PROJETO AprovaMe – ANÁLISE DE QUESTÕES DE ÁLGEBRA · Algebra and one of Geometry, had been...

JONAS BORSETTI SILVA SANTOS

ARGUMENTAÇÃO E PROVA: ANÁLISE DE ARGUMENTOS ALGÉBRICOS DE ALUNOS DA

EDUCAÇÃO BÁSICA

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

PUC/SP SÃO PAULO

2007

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JONAS BORSETTI SILVA SANTOS

ARGUMENTAÇÃO E PROVA: ANÁLISE DE ARGUMENTOS ALGÉBRICOS DE ALUNOS DA

EDUCAÇÃO BÁSICA

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como

exigência parcial para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob

orientação da Profª Drª. Sônia Pitta Coelho.

PUC/SP SÃO PAULO

2007

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Banca Examinadora

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_______________________________________

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_______________________________________

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta

Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________

4

À Priscila, minha esposa

5

Aos meus pais Flávio e Maria José

AGRADECIMENTOS Primeiramente a Deus, que em nome de seu filho Jesus Cristo iluminou-

me para a conclusão do meu mestrado.

À minha orientadora, Profª Drª Sonia Pitta Coelho, que com seus

conselhos e sua amizade, fez com que eu me dedicasse de corpo e alma a

esse trabalho.

Aos Drs. Lulu Healy e Luiz Gonzaga Xavier de Barros pelas sugestões

dadas na qualificação e por fazerem parte de minha banca examinadora.

Aos meus pais Flávio e Maria José, que com seu amor e incentivo, pude

concluir mais essa etapa de minha vida.

À minha avó Mariquinha, sem palavras para expressar o quanto você é

importante para mim.

Aos meus irmãos Tadeu e Lucas, que, mais que meus irmãos, são meus

grandes amigos. Também ao meu irmão Flávio (in memorian) – saudades.

À minha sogra Olívia, que me acolheu em sua família como seu

verdadeiro filho.

Ao meu sogro Ricardo e à Mirtz, pela acolhida nos poucos feriados e

pelo carinho.

Aos professores do Mestrado Profissional da PUC-SP, pelos

ensinamentos, pelas cobranças e pelos conselhos dados em suas aulas.

Aos meus amigos Pedro Bigattão, Sérgio Alves, Ricardo Vasques e

Ricardo Cardoso, companheiros do primeiro ao último dia do mestrado.

Aos meus cunhados Ângela, Viviane, Leonardo, Clarissa e Nadya, que

se mostraram pacientes quando não pudemos nos encontrar, mas que agora

poderemos.

A todos os alunos que ajudaram na conclusão realização desse trabalho.

À Secretaria da Educação de São Paulo, pela ajuda financeira.

Aos colegas do Mestrado, pela amizade e companheirismo.

Aos colegas da E.E. Albino César, e da FIP, pelas palavras de incentivo,

pela ajuda e pela amizade.

A toda minha família.

6

Aos amigos que não mencionei. Obrigado pela amizade e pelos

momentos de alegria

Principalmente, à minha esposa Priscila, pela sua paciência,

compreensão e amor, por tudo isso e muito mais. Te amo hoje e sempre.

7

Meu muito obrigado.

RESUMO O presente trabalho trata de questões apresentadas no questionário de

álgebra do projeto AprovaME (Argumentação e Prova na Matemática Escolar),

da PUC-SP. Uma das metas do projeto é levantar um mapa sobre as

concepções de argumentação e prova dos alunos brasileiros, mais

precisamente dos alunos do Estado de São Paulo. Foram elaborados dois

questionários, um de Álgebra e um de Geometria para esse levantamento,

aplicados para uma amostra composta de 1998 alunos na faixa de 14 a 16

anos, matriculados na 8ª série do Ensino Fundamental e 1º ano do Ensino

Médio. Após a análise descritiva dos dados coletados, pudemos verificar que a

criação de argumentação e prova pelos alunos é falho, visto que muitos deles

sequer viram qualquer tipo de argumentação ou prova em sua vida estudantil.

Feita a análise descritiva, realizamos uma análise multidimensional, com o

auxílio do software C.H.I.C. que também nos auxiliou na escolha dos alunos

que seriam entrevistados. Ainda, para uma melhor análise, realizamos

entrevistas com alguns professores acerca das questões que são objeto de

nosso estudo, como também sobre o uso de argumentações e provas em sala

de aula. Os mesmos valem-se muito pouco desse recurso. Em geral, nossas

análises, tanto quantitativas quanto qualitativas, sugerem que os processos de

argumentação e provas não estão sendo contemplados com esses alunos. Os

alunos que responderam às questões apresentaram, na maioria das vezes,

argumentos empíricos. Os que tentaram evidenciar alguma propriedade ou

alguma estrutura para a argumentação e prova valeram-se muitas vezes da

língua materna. Além disso, o uso da linguagem algébrica é pouco difundida

nas escolas, fato evidenciado pelas argumentações apresentadas pelos

alunos.

Palavras Chaves: Prova e Argumentação, Álgebra, Análise

Multidimensional, Educação Matemática.

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ABSTRACT The present work focuses questions presented in the questionnaire of

Algebra of the AProvaME project (Argumentation and Proof in the School

Mathematics), of the PUC-SP. One of the goals of the project is to raise a map

on the conceptions of argument and proof of the Brazilian pupils, more

necessarily of the pupils of the State of São Paulo. Two questionnaires, one of

Algebra and one of Geometry, had been elaborated for this survey, applied for a

composed sample of 1998 pupils in the band of 14 the 16 years, registered in

8th series of Basic School and 1° year of Average School. After descriptive

analysis of the collected data, we could verify that the creation of argumentation

and proof for the pupils is defective, since many of them had never seen any

type of argumentation or proof in its school life. Made the descriptive analysis,

we carry through a multidimensional analysis, with the aid of the software

C.H.I.C. that also assisted us in the choice of the pupils who would be

interviewed. Still, for one better analysis, we carry through interviews with some

teachers, concerning the questions that are object of our study, as also on the

use of argumentations and proofs in classroom. The same ones are little used

in their classes. In general, our analyses, in such a way quantitative how much

qualitative, they suggest that the processes of argumentation and proofs are not

being contemplated with these pupils. The pupils who had answered to the

questions had presented, in the majority of the times, empirical arguments. The

ones that had tried to evidence some property or some structure for the

argumentations and proofs had used many times the narrative form. Moreover,

the use of the algebraic language is little spread out in the schools, fact

evidenced for the arguments presented for the pupils.

Keywords: Argumentation and Proof, Algebra, Multidimensional

Analysis, Mathematical Education.

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SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO ........................................................................................... 15 CAPÍTULO 1 .................................................................................................... 16

1.1 Justificativa ........................................................................................... 16 1.2 Um pouco sobre a história da Álgebra e das provas e demonstrações ........................................................................................... 17 1.3 As pesquisas em Educação Matemática sobre demonstração ........ 19 1.4 O Projeto AProvaME – Argumentação e Prova na Matemática Escolar......................................................................................................... 22 1.5 A amostra e o objetivo da pesquisa.................................................... 25

CAPÍTULO 2 .................................................................................................... 28 2.1 As idéias de Balacheff e o questionário de Álgebra.......................... 28 2.2 Codificações utilizadas nas questões A3 e A4 .................................. 36 2.3 Alguns exemplos de codificações utilizadas ..................................... 39

CAPÍTULO 3 – ANÁLISE QUANTITATIVA..................................................... 51 3.1 Introdução ............................................................................................. 51 3.2 As planilhas do Excel ........................................................................... 51 3.3 Análises quantitativas da amostra...................................................... 53 3.4 Análises quantitativas do grupo em foco........................................... 57 3.5 Análise Multidimensional, com o software CHIC............................... 65 3.6 Conclusões parciais acerca da análise quantitativa ......................... 76

CAPÍTULO 4 – ANÁLISE QUALITATIVA ....................................................... 80 4.1 Introdução ............................................................................................. 80 4.2 Respostas ilustrativas da questão A3 ................................................ 81 4.3 Respostas ilustrativas da questão A4 ................................................ 85 4.4 Protocolos da amostra codificados como 3....................................... 89 4.5 Entrevistas ............................................................................................ 97

4.5.1 Alunos ............................................................................................. 97 4.5.2 Professores .................................................................................. 111 4.5.3 Alunos e Professores .................................................................. 115

CONCLUSÃO ................................................................................................ 120 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................. 125 APÊNDICES .................................................................................................. 128

Apêndice 1 – Resultados do C.H.I.C. ...................................................... 128 ANEXOS ........................................................................................................ 136

Anexo 1 – Análise de dados praticada pelo C.H.I.C. ............................. 136

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LISTA DE QUADROS

Quadro 1 – Questão A1 do questionário de Álgebra ....................................... 30 Quadro 2 – Continuação da questão A1 do questionário de Álgebra.............. 32 Quadro 3 – Questão A2 do questionário de Álgebra ....................................... 33 Quadro 4 – Questão A5 do questionário de Álgebra ....................................... 34 Quadro 5 – Questão A3 do questionário de Álgebra ....................................... 35 Quadro 6 – Questão A4 do questionário de Álgebra ....................................... 36

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Codificação das respostas dos alunos ................................ 39 Tabela 2 – Codificação das justificativas dos alunos ............................ 39 Tabela 3 – Recorte das questões A3 e A4 do grupo em foco ............... 52 Tabela 4 – Questão A3 - amostra ......................................................... 53 Tabela 5 – Justificativa da questão A3 - Amostra ................................. 53 Tabela 6 – Questão A4 - Amostra......................................................... 54 Tabela 7 – Justificativa da Questão A4 - Amostra ................................ 54 Tabela 8 – Questão A3 – Amostra – 8ª série EF................................... 55 Tabela 9 – Justificativa da Questão A3 – Amostra – 8ª série EF .......... 56 Tabela 10 – Questão A3 – Amostra – 1ª série EM................................ 56 Tabela 11 – Justificativa da Questão A3 – Amostra – 1ª série EM ....... 56 Tabela 12 – Questão A4 – Amostra – 8ª série EF................................. 57 Tabela 13 – Justificativa da Questão A4 – Amostra – 8ª série EF ........ 57 Tabela 14 – Questão A4 – Amostra – 1ª série EM................................ 57 Tabela 15 – Questão A4 – Amostra – 1ª série EM................................ 57 Tabela 16 – Questão A3 – Grupo em Foco........................................... 58 Tabela 17 – Sujeitos na Questão A3 – Grupo em Foco........................ 58 Tabela 18 – Justificativas na Questão A3 – Grupo em Foco ................ 58 Tabela 19 – Sujeitos e justificativas na Questão A3 – Grupo em Foco. 58 Tabela 20 – Questão A4 – Grupo em Foco........................................... 59 Tabela 21 – Sujeitos na Questão A4 – Grupo em Foco........................ 59 Tabela 22 – Justificativas na Questão A4 – Grupo em Foco ................ 59 Tabela 23 – Sujeitos e justificativas na Questão A4 – Grupo em Foco. 59 Tabela 24 - Questão A3 – cruzamento dos dados: verdadeiro/falso e

justificativas – Grupo em Foco ................................................................. 61 Tabela 25 - Questão A4 – cruzamento dos dados: verdadeiro/falso e

justificativas – Grupo em Foco ................................................................. 62 Tabela 26 - Cruzamento dos dados das tabelas 24 e 25 ...................... 63

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Exemplo 1 falso para codificação de A3......................................... 40 Figura 2 – Exemplo 2 falso para codificação de A3......................................... 40 Figura 3 – Exemplo 3 falso para codificação de A3......................................... 40 Figura 4 – Exemplo 1 verdadeiro para código 1 de A3.................................... 41 Figura 5 – Exemplo 2 verdadeiro para código 1 de A3.................................... 41 Figura 6 – Exemplo 3 verdadeiro para código 1 de A3.................................... 42 Figura 7 – Exemplo 4 verdadeiro para código 1 de A3.................................... 42 Figura 8 – Exemplo 1 verdadeiro para código 2a de A3.................................. 43 Figura 9 – Exemplo 2 verdadeiro para código 2a de A3.................................. 43 Figura 10 – Exemplo 3 verdadeiro para código 2a de A3................................ 44 Figura 11 – Exemplo 1 verdadeiro para código 2b de A3................................ 44 Figura 12 – Exemplo 2 verdadeiro para código 2b de A3................................ 45 Figura 13 – Exemplo verdadeiro para código 3 de A3..................................... 45 Figura 14 – Exemplo 1 falso para A4............................................................... 46 Figura 15 – Exemplo 2 falso para A4............................................................... 47 Figura 16 – Exemplo verdadeiro para código 1 de A4..................................... 47 Figura 17 – Exemplo 1 verdadeiro para código 2a de A4................................ 48 Figura 18 – Exemplo 2 verdadeiro para código 2a de A4................................ 48 Figura 19 – Exemplo 1 verdadeiro para código 2b de A4................................ 49 Figura 20 – Exemplo 2 verdadeiro para código 2b de A4................................ 49 Figura 21 – Exemplo verdadeiro para código 3 de A3..................................... 50 Figura 22 - intersecção para análises do CHIC .............................................. 66 Figura 23 – Árvore de similaridades do C.H.I.C............................................... 67 Figura 24 - Agrupamento 1 das similaridades referentes às respostas

verdadeiras nas questões A3 e A4............................................................................... 68 Figura 25 - Agrupamento 2 das similaridades referentes às respostas nas

questões A3 e A4. ........................................................................................................ 70 Figura 26 – Árvore Coesitiva do C.H.I.C.......................................................... 72 Figura 27 – Subgrupo 1 da árvore coesitiva do C.H.I.C. ................................. 73 Figura 28 – Subgrupo 2 da árvore coesitiva do C.H.I.C. ................................. 74 Figura 29 – Subgrupo 3 da árvore coesitiva do C.H.I.C. ................................. 74 Figura 30 – Subgrupo 4 da árvore coesitiva do C.H.I.C. ................................. 75 Figura 31 – Resposta do aluno 7 do Grupo em Foco para a questão A3........ 81 Figura 32 – Resposta do aluno 14 do Grupo em Foco para a questão A3...... 81 Figura 33 – Resposta do aluno 31 do Grupo em Foco para a questão A3...... 82 Figura 34 – Resposta do aluno 16 do Grupo em Foco para a questão A3...... 82 Figura 35 – Resposta do aluno 35 do Grupo em Foco para a questão A3...... 83 Figura 36 – Resposta do aluno 26 do Grupo em Foco para a questão A3...... 83 Figura 37 – Resposta do aluno 34 do Grupo em Foco para a questão A3...... 83 Figura 38 – Resposta do aluno 24 do Grupo em Foco para a questão A3...... 84 Figura 39 – Resposta do aluno 44 do Grupo em Foco para a questão A3...... 84 Figura 40 – Resposta do aluno 29 do Grupo em Foco para a questão A4...... 85 Figura 41 – Resposta do aluno 41 do Grupo em Foco para a questão A4...... 85 Figura 42 – Resposta do aluno 3 do Grupo em Foco para a questão A4........ 86 Figura 43 – Resposta do aluno 9 do Grupo em Foco para a questão A4........ 86 Figura 44 – Resposta do aluno 27 do Grupo em Foco para a questão A4...... 87 Figura 45 – Resposta do aluno 1 do Grupo em Foco para a questão A4........ 87 Figura 46 – Resposta do aluno 21 do Grupo em Foco para a questão A4...... 88 Figura 47 – Resposta do aluno 47 do Grupo em Foco para a questão A4...... 88

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Figura 48 – Resposta do aluno 33 do Grupo em Foco para a questão A4...... 89

Figura 49 – Resposta 1 com código 3 na Questão A3 .................................... 90 Figura 50 – Resposta 2 com código 3 na Questão A3 .................................... 90 Figura 51 – Resposta 3 com código 3 na Questão A3 .................................... 91 Figura 52 – Resposta 4 com código 3 na Questão A3 .................................... 91 Figura 53 – Resposta 5 com código 3 na Questão A3 .................................... 92 Figura 54 – Resposta 6 com código 3 na Questão A3 .................................... 93 Figura 55 – Resposta 7 com código 3 na Questão A3 .................................... 93 Figura 56 – Resposta 1 com código 3 na Questão A4 .................................... 94 Figura 57 – Resposta 2 com código 3 na Questão A4 .................................... 95 Figura 58 – Resposta 3 com código 3 na Questão A4 .................................... 95 Figura 59 – Resposta 4 com código 3 na Questão A4 .................................... 96 Figura 60 – Resposta do aluno 50 na Questão A3 .......................................... 98 Figura 61 – Resposta do aluno 50 na Questão A4 .......................................... 98 Figura 62 – Resposta do aluno 28 na Questão A3 .......................................... 99 Figura 63 – Resposta do aluno 28 na Questão A4 ........................................ 101 Figura 64 – Resposta do aluno 19 na Questão A3 ........................................ 103 Figura 65 – Resposta do aluno 19 na Questão A4 ........................................ 104 Figura 66 – Resposta do aluno 7 na Questão A3 .......................................... 105 Figura 67 – Resposta do aluno 7 na Questão A4 .......................................... 106 Figura 68 – Resposta do aluno 5 na Questão A3 .......................................... 107 Figura 69 – Resposta do aluno 5 na Questão A4 .......................................... 108 Figura 70 – Resposta do aluno 27 na Questão A3 ........................................ 109 Figura 71 – Resposta do aluno 27 na Questão A4 ........................................ 110

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APRESENTAÇÃO

A coordenadora do projeto AProvaME (Argumentação e Prova na

Matemática Escolar), Profª Drª. Siobhan Victoria (Lulu) Healy, propôs que um

grupo de cinco mestrandos participantes desse projeto fizessem uma análise

estatística das respostas dos questionários aplicados na primeira fase do

projeto. Tal análise tem por objetivo criar um mapa das concepções dos alunos

sobre argumentação e prova. Para tal, foram elaborados dois questionários, um

de Álgebra e outro de Geometria, aplicados para 1998 estudantes da 8ª série

do Ensino Fundamental e da 1ª série do Ensino Médio, com faixa etária entre

14 e 16 anos.

Este trabalho faz uma análise estatística descritiva das respostas obtidas

no questionário de Álgebra, mais precisamente na questão que trata sobre a

soma de dois números ímpares e na que trata da soma de um múltiplo de 3

com um múltiplo de 6.

Iniciamos o trabalho apresentando uma pequena visão histórica sobre os

trabalhos existentes que tratam de argumentações e provas. Depois,

explicamos o projeto em si e a nossa amostra.

Após, apresentamos o questionário, cuja investigação trata esse

trabalho, a codificação utilizada para as questões e alguns exemplos de

respostas dentro dessas codificações.

A seguir, apresentamos uma análise estatística descritiva da amostra e

do grupo em foco e também algumas respostas ilustrativas do grupo em foco.

Por fim, para obtermos mais informações sobre os conhecimentos e

argumentos utilizados pelos alunos, realizamos entrevistas com alguns sujeitos

do grupo em foco e também com alguns professores para verificarmos como a

argumentação e prova é vista por eles.

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CAPÍTULO 1

Nesse capítulo, são abordados cinco itens. O primeiro é a justificativa,

que explica porque escolhemos esse tema como trabalho final. O segundo faz

um breve relato histórico sobre a história da álgebra e das demonstrações e

provas. O terceiro faz um breve relato sobre as pesquisas em Educação

Matemática sobre demonstrações. O quarto é sobre o projeto AProvaME, que

explica o que é esse projeto e como surgiu no Programa de Estudos Pós-

Graduados em Educação Matemática da PUC-SP. Por fim, o quinto descreve a

amostra e o objetivo da pesquisa.

1.1 Justificativa

Desde a graduação, quando cursei a disciplina Álgebra, tenho me

interessado sobre como provar e argumentar no contexto escolar. Quando

comecei a lecionar para o Ensino Fundamental (EF) e Ensino Médio (EM),

percebi que são pouquíssimos os livros que oferecem argumentos no

tratamento expositivo. Normalmente, quando aparecem, essas argumentações

se apresentam nos temas de geometria.

Além disso, a dificuldade do aluno em entender o problema, em

diagnosticar em qual assunto está inserido tal problema e em argumentar sobre

sua resolução faz com que tal questionamento venha sempre à mente do

professor.

Esses fatos geraram meu interesse em investigar como os alunos

justificam determinadas “verdades matemáticas”, como por exemplo, a

afirmação: “a soma de dois números pares é sempre par”.

Além disso, soube da criação, através de minha orientadora, de um

projeto chamado AProvaME – Argumentação e Prova na Matemática Escolar –

que estudaria esse assunto. Como minha orientadora faria parte desse projeto,

pude participar dele e pesquisar sobre esse assunto de meu interesse.

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Tal projeto é patrocinado pela CNPq (Conselho Nacional de

Desenvolvimento Científico) e conta entre seus participantes com vários

professores do Programa e alunos do Mestrado Profissional em Ensino de

Matemática da PUC-SP. Uma descrição mais completa encontra-se na terceira

seção desse capítulo.

1.2 Um pouco sobre a história da Álgebra e das provas e demonstrações

A palavra PROVA teve vários significados durante a história da

Matemática e em diferentes níveis e épocas. Sabe-se que as demonstrações

matemáticas surgiram com Tales de Mileto e Pitágoras de Samos, mas não

podemos afirmar que os povos pré-helênicos não tinham noção de prova, nem

que sentissem a necessidade de prova. Há indícios de que esses povos

percebiam ocasionalmente que certos modos de calcular áreas de volumes

poderiam ser reduzidos a problemas mais simples. Além disso, os Escribas

verificavam ou “provavam” que suas divisões estavam corretas através de

multiplicações, como também verificavam que uma resposta era correta

através da substituição do valor encontrado.

Tales (c.a. 600 a.C. – 525 a.C.) é considerado até hoje o primeiro

matemático verdadeiro, pois lhe são atribuídos alguns teoremas, os quais este

havia provado. Contudo, não há documentos antigos que podem ser apontados

como provas desse feito, apenas menções datadas de 1.000 anos depois do

tempo de Tales, por Proclo (410-485).

Apesar de Tales e Pitágoras terem tratado mais de Geometria que de

Álgebra, não podemos deixar de notar que as provas matemáticas começaram

assim, através de teoremas geométricos.

A primeira contribuição importante para a lógica usada hoje nas provas e

demonstrações, deve-se a Platão (428 a.C. – 347 a.C.) com seu método

analítico. “Numa demonstração matemática, começa-se com o que é dado, ou

de modo geral nos axiomas e postulados ou mais especificamente nos

problemas a resolver. Avançando passo a passo, chega-se à afirmação a ser

provada”. (Boyer, 2001, p.61)

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A primeira e talvez a maior obra matemática de todos os tempos são Os

Elementos de Euclides (360 a.C. – 295 a.C.). Composto de 13 livros, Euclides

os dividiu da seguinte forma: os seis primeiros tratam de geometria plana

elementar, os três seguintes sobre teoria dos números, o livro X sobre

incomensurabilidade e os três últimos versam principalmente sobre geometria

no espaço. Não são atribuídas a Euclides as provas apresentadas em seus

Elementos, mas sim a compilação de todo o conhecimento matemático da

época.

O primeiro matemático que pensou em desenvolver uma característica

universal para a simbologia matemática foi Leibinz, num artigo sobre análise

combinatória de 1.666. Ele tinha visões acerca e uma lógica simbólica formal.

George Peacock (1791 – 1858) foi o primeiro matemático que produziu

um importante trabalho escrito com a intenção de dar à álgebra o caráter

demonstrativo. Para isso, Peacock propunha uma reavaliação da relação entre

a aritmética e a álgebra. Separava a álgebra em duas partes: a álgebra

aritmética e a álgebra simbólica. Procurou dar à álgebra um tratamento lógico

equiparável aos Elementos de Euclides, ganhando o epíteto de “o Euclides da

Álgebra”.

Para Peacock, a álgebra aritmética era considerada como o estudo

resultante de uso de símbolos para denotar os números decimais positivos

usuais, juntamente com os símbolos operatórios. Já a álgebra simbólica era

uma ciência que olha somente as combinações de sinais e símbolos de acordo

com certas leis, que são totalmente independentes dos valores específicos dos

símbolos.

Outro que sustentava a nova visão da álgebra foi Augustus De Morgan

(1806 – 1871). De Morgan insistia em que “com uma única exceção, nenhuma

palavra ou sinal em álgebra ou aritmética tem um átomo de significado em todo

este capítulo, cujos assuntos são símbolos e suas leis de combinação, dando

uma álgebra simbólica que pode a partir daí tornar-se a gramática de cem

álgebras diferentes significativas” (ibidem).

A exceção que trata o trecho acima é o símbolo de igualdade, pois

pensava que se A=B, os símbolos A e B “devem ter o mesmo significado

resultante quaisquer que sejam os passos para atingi-lo” (ibidem).

18

1.3 As pesquisas em Educação Matemática sobre demonstração

Para os pesquisadores em Educação Matemática, a prova ou

demonstração é de suma importância, pois, sendo a prova um aspecto

fundamental para a Matemática, esta deveria ser incluída no currículo da

Escola Básica, na formação dos alunos, com o objetivo de desenvolver o

raciocínio dedutivo.

Inclusive, podemos citar como exemplo o que aconteceu nos Estados

Unidos, onde esse tema ficou completamente esquecido e a partir dos novos

Standards (2000), do National Council of Teachers of Mathematics, passou a

ser um dos temas centrais dos currículos de Matemática.

Muitas são as pesquisas em torno desse tema. Alguns tratam da função

da prova na Escola Básica (Hanna, 1990, apud Pietropaulo, 2005); outros

estudaram os tipos de provas aceitos pelos matemáticos e por educadores

matemáticos (Bell, 1976, apud Pietropaulo, 2005; Balacheff, 1988); outros

ainda, pesquisaram o progresso dos alunos no desenvolvimento dedutivo

(Hoyles, 1997). Destacaremos dois trabalhos: o primeiro, de Balacheff (1988),

que analisou as dificuldades dos alunos no processo de aprendizagem de

provas e o de Healy e Hoyles (2000) que estudaram as concepções dos alunos

sobre provas. O trabalho de Balacheff para nós é de suma importância, pois

através dele criamos os códigos para codificação dos protocolos, cuja

explicação mais detalhada encontra-se no Capítulo 2.

Já o trabalho de Healy e Hoyles é o ponto de partida para a criação do

projeto AProvaME. A partir dele criamos nossos questionários e todos os

objetivos do projeto.

Dentro de nossa pesquisa, não encontramos nenhum autor que fosse

contrário à inclusão da prova no currículo da Educação Básica. Muito pelo

contrário, como disse Mariotti (2001, apud Pietropaulo) “Não se pode ensinar

matemática sem introduzir a demonstração”. Porém, todos concordam não ser

essa uma tarefa fácil. Inclusive, para alguns, existe uma ruptura entre a

argumentação e a demonstração, em relação às características funcionais e

estruturais dessas.

19

Para alguns, a argumentação não leva necessariamente à

demonstração (Duval, 1991, apud Pietropaulo). Para outros, existe uma relação

firmada entre esses termos, ou seja, através da argumentação chegaremos à

demonstração. Como disse Balacheff (1999) “não haveria nem continuidade

nem ruptura entre argumentação e demonstração, mas uma relação complexa

e constitutiva de cada uma: a argumentação constitui um obstáculo

epistemológico à aprendizagem da demonstração e em especial da prova em

matemática”.

