UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO

INSTITUTO DE EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO

ELIANE APARECIDA MARTINS DE ALMEIDA

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS:

PRAXEOLOGIAS EM LIVROS DIDÁTICOS DE

MATEMÁTICA

CUIABÁ-MT

2012

ELIANE APARECIDA MARTINS DE ALMEIDA

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de

Pós-Graduação em Educação do Instituto de

Educação da Universidade Federal de Mato Grosso,

como requisito para obtenção do título de Mestre em

Educação, na Linha de Pesquisa Educação em

Ciências e Matemática.

Orientadora: Profa. Dra. Gladys Denise Wielewski

CUIABÁ-MT

2012

FICHA CATALOGRÁFICA

A447p Almeida, Eliane Aparecida Martins de. Progressões aritméticas e geométricas: praxeologias em livros

didáticos de matemática / Eliane Aparecida Martins de Almeida. – 2012.

129 f. : il. color.

Orientadora: Prof.ª Dr.ª Gladys Denise Wielewski.

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal de Mato Grosso, Instituto de Educação, Pós-Graduação em Educação, Linha de Pesquisa:

Educação em Ciências e Matemática, 2012.

Bibliografia: f. 125-129.

1 .Livros didáticos – Análise praxeológica. 2. Livros didáticos – Ensino

médio. 3. Progressões aritméticas. 4. Progressões geométricas. 5. Jogos de

quadros – Educação. 6. Educação algébrica. I. Título.

CDU – 371.671:51

Ficha elaborada por: Rosângela Aparecida Vicente Söhn – CRB-1/931

DEDICATÓRIA

Ao meu esposo Cosme

Aos meus filhos: Elianara,

Mylena e Marcus Vinícius

A vocês, meu eterno amor e gratidão.

AGRADECIMENTOS

Ao meu esposo Cosme, pela cumplicidade e tolerância dedicadas a mim durante a

realização desta pesquisa.

Aos meus filhos, pelo apoio e pela compreensão dos longos momentos de ausência.

Ao meu pai, ausência terrena, mas presença protetora e à minha mãe, grande

incentivadora da minha vida profissional.

À minha orientadora Profa. Dra. Gladys Denise Wielewski, agradeço toda atenção,

paciência, respeito e humildade demonstradas na orientação desta pesquisa.

À banca examinadora externa e interna, composta pelas professoras doutoras

Aparecida Augusta da Silva e Luzia Aparecida Palaro, pela competência na avaliação

desta pesquisa e pelas sugestões apresentadas.

À professora Dra. Rute da Cunha por acrescer valiosas contribuições nesta pesquisa.

Aos professores do mestrado, colegas do grupo de pesquisa e à equipe da secretaria do

PPGE, pelo apoio e incentivo concedidos durante a realização desta pesquisa.

A todos os colegas de mestrado, em especial à minha irmã de Curitiba, Michelle

Cristine Pinto Tyszka Martinez, com a qual constituí um grande elo de amizade que se

formou pela sua energia contagiante e pelos extensos momentos de estudo.

Meu especial agradecimento a Deus, força que guia e protege a minha vida.

Enfim, agradeço a todas as pessoas que contribuíram, direta ou indiretamente, para a

efetivação deste almejado sonho.

RESUMO

Esta pesquisa tem como objetivo geral investigar como os livros didáticos propõem o estudo

das progressões aritméticas e geométricas no primeiro ano do Ensino Médio. Os livros que

agregam a esta pesquisa pertencem ao primeiro ano do Ensino Médio, os quais foram

selecionados por comporem o catálogo do Programa Nacional do Livro Didático para o

Ensino Médio e, além disso, por serem utilizados pelas escolas estaduais do município de

Cuiabá. Como opção metodológica, adotou-se uma pesquisa qualitativa, com ênfase em

análise documental. Os estudos dos documentos livros didáticos se fundamentam

essencialmente na Teoria Antropológica do Didático (TAD), mais especificamente nas

praxeologias, propostas por Chevallard (1999) e na Teoria dos Jogos de Quadros de Douady

(1992). Para realizar os estudos identificou-se nas praxeologias expostas nos livros didáticos,

as tarefas, as técnicas, o discurso tecnológico-teórico e os quadros numérico, geométrico e

algébrico, cujos olhares se ativeram quanto aos aspectos históricos referentes às progressões,

à parte conceitual, as tarefas resolvidas pelos autores e as propostas aos alunos. A partir disso,

verificou-se se tais praxeologias condizem com as propostas dos documentos oficiais e com as

intencionalidades dos autores expostas nos manuais. Dentre as recomendações dos

documentos oficiais, destacam-se a articulação das progressões aritméticas e geométricas com

o conteúdo funções, e a proposição de tarefas que instigam a generalização de padrões para o

desenvolvimento do pensamento algébrico. Os resultados dessa investigação, associados à

teoria pertinente, possibilitou o diagnóstico de livros didáticos, os quais evidenciaram que as

organizações praxeológicas de dois dos livros analisados não explicitam a estreita relação

entre progressões e funções. Essa articulação é contemplada em dois dos livros investigados

na parte conceitual, embora tal relação não seja mencionada nas intencionalidades expostas

nos manuais. Percebeu-se também que os livros selecionados para esta investigação não

propõem com frequência tarefas que estimulam a generalização de padrões, ainda que esteja

explícita como intencionalidade dos autores dos quatro livros selecionados para a

investigação. Ainda há o predomínio de tarefas dos gêneros calcular, determinar, que se

constituem em tarefas de imitação, podendo conduzir à rotinização da técnica. Entre outros

aspectos, identificou-se um número reduzido de tarefas que possibilitem a articulação dos

diferentes quadros (numérico, algébrico e geométrico) propostos por Douady (1992). Na

maioria das vezes priorizam o quadro algébrico. Entre os livros selecionados para os estudos,

constatou-se que nenhum deles é “completo”, de forma a contribuir efetivamente para o

desenvolvimento do pensamento algébrico nos estudos das progressões. Mesmo se

contemplasse todas as recomendações dos documentos oficiais, não seria completo, então,

cabe ao professor selecionar o livro que considerar mais adequado, segundo a sua opinião e de

acordo com a realidade de seus estudantes.

Palavras-chave: Livro Didático. Progressões Aritméticas e Geométricas. Organização

Praxeológica. Jogos de Quadros.

ABSTRACT

This research aims to investigate how textbooks propose the study of arithmetic and

geometric progressions in the first year of High School. The textbooks that aggregate to this

research belong to the first year of High School, which have been selected because they are

part of the catalogue of the Textbook Nacional Program for High School, and also because

they are used in State schools of Cuiabá. A qualitative research has been used as the

methodology of choice, with emphasis on document analysis. The studies of documents of

textbooks are based primarily on the Anthropological Theory of Didactics (TAD), more

specifically on the praxeologies, proposed by Chevallard (1999) and on the Square Games

Theory of Douady (1992). In order to conduct the studies, praxeologies found in textbooks

were identified, as well as the tasks, techniques, theoretical-technological discussions and

numerical tables, both geometric and algebraic, with attention to the historical aspects

concerning progressions, the conceptual part, the tasks addressed by the authors, and the ones

proposed to the students. From this, such praxeologies were verified to see if they match the

Official Documents proposals and the intentions of authors shown in the manuals. Among the

recommendations of the Official Documents, the study highlights the articulation of

arithmetic and geometric progressions with the content functions, as well as tasks proposals

that prompt the general standards for the development of algebraic thinking. The results of

this investigation, associated with the relevant theory, made the diagnosis of textbooks

possible, pointing that praxeological organizations of two of the books analyzed did not

explain the close relationship between progressions and functions. This articulation is

contemplated in both of the books investigated in the conceptual part, although such

relationship has not been mentioned in the intentions shown in the manuals. It has also been

noticed of the books selected for this study do not frequently propose tasks to stimulate the

generalization of patterns, even if this intention is explicit by the authors of four books

selected for the study. There is still the predominance of tasks of the type calculate,

determine, constituting imitation tasks, which can lead to routinization of the technique.

Among other aspects, a limited number of tasks has been identified, which can facilitate the

articulation of different frames (numerical, algebraic and geometric) as proposed by Douady

(1992). In most cases priority to the algebraic framework. Amongst the books selected for the

studies, it has been noticed that none of them is “complete”, with authors that propose a study

that contributes effectively to the development of algebraic thinking in the study of

progressions. They do not contemplate the recommendations of the Official Documents, and

even if they did, it would not be complete. Thus, it is for the teachers to select the book that

they consider most appropriate, according to their opinion and according to the reality of their

students.

Key words: Textbooks. Arithmetic and Geometric Progressions. Praxeological Organization.

Square Game.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1-Gráfico de barras – Livros didáticos utilizados pelas escolas estaduais de Cuiabá-

MT. ........................................................................................................................................... 33

Figura 2 – Frações dos olhos de Hórus .................................................................................... 44

Figura 3 - Proposição 22 ........................................................................................................... 46

Figura 4 – Proposição 35 ........................................................................................................ 47

Figura 5 – Frequências do tom fundamental ........................................................................... 48

Figura 6 – Números triangulares ............................................................................................. 50

Figura 7 – Números quadrados ................................................................................................. 50

Figura 8 – Números pentagonais .............................................................................................. 50

Figura 9 – Números figurados em três dimensões ................................................................... 51

Figura 10 – Diagrama pitagórico 1 ......................................................................................... 51

Figura 11 – Diagrama pitagórico 2 ......................................................................................... 51

Figura 12 – Vegetal Achíllea Ptarmica .................................................................................. 56

Figura 13 – Sequência organizada por Fibonacci .................................................................... 56

Figura 14 – Diagrama de flechas ............................................................................................. 76

Figura 15 – Nível da calçada ................................................................................................... 79

Figura 16 – Interpretação geométrica de uma P.A. – LD2 ...................................................... 81

Figura 17 – Interpretação geométrica de uma P.A. – LD1 ...................................................... 82

Figura 18 – Demonstração de propriedade de P.A. ................................................................. 85

Figura 19 – Propriedade da P.A............................................................................................... 85

Figura 20 – Interpretação geométrica da fórmula dos n primeiros termos de uma P.A. ......... 88

Figura 21 – Interpretação geométrica da soma dos números naturais ímpares ....................... 88

Figura 22 – Interpretação geométrica de uma P.G. .................................................................. 92

Figura 23 – Para refletir 1 ........................................................................................................ 94

Figura 24 – Para refletir 2 ......................................................................................................... 95

Figura 25 – Para refletir 3 ......................................................................................................... 95

Figura 26 – Interpretação geométrica do limite da soma uma P.G. ......................................... 95

Figura 27 – Soma dos termos de uma P.G. infinita .................................................................. 97

Figura 28 – Gráfico de barras – quantitativo de tarefas resolvidas ......................................... 99

Figura 29 – Tarefa 4 - TR ...................................................................................................... 102

Figura 30 – Tarefa 6 - TR ...................................................................................................... 103

Figura 31 – Parte 1 da resolução tarefa 6- TR ........................................................................ 103

Figura 32 – Parte 2 da resolução da tarefa 6 - TR ................................................................. 104

Figura 33 – Resolução da Tarefa 7. ....................................................................................... 105

Figura 34 – Quantitativo de tarefas propostas aos alunos com/sem P.A./P.G. no enunciado

................................................................................................................................................ 109

Figura 35 – TP5 ..................................................................................................................... 112

Figura 36 – Tarefa TP8 ........................................................................................................... 113

Figura 37– TP10 ..................................................................................................................... 115

LISTA DE QUADROS E TABELAS

Quadro 1 – Livros pertencentes ao catálogo do PNLEM 2009. ............................................... 32

Quadro 2 – organização do capítulo referente às progressões aritméticas e geométricas ........ 35

Quadro 3 – Competências e habilidades.................................................................................. 37

Quadro 4 – Termo geral da P.A ................................................................................................ 80

Quadro 5 – Blocos de tarefas resolvidas ................................................................................. 99

Quadro 6 – discurso tecnológico-teórico das tarefas resolvidas ............................................ 108

Quadro 7 – Tarefas propostas aos alunos ............................................................................... 110

Quadro 8 – Tipos de tarefas ................................................................................................... 118

Tabela 1 – Número de páginas dos livros pesquisados ............................................................ 35

Tabela 2 – Escala temperada ................................................................................................... 49

Tabela 3 – Procriação de coelhos ............................................................................................ 55

Tabela 4 – Relação entre P.A. e P. G. ................................................................................... 58

Tabela 5 – Produção de uma empresa no período de 2000 a 2007 ......................................... 87

Tabela 6 – Quantitativo de tarefas resolvidas nos diversos quadros ..................................... 109

LISTA DE SIGLAS

CAPES – Coordenação de Pessoal de Nível Superior

CEFAPRO – Centro de Formação e Atualização dos Profissionais da Educação Básica

CNLD – Comissão Nacional do Livro Didático

COLTED – Comissão do Livro Técnico e do Livro Didático

EBRAPEM – Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-Graduação em Educação Matemática

FAE – Fundação de Assistência ao Estudante

FENAME – Fundação Nacional de Material Escolar

FNDE – Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação

INEP – Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira

LD1 – Livro Didático 1

LD2 – Livro Didático 2

LD3 – Livro Didático 3

LD4 – Livro Didático 4

LDB – Lei de Diretrizes e Bases

MEC – Ministério da Educação e Cultura

OCEM – Orientações Curriculares para o Ensino Médio

P.A. – Progressão Aritmética

P.G. – Progressão Geométrica

PCN+ – Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais

PCNEM – Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

PLIDEF – Programa do Livro Didático para o Ensino Fundamental

PNLA – Programa Nacional do Livro Didático para Alfabetização de Jovens e Adultos

PNLD – Programa Nacional do Livro Didático

PNLEM – Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio

PUC – Pontifícia Universidade Católica

TAD – Teoria Antropológica do Didático

SEMIEDU – Seminário Educação

UFMT – Universidade Federal de Mato Grosso

UNICAMP – Universidade de Campinas

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO.......................................................................................................................13

1 LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA: ALGUNS ASPECTOS HISTÓRICOS,

CRITÉRIOS DE ESCOLHA E CARACTERIZAÇÃO.....................................................19

1.1 ALGUNS ASPECTOS DA TRAJETÓRIA DO LIVRO DIDÁTICO DE MATEMÁTICA

NO BRASIL..............................................................................................................................20

1.1.1 Políticas públicas para o livro didático ............................................................................ 26

1.2 OS DOCUMENTOS OFICIAIS.........................................................................................28

1.3 CRITÉRIOS DE ESCOLHA DOS LIVROS DIDÁTICOS..............................................31

1.3.1 Caracterização dos livros selecionados ........................................................................... 34

1.3.1.1 LD1 ............................................................................................................................. 37

1.3.1.2 LD2 .............................................................................................................................. 38

1.3.1.3 LD3 ............................................................................................................................... 39

1.3.1.4 LD4 ............................................................................................................................... 40

2 ASPECTOS HISTÓRICOS DAS SEQUÊNCIAS...........................................................41

2.1 CONCEITOS BÁSICOS: SEQUÊNCIAS, PROGRESSÃO ARITMÉTICA E

GEOMÉTRICA ......................................................................................................................41

2.2 ALGUNS ESCRITOS SOBRE SEQUÊNCIAS: PAPIRO RHIND E TABLETAS

BABILÔNICAS........................................................................................................................42

2.3 CONTRIBUIÇÃO GREGA...............................................................................................45

2.3.1 As sequências e a música................................................................................................. 47

2.3.2 Números figurados: um elo entre a geometria e aritmética ............................................ 49

2.3.3 Outros contribuintes gregos ............................................................................................ 52

2.4 LEONARDO DE PISA (FIBONACCI) ........................................................................ 54

2.5 KARL FRIEDERICH GAUSS.........................................................................................57

2.6 PROGRESSÕES: OUTRAS RELAÇÕES.......................................................................57

3 ESCOLHAS TEÓRICAS: GENERALIZAÇÃO DE PADRÕES, TEORIA

ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO E OS JOGOS DE QUADROS..............................59

3.1 A IMPORTÂNCIA DA GENERALIZAÇÃO DE PADRÕES PARA A EDUCAÇÃO

ALGÉBRICA............................................................................................................................59

3.2 TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO...............................................................62

3.2.1 Praxeologias .................................................................................................................... 63

3.2.1.1 Tipos de tarefas ............................................................................................................. 64

3.2.1.2 Técnica.......................................................................................................................... 65

3.2.1.3 Tecnologia .................................................................................................................... 66

3.2.1.4 Teoria ............................................................................................................................ 66

3.2.2 Praxeologias Pontual, Local e Regional .......................................................................... 67

3.2.3 As Praxeologias Matemáticas ou Organizações Matemáticas e as Praxeologias Didáticas

ou Organizações Didáticas ....................................................................................................... 68

3.3 QUADROS E JOGOS DE QUADROS (JEAUX DÊS CADRES)....................................69

4 ANÁLISE PRAXEOLÓGICA DE LIVROS DIDÁTICOS............................................71

4.1 CRITÉRIOS PARA ANÁLISE..........................................................................................71

4.2 ASPECTOS HISTÓRICOS DAS PROGRESSÕES APRESENTADOS NOS LIVROS

DIDÁTICOS SELECIONADOS PARA ESTA PESQUISA...................................................73

4.3 ANÁLISE DA CONCEITUAÇÃO EM LIVROS DIDÁTICOS: UMA ÓTICA

PRAXEOLÓGICA....................................................................................................................74

4.4 ANÁLISE DAS TAREFAS RESOLVIDAS: UMA ÓTICA PRAXEOLÓGICA.............98

4.4.1 Bloco 1 – Tarefas resolvidas (TR) ................................................................................. 100

4.4.2 Bloco 2 – Tarefas resolvidas (TR) ................................................................................ 101

4.4.3 Bloco 3 – Tarefas resolvidas (TR) ................................................................................. 106

4.5 TAREFAS PROPOSTAS AOS ALUNOS: UMA ÓTICA PRAXEOLÓGICA..........109

4.5.1 Bloco 1 – Tarefas propostas aos alunos (TP) ................................................................ 110

4.5.2 Bloco 2 – Tarefas propostas aos alunos (TP) ................................................................ 111

4.5.3 Bloco 3 – Tarefas propostas aos alunos (TP) ................................................................ 114

4 . 6 RESULTADOS E DISCUSSÃO DAS ANÁLISES......................................................115

4.6.1 Parte conceitual.............................................................................................................. 115

4.6.2 Tarefas resolvidas .......................................................................................................... 117

4.6.3. Tarefas propostas aos alunos ........................................................................................ 118

CONSIDERAÇÕES..............................................................................................................121

REFERÊNCIAS....................................................................................................................125

INTRODUÇÃO

O livro didático resistiu a diversas mudanças na educação e por mais que se tenham

variados os métodos e os enfoques curriculares do ensino escolar, o livro está presente entre

os instrumentos didáticos disponíveis (PAIS, 2008). Além disso, pode ser considerado como

um grande “instrumento de divulgação do conhecimento e do saber em todas as áreas”

(LOPES, 2000, p. 15). É um recurso que esteve e ainda está presente no ensino da Matemática

em muitos estados brasileiros. Embora não seja a única, é uma forte referência para a

divulgação do saber escolar. De acordo com Schubring “o saber matemático é transmitido por

dois caminhos privilegiados: pela comunicação pessoal ou oral e por textos escritos”

(SCHUBRING, 2003, p. 3).

