Universidade Federal do Piauí

Centro de Tecnologia

Departamento de Engenharia Elétrica

Disciplina: Controle Analógico

Prof.Msc. José Medeiros de Araújo Júnior

Projeto de Controladores pelo método

do LGR e frequencial em um sistema de

segunda ordem.

Aluno: Otaviano Souza Neto

Matrícula: 09T12916

Teresina, Novembro de 2012.

1.0 – INTRODUÇÃO

O desempenho de um sistema dinâmico em resposta a determinado tipo de

entrada ou estímulo em uma planta representativa da modelagem das características do

sistema pode apresentar resultados indesejáveis ou insatisfatórios que resultam em uma

resposta não esperada, prejudicando toda uma análise objetiva de acordo com a

finalidade que se espera do processo. Quando a planta do sistema não pode ser alterada

entram em ação os controladores, blocos que interferem na resposta seja em regime

transitório ou permanente do sistema e cujas características podem ser sintonizadas de

acordo com o que se deseja alterar.

Na presente literatura, foi escolhida uma planta cujas características de regime

transitório não estão desejadas, porém seu erro de regime permanente é aceitável, logo,

foi projetado um controlador do tipo proporcional derivativo através do método do lugar

geométrico das raízes e um controlador do tipo avanço de fase pelo método frequencial,

em que posteriormente foram comparadas as respostas antes e depois da inserção dos

controladores e o comparativo sobre qual desempenho foi mais satisfatório para com o

que se desejava.

A planta trata-se da função de transferência G abaixo com realimentação unitária

negativa e entrada tipo degrau unitário e representação através de diagrama de blocos.

Figura 1.0 – Representação do sistema por diagrama de blocos.

2.0 – DESENVOLVIMENTO

As análises a seguir foram realizadas no software MatLab, onde cada etapa de

análise foi implementada separadamente.

2.1 – ANÁLISE DA DINÂMICA DA PLANTA

CÓDIGO:

>> %Análise da dinâmica da planta original

>> num=[4];

>> den=conv([1 0],[1 2])

den =

1 2 0

>> [numf,denf]=cloop(num,den) % Função de transferência em malha fechada

% com realimentação unitária negativa do sistema

numf =

0 0 4

denf =

1 2 4

Wn=sqrt(denf(3)) %Cálculo da frequência natural do sistema

Wn =

2

>> e=denf(2)/(2*Wn) %Cálculo do coeficiente de amortecimento e

e =

0.5000

>> t=0:0.1:10; %Análise gráfica da resposta ao degrau do sistema

>> step(numf,denf)

grid

%Cálculo especificações de desempenho

>> Mp=(exp(-e*pi/sqrt(1-e*e)))*100 %Cálculo do overshoot em porcentagem

Mp =

16.3034

>> ts=4/(e*Wn) %Cálculo do tempo de subida em segundos

ts =

4

>> roots(denf) %Pólos dominantes de malha fechada

ans =

-1.0000 + 1.7321i

-1.0000 - 1.7321i

rlocus(num,den) %Lugar geométrico original das raízes

Figura 2.0 – Resposta do sistema ao degrau unitário.

Figura 3.0-Lugar geométrico das raízes original do sistema.

2.2 – PROJETO PELO MÉTODO DO LGR COM CONTROLADOR PD

Deseja-se alterar o transitório do sistema, com as seguintes especificações de

desempenho requeridas:

Mp=10 % ; Overshoot reduzido para dez por cento

Ts = 3s ; Tempo de subida reduzido para três segundos

CÓDIGO

>> ec=(log(0.10)*1/pi)/sqrt(1+(log(0.10)/pi)^2) %Cálculo coeficiente amortecimento

ec =

0.5912

>> Wnc=4/(3*ec) %Cálculo frequência natural

Wnc =

2.2555

>> 2*ec*Wnc %Cálculo dos coeficientes do polinômio desejado.

ans =

2.6667

>> Wnc^2

ans =

>> poli.d=[1 2.6667 5.06]; %Polinômio desejado

>> roots(poli.d) %Pólos desejados

ans =

-1.3334 + 1.4907i

-1.3334 - 1.4907i

2.2.1 – Cálculo dos parâmetros do controlador

Analisando no plano complexo, os ângulos de partida até os polos complexos

desejados são :