Inclusive, para nós, não haverá a distinção entre os termos

demonstração e prova, pois o nosso foco são os alunos de 8ª série do Ensino

Fundamental e 1º ano do Ensino Médio. Aqui, as palavras apresentadas serão

sinônimas, pois são tratadas como explicações válidas matematicamente, não

apenas em sua forma algébrica, axiomática.

Devemos ter cuidado ao pensar somente no resultado final obtido na

prova. Não podemos deixar de considerar os processos utilizados pelo aluno

para a obtenção da prova, no seu entender. Se olharmos somente o produto

final, estaremos ocultando o processo demonstrativo criado por ele, a

formulação de alguns teoremas que para ele levam à prova, a exploração do

tema em si, que antecede o produto final. Esse processo todo conta com o

raciocínio hipotético-indutivo, próprio de cada ser humano.

Dessa forma, os Parâmetros Curriculares para o Ensino Fundamental

(1998) chamam a atenção para que o professor de matemática, quando da

criação do conhecimento matemático pelo aluno “(...) interferem processos heurísticos e intervêm a

criatividade e o senso estético, do mesmo modo que em outras

áreas do conhecimento. A partir da observação de casos

particulares, as regularidades são desvendadas, as conjecturas

e teorias matemáticas são formuladas. Esse caráter indutivo é,

em geral, pouco destacado quando se trata da comunicação ou

do ensino do conhecimento matemático. O exercício da indução

e da dedução em Matemática reveste-se de importância no

desenvolvimento da capacidade de resolver problemas, de

formular e testar hipóteses, de induzir, de generalizar e de inferir

dentro de determinada lógica, o que assegura um papel de

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relevo ao aprendizado dessa ciência em todos os níveis de

ensino.” (PCN, 1998, p. 28).

Como afirma Pietropaulo (2005), “A principal diferença entre as duas

“espécies” de demonstração – a que apenas valida e a que também explica – é

que a explicativa termina por utilizar raciocínios baseados em idéias

matemáticas, enquanto a mera prova formal emprega basicamente regras de

sintaxe.” Isso nos é importante, pois para o aluno, a principal prova é a que

explica, é através desse tipo de prova que ele constrói seu conhecimento

matemático, é através dessa que ele compreende o porquê de determinado

fato matemático ocorrer, é através desse tipo de prova que se explica porque

determinado teorema é verdadeiro.

Hanna (1995) procura diferenciar a função da prova para a Matemática e

para a Educação Matemática: “enquanto na prática matemática a função da

prova é justificar e verificar, a sua função principal na educação matemática é

seguramente a da explicação” (p.47). Inclusive, no mesmo trabalho, Hanna diz

que a prova deve incentivar a compreensão: “Uma boa prova, entretanto, não

deveria ser somente correta e explicativa, a mesma poderia também levar em

consideração, especialmente em seu nível de detalhe, o contexto da aula e a

experiência dos estudantes.” (1995, p.48).

Não podemos deixar de mencionar também o constante uso da

informática na construção do conhecimento dos alunos. Hoje, o computador é

uma ferramenta de vital importância para alguns enquanto que para outros,

nada mais que uma simples ferramenta de trabalho. Hoje em dia, o uso do

computador é cada vez mais difundido entre os educadores e mais

precisamente, entre os educadores matemáticos. Com o advento desse mundo

virtual, muitas demonstrações que antes pareciam impossíveis, podem ser hoje

conjecturadas. Tomemos como exemplo a conjectura das quatro cores, uma

questão em aberto desde 1852, que diz que é possível cobrir o mapa mundi

com apenas quatro cores, sem que duas cores sejam encontradas lado a lado.

Essa conjectura foi verificada verdadeira com o uso do computador. Mas ela foi

verificada ou demonstrada? Alguns matemáticos não aceitam a utilização do

computador como ferramenta para demonstração, embora o uso deles seja

cada vez mais difundido.

21

Ademais, o uso do computador hoje para a educação é cada vez mais

atual, cada vez mais difundido, cada vez mais aceito. Nesse sentido, a

apresentação de softwares educativos para a validação ou simplesmente para

a verificação de resultados é tal, que em várias escolas de São Paulo, existe

pelo menos uma sala de informática, onde o professor pode, com a ajuda do

computador, tornar sua aula mais atrativa para o aluno e porque não, mais

compreensível.

1.4 O Projeto AProvaME – Argumentação e Prova na Matemática Escolar

No Brasil, ainda é modesto o número de pesquisas sobre provas

matemáticas, principalmente no âmbito escolar.

Entretanto, o número de pesquisadores interessados nesse tema vem

aumentando nos últimos anos. Citamos PIETROPAULO (2005); GRAVINA,

M.A. (2001); VAZ, R. de L. (2004), entre outros.

Uma grande pesquisa sobre esse assunto está sendo realizada pelo

Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP), denominada projeto

AProvaME, sob a coordenação da Profª Drª Siobhan Victoria (Lulu) Healy (a

partir daqui, denominaremos o projeto AProvaME apenas por projeto).

O projeto tem por objetivo:

1. Levantar um mapa das concepções sobre argumentação e prova de

alunos adolescentes em escolas do estado da São Paulo.

2. Formar grupos colaborativos compostos por pesquisadores e professores

para a elaboração de situações de aprendizagem, visando envolver

alunos em processos de construção de conjecturas e provas em

contextos integrando ambientes informatizados.

3. Criar um espaço virtual de compartilhamento entre os membros da equipe

do projeto e analisar seu papel no desenvolvimento das situações de

22

aprendizagem, assim como na evolução de conhecimentos pedagógicos

sobre prova em Matemática.

4. Avaliar situações de aprendizagem, em termos da compreensão dos

alunos sobre a natureza e funções de prova em Matemática.

5. Investigar a implementação destas atividades por diferentes professores e

assim identificar em que medida sua participação nos grupos

colaborativos fornece uma apropriação desta abordagem para o ensino e

aprendizagem de prova.

6. Formular recomendações relacionadas ao papel da argumentação e da

prova no currículo de Matemática escolar.

7. Contribuir para o debate internacional sobre o ensino e aprendizagem de

prova em Matemática.

O projeto, iniciado em Agosto/2005, com término previsto para

Agosto/2007, é patrocinado pela CNPq. Conta com seis pesquisadores, que

são professores doutores da PUC-SP e trinta e um colaboradores, mestrandos

do curso de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática da PUC-SP.

O projeto é composto de duas fases. Na primeira fase, já concluída, os

pesquisadores e os colaboradores reuniram-se quinzenalmente para criarem

dois questionários investigadores, um de álgebra e um de geometria, baseados

nos questionários de uma pesquisa semelhante realizada na Inglaterra:

“Justifying and Proving in School Mathematics” 1.

Tal pesquisa apresentou resultados nacionais sobre as concepções de

provas de alunos de 14-15 anos, que seguiram uma nova maneira de provar,

especificada no currículo nacional daquele país.

Apresentou também resultados interessantes, como:

• A grande maioria dos alunos usa argumentos empíricos para suas

próprias construções de provas;

• Os estudantes com mais sucesso apresentaram provas em

linguagem comum, não usando álgebra;

1 HEALY, S. V. (L.)., & HOYLES, C. Justifying and Proving in School Mathematics. Technical

Report , University of London, Institute of Education, 1998.

23

• As respostas foram influenciadas principalmente pelas suas

competências matemáticas, e também por fatores curriculares,

sexo do aluno e o que eles entendiam por prova.

Diferentemente do que pretendemos com esse trabalho, o estudo de

Healy e Hoyles levou em consideração alguns aspectos importantes, como o

sexo dos alunos, a argumentação utilizada e ainda a concepção dos alunos

sobre o que é uma prova.

Tal pesquisa concluiu que a grande maioria dos alunos não é capaz de

construir provas válidas: em geral, valem-se de argumentos empíricos para

construir uma prova, apesar de saberem que são mais pobres e não

receberiam a melhor nota de seus professores, e também que esse tipo de

prova não é geral, mas gera uma poderosa convicção para a afirmação que

pretende ser provada. Ainda, as provas narrativas são populares entre os

estudantes e estes têm mais sucesso ao construir provas valendo-se das

narrativas.

Além disso, pouquíssimos estudantes tiveram sucesso ao tentarem

construir provas sobre determinadas afirmações. Inclusive, as pesquisadoras

levantaram uma questão ao concluirem a pesquisa: “If students do not see

algebra as a language with which they can explain phenomena in mathematics

classrooms in which explanations are highly valued, what motivation can there

be for those who can successfully construct informal arguments to learn how to

reexpress them algebraically?” (Se os estudantes não vêem a Álgebra como

uma linguagem com a qual eles podem explicar fenômenos matemáticos em

sala de aula, onde as explicações são altamente valorizadas, qual motivação

pode haver para aqueles que podem com sucesso construir argumentos

informais para aprender como re-expressá-los algebricamente?) 2.

Após a criação desses questionários, alguns colaboradores aplicaram-

nos como questionários pilotos, para verificar a viabilidade das questões

utilizadas, o número de questões, o tempo de aplicação, o formato, entre outras

análises.

A partir dessas informações, os questionários foram re-elaborados e

aplicados em várias escolas públicas e privadas do estado de São Paulo.

2 Tradução minha

24

Após a aplicação, esses questionários foram codificados segundo uma

classificação inspirada nos tipos de provas propostos por Balacheff3. Tal

codificação será comentada posteriormente.

Depois de realizada a codificação, cada colaborador ficou responsável

por inserir os dados relativos a essas codificações em uma planilha eletrônica

do software MS-Excel.

Já a segunda fase contempla dois eixos inter-relacionados de

investigação: a aprendizagem e o ensino.

No eixo da aprendizagem, o objetivo principal é a elaboração e avaliação

de situações destinadas às áreas de dificuldades e limitações de compreensão.

No eixo relativo ao ensino, a atenção se voltará ao professor e sua contribuição

no processo de elaboração das situações de aprendizagem, e nas

modificações destas em ação.

Esta segunda fase, já em andamento, tem como metodologia o design-

based research (COBB et al. 2003), e foi dividida em duas etapas:

_ Na primeira etapa do design (etapa intra-grupos), as situações foram

elaboradas por grupos de três a cinco colaboradores e dois pesquisadores e,

em seguida, testadas/aplicadas em uma pequena amostra de alunos, e, por

fim, discutidas e reformuladas em cada grupo.

_ Na segunda etapa (inter-grupos), as produções de cada grupo foram

disponibilizadas no ambiente virtual, ambiente esse criado desde a primeira

fase (TELEDUC), de maneira que cada professor-colaborador pôde

desenvolver, pelo menos, duas atividades elaboradas pelos outros grupos

(uma em geometria e outra em álgebra), em uma de suas turmas.

Esta é a fase em que o projeto encontra-se atualmente (leia-se primeira

quinzena de março/2007), mais precisamente na segunda etapa desta.

1.5 A amostra e o objetivo da pesquisa

A aplicação dos questionários foi feita em vinte e oito escolas das redes

particular e pública, sendo que seis dessas são particulares, três são

municipais e o restante são escolas estaduais.

3 Balacheff, Nicolas. Processus de Prouve et Situations de Validation. Educational Studies in Mathematics, 18. Dordrecht: Kluwer Academic Publisher, 1987

25

A nossa amostra é de 1.998 alunos, sendo que 277 (13,77%) são da

Rede Particular de Ensino, 95 (4,75%) são da rede municipal de ensino e 1.626

(81,38%) são da Rede Estadual de Ensino. A grande maioria, portando,

pertence à Rede Estadual de Ensino. Além disso, temos 60 turmas de 8ª série

do Ensino Fundamental e 75 turmas da 1ª série do Ensino Médio. Com relação

ao número de alunos, temos 896 alunos na 8ª série do Ensino Fundamental e

1.102 alunos na 1ª série do Ensino Médio.

Na Rede Municipal de Ensino, todos os alunos participantes são da 8ª

série do Ensino Fundamental, correspondendo a 4,75% da amostra. Na Rede

Particular de Ensino, temos 197 alunos na 8ª série do Ensino Fundamental e

80 alunos no 1º ano do Ensino Médio, correspondendo respectivamente a

9,86% e 4,00% da amostra. Já na Rede Estadual de Ensino, temos 604 alunos

na 8ª série do Ensino Fundamental e 1.022 alunos no 1º ano do Ensino Médio,

que correspondem a 30,23% e 51,15% da amostra, respectivamente. Podemos

perceber que mais da metade da nossa amostra encontra-se no 1º ano do

Ensino Médio da Rede Estadual de Ensino.

Os questionários foram aplicados nos três períodos de ensino, ou seja,

matutino, vespertino e noturno. Tal aplicação ocorreu entre os meses de

outubro e novembro de 2005.

As 28 escolas que participaram da pesquisa estão situadas em 14

municípios: Embu Guaçu, Itapecerica da Serra, Itaquaquecetuba, Itupeva,

Jacareí, Jacupiranga, Jundiaí (2), Lorena, Osasco, Promissão, Santos, São

Bernardo do Campo (3), São Paulo (12) e São Roque, sendo que oito escolas

estão situadas no interior do estado de São Paulo (28,6%), uma no litoral

(3,6%) e dezenove na região metropolitana (67,8%).

A partir de nossa amostra de 1.998 respondentes, foram obtidos

aleatoriamente 50 alunos, conjunto esse denominado, em nosso trabalho,

grupo em foco. Tal escolha foi feita de forma que cada aluno do grupo em foco

correspondesse a aproximadamente 40 alunos da amostra.

Nosso trabalho investiga esse grupo em foco buscando identificar

tendências da amostra.

Os questionários desses alunos e as codificações dos mesmos serão

utilizados nesse trabalho para, num primeiro momento, fazermos uma

comparação entre a amostra e o grupo em foco. Depois, faremos um

26

cruzamento dos dados da questão A3 com os da questão A4 na grupo em foco.

A partir dos dados e dos cruzamentos dessas questões, escolheremos de

quatro a seis sujeitos para entrevistas, entrevistas estas baseadas nas

respostas apresentadas pelos alunos em seus questionários.

Portanto, nosso trabalho será, num primeiro momento, quantitativo,

apontando igualdades e divergências entre amostra e grupo em foco e depois

dentro do próprio grupo em foco. Num segundo momento, nosso trabalho será

qualitativo, com a realização de entrevistas com quatro a seis sujeitos

escolhidos do grupo em foco e análise dessas entrevistas.

Faremos ainda uma comparação entre os resultados obtidos aqui e os

obtidos pela pesquisa de Healy e Hoyles (2000).

27

CAPÍTULO 2

2.1 As idéias de Balacheff e o questionário de Álgebra

Como já apontamos anteriormente, os questionários de Álgebra e

Geometria foram baseados naqueles concebidos por Healy e Hoyles (1998) na

Inglaterra e já utilizados em outros países, como França, Taiwan, Israel e

Austrália.

Tais questionários compreenderam questões que visaram avaliar se os

alunos conseguem distinguir evidências empíricas de argumentos

matematicamente válidos, se compreendem e se são capazes de construir

argumentos válidos e se conseguem estabelecer o domínio de validade de uma

prova.

Os questionários estão estruturados e organizados em dois blocos:

avaliação de cinco argumentos apresentados como provas de uma

determinada afirmação e a construção de provas e argumentos.

Descrevemos a seguir o questionário de álgebra e suas estruturas e

organizações do mesmo.

QUESTÃO A1

Nessa questão, os respondentes deveriam analisar cinco

argumentações de supostos alunos sobre a afirmação de que “a soma de dois

números pares é par”. Após esta análise, eles escolheriam qual das cinco mais

se assemelharia à dele e para qual seu professor daria a maior nota.

Tais argumentações basearam-se nos tipos de provas apontados por

Balacheff (1987):

_ O Empirismo Ingênuo que, para validar uma propriedade, toma

alguns poucos casos, sem questionamento quanto à particularidade;

_ Experimento Crucial, na qual o indivíduo tenta, explicitamente,

generalizar um problema; ele intenta verificar a propriedade em caso

particular, mas sem considerá-lo tão particular;

28

_ O Exemplo Genérico, que consiste na explicitação das razões que

validam uma propriedade que encerra uma generalidade, mesmo

fazendo uso de uma representação particular do objeto em estudo;

_ Experimento Mental, onde a argumentação flui através de

pensamentos que controlam toda a generalização da situação, e não

mais através de situações particulares.

Para Balacheff, as provas são divididas em duas categorias:

pragmáticas e intelectuais. As primeiras apóiam-se sobre conhecimentos

práticos, utilizam ações, como por exemplo, desenhos, observação de figuras

para verificar que uma determinada afirmação é válida. Já as provas

intelectuais envolvem formulações e relações entre determinadas propriedades

em questão. A passagem das provas pragmáticas e intelectuais é marcada por

uma evolução dos meios de linguagem.

Exemplificaremos a seguir as quatro etapas de Balacheff na seguinte

situação:

O professor pede aos alunos para verificarem se o número de diagonais

de um polígono de n lados é dado pela fórmula 2

)3( −nn .

Para validar tal resultado, os alunos poderiam valer-se de uma das

quatro etapas de Balacheff:

_ No empirismo ingênuo, o aluno desenharia um polígono de 5 lados e

traçaria as diagonais, encontrando 5 diagonais. Daí aplicaria a fórmula,

verificando que 52

)35(5=

− , e daí a fórmula é válida para qualquer

polígono.

_ No experimento crucial, o aluno desenha um polígono com um

número de lados maior, por exemplo, 13 lados, e traça todas as suas

diagonais, encontrando 65. Após desenhar, testa a fórmula e verifica

que o resultado é o mesmo, ou seja, 652

)1013(13=

− , e conclui que a

fórmula é válida para qualquer polígono. Vale observar que aqui o aluno

busca depreender uma generalização empírica.

29

_ No exemplo genérico, o aluno utiliza o caso particular do hexágono,

verificando que de cada vértice partem 3 diagonais, obtendo um total de

18 diagonais. Mas, observa que cada diagonal é contada duas vezes,

então divide o valor encontrado, ou seja, 18 por 2, encontrando 9

diagonais. O aluno percebe também que o mesmo acontece para outros

polígonos, mudando apenas o número de diagonais que sai de cada

vértice.

_ No experimento mental, o aluno mostra que para encontrar o número

de diagonais de um polígono, basta considerar o número de diagonais

que partem de cada vértice. Para isto, basta tomar o número de vértices

e subtrair seus dois vizinhos e ele mesmo, ou seja, 3, multiplicar o

resultado pelo número de vértices, e depois dividir por 2, pois cada

diagonal é contada duas vezes. Daí se considerarmos n como sendo o

número de vértices do polígono, teríamos 2

)3( −nn .

Apresentamos, a seguir, cada uma das provas apresentadas na questão

e onde se encaixam nos tipos de provas de Balacheff.

Quadro 1 – Questão A1 do questionário de Álgebra

A1: Artur, Beth, Duda, Franklin e Hanna estavam tentando provar que a seguinte afirmação é verdadeira: Quando você soma dois números pares quaisquer, o resultado é sempre par.

Resposta de Artur a é um número inteiro qualquer b é um número inteiro qualquer 2a e 2b são números pares quaisquer 2a +2b = 2 (a + b) Então Artur diz que a afirmação é verdadeira.

Resposta de Beth 2 + 2 = 4 4 + 2 = 6 2 + 4 = 6 4 + 4 = 8 2 + 6 = 8 4 + 6 = 10 Então Beth diz que a afirmação é verdadeira.

30

Resposta de Duda Números pares terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8. Quando você soma dois destes, a resposta

vai ainda terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Então Duda diz que a afirmação é verdadeira.

Resposta de Franklin

Então Franklin diz que a afirmação é verdadeira

Resposta de Hanna 8 + 6 = 14 8 = 2 x 4 6 = 2 x 3 14 = 2 x (4 + 3) 8 + 6 = 2 x 7 Então Hanna diz que a afirmação é verdadeira

Das respostas acima, escolha uma que é a mais parecida com a resposta que você daria se tivesse que resolver esta questão. Das respostas acima, escolha aquela para a qual você acha que seu professor daria a melhor nota.

Na resposta de Arthur, temos o Experimento Mental, pois apresenta

deduções lógicas, baseadas em propriedades.

Na resposta de Beth, temos o Empirismo Ingênuo, pois constata que a

afirmação é válida para alguns casos particulares e afirma que é valida para

todos os casos.

Na resposta de Duda, seria um caso de Exemplo Genérico,

caracterizado pela verificação da afirmação e de algumas propriedades em um

exemplo, mas sem considerá-lo particular.

Na resposta de Franklin, temos o Exemplo Genérico, que apresenta

propriedades válidas, mesmo fazendo uso de um caso particular.

31

Na resposta de Hanna, temos também uma evidência de Exemplo

Genérico, pois usa um exemplo para verificação das propriedades e para

verificar se a afirmação é verdadeira ou não, mas sem considerar esse

exemplo tão particular, intenta construir uma generalidade usando esse

exemplo.

Ainda a questão A1 tratava de obter dos alunos uma avaliação sobre a

generalidade dos argumentos apresentados:

A afirmação é:

Quadro 2 – Continuação da questão A1 do questionário de Álgebra

Quando você soma dois números pares quaisquer, o resultado é sempre par. Para cada resposta abaixo, circule SIM, NÃO ou NÃO SEI. Mostra que a afirmação é

sempre verdadeira. Mostra que a afirmação

é verdadeira apenas para

alguns números pares.

Resposta de Artur

Sim

Não

Não sei

Sim

Não

Não sei

Resposta de Beth:

Sim

Não

Não sei

Sim

Não

Não sei

Resposta de Duda:

Sim

Não

Não sei

Sim

Não

Não sei

Resposta de Franklin:

Sim

Não

Não sei

Sim

Não

Não sei

Resposta de Hanna:

Sim

Não

Não sei

Sim

Não

Não sei

Pretendíamos aqui que o aluno conseguisse determinar se as

argumentações apresentadas são válidas sempre, em alguns casos ou nunca.

Ainda, colocamos uma opção para quando não soubesse dizer (Não Sei).

QUESTÃO A2

Nessa questão, intentamos avaliar a compreensão dos alunos para a

generalização ou não de um resultado já provado anteriormente.

32

O resultado era “QUANDO VOCÊ SOMA DOIS NÚMEROS PARES

QUAISQUER, O RESULTADO É SEMPRE PAR” e o aluno teria que assinalar

se a afirmação “QUANDO VOCÊ SOMA DOIS NÚMEROS PARES MAIORES

QUE 100, O RESULTADO É SEMPRE PAR” já estaria provada a partir da

afirmação anterior ou se ele teria que construir uma nova prova.


A2. Suponha que já foi provado que: Quando você soma dois números pares quaisquer, o resultado é sempre par. Zé pergunta o que precisa ser feito para provar que: Quando você soma dois números pares maiores que 100, o resultado é sempre par.

Escolha A ou B: (A) Zé não precisa fazer nada, pois a afirmação já foi provada. (B) Zé precisa construir uma nova prova.

Iremos agora para a questão A5, pois as questões A3 e A4 são os

objetos de estudo deste trabalho e serão detalhadas mais à frente.

QUESTÃO A5

Na questão A5, buscamos verificar a compreensão dos alunos sobre a

noção de fatorial.

Iniciamos a questão colocando a definição de fatorial de um número

natural e depois apresentamos cinco questões relativas ao fatorial

A5(a): Perguntamos: “5! É par? Justifique”. Como já havíamos colocado

o que significava 5!, esperávamos que os alunos verificassem que 2 é um fator

de 5!, e portanto 5! é par, ou que fizessem os cálculos e chegassem ao produto

120.

A5(b): Perguntamos: “O que significa 8!”, e esperávamos como resposta

8·7·6·5·4·3·2·1.

33

A5(c): Perguntamos: “8! é múltiplo de 21? Justifique”, e esperávamos

que os alunos observassem que os termos 3 e 7 aparecem no produto de 8!

A5(d): Perguntamos: “62! é múltiplo de 37? Justifique”, e esperávamos

que os alunos observassem que 37 é um dos fatores do produto de 62!. Vale

notar que o cálculo nesse caso é totalmente inviável.

A5(e): Perguntamos: “Pedro calculou 23!. Sem calcular, determine o

último algarismo do resultado encontrado por Pedro” e esperávamos que os

alunos observassem que existe um fator 10 no produto de 23!, e, portanto, o

último algarismo de 23! é 0.


A5: Sabendo que:

4! significa 4 x 3 x 2 x 1

5! significa 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Responda: a) 5! é um número par? Justifique b) O que significa 8! ? c) 8! é um múltiplo de 21 ? Justifique d) 62! é um múltiplo de 37 ? Justifique

34

e) Pedro calculou 23! Sem calcular, determine o último algarismo do resultado encontrado por Pedro. Justifique

As questões A3 e A4, objetos de estudo deste trabalho, serão explicadas

a seguir.

Em ambas, intentamos verificar como os alunos constroem provas e

argumentos. Pedimos para que eles respondessem se cada uma das

afirmações apresentadas é verdadeira ou falsa e depois justificassem.

Para uma melhor compreensão do assunto tratado nessa questão,

sugerimos a leitura da dissertação de Mestrado de Ednaldo José Leandro, que

trata especificamente da questão A5 e também dos resultados obtidos.

A QUESTÃO A3

Nessa questão, a afirmação era: “QUANDO VOCÊ SOMA DOIS

NÚMEROS ÍMPARES QUAISQUER, O RESULTADO É SEMPRE PAR”. Nossa

intenção era verificar se os alunos conseguiriam, primeiramente, verificar se

essa afirmação é verdadeira ou falsa, e após, se conseguiriam criar alguma

justificativa para essa afirmação.


A3. A afirmação abaixo é verdadeira ou falsa?

Quando você soma dois números ímpares quaisquer, o resultado é sempre par. Justifique sua resposta.

35

A QUESTÃO A4

Nessa questão, afirmou-se: “QUANDO VOCÊ SOMA UM MÚLTIPLO DE

TRÊS QUALQUER COM UM MÚLTIPLO DE SEIS QUALQUER, O

RESULTADO É SEMPRE UM MÚLTIPLO DE TRÊS”.

Como na questão anterior, intentamos verificar se os alunos consideram

a afirmação verdadeira ou falsa e, após, verificar se os alunos conseguiriam

criar argumentos válidos para a justificativa de sua resposta.


A4. A afirmação abaixo é verdadeira ou falsa?

Quando você soma um múltiplo de três qualquer com um múltiplo de seis qualquer, o resultado é sempre um múltiplo de três.

Justifique sua resposta.

Na próxima seção, explicaremos os códigos criados para a codificação

dos questionários e em quais questões tais códigos foram utilizados. 2.2 Codificações utilizadas nas questões A3 e A4

Os códigos utilizados em nosso trabalho basearam-se naqueles criados

por Balacheff (1987):

• Empirismo Ingênuo;

• Experimento Crucial;

• Exemplo Genérico; e

• Experimento Mental,

já descritos anteriormente.