Vale salientar que os conteúdos, objetivos, métodos e recursos empregados na

educação escolar decorrem de fontes de influências que cooperam na “redefinição de aspectos

conceituais e também na reformulação de apresentação” (PAIS, 2008, p.19). Chevallard

(1999) citado por Pais (2008) descreve que integram essas fontes de influências: autores de

livros, professores, cientistas, enfim todas as pessoas que intervêm no processo educativo.

Pelo fato do livro didático ser um dos recursos que influenciam no processo educativo,

então, as pesquisas que buscam esse material para coleta de dados são relevantes para a

Educação Matemática. Nesse contexto, a principal fonte da nossa pesquisa é o livro didático

de matemática.

Um dos fatores que nos motivou a realizar a pesquisa em livros didáticos do Ensino

Médio sucede de algumas reflexões realizadas pelo Grupo de Estudos e Pesquisas em

Educação Matemática da UFMT sobre o Livro Didático de Matemática, e dos resultados de

um mapeamento de pesquisas brasileiras que versam sobre esse material didático1.

Inicialmente fizemos um levantamento quantitativo junto ao site da CAPES, revista

Zetetiké, banco de teses e dissertações da UNICAMP com a intenção de mapear as

teses/dissertações que fazem referência à Educação Matemática. Dentre as que estão

disponibilizadas nas fontes pesquisadas, compreendidas no período de 1987 a 2009,

encontramos mil quinhentos e trinta e três dissertações; e trezentos e cinquenta e uma teses.

Observamos que houve um nítido avanço nas pesquisas relativas à Educação Matemática, se

comparadas com o estado da arte feito por Dario Fiorentini (1994) nas décadas de 70 e 80.

1 Artigo completo publicado nos anais do EBRAPEM/2010.

14

Pois, nessa época havia apenas duzentas e duas teses/dissertações produzidas no

âmbito de Pós-Graduação.

Após obter o quantitativo das pesquisas, passamos para outra etapa, selecionamos as

dissertações/teses que tratam especificamente do livro didático de Matemática no Ensino

Fundamental II e Médio, obtendo trinta e nove dissertações e três teses. A partir disso,

buscamos uma delimitação da pesquisa nos assuntos que estejam vinculados a álgebra

destinada ao Ensino Fundamental II e Médio, totalizando oito dissertações que trazem tal

assunto como objeto de pesquisa. Esse resultado aponta que o quantitativo de pesquisas para o

Ensino Médio é menor, em relação às realizadas no Ensino Fundamental II. Entre as que estão

contidas no mapeamento realizado, três delas tratam essencialmente da álgebra no Ensino

Médio e as demais abrangem o Ensino Fundamental II.

Dentre as pesquisas direcionadas ao Ensino Médio encontramos a de Carvalho (2007)

que realizou uma análise praxeológica das tarefas de prova e demonstração em tópicos de

álgebra abordados no primeiro ano do Ensino Médio; Borges (2007) investigou polinômios

em livros didáticos do Ensino Médio e Oliveira (2006), cuja pesquisa é referente às equações

diofantinas lineares e o livro didático de Matemática para o Ensino Médio.

Depois desse mapeamento, passamos para uma etapa subsequente. Tínhamos

inicialmente a intenção de realizar os estudos direcionados à álgebra, no entanto, é um tema

que abrange diversos conteúdos do Ensino Médio e, além disso, percebemos que é um dos

conteúdos abordados em pesquisas já realizadas. Assim, houve a necessidade de delimitarmos

o tema.

Então, para não perder o foco da álgebra surgiu a ideia de pesquisar as progressões

aritméticas e geométricas2 em livros didáticos do Ensino Médio, pois é um conteúdo que

envolve muitas fórmulas algébricas.

A partir daí, resolvemos investigar os trabalhos que tratam de sequências nos livros

didáticos3. Inicialmente fizemos um levantamento na busca de dissertações e teses que

abrangem padrões e sequências numéricas nos livros didáticos de Matemática. Assim como

no primeiro levantamento, os dados foram obtidos junto ao site da CAPES, revista Zetetiké,

banco de teses e dissertações da UNICAMP.

Encontramos treze dissertações, desse total, oito se referem ao Ensino Médio, sendo

quatro pertencentes ao mestrado profissional. São elas: Solis (2008) – Argumentação e prova

no estudo de progressões aritméticas com o auxílio do Hot Patatoes; Perez (2006) - Alunos do

2 Progressões aritméticas e geométricas são exemplos particulares de sequências.

3 Artigo completo publicado nos anais do Seminário de Educação – SEMIEDU/2010 – UFMT.

15

Ensino Médio e a generalização de padrões; Gonçalves (2007) – Uma sequência de ensino

para o estudo de progressões via fractais; Ferreira (2009) – Os alunos do 1º ano do Ensino

Médio e os Padrões: Observação, Realização e Compreensão; Archilia (2008) – Construção

do termo geral da progressão aritmética pela observação e generalização de padrões; Carvalho

(2008) – O aluno do Ensino Médio e a criação de uma fórmula para o termo geral da

progressão aritmética; Salomão (2007) – Argumentação e prova na Matemática do Ensino

Médio: progressões aritméticas e o uso de tecnologia; Eduardo (2007) – Contextos para

argumentar: uma abordagem para iniciação a prova no Ensino Médio utilizando Progressão

Aritmética.

Não obtivemos nesse mapeamento nenhuma pesquisa que aborda em livros didáticos

do Ensino Médio o conteúdo sequências, em particular as progressões aritméticas e

geométricas, ou seja, os estudos que tratam desse assunto não foram explorados

suficientemente. Ainda existem algumas lacunas que precisam ser estudadas para

complementar as pesquisas já realizadas.

Diante dos resultados dos mapeamentos houve uma crescente motivação pelos estudos

nos livros didáticos com delimitação da pesquisa em progressões aritméticas e geométricas.

Historicamente as progressões aritméticas e geométricas exerceram relevância para o

desenvolvimento da Matemática e atualmente ainda continuam desempenhando funções

importantes. Se o seu estudo for bem explorado, pode incitar no aluno a capacidade de

conjecturar e generalizar. Fiorentini, Miguel e Miorim (1993) indicam a percepção de

regularidades em situações-problema que conduzem à generalização como uma perspectiva

para o desenvolvimento do pensamento algébrico.

Além disso, as progressões aritméticas e geométricas possuem diversas aplicações.

Tem grande valor em estudos da Biologia e da Botânica. Os estudos das progressões

aritméticas e geométricas também representam uma importante ferramenta, sendo uma das

suas aplicabilidades relacionada à Matemática financeira. De modo geral, os estudos de

progressões aritméticas e geométricas articuladas ao de funções afim e exponencial,

caracterizam-se como um recurso alternativo para modelar algumas situações da vida real.

Assim, a convergência de interesse pela álgebra, progressões aritméticas e

geométricas, e livros didáticos, nos possibilitou definir o título da nossa pesquisa –

Progressões aritméticas e geométricas: praxeologias em livros didáticos de Matemática.

Desse conjunto de fatores emergiu o problema da pesquisa: como os livros didáticos

do primeiro ano do Ensino Médio propõem o estudo das progressões aritméticas e

geométricas?

16

A partir da elaboração do problema estabelecemos o objetivo central da pesquisa que

é investigar como os livros didáticos propõem o estudo das progressões aritméticas e

geométricas no primeiro ano do Ensino Médio.

Para desenvolver a análise em livros didáticos e considerando o problema, bem como

o objetivo geral estabelecido, nos propusemos a atingir alguns objetivos específicos: verificar

como é a organização praxeológica proposta para o estudo das progressões aritméticas e

geométricas dos livros didáticos selecionados; constatar se há na organização praxeológica

dos livros didáticos selecionados o uso dos quadros numéricos, algébricos, geométricos, no

estudo das progressões aritméticas e geométricas; verificar como os livros didáticos

incorporam nos estudos das progressões aritméticas e geométricas as sugestões dos

documentos oficiais4; averiguar se as tarefas propostas para o estudo das progressões

aritméticas e geométricas condizem com as intencionalidades expostas nos manuais dos

professores e prefácios dos livros didáticos.

Tendo em vista a natureza do problema a ser pesquisado, adotamos a abordagem

qualitativa como metodologia. A opção pela pesquisa qualitativa se deu por entendermos que

esta abordagem é a mais coerente a este estudo.

Segundo as orientações de Bogdan e Biklen (1999), nas pesquisas qualitativas ocorre a

valorização do processo, não necessariamente a valorização do produto. Ela favorece uma

compreensão mais detalhada dos dados obtidos, já que os significados são apreendidos de

forma profunda.

No decorrer da pesquisa emergiram leituras teóricas coesas à nossa pesquisa. Para essa

revisão bibliográfica nos amparamos em Furasté, o qual afirma que “a pesquisa bibliográfica

baseia-se fundamentalmente no manuseio de obras literárias, quer impressas, quer capturadas

via internet” e ela “deve atender aos objetivos do autor, uma vez que precisa ir ao encontro da

resolução para o problema levantado” (FURASTÉ, 2008, p.33).

Consideramos o livro didático como documento, ou seja, material escrito que pode ser

empregado como fonte de conteúdos para desenvolver o processo educacional. “A análise

documental busca identificar informações factuais nos documentos a partir de questões e

hipóteses de interesse” (CAULLEY apud LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p. 38). Acreditamos que o

uso de documentos em pesquisa deve ser apreciado e valorizado, pois a riqueza de

4 Estamos considerando como Documentos Oficiais os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

– PCNEM (1999); as Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN+

(2002); as Orientações Curriculares para o Ensino Médio – OCEM (2006).

17

informações que deles podemos extrair e resgatar justifica o seu uso em várias áreas do

conhecimento.

Para estudar o documento caracterizamos a forma de registro das progressões

aritméticas e geométricas recorrendo a Praxeologia de Chevallard (1999), que além de ser

contemplado como referencial teórico também nos forneceu elementos para realizar os

estudos em livros didáticos selecionados para esta pesquisa.

De acordo com os nossos objetivos e o problema da investigação articulamos as

praxeologias presentes nos livros didáticos com as propostas dos documentos oficiais, os

Jogos de Quadros de Douady (1992) e as intencionalidades dos autores expostas nos manuais

dos professores e prefácios dos livros didáticos. Deste modo, consideramos fatores que não

são explícitos se lançarmos olhares apenas para o conteúdo presente no livro didático,

buscando uma interpretação coerente.

Para tanto, o trabalho está organizado em três capítulos:

No capítulo I fazemos referência a um breve relato do contexto histórico do livro

didático de Matemática no Brasil, tecendo as suas principais influências na Educação

Matemática; apresentamos, além disso, as políticas públicas para o livro didático; discorremos

sobre o que os documentos oficiais dizem a respeito da Matemática do Ensino Médio e quais

as recomendações para os estudos do conteúdo sequências; descrevemos o processo de

escolha dos livros para a pesquisa, bem como as características gerais dos livros selecionados,

com a intencionalidade dos autores expostas nos manuais dos professores e prefácios dos

livros didáticos.

No capítulo II abordamos alguns aspectos do contexto histórico das sequências e suas

aplicações, mostrando a sua relevância para a Matemática e a humanidade, o que evidencia a

sua importância e permanência enquanto saber escolar, difundido ao longo de muitos anos.

No capítulo III tratamos da álgebra no Ensino Médio, com enfoque na generalização

de padrões, respaldados em Fiorentini, Miguel e Miorim (1993), Vale et al (2005), Lins e

Gimenez (2005) entre outros. Discorremos sobre a Teoria Antropológica do Didático – TAD,

com base em Chevallard (1999), que também é contemplada na metodologia dos estudos e a

Teoria dos Jogos de Quadros de Douady (1992).

No capítulo IV descrevemos os critérios estabelecidos para a realização da

investigação e posteriormente apresentamos a análise realizada nos livros didáticos

selecionados, com base na praxeologia de Chevallard (1999), trazendo as tarefas, técnicas e o

discurso tecnológio-teórico da parte conceitual, das tarefas resolvidas e das tarefas propostas

18

aos alunos, com um olhar para os Jogos de Quadros e as respectivas recomendações dos

documentos oficiais. Encerramos esse capítulo com os resultados e as discussões dos estudos.

Finalizamos nossa pesquisa com algumas considerações, as quais foram feitas a partir

dos resultados obtidos pela análise das organizações praxeológicas, com o entrelaçamento de

tais praxeologias e as intencionalidades dos autores expostas nos manuais dos professores e

prefácios dos livros didáticos. Trazemos também alguns apontamentos e possíveis

contribuições da investigação para a Educação Matemática.

CAPÍTULO I

1 LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA: ALGUNS ASPECTOS HISTÓRICOS,

CRITÉRIOS DE ESCOLHA E CARACTERIZAÇÃO

Não há um consenso sobre a definição do que é um livro didático. Alguns acreditam

que todo livro pode exercer o papel de didático.

Estamos concebendo o livro didático como “um material impresso, estruturado,

destinado ou adequado a ser utilizado num processo de aprendizagem ou formação”

(RICHAUDEAU, 1975 apud OLIVEIRA; GUIMARÃES; BOMÉNY, 1984, p. 11).

A sua procedência está na cultura escolar, mesmo antes da invenção da imprensa no final do

século XV. Na época em que os livros eram raros, os próprios estudantes universitários

europeus produziam seus cadernos de textos. Com o surgimento da imprensa, os livros

tornaram-se os primeiros materiais impressos a ser produzido em série e, ao longo do tempo a

concepção do livro como “fiel depositário das verdades científicas universais” foi se

consolidando (GATTI JÚNIOR, 2004, p.36).

Segundo Lopes

No âmbito escolar, popularização do ensino e livro didático sempre caminharam

juntos. No Brasil, esta parceria foi permeada por reformas oficiais e por movimentos

de atualização do ensino, pelas políticas educacionais, particularmente no campo do

livro didático, e pela participação das editoras e autores nos programas estabelecidos

pelo governo (LOPES, 2000, p. 15).

Lopes argumenta também que o livro é produto da inspiração humana, dessa forma é

inegável que este objeto seja “impregnado, intencionalmente ou não, de tendências das mais

diversas ordens, segundo a óptica pessoal do autor ou de um grupo que compartilha os

mesmos princípios, a mesma visão de mundo, ou até mesmo determinados modismos”

(LOPES, 2000, p. 17).

Choppin realizou um estudo histórico a respeito dos livros didáticos e por meio deste

mostra que os livros escolares podem admitir funções diversificadas, as quais podem

modificar de acordo com o “ambiente sociocultural, a época, as disciplinas, os níveis de

ensino, os métodos e as formas de utilização” (CHOPPIN, 2004, p. 553). De acordo com

Choppin:

20

Escrever a história dos livros escolares — ou simplesmente analisar o conteúdo de

uma obra — sem levar em conta as regras que o poder político, ou religioso, impõe

aos diversos agentes do sistema educativo, quer seja no domínio político, econômico,

linguístico, editorial, pedagógico ou financeiro, não faz qualquer sentido (CHOPPIN,

2004, p. 561).

