do OTA de alto ganho.

O escalamento da frequencia de corte de uma funcao de transferencia e obtido

aplicando

s = s · ωn

ω. (3.47)

Temos que ω = 2π · 2000 rad/s e ωn = 1 rad/s. Alem disso, sabemos que os polos

em nosso filtro Gm-C normalizado sao regidos por termos descritos por

s =Gmn

Cn

. (3.48)

Isolando-se o capacitor e aplicando o escalonamento de frequencia descrito na Eq.

(3.47), temos o seguinte resultado:

s =ω

ωn

Gmn

Cn

=Gmn

Cn

(ωn

ω

) . (3.49)

No entanto, alem do deslocamento da frequencia de corte, tambem precisamos

fazer a modificacao do ganho de Gmn = 1 para Gm = 200 nA/V. Para modificar o

ganho sem deslocar a frequencia de sintonia ja ajustada no passo anterior, podemos

notar que basta multiplicar o numerador e denominador da Eq. (3.49) por GmGmn

,

onde Gmn representa o ganho normalizado, em nosso caso unitario, e Gm o ganho

almejado.

49

Na Eq. (3.50), podemos finalmente aplicar os valores de Gm e w deste projeto e

obter os valores de capacitancias adequados para aplicacao do circuito. Os valores

calculados para nossa aplicacao podem ser vistos na Tab. 3.12. As posicoes referidos

capacitores no circuito podem ser observadas na Fig. 3.12.

s =Gm

Cn

(ωn

ωGmGmn

) =Gm

C, onde C = Cn

ωn

Gmn

Gm

ω(3.50)

Capacitor Valor Normalizado (F) Valor Desnormalizado (pF)

C1 1 15.9

C2 1 15.9

C3 1 15.9

Tabela 3.12: Valores reais dos capacitores do circuito.

50

Capıtulo 4

Resultados

Neste capıtulo apresentaremos os resultados das simulacoes, buscando avaliar os

amplificadores operacionais de transcondutancia projetados, alem de, apresentar o

resultado obtido para a rede crossover proposta e implementada com estes amplifi-

cadores, conforme ilustrado na Fig. 3.12, onde os ganhos gm1 e gm2 serao realizados

com os OTAs de alto e baixo ganho, respectivamente.

4.1 Simulacoes dos OTAs

4.1.1 OTA de baixo ganho

Realizaram-se testes com o OTA de baixo ganho, a fim de avaliar sua confor-

midade para aplicacao no circuito. Inicialmente, foram realizados testes de ganho

de transcondutancia para verificar se o amplificador e capaz de produzir os valores

esperados. Na Fig. 4.1 podemos ver que o amplificador e capaz de produzir ganhos

de Gm = 100 nA/V a Gm = 400 nA/V, com tensoes de ajuste de Vtun = 1.8 V -

Vtun = 3.1 V. Um possıvel contraponto, ja esperado pela Eq. (3.20), e que o ajuste

de ganho nao varia linearmente com a tensao de sintonia Vtun. Atraves da Fig. 4.2

conseguimos observar variacao da resistencia equivalente de MTriodo em funcao da

tensao de ajuste e confirmar a nao-linearidade.

51

-3 -2 -1 0 1 2 3

Tensão diferencial de entrada (V)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Gan

ho d

e T

rans

cond

utân

cia

(S)

×10-7 Ganho do OTA de Baixo Ganho

Vtun=3.3vVtun=2.1vVtun=1.8v

Figura 4.1: Curvas de ganho de transcondutancia do OTA de baixo ganho para

diversas tensoes de ajuste.

1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

Tensão de ajuste de ganho Vtun (V)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Res

istê

ncia

(Ω

)

×105 Resistência Equivalente do MTriodo

L=14µm

Figura 4.2: Resistencia equivalente de MTriodo em funcao de Vtun para OTA de baixo

ganho.

Na Fig. 4.3 podemos observar testes feitos com o amplificador operando como

integrador. O ganho DC do circuito, caracterizado pelo produto Gm · Ro, varia de

aproximadamente 30.09 dB a 42.37 dB ao longo da faixa de ajuste do ganho de

transcondutancia. Podemos estimar a impedancia de saıda do OTA de baixo ganho

atraves dos resultados por Ro ≈ 330.38 MΩ. O integrador apresenta resposta de

52

fase de −45.03 na frequencia de corte e de −84.30 uma decada acima. Resultados

satisfatoriamente proximos ao ideal. Tambem e possıvel observar que o amplificador

e capaz de implementar a funcao de integrador com o maior capacitor empregado

no circuito por toda faixa de frequencia de interesse.