36

Porém, antes de iniciarmos a criação dos códigos, deveríamos saber

identificar claramente cada um dos itens acima. Com reuniões quinzenais,

discutimos em algumas delas única e exclusivamente os questionários pilotos,

aplicados por alguns dos colaboradores. Esse foi o ponto de partida para

definirmos os códigos.

Numa primeira análise, pensamos na criação dos seguintes códigos:

0 – resposta errada ou EM BRANCO

1 – resposta com empirismo ingênuo

2 – resposta com alguma dedução, mas não completa

3 – resposta completa

Porém, após a análise mais detalhada dos questionários pilotos e as

deduções acerca desses, percebemos que, nas respostas com algum tipo de

dedução, mas não completas, umas eram mais completas que outras. Daí

surgiu a idéia de criarmos uma divisão dentro do código 2:

2a – resposta com alguma dedução, mas falta muito para chegar à prova

completa.

2b – resposta com alguma dedução e falta pouco para chegar à prova

completa.

O código 2a seria para aquelas respostas que estão mais próximas do

Empirismo Ingênuo de Balacheff e o código 2b para aquelas mais próximas do

Experimento Mental. Podemos dizer, inclusive, que o código 2a seria para os

casos de Experimento Crucial e o código 2b para os casos de Exemplo

Genérico.

Além disso, concluímos que seria diferente o aluno deixar a resposta EM

BRANCO ou escrever algo, mesmo que errado. E ainda, seria diferente o aluno

deixar a resposta EM BRANCO e escrever algo como “NÃO SEI” ou “NÃO

ENTENDI”, que para nós seriam os mesmos códigos.

Assim, após todas essas discussões, concluímos que os códigos

deveriam ser divididos em alguns casos, a saber:

37

Código -2 – respostas EM BRANCO

Código -1 – respostas do tipo “Não Sei” ou “Não entendi”

Código 0 – respostas erradas

Código 1 – respostas com Empirismo Ingênuo

Código 2a – respostas com Experimento Crucial

Código 2b – respostas com Exemplo Genérico

Código 3 – respostas com Experimento Mental

Após a criação e definição dos códigos que seriam usados para os

questionários, em três das reuniões quinzenais, pegamos alguns dos

questionários pilotos, codificamo-los e cada um dos colaboradores deu o seu

parecer para o código adotado. Ao chegarmos a um consenso, colocamos a

opinião daquele grupo no ambiente virtual (TELEDUC) para discussão de todos

os participantes do projeto.

Depois, com os códigos criados e com a codificação definida para as

respostas apresentadas, passamos à fase de criação de um caderno de

codificações. Tal caderno serviria de base para todas as codificações dos

colaboradores, tanto no questionário de Álgebra quanto no de Geometria.

Esses códigos serviram de base para a criação da planilha eletrônica do

MS-Excel, para que todos os colaboradores pudessem inserir suas

codificações dos questionários aplicados.

Lembramos que a codificação foi individual, e, portanto, cada um dos

colaboradores teve o seu parecer único para a inserção dos dados. Isso é

importante frisar, pois encontramos alguns erros nas tabelas enviadas por

alguns dos colaboradores, para a criação de uma tabela geral com a

codificação de todos os colaboradores. Esta tabela geral foi corrigida para

nossa pesquisa pelos mestrandos que trabalharão com os questionários, como

já dissemos na apresentação.

Vale comentar também que esses códigos são válidos para todas as

questões em que o aluno teria que apresentar alguma justificativa para sua

resposta. Porém, em algumas das questões, por exemplo, na questão A5, que

trata do fatorial, houve uma divisão ainda do código 3 em duas partes. Para

mais detalhes, sugerimos a leitura da dissertação de Ednaldo José Leandro.

38

Ressaltamos que nas questões objetos de nosso estudo, o aluno teria

antes que dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa. Nossa codificação ficou,

então, dividida em duas partes: a primeira, onde verificamos se o aluno

respondeu se era verdadeira ou falsa e a segunda onde codificamos suas

justificativas conforme exemplos apresentados mais à frente.

Tabela 1 – Codificação das respostas dos alunos

Descrição Código Resposta: Falso 0 Resposta: Verdadeiro 1 Resposta em Branco -2 Respostas do tipo “Não Sei” ou “Não Entendi” -1

Tabela 2 – Codificação das justificativas dos alunos

Justificativas Código

Justificativas Erradas ou que repetem o enunciado (ciclo vicioso)

0

Justificativas sem deduções ou inferências, totalmente empíricas

1

Justificativas com alguma dedução/inferência, explicitação de propriedades pertinentes, ou elementos que evidenciam uma estrutura matemática, sem, contudo, chegar à prova concreta. Dividida em: - falta muito para chegar à prova (mais próxima de 1) - falta pouco para chegar à prova (mais próxima de 3)

2a 2b

Justificativas totalmente corretas, com todos os passos necessários à prova.

3

Justificativas em Branco -2

Justificativas do tipo “Não Sei” ou “Não Entendi” -1

2.3 Alguns exemplos de codificações utilizadas

Apresentamos agora exemplos, tanto do grupo em foco quanto da

amostra, em algumas categorias acima, com as respostas dos alunos para as

questões que são objetos de nossa análise. Primeiramente, vejamos a questão

A3 – A soma de dois números ímpares é par.

RESPOSTAS QUE RECEBEM 0

39

(Respostas totalmente erradas, respostas que não apresentam justificativas

ou exemplos, ou respostas que simplesmente repetem o enunciado

caracterizando um ciclo vicioso).

• Respostas justificando que a afirmação é falsa:

Figura 1 – Exemplo 1 falso para codificação de A3

(Falsa porque se somarmos 1 com 3 o resultado é 4 número par ou se somarmos 67 com 43 que dá 110 também número

par. 3 67 1 43 4 110)

Esse aluno deve ter entendido que a soma de dois ímpares é ímpar, e,

portanto, argumentou que a afirmação era falsa.

• Respostas que concordam, mas justificam uma outra afirmação:


(Sim, porque ao multiplicar por 2 dará um número par)

Esse aluno justificou que a multiplicação por 2 é um número par, o que

não era a pergunta.

• Respostas que apresentam casos empíricos que não envolvem dois

números ímpares:


(Sim porque já foi aprovada Ex: 104 + 104 = 108)

40

Nesse caso, o aluno além de ter entendido, talvez, que era a soma de dois

pares resultando em um par, também efetuou a soma de forma equivocada.

Perceba que ele somou 104+104=108 e não 208.

RESPOSTAS QUE RECEBEM 1 (Alguma informação pertinente, mas sem deduções ou inferências – por

exemplo, respostas que são completamente empíricas)

• Respostas apresentando 1 ou mais exemplos:

Figura 4 – Exemplo 1 verdadeiro para código 1 de A3

(Sim, pois independente dos números ímpares que são somados, a resposta é sempre par!

Ex: 1+3=4 par 3+9=12 nº par )

Classificação segundo Balacheff: Empirismo Ingênuo

Esse aluno apenas colocou dois exemplos e daí afirmou que a era

verdadeira.


(Sim, porque a soma de um nº ímpar somado com outro equivale o resultado par.

Ex: 5+7=12, 3+1=4, 9+11=20 e assim por diante) Classificação segundo Balacheff: Empirismo Ingênuo

Novamente, o aluno simplesmente apresentou alguns exemplos e

concluiu que a afirmação era verdadeira.

41


(Sim, porque se você soma dois números quaisquer ímpares; é divisor de 2, daria para dividir por 2

Por exemplo +3 A partir que você soma dois números ímpares tem como resposta números pares 3 Ex: Se você vai á feira e compra 5 bananas e no supermercado você decide com-

6 prar mais 3 ao total terá =8) 6:2=3


Aqui, temos uma resposta interessante, pois o aluno cria um pequeno

problema para justificar sua afirmação, porém não sai de um exemplo.

• A seguinte resposta recebeu codificação 1 porque não é claro se o aluno

está fazendo mais que simplesmente adicionando 1 + 1:


(Sim, pois 1 você somando ele com ele mesmo estava acrescentando mais 1 que dará 2: 1+1=2)


42

Aqui, não ficou claro para nós se o aluno estava tentando explicar o que

era um número ímpar ou simplesmente efetuando 1+1.

RESPOSTAS QUE RECEBEM 2A

(Respostas que usam exemplos empíricos, mas extrapolam estes

exemplos, não sendo muito claros quanto a estrutura de números ímpares).

Figura 8 – Exemplo 1 verdadeiro para código 2a de A3

(Verdadeira pois sempre que você soma dois números ímpares o resultado é par. Exemplos:

3+3 = 6 15+15=30

1335+4579=5914 R. A resposta é par porque o número que sobra do ímpar se completa com o outro e os dois juntos são par)

Classificação segundo Balacheff: Experimento Crucial

Perceba que esse aluno colocou alguns exemplos válidos, caracterizando

um Empirismo Ingênuo, mas depois ele extrapola, colocando números muito

diferentes e verificando que a soma desses daria um número par.


(Sim. Porque passa um número a mais do que se fosse par e quando somados são dois formando o número par)


43

Aqui, o aluno tenta mostrar o que é um número ímpar, mas não nos é

claro o que ele quis dizer com o “passa um número a mais do que se fosse

par”.


(Verdadeira, 5+7=12

3+3=6 101+103=204 1+1=2)


Novamente, o aluno começa com alguns exemplos, nos evidenciando um

Empirismo Ingênuo, mas depois esse exemplo é extrapolado, no caso,

101+103.

RESPOSTAS QUE RECEBEM 2B (Respostas que dividem números impares em números pares +/- 1, mas

usam o mesmo número duas vezes (ex: 3 + 3) em todos os exemplos).

Figura 11 – Exemplo 1 verdadeiro para código 2b de A3

(A afirmação é verdadeira.

Ao somar dois números ímpares, soma-se uma unidade ímpar de cada parcela: 3+3=(2+1)+(2+1)=(2+2)+(1+1)=6

35+35=(34+1)+(34+1)=(34+34)+(1+1)=70 97+97=(96+1)+(96+1)=(96+96)+(1+1)=194)

Classificação segundo Balacheff: Exemplo Genérico

Aqui, o aluno divide números ímpares em números pares mais 1, faz as

associações necessárias, mas usa o mesmo número para efetuar a soma

44

(ex.35+35). Nas nossas reuniões, decidimos que esse tipo de argumentação,

apesar de ser muito boa, ainda não é uma prova completa, e, portanto,

receberia o código 2b.


(Sim, porque 5+5=10

Ex.: tira o máximo de números pares do 5, é 4 então fica 4+4 e sobra 1+1. É 4+4 = 8 par 1+1 = 2 par

O resultado é sempre par) Classificação segundo Balacheff: Exemplo Genérico

Novamente temos o mesmo caso apresentado acima. O aluno usa o

mesmo número ao efetuar a soma (5+5), evidência, para nós, de código 2b.

RESPOSTAS QUE RECEBEM 3 (Respostas que explicam bem a estrutura de números ímpares em termos

gerais, mesmo ilustrando-os com dois números iguais).

Figura 13 – Exemplo verdadeiro para código 3 de A3

(∴+∴ =

.. + .. . .

45

(Se um número é ímpar, conclui-se que este, ao ser desmembrado em pares (de 2 em 2), se agrupa, e sempre sobrará 1, independente do nº, pois é isso que o faz ser ímpar.

Podemos então agrupar parceladamente este número, para facilitar, da seguinte forma: transformando ambos em números pares, subtraindo 1 = PAR + PAR = PAR

que é o que o faz ser ímpar!

Sempre sobrarão então 1 de cada número. Estes, se unem e formam um par por si próprios, e então se juntam ao total, totalizando sempre então, um número par.)

Classificação segundo Balacheff: Experimento Mental

Aqui, não nos baseamos no exemplo que o aluno colocou (3+3) e sim na

argumentação que ele usou. Ele escreve que, se o número é ímpar, ele pode

ser desmembrado em números pares e sempre sobrará 1. Ao juntarmos esse 1

que sobra de cada um dos pares, esses se juntam e formam um par, que

acrescido ao resultado da soma das parcelas pares formará um par. Em

linguagem geral, sem usar a linguagem algébrica, esse aluno nos mostra o que

é um número ímpar, a propriedade associativa e o que acontece com a soma

de dois ímpares.

Vejamos agora alguns exemplos de questionários para a questão A4 –

Quando somamos um múltiplo de 3 com um múltiplo de 6, o resultado é um

múltiplo de 3.


(Respostas totalmente erradas, respostas que não apresentam justificativas

ou exemplos, ou respostas que simplesmente repetem o enunciado

caracterizando um ciclo vicioso).

Figura 14 – Exemplo 1 falso para A4

(Se multiplicar

3x6=18 Ou

6x3=18 Vai dar a mesma resposta!

46

Sim, se você multiplicar com os mesmos números dará o mesmo resultado)

Esse aluno argumentou, na verdade a propriedade comutativa, onde a

ordem dos fatores não altera o produto. Apesar de ter colocado exemplos

válidos, ele não afirmou que a soma de um múltiplo de 3 com um múltiplo de 3

resulta em um múltiplo de 3.

Figura 15 – Exemplo 2 falso para A4

(Não porque pode acontecer de não dar múltiplos diferentes.)

Aqui, o aluno concluiu que a afirmação era falsa, pois podem dar múltiplos

diferentes, o que não é claro para nós.


(Respostas apresentando 1 ou mais exemplos)


(3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

6 12 18 14 30 36 42 48 54 60 Verdadeira se somarmos por exemplo 15 com 60 obteremos 75 e se multiplicarmos 3 por 25 obteremos esse valor)


Esse aluno colocou a tabuada do 3 e do 6, efetuou algumas somas e

concluiu, ao dividir 75, que é a soma de 15 por 60, por 3 resulta numa divisão

exata.

47

RESPOSTAS QUE RECEBEM 2A

(Respostas que explicam que múltiplos de seis são sempre múltiplos de

três, em termos gerais, mas não apresentam informação sobre sua soma).


(porque seis é múltiplo de três desde então todos seus múltiplos são de três também)


Esse aluno, além de ter afirmado que 6 é múltiplo de 3, ainda disse que

todos os múltiplos de 6 são também de 3, mas não afirma nada sobre a soma

dos múltiplos.


(A afirmação é verdadeira, pois todo múltiplo de seis é obrigatoriamente múltiplo de três (e dois)

6:3=2 660:3=220 6:6=1 660:6=110)


Esse aluno nos escreve que todo múltiplo de 6 é obrigatoriamente múltiplo

de 3 e de 2, mas não diz nada sobre a soma dos múltiplos. Simplesmente

coloca que 660:3=220 e 660:6=110, ou seja, que 660 é múltiplo de 3 e de 6.

Acreditamos que ele estava tentando justificar sua afirmação, de que todos os

múltiplos de 6 são também de 3.

48

RESPOSTAS QUE RECEBEM 2B

(Respostas que explicam que múltiplos de 6 são múltiplos de 3 e também

fazem alguma menção à soma, porém com exemplos, sem generalização).


(Verdadeiro, pois todo número múltiplo de seis será sempre um número múltiplo de três. Com isso, podemos perceber

que somados dão em um múltiplo de três 6 + 12 = 18

Múltiplo de 3 múltiplo de 3 e 6 múltiplo de 3)


Esse aluno argumentou que todo múltiplo de 6 é também de 3 e daí

coloca um exemplo para evidenciar a afirmação de que a soma de um múltiplo

de 3 com um múltiplo de 6 é um múltiplo de 3. Mas, como já dissemos, ele faz

isso com um exemplo, não usa a propriedade associativa para comprovar o

fato.


(Sim, pois 6 é múltiplo de 3, logo a soma de um múltiplo de 3 com um múltiplo de 6 é múltiplo de 3

(3a+6b = múltiplo de 3) ) Classificação segundo Balacheff: Exemplo Genérico

49

Aqui, o aluno afirma que múltiplo de 6 é múltiplo de 3 e daí escreve que 3a

+ 6b é um múltiplo de 3. Novamente, o aluno não usa a propriedade

associativa para comprovar sua afirmação, apesar de ter usado a linguagem

algébrica para tentar fazê-lo.


(Respostas completas, com argumentos algébricos, valendo-se do

algoritmo da divisão por 3, e da propriedade associativa, ou de recursos

equivalentes).


(Verdadeira: múltiplos de 3 são do tipo 3.x e múltiplos de 6 são do tipo 6.y = 3.2.y

Então, somando, temos: 3x + 3.2y = 3.(x+2y) múltiplo de 3 )

Propriedade distributiva


O aluno usou a linguagem algébrica para mostrar o que é um múltiplo de 3

e um de 6, usa a propriedade associativa na soma e daí conclui que a soma é

um múltiplo de 3.

50

CAPÍTULO 3 – ANÁLISE QUANTITATIVA

3.1 Introdução

Nesse capítulo faremos uma análise descritiva dos dados e alguns

comentários sobre a amostra e o grupo em foco. Levantaremos tendências da

amostra a partir do grupo em foco e faremos ainda uma comparação entre

ambas (amostra e grupo em foco).

Após essa análise, exibiremos algumas tabelas sobre o grupo em foco,

apontando relações entre sujeito e resposta.

Com isso, teremos uma análise mais detalhada do grupo em foco, de

como os alunos apresentam suas argumentações para essas questões.

3.2 As planilhas do Excel

Como já dissemos anteriormente, após a codificação dos protocolos, os

dados foram colocados numa planilha do Excel padronizada para todos os

aplicadores. Cada aplicador ficou responsável pela inserção dos dados de seus

protocolos na planilha.

Descrevemos agora rapidamente a planilha e a inserção de dados. Esta

planilha possui colunas com todas as questões e os códigos que estas

poderiam receber.

Vejamos um exemplo: se o aluno respondeu que a afirmação A3 é

verdadeira, colocaríamos 1 na coluna verdadeiro da questão A3 e 0 na coluna

falso. Se deixasse em branco, colocaríamos -2 em ambas as colunas e se

escrevesse algo como “não sei” ou “não entendi”, colocaríamos -1 em ambas

as colunas.

Quanto à justificativa, digamos que esta recebeu código 2a (resposta

correta, com algumas deduções e estruturas matemáticas, mas falta muito para

chegar à resposta correta, mais próximo de 1). Então colocaríamos 0 nas

colunas 0, 1, 2b e 3, e colocaríamos 1 na coluna 2a. Ainda, se o aluno não

apresentasse justificativa, deixasse em branco, colocaríamos -2 em todas as

51

colunas e se escrevesse algo como “não sei” ou “não entendi” colocaríamos -1

nessas colunas.

Foi criada, então, uma planilha geral, com as respostas de ambos os

questionários de todos os 1998 alunos. Depois, feito o sorteio de nosso grupo

em foco, recortamos as linhas correspondentes a esses alunos e colocamos

em uma nova planilha.

Apresentamos abaixo o recorte dessa planilha de 50 alunos com os

dados referentes às questões A3 e A4. Tabela 3 – Recorte das questões A3 e A4 do grupo em foco

A3 A4 V ou F? Justificativa V ou F? Justificativa

Nº V F 0 1 2a 2b 3 V F 0 1 2a 2b 3 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 3 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 4 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 5 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 6 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 7 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 8 0 1 1 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 9 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

10 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 11 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 12 1 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 13 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 14 0 1 1 0 0 0 0 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 15 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 16 1 0 0 1 0 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 17 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 18 1 0 0 1 0 0 0 1 0 -2 -2 -2 -2 -2 19 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 20 1 0 1 0 0 0 0 1 0 -2 -2 -2 -2 -2 21 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 22 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 23 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 24 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 25 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 26 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 27 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 28 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 0 -2 -2 -2 -2 -2 29 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 30 1 0 0 1 0 0 0 0 1 -2 -2 -2 -2 -2 31 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 32 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 33 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 34 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0

52

35 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 36 1 0 0 0 1 0 0 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 37 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 38 1 0 0 0 1 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 39 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 40 0 1 1 0 0 0 0 1 0 -2 -2 -2 -2 -2 41 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 42 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 43 1 0 0 1 0 0 0 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 44 1 0 0 0 0 0 1 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 45 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 46 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 47 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 48 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 49 1 0 1 0 0 0 0 1 0 -2 -2 -2 -2 -2 50 0 1 1 0 0 0 0 0 1 -2 -2 -2 -2 -2

3.3 Análises quantitativas da amostra

Apresentamos agora as tabelas referentes à análise descritiva da

amostra. Primeiramente, exibiremos 4 tabelas referentes à amostra,

correspondentes às questões A3 e A4 e suas justificativas.

Tabela 4 – Questão A3 - amostra

Questão A3 - A soma de dois ímpares é par (amostra) VERDADEIRO FALSO SEM RESPOSTA

1641 231 126 82,13% 11,56% 6,31%

Podemos perceber que mais de 82% da amostra considerou essa

afirmação verdadeira, enquanto que por volta de 11% considerou-a falsa.

Ressaltamos que consideramos SEM RESPOSTA os protocolos EM BRANCO

(código -2) ou que continham algo como “NÃO SEI” ou “NÃO ENTENDI”

(código -1). Tivemos um pouco mais de 6% nessa categoria.

Agora, vejamos as justificativas dessa questão:

Tabela 5 – Justificativa da questão A3 - Amostra

Questão A3 - Justificativa - A soma de dois ímpares é par (amostra) 0 1 2a 2b 3 SEM RESPOSTA

562 1114 87 46 10 179 28,13% 55,76% 4,35% 2,30% 0,50% 8,96%

53

Verificamos que por volta de 28% da amostra justificou essa afirmação

de maneira incorreta. Ainda, a grande maioria, acima de 55% da amostra,

justificou de maneira empírica, usando exemplos, mas sem apresentar

propriedades matemáticas. Verificamos ainda que menos de 1% da amostra

teve sua resposta codificada como 3, ou seja, apresentou uma resposta

totalmente correta, com estruturas matemáticas bem definidas. Apontamos

também que um pouco menos de 9% da amostra corresponde à categoria SEM

RESPOSTA.

Vejamos agora o que aconteceu com a questão A4:

Tabela 6 – Questão A4 - Amostra

Questão A4 - A soma dos múltiplos é múltiplo de 3 (amostra) VERDADEIRO FALSO SEM RESPOSTA

1175 313 510 58,81% 15,67% 25,53%

Verificamos aqui que quase 60% da amostra considerou a afirmação

verdadeira, enquanto que um pouco mais de 15% da amostra disse que a

afirmação era FALSA. Temos ainda que por volta de 25% da amostra ficou na

categoria SEM RESPOSTA.

Apresentamos agora a tabela com as justificativas nessa questão.

Tabela 7 – Justificativa da Questão A4 - Amostra

Questão A4 - Justificativa - A soma dos múltiplos é múltiplo de 3 (amostra) 0 1 2a 2b 3 SEM RESPOSTA

658 550 116 56 8 610 32,93% 27,53% 5,81% 2,80% 0,40% 30,53%

Verificamos aqui que mais de 32% da amostra justificou a afirmação de

forma errada. Ainda, um pouco mais de 27% da amostra apresentou uma

justificativa empírica. Verificamos também que um pouco menos de 1% da

amostra obteve código 3 em sua justificativa, ou seja, apresentou uma

estrutura bem definida, chegando à justificativa correta da afirmação. Temos

também mais de 30% da amostra na categoria SEM RESPOSTA.

Façamos uma comparação entre essas informações:

54

Podemos perceber que a questão A3 teve quase 25 pontos percentuais

a mais na categoria verdadeiro que a questão A4. Além disso, tivemos um

aumento considerável, em A4, no quesito SEM RESPOSTA.

Podemos considerar que os alunos tiveram mais facilidade para verificar

que a questão A3 era verdadeira em relação à A4. Além disso, muitos alunos

não responderam à questão A4, o que reafirma essa análise. Com relação a

afirmar que a questão era falsa, tivemos um equilíbrio.

Uma hipótese para esse desempenho é que os alunos sabem distinguir

mais facilmente números pares de ímpares do que quando falamos em

múltiplos. Retornaremos a essa afirmação quando falarmos de nossas

conclusões parciais.

Com relação às justificativas, tivemos por volta de 28% de justificativas

erradas na questão A3 contra 32%, mais ou menos, na questão A4. Ainda,

tivemos mais da metade de justificativas empíricas na questão A3 contra uma

redução de quase 18 pontos percentuais para a questão A4. Na categoria SEM

RESPOSTA, tivemos quase 9% na questão A3 contra mais de 30% na questão

A4.

Podemos perceber que, estando a argumentação correta, a justificativa

empírica foi a mais usada em ambas as questões. Ainda tivemos uma grande

migração do código 1 da justificativa de A4 para a categoria SEM RESPOSTA,

em relação à questão A3. Isso confirma nosso conceito de que os alunos

tiveram mais facilidade na questão A3 que na questão A4. As outras categorias

apresentaram praticamente as mesmas porcentagens nas questões supra

mencionadas, a grande diferença foi mesmo na justificativa codificada como 1

e nas justificativas categorizadas aqui como SEM RESPOSTA.

Agora, voltando à questão A3, apresentaremos as tabelas referentes à

série em que o aluno se encontra. Comecemos pelas tabelas que apresentam

os resultados da 8ª série do Ensino Fundamental e em seguida, exibiremos os

resultados obtidos pelos alunos do 1º ano do Ensino Médio.

Tabela 8 – Questão A3 – Amostra – 8ª série EF

Questão A3 - A soma de dois ímpares é par (amostra-8ª) VERDADEIRO FALSO SEM RESPOSTA

86,38% 9,49% 4,13%

55

Tabela 9 – Justificativa da Questão A3 – Amostra – 8ª série EF

Questão A3 - Justificativa - A soma de dois ímpares é par (amostra-8ª) 0 1 2a 2b 3 SEM RESPOSTA

28,13% 55,76% 4,35% 2,30% 0,67% 6,36% Tabela 10 – Questão A3 – Amostra – 1ª série EM

Questão A3 - A soma de dois ímpares é par (amostra-1º) VERDADEIRO FALSO SEM RESPOSTA

78,68% 13,07% 8,25% Tabela 11 – Justificativa da Questão A3 – Amostra – 1ª série EM

Questão A3 - Justificativa - A soma de dois ímpares é par (amostra-1º) 0 1 2a 2b 3 SEM RESPOSTA

30,94% 52,27% 3,72% 1,63% 0,36% 11,07%

Nessa questão, podemos perceber que, percentualmente, os alunos da

8ª série do Ensino Fundamental (EF) foram melhores que os alunos do 1º ano

do Ensino Médio (EM), quando observamos as respostas com relação à

questão ser verdadeira ou falsa. Tivemos por volta de 86% dos alunos de 8ª

série do EF respondendo que a questão era verdadeira, contra mais de 78%

dos alunos do 1º ano do EM. Além disso, aproximadamente 5% dos alunos do

1º ano do EM deixaram a questão SEM RESPOSTA, em comparação com os

alunos da 8ª série do EF.

Com relação à justificativa apresentada, novamente verificamos que os

alunos de 1º ano do EM tiveram um aproveitamento menor que os alunos da 8ª

série do EF, principalmente quando observamos as justificativas 2a, 2b e 3,

que seriam as justificativas com pelo menos uma inferência, uma propriedade

importante para a prova da questão. Vale observar também a grande diferença

que tivemos com relação aos alunos que deixaram a questão SEM

RESPOSTA. Percentualmente, os alunos de 1º ano do EM, novamente,

deixaram mais essa questão SEM REPOSTA que os alunos de 8ª série do EF.