Aplicando a condição de ângulo:

Aplicando a condição de módulo:

>> abs((-1.33+1.49i)*(-1.33+2+1.49i)/(-1.33+6.13+1.49i))%Cálculo de Kt

ans =

0.6492

Planta do controlador:

2.2.2- Análise da dinâmica da planta controlada

O controlador foi inserido em série , resultando na seguinte planta controlada:

CÓDIGO:

>> numc=conv(0.65,[1 6.13]) %Numerador da planta controlada

numc =

0.6500 3.9845

>> denc=[1 2 0] %Denominador da planta controlada

denc =

1 2 0

>> [numcf,dencf]=cloop(numc,denc) %Definição da função transf. malha fechada

numcf =

0 0.6500 3.9845

dencf =

1.0000 2.6500 3.9845

>> sysc=tf(numcf,dencf) %Função de transferência em malha fechada da planta

Transfer function:

0.65 s + 3.985

--------------------

s^2 + 2.65 s + 3.985

>> rlocus(numc,denc) %LGR da planta controlada

>> t=[0:0.1:10];

>> step(sysc,t) %Resposta ao degrau da planta controlada

>> Wncf=sqrt(dencf(3)) % Frequência natural da planta controlada

Wncf =

1.9961

>> ecf=dencf(2)/(2*Wncf) % Coeficiente de amortecimento da planta controlada

ecf =

0.6638

>> Mpc=(exp(-ecf*pi/sqrt(1-ecf*ecf)))*100 %Overshoot planta controlada

Mp =

6.1532

>> tsc=4/(ecf*Wncf) %Tempo de subida da planta controlada

tsc =

3.0189

Figura 4.0 – Lugar geométrico das raízes do sistema controlado.

Figura 5.0 – Resposta ao degrau da planta controlada.

2.2.3 – Comparação entre as duas respostas

CÓDIGO:

>> t=[0:0.1:10];

[y1,x1,t] = step(numf,denf,t) %Resposta ao degrau sistema original

[y2,x2,t] = step(numcf,dencf,t) %Resposta ao degrau sistema controlado

figure;plot(t,y1(:,1),'b','linewidth',2);hold on;plot(t,y2(:,1),'r','linewidth',2);grid

xlabel('Real axis'),ylabel('Imaginary axis')

set(1,'Position',[10 258 380 280]);title('Planta original x Planta controlada');

legend('Sem controlador','Com controlador');hold off

Figura 6.0 – Comparação entre as duas respostas.

COMENTÁRIOS:

Sistema original:

Overshoot = 16%

Tempo de subida = 4s

Erro em regime permanente = 0.

Sistema controlado:

Overshoot = 6.15%

Tempo de subida = 3.02 s

Erro em regime permanente = 0.

A análise dos resultados foi satisfatória no sentido de melhorar a resposta em

regime transitório, diminuindo a oscilação, frequência natural e tempo de assentamento

do sistema, fato comprovado tanto pelos gráficos quanto pelos valores calculados no

matlab. Vale ressaltar que o overshoot inicialmente desejado era de 10% e o encontrado

foi de 6%, melhorando ainda mais o transitório, mas se fosse desejado um overshoot

mais próximo de 10, uma sintonia nos parâmetros do controlador seria válida, a

exemplo o deslocamento do zero do controlador mais a direita do plano s. Assim

funciona a metodologia de análise do projeto de controladores pelo método do LGR,

uma questão de tentativa e erro.

2.3 – PROJETO PELO MÉTODO FREQUENCIAL

A mesma planta anterior foi colhida para a análise por esse método, em que as

especificações de margem de ganho de amplitude e fase foram traçadas pelo diagrama

de Bode.

Planta original:

Controlador Avanço de fase projetado tal que:

constante de erro de velocidade estático ;

Margem de fase de pelo menos graus;

Margem de ganho Kg > 10 dB

Onde ;

Sistema compensado:

Onde

Para temos:

Traçando diagrama de Bode para análise da margem de fase e ganho de G1 :

>> num=10;

>> den=conv([1 0],[0.5 1])

den =

0.5000 1.0000 0

>> margin(num,den)

Figura 7.0 – Diagrama de bode e análise da margem de ganho e fase de G1.