Pelo fato de elegermos o livro didático como principal fonte de pesquisa e por

concordar com Choppin (2004) e Lopes (2000), faremos um breve resumo da trajetória

histórica do livro didático de Matemática no Brasil tecendo paralelamente aspectos da história

da Educação Matemática. Embora não seja a história do livro didático o ponto central da

nossa pesquisa, consideramos relevante conhecer a sua trajetória no cenário nacional, com a

finalidade de compreender em que contexto surgiu, bem como as políticas públicas que

abrangem o livro didático.

Além dos aspectos históricos, discorremos neste capítulo a respeito dos documentos

oficiais e descrevemos os critérios de escolha dos livros didáticos que fazem parte da nossa

pesquisa.

1.1 ALGUNS ASPECTOS DA TRAJETÓRIA DO LIVRO DIDÁTICO DE MATEMÁTICA

NO BRASIL

Em 1699 a Coroa Portuguesa resolveu incentivar a formação de militares em terras de

além-mar. Valente (2008) enfatiza que essa formação tinha a intencionalidade de ter no Brasil

homens habilitados para manejar peças de artilharia, construir fortes para a preservação das

terras conquistadas e proteção das riquezas extraídas das terras. A defesa dependia de uma

instituição militar especializada com destaque para área de fortificações.

Assim, foi criada a Aula de Artilharia e Fortificações. Porém as aulas não tiveram

início, pois surgiram algumas dificuldades. Valente (2008) aponta como principal dificuldade,

a falta de livros que fossem apropriados ao curso mencionado. Segundo Valente (1999) não

existia nada escrito em português que se referisse à artilharia, morteiros e bombas. Os livros

europeus não se adequavam à realidade da colônia e ao público a que se destinava.

Somente depois de alguns anos após a criação da Aula de Artilharia e Fortificação, o

português e engenheiro militar José Fernandes Pinto Alpoim foi deslocado para o Brasil com

a finalidade de ministrar o curso. Isso foi possível em decorrência da Ordem Régia de 19 de

agosto de 1738, a qual determinou que nenhum militar poderia ser promovido ou nomeado se

não tivesse aprovação na Aula de Artilharia e Fortificações, após 5 anos de curso.

21

Com base em Valente (1999) a prática de José Fernandes Pinto Alpoim de utilizar

diversos tratados de autores europeus, compilando-os para ministrar cursos, e, por fim, utilizar

a experiência pedagógica adquirida, deu origem ao primeiro livro de Matemática escrito no

Brasil, o Exame de Artilheiros, impresso em 1744 na cidade de Lisboa – Portugal devido à

falta de imprensa no Brasil colonial e posteriormente se revela a gênese da produção

Matemática escolar brasileira. Em seguida, o autor escreveu o livro Exame de Bombeiros

publicado em 1748.

O Exame de Artilheiros era apresentado em forma de perguntas e respostas, e

precedendo os conteúdos de arte militar, aparecia a Matemática necessária à compreensão

daqueles conteúdos. O Exame de Artilheiros era dividido em três capítulos: aritmética,

geometria e artilharia, contendo ainda ilustrações. Valente (1999), Castro (1992) salientam

que a Matemática existente no Exame é elementar, formada pelos conteúdos que atualmente

são encontrados no Ensino Básico.

Por intermédio da independência do Brasil, no ano de 1827, foram criados Cursos

Jurídicos, os quais eram destinados à elite brasileira. Valente (1999) descreve que os alunos

necessitavam fazer exames de língua portuguesa, gramática latina, retórica, filosofia racional

e moral e geometria. O autor acrescenta que nessa ocasião, a Matemática, cujos conteúdos

eram considerados técnicos instrumentais para o comércio e a formação militar, por meio da

geometria, se elevou à categoria de saber de cultura geral.

Em 1837 foi criado o Colégio Pedro II. Miorim (1998), por sua vez, assegura que sua

organização era inspirada nos colégios franceses, com predominância das disciplinas clássico-

humanistas. Assim, houve a presença das Matemáticas (aritmética, geometria e álgebra) e

posteriormente a trigonometria em todas as séries do Ensino Secundário5 da época.

Os alunos do Colégio Pedro II estudavam as disciplinas dos preparatórios. Preparar-se

para o Ensino Superior representava estudar os pontos dos exames. Esses pontos

organizavam, por exemplo, toda a Matemática escolar e seu ensino (VALENTE, 2008). Os

pontos dos exames parcelados seriam referência, também, para a elaboração de toda uma

literatura escolar. É o caso, por exemplo, do texto de Jerônimo Pereira Lima, intitulado

Pontos de Geometria para provas escritas nos exames da instrução pública da Corte. O

material, com 45 páginas, foi impresso em 1869 pela Tipografia de Pinheiro (RJ), na forma de

um livreto-apostila. Devido ao grande uso e disseminação desse material, passou a ter status

de livro.

5 Corresponde ao nosso atual Ensino Médio.

22

O programa do Colégio Pedro II serviu de referência a obras publicadas, como por

exemplo:

Breves Noções de Geometria Elementar por José Bernardo Coimbra e Noções

sobre o Sistema Métrico Decimal por João Bernardo Coimbra. Outros livros

surgiram, destacando Rudimentos Arithméticos ou Taboadas para por elas

ensinarem prática e especulativamente as quatro operações dos inteiros e decimais

(Tabuada Barker) de Antonio Maria Barker, com várias reimpressões (PFROMM

NETTO et al., 1974 apud LOPES, 2000, p. 19).

No ano de 1890 ocorreu a Reforma Benjamin Constant6, apoiada no sistema filosófico

de Auguste Comte7. Nessa ocasião, houve um rompimento da tradição clássico-humanista das

escolas secundárias. De acordo com Lopes (2000) a Matemática foi colocada no papel de

ciência fundamental e subdividida em abstrata (a álgebra) e em concreta (a geometria e a

mecânica).

No início do século XX, surgiram as obras de Antonio Trajano, as quais tentaram

vincular a racionalidade dos métodos científicos à função social que uma ciência deveria

exercer (LOPES, 2000). A sua obra Aritmética Elementar Ilustrada contou com a aceitação

de professores e alunos, fato que pode ser comprovado pelo número de 118 edições. Lopes

(2000) afirma que é provável que as obras de Trajano tenham sido bem sucedidas pelo fato do

autor ter uma visão diferenciada do ensino. Acrescenta ainda que a visão de Trajano “era a de

que um livro, adequadamente escrito, poderia tanto substituir o professor quanto capacitar um

indivíduo a ensinar a álgebra, ou até mesmo servir de incentivador aos interessados por este

campo de conhecimento” (LOPES, 2000, p. 20).

Em meados do século XIX o alemão Felix Klein protagonizou o primeiro movimento

internacional para reforma dos programas de ensino da Matemática. Como ação desse

movimento, durante o IV Congresso Internacional de Matemáticos, realizado em Roma

(1908), sucedeu a criação do IMUK (Internationale Mathematische Unterrichtskommission).

Os estudos promovidos pelo IMUK motivaram um movimento que ficou conhecido como

Movimento Internacional de Modernização do Ensino da Matemática.

6 Reforma formulada por Benjamim Constant de Botelho Magalhães (1836-1891). O conjunto de leis decretos

que deu nome à Reforma Benjamim Constant legiferou, majoritariamente, sobre a educação e estabelecimentos

mantidos pelo governo federal na capital federal, ressalva feita ao ensino superior, que tinha instituições de

ensino em outras cidades e capitais do país. Desse conjunto de decretos, os que mais interessam para análise da

estrutura educacional do Brasil são os regulamentos para o secundário e normal, os regulamentos para o ensino

superior e o Pedagogium, ligado também à qualificação do corpo docente e, principalmente, à legislação acerca

do ensino primário. (DELANEZE, 2007, p. 19). 7 Isidore Auguste Marie François Xavier Comte (1798 – 1857) – filósofo francês, fundador da Sociologia e do

Positivismo.

23

Nos anos 30 do século XX chega ao Brasil esse movimento de renovação em diversas

áreas, com isso, uma nova proposta despertava no setor do ensino, ou seja, o Movimento da

Escola Nova. Por meio do decreto nº 18 564 de 15 de janeiro de 1929, a introdução das

“ideias modernizadoras” para o ensino da Matemática no Brasil foram oficializadas. O

principal divulgador e defensor desse movimento no Brasil foi Euclides Roxo8, o qual

defendia a fusão da aritmética, geometria, álgebra e trigonometria em uma única disciplina

designada Matemática. Também acreditava num ensino com ênfase em processos de

descoberta, resolução de problemas e aplicações (MIORIM, 1998).

Nessa ocasião, Euclides Roxo, publicou Curso de Matemática, destinado a alunos de

ginásio9. Com base em Pfromm Netto et al, Lopes (2000) informa que o livro trazia diversas

inovações, sendo precursora no ensino da Matemática do Brasil nesse período e apresentava

Grande quantidade de ilustrações, não somente de figuras geométricas como também

gravuras e documentos importantes na história da Matemática (o papiro de Rhind;

retrato de matemáticos famosos; ornamentos geométricos de antigo vaso egípcio; as

gravuras italianas entalhadas em madeira no século XV que representavam Pitágoras

realizando experiências das cordas tensionadas e dos tubos de vários comprimentos; o

uso do teorema de congruência na medição, segundo uma gravura de 1569; uma

reprodução da primeira página dos ‘Elementos’ de Euclides, etc) (PFROMM NETTO

et al, 1974 apud LOPES, 2000, p. 21).

Conforme Lopes (2000), em 1937 Euclides Roxo publicou A Matemática na

Educação Secundária com as ideias modernizadoras. Lopes (2000) acrescenta que os

conflitos entre as tendências no ensino da Matemática, a tecnicista indispensável para a

indústria, por outro lado, a clássica e a moderna, parece ter representado uma marca nos anos

30.

Outra importante tentativa de organização do sistema educacional foi a Reforma

Francisco Campos10

, instituída pelo decreto 19890, de 18 de abril de 1931. Miorim (1998)

8 Euclides Roxo foi diretor do Colégio Pedro II (1925 a 1935), época em que o ensino brasileiro sofreu

profundas modificações. Em 1937 foi nomeado diretor do Ensino Secundário no Ministério da Educação e

Saúde. Participou também do Conselho Nacional de Educação e foi presidente da Comissão Nacional do Livro

Didático (CARVALHO et al, 2000, p 416). 9 Equivale atualmente ao período escolar do 6º ao 9º ano.

10 Em 1930 foi criado o Ministério da Educação e Saúde Pública. Francisco Campos foi o primeiro ministro

desse novo ministério e assim que tomou posse promoveu a primeira reforma educacional da Segunda

República. A partir dessa reforma a União assumiu um novo compromisso com a educação secundária,

estabelecendo: “a implementação definitiva do sistema seriado; a abdicação pela União do monopólio do 3º grau,

estendendo a política de equiparação das escolas; a criação de um sistema federal de regulamentação,

fiscalização e orientação pedagógica das escolas equiparadas” (DELANEZE, 2007, p. 100).

24

salienta que algumas das ideias do movimento liderado por Euclides Roxo fizeram parte da

Reforma Francisco Campos.

Valente (2008) afirma que nessa época, houve um significativo aumento dos ginásios

e liceus, oferecendo oportunidades para alunos da classe média, além da elite. O autor

também assegura que nesse período surgem as coleções de obras seriadas, aumentando a

produção editorial de livros. Segundo Valente os debates relativos a conteúdos e metodologias

mereceram destaque:

Como ensinar Matemática como fusão de geometria, álgebra e aritmética? Como

substituir antigas práticas pedagógicas pelo modo heurístico? Como começar o curso

de Matemática pela geometria espacial? Como introduzir o cálculo diferencial e

integral no ensino secundário? (VALENTE, 2008, p.19).

Convém ressaltar que os conteúdos eram organizados nos compêndios em capítulos

diferentes e em lugar de uma fusão predominou a justaposição da aritmética, álgebra e

geometria. Na prática, a proposta de fundir as partes não aconteceu, sendo cada uma delas

trabalhadas em dias diferentes da semana (VALENTE, 2008).

Lopes (2000) relata que desde 1932, o professor Jácomo Stávale11

publicou a coleção

do 1º ao 5º ano de Matemática. Posteriormente essa obra foi reeditada em quatro volumes, sob

o título Elementos de Matemática.

Nas décadas de 40 e 50, o número de autores e editoras de livro didático de

Matemática ampliou. Possivelmente tenha sido a expansão do número de matrículas no curso

ginasial, a responsável pelo aumento da impressão de textos escolares de Matemática

destinados aos alunos desse curso. Nessa ocasião, as obras didáticas apresentavam o uso de

linguagem simples, de figuras e outros recursos gráficos, com a intenção de facilitar a leitura e

compreensão dos textos, tinham também uma quantidade maior de exercícios (LOPES, 2000).

Outras obras do período, mencionadas por Lopes (2000), fundamentado em Pfromm

Netto et al (1974), são o Curso de Matemática, editado pela Melhoramentos, de Algacyr

Munhoz Maeder, professor do Colégio Estadual do Paraná; Matemáticas, de Ary Quintella,

professor do Colégio Militar, em edição Nacional; as Lições de Matemática Elementar, de

Carlos Cattony, da extinta Editora Anchieta; as Matemáticas de Leo Bonfim, série publicada

pelas Edições Saraiva; as Matemáticas de Carlos Galante e Oswaldo Marcondes dos Santos,

edições da Editora do Brasil; as Matemáticas de Benedito Castrucci e Geraldo dos Santos

Lima Filho entre outras.

11

Jacomo Stávale (1882 – 1956) – foi professor de Matemática brasileiro.

25

Assim como nos anos 30, período da Reforma de Euclides Roxo no qual existiam

inquietações com o ensino-aprendizagem da Matemática, nos anos 50 também prevaleceu

questionamentos relativos à disciplina. Búrigo (1990) evidencia que essa preocupação estava

relacionada especialmente com o ensino secundário, o qual apresentava um rápido aumento

desde a década de 30, intensificado nos anos 50, sendo necessária uma reflexão para esse

nível de ensino.

No ano de 1955, foi realizado o I Congresso Nacional de Ensino de Matemática, em

Salvador, na Bahia, que apresentava como principal finalidade a discussão dos problemas

relacionados ao ensino da disciplina.

Conforme Miorim (1998), nesse encontro ocorreu a divulgação aos professores

brasileiros de que se iniciava na Europa e nos Estados Unidos um grande movimento de

mudanças na Matemática. Foram as iniciais manifestações do Movimento da Matemática

Moderna12

. Miorim descreve a organização da Matemática proposta por esse movimento

como:

A organização da Matemática moderna baseava-se na teoria dos conjuntos,

nas estruturas Matemáticas e na lógica Matemática. Esses três elementos

foram responsáveis pela "unificação" dos campos matemáticos, um dos

maiores objetivos do movimento. Para isso, enfatizou-se o uso de uma

linguagem Matemática precisa e de justificações Matemáticas rigorosas. Os

alunos não precisariam “saber fazer”, mas, sim, “saber justificar” por que

faziam. A teoria dos conjuntos, as propriedades estruturais dos conjuntos, as

relações e funções, tornaram-se temas básicos para o desenvolvimento dessa

proposta (MIORIM, 1998, p.114).

O Movimento da Matemática Moderna foi o que se tornou mais conhecido dentre

todas as reformas do ensino de Matemática que aconteceram no Brasil. Ao contrário da

Reforma Francisco Campos, a Matemática Moderna não foi implantada por nenhum decreto,

mas por meio de grupos de pesquisa, seminários e, sobretudo pelos livros didáticos,

abrangendo praticamente todo o território nacional.

Os livros didáticos foram organizados a partir de uma inquietação com o ensino da

Matemática fundamentada na teoria dos conjuntos, desse modo passam a ser o principal

recurso de todo o processo de ensino. No entanto, ainda que o ensino de conjuntos tenha sido

realmente levado a um exagero, as ideias originais do movimento nunca chegaram a se

concretizar efetivamente.

12

MIORIM (1988, p. 114-115).

26

Segundo Valente (2008) o primeiro livro didático que continha as ideias do

Movimento da Matemática Moderna e utilizado por todo o Brasil foi o de Osvaldo Sangiorgi

(1963). Esse livro era composto por quatro volumes, e constituía uma orientação para o

trabalho de ensinar a Matemática Moderna, priorizando os conjuntos e as estruturas

algébricas. Com cada exemplar vinha um guia para uso específico dos professores. “Afinal,

tudo é divulgado como novidade, era necessário reaprender Matemática, uma nova

Matemática, a Matemática Moderna” (VALENTE, 2008, p. 21).

Além das obras de Sangiorgi, outros livros foram relevantes nesse período:

Matemática - Curso Colegial Moderno, publicado em 1970, sendo constituído por quatro

volumes seriados, dos professores Luiz Mauro Rocha e Ruy Madsen Barbosa, pela editora

IBEP (LOPES, 2000).