Vejamos agora o que obtivemos com relação à questão A4, quanto à

série do aluno.

Começaremos com a 8ª série do Ensino Fundamental e depois

passaremos ao 1º ano do Ensino Médio.

56

Tabela 12 – Questão A4 – Amostra – 8ª série EF

Questão A4 - A soma dos múltiplos é múltiplo de 3 (amostra-8ª) VERDADEIRO FALSO SEM RESPOSTA

61,94% 16,96% 21,10% Tabela 13 – Justificativa da Questão A4 – Amostra – 8ª série EF

Questão A4 - Justificativa - A soma dos múltiplos é múltiplo de 3 (amostra-8ª) 0 1 2a 2b 3 SEM RESPOSTA

30,36% 32,37% 5,47% 2,01% 1,34% 28,46% Tabela 14 – Questão A4 – Amostra – 1ª série EM

Questão A4 - A soma dos múltiplos é múltiplo de 3 (amostra-1º) VERDADEIRO FALSO SEM RESPOSTA

56,26% 14,61% 29,13% Tabela 15 – Questão A4 – Amostra – 1ª série EM

Questão A4 - Justificativa - A soma dos múltiplos é múltiplo de 3 (amostra-1º) 0 1 2a 2b 3 SEM RESPOSTA

34,66% 23,23% 5,99% 3,45% 0,45% 32,21%

Valem observações semelhantes às de A3. Apenas, podemos destacar

que, percentualmente, os alunos de 1º ano do EM obtiveram mais os códigos

2a e 2b (respostas com alguma informação pertinente à prova, mas não

completa) em relação aos alunos de 8ª série do EF, assim como também

obtiveram mais o código 0 (justificativas totalmente erradas ou ciclo vicioso) e

também deixaram mais a questão SEM RESPOSTA.

Em linhas gerais, com relação às duas questões objetos de nosso

estudo, podemos dizer que os alunos de 8ª série do Ensino Fundamental

saíram-se melhor que os alunos de 1º ano do Ensino Médio, tanto quando

responderam a questão e obtiveram algum código maior que 0, como quando

deixaram a questão SEM RESPOSTA.

3.4 Análises quantitativas do grupo em foco Vejamos agora o que aconteceu com o nosso grupo em foco.

Apresentaremos duas tabelas: a primeira, contendo somente as freqüências

dentro das três categorias e outra relacionando números de sujeitos e

57

categorias de respostas. Vale ressaltar que os números dos sujeitos

aparecerão sempre em negrito.

Tabela 16 – Questão A3 – Grupo em Foco

Questão A3 - A soma de dois ímpares é par (grupo em foco) VERDADEIRO FALSO SEM RESPOSTA

42 6 2 84% 12% 4%

Tabela 17 – Sujeitos na Questão A3 – Grupo em Foco

Verdadeiro 1,2,3,4,5,6,9,10,11,12,13,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,29,30,33,34,35,36,37,38,39,41,42,43,44,45,46,47,48,49

Falso 7,8,14,31,40,50 Sem Resposta 28,32

Vejamos as justificativas. Apresentaremos também duas tabelas, uma

com as freqüências e outra com os números dos sujeitos nas suas respectivas

categorias. Novamente, os números dos alunos aparecerão em negrito.

Tabela 18 – Justificativas na Questão A3 – Grupo em Foco

Questão A3 - Justificativa - A soma de dois ímpares é par (grupo em foco) 0 1 2a 2b 3 SEM RESPOSTA

12 26 7 1 1 3 24% 52% 14% 2% 2% 6%

Tabela 19 – Sujeitos e justificativas na Questão A3 – Grupo em Foco

0 7,8,14,20,25,31,39,40,42,46,49,50 1 1,2,3,4,5,6,9,10,11,13,15,16,17,18,19,21,22,23,27,29,30,41,43,45,46,47,48

2a 24,26,33,35,36,37,38 2b 34 3 44

Sem Resposta

12,28,32

A grande maioria dos alunos (26), que equivale a 52% do grupo em foco,

usou um argumento empírico para a justificativa. Já na categoria SEM

RESPOSTA, tivemos 3 alunos, que equivale a 6% do grupo em foco.

Fazendo uma comparação entre a amostra e o grupo em foco,

percebemos que o grupo em foco, no que concerne a essa questão, é uma

excelente representação para a amostra, principalmente quando verificamos as

tabelas de verdadeiro ou falso. A maior discrepância apresentada foi com

58

relação às respostas codificadas como 2a. Enquanto que no grupo em foco

tivemos 14% dos protocolos com esse código, tivemos apenas 4,30% na

amostra. Porém, percebemos que não houve uma discrepância muito grande

nos outros casos.

Vejamos agora a questão A4.

Tabela 20 – Questão A4 – Grupo em Foco

Questão A4 - A soma dos múltiplos é múltiplo de 3 (grupo em foco) VERDADEIRO FALSO SEM RESPOSTA

32 9 9 64% 18% 18%

Tabela 21 – Sujeitos na Questão A4 – Grupo em Foco

Verdadeiro 1,2,4,5,6,7,10,11,13,17,18,19,20,21,22,24,25,26,27,28,31,33,34, 35,37,39,40,42,45,47,48,49

Falso 3,9,15,23,29,30,41,46,50 Sem Resposta 8,12,14,16,32,36,38,43,44

Agora, veremos as justificativas a essa questão. Mais uma vez,

apresentaremos duas tabelas, uma só com as freqüências e outra com os

números dos sujeitos em suas respectivas categorias:

Tabela 22 – Justificativas na Questão A4 – Grupo em Foco

Questão A4 - Justificativa - A soma dos múltiplos é múltiplo de 3 (grupo em foco) 0 1 2a 2b 3 SEM RESPOSTA 11 10 10 2 1 16

22% 20% 20% 4% 2% 32% Tabela 23 – Sujeitos e justificativas na Questão A4 – Grupo em Foco

0 3,4,9,15,17,23,29,31,39,41, 46 1 2,6,10,13,19,21,22,24,45,48 2a 5,7,25,26,27,34,35,37,42,47 2b 1,11 3 33

Sem Resposta

8,12,14,16,18,20,28,30,32,36,38,40,43,44,49,50

Podemos notar que 11 alunos (22%) do grupo em foco justificaram de

forma errada essa questão, receberam código 0. Ainda, tivemos 10 alunos, que

equivale a 20% do grupo em foco, que justificaram de forma empírica essa

questão, como também 10 alunos (20%) do grupo em foco cujas justificativas

59

foram codificadas como 2a, ou seja, apresentaram alguma inferência, mas falta

muito para chegar à prova. Tivemos ainda 16 protocolos, equivalentes a 32%

do grupo em foco, que foram categorizados aqui como SEM RESPOSTA.

Verificamos aqui também que o grupo em foco é uma boa representação

da amostra, quando comparamos as respostas verdadeiras ou falsas na

amostra e no grupo em foco. Porém, nosso grupo em foco apresenta duas

discrepâncias que merecem destaque: no código 0, enquanto na amostra

tivemos 32,73% dos casos, no grupo em foco tivemos 22%, e nas respostas

codificadas como 2a, que na amostra obtiveram freqüência 5,76%, enquanto

que no grupo em foco tivemos um índice muito grande, de 20% dos casos.

Fazendo uma comparação dentro do grupo em foco entre as questões

A3 e A4, podemos perceber primeiramente que houve, na questão A4, uma

queda acentuada no número de respostas na categoria “Verdadeiro”. Ainda,

tivemos 3 sujeitos a mais que disseram que a questão A4 era falsa, em

comparação com a A3, além de um aumento de 7 alunos da questão A3 para a

questão A4 na categoria SEM RESPOSTA.

Com relação às justificativas, tivemos um decréscimo considerável na

categoria 1: menos da metade do número de alunos que obteve codificação 1

em A3 teve a afirmação A4codificada como 1. Em contrapartida, tivemos um

acréscimo de 3 alunos nas justificativas da categoria 2a da questão A3 para a

questão A4. Já no código 3, o mesmo número de alunos teve sua justificativa

codificada como 3. Verificamos também que 13 alunos a mais foram

classificados como SEM RESPOSTA, na comparação da questão A3 com a

A4.

Isso nos leva a crer que, novamente, a idéia de números pares e

ímpares é mais forte que a noção de múltiplos. Além disso, pode-se conjeturar

que a justificativa para a questão A3 seria mais fácil que para a questão A4,

pois o número de pessoas que deixaram a questão A4 EM BRANCO ou SEM

RESPOSTA é bem maior que na questão A3.

Para que pudéssemos ter uma melhor visão do que acontecia com os

sujeitos, fizemos um cruzamento dos dados das tabelas 17 e 19, relacionadas

à questão A3. Nesta nova tabela, nas linhas aparecerão os códigos das

justificativas e nas colunas aparecerá se os alunos responderam Verdadeiro,

60

Falso ou se deixaram SEM RESPOSTA. Apresentaremos também as

respectivas freqüências em cada uma das linhas e colunas: Tabela 24 - Questão A3 – cruzamento dos dados: verdadeiro/falso e justificativas –

Grupo em Foco

Sem Resposta

FALSO VERDADEIRO Total

Sem Resposta 28,32 12 3

0 7,8,14,31,40,50 20,25,39,42,46,49 12 1 1,2,3,4,5,6,9,10,11,13,

15,16,17,18,19,21,22, 23,27,29,30,41,43,45, 47,48

26

2ª 24,26,33,35,36,37,38 7 2b 34 1 3 44 1 Total 2 6 42 50

Nessa tabela, podemos observar os seguintes fatos:

• 8 alunos ou deixaram em branco ou responderam que a afirmação era

falsa.

• Dos 42 alunos que consideraram verdadeira a afirmação, a grande

maioria (38 alunos) receberam codificação no máximo 1.

Feitas estas observações, voltamos nossa atenção para a questão A4. O

cruzamento dos dados das tabelas 21 e 23 produz a tabela 25.

61

Tabela 25 - Questão A4 – cruzamento dos dados: verdadeiro/falso e justificativas –

Grupo em Foco

Sem Resposta FALSO VERDADEIRO TotalSem

Resposta 8,12,14,16,32,36,38,43,44

30,50 18,20,28,40,49 16

0 3,9,15,23,29,41,46

4,17,31,39 11

1 2,6,10,13,19,21,22,24, 45,48

10

2a 5,7,25,26,27,34,35,37, 42,47

10

2b 1,11 2 3 33 1

Total 9 9 32 50

Observando essa tabela, verificamos que:

• 18 alunos deixaram a afirmação em branco ou SEM RESPOSTA;

• dos 32 alunos que responderam ser verdadeira a afirmação, 21

receberam codificação no máximo 1.

Comparando essas duas tabelas, 24 e 25, fica clara a diferença de

desempenho entre A3 e A4: enquanto 8 alunos deixaram a questão A3 em

branco ou SEM RESPOSTA, 18 fizeram o mesmo em A4; enquanto 38 alunos

receberam codificação no máximo 1 em A3, houve 21 alunos em A4.

Para termos uma visão melhor do desempenho dos alunos nestas duas

questões, faremos agora um cruzamento entre as tabelas 13 e 14. Nesta nova

tabela, para melhor visualização, agrupamos as justificativas que obtiveram

código 2a, 2b e 3 em uma nova categoria, chamada RESPOSTA PERTINENTE

(RP). Usamos também a sigla SR para a categoria SEM RESPOSTA. Ainda, os

dados referentes à questão A3 aparecerão nas colunas, e à questão A4

aparecerão nas linhas.

62

Tabela 26 - Cruzamento dos dados das tabelas 24 e 25

Sem Resposta

Falso Verdadeiro TOTAL A3 A4 SR 0 SR 0 SR 0 1 RP

SR 32 8,14 12 16,43 36,38,44 9 Sem

Resposta 0

SR 50 30 2

Falso 0 46 3,9,15,23,

29,41 7

SR 28 40 20,49 18 5 0 31 39 4,17 4 1 2,6,10,19,

21,22,45, 48

24 9

Verdadeiro

RP 7 25,42 1,5,11,13,27, 47

26,33,34, 35,37

14

TOTAL 2 6 1 6 26 9 50

Podemos perceber uma concentração dos sujeitos na coluna

Verdadeiro-1 com a linha Verdadeiro-1 (8 sujeitos = 16%). É a maior

concentração que encontramos nessa tabela. Examinando a tabela,

elaboramos as categorias abaixo, para melhor descrição de nosso grupo em

foco:

• Grupo A (azul) – São aqueles sujeitos que responderam FALSO

nas duas perguntas ou deixaram-nas SEM RESPOSTA. Essa

categoria conta com 4 sujeitos, dando um percentual de 8%.

• Grupo B (laranja) – São aqueles sujeitos que responderam

VERDADEIRO em uma das duas questões e tiveram codificada

essa resposta como 0 ou 1, mas responderam FALSO na outra,

ou deixaram SEM RESPOSTA. Essa categoria possui 14 sujeitos,

ou seja, 28%. Vale notar o desequilíbrio que tivemos entre as

questões A3 e A4. Tivemos 3 sujeitos que responderam

Verdadeiro na questão A4 e responderam Falso ou deixaram

SEM RESPOSTA a questão A3, contra 11 sujeitos que

responderam Verdadeiro na questão A3 e responderam Falso ou

deixaram SEM RESPOSTA a questão A4

63

• Grupo C (amarela) – São aqueles sujeitos que responderam

VERDADEIRO nas duas questões e tiveram suas respostas

codificadas como 0 ou 1. Essa categoria tem 14 sujeitos, dando

um percentual de 28%

• Grupo D (verde) – São aqueles sujeitos que responderam FALSO

em uma das duas questões e responderam VERDADEIRO na

outra e ainda tiveram uma RESPOSTA PERTINENTE como

justificativa dessa. Essa categoria possui 4 sujeitos, ou seja, 8%.

Vale notar que tivemos 3 alunos com uma RESPOSTA

PERTINENTE na questão A3 contra 1 aluno que respondeu

pertinentemente à questão A4.

• Grupo E (rosa) – São aqueles sujeitos que responderam

VERDADEIRO nas duas questões, uma delas teve a resposta

codificada como 0 ou 1 e deram uma RESPOSTA PERTINENTE

na outra. Essa categoria possui 9 sujeitos, tendo como percentual

18%. Aqui, podemos notar que o desequilíbrio, com relação ao

Grupo D, inverteu-se. Tivemos 1 aluno que deu uma RESPOSTA

PERTINENTE na questão A3 contra 8 sujeitos que deram uma

RESPOSTA PERTINENTE na questão A4.

• Grupo F (cinza) – são aqueles sujeitos que responderam

VERDADEIRO nas duas questões e deram RESPOSTAS

PERTINENTES a ambas. Essa categoria tem 5 sujeitos, ou seja,

10%.

Nessa tabela, podemos notar que a divisão em seis grupos nos dá uma

visão mais sintética do que aconteceu com o grupo em foco. Percebemos que

a resposta mais comum aos alunos continua sendo o Empirismo Ingênuo de

Balacheff, basta olhar a linha e a coluna do código 1, tivemos 27 alunos que

deram em pelo menos uma das questões uma resposta com Empirismo

Ingênuo. Vale mencionar também a quantidade de alunos que deixou pelo

menos uma das questões SEM RESPOSTA, que são 15 alunos.

No próximo capítulo, apresentaremos algumas respostas ilustrativas do

grupo em foco, e também indicaremos alguns sujeitos para entrevista.

64

Como nosso objetivo é traçar um mapa das concepções dos alunos

possuem argumentação e prova, esses grupos nos servirão de base para

escolhermos alunos para entrevista.

3.5 Análise Multidimensional, com o software CHIC

O software C.H.I.C. (Classificação Hierárquica, Implicativa e Coesitiva)

possibilita o estabelecimento de relações entre as variáveis identificadas

nessas respostas. É uma ferramenta de informática que possibilita o uso do

método estatístico da análise implicativa desenvolvida por Régis Grás e da

análise de similaridade de Israel César Learman. Sua primeira versão foi

desenvolvida por Saddo Ag Almouloud em sua tese de Doutorado e, hoje,

encontra-se na sexta versão trabalhada por Raphael Conturier, membro da

equipe de Régis Grás.

O software tem como função, com base em um conjunto de informações,

cruzar sujeitos e variáveis, regras de associação entre variáveis, fornecer um

índice de qualidade de associação e representar uma estruturação das

variáveis. Assim, ele possibilita, para a amostra, análises similares àquelas que

apresentamos para o grupo em foco.

Nesta pesquisa, as variáveis são binárias, pois assumem unicamente

dois valores, zero ou um. Por exemplo, um sujeito ou é do gênero feminino

(quando a variável “gênero feminino” assume o valor um), ou não é gênero

feminino (quando variável “gênero feminino” assume o valor zero).

Este software possibilita uma distinção entre as variáveis principais e

suplementares (ou secundárias). Neste estudo, as variáveis principais são as

relacionadas às codificações obtidas em nossa amostra (no nosso caso, temos

vinte e duas variáveis principais – oito para a resposta de cada questão e

quatorze para a codificação de justificativas de cada questão) e as variáveis

suplementares são que informam a série do aluno e a rede de ensino a que

pertence (assim, temos cinco variáveis suplementares).

Com a utilização do software C.H.I.C., fez-se uma análise hierárquica de

similaridade, o que permitiu estudar e interpretar classes de variáveis.

A similaridade define-se com base no cruzamento do conjunto V das

ocorrências de variáveis (nesta pesquisa, são as respostas dadas ao

65

questionário e suas codificações) e um conjunto E de sujeitos (neste estudo,

são os 1998 alunos participantes). A análise de similaridade busca identificar

sujeitos com comportamentos semelhantes em relação às variáveis principais.

Desta forma, se tivermos dois conjuntos de ocorrências de variáveis A e

B, buscaremos determinar o grau de similaridade pelo estudo da intersecção

do conjunto A com o conjunto B. Este valor é comparado com a intersecção de

X com Y, onde X e Y são dois conjuntos tomados aleatoriamente no mesmo

universo de A e B, sendo n(A) = n(X) e n(B) = n(Y), ou seja, o software

compara n e K, que são as intersecções de A com B e X com Y,

respectivamente, para decidir as associações.

Figura 22 - intersecção para análises do CHIC

As ocorrências das variáveis principais (as possíveis respostas dadas

nos questionários e suas possíveis codificações) e das suplementares (a da

série e a da rede de ensino), foram organizadas em uma planilha eletrônica,

explicitando os códigos atribuídos anteriormente a cada variável, em cada

resposta dada pelo aluno. As variáveis são organizadas e analisadas, segundo

agrupamentos e intersecções, que o software calcula para assim determinar as

classes que serão representadas graficamente por uma árvore de

similaridades.

Esta seção está dividida em três partes, a saber: a análise de

similaridade, a coesitiva, ambas possibilitadas pelo software, e as conclusões.

A primeira parte, análise de similaridade, é baseada na árvore de

similaridade obtida via C.H.I.C., estabelecendo agrupamentos significativos

entre as variáveis principais e suplementares.

A segunda parte, a análise coesitiva é pautada na árvore de coesão e

66

apresenta agrupamentos hierárquicos entre as variáveis principais, indicando o

índice de coesão, que é a melhor agregação entre as variáveis. Dessa forma,

podemos comparar os resultados obtidos nas duas árvores e relacioná-los aos

aspectos teóricos apresentados no capítulo 2.

A3 – Verdadeira A3 – Justificativa 1 A4 – Justificativa 1 A4 – Verdadeira

A4 – Justificativa 2a

A3 – Justificativa 2a A3 – Justificativa 3

A4 – Justificativa 3 A3 – Justificativa 2b

A4 – Justificativa 2b

A3 – Falsa A3 – Justificativa 0

A4 – Justificativa 0

A4 – Falsa A3 – Branco

A3 – Justificativa branco A4 – Branco

A4 – Justificativa Branco A3 – Sem resposta

A3 – Justificativa Sem Resposta

A4 – Sem resposta A4 – Justificativa Sem Resposta

Figura 23 – Árvore de similaridades do C.H.I.C.

A Análise Hierárquica de Similaridade se define com base no

67

cruzamento do conjunto V de ocorrência de variáveis (nessa pesquisa, são as

respostas dadas nos questionários) e um conjunto E de sujeitos (na pesquisa,

são 1998 alunos).

Nossa análise basear-se-á somente em alguns nós significativos dos

agrupamentos, aqui em vermelho. Justificamos essa atitude devido ao fato de

estarmos trabalhando apenas com duas questões. Nós significativos são

indicações dadas pelo software, resultante de cálculos internos, que servem

como sugestão para ênfase na análise. Não significam os índices de

similaridade maiores, mas apenas sugestões por “default” para guiar a análise.

O software nos indica dois grandes agrupamentos de variáveis, sendo o

primeiro o que vem abaixo:

Figura 24 - Agrupamento 1 das similaridades referentes às respostas verdadeiras nas questões A3 e A4.

Nesse primeiro agrupamento, as variáveis envolvidas são:

A3 – V, A3 – J1, A3 – J2a, A3 – J2b, A3 – J3

A4 – V, A4 – J1, A4 – J2a, A4 – J2b, A4 – J3.

Ou seja, nesse agrupamento, o software nos apontou somente as

variáveis verdadeiras e as justificativas maiores ou iguais a 1.

68

Tal agrupamento refere-se a 620 alunos da amostra (correspondentes a

31%): são aqueles que responderam verdadeiro em ambas as questões e

receberam como codificação da justificativa código maior ou igual a 1.

O primeiro subgrupo dentro desse que merece destaque é o formado

pelas variáveis A3 – V, A3 – J1, A4 – V e A4 – J1, que é um nó justificativo

indicado pelo software e pode ser interpretado da seguinte forma: quem

respondeu que a questão A4 era verdadeira, provavelmente respondeu que a

questão A3 era verdadeira (e vice-versa), sendo que ambas as respostas

receberam codificação 1. Fazem parte desse subgrupo 430 sujeitos. Vale

mencionar que o software apresenta índices de similaridade, variando de 0 (o

menor) a 1 (o maior), ou seja, quanto maior o índice de similaridade, maior a

probabilidade das variáveis terem o mesmo comportamento. Nesse caso, o

índice de similaridade é máximo, igual a 1. Além disso, o software também

indica qual a variável suplementar típica a essa contribuição, que no caso foi a

variável suplementar 8 (os alunos da 8ª série do Ensino Fundamental), com um

risco de 0,00126. Quanto menor o risco, menor a probabilidade de erro na

afirmação feita. Inclusive, essa é também a variável que mais contribui para

essa associação, com o mesmo risco.

Outro subgrupo que merece destaque nesse agrupamento é o formado

pelas variáveis A3 – J3 e A4 – J3, que pode ser interpretado da seguinte forma:

quem recebeu codificação 3 na questão A3 também recebeu esse código na

questão A4, e vice-versa. Fazem parte desse subgrupo 4 sujeitos. O índice de

similaridade dessa associação também é máximo, igual a 1. Já a variável

suplementar típica a essa associação é a variável M (os alunos da rede

Municipal de Ensino), que é também a variável que mais contribuiu para essa

associação, com risco de 0,00492.

Iremos agora analisar o segundo agrupamento apresentado pelo

software C.H.I.C.:

69

Figura 25 - Agrupamento 2 das similaridades referentes às respostas nas questões A3 e A4.

Nesse segundo agrupamento, as variáveis envolvidas são:

A3 – F, A3 – Just. 0, A3 – Branco, A3 – Just. Branco, A3 – Sem

Resposta, A3 – Just. Sem Resposta

A4 – F, A4 – Just. 0, A4 – Branco, A4 – Just. Branco, A4 – Sem

Resposta, A4 – Just. Sem Resposta

Ou seja, nesse agrupamento, o software nos apontou as variáveis de

ocorrência falsa, e as justificativas de ocorrência: Em Branco, Sem Resposta e

0, associada à resposta Falsa.

Tal agrupamento conta com 240 alunos da amostra (correspondendo a

12%); são aqueles que responderam falso em ambas as questões e, portanto,

receberam codificações para as justificativas como as descritas acima.

Vale notar que a somatória dos dois agrupamentos não totaliza 1998,

pois temos casos em que o aluno deixa uma das questões em Branco ou Sem

Resposta e a outra foi respondida ou ainda aqueles casos em que O SUJEITO

respondeu Verdadeiro a pelo menos uma das questões e sua justificativa

recebeu código 0 ou deixou a justificativa em Branco ou Sem Resposta.

70

Note que as similaridades indicadas pelo software apresentam o mesmo

desenho. Dessa forma, analisaremos apenas um deles, pois os outros são

análogos, mudando apenas os coeficientes de correlação, variáveis típicas e

contribuintes.

Vejamos então o subgrupo relacionado às variáveis A3 – Falsa, A3 –

Just. 0, A4 – Falsa e A4 – Just. 0. Fazem parte desse subgrupo 43 sujeitos. Ele

pode ser interpretado da seguinte forma: o aluno que afirmou que a questão A4

era Falsa provavelmente o fez na questão A3 (e vice-versa) e ainda, ambas

receberam código 0. Esse subgrupo apresenta índice de similaridade igual a 1,

o máximo possível. Ainda, a variável típica a essa similaridade é a variável M

(alunos da rede Municipal de Ensino) e é também a que mais contribui para

essa associação, com um risco de 0,0569

Analisaremos agora a árvore coesitiva apresentada pelo software

C.H.I.C., quando do tratamento da nossa amostra de 1998 alunos.

71

A3 – Falsa


A4 – Falsa


A3 – Branco

A3 – Justificativa em branco

A4 – Branco

A4 – Justificativa em Branco

A3 – Sem Resposta


A4 – Sem Resposta




A3 – Justificativa 2b

A4 - Justificativa 2b




A4 – Verdadeira

A3 – Verdadeira


Figura 26 – Árvore Coesitiva do C.H.I.C.

A formação dessas classes de variáveis está relacionada com as

respostas dadas pelos alunos nas questões A3 e A4, objeto de nosso estudo,

com relação à criação de argumentos e provas para as afirmações dadas.

Analisaremos algumas das subclasses criadas pelo software. Na figura,

aparecem alguns conectivos em vermelho, representando os nós significativos.

72

Esses nós são os que estão em melhor conformidade com os indícios de

implicações iniciais, calculados pelo C.H.I.C.

No apêndice 1 estão apresentados todos os cálculos efetuados pelo

C.H.I.C.

Vale notar que os três primeiros grandes subgrupos, formados pelas

variáveis A3 – Falsa, A3 – Just. 0, A4 – Falsa e A4 – Just. 0 (primeiro

subgrupo), A3 – Branco, A3 – Just. Branco, A4 – Branco e A4 – Just. Branco

(segundo subgrupo) e A3 – Sem Resposta, A3 – Just. Sem Resposta, A4 –

Sem Resposta e A4 – Just. Sem Resposta (terceiro subgrupo) não são muito

interessantes, pois nos dizem informações que não são de grande valia para

nossa interpretação. As implicações nos informam que o aluno que deixou a

afirmação SEM RESPOSTA também deixou a justificativa SEM RESPOSTA

(para nós, SEM RESPOSTA é deixar a questão em branco ou colocar algo

como Não Sei ou Não Entendi).