101 102 103 104 105-50

0

50

Gan

ho (

dB)

Resposta como integrador OTA Baixo Ganho - Cl = 15.9p

Gm=96.53nA/VGm=198.64nA/VGm=397.64nA/V

101 102 103 104 105

Frequência (Hz)

-100

-50

0

Fas

e (º

)

Figura 4.3: Avaliacao do OTA de baixo ganho como integrador, com capacitor de

carga Cl = 15.9 pF.

4.1.2 OTA de alto ganho

Os mesmos testes foram realizados com o OTA de alto ganho, os resultados para

curvas de ganho podem ser vistos na Fig. 4.4. Como nao precisa de ajuste, a tensao

de sintonia Vtun para estes OTAs serao fixadas no valor maximo (Vtun = 3.3 V), neste

ajuste o OTA apresenta Gm = 23.46 µA/V. No entanto, os testes foram realizados

para toda faixa de sintonia.

53

-3 -2 -1 0 1 2 3

Tensão diferencial de entrada (V)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Gan

ho d

e T

rans

cond

utân

cia

(S)

×10-5 Ganho do OTA de Alto Ganho

Vtun=3.3vVtun=2.1vVtun=1.8v

Figura 4.4: Curvas de ganho de transcondutancia do OTA de alto ganho para di-

versas tensoes de ajuste.

Uma observacao interessante, para demostrar o efeito da modificacao da tensao

VGPAR sobre a faixa de ajuste de transcondutancia, pode ser feita atraves da Fig.

4.4. Utilizar um fator de atenuacao λ mais baixo, faz com que os transistores Mpar

e Mdiv sejam submetidos a uma tensao VG mais elevada. Como desejamos manter

o amplificador linear, ∆VGSPAR foi mantido baixo para que gm >> 2Rs

e o ganho

do OTA seja mais fortemente determinado pelo MTriodo. Logo, temos o que foi

previsto pela Eq. (3.41), a elevacao de VGPAR reduziu a faixa de ajuste de ganho

deste OTA. Enquanto na versao de baixo ganho e possıvel atingir ganhos que vao de

Gm/2 a 2Gm com tensoes Vtun = 1.8 V - Vtun = 3.1 V, na versao de alto ganho, o

amplificador so apresenta operacao adequada para tensoes Vtun > 2.1 V com variacao

de ganho de aproximadamente tres vezes.

54

101 102 103 104 1050

20

40

60

Gan

ho (

dB)

Resposta como integrador OTA Alto Ganho - Cl = 15.9p

Gm=23.46µA/V

101 102 103 104 105

Frequência (Hz)

-100

-50

0

Fas

e (º

)

Figura 4.5: Avaliacao do OTA de alto ganho como integrador, com capacitor de

carga Cl = 15.9 pF.

Na Fig. 4.5 podemos encontrar que a impedancia de saıda do OTA de alto

ganho e de Ro = 12.52 MΩ. Em seu modo de operacao, ajustado para obter maior

ganho, o OTA apresenta ganho DC igual a 49.36 dB. Como integrador, tem res-

posta de fase de −44.91 na frequencia de corte e de −84.28 uma decada acima.

Resultados adequados a aplicacao.

4.2 Simulacoes da rede crossover

Apos testar os amplificadores, apresentaremos nesta secao os resultados da rede

crossover. Os testes incluem simulacoes das respostas em frequencia de magnitude

de H(s) e G(s), obtidos pela soma e subtracao de A1(s) e A2(s), bem como as

respostas de modulo e fase destas transferencias passa-tudo.

55

4.2.1 Resposta em frequencia de A1(s) e A2(s)

Atraves da Fig. 4.6 e da Fig. 4.7 vemos que a resposta de fase de A1(s) e A2(s)

estao de acordo com o esperado pela Fig. 3.4. Lembrar que implementamos −A2(s),

como discutido Secao 3.4, logo, e normal haver um desvio de 180 na resposta obtida.

101 102 103 104 105

Frequência (Hz)

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

Fas

e (º

)Resposta de Fase de A1(s)

Vtun=1.8Vtun=2.1Vtun=3.1

Figura 4.6: Resposta de fase de A1(s).

101 102 103 104 105

Frequência (Hz)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Fas

e(º)

Resposta de Fase de A2(s)


Figura 4.7: Resposta de fase de A2(s).