Para Bittar (2005) a experiência da transformação radical do ensino não foi bem

sucedida, devido à sobrecarga dos aspectos formais na apresentação dos conteúdos

matemáticos. Surgiram “no fim desse período outras práticas pedagógicas alternativas como o

tecnicismo, com ênfase na apresentação de modelos seguidos de exercícios repetitivos”

(BITTAR, 2005, p. 21).

Conforme descrevemos, o livro didático desempenhou ao longo dos anos uma função

muito importante na história da Educação Matemática. Na realidade, este recurso acaba

retratando em suas páginas os conteúdos, métodos e tendências que tiveram origem em

propostas e discussões para a Educação Matemática, acontecimento que reafirma a sua

influência nas aulas de Matemática no Brasil.

1.1.1 Políticas públicas para o livro didático

Juntamente com as propostas de reformas educacionais para a Matemática as políticas

para o livro didático foram se consolidando. Em 30 de dezembro de 1938, por meio do

Decreto-Lei nº 1006, foi criada a Comissão Nacional do Livro Didático (CNLD) que instituía

a primeira medida governamental de legislação e controle do livro didático (OLIVEIRA,

1984). Freitag, Costa e Motta (1993), afirmam que a CNLD não desempenhou

especificamente uma função didática, estava mais voltada à função político ideológica.

27

Posteriormente, outras comissões foram criadas, entre elas a COLTED13

(1966), sendo

extinta em 1971; FENAME14

(1968), criada antes da extinção da COLTED; PLIDEF15

(1971). As mudanças continuaram no ano de 1983 quando, em substituição à FENAME, foi

criada a Fundação de Assistência ao Estudante (FAE), que incorporou vários programas de

assistência do governo, incluindo o PLIDEF.

Desde 1996 iniciou-se um processo de avaliação pedagógica dos livros que integram o

Programa Nacional do Livro Didático (PNLD). Atualmente a síntese da avaliação pedagógica

pela qual passam os livros e as coleções distribuídas pelo Ministério da Educação é

apresentada no Guia do Livro Didático, distribuído às escolas e também disponível on-line.

Até o ano de 2009, além do PNLD, o governo federal executava outros dois programas

relacionados ao livro didático para prover as escolas das redes federal, estadual e municipal e

as entidades parceiras do programa Brasil Alfabetizado: o Programa Nacional do Livro

Didático para o Ensino Médio (PNLEM) e o Programa Nacional do Livro Didático para a

Alfabetização de Jovens e Adultos (PNLA).

O PNLEM foi implantado em 2004, pela Resolução nº 38 do Fundo Nacional de

Desenvolvimento da Educação (FNDE). Inicialmente o programa presumiu a universalização

de livros didáticos para os alunos do Ensino Médio público de todo o país, atendeu 1,3

milhões de alunos da 1ª série do Ensino Médio de 5 392 escolas das regiões Norte e Nordeste,

que até o início de 2005 receberam 2,7 milhões de livros das disciplinas de Português e de

Matemática. Em 2005, as demais séries e regiões brasileiras também foram atendidas com

esses livros.

O Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) é vigente na atualidade e direcionado

para o Ensino Fundamental e Médio16

público, incluindo as classes de alfabetização. Porém, a

nossa pesquisa, foi realizada com base no PNLEM (2009).

13

Comissão do Livro Técnico e do Livro Didático 14

Fundação Nacional de Material Escolar 15

Programa do Livro Didático Para o Ensino Fundamental 16

Em 2010, foi publicado o Decreto 7.084, de 27.01.2010, que regulamentou a avaliação e distribuição de

materiais didáticos para toda a educação básica, garantindo, assim, a regularidade da distribuição. De acordo

com o artigo 6º, o atendimento pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) será feito alternadamente,

conforme se vê no texto legal:

§ 2º O processo de avaliação, escolha e aquisição das obras dar-se-á de forma periódica, de modo a garantir

ciclos regulares trienais alternados, intercalando o atendimento aos seguintes níveis de ensino:

I - 1º ao 5º ano do ensino fundamental;

II - 6º ao 9º ano do ensino fundamental; e

III - ensino médio.

Dessa forma, em sua edição atual – PNLD 2012 - o antigo PNLEM foi incorporado ao Programa Nacional do

Livro Didático (PNLD), executado pelo FNDE e pela Secretaria da Educação Básica (SEB/MEC) (PNLD 2012,

p. 6).

28

Todas as escolas beneficiadas estão cadastradas no censo escolar realizado anualmente

pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP/MEC).

Em 2006, foram adquiridos 7,2 milhões de volumes, para serem utilizados em 2007,

por 6,9 milhões de alunos, ficando 300 mil exemplares para compor a reserva técnica. Foram

adquiridos, ainda, 1,9 milhão de livros de Português e Matemática para reposição dos que

foram distribuídos no ano anterior.

Em 2007, foi feita a escolha dos livros didáticos de História e de Química, usados em

2008, ano em que foram incluídas as disciplinas de Geografia e Física para serem utilizadas

em 2009, completando, assim, a universalização do atendimento ao Ensino Médio.

1.2 OS DOCUMENTOS OFICIAIS

Os livros didáticos tendem a incorporar as discussões realizadas no âmbito

educacional, cujas ideias são sistematizadas em documentos oficiais, como é o caso dos

Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio – PCNEM (1999) e das Orientações

Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN+ (2002).

Esses documentos consideram como eixos da construção do currículo das escolas do

Ensino Médio os princípios gerais: competências, interdisciplinaridade, contextualização.

Uma das características desses documentos é uma longa discussão sobre esses princípios, aos

quais se subordinam as disciplinas e em torno dos quais elas se organizam.

Em 2004, um grupo de professores convocados pelo MEC, iniciou reuniões e debates

para refletir sobre a organização curricular do Ensino Médio com a finalidade de participar,

de alguma forma, destes esforços de superação. Esses debates foram realizados com vistas a

elaborar um documento que contribua para o diálogo entre professor e escola sobre a prática

docente do Ensino Médio. O resultado dessa ampla discussão entre os professores resulta no

documento Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM), publicado e distribuído

aos professores em 2006.

O enfoque das Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006) se difere dos

Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (1999), pois volta-se para o lugar

central que ocupam as disciplinas científicas e sua importância na busca da realização dos

objetivos propostos para o Ensino Médio pela Constituição Federal e pela Lei de Diretrizes e

Bases da Educação - LDB, retomando o significado e a importância dos mesmos princípios.

Dessa forma, os princípios continuam sendo norteadores – competências,

interdisciplinaridade, contextualização. Mas seus alicerces e sua consistência encontram-se no

29

interior do trabalho com as disciplinas, consideradas como conhecimentos científicos que

colaboram para a construção do saber escolar. Propõe-se, no nível do Ensino Médio o

desenvolvimento de capacidades de pesquisar, buscar informações, analisá-las e selecioná-las;

a capacidade de aprender, criar, formular, ao invés do simples exercício de memorização.

Como apontamos anteriormente, um dos requisitos essenciais para que os livros

didáticos do Ensino Médio componham o catálogo do PNLD é estar atrelado a esses

documentos. Com isso é provável que os autores estejam buscando elaborar o material com

vistas a atender, total ou pelo menos parcialmente, as recomendações dos documentos

oficiais. Assim, buscamos verificar em que medida os autores incorporam tais recomendações

nos livros didáticos do primeiro ano do Ensino Médio, em especial nas progressões

aritméticas e geométricas.

Não podemos afirmar que as orientações dos documentos oficiais sejam as melhores

opções para o ensino das progressões, até porque não temos dados para afirmar isso. Tais

documentos apontam alguns caminhos, que não são os únicos e evidentemente, os autores de

livros didáticos podem apresentar outras escolhas para o estudo das progressões.

Sob o ponto de vista dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio –

PCNEM (1999), a Matemática no Ensino Médio tem um valor formativo, que auxilia a

estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo. No entanto, também desempenha uma

função instrumental, pois é uma ferramenta que serve para a vida cotidiana e para muitas

tarefas específicas em quase todas as atividades humanas.

No que diz respeito à função formativa, a Matemática colabora para o

desenvolvimento de processos de pensamento e a aquisição de atitudes, podendo formar no

aluno a capacidade de resolver problemas, provocando hábitos de investigação que permitam

analisar e enfrentar situações novas. Quanto à função instrumental da Matemática no Ensino

Médio, o documento indica que ela deve ser vista pelo aluno como um conjunto de técnicas e

estratégias para serem aplicadas a outras áreas do conhecimento, assim como para a atividade

profissional. Evidencia que não se trata de os alunos possuírem abundantemente sofisticadas

estratégias, mas sim de desenvolverem a iniciativa e a segurança para adaptá-las a diferentes

contextos, usando-as adequadamente no momento oportuno (PCNEM, 2002).

Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio – PCNEM enfatizam que

aprender Matemática no Ensino Médio vai muito além da simples memorização de resultados

dessa ciência. Ainda segundo o mesmo documento “a aquisição do conhecimento matemático

deve estar vinculada ao domínio de um saber fazer Matemática e de um saber pensar

Matemática” (PCNEM, 2002, pp. 40-41). O documento ressalta a importância de se trabalhar

30

atividades sobre resolução de problemas diversificados que incentivem a elaboração de

conjecturas, estímulo de observação de regularidades com a generalização de padrões, os

quais são elementos essenciais para a formalização do conhecimento matemático.

As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006) sugerem a inserção da

história da Matemática no processo educativo, argumentam que pode ser vista como um

componente importante no processo de atribuição de significados aos conceitos matemáticos,

além disso, destacam que:

É importante, porém, que esse recurso não fique limitado à descrição de fatos

ocorridos no passado ou à apresentação de biografias de matemáticos famosos. A

recuperação do processo histórico de construção do conhecimento matemático pode se

tornar um importante elemento de contextualização dos objetos de conhecimento que

vão entrar na relação didática. A História da Matemática pode contribuir também para

que o próprio professor compreenda algumas dificuldades dos alunos, que, de certa

maneira, podem refletir históricas dificuldades presentes também na construção do

conhecimento matemático (OCEM, 2006, p. 86).

Para os autores das Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006), é

importante que os aspectos históricos tenham uma abordagem que contribua efetivamente

com o processo de ensino-aprendizagem da Matemática.

Em relação às sequências, as Orientações Educacionais Complementares aos

Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN+ recomendam:

O estudo da progressão geométrica infinita com razão positiva e menor que 1 oferece

talvez a única oportunidade de o aluno estender o conceito de soma para um número

infinito de parcelas, ampliando sua compreensão sobre a adição e tendo a

oportunidade de se defrontar com as idéias de convergência e de infinito. Essas idéias

foram e são essenciais para o desenvolvimento da ciência, especialmente porque

permitem explorar regularidades. O ensino desta unidade deve se ater à lei de

formação dessas sequências e a mostrar aos alunos quais propriedades decorrem delas.

Associar às sequências a seus gráficos e relacionar os conceitos de sequência

crescente ou decrescente aos correspondentes gráficos permite ao aluno compreender

melhor as idéias envolvidas, ao mesmo tempo em que dá a ele a possibilidade de

acompanhar o comportamento de uma seqüência sem precisar decorar informações

(PCN+, 2002, p.121).

Apesar de as Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares

Nacionais - PCN+ (2002) abordar o estudo da progressão geométrica infinita, torna-se

necessária uma ressalva, pois notamos um equívoco no trecho em que menciona o “conceito

de soma”. Na verdade, a forma correta é conceito de adição de um número infinito de

parcelas, já que a soma é o resultado da operação adição.

31

Ainda com relação ao mesmo conteúdo, o documento das Orientações Curriculares

para o Ensino Médio (2006) complementa:

As progressões aritméticas e geométricas podem ser definidas como, respectivamente,

funções afim e exponencial, em que o domínio é o conjunto dos números naturais.

Não devem ser tratadas como um tópico independente, em que o aluno não as

reconhece como funções já estudadas.” (OCEM, 2006, p. 75).

O documento também argumenta que se devem evitar as exaustivas coletâneas de

cálculos que fazem o simples uso de fórmulas “determine a soma..., calcule o quinto termo...”

(OCEM, 2006, p. 75).

Embora as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006) afirmem que o

domínio das funções seja o conjunto dos números naturais, notamos que não há

esclarecimentos sobre gráficos contínuos e discretos17

. Enfatizamos que ao se trabalhar com

progressões aritméticas e geométricas estamos lidando com variáveis discretas, visto que o

domínio é conjunto dos números naturais. Portanto, o gráfico das progressões aritméticas e

geométricas é formado por pontos discretos. É importante evidenciar esse fato, caso

contrário, pode gerar nos alunos uma tendência em sempre ligar os pontos de um gráfico, cuja

ideia é incorreta.

Os documentos oficiais sugerem a associação do estudo das progressões aritméticas e

geométricas com o de funções. Evidenciamos que apesar desta possibilidade de escolha, não

estamos considerando isso como uma única verdade. Porém, não podemos desconsiderar esta

associação, pois de certa forma as propostas produzidas por comunidades científicas

influenciam o ensino da Matemática e os livros didáticos. Com maior ou menor grau de

acedência de tais propostas, podem constituir em porta-vozes das orientações contidas nos

documentos oficiais.

1.3 CRITÉRIOS DE ESCOLHA DOS LIVROS DIDÁTICOS

O livro didático é um, dentre os diversos recursos didáticos, que podem auxiliar na

busca dos caminhos possíveis para o aprimoramento da prática pedagógica. Pode ajudar os

17

Gráficos discretos – a variável independente n só pode assumir valores no conjunto dos números naturais.

Portanto, o domínio da função representada no gráfico é o conjunto dos números naturais e, por este motivo, o

gráfico é formado por pontos isolados.

Gráficos contínuos – a variável independente x assume valores no conjunto dos números reais. Portanto, o

domínio da função representada no gráfico é o conjunto dos números reais, assim podemos ligar os pontos,

formando um gráfico contínuo.

32

professores, até mesmo, na busca de outras fontes e conhecimentos para complementar o

trabalho em sala de aula. Disso decorre a importância de se fazer uma boa escolha.

Fundamentado nesse princípio, o PNLEM (2009) elaborou um catálogo para subsidiar

os professores no processo de escolha do livro didático, apresentando a estrutura das obras, a

análise crítica dos aspectos conceituais, metodológicos e éticos, e algumas sugestões para a

prática pedagógica.

As obras de Matemática que integram esse catálogo é resultado de um procedimento

que passou por diversas etapas, das quais duas delas são as mais importantes. Uma das etapas

incidiu em análise das obras inscritas pelas editoras, na qual houve a verificação das

especificações técnicas do livro, tais como, formato, matéria-prima e acabamento. Outra etapa

avaliou as obras quanto aos aspectos conceituais, metodológicos e éticos.

A referida avaliação foi desempenhada por um grupo de especialistas, professores

procedentes de universidades públicas de várias regiões do Brasil, pesquisadores no ensino de

Matemática. Para a realização da análise eles elaboraram uma ficha de avaliação, que se

encontra em anexo no catálogo disponibilizado pelo PNLEM (2009).

Pertencem ao catálogo do PNLEM (2009) os livros que constam no quadro 1:

Quadro 1 – Livros pertencentes ao catálogo do PNLEM 2009.

COLEÇÃO AUTOR/AUTORES

EDITORA

Matemática Aula por Aula Benigno Barreto Filho e

Cláudio Xavier da Silva FTD

Matemática Completa José Roberto Bonjorno e José

Ruy Giovanni FTD

Matemática e suas

tecnologias

Angel Pandés Rubió e

Luciana Maria Ternuta de

Freitas

IBEP

Matemática no Ensino Médio Marcio Cintra Goulart Scipione

Matemática: Contextos e

aplicações – Volume Único

Luiz Roberto Dante

Ática

Matemática – Volume Único

Antônio Nicolau Yossef

Elizabeth Soares

Vicente Paz Fernandez

Scipione

Matemática – Volume Único

Manoel Paiva

Moderna

Matemática – Ensino Médio Kátia Stocco Smole e Maria

Ignez Diniz Saraiva

Fonte: Catálogo PNLEM (2009), organizado pelos pesquisadores.

33

Os critérios utilizados no processo de seleção dos livros que fazem parte da nossa

investigação foram:

Pertencer ao catálogo do PNLEM (2009);

Ser utilizado pelas escolas estaduais do município de Cuiabá.

Assim, as políticas vigentes para a escolha dos livros didáticos do Ensino Médio e a

busca para encontrar os livros didáticos que fariam parte da análise da nossa pesquisa nos

conduziram ao seguinte questionamento: quais são os livros didáticos de Matemática do

Ensino Médio utilizados pelas escolas estaduais de Cuiabá-MT, no ano de 201018

?

Nesse contexto, realizamos um levantamento, sendo os dados obtidos junto à SEDUC-

Cuiabá (Secretaria de Educação), ao Fundo Nacional de Desenvolvimento e Educação

(FNDE) e ao Programa Nacional do Livro didático para o Ensino Médio (PNLEM, 2009).

Podemos visualizar o resultado desse levantamento na figura 1.

Figura 1-Gráfico de barras – Livros didáticos utilizados pelas escolas estaduais de Cuiabá-MT.

Fonte: Dados obtidos no site do FNDE e organizados pelos pesquisadores.