Analisemos então o subgrupo formado pelas variáveis A3 – J2a e A4 –

J2a.

Figura 27 – Subgrupo 1 da árvore coesitiva do C.H.I.C.

A figura 27 pode ser interpretada como segue: se o aluno teve, na

questão A3, sua justificativa codificada como sendo 2a (justificativa com

alguma dedução/inferência, mas falta muito para chegar à prova, mais próxima

de 1), então também teve a justificativa da questão A4 codificada como 2a.

Esse nó apresenta um índice de coesão igual a 0,906, que é muito significativo

do ponto de vista estatístico. Vale lembrar que se sua justificativa foi codificada

como sendo 2a, então ele respondeu que a afirmação era verdadeira. Temos

17 sujeitos na amostra cujas justificativas se encaixam nessa descrição.

Vejamos agora o subgrupo formado pelas variáveis A3 – 2b e A4 – 2b.

73


A figura 28 assim se interpreta: se o aluno teve, na questão A3, sua

justificativa codificada como sendo 2b, então também teve a justificativa da

questão A4 codificada como 2b. Esse nó apresenta um índice de coesão igual

a 0,898. Lembramos que se a justificativa recebeu código 2b, então ele

respondeu que a afirmação era verdadeira, e a sua justificativa apresenta

algumas informações relevantes à prova, e falta pouco para chegar à prova

correta, mais próxima de 3. Dez sujeitos de nossa amostra estão implicados

nessas considerações.

Analisemos agora o subgrupo formado pelas variáveis A3 – J3 e A4 –

J3.


Nesse caso, temos: se o aluno teve, na questão A3, sua justificativa

codificada como sendo 3, uma prova totalmente correta, então também teve a

justificativa da questão A4 codificada como 3. Esse nó apresenta um índice de

coesão igual a 0,299. Isso significa que poucos alunos que tiveram sua

resposta na questão A3 codificada como 3 tiveram também na questão A4 o

mesmo código. Apenas 4 sujeitos de nossa amostra tiveram esse

desempenho.

Vejamos agora o último subgrupo apresentado pelo software, formado

pelas variáveis A3 – Verdadeira, A3 – J1, A4 – Verdadeira e A4 – J1.

74


Na figura 30, verificamos que existem três nós, sendo que dois deles são

nós significativos. O primeiro nó que aparece, que é um nó significativo, das

variáveis A3 – Verdadeira com A3 - Justificativa 1, apresenta um índice de

coesão máximo, igual a 1. Podemos interpretá-lo da seguinte forma: os alunos

responderam que a afirmação A3 era verdadeira se, e somente se, tiveram sua

justificativa codificado como sendo 1. Aqui, 1107 sujeitos da amostra

correspondem a essa descrição.

Para o segundo nó, também temos um índice de coesão máximo, igual a

1, sendo interpretado da seguinte maneira: os alunos responderam que a

questão A4 era Verdadeira se, e somente se, responderam que a questão A3

também era verdadeira e sua justificativa recebeu código 1. Estão implicados

nessas considerações 744 sujeitos.

No terceiro nó, que é um nó significativo, temos a seguinte implicação:

se as justificativas dos alunos referentes à questão A4 receberam código 1,

então receberam código 1 para a justificativa da questão A3 e responderam

que as questões A3 e A4 eram verdadeiras. Lembramos que o código 1

significa que o aluno usou argumentos totalmente empíricos para justificar a

afirmação. Esse nó apresenta o índice de coesão máximo, igual a 1, e 430

sujeitos da amostra exibiram esse comportamento.

A árvore coesitiva apresentada, então, nos deu indícios do que

aconteceu com o aluno nas questões A3 e A4, ou seja, dependendo do que o

aluno respondeu em A3 o software nos apresentou o que, provavelmente,

aconteceu com a questão A4.

75

3.6 Conclusões parciais acerca da análise quantitativa

Iremos agora apresentar algumas conclusões parciais olhando

especificamente as análises quantitativas de nossa amostra e do nosso grupo

em foco. Essas conclusões servirão de parâmetro para a conclusão final do

trabalho.

Começaremos com uma análise mais restrita à amostra e depois

passaremos a uma análise envolvendo as séries dos alunos.

Com relação à amostra, podemos perceber, olhando as tabelas que

tratam da questão A3 (tabelas 4 e 5) que os alunos saíram-se melhor na

questão A3, que trata da soma de dois ímpares, do que na questão A4, que

trata da soma de um múltiplo de 3 com um de 6, quando olhamos a

porcentagem de alunos que respondeu que eram verdadeiras e também a

porcentagem de alunos que deixou a questão SEM RESPOSTA. Isso nos leva

a crer que os alunos sabem identificar mais facilmente números pares e

ímpares que múltiplos. Além disso, a justificativa mais empregada pelos alunos

foi a empírica em ambos os casos, isto é, com exemplos, sem generalizações.

Porém, olhando mais atentamente, verificamos que na questão A3

tivemos 143 sujeitos que tiveram suas justificativas codificadas com código

maior ou igual a 2a, conforme tabela 5, enquanto que na questão A4, tivemos

180 sujeitos nessa condição, conforme tabela 7. Porém tivemos muito mais

sujeitos que deixaram a justificativa da questão A4 SEM RESPOSTA que a da

questão A3. Esse fato nos leva a crer que a justificativa da questão A4

apresentou-se mais complicada que da questão A3, mas os alunos que

tentaram justificá-la usando alguma propriedade, alguma informação

pertinente, saíram-se melhor nessa que na questão A3.

Vejamos agora o que acontece quando separamos os alunos pela

série que freqüentam. Os alunos de 8ª série do ensino Fundamental saíram-se

melhor que os alunos de 1º ano do Ensino Médio em ambas as perguntas. Na

questão A3 tivemos mais de 86% dos alunos de 8ª série do Ensino

Fundamental que responderam que a afirmação era verdadeira, contra mais de

76

78% dos alunos da 1ª série do Ensino Médio. Ainda, um pouco mais de 34%

dos alunos de 8ª série do EF deixaram a justificativa dessa questão em Branco

ou Sem Resposta, contra 42% dos alunos da 1ª série do Ensino Médio. Já na

questão A4, tivemos quase 62% dos alunos da 8ª série do EF que

responderam que a questão era verdadeira contra pouco mais de 56% dos

alunos da 1ª série do EM. Como também, quase 59% dos alunos da 8ª série do

Ensino Fundamental deixaram a justificativa dessa questão em Branco ou Sem

Resposta, contra quase 67% dos alunos da 1ª série do Ensino Médio.

Com relação às justificativas maiores ou iguais a 1, para ambas as

questões, a justificativa empírica continuou sendo a mais usada. Tivemos, na

questão A3, 55,76% dos alunos da 8ª série do EF e 52,27% dos alunos da 1ª

série do EM; na questão A4, tivemos 32,37% dos alunos da 8ª série do Ensino

Fundamental e 23,23% dos alunos da 1ª série do Ensino Médio. Os alunos de

8ª série do EF apresentaram-se percentualmente melhores que os alunos de 1º

ano do EM na questão A3, quando olhamos as justificativas que obtiveram

código maior ou igual a 2a, ou seja, que apresentaram alguma informação

pertinente à justificativa, com elucidação de alguma proposição Obtivemos

7,32% dos alunos da 8ª série do EF contra 5,71% dos alunos da 1ª série do EM

nessas condições. Já na questão A4, os papéis se invertem, percentualmente,

os alunos de 1º ano do EM apresentaram mais justificativas com informações

pertinentes à prova que os alunos de 8ª série do EF, novamente para códigos

maiores ou iguais a 2ª. Tivemos 8,82% dos alunos da 8ª série do Ensino

Fundamental nessas condições contra 9,89% dos alunos da 1ª série do Ensino

Médio.

Isso nos leva a crer que os alunos de 8ª série do EF sabem argumentar

melhor em questões que falam de números pares e ímpares que os alunos de

1º ano do EM. Porém, quando passamos a questões que envolvem múltiplos,

os alunos de 1º ano do EM argumentaram melhor que os alunos de 8ª série do

EF.

Vamos agora passar a uma análise mais detalhada do nosso grupo em

foco. Dos alunos de nosso grupo em foco, podemos perceber que novamente,

os alunos saíram-se melhor na questão A3 que na questão A4, fato

77

comprovado pelas porcentagens de verdadeiro e de SEM RESPOSTA, das

tabelas 16, 18, 20 e 22.

Olhando mais atentamente, tivemos em nosso grupo em foco, das 100

justificativas apresentadas (estamos levando em consideração as duas

questões), 22 apresentaram uma justificativa maior ou igual ao código 2a.

Ainda, verificamos que dentre as 100 justificativas apresentadas, 19

apresentaram-se SEM RESPOSTA e ainda 23 dentre as 100 justificativas

receberam código 0, ou seja, estavam erradas ou apresentaram um ciclo

vicioso.

Dentro ainda das 100 justificativas apresentadas, 36 dessas foram

apresentadas de forma empírica, ou seja, receberam código 1.

Pensando agora nos sujeitos, verificamos que 27 sujeitos apresentaram

pelo menos uma justificativa empírica (código 1), 20 sujeitos apresentaram pelo

menos uma justificativa errada ou com ciclo vicioso (código 0), 17 alunos

apresentaram pelo menos uma justificativa que recebeu código maior ou igual

a 2a e 16 alunos deixaram pelo menos uma das justificativas SEM

RESPOSTA, ou seja, deixaram-na em BRANCO ou escreveram algo como

“não sei” ou “não entendi”.

Olhando agora as informações apresentadas pelo software C.H.I.C.,

percebemos que ele nos foi de grande valia, pois pudemos concluir o que o

aluno respondeu na questão A4, por exemplo, a partir do que ele respondeu na

questão A3.

Ao analisar a árvore de similaridades com suas classes, podemos

perceber que, dentre os alunos que responderam nosso instrumento

diagnóstico, há indícios de que uma parte deles sabem distinguir um número

par de um número ímpar e também que conseguem discernir sobre a soma

deles, e ainda, podemos supor que esses conhecem múltiplos de 3 e de 6 e as

respectivas relações entre eles.

O primeiro grande subgrupo é o formado pelos sujeitos que

responderam que as afirmações A3 e A4 eram verdadeiras e suas justificativas

receberam código maior ou igual a 1. Já o segundo subgrupo é formado pelos

alunos que disseram que as afirmações eram falsas ou deixaram-nas EM

BRANCO ou SEM RESPOSTA. Vale lembrar que nem todos os alunos fizeram

78

parte desses dois subgrupos, pois tivemos alunos que responderam que as

afirmações eram verdadeiras, mas deixaram suas justificativas EM BRANCO,

por exemplo.

Nesses subgrupos, temos 860 alunos, pois, como explicado acima, mais

de 1000 alunos não entraram nessas implicações.

Já a análise da árvore coesitiva nos mostrou que houve uma coesão

entre as respostas apresentadas nas questões A3 e A4, ou seja, dependendo

do que o aluno fez na questão A3, provavelmente também o fez na questão A4.

Por exemplo, o aluno que recebeu código 2a na questão A3 provavelmente

também recebeu esse código em A4.

79

CAPÍTULO 4 – ANÁLISE QUALITATIVA

Nesse capítulo, apresentaremos algumas respostas interessantes

apresentadas pelo grupo em foco, exibiremos alguns protocolos da amostra

que obtiveram codificação 3 em A3 ou A4 e também comentaremos as

entrevistas que fizemos com os alunos e professores.

4.1 Introdução

Antes de apresentar algumas respostas interessantes presentes nos

protocolos dos alunos, voltemos às questões sob análise.

A questão A3 (“A soma de dois números inteiros ímpares quaisquer é

um número par”) objetivava verificar se o aluno saberia distinguir um número

par de um número ímpar, e se poderia descrever algebricamente ou na

linguagem comum um número ímpar; em seguida, o que acontece com a soma

de dois ímpares.

Algebricamente, um número ímpar é da forma 2n+1, com n inteiro.

Então, dois números ímpares seriam, digamos, 2n+1 e 2m+1, com m também

inteiro. Somando-os, teremos (2n+1)+(2m+1). Portanto, teremos (2n+2m+2), e,

colocando o termo 2 em evidência, teremos 2(n+m+1), que é um número par.

Já na questão A4 (“Quando somamos um número múltiplo de 3

qualquer com um múltiplo de 6 qualquer o resultado é um múltiplo de 3”)

procuramos verificar se os alunos saberiam: identificar o que são múltiplos de

3; identificar que todo múltiplo de 6 é múltiplo de 3 e assim, que a soma seria

um múltiplo de 3.

De forma algébrica, teríamos: um múltiplo de 3 é da forma 3k, com k

inteiro. Um múltiplo de 6 é da forma 6p, também com p inteiro. Ainda, esse

múltiplo de 6 é também 3(2p). Então, a soma destes será 3k+3(2p). Colocando

em evidência o fator 3, teremos 3(k+2p), que é um múltiplo de 3.

80

4.2 Respostas ilustrativas da questão A3

Analisando os protocolos, identificamos algumas respostas interessantes

apresentadas.

Por exemplo, o aluno identificado pelo número 7, do grupo D:

Figura 31 – Resposta do aluno 7 do Grupo em Foco para a questão A3

(É falsa, pois já foi comprovado que a soma de quaisquer números pares é sempre par e como não existem apenas

números pares a soma dos ímpares tem que dar números impares para completar o conjunto dos números ℜ ) codificação: Falso e 0

Esse aluno entende que a soma dos números pares e ímpares é que

forma o conjunto dos números reais, o que não é verdade. Ele não se deu

conta de que, quando falou em número ímpar, ele já estava “completando” o

conjunto dos números reais.

O aluno 14, do grupo A, também disse que a afirmação era falsa:


(Não. Nem sempre são impar.Exemplo: 8+7=15 é um número impar)

Codificação: Falso e 0

81

Esse aluno não atentou para a afirmação, pois, em seu exemplo, somou

um número par com um número ímpar, obtendo um número ímpar. Usou um

exemplo empírico para comprovar que a afirmação era falsa.

Já o aluno 31, do grupo B, que também disse que a afirmação era falsa,

deve ter entendido que falamos que a soma de dois ímpares é impar:


(É falsa! Porque a soma de dois números impares pode resultar em um número par. 5+7=12)

Codificação: Falso e 0

Os alunos que apresentaremos a seguir disseram que a afirmação era

verdadeira, com justificativas diversas.

Vejamos o aluno 16, também do grupo B:


(Sim. Pois qualquer número somado por ele mesmo o resultado da par, só será impar o resultado se a soma for

de números diferentes.Ex: 35+35=70 7+7=14 resultado par ex: 35+34=69 7+8=15 resultado ímpar.) Codificação 1


Esse aluno, em sua justificativa, quando disse que quando somamos

números diferentes o resultado será ímpar, não atentou para o fato de um dos

números, em seus exemplos, se par e outro ser ímpar. Além disso, usou os

mesmos números na soma para comprovar que esta era par, aparentemente

por ter entendido que a soma de dois números ímpares implica somar um

ímpar com ele mesmo.

82

Já o aluno 35, do grupo F, justificou da seguinte forma:


(Verdadeira. Pois sempre é o dobro, e o dobro sempre termina em par, porque são 2x)

Codificação 2a Classificação segundo Balacheff: Experimento Crucial

Provavelmente, esse aluno pensou também na soma de dois números

iguais, pois apresentou a resposta como sendo 2x, e ainda falou no dobro. Mas

apresentou uma dedução, dizendo que o dobro sempre termina em par.

O aluno 26, também do grupo F, pensou na soma de algarismos das

unidades de números ímpares:


(Verdadeira. A soma de duas unidades ímpares (1,3,5,7 e 9) sempre resultará numa unidade par (0,2,4,6 e 8). Assim,

podemos perceber que a soma de dois números ímpares é sempre par.) Codificação 2a


Ele afirma que a soma de duas unidades ímpares sempre resultará

numa unidade par e daí comprova que a afirmação é verdadeira.

O aluno identificado pelo número 34, do grupo F novamente, apresentou

uma justificativa parecida, porém colocou todas as somas possíveis de

algarismos ímpares:


83

(1+1=2 3+5=8 5+7=12 7+9=16 9+9=18 1+3=4 3+7=10 5+9=14 7+7=14 1+5=6 3+9=12 5+5=10 1+7=8 3+3=6 1+9=10

Tudo isso pois quando se soma um impar de cada um, sobra 1, formando um nº par.) Codificação 2b


É interessante notar a última frase: “Tudo isso pois quando se soma um

impar com um impar de cada um, sobra um, formando um nº par”. Esse aluno

escreveu em linguagem comum uma definição de número ímpar, esse sobra

um identifica isso.

Vejamos agora o que escreveu o aluno identificado pelo número 24, do

grupo E:


(9+9=8+8+2=18 7+7=6+6+2=14

R: É verdadeira. Porque quando soma 2 números ímpares o resultado é par que sempre pode se dividir em outros pares.) Codificação 2a


Podemos perceber que ele ao somar seus exemplos, dividiu as parcelas

em três partes, sendo que todas eram números pares, inclusive escreveu isso.

Por fim, o aluno de número 44, do grupo D apresentou uma justificativa

parecida com a de Franklin, apresentada na questão A1. Vejamos:


84

Sim. Exemplos 5+7=12 7+3=10 3+5=8 3+9=12 1+5=6 5+11=16

●●●● + ●●●●● ●●●●● ●●●●

Nos podemos fazer uma simples demonstração, o numero impar é formado por conjunto de par+1 exemplo:

● ● ●● ●● + ● = ●●● numero impar

Se todo número par é caracterizado por essa afirmação é fácil provar

Se cada numero impar é um conjunto de pares mas 1 e nos já provamos que numero par + numero par = par é ●● + ●● ●● ●● =8 Sabemos que 1 + 1 é igual a 2 formando outro par a soma só pode ser par. ●● + ●●●●● ●●● ●●●● ●● + ●●● + ● = ●●●●●● ●● ●●● ● ●●●●●●

Codificação 3


Podemos perceber, em sua justificativa, que ele se vale da afirmação já

provada anteriormente, de que a soma de dois pares é par. Percebemos

também que ele separa os números ímpares em número par + 1, que é a sua

definição usual.

4.3 Respostas ilustrativas da questão A4

Vejamos agora algumas respostas interessantes da questão A4.

Comecemos com o aluno 29, do grupo B:


(É falsa porque é impar.)

Codificação 0

Provavelmente, esse aluno pensou que todo múltiplo de 3 é um número

ímpar. Ou ainda, ele pode ter feito uma associação dessa questão com a

questão A3.

O sujeito número 41, também do grupo B, afirmou:


85

3+6=9 18 é também um múltiplo de 6, portanto a afirmação é falsa. 6+12=18 9+18=27

Codificação 0

Ele testou alguns exemplos, e disse que era falsa, pois 18 é também um

múltiplo de 6, mas não atentou para o fato que todo múltiplo de 6 é também

múltiplo de 3.

Já o aluno de número 3, do grupo B novamente, justificou da seguinte

forma:


(Falsa! Múltiplo de 6 também é múltiplo de 2, ou seja se a resposta for 6, 12 não quer dizer que só é múltiplo de 3!)

Codificação 0

Esse aluno também não atentou para a afirmação, pois disse também

que, por exemplo, 6 e 12 não são somente múltiplos de 3.

Vejamos agora o que escreveu o aluno 9, também do grupo B:


(É (verdadeira) falsa, pois 3x2=6 18 não é divisivel por 3)

6x2 =12

18

Codificação 0

Aqui, o caso é mais grave, pois o aluno disse que 18 não é divisível por

3. Mas vale notar que ele havia escrito que era verdadeira, depois riscou e

disse que era falsa.

Agora exibiremos exemplos de alunos que disseram que a afirmação era

verdadeira.

Comecemos pelo aluno 27, do grupo E:

86


(Sim. Porque 6 é metade de 3, portanto 6 é múltiplo de 3

6 = 2x metade 3

3 = 1 6 2


Esse aluno disse de duas maneiras diferentes que 6 é múltiplo de 3, e,

inclusive, fez as contas, dividindo 6 por 3, obtendo 2 e dividindo 3 por 6,

obtendo meio. Apesar disso, o aluno não fez qualquer menção à soma.

Vejamos agora o aluno identificado pelo número 1, também do grupo E:


(Verdadeiro, pois todo número múltiplo de seis será sempre um numero múltiplo de três. Com isso podemos perceber que

somados dão em um múltiplo de três

87

6+12 = 18

múltiplo de 3 múltiplo de 3 e 6 múltiplo de 3)

Codificação 2b


Esse aluno disse primeiramente que todo número múltiplo de seis será

sempre um múltiplo de 3, e assim, esses números, ao serem somados,

resultarão num múltiplo de 3. Comprova ainda com um exemplo empírico.

Já o sujeito 21, do grupo C, escreveu o seguinte:


(Verdadeira 15 27

30 42 45 3 69 3 15 15 09 23 0 0

Codificação 1 Classificação segundo Balacheff: Empirismo Ingênuo

Esse aluno colocou dois exemplos empíricos; é interessante notar que

ele verifica se os resultados são múltiplos de 3 fazendo a divisão, através do

método da chave.

Vejamos o que escreveu o aluno 47, do grupo E:


(0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30.... m de 3 0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,60... m. de 6

48 + sim e múltiplo de 3 o resultado sempre porque os múltiplos de 15 3 são infinitos e 3 sempre é a metade de 6) 63


88

Esse aluno começou a escrever todos os múltiplos de 3 e os de 6.

Coloca uma informação interessante, afirmando que os múltiplo de 3 são

infinitos, e escreve ainda que 3 é sempre a metade de 6.

Por fim, observemos o que escreveu o aluno número 33, do grupo F:


(Sim, (verdadeira) pois 6 é múltiplo de 3, logo a soma de um múltiplo de 3 com um múltiplo de 6 é múltiplo de 3 (3a+6b =

múltiplo de 3) Codificação 2b


O que é interessante nesse protocolo é que ao final ele esboça o que é

um múltiplo de 3 (3a) e o que é um múltiplo de 6 (6b), afirmando que a soma de

números dessa forma é um múltiplo de 3. Vale notar ainda que usa letras

diferentes para identificar os inteiros que multiplicam 3 ou 6.

4.4 Protocolos da amostra codificados como 3

Agora, exibiremos alguns protocolos de nossa amostra que obtiveram

código 3 tanto na questão A3 quanto na questão A4. Vale ressaltar que já

apareceram alguns desses em nosso trabalho, e, portanto, esses não serão

exibidos novamente. Infelizmente, não obtivemos todos os protocolos que

obtiveram esse código. Assim, exibiremos todos os que encontramos. Temos

um total de 7 protocolos que receberam codificação 3 na questão A3 e 4

protocolos que receberam esse código em A4. Em todos os casos, temos

provas formais, eventualmente com algumas incorreções.

Comecemos por protocolos que obtiveram código 3 na questão A3.

89

Figura 49 – Resposta 1 com código 3 na Questão A3

(Verdadeira (2x+1) + (4x+1) = 6x+2

Qualquer número multiplicado por 2 é par, acrescentando-se 1 torna-se ímpar. Na soma acima, o resultado foi 6x+2, Supondo-se que x é ímpar, multiplicado por seis, e somando-se 2, com certeza o resultado final é par)

O aluno acima recebeu código 3, pois descreveu o que é um número

ímpar, efetuou a soma de dois ímpares e obteve um número par. Apesar de ter

usado a mesma letra para identificar um número qualquer (x), ele conseguiu

dizer, com sua linguagem, que a soma de dois ímpares é par.

Vejamos outro caso:


(Verdadeira. Sendo 2x+1 e 2y+1, dois números ímpares, somamos os dois

(2x+1) + (2y+1) = 2x + 2y + 2 Agora, fatoramos a expressão

2(x+y+1) Sendo (x+y+1), qualquer número natural, quando multiplicado por 2, será um número par.

Portanto, a soma de dois ímpares sempre será um par.

90

O aluno acima recebeu código 3 pois descreveu o que é um número

ímpar, usando a linguagem algébrica, efetuou a soma de dois ímpares

diferentes, usou a propriedade associativa, descrita erroneamente por ele como

fatoração e concluiu que a soma de dois ímpares é par.

Vamos a mais um protocolo:


(Os nº ímpares vão ficar sobrando sempre 1 de fora dos pares. Aí, quando junto dois nº ímpares o nº que está sozinho se

junta

Com outro que está sozinho formando um par).

Usando a linguagem geral, esse aluno nos diz como são os números

ímpares e o que acontece quando somamos dois ímpares, com as sobras de 1

de cada ímpar.

Vejamos o próximo protocolo:


(É verdadeira pois um nº ímpar é um número par + 1 se juntarmos dois números ímpares estaremos juntando: Um número par + um número par + 1 + 1

Ou seja Um número par + um número par + 2 (um número par) E juntando números pares teremos números pares).

91

Esse aluno escreveu na língua materna a definição de número ímpar,

que é um par + 1, somou dois ímpares ainda usando a língua materna e assim,

justificou sua resposta, obtendo código 3.



(Sim, pois um nº ímpar é (x+1), se eu tiver um nº ímpar + um nº ímpar, vai ser:

(x+1) + (y+1) = (x+y) + 2, (x+y) vai ser um número par (porque você vai estar tirando o 1 que faz o nº ficar ímpar),

Mais 2, que também é um número par, e nº par + nº par = nº par).

Esse aluno poderia não ter recebido o código 3 se não estivesse

subentendido quem eram os “número” x e y. Ele nos diz, de forma

subentendida, que x e y são número pares e assim ao somarmos 1 a eles,

esses se tornam ímpares. O aluno usou a definição de números ímpares, com

a ressalve de que usou as letras x e y para representar números pares e daí

efetuou a soma de dois ímpares, obtendo um número par.


92


(Verdadeira. Em números pares, existem 1 ou mais pares numéricos. Em números ímpares, podem haver pares numéricos,

Mas sobrará sempre 1. Quando dois números ímpares são somados, os “1” que sobraram nos dois números se juntarão, fechando os pares).

Aqui, o aluno nos diz que os números pares são divididos em pares

numéricos. Para nós, significou que ele dividiu em vários números 2 os pares.

Depois, colocou a definição de ímpares, novamente na língua materna e daí

nos disse o que acontece com a soma de dois ímpares, sempre usando a

língua materna em sua justificativa.

Vejamos o último protocolo da questão A3:


(Essa afirmação é verdadeira, visto que: se somarmos qualquer número ímpar (1,3,5,7 e 9 e qualquer

Outro terminado em algum destes), com qualquer outro ímpar, também dará um resultado par. Ex: 5+3 = 8 1+3 = 4

7+9 = 16 5+7 =12

Também podemos pensar assim: Se passarmos 1 para o outro ímpar, ele passará a ser par e o Que perdeu 1 também; e já foi provado que par + par = par)

93

Esse aluno, a princípio, receberia codificação 1, por causa dos exemplos

usados. Porém, na sua última frase, ele escreve o que acontece se

“passarmos” a sobra de 1 de um dos ímpares para o outro, transformando

ambos os ímpares em pares. Além disso, vale notar que o aluno usou uma

afirmação já provada na questão A1.