Pelos dados contidos temos

A especificação pede que o sistema final tenha pelo menos , logo, é

necessário acrescentar 15 graus e seguir os passos adiante:

Esse ângulo adicional vai ser provido pelo máximo ângulo de avanço do

controlador Gc – ϕm

Será feito com que wm coincida com a frequência de crossover

Mas a frequência de crossover final não se mantem no mesmo local devido ao

módulo de Gc(s), logo, introduz-se um fator de correção de 5 º:

Φm = 15 + 5, ϕm = 20º

Considerando ϕm = 20º, tem-se :

O valor máximo de defasagem angular Φm ocorre na frequência cujo valor é a

média geométrica das frequências de corte (

do compensador

avanço de fase, ou seja, w =

, , o quanto de modificação na curva de

magnitude nessa frequência é dado por :

Para w =

,, logo, tem-se :

Analisando na figura 8.0 tem-se que para corresponde a

w = 4.67 rad/s

Figura 8.0 – Frequência em -1.43 dB.

Esse valor w = 4.67 rad/s será selecionado para ser a nova frequência de

cruzamento de ganho wc, que corresponde a :

A função de transferência do compensador fica na forma:

Função de transferência de malha aberta:

>> numc=conv(40.8,[1 3.27])

numc =

40.8000 133.4160

>> denc=conv([1 0],[1 2])

denc =

1 2 0

>> denc=conv(denc,[1 6.67])

denc =

1.0000 8.6700 13.3400 0

Figura 9.0 – Diagrama de Bode do sistema compensado.

%Comparativo entre as duas respostas:

>> num=[4]; %Planta original

den=[1 2 0];

[numf,denf]=cloop(num,den)

numf =

0 0 4

denf =

1 2 4

>> numc=[40.800 133.416]

numc =

40.8000 133.4160

>> denc=[1 8.67 13.334 0]

denc =

1.0000 8.6700 13.3340 0

>> [numcf,dencf]=cloop(numc,denc) %Função transf.malha fechada com controlador

numcf =

0 0 40.8000 133.4160

dencf =

1.0000 8.6700 54.1340 133.4160

>> sys=tf(numcf,dencf)

Transfer function:

40.8 s + 133.4

--------------------------------

s^3 + 8.67 s^2 + 54.13 s + 133.4

>> t=0:0.1:10;

[y1,x1,t]=step(numf,denf,t);

[y2,x2,t]=step(numcf,dencf,t);

figure;plot(t,y1(:,1),'b','linewidth',2);hold on;plot(t,y2(:,1),'r','linewidth',2);grid

xlabel('Real axis'),ylabel('Imaginary axis')

set(1,'Position',[10 258 380 280]);title('Planta original x Planta controlada');

legend('Sem controlador','Com controlador');hold off;

Figura 10 – Comparativo entre as respostas.

COMENTÁRIOS

O compensador como esperado, alterou no transitório do sistema, aumentando o

overshoot líquido total mas diminuindo o tempo de estabilização e a oscilação.Nos

requisitos de desempenho iniciais, foi desejado um aumento da banda passante, fato que

foi consumado pelo aumento da frequência de cruzamento de ganho para w=4,67 rad/s,

implicando em um aumento da velocidade da resposta, e logicamente um tempo menor

de assentamento.

3.0 – CONCLUSÃO

As diferentes análises de projetos de controladores influem em uma série de

variáveis que estão interligadas, alterando a resposta final do sistema; no método

realizado pelo LGR o transitório de certa forma foi melhorado, porém com um

overshoot menor ainda que o previsto e um tempo de assentamento de acordo com o

esperado, e no método frequêncial as especificações de desempenho de banda passante

de ganho e fase acabaram por aumentar o overshoot da planta mas diminuindo o tempo

de assentamento. Resultados que condizem com uma questão muito importante na área

de projeto de controladores, que é a sintonia dos parâmetros do controlador, em que

dependendo dos ajustes realizados a resposta pode convergir para o que se deseja ou

acabar migrando para situações adversas, fato que realça a importância de uma boa

análise preventiva e de simulação no projeto de controladores de sistemas.