Observamos que todos os livros catalogados no PNLEM (2009) foram escolhidos por

pelo menos uma escola estadual do município de Cuiabá. Se escolhêssemos todos os livros,

teríamos um total de oito livros para compor a investigação. Consideramos esse número um

tanto amplo. Portanto, após obter os dados mencionados na figura 1, selecionamos as três

obras de Matemática do Ensino Médio mais escolhidas, entre as escolas estaduais localizadas

em Cuiabá que atendem o Ensino Médio.

18

Pesquisa realizada com base no catálogo do PNLEM 2009, que tem vigência por um período de três anos.

34

A coleção mais utilizada é a Matemática Aula por Aula, a qual abrange 50% das

escolas que atendem o Ensino Médio em Cuiabá-MT. Os autores são Benigno Barreto Filho e

Cláudio Xavier da Silva. Na sequência temos Matemática Completa de José Roberto

Bonjorno e José Ruy Giovanni e Matemática de Luiz Roberto Dante.

Além desses livros selecionados, sentimos durante a realização dos estudos a

necessidade de inserir mais um livro didático de Matemática do primeiro ano do Ensino

Médio para integrar a pesquisa, pois no decorrer de nosso estudo verificamos que os livros

didáticos mais escolhidos apresentam certa homogeneidade no capítulo referente às

progressões. Assim, estabelecemos outro critério de escolha, ou seja, optamos também por

realizar os estudos em um dos livros que não está entre os mais adotados pelas escolas

estaduais de Cuiabá-MT, com o intuito de verificar se a proposição de trabalho com as

progressões aritméticas e geométricas é diferenciada.

Deste modo, realizamos leituras preliminares de outros livros não selecionados no

primeiro momento em que estabelecemos o critério de escolha. Essa leitura nos mostrou que o

livro Matemática de Manoel Paiva, o qual é utilizado por apenas três escolas do município de

Cuiabá, propõe o conteúdo sequências articulado ao estudo de funções, sendo essa uma das

recomendações do PCN+ (2002). Então, optamos por selecionar mais este livro para os

estudos da nossa pesquisa, de modo que foram analisados quatro livros do primeiro ano do

Ensino Médio.

Convém destacar que dentre os livros selecionados, o de Dante se difere no que

concerne ao formato, ou seja, volume único. Então, em uma análise preliminar, optamos

realizar a pesquisa nos livros do mesmo autor, porém editados em três volumes.

1.3.1 Caracterização dos livros selecionados

Observamos que o volume 1 de cada coleção é bastante volumoso, então verificamos o

número de páginas do volume 1 do capítulo destinado às sequências (progressões) e das

instruções e orientações teórico-metodológicas (manual do professor). Convencionamos que

os livros selecionados, serão identificados em toda a pesquisa pelas siglas contidas na tabela

1.

35

Tabela 1- Número de páginas dos livros pesquisados

Livro - Volume I Número de

páginas

Número de páginas

do capítulo

destinado às

progressões

Número de páginas das

Instruções e Orientações

teórico-metodológicas/

manual do professor

LD1-Matemática: contexto e

Aplicações - Dante

472 41 36

LD2 – Matemática – Manoel

Paiva

256 27 104

LD3- Matemática Aula por

Aula – Xavier e Barreto

416 39 32

LD4- Matemática Completa

– Giovanni e Bonjorno

400 33 24

Fonte: os pesquisadores.

Conforme pode ser visto na tabela 1, as páginas variam de 256 a 472. O LD1 traz o

manual do professor num livro à parte, juntamente com um caderno de resoluções das

atividades propostas. Já nos LD2, LD3 e LD4 as orientações teórico-metodológicas são

incorporadas no mesmo livro, porém com uma nova numeração de páginas.

Para termos maiores esclarecimentos da organização do capítulo referente às

progressões aritméticas e geométricas, construímos o quadro 2 com os tópicos que compõem

cada livro.

Quadro 2 – organização do capítulo referente às progressões aritméticas e geométricas

LD1

LD2 LD3 LD4

1. Introdução

2. Sequências

Definição e

determinação de uma

sequência

3. Progressão

aritmética Definição

Representações

especiais

Fórmula do termo geral

de uma P.A.

Interpretação

geométrica de uma

1. Sequências

O conceito de

sequência

Lei de formação de

uma sequência

2. Progressão

aritmética

Definição

Classificação das

progressões

aritméticas

Fórmula do termo

geral de uma

progressão

aritmética

A história conta

1. Sequência ou

sucessão

Noção de

sequência

Termo geral de

uma sequência

2. Progressão

aritmética

Classificação de

uma P.A.

Termo geral de

uma P.A.

Representação

1. Sucessão ou

sequência numérica

Definição de

sequência

Termo Geral de uma

sequência

2. Progressão

aritmética

Fórmula do termo

geral de uma P.A.

Outras aplicações da

fórmula do termo

geral

Interpolação

aritmética

36

LD1

LD2 LD3 LD4

P.A.

Interpolação aritmética

Soma dos termos de

uma P.A. finita

Progressões aritméticas

de segunda ordem

4. Progressão

geométrica

Definição

Representações

especiais

Fórmula do termo geral

de uma P.G.

Interpretação

geométrica de uma

progressão geométrica

Interpolação

geométrica

Fórmula da soma dos n

primeiros termos de

uma P.G. finita

Limite da soma de uma

P.G. infinita

Produto dos termos da

P.G.

Propriedades das

progressões

aritméticas

Representação

genérica de uma

progressão

aritmética

Soma dos n

primeiros termos de

uma progressão

aritmética

A progressão

aritmética e a função

afim

3. Progressão

geométrica

Definição

Classificação das

progressões

geométricas

Fórmula do termo

geral de uma

progressão

aritmética

Representação

genérica de uma

progressão

geométrica

Soma dos n

primeiros termos de

uma P.G.

Soma dos infinitos

termos de uma P.G.

A progressão

geométrica e a

função exponencial

prática dos termos

de uma P.A.

Interpolação

aritmética

Propriedade de

uma P.A.

Soma dos n termos

de uma P.A.

3. Progressão

geométrica

Classificação de

uma P.G.

Termo geral de

uma P.G.

Representação

prática de três

termos em P.G.

Propriedades de um

P.G.

Soma dos n termos

de uma P.G.

infinita

Produto dos termos

de uma P.G.

limitada

Soma dos termos de

uma P.A.

3. Progressão

Geométrica

Fórmula do termo

geral de uma P.G.

Resolvendo

problemas de P.G.

Fórmula da soma

dos n termos de uma

P.G.

Fórmula da soma

dos termos de uma

P.G. infinita

Fonte: volume I das coleções selecionadas

Com base do quadro 2, verificamos que os autores se assemelham na disposição dos

tópicos e subtópicos, ou seja, seguem um determinado padrão. Em todos os livros a definição

de sequência antecede a definição de progressões.

Observamos poucos subtópicos que não são comuns aos quatro livros didáticos. É o

caso, por exemplo, do produto dos termos de uma P.G. que consta somente nos LD1 e LD3. O

LD2 insere dois subtópicos que se referem à progressão aritmética e a função afim; a

37

progressão geométrica e a função exponencial. Nos demais livros didáticos não identificamos

essa disposição.

Antes de realizarmos os estudos das progressões nos livros selecionados, optamos por

conhecê-los num sentido mais amplo, tendo em vista que o conteúdo não está colocado no

livro aleatoriamente. Em função disso, apresentamos brevemente a caracterização dos livros,

considerando alguns pontos, os quais julgamos relevantes para a nossa pesquisa.

1.3.1.1 LD1

Na apresentação do livro do 1º ano do Ensino Médio o autor menciona que o objetivo

da obra “é criar condições para que o aluno possa compreender as ideias básicas da

Matemática desse nível atribuindo significado a elas, além de saber aplicá-las na resolução de

problemas do mundo real” (DANTE, 2008a, p. 3). E ainda o autor adverte que foram evitadas

receitas prontas, inclusive o formalismo exagerado. No entanto, o rigor coerente para o

Ensino Médio foi mantido.

No Manual do Professor acrescenta que além da obra trazer todos os conteúdos

essenciais para o Ensino Médio, ao mesmo tempo “prepara o aluno para os processos

seletivos de ingresso à educação superior” (DANTE, 2008b, p. 5).

Para o capítulo referente às Progressões, o autor expõe no Manual do professor as

seguintes competências e habilidades (quadro 3):

Quadro 3 – Competências e habilidades

Competências Habilidades

Observar e desenvolver as sequências

numéricas, naturais ao raciocínio lógico

matemático.

- Descobrir os padrões nos quais se

apóia uma sequência de valores

numéricos e generalizá-los.

- Identificar situações práticas que

envolvam tais padrões.

Introduzir problemas de ordem científica

e econômica em seu material teórico

para interpretá-los, ampliando o campo

de atuação do pensamento matemático.

- Acompanhar, nos veículos de

comunicação, a linguagem científica que

permeia as matérias que tratam de

crescimento, decrescimento e evolução

de uma situação específica.

- Reconhecer a existência de invariantes

ou identidades que impõem as condições

a serem utilizadas para analisá-las. Fonte: DANTE, 2008b, p. 35

38

O capítulo que faz parte dos nossos estudos é o destinado às sequências (progressões)

– Capítulo 9. Embora exista um capítulo que trata especificamente das progressões,

verificamos em uma análise preliminar que o tema permeia os capítulos 3, 4 e 5, os quais

tratam do conteúdo funções, ou seja, as progressões aritméticas e geométricas são

apresentadas de forma sucinta por meio da integração com o tema funções.

O capítulo 9, assim como todos os outros assuntos, começa com alguns aspectos

históricos, com a proposição de algumas tarefas. Na sequência, há uma introdução por meio

de situações-problema, seguida de definição, exercícios resolvidos, exercícios propostos. No

final do capítulo é apresentado um desafio, e ainda, algumas atividades adicionais, questões

de vestibulares e leituras. Além disso, em todos os temas o autor apresenta o “Para Refletir”,

que é “uma chamada paralela para estimular a reflexão do aluno” (DANTE, 2008b, p. 6).

Segundo o autor o “Para Refletir” sugere ao leitor o desenvolvimento ou aprofundamento de

temas relacionados ao assunto proposto.

1.3.1.2 LD2

Na apresentação da obra o autor afirma: “este livro foi elaborado para oferecer, de

forma clara e objetiva, conteúdos matemáticos fundamentais para o Ensino Médio” (PAIVA,

2009a, p. 3). Acrescenta que

A apresentação da teoria, a escolha das introduções, das atividades e aplicações no

desenvolvimento dos exercícios resolvidos, o estabelecimento gradual da terminologia

Matemática e de outros procedimentos visam facilitar a compreensão dos assuntos

pelo aluno. Isso, porém, não significa que optamos pela exclusão de situações mais

complexas, mas sim que sua inclusão foi criteriosa (PAIVA, 2009b, p. 7).

Para o capítulo referente às progressões são estabelecidos no manual do professor os

seguintes objetivos: diferenciar os conceitos de sequência e conjunto; determinar os termos de

uma sequência a partir da lei de formação; reconhecer uma progressão aritmética; classificar

uma progressão aritmética como crescente decrescente ou constante; determinar um termo

qualquer de uma progressão aritmética, a partir do primeiro termo e da razão; representar

genericamente uma PA; Calcular a soma dos n primeiros de uma PA; reconhecer uma

progressão geométrica; classificar uma progressão geométrica como crescente, decrescente,

constante, oscilante ou quase nula; determinar um termo qualquer de uma progressão

39

geométrica, a partir do primeiro termo e da razão; Representar genericamente uma PG;

calcular a soma dos n primeiros termos de uma PG; calcular a soma dos infinitos termos de

uma PG de razão q, com -1 < q < 1.

O desenvolvimento de cada capítulo é realizado por meio de uma “página de

abertura”, e de acordo com o autor tem a finalidade de estimular a reflexão sobre um

problema contextualizado. Nessa página são propostas algumas questões com a intenção de

avaliar os conhecimentos prévios dos alunos. Posteriormente é trabalhada a “teoria”

acompanhada de exercícios resolvidos, com a intenção de facilitar a compreensão dos

conceitos. Segundo o autor os “exercícios propostos” são intercalados ao conteúdo, com o

objetivo de verificar o aprendizado. Além disso, ao final de cada capítulo apresenta questões,

cuja finalidade é estimular os alunos a argumentar, questionar e sintetizar os principais

conceitos abordados no capítulo. Finaliza os capítulos com exercícios complementares que

aprofundam os assuntos discutidos.

1.3.1.3 LD3

Na apresentação do livro é explicitada a intencionalidade da obra para os alunos:

“Podemos dizer que o nosso objetivo maior é colocá-lo diante de uma Matemática que o

instigue e ao mesmo tempo ofereça algumas condições para a busca da compreensão do

mundo” (SILVA; BARRETO, 2005a, p. 3).

No manual do professor os autores fazem outra apresentação, e complementam as

intencionalidades referidas no livro:

[...] disponibilizar ao aluno e professor fontes de informações que possa contribuir

com um ensino escolar que procura valorizar os conteúdos temáticos socialmente

relevantes. Com a intenção de subsidiarmos o estudante a desenvolver o conhecimento

matemático formal e alavancar os objetivos desta coleção, tomamos como base a

necessidade de o foco principal ser a formação de um cidadão crítico, que possa

conviver, participar, integrar e compreender uma sociedade com inúmeras

transformações – inclusive no que se refere ao conhecimento científico e tecnológico

(SILVA; BARRETO, 2005b, p. 2).

Para o capítulo referente às progressões os autores apresentam no manual do professor

os seguintes objetivos: reconhecer, classificar e representar uma sequência numérica; usar a

linguagem Matemática para expressar as regularidades das sequências por meio de fórmulas

de recorrência ou de um termo geral; determinar a razão e a soma de n termos consecutivos de

40

uma progressão e o produto de uma P.G. limitada; aplicar os conceitos de P.A. e de P.G. na

resolução de situações-problema; fazer a identificação e reconhecer numa sequência a

organização de uma P.A. ou P.G; identificar a regularidade apresentada por uma sequência e

fazer uso da linguagem algébrica para representá-la; tomar decisões diante de situações-

problema, baseado na interpretação das sequências; fazer análise do comportamento das

sequências e usá-las como fundamento para estruturar argumentação; analisar propostas

adequadas à intervenção na realidade, baseado nas informações apresentadas nas sequências

(SILVA; BARRETO, 2005b, p.18).

O desenvolvimento do estudo de cada conteúdo temático sugere ações pedagógicas

por meio da seguinte estruturação: a história conta; pesquise mais sobre o assunto; o

desenvolvimento teórico do conteúdo temático; exercícios resolvidos; exercícios propostos;

desenvolva a criatividade; ficha-resumo; exercícios complementares e saiba um pouco mais.

1.3.1.4 LD4

Na apresentação da obra os autores expõem a intencionalidade:

Esta coleção foi criada pensando em preparar o aluno para a prática da cidadania,

respeitando-a como um cidadão ativo, crítico e ético. Oferece textos interdisciplinares

interessantes, que aguçam a curiosidade do aluno e o levam a refletir sobre a

realidade. Traz um grande número de exercícios, após cada conceito, na intenção de

ampliar, aprofundar e integrar os conhecimentos já adquiridos (GIOVANNI;

BONJORNO, 2005a, p. 3).

Para o capítulo referente às sequências, os autores apresentam no manual do professor

os seguintes objetivos: identificar regularidades em sequências; diferenciar os conceitos de

sequências e conjunto; determinar os termos de uma sequência a partir da lei de formação;

reconhecer uma progressão aritmética e geométrica; expressar e calcular o termo geral de uma

progressão aritmética e a soma de seus termos; interpolar meios aritméticos entre dois

números dados; interpolar meios geométricos entre dois números dados (GIOVANNI;

BONJORNO, 2005b, p. 14).

O desenvolvimento do estudo de cada conteúdo temático sugere ações pedagógicas

por meio da seguinte estruturação: teoria; exemplos; interdisciplinaridade; exercícios; textos;

recordando.

CAPÍTULO II

2 ASPECTOS HISTÓRICOS DAS SEQUÊNCIAS

Neste capítulo apresentamos alguns aspectos históricos a respeito das sequências, visto

que em leituras preliminares dos livros didáticos que compõem esta pesquisa, identificamos

alguns aspectos históricos a respeito do conteúdo sequências na organização didática dos

mesmos, o que nos despertou certa curiosidade. Deste modo, achamos oportuno conhecer um

pouco mais a respeito das progressões aritméticas e geométricas, o que nos possibilitou

ampliar os conhecimentos sobre o assunto para podermos verificar a proposição da história

desse assunto nos livros selecionados para esta pesquisa, bem como adquirir maior

aprofundamento no conteúdo para a realização dos estudos em livros didáticos.

2.1 CONCEITOS BÁSICOS: SEQUÊNCIAS, PROGRESSÃO ARITMÉTICA E

GEOMÉTRICA

O passar do tempo, a rotina diária de trabalho e até mesmo os fatos menos perceptíveis

como a nossa respiração, o batimento de nosso coração e assim sucessivamente, se repetem

periodicamente em nosso cotidiano e apresentam relação com a Matemática.