Passemos agora aos protocolos que obtiveram código 3 na questão A4.


(Porque se nós somarmos um múltiplo de três 3x mais um múltiplo de seis 6x

3x+6x = 9x Irá dar um múltiplo de três).

Aqui, podemos verificar que o aluno começou fazendo alguns testes com

vários números, evidenciados pelas contas apresentadas na imagem acima, e

depois concluiu que a soma de um múltiplo de 3 com um múltiplo de 6 resultará

em um múltiplo de 3. Apesar de ter usado a mesma letra para exprimir um

múltiplo de três e um de seis, percebamos que no exemplo calculado, não

foram usados os mesmos números.

Vejamos outro caso:

94


(Verdadeira, pois 6 é um múltiplo de 3, e somar um múltiplo de 6 a um de 3 é como somar um múltiplo de 3 a dois

Múltiplos de 3, sempre dando a continuação do múltiplo de 3).

Aqui, o aluno diz que 6 é múltiplo de 3, e que ao somarmos um múltiplo

de 6 a um múltiplo de 3 estaremos somando esse múltiplo de 3 a dois múltiplos

de 3, originados do múltiplo de 6, ou seja, ele nos diz que o múltiplo de 6 é

múltiplo de 3 e de 2. Assim, conclui que a afirmação é verdadeira.

Vamos a mais um caso:


(Verdadeira. Todo múltiplo de 6 é um múltiplo de 3. Portanto a soma entre os dois, representará logicamente, um

Múltiplo de 3. Mas para deixarmos mais claro, representamos algebricamente um múltiplo de 3 e um múltiplo de 6, E somando, temos: 3x + 6y = 3(x+2y)

Então, se (x+2y) ∈ ℵ, sempre será um múltiplo de 3, quando multiplicado por 3).

95

Esse aluno representou algebricamente um múltiplo de 3 e um de 6,

usou a propriedade associativa na soma, colocando o fator 3 em evidência, e

daí concluiu que a soma de um múltiplo de 3 com um de 6 resultará em um

múltiplo de 3. Importante notar a linguagem algébrica do aluno, usando letras

diferentes (x e y) para representar os múltiplos e também o uso correto da

propriedade associativa da soma.

Esse é um aluno que aparenta, pelo que foi escrito, conhecer bem a

estrutura de argumentação e prova dentro da Matemática.

Vamos apresentar um último protocolo encontrado que obteve código 3

na sua justificativa para a questão A4.


(A afirmação é verdadeira, pois todo número que é múltiplo de 6 também é múltiplo “3”,pois se pensarmos bem,

Cabem 2 “3” dentro de seis e encarando desse modo “6” também é um múltiplo de “3”, então você estará

Somando vários “3”, o resultado, portanto, formado por “3” é múltiplo de três).

Esse aluno justificou que todo múltiplo de 6 é múltiplo de 3, e daí dividiu

todos esses múltiplos em “vários 3”, que somados, resultarão em um múltiplo

de 3. Vale notar que, novamente, a justificativa foi feita na língua materna.

96

4.5 Entrevistas

Nosso objetivo agora é enriquecer as conclusões que obtivemos no

capítulo anterior, com a análise de entrevistas de sujeitos que representam o

nosso grupo em foco.

As entrevistas foram do tipo semi-estruturadas, para que pudéssemos

ter uma maior mobilidade nas perguntas e também para que pudéssemos, ao

final, obter efetivamente uma lógica do entendimento dos alunos ao

responderem o questionário. As perguntas basearam-se nos protocolos desses

alunos.

A escolha dos entrevistados não foi aleatória. Procuramos escolher pelo

menos um sujeito de cada um dos grupos criados na tabela 15 do capítulo 3.

Além disso, para contribuir com nossas conclusões acerca das

entrevistas com os alunos, realizamos entrevistas com cinco professores de

matemática, que trabalham com alunos de 8ª série do ensino Fundamental

e/ou 1º ano do Ensino Médio, das três redes de Ensino em foco, ou seja,

Estadual, Municipal, e Particular.

Por fim, apresentaremos as respostas que obtivemos nas entrevistas

com os alunos com relação à seguinte pergunta: “O seu professor, em alguma aula,

já provou matematicamente algum teorema ou propriedade em qualquer tópico?” Com essa

pergunta, faremos um paralelo entre nosso trabalho e a pesquisa de Healy e Hoyles (1998).

4.5.1 Alunos

Analisaremos as entrevistas de sujeitos pertencentes aos grupos criados

através da tabela 15, apresentada no capítulo 3, respeitando a ordem de

apresentação desses grupos.

Em todos os casos, a fala do entrevistador aparecerá em negrito, e a do

aluno aparecerá em texto normal.

Vale mencionar que as entrevistas foram divididas entre os membros do

projeto AProvaME cujas dissertações versam sobre questionários. Dessa

forma, as entrevistas poderão aparecer sem fazer alusão a uma ou mais das

questões, ou ainda, sem contemplar todas as questões que poderiam ter sido

97

levantadas a partir dos protocolos, em razão de o foco do pesquisador não se

relacionar àquela questão.

Escolhemos o aluno 50, do grupo A (azul), que escreveu que as

afirmações A3 e A4 eram Falsas. Inclusive, na questão A3 ele colocou uma

justificativa, porém não verdadeira, e a questão A4 ele deixou sem resposta.

Figura 60 – Resposta do aluno 50 na Questão A3

(Quando nos soma dois números nuca o resultado não é sempre par. Código 0)

O que é um número ímpar? E um número par? Ah, número ímpar é 1, 3, 5, 7... e número par é 2, 4, 6,

Mas você saberia definir, sem dar exemplo, o que é um número ímpar ou um número par?

Não, só consigo com exemplo.

O que acontece com a soma de dois números ímpares? É par ou ímpar?

Bom, deixa eu ver.. 1+1=2 então é par.

Mas você acha que só com um exemplo dá para falarmos que a soma de dois ímpares é par?

Sim.


Não Código 0

O que é um número múltiplo de 3? E um número múltiplo de 6? Ah, é a tabuada do 3 e do 6.

O que acontece com a soma de um número da tabuada do 3 com um número da tabuada do 6? Esse número é um múltiplo de 3?

98

Com certeza.

Porque você acha isso? Como você tentaria justificar essa afirmação?

Ah, 3 + 6 = 9. Então 9 está na tabuada do 3 então é múltiplo de 3.

E você acha que isso vale sempre? Sim

Esse aluno sabe distinguir um número par de um número ímpar, mas

não consegue dizer sem usar exemplos qual a diferença entre eles.

Além disso, ele não consegue se expressar de forma clara, tanto na

escrita como na fala. Para ele, bastou um exemplo para concluir que a soma de

dois números ímpares é par.

Quando perguntado sobre múltiplos, ele soube nos dizer que o número

tem que estar na tabuada, e também, ao perguntado sobre a soma dos

múltiplos de 3 e 6, somente com um exemplo, para ele, é valida sempre a

afirmação.

Do grupo B (laranja), escolhemos o sujeito 28. Esse deixou a questão A3

sem resposta, mas escreveu que a questão A4 era verdadeira, porém sem

justificativa.

Vejamos o que aconteceu com ele:


(Não sei, nunca prestei atenção nisso Código -1)

Está bom, vamos para outra parte. Olhe a questão A3, quando você soma dois números ímpares quaisquer, o resultado é sempre par?

Não.

Escreva dois números ímpares e soma, o resultado é par? É porque 3 mais sete dá 10.
99

Você verificou para esses números, mas a pergunta vai além, se somar dois ímpares, sempre vai dar número par? Acha que sim ou não?

Pode ser que sim.

E por que você acha que pode ser que sim? Sei lá, não sei explicar.

Tente alguns números. Deu par.

Parece quNenhuma

O que chaEu não se

Nada te cHoje, realm

Como assAh, eu ia

sempre pega em

é ímpar, aí eu ch

Aí você fempacotando?

Eu estava

e ia cortando e p

Você faloímpar o dia intefalou uma carac

Qual?

Que no n

e é verdade, por que será? Alguma idéia? .

ma a atenção no número ímpar? i.

hama a atenção? ente, tudo que eu tava pegando dava número ímpar.

im? pegar uma caixinhas, aí quando terminava tudo, a gente

casal, né, aí sobrava um, aí sempre dava ímpar; e meu nome

amo isso de número da sorte que é o sete.

alou uma coisa interessante. O que você estava fazendo,

cortando passa fio, eu pegava as caixinhas colocava na mesa

onhando (sic), aí sempre sobrava um.

u uma coisa muito importante. Você falou que deu número iro e disse que o número ímpar sempre sobra um. Você terística muito importante.

úmero ímpar sobra um.

100

É.

Se você pegasse nove caixinhas lá, o que ia acontecer? Ia sobrar uma.

E se pegasse três, no final ia sobrar? Nenhuma.

Três não sobra? Sobra uma, é que eu pensei em doze.

Então você juntou as nove com a três. E na hora que junta. Quando junta dá certo.

Por que dá certo? Porque são pares, não sobra nenhum.

O que garante que não sobra nenhum? Porque juntando o que sobrou de um com o que sobrou do outro, dá

certo.

Pronto, você justificou, você pode escrever isso? Precisa ser muitas linhas?

Pode ser como você quiser.


(Verdadeira

Código -2 para justificativa)

Agora vamos para a questão A4. Você sabe o que é múltiplo de 3? Não.

Sabe o que é múltiplo? Não.

A palavra múltiplo está relacionada a que? Multiplicar, mas multiplicar o quê?

101

"Chute" um múltiplo de 3. 6, 9, 12.

E múltiplo de 6? O aluno não respondeu.

Você achou múltiplos de 3, para achar múltiplos de 6 é da mesma forma.

É mais difícil.

Porque o número é maior? É.

Como você fez para achar o 6, 9, 12 como múltiplos de 3. Você não fez nenhuma conta?

Não sei responder... , de memória.

E os múltiplo de seis? O aluno não respondeu.

Antes de iniciarmos a análise, vale ressaltar que este sujeito apresentou

sérias dificuldades em relação ao conhecimento matemático, teve dificuldades

para apresentar múltiplos de 3 e de 6, entre outras. O sujeito trabalha em uma

fábrica especializada em produção de fio dental e deu a entender que no

tratamento desse material, o faz em pares.

O entrevistador guiou o aluno de modo que pudesse discernir sobre

números pares e ímpares e depois para concluir que a soma de dois ímpares é

par. Porém, quando indagado sobre múltiplos, o aluno sentiu-se

desconfortável; mas concluiu, de uma forma plausível, porém na linguagem

dele mesmo.

No grupo C (amarelo) escolhemos o sujeito 19 para entrevista. Esse

respondeu que as afirmações eram verdadeiras e suas justificativas foram

codificadas com 1.

102


(Sim, se você soma números pares pequenos do um ao dez dara par e maior poderão dar ímpar

Todos os números impar serão par 1+3=4 3+5=8

5+7=12 7+9=16

Código 1)

Na questão A3, você poderia explicar melhor o que você escreveu? Não sei não porque escrevi isso.

Vamos buscar outro caminho, pense em um número impar maior que 10. Some com outro impar, deu par? Pense em outros, deu par?

Deu

O que você acha. Se somar dois impares sempre vai dar par? Vai.

Por quê? Pode dar ímpar? É sempre par, não é?

Você consegue enxergar algum motivo?

103

Sempre vai dar par.


(3x3=9 6x2=12

9+12=21 3x7=21)

Na questão A4, a afirmação é verdadeira ou falsa? É verdadeira.

Ela é sempre verdadeira ou só em alguns casos? Não, não é sempre verdadeira não.

Por que você acha que não? É sempre verdadeira.

Você consegue dizer que é verdadeira fazendo as contas, você não consegue dizer de outra forma?

Não.

O sujeito entrevistado sabe distinguir um número par de um número

ímpar, porém não consegue criar argumentos que justifiquem que a soma de

dois ímpares é par.

O mesmo acontece na questão A4, porém, com a entrevista, não

podemos perceber se o aluno consegue discernir o que é múltiplo.

Olhando agora o grupo D (verde), escolhemos para entrevista o sujeito

7, que respondeu que a afirmação A3 era falsa, portando sua justificativa

recebeu código 0, porém na questão A4 respondeu que era verdadeira a

afirmação e deu uma resposta pertinente como justificativa (codificação 2a).

104


(É falsa, pois já foi comprovado que a soma de quaisquer números pares é sempre par e como não existem

apenas números pares a soma dos ímpares tem que dar números impares para completar o conjunto dos números ) ℜCodificação - 0

Eu queria saber de você qual a diferença entre números pares e

ímpares. Olha, eu não sei realmente dizer a diferença entre números pares e

ímpares. Acho que eles vêm intercalados um do outro. Assim, eu não sei

exatamente qual a diferença entre eles.

Como é que você falaria esse é par ou esse é impar? Ah, eu não sei. Normalmente eu pego algum número que se relaciona

com o número dois, que é o mais comum assim que você fala que é par aí eu

vejo. Tipo esse deve ser par, como ele é divisível por dois, deve ser par,

alguma coisa assim, e depois eu vejo por três, que é o mais normal.

Você seria capaz de dar um exemplo de soma de dois números ímpares?

Ah, 3 + 5 é igual a 8.

O resultado é par ou ímpar? Par

E diante dessa questão, aqui você colocou que quando somamos dois números ímpares quaisquer, o resultado é par, você colocou que era falso.

Ah, é assim, é que eu não pensei muito nos exemplos, mas acho que

não é sempre que vai dar número par, pode algumas vezes dar número ímpar,

105

mas eu não sei um exemplo agora, mas eu acho que também pode dar impar,

não pode?

Deixa eu pensar... É não vem nenhum exemplo, deve ser direto no par

mesmo.


(É verdadeira, pois 6 é divisível por 3 o que faz com que seus múltiplos ao serem somados continuem sendo.)

Codificação - 2a

Todo múltiplo de 3 é também múltiplo de 6? Ah, não, eu acho que não porque 3 é divisível por 3 mas não é por 6.

E o que acontece quando somamos um múltiplo de 3 com um múltiplo de 6? É um múltiplo de 3?

Ah, eu acho que sim, deixa eu ver.... Por exemplo, 3 + 6 é igual a 9, e 9

é múltiplo de 3. Então é verdade.

Isso vale sempre? Sim, deixa eu pensar... É todos os números que eu peguei dá um

múltiplo de 3, então é verdade. Ah, e ainda, os múltiplos de 6 são todos

múltiplos de 3, não é ?

Esse sujeito havia respondido no questionário que a soma de dois

ímpares não era par. Porém, na entrevista, ele fez alguns cálculos mentais e

não conseguiu nos dar um exemplo de soma de dois ímpares resultando ímpar,

e assim, conclui que a soma deve ser um número par.

Quando perguntado sobre múltiplos, o sujeito tem noção do que são

múltiplos e ainda consegue dizer que os múltiplos de 6 são múltiplos de 3. Mas,

para dizer que a soma de um múltiplo de 3 com um de 6 é um múltiplo de 3,

106

teve que fazer alguns cálculos mentais, concluindo que a afirmação era

verdadeira.

Do grupo E (rosa), escolhemos o sujeito 5 . Esse escreveu que as

afirmações eram verdadeiras, porém na questão A3 recebeu código 1 em sua

justificativa e na A4 deu uma resposta pertinente.


Sim toda soma de números iguais é par

5+5=10

15+15=30

3+3=6

5+3=8

codificação: 1

Você sabe quando um número é par? É quando.... a maioria das vezes, quando os números pares são

somados juntos, é uma lógica que eu tenho aqui, número par somado com

número par vai dar par.

Mas para você número par é isso? Se eu te der um número agora, por exemplo, 243, é par ou ímpar?

É ímpar.

Por que? Porque ele termina em 3 e 3 é ímpar. O número que termina em par é

par.

E quais são os números pares?

107

0,2,4,6,8


Sim, 6 é múltiplo de 3

codificação: 2a Qual o cálculo que você faz para descobrir os múltiplos do número

3? Eu sinceramente colocaria, ... ia multiplicando ele. o número 3, no

múltiplo eu jogaria 3, 6, 9.

Antes de analisarmos, na entrevista não foram contempladas todas as

perguntas que poderiam ser feitas acerca dessas questões, como por exemplo,

porque o aluno operou todos os exemplos da questão A3 com números iguais,

ou ainda porque não perguntou sobre a soma do múltiplo de 3 com o múltiplo

de 6 na questão A4.

Nessa entrevista, podemos perceber que o aluno 5 tem noção da

diferença entre números pares e ímpares, porém não consegue justificar isso.

O aluno não foi inquirido sobre a soma de números ímpares, portanto, não

podemos concluir se ele sabe ou não que a soma de dois ímpares resulta em

par. Porém, analisando o protocolo, vemos que ele disse que essa afirmação

era verdadeira e justificou com somas de números iguais (quase sempre).

Agora, ele tem noções sobre o que são múltiplos de 3. Porém,

novamente, não podemos aferir se ele sabe o que acontece quando somamos

um múltiplo de 3 com um múltiplo de 6.

Entretanto, analisando o protocolo, podemos dizer que ele sabe que um

múltiplo de 6 é também múltiplo de 3, sem conclusão com relação à soma.

108

Finalmente, do grupo F (cinza), escolhemos o sujeito 27. Além de

afirmar que as afirmações eram verdadeiras, também deu respostas

pertinentes para as duas.

Desse sujeito, analisamos apenas a entrevista sobre a questão A4, pois

não foi questionado sobre a questão A3


(Verdadeiro

1+1=2 3+3=6

7+9=16 10009+1001=11100

Tanto faz o número ímpar que você some, vai dar sempre par). Codificação: 2a

109


(Sim. Porque 6 é metade de 3, portanto 6 é múltiplo de 3

6 = 2x metade

3

3 = 1

6 2

Codificação: 2a

Qual o cálculo que você faz para saber se um número é múltiplo de outro número?

Divido.

Divide quem por quem? Divido o segundo número pelo primeiro. E aí você obtém o resultado. Se

esse resultado for inteiro significa que ele é múltiplo, por exemplo, eu quero

saber se 3 é múltiplo de..... não, se 9 é múltiplo de 3,... não, era dividir o

primeiro pelo segundo, eu quero saber se 9 é múltiplo de 3, eu divido 9 por 3 aí

eu obtenho o resultado que no caso é 3 , esse resultado é inteiro então fica

fácil saber se um número é múltiplo do outro.

Você pode dar alguns exemplos dos múltiplos de 3? 3, 6, 9, 12

Como você chegou a esses valores? Se você dividir 6, 9, 12 por 3 você vai ter um número inteiro.

110

Com relação à questão A3, verificamos que existe uma evidência de

Experimento Crucial, o que nos faz pensar que o aluno sabe distinguir com

clareza números pares e ímpares e, ainda, sabe o que acontece com a soma

de dois ímpares.

Com relação à questão A4, percebemos que o aluno conhece

plenamente os conceitos de múltiplo e sabe ainda dizer se um número é

múltiplo de outro ou não. Sabe também que um múltiplo de 6 é múltiplo de 3.

Porém, novamente, não podemos concluir nada em relação à soma de um

múltiplo de 3 e de um múltiplo de 6, pois o mesmo não foi argüido sobre isso.

Vale mencionar que também havíamos escolhido o aluno 42, que

pertence ao grupo E (rosa), mas não foi possível entrevistá-lo, pois a escola

não permitiu.

4.5.2 Professores

As concepções dos professores de 8ª série do Ensino Fundamental e de

1º ano do Ensino Médio sobre a argumentação e prova na Matemática Escolar

foram investigadas através de algumas entrevistas.

Eis nosso roteiro de entrevista:

• Você alguma vez em suas aulas demonstrou algum teorema ou

propriedade em qualquer tópico da Matemática para as 8ª ou 1º?

• Para você, o que é uma demonstração? E uma prova?

• Para você, a soma de dois números ímpares quaisquer é sempre

par ou ímpar? Como você consegue justificar isso?

• E a soma de um múltiplo de 3 com um múltiplo de 6 é um múltiplo

de 3? Justifique.

O primeiro professor nos disse o seguinte:

Você alguma vez em suas aulas demonstrou algum teorema ou

propriedade em qualquer tópico da Matemática para as 8ª ou 1º? O teorema de Pitágoras e as propriedades do logaritmo.

111

Para você, o que é uma demonstração? E uma prova? Prova é uma maneira de mostrar como chegamos a determinado

resultado, como por exemplo, na prova real. Já demonstrar é mostrar como

chegamos a uma fórmula.

Para você, a soma de dois números ímpares quaisquer é sempre par ou ímpar? Como você consegue justificar isso?

Seja M impar e N impar:

M = MP + 1, sendo que MP é par, pois todo par + 1 é impar (a)

N = NP + 1, sendo que NP é par, pois todo par + 1 é impar (b)

Somando (a) e (b) temos:

M + N = MP + NP + 2, que é um número par.

E a soma de um múltiplo de 3 com um múltiplo de 6 é um múltiplo de 3? Justifique.

Sim, pois múltiplo de 6 é também múltiplo de 3., portanto podemos

afirmar, que o múltiplo de 6 é divisível por 3

Vejamos o segundo professor o que nos diz:

Você alguma vez em suas aulas demonstrou algum teorema ou propriedade em qualquer tópico da Matemática para as 8ª ou 1º?

Demonstrei a fórmula de Báskara.

Para você, o que é uma demonstração? E uma prova? Demonstração é mostrar como se chegou à fórmula, ou seja, mostrar

que uma fórmula não é por acaso, tem um porque para chegar até ela.

Prova serve para verificar se o exercício está correto e se a solução

encontrada condiz com o enunciado.

Para você, a soma de dois números ímpares quaisquer é sempre par ou ímpar? Como você justificaria isso?

É sempre par, pois quando somamos dois ímpares, sempre sobrará um

número um de cada ímpar, e quando juntamos esses dois uns, nós

formaremos um par, e a soma de dois pares é par.


Sim, pois múltiplo de 6 também é múltiplo de 3.

112

O terceiro professor nos respondeu o seguinte:


Demonstrei a Equação do 2º grau

Para você, o que é uma demonstração? E uma prova? Para mim, prova e demonstração é a mesma coisa. Nós partimos da

hipótese para podermos chegar à tese, que é aquilo que queremos provar.


É sempre par, pois um número ímpar é da forma (2n+1), então

(2n+1)+(2n+1) = (4n+2), que é par


Sim, pois múltiplo de 6 é divisível por 3 e por 2. Múltiplo de 3 é divisível

por 3. Daí, somando, teremos dois múltiplos de 3 que somados são múltiplos

de 3.

O quarto professor nos respondeu o seguinte:


Não

Para você, o que é uma demonstração? E uma prova? Demonstração é a maneira como é feita, para justificar o resultado

utilizado. Prova, de acordo com os dados oferecidos, verifica-se a exatidão dos

resultados.


A soma é sempre par, pois dois números ímpares se completam

formando um número par.


113

Sim, é um múltiplo de 3, pois temos que o próprio 6 é um múltiplo de 3.

O último professor por nós entrevistado nos disse o seguinte:


Sim, demonstrei que a soma dos ângulos internos de um triângulo é

igual a 180º, o Teorema de Pitágoras, o Teorema de Tales, dentre outros.

Para você, o que é uma demonstração? E uma prova? Demonstrar significa provar que uma tese é verdadeira, com base numa

hipótese, seguindo um raciocínio lógico. Toda demonstração é uma prova, mas

nem toda prova é uma demonstração. Por exemplo, se x2 = y2 não significa que

x = y.


Sim. Seja a = 2n+1 e b = 2m+1. Logo a+b = 2n+1 + 2m+1 = 2n+2m+2 =

2(n+m+1). E esse é um número par. Portanto, quando somamos dois números

ímpares quaisquer, o resultado é sempre par.


Todo número múltiplo de 6 também é múltiplo de 2 e 3. Logo é múltiplo

de 3. Seja a um múltiplo de 3 e b um múltiplo de 6. Então a + b será um

múltiplo de 3, pois b é múltiplo de 3.

Como pudemos ver, as argumentações dos professores não são

completas. Percebemos que, quando perguntados sobre a soma de dois

números ímpares quaisquer, só dois deles apresentaram uma prova que

poderia ser considerada correta. Note que as argumentações não foram bem

conduzidas. Quando perguntados sobre a soma de um múltiplo de 3 com um

múltiplo de 6, nenhum deles nos apresentou uma prova correta. Praticamente

todos disseram que como 6 é múltiplo de 3, então a soma será um múltiplo de

3. Porém, quando perguntados se alguma vez já haviam demonstrado algum

dos conteúdos de 8ª série do Ensino Fundamental ou 1º ano do Ensino Médio,

só um deles nos afirmou que nunca havia demonstrado. É importante notar que

114

as argumentações apresentadas pelos professores tentam valer-se de

argumentos algébricos, mas sem serem bem sucedidos.

4.5.3 Alunos e Professores Com a ajuda dos colegas participantes do projeto AProvaME, mais

precisamente dos que estão analisando os protocolos, conseguimos investigar,

com cada um dos alunos entrevistados:

- se o professor trabalha com argumentação e prova em suas aulas; e

- se o professor pede para justificar ou só colocar a resposta final do

exercício.

Essa pesquisa foi feita durante as entrevistas. Novamente, a fala do

entrevistador aparecerá em negrito e a do aluno aparecerá em texto normal.

Não ilustraremos todas as respostas, pois, analisando-as, percebemos que

muitas delas são parecidas. Porém, faremos menção às falas que porventura

diferenciaram-se em algum aspecto.

Aluno 1:

Você se lembra desse questionário? Em algumas questões você utilizou cálculo e em outras, você deveria justificar as respostas. O seu professor utiliza esse tipo de atividade?

Têm exercícios que ele pede para fazer e justificar e têm exercícios que

só pede a resposta, deixar o resultado bem claro e depois o professor vem e dá

um visto.

Os professores demonstram os teoremas ou simplesmente apresentam as fórmulas prontas para uso?

Eu tive vários tipos de professores, desde aqueles que mostram o que

vocês vão ter que fazer e explica bem assim, olha isso é o que vocês vão ter

que fazer e até aqueles que começam desde lá de trás explicando como

chegou passo a passo até aquela fórmula e explica tudo bem detalhado para

depois a gente fazer uso daquilo e nesses últimos anos eu tive todo esse tipo

de professor e todos os professores conseguiram passar de um modo geral e

demonstrar o que eles queriam.

115

Você disse que têm professores que apresentam e aqueles que não apresentam demonstração. O que você prefere? Aquele professor que deduz desde o início, passo a passo, até chegar à fórmula ou aquele professor que apresenta diretamente as fórmulas para serem usadas?

Sinceramente, eu tive aulas em que eu gostei de ter desde o comecinho

a demonstração, mais pela curiosidade e poder interagir mais na aula e acabar

tendo mais conhecimento naquela matéria, mas tem vez também que acaba

cansando porque vir lá de trás acaba ficando aquela aula cansativa e quando

chega um professor e fala, olha vocês vão ter que aprender isso aqui e coloca

a fórmula lá e você vê e fala, é só isso, então fica mais fácil para resolver o

problema, mas você acaba ficando sem um meio de conhecimento daquilo ali e

pergunta como é que inventaram aquilo, como é que chegaram naquilo e você

acaba ficando num nível mais baixo de conhecimento sobre aquela matéria.