Entretanto, a resposta de modulo dos filtros passa-tudo nao seguem o especifi-

cado. Estes resultados podem ser vistos nas Figs. 4.8 e 4.9. Alem de existir um

56

distanciamento na posicao dos zeros e polos dos filtros, evidenciada pelo pequeno

desnıvel de modulo antes e depois da frequencia de sintonia, existe tambem diferenca

de modulo entre os filtros A1(s) e A2(s) quando avaliados em mesmas frequencias.

101 102 103 104 105

Frequência (Hz)

-0.45

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

Gan

ho (

dB)

Resposta de Ganho de A1(s)


Figura 4.8: Resultado da resposta de modulo do filtro A1(s) que compoem a rede

crossover.

101 102 103 104 105

Frequência (Hz)

-0.45

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

Gan

ho (

dB)

Resposta de Ganho de A2(s)


Figura 4.9: Resultado da resposta de modulo do filtro A2(s) que compoe a rede

crossover.

Esta diferenca de modulo produz artefatos nos filtros resultantes pela associacao

destes passa-tudo, principalmente na faixa de rejeicao dos filtros, quando as ate-

57

nuacoes envolvidas sao elevadas e estes erros residuais se tornam consideraveis. Para

exemplificar, realizamos a diferenca entre o modulo do ganho de A2(s) e A1(s), ilus-

trada na Fig. 4.10. No caso de os filtros passa-tudo estarem em fase em baixas

frequencias, a diferenca entre eles deveria ter resultado nulo e representar a trans-

ferencia passa-altas. No entanto, como nao estao perfeitamente casados, havera um

resultado residual, cuja amplitude e bem pequena e da ordem expressa na curva na

Fig. 4.10. Caso desejem-se atenuacoes na faixa de rejeicao do suposto passa-altas

mais elevadas do que estes erros residuais, e preciso que a diferenca de modulo entre

os filtros passa-tudo seja substancialmente menor.

101 102 103 104 105

Frequência (Hz)

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

Gan

ho (

dB)

Valor em dB da diferença de ganho A1(s) e A2(s)


Figura 4.10: Ganho residual existente na subtracao dos ganhos de A1(s) e A2(s).

O distanciamento entre os polos e zeros da transferencia degrada as caracterısticas

passa-tudo dos filtros A1(s) e A2(s). Contribui, inclusive, para o descasamento

de ganho observado. Este efeito pode ser reproduzido, acrescentando resistencias

parasitas a saıda dos amplificadores integradores, ou seja, adicionando um resistor

de valor Rp em paralelo com os capacitores do filtro.

As funcoes de transferencia para os filtros A1(s) e A2(s) em termos de elementos

do circuito podem ser vistas em (4.1) e (4.2). Introduzir os resistores parasitas

citados faz a transferencia real se tornar a demostrada em (4.3) e (4.4).

58

A1(s) =s2C1C2 − gm2C2s+ gm2

2

s2C1C2 + gm2C2s+ gm22

(4.1)

A2(s) =sC3 − gm2

sC3 + gm2

(4.2)

A1(s) =s2C1C2 + (−gm2C2 + C1

Rp2+ C2

Rp1)s+ gm2

2 − gm2

Rp2+ 1

Rp1Rp2

s2C1C2 + (+gm2C2 + C1

Rp2+ C2

Rp1)s+ gm2

2 + gm2

Rp2+ 1

Rp1Rp2

(4.3)

A2(s) =sC3 − gm2 + 1

Rp3

sC3 + gm2 + 1Rp3

(4.4)

Podemos notar que a inclusao destas resistencias impoe justamente uma mudanca

na posicao das raızes do numerador e denominador das transferencias. A frequencia

dos zeros e reduzida e a dos polos elevada. Alem disto, na transferencia A1(s)

tambem existe modificacao do fator de qualidade do filtro, que pode ser confir-

mado pela mudanca na amplitude do pico de ressonancia com o ajuste do ganho

de transcondutancia. Analisando as equacoes, podemos concluir que a solucao para

minimizar estes efeitos e fazer o ganho de transcondutancia gm2 muito maior que o

inverso desta resistencia parasita Rp.

gm2 >>1

Rp

→ Gm ·Ro >> 1 (4.5)

Em verdade, esta resistencia em paralelo com os capacitores existe. A impedancia

de saıda dos amplificadores aparece exatamente desta forma no circuito. De mesma

forma, vale notar que o ganho gm2 e o ganho dos OTAs que implementam os integra-

dores. Assim, podemos traduzir esta situacao pela Eq. (4.5), ou seja, quanto maior

o ganho DC do amplificador, menores serao os problemas com a descaracterizacao

da resposta passa-tudo.