Deste modo, a sequência periódica de fatos que ocorrem em nosso cotidiano nos

conduz principalmente à ideia de ordem. Então temos que sequência numérica é uma

organização de números. Elas podem ter ou não uma lei de formação.

Antes de destacarmos alguns aspectos da história das progressões, consideramos

importante para o leitor explicitar definições de sequência, progressão aritmética e progressão

geométrica que atualmente são ensinadas nas escolas brasileiras.

As sequências podem ser definidas como função.

Uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais de 1 até n

(sequência finita, com n termos) ou o conjunto de todos os números naturais 1, 2, 3, ...., n, ....

(sequência infinita) (LIMA, 2001, p.74).

A notação usual para uma sequência infinita é (a1, a2, a3 ..., an,-1, an, ...). A sequência

finita é designada pela notação (a1, a2, ..., an).

42

Consideramos interessante propiciar situações em que os alunos possam descobrir a lei

geral de uma dada sequência numérica, estabelecendo um raciocínio semelhante ao que

apresentamos a seguir:

Observando a sequência (1, 3, 5, 7, 9, ...) percebemos que ela segue um padrão, ou

seja, a cada termo é acrescido 2 unidades, então:

a1 → 1 = 1 + 0 x 2

a2 → 3 = 1 + (2 – 1) x 2

a3 → 5 = 1 + (3 – 1) x 2

a4 → 7 = 1 + (4 – 1) x 2

a5 → 9 = 1 + (5 – 1) x 2

⋮

an → T = 1 + (n - 1) x 2 → sequência dos números ímpares.

Por meio dessa lei geral, facilmente podemos obter qualquer número desta sequência,

pois cada termo resulta da adição do número 1 com o produto da posição que esse número

ocupa na sequência, menos uma unidade, e o valor 2.

As progressões aritméticas (P.A.) são exemplos particulares de sequências, o que

justifica a definição de sequência preceder a da progressão aritmética.

Podemos definir uma progressão aritmética como:

Uma progressão aritmética (P.A.) infinita é uma sequência a1, a2, ... , an -1 ,an, ..., onde cada

termo, a partir do segundo, é a soma an +1 = an + r do termo anterior mais uma constante r,

chamada a razão da progressão. Equivalentemente, a sequência (xn) chama-se uma

progressão aritmética de razão r quando an +1 - an = r para todo n ∈ N (LIMA, 2001, p. 74).

Outro exemplo de sequências particulares são as progressões geométricas.

Uma progressão geométrica infinita é uma sequência a1, a2, ... , an-1 , an, ... , onde cada termo,

a partir do segundo, é o produto do termo anterior por uma constante q, chamada a razão da

progressão, an +1 = an . q (LIMA, 2001, p.75).

2.2 ALGUNS ESCRITOS SOBRE SEQUÊNCIAS: PAPIRO RHIND E TABLETAS

BABILÔNICAS

Após estas definições, retomamos a história da Matemática para destacar alguns

escritos que foram posteriormente interpretados como indícios da construção de ideias

matemáticas.

43

Foi decodificando os escritos antigos, como o Papiro Rhind ou de Ahmes19

e outros,

que cientistas puderam compreender sistemas de numeração, técnicas de calcular, linguagens

Matemáticas e, de forma geral, como a Matemática foi se desenvolvendo a partir do

pensamento de povos que viveram há muitos anos.

No papiro Rhind se encontram registros de problemas que expressam conhecimentos

das progressões aritméticas e geométricas, entre eles temos:

“Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em

progressão aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das

duas menores” (EVES, 2004, p. 84).

Por métodos contemporâneos, temos a seguinte resolução para esse problema:

As partes recebidas estão em P.A., então podemos representar:

parte do primeiro homem: x-2r

parte do segundo homem: x-r

parte do terceiro homem: x

parte do quarto homem: x+r

parte do quinto homem: x+2r

Pelo enunciado do problema, a soma de todas as partes é igual a 100 pães, logo:

x - 2r + x-r + x + x+r + x+2r = 100

x = 20

Substituindo o valor de x, temos que as duas partes menores são iguais a:

20 – 2r e 20 – r

E as três partes maiores são iguais a:

20, 20 + r e 20 + 2. r

Como 1/7 dessas três partes maiores é igual à soma das duas partes menores, então:

( ) ( )

r = 55/6 (razão da P.A.)

Substituindo o valor da razão na progressão aritmética, obtemos as partes em que o pão foi

dividido:

19

A data do Papiro de Rhind é de aproximadamente 1650 a. C. O papiro tem este nome pelo fato de ter sido

comprado pelo escocês chamado Henry Rhind em 1858. Também é conhecido por Papiro Ahmes em

homenagem ao escriba que o copiou de um trabalho mais antigo em 1 650 a. C. O Papiro Rhind é um texto

matemático que contém oitenta e cinco problemas copiados em escrita hierática (CONTADOR, 2008, p. 69).

44

Conforme o problema dado, as partes recebidas estão em P.A., então, ao tomarmos a

diferença de um termo, a partir do segundo, pelo seu antecessor obtemos o valor

, a razão

da P.A.

Convém destacar que essa é só uma das formas de resolver o problema, existem outras

formas de encontrar a solução.

Nesse papiro há também um curioso problema, é o de número 79. Esse problema

recreativo se apresenta como um conjunto de dados: “7 casas, 49 gatos, 343 ratos, 2401

espigas de trigo, 16 807 hectares de grãos” (Ibidem, p. 75).

Podemos perceber que esses números constituem as cinco primeiras potências de sete,

ou seja, estão em progressão geométrica e a soma dos termos constitui a resolução do

problema, o que mostra que é presumível que já tinham conhecimentos da soma do que hoje

conhecemos por termos de uma progressão geométrica.

No Papiro Rhind também aparece uma progressão geométrica muito interessante

formada pelas frações

do Hekat (unidade comum do volume usada para

medir quantidade de grãos). Os termos dessa sequência são conhecidos como frações dos

olhos do Deus Hórus, conforme figura 2.

Figura 2 – Frações dos olhos de Hórus

Fonte: CARVALHO, 1997, p. 39

De acordo com Carvalho (1997) os egípcios eram capazes de somar progressões

geométricas com seis elementos, eles usavam multiplicação por um fator comum, ou seja,

resolviam usando apenas o quadro numérico:

S =

45

Para encontrar a soma da progressão geométrica acima os egípcios multiplicavam

todos os elementos por 64 (o último denominador) e encontravam:

64. S =

64. S = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

64. S = 63

Logo: S = 63/ 64

Entre os rios Tigre e Eufrates, na região que os gregos, séculos mais tarde chamaram

de Mesopotâmia20

se desenvolveu uma cultura que teve uma importante participação na

história, em particular da Matemática. Nessa localidade foram encontrados documentação em

tabletas feitas de argila, na qual a escrita era feita com uma espécie de estilete quando as

tabletas ainda estavam úmidas. Os traços que compunham a escrita eram em forma de cunha,

por esse motivo essa escrita é denominada de cuneiforme. As sequências 1, 3, 9, 27, 81, ... e

1, 4, 16, 64, ... foram encontradas em tabletas babilônicas por volta de 1800 a.C. Observa-se

que essas sequências constituem uma progressão geométrica.

Os babilônios também registraram outras contribuições relevantes para a Matemática,

dentre elas, Contador (2008) destaca dois importantes registros em tabletas que se referem à

sequências. Um deles conduz a soma de uma progressão geométrica:

1 2 2² 2³ 24... 2

8 2

9

A outra se refere à soma da série de quadrados:

1² + 2² + 3² + 4² + ... + 10² = 385.

Não encontramos dados que mostram os processos utilizados pelos babilônios para

realizar essas somas, pois as tabletas encontradas não trazem formulações gerais, contêm

apenas casos específicos. Desse modo, Contador (2008) afirma que o conhecimento de séries

com a sua respectiva soma seria um fato esplêndido para essa época.

2.3 CONTRIBUIÇÃO GREGA

Outra civilização que cooperou em larga escala com o desenvolvimento da

Matemática foi a grega21

. Provavelmente devemos aos gregos o fato da Matemática ter sido

20

As civilizações antigas dessa região são frequentemente chamadas de babilônicas. 21

A civilização grega foi a primeira a modificar o modo de explicar os fenômenos naturais sem a utilização de

magias, superstições ou aos deuses da velha mitologia grega. Os gregos tentavam esclarecer os fatos da natureza

com teorias científicas. Porém, Contador (2008) afirma que nem todos os fenômenos cósmicos e terrestres eram

explicados como fatos científicos pelos filósofos. Vale salientar que tudo ocorreu com o enfraquecimento dos

46

considerada como Ciência pela primeira vez. Porém, não podemos nos esquecer de que os

gregos obtiveram contribuições dos babilônios e dos egípcios, pois estes já haviam estudado

Astronomia anteriormente, sendo cabível aos gregos o desenvolvimento de teorias a respeito

dos movimentos planetários. Os gregos deram início às demonstrações e às deduções com a

contribuição de diversos pensadores como Pitágoras, Arquimedes, Euclides, entre outros

(CONTADOR, 2008).

O grego Euclides de Alexandria22

(aproximadamente final do século III a. C.) trouxe

grandes contribuições para a Matemática, produzindo a obra Os Elementos que se compõe de

465 proposições distribuídas em treze livros. O livro VIII trata das proporções contínuas e

enunciados equivalentes ao somatório de uma progressão geométrica. Na proposição 22

(figura 3) temos:

Caso três números estejam em proporção continuada, e o primeiro seja um quadrado

o terceiro também será um quadrado.

Figura 3 - Proposição 22

Fonte: EUCLIDES, 2009, p.68

Nesta proposição que consideramos apenas as proporções contínuas com uma relação

constante, as proporções da forma: se a : b = b: c = c : d, então a, b, c, d formam uma

progressão geométrica.

Na proposição 35 do livro IX (figura 4), Euclides mostra como somar

geometricamente os n termos de uma P.G.

mitos e deuses e isso não aconteceu rapidamente, foi necessária a ampliação da cultura dos gregos. De acordo

com Eves (2004) os gregos antigos faziam distinção entre o estudo das relações abstratas envolvendo números

(logística) e a arte prática de calcular com os números (aritmética). Essa distinção atravessou a Idade Média

chegando até ao final do século XV, quando surgiram textos que tratavam as facetas teóricas e prática da

abordagem dos números sob a designação única de aritmética.

22

Não há dados históricos sobre Euclides, até mesmo a data e o local de seu nascimento são desconhecidos. Eves

(2004) conjectura que provavelmente tenha sido Euclides o fundador da escola de Matemática de Alexandria.

47

Figura 4 – Proposição 35

Fonte: EUCLIDES, 2009, p.69

Garbi (2 009) traduz esse raciocínio por meio da nossa atual simbologia matemática da

seguinte maneira: se os números a1, a2, a3, ..., an, an + 1 estão em proporção contínua

(progressão geométrica), então

. Logo:

( )

( )

( )

Em qualquer proporção, a soma de todos os antecedentes (numeradores) está para a

soma de todos os consequentes (denominadores) assim como para qualquer antecedente está

seu consequente. A soma de todos os antecedentes é o que se procura, ou seja, Sn. A soma dos

consequentes é an +1 – a1, já que a2, a3, ... an se anulam. Logo:

( )

( ) ou

( )

2.3.1 As sequências e a música

Para ilustrar ainda mais nosso estudo sobre progressões, podemos trabalhar com um

campo do conhecimento que há muito nos chama a atenção. Há diferenças entre tipos de

músicas, tais como, a música de uma orquestra sinfônica, de um grupo de rock e de um grupo

que canta música popular brasileira – MPB. No entanto, todas possuem a mesma base, ou

48

seja, são formadas pela sequência dó, ré, mi, fá, sol, lá, si, dó, que se fazem e se expressam

por meio de relações Matemáticas.

O precursor dessas relações é Pitágoras23

(585 a.C. – 500 a.C.), outro grego que se

destaca na Matemática, o qual realizou o estudo de sequências em decorrência da associação

do número à música e à mística, derivando-se disso os termos “média harmônica” e

“progressão harmônica”.

Como consequência de várias observações, Pitágoras verificou que uma corda ao

vibrar produz uma nota básica ou som e cordas com a mesma tensão e diferentes

comprimentos dão notas em intervalos de oitava. Uma oitava entre duas notas do mesmo

nome produz uma razão de 2:1 na frequência. Por exemplo, em uma oitava superior, o

número de vibrações é exatamente o dobro do som fundamental. O mesmo conceito se aplica

para intervalos de quinta, na razão de 3:2 e em intervalos de quartas, na razão de 4:3.

Figura 5 – Frequências do tom fundamental

Fonte: CONTADOR, 2008, p. 112.

A escala com intervalos acusticamente perfeitos definida por Pitágoras foi usada

durante séculos, até pouco depois da Idade Média, quando a Música ainda era restrita a

regras rígidas de composição e execução. Com o Renascimento, uma série de novas ideias

surgiu nas Artes em geral, e na Música em particular, e os compositores começaram a

tentar ultrapassar os limites musicais impostos até aquela época. Foi quando surgiu, então,

a necessidade de se transpor as melodias para outras tonalidades. Com a escala musical em

vigor isso era impraticável, pois os intervalos "perfeitos" só podiam ser usados numa única

tonalidade. Em outras palavras, uma melodia feita para a tonalidade de Dó não podia ser

23

É bom ressaltar que as observações dos pitagóricos tiveram caráter puramente empírico, as quais previram

apenas os diferentes comprimentos das cordas do heptacórdio ou lira (instrumento musical de cordas pinçadas,

num total de sete cordas, usado na Antiguidade, composto de uma caixa com duas hastes curvas em forma de U,

sustentadas por uma barra transversal), pois nada sabiam a respeito de número de vibrações (CONTADOR, 2

0008).

49

executada na tonalidade de Fá, por exemplo, pois os intervalos entre as notas passariam a

soar desafinados.

A maioria das músicas ouvidas no ocidente, a escala musical é a temperada24

e pode

ser definida como uma sequência Matemática. Na escala temperada o comprimento inteiro

é dividido exponencialmente em doze partes, baseado na raiz duodécima de 2, o que

permitiu a execução de qualquer música em qualquer tonalidade, uma vez que as relações

entre intervalos iguais são sempre as mesmas, não importa qual a referência (tonalidade)

que se use.

Assim, podemos imaginar uma progressão geométrica com o primeiro termo igual a

unidade, e os termos subsequentes obtidos por meio das multiplicações sucessivas por

√

, que constituem a razão da P.G, conforme a sequência exposta na tabela 2.

Tabela 2 – escala temperada

Fonte: os pesquisadores

2.3.2 Números figurados: um elo entre a geometria e aritmética

Outros estudos que historicamente se atribuem aos pitagóricos são relativos aos

números amigáveis25

e perfeitos. Eves (2004) afirma que parece haver uma aceitação unânime

quanto a que esses números figurados se originaram com os membros da antiga escola

pitagórica. Esses números, que expressam o número de pontos em certas configurações

geométricas, representam um elo entre a geometria e a aritmética. Os pitagóricos fizeram

importantes descobertas no campo da aritmética, quase sempre com o auxílio de figuras

geométricas. Aliás, a aritmética grega foi muito influenciada por ideias geométricas.

Podemos visualizar os números triangulares, números quadrados e números

pentagonais nas figuras 6, 7 e 8.

24

Johann Sebastian Bach compôs a música O Cravo Bem Temperado no período de 1722 a 1744, utilizando o

sistema proposto por Mersenne (1635) de afinamento suave. Este sistema denomina- se escala temperada

composta por 12 intervalos (ABDOUNUR, 1999). 25

“Dois números se dizem amigáveis se cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro. Por

exemplo, 284 e 220, que constituem o par atribuído a Pitágoras, são amigáveis porque os divisores próprios de

220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 e cuja soma é 284, ao passo que os divisores próprios de 284 são 1,

2, 4, 71, 142 cuja soma é 220” (EVES, 2 004, p. 98).

Nota dó dó# ré ré#

mi fá fá# sol sol# la lá# si dó

escala

acima

Escala

temperada

1

50

Figura 6 - Números triangulares

Fonte: EVES, 2 004, p. 100

Figura 7 – Números quadrados

Fonte: EVES, 2004, p. 100

Figura 8 – Números pentagonais

Fonte: EVES, 2004, p. 100

De acordo com as figuras 6, 7 e 8 se percebe que em todos os casos as sequências são

somas parciais dos primeiros termos de progressões aritméticas cujo primeiro termo é sempre

1 e cuja diferença ou razão entre os termos a partir do segundo é r , sendo r o número de lados

do polígono associado à sequência. Então r = 1 para os números triangulares, r = 2 para os

números quadrados, r = 3 para os números pentagonais e assim sucessivamente.

Podemos estender essas construções dos números figurados para três dimensões,

conforme figura 9:

51

Figura 9 - Números figurados em três dimensões

Fonte: SILVA, 2010, p. 71

Com o auxílio de uma simples figura geométrica os pitagóricos descobriram como

calcular a soma dos números naturais de 1 até n (figura 10).

Figura 10 – diagrama pitagórico 1

Fonte: GARBI, 2009, p. 31

Também por métodos geométricos os pitagóricos conseguiram explicar porque as

somas dos números ímpares, a partir de 1, são sempre quadrados perfeitos (figura 11).