No geral, você prefere com ou sem demonstração? Com demonstração, com certeza.

Aluno 2:

Você se lembra desse questionário? Em algumas questões você utilizou cálculo e em outras, você deveria justificar as respostas. O seu professor utiliza esse tipo de atividade?

Lembro do questionário. O professor não utiliza esse tipo de questão.

Sempre foi (sic) questões que exigiam respostas exatas sem as justificativas.

Ele pede para justificar as respostas? Não. Nunca foi pedido. A gente fazia a conta, colocava a fórmula meio

que decorada, colocava em prática e resolvia o problema, nunca colocava a

justificativa.

O professor demonstra as fórmulas ou teoremas em sala de aula? Normalmente não, eu fui descobrir o Pi, porque era o Pi, no segundo

colegial. O único lugar que trabalharam essa fórmula foi no Senai. Aqui não.

Você prefere assim, aprender diretamente o teorema e a fórmula prontos para uso ou você gostaria de saber como é que se chegou à fórmula?

116

Com certeza mostrando como se chegou naquilo, porque normalmente

isso aí é que é aprendizado, você descobre o porquê você está utilizando

aquilo, normalmente costuma se falar que um bom profissional é aquele que é

um bom técnico, além de competente, isso é outra coisa, mas um bom técnico

ele sabe associar tanto a parte lógica quanto a prática, então é por isso que as

pessoas aprendem, quando elas associam a parte lógica da prática elas

aprendem, isso é aprendizado e não simplesmente pegar uma coisa já

decorada e depois você acaba esquecendo e fica no ar.

Então você acha que ajuda a utilizar melhor a fórmula ou teorema se você sabe de onde vem?

Com certeza ajuda. Eu acho que uma das coisas mais óbvias que tem

na matemática é uma regra de três. Muitas pessoas têm dificuldade e a partir

do momento que você entende o porquê de uma regra de três, você utiliza ela

(sic) pelo resto da vida e nunca mais esquece, utiliza até no seu cotidiano e a

partir do momento que você tem que decorar uma fórmula aí você não utiliza

mais, pois depois de fazer uma prova você esquece a fórmula.

Aluno 3:

Você se lembra desse questionário? Lembro.

Em algumas questões você utilizou cálculo e em outras, você deveria justificar as respostas. O seu professor utiliza esse tipo de atividade?

Não, não é muito comum. Ela explica vai passando as contas e faz junto

com a gente. Se precisar ela vai tirando as dúvidas.

A professora pede para justificar as respostas? Geralmente não. Ela explica e a gente vai fazendo.

A professora demonstra teoremas ou fórmulas em sala de aula? Até que esse ano foi um pouco menos. Não foi muito costumeiro fazer

isso.

Nos outros anos foi? Na oitava série foi.

Qual teorema que ela demonstrou?

117

Ela mostrou como Pitágoras chegou à conclusão.

Então ela demonstra alguma coisa, mas pouco. Esse ano foi pouco?

É. A gente aprendeu várias outras fórmulas. Ela foi mostrando como é

que se fazia, como é que se chegou a isso, eu achei que não foi tão detalhado

como no ano passado, mas deu para aprender.

Aluno 4:

Você notou que o questionário tinha questões que em alguns momentos você calculava, efetuava cálculos e em outros, você tinha que responder se a resposta era verdadeira ou não e criar uma justificativa. Sendo assim, eu gostaria de saber de você se você realiza atividades desse tipo no decorrer das aulas de Matemática.

Sim, às vezes a gente tem alguns exercícios de cálculo e em outros a

gente usa mais a lógica, a gente pega exercícios, principalmente quando tem

alguma coisa a ver com vestibular, então a gente pega alguns exercícios e faz,

a gente vê se é verdadeiro ou falso, ou mesmo tudo sem fazer cálculo, usando

mais a lógica.

E atividades para justificar sua resposta? Não, justificar a resposta não é muito comum, a gente está fazendo, a

gente tá fazendo mais de pensar mesmo, sem fazer conta, a gente pensa e

responde. Justificar assim, difícil.

E o seu professor em alguma aula já provou matematicamente algum teorema ou propriedade em qualquer tópico?

Aqui nesse colégio não, mas quando eu estudava no outro colégio,

quando a gente aprendeu o Teorema de Pitágoras, meu professor explicou de

onde saiu a fórmula, fez uma monte de conta na lousa para tentar explicar pra

gente. Aí ninguém entendeu muita coisa, o que interessou mesmo foi o final de

tudo.

118

Em cada um dos quadros apresentados acima, temos a resposta de um

aluno para as questões mencionadas. Podemos perceber que, através de suas

falas, são poucas as vezes que o professor vale-se de provas e demonstrações

para explicar ou introduzir algum tópico. Mas, como dito pelos alunos, é mais

fácil quando o professor demonstra como se faz para chegar em um

determinado resultado, como a fórmula foi encontrada, não simplesmente

“jogando” a fórmula e pedindo para os alunos calcularem.

Além disso, os professores raramente pedem para justificar o porquê de

um determinado resultado. Quando o fazem, como os alunos não sabem como

aquele resultado é válido, fica difícil fazer qualquer tipo de justificativa para um

determinado resultado.

Isso nos leva a crer que ou os professores realmente não sabem como

demonstrar ou pensam que ficaria mais complicado para o entendimento do

aluno. Porém, em uma das falas acima, vemos que o aluno prefere quando são

apresentadas as fórmulas e suas demonstrações, o que nos leva a crer que,

para ele, é mais fácil a conclusão do exercício pedido.

119

CONCLUSÃO Pretendemos agora apresentar nossas conclusões acerca das questões

propostas no capítulo 1. Nossos principais objetivos eram:

• Levantar um mapa das concepções sobre argumentação e prova

de alunos adolescentes em escolas do estado da São Paulo.

• Formular recomendações relacionadas ao papel da

argumentação e da prova no currículo de Matemática escolar.

Como já apresentado em nossas primeiras conclusões, pudemos

verificar que o processo de argumentação e prova em estudantes de 1º ano do

EM e 8ª série do EF é falho, visto a quantidade de justificativas que receberam

código 3 (18 justificativas, reunindo a questão A3 e a questão A4) em nossa

amostra de 1998 estudantes. Aqui, consideramos um total de 3996

justificativas. Pensando em argumentações com alguma informação pertinente,

aquelas com código maior ou igual a 2a, tivemos 323 justificativas nesse caso.

Ainda, a quantidade de justificativas deixadas Sem Resposta é elevada:

tivemos 789 justificativas apresentadas em Branco ou com algo do tipo Não Sei

ou Não Entendi (códigos -1 e -2).

Além disso, pudemos ainda comprovar que os alunos de 8ª série do EF

saíram-se, em linhas gerais, melhor que os estudantes de 1º ano do EM.

Tivemos na questão A3 quase 10% a mais de alunos da 8ª série do EF que

responderam que a afirmação era verdadeira, em relação aos alunos de 1º ano

do EM, e na questão A4, tivemos quase 6% a mais de alunos da 8ª série nessa

condição. Ainda, os alunos de 8ª série deixaram menos questões Sem

Resposta. Na questão A3, tivemos pouco mais de 4% dos alunos de 8ª série

do EF nessa condição contra mais de 8% dos alunos de 1º ano do EM; já na

questão A4, tivemos pouco mais de 21% dos alunos de 8ª série do EF nessa

condição contra pouco mais de 29% dos alunos de 1º ano do EM. Pensando

agora em justificativas pertinentes, aquelas com código maior ou igual a 2a, os

alunos de 8ª série do EF saíram-se melhor que os alunos de 1º ano do EM na

questão A3. Tivemos 7,32% dos alunos de 8ª série do EF contra 5,71% dos

alunos de 1º ano do EM. Já na questão A4, tivemos 8,82% dos alunos de 8ª

série do EF nessas condições contra 9,89% dos alunos de 1º ano do EM. Mas,

120

em linhas gerais, e pensando principalmente na resposta à afirmação ser

verdadeira ou não, os alunos de 8ª série do EF saíram-se melhor que os

alunos de 1º ano do EM.

Provavelmente, pelo fato de que no ensino Fundamental, os conceitos

de divisibilidade e as propriedades da multiplicação e da soma são mais

usados, difundidos pelos professores e mais explicados. Afirmamos isso, pois é

no Ensino Fundamental que os alunos aprendem de forma mais concreta

essas propriedades, enquanto que no Ensino Médio, elas ficam relegadas a

exercícios, sem o comprometimento da explicação, do porquê.

Assim, com relação ao nosso primeiro objetivo, podemos concluir que o

processo de argumentação e prova não é bem difundido na Escola Básica,

corroborado pelo que pudemos observar nas entrevistas realizadas com os

alunos. De fato, dois grandes grupos foram identificados em nossa amostra:

um deles, constituído de 31% da amostra, identificou corretamente a

veracidade das afirmações de ambas as questões, e apresentou justificativas

de qualidade variável, sendo algumas totalmente empíricas; o outro,

correspondendo a 12% da amostra, considerou falsas ambas as afirmações e

não apresentou justificativas pertinentes. Os demais sujeitos (57% da amostra)

tiveram desempenho entre esses dois extremos. Como visto nas questões

estudadas, o processo de justificativa é basicamente feito com exemplos

empíricos, sem a construção de argumentações válidas, com estruturas

matemáticas bem definidas. Na questão A3, tivemos 55,76% das justificativas

apresentadas nessas condições e na questão A4 27,53% das justificativas de

maneira empírica. Outras vezes, os alunos simplesmente voltaram à afirmação,

fizeram um ciclo vicioso (são algumas das justificativas codificadas com 0).

Além disso, pela entrevista com os professores, vimos que os mesmos também

não se valem desses artifícios, de modo geral, em suas aulas, apenas em

alguns poucos momentos utilizam a demonstração para poder explicar ao

aluno como chegamos a determinados resultados, as “fórmulas matemáticas”.

Fazendo agora um paralelo entre nosso trabalho e o de Healy e Hoyles

(1998), o uso de argumentos empíricos é também o mais comum que apareceu

na pesquisa supra mencionada, porém esses sabem que ela tem pouco status

entre os professores. Ainda, o uso da língua materna é comum dentro dos

argumentos não-empíricos, assim como aconteceu com nosso estudo. Com

121

relação ao uso de argumentação e prova pelos professores, as pesquisadoras

verificaram que em 77% das escolas as provas são encontradas apenas em

investigações e ainda que suas funções não são estendidas para

sistematizações e descobertas. Na conclusão da pesquisa, afirmam-nos que os

professores daquele país devem fazer com que os alunos conheçam as

argumentações e provas de maneira algébrica e formal, fazendo com que eles

possam desenvolver mais competências multifacetadas em provas que incluam

algumas deduções não-empíricas.

A ausência de argumentações e provas em sala de aula pelos

professores pode privar os alunos de uma visão mais ampla da Matemática, de

uma educação mais concreta com relação ao entender da Matemática.

Compartilhamos tal princípio, pois um dos objetivos principais da Educação

Básica é proporcionar aos alunos situações que lhes permitam ter uma

compreensão viva do que é a Matemática. Como a prova é um dos elementos

básicos da compreensão da Matemática, de sua essência, não podemos supor

um ensino que não se valha desse processo para o compreender do aluno.

Aqui, não nos baseamos somente na prova com seu rigor algébrico-

lógico, mas em todos os processos dedutivos, indutivos e cognitivos da prova

para o aluno. É através dela que o aluno poderá fazer suas suposições acerca

de uma afirmação, é através dela que o aluno poderá criar processos de

dedução para verificar se suas suposições são corretas, é através dela que o

aluno irá compreender melhor o universo da Matemática no seu âmbito mais

concreto.

Agora, a inclusão da prova na Escola Básica é uma tarefa fácil?

Acreditamos que não, uma vez que a passagem da argumentação para a prova

formal é um caminho difícil de ser trilhado. Provavelmente pelo desânimo que

pode ter sido criado ao tentar-se incluir o processo de prova na Escola Básica.

Mas não podemos exigir de nossos alunos que esses criem provas e

demonstrações no rigor matemático conhecido, usando os axiomas, como

acontece nos cursos superiores de Matemática. Porém podemos começar

pedindo que nossos alunos justifiquem suas respostas, uma vez que em

nossas entrevistas pudemos verificar que os alunos não se valem dessas.

A partir da justificativa, o aluno começará a criar uma lógica, tentando

argumentar porque aquele resultado é válido. Com isso, ele também criará

122

hipóteses para explicar tal fato. Assim, estará valendo-se de um processo

dedutivo para explicar e, portanto, estará também em seu próprio processo

cognitivo, aprendendo a justificar.

Com essa etapa realizada, poderemos então começar a tentar introduzir

as provas na Educação Básica, claro que sem o rigor matemático conhecido,

mas com o uso da lógica, da argumentação, para que nossos alunos possam

também ter prazer na criação das argumentações. Aqui, entendemos que a

prova deve ser pensada com seu conceito mais amplo, com verificações

empíricas, até porque em nosso trabalho, verificamos ser essa a maneira que

os alunos pensam ser correta para justificar uma afirmação. Assim, obteríamos

uma estratégia didática para a compreensão de proposições e propriedades a

serem exploradas pelo professor.

Porém, devemos ter em mente que a melhor demonstração para nossos

alunos seria aquele que além de demonstrar também explica, não somente as

demonstrações axiomáticas, como afirma Hanna (1990), que nem todas as

provas tem o poder de explicar.

Inclusive, como diz Pietropaulo (2005), a prova deve ser re-significada,

ou seja, “o significado a ela atribuído seja ampliado e que se caracterize por um

processo de busca, de questionamento, de conjecturas, de contra exemplos,

de refutação, de aplicação e de comunicação e não com o sentido formalista

que a caracterizou nos currículos praticados em outros períodos.” (p. 212).

Considerando o que afirma Ponte (1998), sobre o desenvolvimento

profissional, o professor de Matemática precisar estar em constante

aprendizado, desenvolvendo-se constantemente, para tornar os professores

cada vez mais aptos a conduzir um ensino de Matemática tendo em vista as

necessidades e interesses de cada aluno, contribuindo também para a

melhoria das instituições educativas.

Assim, como professores de Matemática em constante desenvolvimento

profissional, precisamos ter consciência da necessidade e interesse de nossos

alunos, para que possamos ter cada vez mais sucesso no ensino da

Matemática, fazendo com que nosso aluno crie seus processos dedutivos,

indutivos e cognitivos, para que esse possa compreender a Matemática na sua

essência, para que assim ela deixe de ser vista como o “bicho-papão” da

123

Escola Básica, para que assim possamos fazer com o aluno tenha prazer em

aprender e que nós, professores, tenhamos prazer em ensinar.

124

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ARSAC,G. L´origine de la dèmonstration: essai d´Épistémologie

didatique. Recherches en Didactique dês Methématiques, V. 8, n.3, p. 267-312,

1987.

BALACHEFF, N. Preuve et demonstration em mathémathiques au

collège. Recherches en didactique des Mathématiques. Vol 3.3, p. 261-304, La

Pensée Sauvage Grenoble, 1982.

________. Processus de preuve et situations de validation. Educational

Studies in Mathematics, vol. 18, n.2, Mai 1977, p. 147-176, 1987.

________. Une étude des processus de prevue en Mathématiques.

Thèse d´état, Grenoble, 1988.

________. Is argumentation an obstacle? International Newsletter on the

Teaching an Learning of Mathematical Proof, Grenoble, n.1, 1999.

BARBIN, E. La demonstration mathématique: significations

epistemologiques et questions didactiques. Bulletin de l`APMEP, n. 366, 1988.

BOYER, Carl. História da Matemática. Tradução de Elza F. Gomide. São

Paulo, SP: Edgard Blücher, 1974

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares

Nacionais (5ª a 8ª série). Brasília: MEC, 1998.

_____. Secretaria de Educação Média e Tecnologia. Parâmetros

Curriculares Nacionais – Ensino Médio. Brasília: MEC, 1998.

C.H.I.C. – Classificação Hierárquica Implicativa e Coesitiva, versão 3.4

para Windows (software)

125

COBB, P., Confrey, J., Disessa, A., Lehrer , R., & Schauble, L. Design

Experiments in Educational Research. Educational Researcher, 32 (1), pp. 9-

13, 2003.

COELHO, Sônia Pitta; POLCINO MILIES, César. Números: uma

introdução à matemática. São Paulo, EDUSP, 2003.

EVES, Howard, Introdução à História da Matemática. Tradução de

Hygino H. Domingues. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2004.

GARNICA, A.V.M., “Fascínio da Técnica, Declínio da Crítica: um estudo

sobre a prova rigorosa na formação do professor de Matemática”. Tese de

Doutorado em Educação Matemática. Rio Claro, SP, IGCE-UNESP, 1995.

GRAVINA, M.A., Os ambientes de geometria dinâmica e o pensamento

hipotético-dedutivo. Tese de Doutorado. Porto Alegre, RS, UFRGS, 2001.

HANNA, G. Challenges to the importance of proof. For the learning of

Mathematics, n.15, p. 42-49, 1995.

HEALY, S. V. (L.)., & HOYLES, C. Justifying and Proving in School

Mathematics. Technical Report , University of London, Institute of Education,

1998.

________. A study of proof conception in algebra. Journal for Research

in Mathematics Education, 31(4), pp. 396-428, 2000.

HOYLES, C. The curricular shaping of students approaches to proof. For

the Learning of Mathemtatics, n. 17(1), pp. 7 – 16, 1997.

126

PIETROPAULO, R. C., (Re)significar a demonstração nos currículos da

Educação Básica e da formação de professores de Matemática, Tese de

Doutorado. São Paulo, SP. PUC-SP, 2005.

PONTE, J.P. Da formação ao Desenvolvimento Profissional. In Actas do

ProfMat 98 (p. 27-44). Lisboa: APM, 1998.

VAZ, R. L. O uso das isometrias do software Cabri-Gèométre como

recurso no processo de prova e demonstração, Dissertação de Mestrado, PUC-

SP, 2004.

127

APÊNDICES Apêndice 1 – Resultados do C.H.I.C.

Classificação ao nível: 1 : (A3_Verd A3_J_1) similaridade : 1 Tipicalidade à classe : A3_Verd,A3_J_1 ( 1 ) A variável P é típica a esta classe com um risco de : 0.00323 A variável M é típica a esta classe com um risco de : 0.633 A variável E é típica a esta classe com um risco de : 0.851 A variável 1 é típica a esta classe com um risco de : 0.987 A variável 8 é típica a esta classe com um risco de : 0.00699 A variável típica a esta classe é P com um risco de : 0.00323 Contribuição à classe : A3_Verd,A3_J_1 ( 1 ) A variável P contribui a esta classe com um risco de : 0.00323 A variável M contribui a esta classe com um risco de : 0.633 A variável E contribui a esta classe com um risco de : 0.851 A variável 1 contribui a esta classe com um risco de : 0.987 A variável 8 contribui a esta classe com um risco de : 0.00699 A variável que contribui mais a esta classe é P com um risco de : 0.00323 Classificação ao nível: 2 : ((A3_Verd A3_J_1) A4_J_1) similaridade : 1 Tipicalidade à classe : A3_Verd,A3_J_1,A4_J_1 ( 1,2 ) A variável P é típica a esta classe com um risco de : 0.21 A variável M é típica a esta classe com um risco de : 0.845 A variável E é típica a esta classe com um risco de : 0.525 A variável 1 é típica a esta classe com um risco de : 0.997 A variável 8 é típica a esta classe com um risco de : 0.00122 A variável típica a esta classe é 8 com um risco de : 0.00122 Contribuição à classe : A3_Verd,A3_J_1,A4_J_1 ( 1,2 ) A variável P contribui a esta classe com um risco de : 0.21 A variável M contribui a esta classe com um risco de : 0.845 A variável E contribui a esta classe com um risco de : 0.525 A variável 1 contribui a esta classe com um risco de : 0.997 A variável 8 contribui a esta classe com um risco de : 0.00122 A variável que contribui mais a esta classe é 8 com um risco de : 0.00122 Classificação ao nível: 3 : (((A3_Verd A3_J_1) A4_J_1) A4_Verd) similaridade : 1 Tipicalidade à classe : A3_Verd,A3_J_1,A4_J_1,A4_Verd ( 1,2,3 ) A variável P é típica a esta classe com um risco de : 0.216 A variável M é típica a esta classe com um risco de : 0.826 A variável E é típica a esta classe com um risco de : 0.529 A variável 1 é típica a esta classe com um risco de : 0.997 A variável 8 é típica a esta classe com um risco de : 0.00126 A variável típica a esta classe é 8 com um risco de : 0.00126

128

Contribuição à classe : A3_Verd,A3_J_1,A4_J_1,A4_Verd ( 1,2,3 ) A variável P contribui a esta classe com um risco de : 0.216 A variável M contribui a esta classe com um risco de : 0.826 A variável E contribui a esta classe com um risco de : 0.529 A variável 1 contribui a esta classe com um risco de : 0.997 A variável 8 contribui a esta classe com um risco de : 0.00126 A variável que contribui mais a esta classe é 8 com um risco de : 0.00126 Classificação ao nível: 4 : (A3_Fal A3_J_0) similaridade : 1 Tipicalidade à classe : A3_Fal,A3_J_0 ( 4 ) A variável P é típica a esta classe com um risco de : 0.922 A variável M é típica a esta classe com um risco de : 0.367 A variável E é típica a esta classe com um risco de : 0.309 A variável 1 é típica a esta classe com um risco de : 0.0669 A variável 8 é típica a esta classe com um risco de : 0.952 A variável típica a esta classe é 1 com um risco de : 0.0669 Contribuição à classe : A3_Fal,A3_J_0 ( 4 ) A variável P contribui a esta classe com um risco de : 0.922 A variável M contribui a esta classe com um risco de : 0.367 A variável E contribui a esta classe com um risco de : 0.309 A variável 1 contribui a esta classe com um risco de : 0.0669 A variável 8 contribui a esta classe com um risco de : 0.952 A variável que contribui mais a esta classe é 1 com um risco de : 0.0669 Classificação ao nível: 5 : ((A3_Fal A3_J_0) A4_J_0) similaridade : 1 Tipicalidade à classe : A3_Fal,A3_J_0,A4_J_0 ( 4,5 ) A variável P é típica a esta classe com um risco de : 0.856 A variável M é típica a esta classe com um risco de : 0.314 A variável E é típica a esta classe com um risco de : 0.378 A variável 1 é típica a esta classe com um risco de : 0.172 A variável 8 é típica a esta classe com um risco de : 0.853 A variável típica a esta classe é 1 com um risco de : 0.172 Contribuição à classe : A3_Fal,A3_J_0,A4_J_0 ( 4,5 ) A variável P contribui a esta classe com um risco de : 0.856 A variável M contribui a esta classe com um risco de : 0.314 A variável E contribui a esta classe com um risco de : 0.378 A variável 1 contribui a esta classe com um risco de : 0.172 A variável 8 contribui a esta classe com um risco de : 0.853 A variável que contribui mais a esta classe é 1 com um risco de : 0.172 Classificação ao nível: 6 : (((A3_Fal A3_J_0) A4_J_0) A4_Fal) similaridade : 1 Tipicalidade à classe : A3_Fal,A3_J_0,A4_J_0,A4_Fal ( 4,5,6 ) A variável P é típica a esta classe com um risco de : 0.89 A variável M é típica a esta classe com um risco de : 0.0569 A variável E é típica a esta classe com um risco de : 0.467 A variável 1 é típica a esta classe com um risco de : 0.78 A variável 8 é típica a esta classe com um risco de : 0.196

129

A variável típica a esta classe é M com um risco de : 0.0569 Contribuição à classe : A3_Fal,A3_J_0,A4_J_0,A4_Fal ( 4,5,6 ) A variável P contribui a esta classe com um risco de : 0.89 A variável M contribui a esta classe com um risco de : 0.0569 A variável E contribui a esta classe com um risco de : 0.467 A variável 1 contribui a esta classe com um risco de : 0.78 A variável 8 contribui a esta classe com um risco de : 0.196 A variável que contribui mais a esta classe é M com um risco de : 0.0569 Classificação ao nível: 7 : (A3_BR A3_J_BR) similaridade : 1 Tipicalidade à classe : A3_BR,A3_J_BR ( 7 ) A variável P é típica a esta classe com um risco de : 0.826 A variável M é típica a esta classe com um risco de : 0.923 A variável E é típica a esta classe com um risco de : 0.219 A variável 1 é típica a esta classe com um risco de : 0.0262 A variável 8 é típica a esta classe com um risco de : 0.984 A variável típica a esta classe é 1 com um risco de : 0.0262 Contribuição à classe : A3_BR,A3_J_BR ( 7 ) A variável P contribui a esta classe com um risco de : 0.826 A variável M contribui a esta classe com um risco de : 0.923 A variável E contribui a esta classe com um risco de : 0.219 A variável 1 contribui a esta classe com um risco de : 0.0262 A variável 8 contribui a esta classe com um risco de : 0.984 A variável que contribui mais a esta classe é 1 com um risco de : 0.0262 Classificação ao nível: 8 : ((A3_BR A3_J_BR) A4_BR) similaridade : 1 Tipicalidade à classe : A3_BR,A3_J_BR,A4_BR ( 7,8 ) A variável P é típica a esta classe com um risco de : 0.709 A variável M é típica a esta classe com um risco de : 0.891 A variável E é típica a esta classe com um risco de : 0.287 A variável 1 é típica a esta classe com um risco de : 0.0434 A variável 8 é típica a esta classe com um risco de : 0.971 A variável típica a esta classe é 1 com um risco de : 0.0434 Contribuição à classe : A3_BR,A3_J_BR,A4_BR ( 7,8 ) A variável P contribui a esta classe com um risco de : 0.709 A variável M contribui a esta classe com um risco de : 0.891 A variável E contribui a esta classe com um risco de : 0.287 A variável 1 contribui a esta classe com um risco de : 0.0434 A variável 8 contribui a esta classe com um risco de : 0.971 A variável que contribui mais a esta classe é 1 com um risco de : 0.0434 Classificação ao nível: 9 : (((A3_BR A3_J_BR) A4_BR) A4_J_BR) similaridade : 1 Tipicalidade à classe : A3_BR,A3_J_BR,A4_BR,A4_J_BR ( 7,8,9 ) A variável P é típica a esta classe com um risco de : 0.709 A variável M é típica a esta classe com um risco de : 0.891 A variável E é típica a esta classe com um risco de : 0.287