4.2.2 Resposta em frequencia de H(s) e G(s)

Na Fig. 4.11 podemos observar o resultado da rede crossover implementada. Nela

sao apresentadas as respostas para tensoes de ajuste que propiciam a sintonia da

menor, nominal e maior frequencia de cruzamento especificada.

59

101 102 103 104 105

Frequência (Hz)

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Gan

ho (

dB)

Resposta de Ganho de H(s) e G(s)


Figura 4.11: Resultado da resposta de modulo da rede crossover.

E possıvel ver que existe uma atenuacao constante na faixa de rejeicao do filtro

passa-altas, cujo patamar varia de acordo com a tensao de ajuste. Tambem e per-

ceptıvel a mudanca na inclinacao das assıntotas dos passa-baixas por volta de uma

decada acima da frequencia de corte. Isto esta em desacordo com a resposta em

frequencia esperada para o par de funcoes H(s) e G(s) descritas na Eq. (3.4) e na

Eq. (3.7), respectivamente.

Um comparativo entre a transferencia ideal e a real para frequencia de cruzamento

no valor nominal, fc = 2 kHz, pode ser visto na Fig. 4.12. A transferencia ideal foi

obtida substituindo-se os OTAs projetados por ideais, compostos por uma fonte de

corrente controlada por tensao, cujo ganho de transcondutancia e o desejado para o

amplificador (Gm = 200 nA/V). Desta forma, podemos inferir que os erros nao sao

frutos de problemas na arquitetura do filtro e sim de nao idealidades dos OTAs.

A discussao realizada na subsecao anterior sobre o resıduo gerado pelo descasa-

mento de ganho entre os filtros passa-tudo se aplica ao problema que observamos.

Atraves daquela analise, conseguimos justificar o patamar na faixa de rejeicao das

realizacoes passa-altas da Fig. 4.11. Embora a aproximacao de Butterworth pre-

veja modulo crescente vindo de frequencia zero ate atingir -3 dB na frequencia de

corte, em nossa realizacao, o valor resıdual existente impede que exista sinal arbi-

60

101 102 103 104 105

Frequência (Hz)

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Gan

ho (

dB)

Comparativo da Resposta de Ganho Real e Ideal da Rede Crossover

RealIdeal

Figura 4.12: Comparativo entre a rede crossover ideal e a real para frequencia de

ajuste nominal.

trariamente pequeno na saıda para frequencias baixas e, desta forma, fica limitada

a atenuacao maxima obtida na faixa de rejeicao do passa-altas.

Adicionalmente, atraves da Fig. 4.13, podemos observar que os polos introduzi-

dos pelos capacitores parasitas se encontram em frequencia bem acima da maxima

aplicavel ao sistema, em aproximadamente 30 MHz, conforme desejavamos.

100 102 104 106 108

Frequência (Hz)

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Gan

ho (

dB)

Resposta de Ganho de H(s) e G(s)

Figura 4.13: Comparativo entre a rede crossover ideal e a real para frequencia de

ajuste nominal.

61

Foram feitas simulacoes para avaliar a distorcao harmonica total introduzida pelo

circuito ao sinal de entrada. Para estes testes, foram aplicados sinais senoidais com

frequencia uma decada abaixo da menor frequencia de cruzamento para avaliacao

do passa-baixas e uma decada acima da maior frequencia para o passa-altas. Logo,

temos fPB = 100 Hz e fPA = 40 kHz. Em um dos testes variou-se a tensao de

ajuste da frequencia de cruzamento (Vtun), mantendo a amplitude da excitacao em

1 Vpp. Em outro, manteve-se a tensao de ajuste naquela que prove frequencia

de cruzamento nominal (Vtun = 2.1 V - fc = 2 kHz) e variou-se a amplitude do

sinal de entrada. Os resultados podem ser vistos na Fig. 4.14 e na Fig. 4.15,

respectivamente.

1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

Tensão de ajuste de ganho Vtun (V)

-70

-65

-60

-55

-50

-45

DH

T(%

)

DHT em função da tensão de ajuste de ganho - Vin=500mV

G(s) - HPH(s) - LP

Figura 4.14: Distorcao Harmonica Total em funcao da tensao de sintonia.