Figura 11 - Diagrama pitagórico 2

Fonte: EVES, 2 004, p. 102

52

Utilizando o diagrama da figura 11, visualizamos que, a partir de 1, cada ímpar

consecutivo que se agrega àquelas somas sempre forma um novo quadrado em mais um

exemplo clássico de demonstração sem palavras. No quadro aritmético, temos:

1 = 1 = 1²

1 + 3 = 4 = 2²

1 + 3 + 5 = 9²

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6²

As figuras 10 e 11 mostram que mesmo sem o uso da álgebra os pitagóricos

dominavam os métodos para somar algumas progressões aritméticas.

2.3.3 Outros contribuintes gregos

O grego Diofanto de Alexandria (século III d. C) também exerceu grande influência

no estudo da teoria dos números e contribuiu para o desenvolvimento da álgebra. Na obra

Aritmética apresenta dois problemas envolvendo progressões:

Problema 7: “encontre três números em progressão aritmética sabendo-se que a soma

de dois quaisquer deles é um quadrado”.

Problema 35: encontre três números em progressão geométrica de maneira que a

diferença dentre dois quaisquer deles é um quadrado.

Outro contribuinte nos estudos das sequências foi o filósofo grego Zenão de Eléa que

viveu por volta de 450 a. C., e escreveu um livro com 40 paradoxos26

relativos ao contínuo e

ao infinito. Pelo menos quatro dos paradoxos influenciaram o desenvolvimento da

Matemática para explicar os fenômenos relevantes. Infelizmente, o livro não sobreviveu até

os tempos modernos, assim conhecemos estes paradoxos a partir de outras fontes.

Dentre os paradoxos criados por Zenão tem-se o paradoxo de Aquiles e da tartaruga:

Aquiles vai competir com uma tartaruga numa extensão, digamos, de 100 metros. Uma vez

que Aquiles é capaz de correr a uma velocidade dez vezes superior, à da tartaruga, é dado um

avanço de 10 metros à tartaruga. Dá-se início à corrida e Aquiles começa a perseguir a

tartaruga. Durante o tempo que Aquiles demorou a percorrer 10 metros necessários para

26

Conceito que é ou parece contrário ao senso comum. Aplicação que vai de encontro a sistemas ou

pressupostos que se impuseram como incontestáveis ao pensamento (FERREIRA, 2005, p. 608).

53

atingir o ponto de onde a tartaruga tinha partido, a tartaruga tinha avançado exatamente 1

metro e, por isso, encontrava-se à sua frente. Depois de Aquiles ter percorrido esse metro, a

tartaruga encontra-se dez centímetros a sua frente. Quando Aquiles atinge esse ponto, a

tartaruga encontrava-se a 1 centímetro à frente. E por aí adiante até o infinito. A

argumentação continua, a tartaruga mantém-se sempre à frente, embora a distâncias cada vez

menores; Aquiles nunca conseguirá ultrapassar a sua adversária e ganhar a corrida (DEVLIN,

2002). Tal paradoxo pressupunha que a soma de uma infinidade de pequenas distâncias

deveria ser infinita (ou que o tempo do parceiro seria infinito) e aí está o erro.

Devlin (2002) afirma que esse paradoxo constituía desafios às tentativas diárias de

apresentação analítica do espaço, do tempo, do movimento, desafios que os próprios gregos

não conseguiam enfrentar.

Os paradoxos de Zenão sobre o movimento desconcertaram matemáticos por séculos.

No final eles envolvem a soma de um número infinito de termos positivos a um número

finito, o qual é a essência da convergência de uma série infinita de números.

Além de Zenão, vários matemáticos gregos da antiguidade trabalharam com

sequências. Arquimedes (287 - 212 a.C.) alcançou vários resultados proeminentes envolvendo

áreas e volumes de várias figuras e sólidos. Na verdade, ele construiu vários exemplos e

tentou explicar como somas infinitas poderiam ter resultados finitos. Dentre seus vários

resultados estava que a área sob um arco parabólico é sempre dois terços da base vezes a

altura. Seu trabalho não foi tão completo ou rigoroso, como daqueles matemáticos que vieram

depois e desenvolveram sequências e séries como Newton e Leibniz, mas foi tão

impressionante quanto. Embora Arquimedes tenha sido interrompido pela falta de precisão e

notação eficiente, foi capaz de descobrir muitos dos elementos da análise moderna de

sequências e séries.

Segundo Devlin (2002) foi somente no final do século XIX, época em que os

matemáticos enfrentaram o infinito matemático, é que foram encontradas soluções

satisfatórias para o paradoxo de Zenão, descobriu-se que séries infinitas convergem para

valores finitos.

Descobrir formas de descrever e lidar com a infinidade representou a chave para o

eventual desenvolvimento de um tratamento matemático do movimento e da mudança.

Tomemos, por exemplo, o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, apresentado por Zenão, este

poderá ser eliminado a partir do momento que se tenha uma maneira de lidar com o padrão

envolvido. Os valores que representam o avanço da tartaruga em relação a Aquiles em cada

54

fase do problema em análise são (em metros): 10, 1, 1/10, 1/100, 1/1000 + ... (note que essa

sequência é uma progressão geométrica).

Por isso, o paradoxo depende do que fizermos da “soma” infinita, significando os três

pontos que esta “adição” continua indefinidamente, de acordo com o padrão indicado. Não há

hipótese de, na realidade, adicionar todos os termos infinitos desta “adição”. Fato que leva a

escrever a palavra “adição entre aspas”. Então, para evitar essa contínua utilização de aspas,

os matemáticos se referem a essas “adições” infinitas como séries ou sucessões infinitas

(DEVLIN, 2002).

2.4 LEONARDO DE PISA (FIBONACCI)

Percebemos que as sequências até aqui apresentadas possuem uma regularidade, ou

seja, há uma constante na sua construção, cujos termos são escritos em intervalos iguais.

Entretanto, nem todas as sequências Matemáticas são escritas segundo a regularidade

observada, podemos recorrer a um dos problemas de Leonardo de Pisa (Fibonacci)27

. O livro

mais difundido de Fibonacci se refere a um tratado de aritmética e álgebra elementar – Liber

Abaci (Livro do Ábaco ou Livro do Cálculo, escrito em 1202). No capítulo 12 desse livro são

apresentados vários problemas, sendo o mais famoso deles dentre todos os tratados por

Fibonacci o seguinte: Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano, começando com

um só par, se cada mês cada par gera um novo par que se torna produtivo a partir do

segundo mês? (CONTADOR, 2008, p. 451).

O referido problema está relacionado a uma das mais importantes descobertas

Matemáticas. De acordo com o enunciado começamos com um par jovem, posteriormente ao

primeiro mês, esse par já está adulto e fértil. No segundo mês, esse primeiro procriará outro

par, ficando com dois pares. No terceiro mês, o par adulto procriará outro par jovem,

enquanto o par de filhotes se torna fértil, portanto ficamos com três pares. No quarto mês,

cada um dos dois pares adultos procriará um par jovem e o terceiro par se torna adulto e fértil.

Podemos visualizar essa ideia na tabela 3:

27

Leonardo de Pisa ou Fibonacci nasceu em Pisa na Toscânia, por volta de 1175. No começo do século XII Pisa

era um dos grandes centros comerciais italianos, tais como Gênova e Veneza, e tinha vários entrepostos

comerciais espalhados pelos pontos do Mediterrâneo. Desse modo, Fibonacci viajou pelo Mediterrâneo (Egito,

Síria, Grécia, Sicília, Proença), onde o sistema de numeração hindu já era bastante usado, adquirindo

conhecimentos do mundo árabe com estudiosos de cada lugar que frequentava. De acordo com Garbi (2009),

Fibonacci entrou em contato com métodos algébricos árabes e os numerais indo-arábicos, conheceu a obra de

Al- Khwarismi e assimilou diversas informações aritméticas e algébricas.

55

Tabela 3 – Procriação de coelhos

Quantidade

de meses

Quantidade

de casais

1 1

2 1

3 2

4 3

5 5

6 8

7 13

⋮ ⋮

Fonte: os pesquisadores

Observe que da solução do problema deriva a sequência:

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...)

Essa sequência foi chamada de sequência de Fibonacci pelo matemático francês

Edouard Lucas somente no século XIX (GARBI, 2009).

Sequências de números nas quais as relações entre termos consecutivos podem ser

expressas por uma fórmula Matemática são conhecidas como recursivas. Garbi (2009) afirma

que a sequência de Fibonacci foi a primeira dentre as sequências recursivas a ser conhecida na

Europa. Essa sequência pode ser representada por: Fn + 2 = Fn + 1 + Fn, sendo, de acordo com

Garbi (2009), introduzida por Albert Girard em 1 634.

Curiosamente se dividirmos cada termo dessa sequência, a partir de 21, pelo seu

antecessor obteremos aproximadamente o número 1,618, o famoso número de ouro da

Matemática grega.

Além da reprodução de coelhos a sequência de Fibonacci possui outras aplicações.

Tem relevância em estudos da Biologia, da Botânica e da Física. É aplicada, por exemplo, em

estudos na distribuição de folhas sobre o caule ou fitolaxia e crescimento orgânico. Surge

também em diversos fenômenos naturais, determina a proporção entre abelhas machos e

fêmeas nas colmeias, a distribuição de folhas nos ramos de algumas plantas. E ainda, consta

em todas as flores que possuem cinco pétalas ou um número múltiplo de cinco

(CONTADOR, 2008).

56

Figura 12 – Vegetal Achíllea Ptarmica

Fonte: LOPES, 2007, p.100

Conforme apontamos anteriormente, desde os tempos dos pitagóricos, sabia-se que a

soma dos n primeiros números ímpares é:

1 + 3+ 5 + 7 + 9 + 11+ ... (2n -1) = n²

Garbi (2009) afirma que Fibonacci organizou essa sequência, de acordo com a figura

13.

Figura 13 – Sequência organizada por Fibonacci

Fonte: GARBI, 2009, p. 151

Podemos observar que existe um número ímpar na primeira linha, na segunda os dois

seguintes, na terceira os três seguintes etc., e, de um modo geral, na enésima linha n números

ímpares.

Há indícios de que os gregos tinham conhecimentos desses métodos, mas foi por

raciocínios como esse, e tudo o mais que realizou que Leonardo veio a ser considerado o

maior matemático da Idade Média.

57

2.5 KARL FRIEDERICH GAUSS

Parece que o termo progressio apareceu pela primeira vez com o significado de

operação (adição de sequências particulares), no Tratactus de arte numerandi de J. Holiwood,

também conhecido como Sacrobosco, escrito por volta de 1249 e publicado em 1488. Porém

vimos até o momento que a adição de algumas progressões aritméticas foi realizada pelos

pitagóricos, Diofante, Fibonacci entre outros.

Em relação à adição dos termos de uma P.A., existe também um conhecido caso que

ocorreu com o alemão Karl Friederich Gauss (1777-1855). Devlin (2002) descreve que o

professor de Gauss tinha pedido aos alunos para adicionarem todos os números de 1 a 100. É

presumível que o objetivo do professor era manter os alunos entretidos durante certo tempo,

para que pudesse se ocupar de outro assunto, mas para a sua infelicidade, Gauss descobriu

rapidamente o seguinte raciocínio para obter a solução:

Escreveu duas vezes o enunciado da soma, uma pela ordem crescente e outra pela

ordem decrescente: 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100

100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1

Posteriormente adicionou as duas somas, coluna a coluna, que resulta em:

101 + 101 + ... + 101 + 101.

Observe que nesta soma o número 101 aparece exatamente 100 vezes, assim, o seu

valor é: 100 . 101 = 10 100. Este produto representa o dobro da resposta à soma original,

Gauss dividiu esse resultado ao meio e obteve a resposta que o professor pretendia, ou seja,

5050.

A estratégia de Gauss funciona para qualquer número n e não apenas para o número

100. De modo geral, se escrever a soma de 1 a n tanto na ordem crescente como decrescente,

e adicionar as duas somas, coluna a coluna, obterá n vezes o número n + 1 , que fornece um

total de n(n + 1). Dividindo ao meio este total, obtém-se: 1 + 2 + 3 + ... + n = n (n + 1)/2. Esta

fórmula fornece o padrão geral de que a descoberta de Gauss representava apenas um caso

especial.

2.6 PROGRESSÕES: OUTRAS RELAÇÕES

Outro conhecimento sobre progressões consta no livro Le Triparty en la Science des

Nombres de Nicolas Chuquet (1 484), que trata de uma relação existente entre P.A. e P.G.

58

Vejamos como essa relação funciona na multiplicação, conforme a tabela 4.

Tabela 4 – Relação entre P.A. e P. G.

P. A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ...

P. G. 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 ...

Fonte: os pesquisadores

Considerando a P.G. descrita na tabela 4, temos que 2 . 8 = 16. Podemos representar

os fatores desse produto como potências de base 2, ou seja, 2 = 2¹ e 8 = 2³. Substituindo esta

outra forma de representação na igualdade inicial e utilizando a propriedade de potência

(produto de potência de mesma base, bm

. bn = b

m + n ), obtemos:

2 . 8 = 16 2¹ . 2³ = 16 21 + 3

=16

Nesse caso, o elemento 2 da P. G. corresponde ao número 1 da P.A. e o elemento 8 da

P.G. corresponde ao número 3 da P.A. Isto equivale dizer que o logaritmo de 2 na base 2 é

igual a 1; e o logaritmo de 8 na base 2 é igual a 3.

Em 1544 o alemão Michael Stifel estendeu essa correspondência para números

negativos e fracionários. É oportuno destacar que apesar de Chuquet e Stifel terem observado

essa correspondência, seu uso prático só foi realizado pelo matemático escocês John Napier

(por volta de 1594), com interesse em facilitar cálculos para serem utilizados em problemas

astronômicos. Posteriormente o matemático William Oughtred (1638) se apoiou nessa tábua e

inventou a régua de cálculo. Fato que representou um caminhar rumo à calculadora e à

construção de computadores.

As progressões representam também uma importante ferramenta, pois uma das suas

aplicabilidades se encontra em situações relacionadas à Matemática Financeira. Os juros

simples podem ser associados às progressões aritméticas e os juros compostos estão

diretamente ligados às progressões geométricas, sendo relacionadas à ideia de taxa de

crescimento e decrescimento.

Além dos referidos fatos históricos, existem outros que não citamos neste texto,

optamos por não apresentá-los, pois a nossa intenção é apresentar uma história sucinta e que

nos dê suporte nos estudos, tendo em vista que alguns episódios históricos são descritos em

livros didáticos. Embora não tenhamos aprofundado nos estudos históricos das progressões,

foi possível constatar a importância que as sequências exerceram para a Matemática no

decorrer dos tempos.

CAPÍTULO III

3 ESCOLHAS TEÓRICAS: GENERALIZAÇÃO DE PADRÕES, TEORIA

ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO E OS JOGOS DE QUADROS

Discorremos sucintamente neste capítulo a respeito da importância do processo de

generalização de padrões no desenvolvimento do pensamento algébrico, sendo o processo de

generalização uma das recomendações dos documentos oficiais, e assim, compreende um dos

aspectos a ser observado nos estudos dos livros didáticos.

Adotamos a Teoria Antropológica do Didático proposta por Chevallard (1999), mais

especificamente as praxeologias, cuja teoria foi pertinente aos nossos estudos, pois nos

forneceu elementos para realizarmos a análise dos livros didáticos selecionados e

consequentemente as informações obtidas conduziu a responder o problema da nossa

pesquisa.

Complementamos essa teoria com base na teoria dos jogos de quadros propostos por

Douady (1992).

3.1 A IMPORTÂNCIA DA GENERALIZAÇÃO DE PADRÕES PARA A EDUCAÇÃO

ALGÉBRICA

De acordo com as Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros

Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCN+), os conteúdos matemáticos podem ser

sistematizados nos três seguintes eixos ou temas estruturadores, desenvolvidos de forma

concomitante nos três anos do Ensino Médio:

1. Álgebra: números e funções

2. Geometria e medidas

3. Análise de dados

As progressões aritméticas e geométricas, objetos de nosso estudo fazem parte do

tema estruturador Álgebra: números e funções.

Fiorentini, Miguel e Miorim (1993) descrevem três concepções de Educação

Algébrica: concepção linguístico-pragmática, fundamentalista-estrutural e fundamentalista-

analógica.

Segundo os autores a concepção linguístico-pragmática predominou quase que

hegemonicamente no século XIX e primeira metade do século XX. Nessa concepção

“prevalece a crença de que a aquisição, ainda que mecânica, das técnicas requeridas pelo

60

transformismo algébrico28

seria necessária e suficiente para que o aluno adquirisse a

capacidade de resolver problemas” (FIORENTINI; MIGUEL; MIORIM, 1993, p. 83). Deste

modo, o transformismo algébrico seria como um pré-requisito, a uma álgebra aplicada.

Com o Movimento da Matemática Moderna, o qual contradisse a concepção

linguístico-pragmática, surgiu outra concepção, designada por Fiorentini, Miguel e Miorim

(1993) como fundamentalista-estrutural. Nesta nova concepção, a álgebra desempenha a

função de fundamentar os vários campos da Matemática escolar. Há uma preocupação em

fundamentar o transformismo algébrico, sendo essa fundamentação de natureza lógico-

estrutural.