130

A variável 1 é típica a esta classe com um risco de : 0.0434 A variável 8 é típica a esta classe com um risco de : 0.971 A variável típica a esta classe é 1 com um risco de : 0.0434 Contribuição à classe : A3_BR,A3_J_BR,A4_BR,A4_J_BR ( 7,8,9 ) A variável P contribui a esta classe com um risco de : 0.709 A variável M contribui a esta classe com um risco de : 0.891 A variável E contribui a esta classe com um risco de : 0.287 A variável 1 contribui a esta classe com um risco de : 0.0434 A variável 8 contribui a esta classe com um risco de : 0.971 A variável que contribui mais a esta classe é 1 com um risco de : 0.0434 Classificação ao nível: 10 : (A3_NS A3_J_NS) similaridade : 1 Tipicalidade à classe : A3_NS,A3_J_NS ( 10 ) A variável P é típica a esta classe com um risco de : 0.983 A variável M é típica a esta classe com um risco de : 0.846 A variável E é típica a esta classe com um risco de : 0.124 A variável 1 é típica a esta classe com um risco de : 0.0725 A variável 8 é típica a esta classe com um risco de : 0.947 A variável típica a esta classe é 1 com um risco de : 0.0725 Contribuição à classe : A3_NS,A3_J_NS ( 10 ) A variável P contribui a esta classe com um risco de : 0.983 A variável M contribui a esta classe com um risco de : 0.846 A variável E contribui a esta classe com um risco de : 0.124 A variável 1 contribui a esta classe com um risco de : 0.0725 A variável 8 contribui a esta classe com um risco de : 0.947 A variável que contribui mais a esta classe é 1 com um risco de : 0.0725 Classificação ao nível: 11 : ((A3_NS A3_J_NS) A4_NS) similaridade : 1 Tipicalidade à classe : A3_NS,A3_J_NS,A4_NS ( 10,11 ) A variável P é típica a esta classe com um risco de : 0.972 A variável M é típica a esta classe com um risco de : 0.937 A variável E é típica a esta classe com um risco de : 0.114 A variável 1 é típica a esta classe com um risco de : 0.0515 A variável 8 é típica a esta classe com um risco de : 0.965 A variável típica a esta classe é 1 com um risco de : 0.0515 Contribuição à classe : A3_NS,A3_J_NS,A4_NS ( 10,11 ) A variável P contribui a esta classe com um risco de : 0.972 A variável M contribui a esta classe com um risco de : 0.937 A variável E contribui a esta classe com um risco de : 0.114 A variável 1 contribui a esta classe com um risco de : 0.0515 A variável 8 contribui a esta classe com um risco de : 0.965 A variável que contribui mais a esta classe é 1 com um risco de : 0.0515 Classificação ao nível: 12 : (((A3_NS A3_J_NS) A4_NS) A4_J_NS) similaridade : 1 Tipicalidade à classe : A3_NS,A3_J_NS,A4_NS,A4_J_NS ( 10,11,12 )

131

A variável P é típica a esta classe com um risco de : 0.97 A variável M é típica a esta classe com um risco de : 0.934 A variável E é típica a esta classe com um risco de : 0.118 A variável 1 é típica a esta classe com um risco de : 0.0602 A variável 8 é típica a esta classe com um risco de : 0.957 A variável típica a esta classe é 1 com um risco de : 0.0602 Contribuição à classe : A3_NS,A3_J_NS,A4_NS,A4_J_NS ( 10,11,12 ) A variável P contribui a esta classe com um risco de : 0.97 A variável M contribui a esta classe com um risco de : 0.934 A variável E contribui a esta classe com um risco de : 0.118 A variável 1 contribui a esta classe com um risco de : 0.0602 A variável 8 contribui a esta classe com um risco de : 0.957 A variável que contribui mais a esta classe é 1 com um risco de : 0.0602 Classificação ao nível: 13 : (A3_J_2b A4_J_2b) similaridade : 1 Tipicalidade à classe : A3_J_2b,A4_J_2b ( 13 ) A variável P é típica a esta classe com um risco de : 0.0847 A variável M é típica a esta classe com um risco de : 0.779 A variável E é típica a esta classe com um risco de : 0.642 A variável 1 é típica a esta classe com um risco de : 0.587 A variável 8 é típica a esta classe com um risco de : 0.404 A variável típica a esta classe é P com um risco de : 0.0847 Contribuição à classe : A3_J_2b,A4_J_2b ( 13 ) A variável P contribui a esta classe com um risco de : 0.0847 A variável M contribui a esta classe com um risco de : 0.779 A variável E contribui a esta classe com um risco de : 0.642 A variável 1 contribui a esta classe com um risco de : 0.587 A variável 8 contribui a esta classe com um risco de : 0.404 A variável que contribui mais a esta classe é P com um risco de : 0.0847 Classificação ao nível: 14 : ((((A3_Verd A3_J_1) A4_J_1) A4_Verd) A4_J_2a) similaridade : 1 Tipicalidade à classe : A3_Verd,A3_J_1,A4_J_1,A4_Verd,A4_J_2a ( 1,2,3,14 ) A variável P é típica a esta classe com um risco de : 0.00751 A variável M é típica a esta classe com um risco de : 0.823 A variável E é típica a esta classe com um risco de : 0.777 A variável 1 é típica a esta classe com um risco de : 0.99 A variável 8 é típica a esta classe com um risco de : 0.0051 A variável típica a esta classe é 8 com um risco de : 0.0051 Contribuição à classe : A3_Verd,A3_J_1,A4_J_1,A4_Verd,A4_J_2a ( 1,2,3,14 ) A variável P contribui a esta classe com um risco de : 0.00751 A variável M contribui a esta classe com um risco de : 0.823 A variável E contribui a esta classe com um risco de : 0.777 A variável 1 contribui a esta classe com um risco de : 0.99 A variável 8 contribui a esta classe com um risco de : 0.0051 A variável que contribui mais a esta classe é 8 com um risco de : 0.0051

132

Classificação ao nível: 15 : (A3_J_3 A4_J_3) similaridade : 1 Tipicalidade à classe : A3_J_3,A4_J_3 ( 15 ) A variável P é típica a esta classe com um risco de : 0.701 A variável M é típica a esta classe com um risco de : 0.00492 A variável E é típica a esta classe com um risco de : 0.684 A variável 1 é típica a esta classe com um risco de : 0.853 A variável 8 é típica a esta classe com um risco de : 0.122 A variável típica a esta classe é M com um risco de : 0.00492 Contribuição à classe : A3_J_3,A4_J_3 ( 15 ) A variável P contribui a esta classe com um risco de : 0.701 A variável M contribui a esta classe com um risco de : 0.00492 A variável E contribui a esta classe com um risco de : 0.684 A variável 1 contribui a esta classe com um risco de : 0.853 A variável 8 contribui a esta classe com um risco de : 0.122 A variável que contribui mais a esta classe é M com um risco de : 0.00492 Classificação ao nível: 16 : (((((A3_Verd A3_J_1) A4_J_1) A4_Verd) A4_J_2a) A3_J_2a) similaridade : 1 Tipicalidade à classe : A3_Verd,A3_J_1,A4_J_1,A4_Verd,A4_J_2a,A3_J_2a ( 1,2,3,14,16 ) A variável P é típica a esta classe com um risco de : 0.00751 A variável M é típica a esta classe com um risco de : 0.823 A variável E é típica a esta classe com um risco de : 0.777 A variável 1 é típica a esta classe com um risco de : 0.99 A variável 8 é típica a esta classe com um risco de : 0.0051 A variável típica a esta classe é 8 com um risco de : 0.0051 Contribuição à classe : A3_Verd,A3_J_1,A4_J_1,A4_Verd,A4_J_2a,A3_J_2a ( 1,2,3,14,16 ) A variável P contribui a esta classe com um risco de : 0.00282 A variável M contribui a esta classe com um risco de : 0.82 A variável E contribui a esta classe com um risco de : 0.817 A variável 1 contribui a esta classe com um risco de : 0.993 A variável 8 contribui a esta classe com um risco de : 0.00325 A variável que contribui mais a esta classe é P com um risco de : 0.00282 Classificação ao nível: 17 : ((((((A3_Verd A3_J_1) A4_J_1) A4_Verd) A4_J_2a) A3_J_2a) (A3_J_3 A4_J_3)) similaridade : 0.999949 Tipicalidade à classe : A3_Verd,A3_J_1,A4_J_1,A4_Verd,A4_J_2a,A3_J_2a,A3_J_3,A4_J_3 ( 1,2,3,14,15,16,17 ) A variável P é típica a esta classe com um risco de : 0.00751 A variável M é típica a esta classe com um risco de : 0.823 A variável E é típica a esta classe com um risco de : 0.777 A variável 1 é típica a esta classe com um risco de : 0.99 A variável 8 é típica a esta classe com um risco de : 0.0051 A variável típica a esta classe é 8 com um risco de : 0.0051

133

Contribuição à classe : A3_Verd,A3_J_1,A4_J_1,A4_Verd,A4_J_2a,A3_J_2a,A3_J_3,A4_J_3 ( 1,2,3,14,15,16,17 ) A variável P contribui a esta classe com um risco de : 0.000662 A variável M contribui a esta classe com um risco de : 0.835 A variável E contribui a esta classe com um risco de : 0.858 A variável 1 contribui a esta classe com um risco de : 0.995 A variável 8 contribui a esta classe com um risco de : 0.00221 A variável que contribui mais a esta classe é P com um risco de : 0.000662 Classificação ao nível: 18 : (((((((A3_Verd A3_J_1) A4_J_1) A4_Verd) A4_J_2a) A3_J_2a) (A3_J_3 A4_J_3)) (A3_J_2b A4_J_2b)) similaridade : 0.999445 Tipicalidade à classe : A3_Verd,A3_J_1,A4_J_1,A4_Verd,A4_J_2a,A3_J_2a,A3_J_3,A4_J_3,A3_J_2b,A4_J_2b ( 1,2,3,13,14,15,16,17,18 ) A variável P é típica a esta classe com um risco de : 0.00751 A variável M é típica a esta classe com um risco de : 0.823 A variável E é típica a esta classe com um risco de : 0.777 A variável 1 é típica a esta classe com um risco de : 0.99 A variável 8 é típica a esta classe com um risco de : 0.0051 A variável típica a esta classe é 8 com um risco de : 0.0051 Contribuição à classe : A3_Verd,A3_J_1,A4_J_1,A4_Verd,A4_J_2a,A3_J_2a,A3_J_3,A4_J_3,A3_J_2b,A4_J_2b ( 1,2,3,13,14,15,16,17,18 ) A variável P contribui a esta classe com um risco de : 0.000662 A variável M contribui a esta classe com um risco de : 0.835 A variável E contribui a esta classe com um risco de : 0.858 A variável 1 contribui a esta classe com um risco de : 0.995 A variável 8 contribui a esta classe com um risco de : 0.00221 A variável que contribui mais a esta classe é P com um risco de : 0.000662 Classificação ao nível: 19 : ((((A3_Fal A3_J_0) A4_J_0) A4_Fal) (((A3_BR A3_J_BR) A4_BR) A4_J_BR)) similaridade : 0.58481 Tipicalidade à classe : A3_Fal,A3_J_0,A4_J_0,A4_Fal,A3_BR,A3_J_BR,A4_BR,A4_J_BR ( 4,5,6,7,8,9,19 ) A variável P é típica a esta classe com um risco de : 0.995 A variável M é típica a esta classe com um risco de : 0.119 A variável E é típica a esta classe com um risco de : 0.226 A variável 1 é típica a esta classe com um risco de : 0.00552 A variável 8 é típica a esta classe com um risco de : 0.998 A variável típica a esta classe é 1 com um risco de : 0.00552 Contribuição à classe : A3_Fal,A3_J_0,A4_J_0,A4_Fal,A3_BR,A3_J_BR,A4_BR,A4_J_BR ( 4,5,6,7,8,9,19 ) A variável P contribui a esta classe com um risco de : 0.995 A variável M contribui a esta classe com um risco de : 0.119 A variável E contribui a esta classe com um risco de : 0.226 A variável 1 contribui a esta classe com um risco de : 0.00552 A variável 8 contribui a esta classe com um risco de : 0.998 A variável que contribui mais a esta classe é 1 com um risco de : 0.00552

134

Classificação ao nível: 20 : (((((A3_Fal A3_J_0) A4_J_0) A4_Fal) (((A3_BR A3_J_BR) A4_BR) A4_J_BR)) (((A3_NS A3_J_NS) A4_NS) A4_J_NS)) similaridade : 0.0124882 Tipicalidade à classe : A3_Fal,A3_J_0,A4_J_0,A4_Fal,A3_BR,A3_J_BR,A4_BR,A4_J_BR,A3_NS,A3_J_NS,A4_NS,A4_J_NS ( 4,5,6,7,8,9,10,11,12,19,20 ) A variável P é típica a esta classe com um risco de : 0.999 A variável M é típica a esta classe com um risco de : 0.229 A variável E é típica a esta classe com um risco de : 0.129 A variável 1 é típica a esta classe com um risco de : 0.00143 A variável 8 é típica a esta classe com um risco de : 1 A variável típica a esta classe é 1 com um risco de : 0.00143 Contribuição à classe : A3_Fal,A3_J_0,A4_J_0,A4_Fal,A3_BR,A3_J_BR,A4_BR,A4_J_BR,A3_NS,A3_J_NS,A4_NS,A4_J_NS ( 4,5,6,7,8,9,10,11,12,19,20 ) A variável P contribui a esta classe com um risco de : 1 A variável M contribui a esta classe com um risco de : 0.291 A variável E contribui a esta classe com um risco de : 0.104 A variável 1 contribui a esta classe com um risco de : 0.00137 A variável 8 contribui a esta classe com um risco de : 1 A variável que contribui mais a esta classe é 1 com um risco de : 0.00137

135

ANEXOS Anexo 1 – Análise de dados praticada pelo C.H.I.C.

Métodos de analise de dados praticados no software CHIC

Estas notas, intuitivas e poucas técnicas, têm por finalidade guiar o

usuário em suas primeiras interpretações. Os argumentos teóricos são

apresentados nas obras e artigos citados nas referências acima.

Análise das similaridades segundo I.C. Lerman

Indícios de similaridade

Como em todos os métodos de classificação, procuramos constituir, em

um conjunto V das variáveis, partições de V cada vez menos finas, construídas

de maneira ascendente. Essas partições encaixadas são representadas por

uma árvore construída usando um critério de similaridade ou de semelhança

estatística entre variáveis. A similaridade se define a partir do cruzamento do

conjunto V das variáveis com um conjunto E de sujeitos (ou de objetos). Este

tipo de análise permite ao usuário estudar e depois interpretar, em termos de

tipologia e de semelhança ( e não semelhança) decrescente, classes de

variáveis, constituídas

significativamente a certos níveis da árvore e se opondo a outros nestes

mesmos níveis.

O critério de similaridade se exprime da maneira seguinte nos casos

das variáveis binárias (presença – ausência, verdadeiro – falso, sim – não,

etc...):

136

2 variáveis a e b, satisfeitas respectivamente por sub-conjuntos (suportes) A e

B de E, são muito semelhantes quando o número k dos sujeitos que os

verificam simultaneamente (ou seja os elementos de a^b é importante de um

lado, pelo que teria sido no caso da ausência de ligação entre a e b, e por outro

lado, com relação aos cardinais de E, A e B. Medimos esta semelhança pela

probabilidade que k seja superior ao número aleatório esperado nesta situação

na qual somente o acaso interviria. O índice correspondente entre as variáveis

não é então modificado, desviado pelo tamanho de a^b e não coincide então

com o coeficiente de correlação linear.

A modelagem probabilista da variável aleatória, cujo k é a realização

presente, pode ser binomial ou de Poisson à escolha do usuário. A segunda

supõe que E seja uma amostra de uma população mãe mais ampla, o que a

primeira não supõe. Se E não tem nenhuma razão estatística a priori de ser

representativo, é preferível usar o modelo binomial que analisa a estrutura de E

enquanto tal. Quando os parâmetros o permitem, uma aproximação gaussiana

destas duas leis é efetuada.

O índice de similaridade entre variáveis serve em seguida para definir

um índice de similaridade entre duas classes de variáveis segundo este mesmo

princípio de comparação entre a observação e o que seria dado pelo acaso.

Um índice, dito de coesão, permite não mais reagrupar as classes quando esse

reagrupamento é feito “contra – natureza”, isto é, quando o índice de

similaridade entre as classes, em processo de reagrupamento, apresenta um

índice de coesão muito fraco.

Árvore de similaridade

137

Assim, para construir uma árvore de similaridade, reunimos em uma

classe de primeiro nível, primeiramente, as 2 variáveis que são mais similares

no sentido do índice de similaridade, depois 2 outras variáveis ou uma variável

e a classe já formada no sentido do índice da classe, e depois outras variáveis

ou classes de variáveis.

Na situação acima b e d são mais semelhantes que todos os outros pares de

variáveis.

Elas são reunidas no nível 1 da árvore hierárquica. Depois a classe (a, b,

d) apresenta uma melhor agregação que todos os outros pares. Ela é formada

no nível 2. Em seguida, o par (e, f), reunido no nível 3, é tem mais semelhança

que toda a extensão de (a, b, d). Depois a extensão (a, b, d, c), formada no

nível 4, é melhor que toda a extensão de (e, f). As duas classes (a, b, d, c) e

(e,f) se opõem neste nível e, sua reunião tendo uma coesão nula, não se

reagrupam.

Níveis e nós significativos

Um critério estatístico permite saber quais são os níveis significativos da

árvore de similaridade entre todos os níveis constituídos. São os níveis em que

se formam uma partição e classes que estão mais em acordo com os indícios

de similaridade iniciais. Cada nó significativo está associado à classe obtida

nesse nível. A partição pode corresponder à tipologia mais consistente para o

número de classes que se formaram. Por exemplo, acima, os níveis 1 e 4 são

significativos.

138

Duas outras informações são susceptíveis de ajudar na interpretação da

árvore: a tipícalidade e a contribuição. Falaremos do assunto um pouco mais

adiante com a teoria implicativa.

Tipícalidade

Certos sujeitos são típicos do comportamento do conjunto da população

no sentido seguinte: no estudo da similaridade, eles atribuem ao conjunto das

variáveis valores compatíveis com as similaridades constituídas sobre essas

variáveis pela população. Se as variáveis suplementares foram definidas pelo

usuário, obteremos assim a tipícalidade dessas variáveis a partir das

tipícalidade dos indivíduos que as satisfazem. Por exemplo, no decorrer de

uma pesquisa sócio-profissional, serão os auxiliares administrativos que serão

típicos do comportamento de uma população de pessoas ativas.

Contribuição

É possível conhecer a contribuição a cada uma das classes de cada um

dos sujeitos e então das variáveis suplementares. Cada umas dessas últimas

contribui mais ou menos na formação da classe: isto significa que os valores

que eles dão às variáveis vão no sentido de suas similaridades. R. Gras e H.

Ratsimba-Rajohn elaboraram um critério que permite avaliar essa contribuição

relativamente a cada uma das classes. Cada uma delas contribui. Por exemplo,

em um questionário de atitude, podemos evidenciar, a “responsabilidade” das

mulheres de idade entre 30 e 40 anos na existência de uma certa classe de

139

variáveis principais (ou ativas), o que quer dizer que elas participaram na

construção da hierarquia.

Análise das implicações entre variáveis e classe de variáveis

Índices de implicação

O estudo continua sendo feito sobre o cruzamento de um conjunto de

variáveis V e de um conjunto de sujeitos E. No caso prototípico das variáveis

binárias, queremos dar um sentido estatístico a expressões como: “quando se

observa sobre um sujeito de E a variável a, em geral observa-se a variável b”.

Trata-se então de procurar um modelo estatístico de uma quase implicação do

tipo: “ Se a então quase b”, a implicação lógica estrita sendo raramente

satisfeita. A esta quase implicação é associada semanticamente uma regra,

um tipo de teorema que liga uma premissa e uma conclusão. Vemos assim a

diferença entre o método de análise de similaridades que é simétrico e o

método implicativo que é, por essência, não simétrico.

Partindo dos sub-conjuntos A e B, suportes respectivos de a e b, nós

interessamos na medida do sub-conjunto dos contra-exemplos da implicação, a

saber as ocorrências da propriedade (b^a¬b) do suporte A^¬B (¬B sendo o

complementar de B em E). O número k de contra-exemplos é considerado

como a realização de uma variável aleatória de um modelo de Poisson ou de

um modelo binomial, um e outro aproximados pela lei de Gauss quando é

legitimado pelos parâmetros. O modelo de Poisson é mais severo que o

modelo binomial.

140

Intuitivamente, diremos que a implicação é admissível no índice de

confiança α se a probabilidade que essa variável aleatória seja superior a k é

ela mesma superior a 1- α. Isto é, quanto mais k for pequeno, em relação as

ocorrências de a e b e o tamanho de E, mais a implicação é

surpreendentemente grande, então admissível e , sem dúvidas, portadora de

um sentido. O número1- α é o índice de implicação dito da teoria clássica. O

valor 0.95 representa um bom valor de admissibilidade quando n, a e b

ultrapassam muitas dezenas de unidades.

Portanto, quando o tamanho das amostras alcança várias centenas, ver

milhares ou mesmo centenas de milhares, dispomos de uma modelagem mais

complexa, mas mais adequada, pois ela permite estimar não somente a

qualidade da implicação direta de a⇒b, mas igualmente sua recíproca ¬b⇒¬a .

Esta modelagem é chamada entrópica, pois ela faz apelo a qualidade da

informação recolhida pelos desequilíbrios respectivos dos casos ((a^b) e

(a^¬b), e depois ((¬a^¬b) e ( a^¬b), desequilíbrio que mede a entropia no

sentido de Shannon. O índice que o corresponde é chamado de índice de

implicação - inclusão pois ele mede mais fielmente a quase inclusão de A em

B.

Grafo implicativo

Um grafo implicativo traduz graficamente a rede de relações quase

implicativas entre as variáveis de V. O intervalo de confiança da aparição de

arcos ou flechas do grafo é controlável pelo usuário que pode, a sua vontade,

141

aumentar ou diminuir seu número. A transitividade, que pilota a interpretação

em termos de caminhos, é aceita a um intervalo de confiança de 0,50.

Durante a análise, podemos nos concentrar unicamente na procura de

arcos em “Amon” (“pais” ou fontes) de um pico de um grafo e em “aval” (“filhos”

ou “crianças”) deste mesmo pico.

Para isto, basta pedir um cone de origem o pico escolhido. A partir da

opção de menu, mas igualmente durante este trabalho, é possível mudar o

tamanho da janela de trabalho, o que permite se concentrar na organização

dos arcos sobre uma parte do grafo. Além disso, o software sendo bem

conhecido “APRIORI”, CHIC permite estudar as conjunções das variáveis. Para

isto, procuraremos entre as conjunções de 2 variáveis (então 3 variáveis em

jogo: conjunção de 2 variáveis implicando uma variável), 3,4, etc.

(respectivamente 4, 5, etc. variáveis em jogo), as que apresentam uma

originalidade dada. Esse índice leva em consideração a implicação, implicação

entrópica, o suporte das variáveis e certas “confidência”. Por exemplo, se

pedimos, a um intervalo de confiança de originalidade de 0.80, considerar

todas as conjunções pondo 5 variáveis em jogo, seja a conjunção de 4 para a

qual procuramos a implicação com a 5°, CHIC calculará todas as implicações

possíveis das conjunções de 2, 3 e 4 variáveis retendo as que aparecem no

intervalo de confiança de 0.80. Se este intervalo é mudado, o grafo logicamente

também o será.

Árvore

142

O índice de implicação entre duas variáveis é estendido ao cálculo da

coesão da classe. Esta última dá conta da qualidade da implicação orientada

dentro de uma classe de variáveis e traduz a noção de meta-regra ou regra

sobre regra.

Uma hierarquia ascendente ou árvore coesiva traduz graficamente o

encaixamento sucessivo das classes constituídas segundo o critério de coesão

que é decrescente segundo os níveis (no sentido contrário da formação das

classes de variáveis) da hierarquia. Um intervalo de confiança de parada sobre

a coesão permite evitar a constituição das classes que não têm sentido

implicativo, o que não se produz nas hierarquias clássicas, mas fica mais

conforme a semântica.

Níveis e nós significativos

As noções de nível e de nós significativos, como precedentemente,

sublinhados por uma flecha vermelha assinala ao usuário as classes sobre os

quais ele deve ter mais atenção no fato de sua melhor conformidade com os

indícios de implicação iniciais.

Na representação abaixo, observamos que no primeiro nível, se forma

uma classe ordenada (b,c) do fato que a implicação de b sobre c é a mais forte

entre todas as implicações possíveis entre variáveis. A ele, corresponde

necessariamente um nó significativo. Em seguida, no nível 2 uma meta-regra

aparece de a sobre (b,c). Ela se interpreta, por exemplo, da maneira seguinte:

se a é verdadeiro então (se b é verdadeiro então c) é geralmente; (a⇒b)⇒c) é

143

equivalente a a^b⇒c . No nível 4 se forma a regra (e,f). A variável d não implica

e não é implicada por nenhuma outra.

Tipícalidade e contribuição

Que se trate dos caminhos do grafo implicativo ou das classes coesivas,

é interessante conhecer qual é a responsabilidade dos sujeitos e das variáveis

suplementares em suas formações, como foi feito para a similaridade. Esta

opção é possível, de duas maneiras:

Primeiramente, pelo cálculo do valor da tipícalidade de um sujeito x

caracterizando sua conformidade ou sua quase conformidade à

tendência geral dada pela intensidade da implicação.

Inclusão de uma variável a sobre uma variável b. Por exemplo, se x

toma o valor a(x)=0,2 segundo a e o valor b(x)=0,9 segundo b, sua

responsabilidade com relação à implicação a⇒b é 0,73. Além de mais,

se a intensidade da implicação de a sobre b é 0, 75, x é mais típico que

o sujeito y que teria a responsabilidade de 0,95. Definimos alias a

distância de x à regra a⇒b a partir desta responsabilidade. Essa

distância varia entre 0 e 1. O valor da tipícalidade é o complemento a 1

desta distância. Ela pode ser estendida ao conjunto de relações de um

caminho do grafo implicativo ou ao de uma classe da hierarquia coesiva.

Os sujeitos que teriam um valor muito bom de tipícalidade poderiam ser

considerados como prototípicos da população. Podemos saber qual é o

grupo ótimo dos sujeitos que são os mais típicos de um caminho ou de

144

uma classe e tirar a variável suplementar a mais típica deste caminho ou

desta classe. A

Em seguida, pelo cálculo da conformidade lógica de um sujeito x à

existência de um arco do grafo levando em consideração o intervalo de

confiança escolhido, ou da hierarquia. Por exemplo, se o arco (a, b)

aparece sobre o grafo ou na árvore, qual que seja a intensidade da

implicação de a sobre b, diremos que esta conformidade é igual a 1 e

que ela é igual a 0 no caso contrário. Daí deduz-se a distância de x e a

contribuição de x à regra a⇒b é igual ao complemento desta distância.

Estendida a um caminho e a uma classe, ela permite estabelecer o

grupo ótimo contributivo, e depois a variável suplementar a mais

contributiva ao caminho ou à classe. Essas informações são úteis para

orientar o usuário para analisar a ligação de tal ou tal grupo de sujeitos

relativamente às regras ou meta-regras particulares.

145

PROJETO AprovaMe – ANÁLISE DE QUESTÕES DE ÁLGEBRA · Algebra and one of Geometry, had been...

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