62

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Amplitude do sinal de entrada (V)

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

DH

T(%

)

DHT em função da amplitude do sinal de entrada - Vtun=2.1v

G(s) - 40kHzH(s) - 100Hz

Figura 4.15: Distorcao Harmonica Total em funcao da amplitude do sinal de entrada.

Nestas simulacoes, obtemos que a distorcao harmonica total maxima quando apli-

cado um sinal de 1 Vpp e sempre inferior a -45 dB (≈ 0.56%) para o passa-altas

e -55 dB (≈ 0.18%) para o passa-baixas, em toda faixa de ajuste da frequencia de

cruzamento. E possıvel observar tambem que podemos aplicar excitacoes de entrada

de ate 2 Vpp sem elevar consideravelmente a DHT na saıda. Embora o resultado

do passa-altas tenha sido apenas regular quando comparado a aplicacoes similares

[2], a saıda passa-baixas apresentou valores interessantes, o filtro foi capaz de prover

menor DHT para um sinal de mesma relacao amplitude/tensao de alimentacao que

o obtido pelo trabalho de referencia para projeto dos amplificadores [8].

63

Capıtulo 5

Conclusoes

Ao longo deste trabalho foram demonstrados os recursos, metodos e desenvol-

vimentos para obtencao da rede crossover duplamente complementar especificada.

Focou-se na discussao de problemas e alternativas para mitiga-los, bem como na

tentativa de esclarecer todos os passos ate obtencao do resultado final.

O projeto das funcoes de transferencia duplamente complementares foi realizado

baseado em conhecimento encontrado na literatura. Definiu-se como funcao alvo

para construcao da rede um passa-baixas de terceira ordem, obtido pela aproximacao

de Butterworth. A escolha foi baseada no baixo ripple desta aproximacao na banda

de passagem, possıvel fonte de problemas, conforme discutido no texto.

Por conta da topologia da rede estruturalmente passa-tudo proposta e problemas

com capacitores parasitas, foi necessario o emprego de dois tipos de OTAs diferen-

tes para construcao do circuito. Amplificadores de alto ganho, responsaveis por

implementar funcoes algebricas e amplificadores de baixo ganho, responsaveis por

realizar as parcelas integrativas. A necessidade da existencia da categoria de baixo

ganho esta atrelada ao desejo de manter os capacitores do circuito contidos dentro

do circuito integrado. Ambos os tipos foram devidamente projetados e tiveram suas

especificacoes e resultados de projeto apresentados.

Os graficos e o dimensionamento dos transistores dos circuitos foram obtidos com

auxılio de simulador. Os amplificadores operacionais de transcondutancia apre-

sentaram as caracterısticas de ganho desejadas, bem como capacidade de operar

64

linearmente dentro da faixa de frequencias aplicaveis ao circuito. A rede crossover,

no entanto, apresentou nao idealidades. Foram feitas discussoes sobre as possıveis

fontes dos erros experimentados e indicados caminhos para tentativa de solucao.

Contudo, o projeto da rede crossover pode ser considerado bem sucedido, uma vez

que conseguimos obter o circuito estruturalmente passa-tudo e duplamente comple-

mentar. Embora o filtro passa-altas apresente distorcao harmonica total e atenuacao

na faixa de rejeicao relativamente elevados, a transferencia passa-baixas apresentou

bons resultados de linearidade, dados os valores de DHT obtidos para sinais de

amplitudes consideraveis, o que motiva maiores investigacoes e testes com a arqui-

tetura.

5.1 Trabalhos Futuros

A demanda imediata para melhoria do trabalho e a implementacao dos filtros uti-

lizando OTAs que apresentem maior ganho DC que a topologia empregada. Vimos

que boa parte das caracterısticas nao ideais obtidas nas transferencias passa-tudo

podem ser reduzidas com a elevacao do produto Gm ·Ro. Uma vez obtidos melhores

resultados neste aspecto, pode-se partir para melhor caracterizacao da composicao

da distorcao harmonica total e o porque dela ser muito maior na transferencia passa-

altas, alem de simulacoes para avaliar a relacao sinal-ruıdo. Tendo mitigado os

problemas e caracterizado bem o circuito, pode-se finalmente realizar o layout e

fabricacao para, entao, executar ensaios visando validar os resultados obtidos nas

simulacoes.

65

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PROJETO DE FILTRO CROSSOVER DUPLAMENTE … · assim como ter conhecimento do teor da presente...

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