Outra concepção é a fundamentalista-analógica que resume as duas concepções

anteriores, a qual procura recobrar o valor instrumental da álgebra e manter o caráter

fundamentalista. “Essa nova forma de justificar baseia-se, na maioria dos casos, em recursos

analógicos geométricos e, portanto, visuais” (Idem). A fundamentação é preponderantemente

geométrica.

Fiorentini, Miguel e Miorim (1993) afirmam que ambas as concepções de Educação

Algébrica reduzem o pensamento algébrico à linguagem algébrica. Enfatizam a linguagem e

não priorizam a construção do pensamento algébrico.

Esses autores alegam que existem formas diversificadas de expressar o pensamento

algébrico. É necessário repensar a Educação Algébrica no sentido de aproximar pensamento e

linguagem. Acrescentam ainda que pensamento algébrico é um tipo especial de pensamento

que:

Pode expressar-se através da linguagem natural, através da linguagem aritmética,

através da linguagem geométrica ou através da criação de uma linguagem específica

para esse fim, isto é, através de uma linguagem algébrica, de natureza estritamente

simbólica (FIORENTINI; MIGUEL; MIORIM, 1993, p. 88).

Fiorentini, Miguel e Miorim (1993) recomendam a percepção de regularidades com o

procedimento de generalização como perspectiva para o desenvolvimento do pensamento

algébrico. Outros autores como Mason (1996); Ponte, Brocardo e Oliveira (2009); Vale et al

(2005); Lins e Gimenez (2005) também consideram o processo de generalização como um

dos elementos caracterizadores do pensamento algébrico.

28

A expressão transformismo algébrico é usada para “designar o processo de obtenção de expressões algébricas

equivalentes mediante o emprego de regras e propriedades válidas” (FIORENTINI, MIGUEL e MIORIM, 1993,

p. 83).

61

Lins e Gimenez comentam que

Um aspecto chave dessa abordagem [...] é que a tendência letrista é de certa forma

compensada por uma preocupação com a linguagem algébrica como meio de

expressão, e não apenas como objeto a que se aplicam diversas técnicas” (LINS;

GIMENEZ, 2005, p. 111).

Um componente propício para a elaboração de atividades de generalização é a

exploração de padrões29

. Devlin (2002, p. 9) afirma que hoje prevalece entre a maior parte dos

matemáticos a ideia de que: “a Matemática é a ciência dos padrões”. De acordo com o mesmo

autor o que o matemático faz é “examinar padrões abstratos, padrões numéricos, padrões de

formas, padrões de movimento, padrões de comportamento, etc” (Idem).

Vale et al (2005) afirmam que o interesse pela Matemática está cada vez mais

reduzido, do mesmo modo também há um declínio na capacidade Matemática dos alunos. Na

maioria das vezes, a Matemática é vista pelos alunos como uma “mera coleção de

procedimentos a aprender” (VALE et al, 2005, p. 5). Nesse contexto, ressaltam que o uso de

padrões é um importante componente da atividade humana, isto é, permite conjecturar e

generalizar.

Vale et al (2005) se respaldam em Orton (1999) que se baseou em pesquisas sobre

investigações com o uso de exploração de padrões para afirmar que os padrões propiciam aos

estudantes:

Experimentar a utilidade da Matemática;

Desenvolver o raciocínio matemático, tornando-se bons para resolver problemas;

Desenvolver o conhecimento sobre novos conceitos;

Melhorar a compreensão no sentido do número, da álgebra e de conceitos

geométricos.

O estudo de padrões inclui as progressões aritméticas e geométricas, as quais

envolvem o estudo de funções, cuja essência é a correspondência unívoca que se estabelece

entre dois conjuntos.

29

Quando nos confrontamos com o termo padrão, pensamos, de imediato, em padrões visuais tais como os que

se vêem nos tecidos, papel de parede e peças de arte. Mas o conceito de padrão não se esgota apenas nestes

exemplos.

Mais genericamente, padrão é usado quando nos referimos a uma disposição ou arranjo de números, formas,

cores ou sons onde se detectam regularidades (VALE et al, 2005, p.1).

62

Baseado no Principles and Standards for school mathematics (NCTM, 2000) Vale et

al (2005) comentam que o trabalho com padrões fundamenta a compreensão do conceito de

funções30

e proporciona os fundamentos para lidar com símbolos e expressões algébricas.

Desenvolver o pensamento algébrico implica desenvolver não só a capacidade de

trabalhar com o cálculo algébrico e as funções, como a capacidade de lidar com estruturas

Matemáticas, relações de ordem e de equivalência, aplicando-as tanto na Matemática

(interpretando e resolvendo problemas), como em outras áreas de conhecimento.

3.2 TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO

O francês Yves Chevallard desenvolveu a noção de transposição didática31

com o

intuito de distinguir os diversos saberes compreendidos no processo ensino-aprendizagem.

A teoria da transposição didática tem a finalidade de fazer uma análise epistemológica

do saber sob o ponto de vista didático fundamentalmente em termos de objetos de saber

(ALMOULOUD, 2010). Estes objetos são classificados, com base nas ideias de Chevallard

em:

paramatemáticos: são ferramentas usadas para descrever e estudar outros objetos

matemáticos;

matemáticos: além de instrumentos úteis para estudar outros objetos matemáticos,

tornam-se úteis em si mesmos;

protomatemáticos, que apresentam propriedades utilizadas para resolver alguns

problemas, sem contudo adquirir o status de objeto de estudo ou de ferramenta para

estudo de outros objetos (ALMOULOUD, 2010, p. 113).

As restrições dessa classificação da teoria da transposição didática levaram Chevallard

a desenvolver a Teoria Antropológica do Didático (TAD), que considera os aspectos

utilizados na classificação da teoria da transposição didática com a inserção de outros

elementos. Na TAD o autor “situa a atividade Matemática e, portanto, a atividade de estudo

30

A ideia de função está relacionada à necessidade do ser humano de “registrar regularidades observadas em

fenômenos e generalizar leis ou padrões” (TINOCO, 2004, p. 32). 31

Um conteúdo do conhecimento, tendo sido designado como saber a ensinar, sofre então um conjunto de

transformações adaptativas que vão torná-lo apto a tomar lugar entre os objetos de ensino. O trabalho que, de um

objeto de saber a ensinar faz um objeto de ensino, é chamado de transposição didática (CHEVALLARD, 1991

apud PAIS, 2008, p. 19).

63

em Matemática, em todas as atividades humanas e as instituições sociais” (CHEVALLARD,

1999, p.1, tradução nossa)32

.

Nesta teoria os objetos matemáticos são considerados como entidades que surgem de

sistemas de práticas que existem nas instituições. Entretanto, quando nos referimos a uma

prática devemos observar em que instituição está atrelada, perante esta vinculação existe a

necessidade de um discurso que justifica a prática ali desempenhada.

Neste contexto Chevallard (1999) organizou uma Antropologia Didática, em que o

objeto de estudo é a didática. Didático é “... aquilo que está relacionado com o estudo e com a

ajuda para o estudo da Matemática” (CHEVALLARD; BOSH; GASCÓN, 2001, p.46).

Assim, “a didática da Matemática é definida, portanto, como a ciência do estudo da

Matemática” (Idem).

Chevallard e Bosch (1999) ressaltam que o objeto de estudo que permite caracterizar a

didática da Matemática como ciência não está centralizada no estudo do aluno, nem do

professor, mas do saber matemático que eles pretendem trabalhar em conjunto, isto é, a partir

de uma análise detalhada deste saber, é possível estabelecer um projeto comum de atividades

a realizar.

Na Teoria Antropológica do Didático, Chevallard (1999) destaca três elementos:

instituições (I), pessoa (X) e as posições que as pessoas ocupam nas instituições. A palavra

instituição, nesta teoria, tem um significado mais amplo que o uso corrente. Ela pode ser: uma

escola, uma sala de aula, um livro, também existe a instituição “trabalho orientado”, a

instituição “curso” e a instituição “família”.

Na visão de Chevallard (1999), o que determina a existência de uma instituição é a

posição que as pessoas ocupam, tornando-se sujeitos ativos das instituições. O conhecimento

– o saber (O) entra em jogo com a noção de relação entre os principais elementos (instituição,

objeto do saber e pessoa) da teoria.

3.2.1 Praxeologias

A Teoria Antropológica do Didático tem como postulado básico que toda atividade

humana regularmente realizada pode ser descrita por um modelo, o qual Chevallard (1999)

descreve como praxeologias. Ou seja, ao procurar compreender o que é um objeto, é preciso

32

La TAD sitúa la actividad matemática, y en consecuencia la actividad del estudio en matemáticas, en el

conjunto de actividades humanas y de instituciones sociales.

64

buscar que tipos de tarefas e técnicas compõem as praxeologias institucionais em que ele

intervém e que tecnologias e teorias permitem justificar as práticas existentes por meio de um

discurso sobre este objeto.

Chevallard, Bosch e Gascón (2001) ressaltam que

Na atividade Matemática, como em qualquer outra atividade, existem duas partes, que

não podem viver uma sem a outra. De um lado estão as tarefas e as técnicas e, de

outro, as tecnologias e teorias. A primeira parte é o que podemos chamar de “prática”,

ou em grego, a práxis. A segunda é composta por elementos que permitem justificar e

entender o que é feito, é o âmbito do discurso fundamentado – implícito ou explícito –

sobre a prática, que os gregos chamam de logos (CHEVALLARD; BOSCH;

GASCÓN, 2001, p. 251).

Neste contexto, existe um processo dialético entre a práxis e logos, permitindo formar

as Praxeologias Matemáticas.

Chevallard (1999) enfatiza que em qualquer prática institucional podemos traduzi-la

em forma de tarefa, na qual a realização decorre a partir de técnicas que são justificadas por

uma tecnologia que por sua vez é defendida por um discurso teórico.

3.2.1.1 Tipos de tarefas

Na noção de praxeologia identificamos as noções de tarefa (t) e tipo de tarefa

(T). Quando uma tarefa t é parte de uma tarefa T, se escreverá t ∈ T.

A noção de tarefa, ou melhor, o tipo de tarefa, supõe um objeto relativamente

preciso. Por exemplo, subir uma escada é um tipo de tarefa, mas subir não, pois não explicita

o que é para subir. Da mesma forma, calcular a soma de uma progressão aritmética é um tipo

de tarefa, mas somente “calcular” não. Chevallard (1999) classifica “subir”, “calcular” como

gêneros de tarefas. Segundo Chevallard:

Especificamente, um gênero de tarefa só existe na forma de diferentes tipos de

tarefas, cujo conteúdo está intimamente especificado. Calcular não é um tipo de

tarefa, mas o cálculo do valor (exato) de uma expressão numérica que contém um

radical é um tipo de tarefa, como calcular o valor de uma expressão que contém a

letra x, onde x é um valor determinado. Durante os anos de escolaridade, o gênero

calcular é enriquecido com novos tipos de tarefas. Ocorrerá o mesmo na escola aonde

os alunos em primeiro lugar aprendem a calcular com vetores, depois, mais tarde,

calcular uma integral, por exemplo. E isso vai se repetir, evidentemente, com os

gêneros Demonstrar..., Construir..., ou também Expressar... em função de...

(CHEVALLARD, 1999, p. 221, tradução nossa)33

.

33

Concretamente, un género de tareas no existe más que bajo la forma de diferentes tipos de tareas, cuyo

contenido está estrechamente especificado. Calcular... es, se ha dicho, un género de tareas; pero calcular el valor

65

Chevallard (1999) complementa as ideias afirmando que tarefas, tipos de tarefas, não

são naturais, são "artefatos", "obras", construções institucionais. Essa construção é objeto da

didática.

3.2.1.2 Técnica

Seja então T um tipo de tarefa dada. Uma praxeologia relativa a T requer (em

princípio), uma maneira de realizar as tarefas t Є T. A uma determinada maneira de realizar a

tarefa Chevallard (1999) denomina de técnica (do greco tekhnê, saber-fazer). De acordo com

o autor

Uma praxeologia relativa a um tipo de tarefa T contém então em princípio uma técnica

(ô) relativa à T. Ela compõe assim um bloco denotado por [T/ ô], esse é o bloco

chamado de prático-técnico e é identificado como um saber-fazer. Deste modo, certo

tipo de tarefa T, corresponde a certa maneira (ô) de resolver as tarefas desse tipo

(CHEVALLARD, 1 999, p. 223, tradução nossa)34

.

Nessa perspectiva, Chevallard (1999) evidencia três pontos importantes:

Primeiramente um tipo de técnica (ô) - uma maneira de fazer - pode somente concluir

uma parte do tipo de tarefa T da qual ela é relativa. Parte que constitui a técnica ô pode não

ser suficiente para realizar T, por isso tende a fracassar sobre T.

Outro fator decorre de que uma técnica não é necessariamente algorítmica ou quase

algorítmica. Ela é algorítmica em alguns casos. Por exemplo: pintar uma paisagem é um tipo

de tarefa para a qual não existe necessariamente uma técnica algorítmica. No entanto, parece

existir uma tendência geral de algoritmização – mesmo que o processo da evolução da técnica

pareça às vezes estanque em certa instituição, quando se trata de certo tipo de tarefa ou de um

conjunto de um tipo de tarefas.

Enfim, dada uma instituição I, e a finalidade de um determinado tipo de tarefa T,

há uma técnica em geral, ou, pelo menos, um pequeno número de técnicas institucionalmente

(exacto) de una expresión numérica conteniendo un radical es un tipo de tareas, lo mismo que calcular el valor

de una expresión conteniendo la letra x cuando se da a x un valor determinado. Durante los años de colegio, el

género calcular... se enriquece de nuevos tipos tareas; ocurrirá lo mismo en el instituto, donde el alumno va en

primer lugar a aprender a calcular con vectores, después, más tarde, a calcular una integral o

una primitiva, etc. Y se repetirá lo mismo, por supuesto, con los géneros Demostrar ..., Construir ..., o también

Expresar ... en función de ... ( CHEVALLARD, 1 999, p. 222). 34

Una praxeología relativa al tipo de tareas T contiene pues, en principio, una técnica ô relativa a T. Contiene

así un “bloque” designado por [T/ô], que se denomina bloque práctico-técnico y que se identificará

genéricamente con lo que comúnmente se denomina un saber-hacer: un determinado tipo de tareas, T y una

determinada manera, ô, de realizar las tareas de este tipo.

66

reconhecido, com a possível exclusão de técnicas alternativas, que pode ser eficaz, mas em

outras instituições. Esta exclusão leva os atores de I a uma ilusão de naturalidade, torna-se

natural resolver as tarefas usando as técnicas previstas para a sua instituição. Assim os

sujeitos de I ignoram outras técnicas, ou, se eles são confrontados com técnicas alternativas

eles as olharão como artificiais e então contestáveis, inaceitáveis etc. Assim Chevallard

(1999) observa em sujeitos de uma instituição I verdadeiras paixões institucionais pelas

técnicas naturalizadas pela instituição.

3.2.1.3 Tecnologia

De acordo com Chevallard (1999) tecnologia θ é

Um discurso (logos) racional sobre a técnica (tékhne), tendo como principal finalidade

justificar “racionalmente” a técnica para assegurar que ela permita realizar as tarefas

do tipo T, isto é, realizar o que é pretendido. Esse estilo de racionalidade aplicado

varia no espaço institucional, e, em uma instituição dada, conforme a história dessa

instituição. Uma exige justificativas teóricas sistematizadas, outras aceitam exemplos

particulares e ou empíricos. De modo que uma racionalidade institucionalmente dada

poderá parecer... pouco racional em outra instituição (CHEVALLARD, 1 999, p. 224,

tradução nossa)35

.

Chevallard (1999) observa que em uma instituição I qualquer que seja o tipo de tarefa

T, a técnica ô relativa a T é sempre acompanhada frequentemente de vestígios de tecnologia

θ. Em inúmeros casos, certos elementos tecnológicos são integrados na técnica. O autor

observa também que existe em I uma técnica que em princípio é a única reconhecida e a única

empregada, confere a esta técnica uma característica de auto-tecnologia, ou seja, fazer desta

forma não precisa justificar, pois esta é a boa maneira de fazer nesta instituição.

Outra função da tecnologia é de explicar, de esclarecer a técnica. A função de

justificar a técnica consiste em garantir que ela forneça o resultado esperado.

3.2.1.4 Teoria

35

Un discurso racional – el logos- sobre la técnica -la tekhnê- ô, discurso cuyo primer objetivo es justificar

“racionalmente” la técnica ô, para asegurarse de que permite realizar las tareas del tipo T, es decir, realizar lo que

se pretende. El estilo de racionalidad puesto en juego varía por supuesto en el espacio institucional y, en una

institución dada, al filo de la historia de esta institución, de manera que una racionalidad institucionalmente dada

podrá aparecer... como poco racional en otra institución (CHEVALLARD, 1 999, p. 224).

67

O discurso, ou seja, a tecnologia são afirmações mais ou menos explícitas. São

proposições, definições, teoremas etc. Passamos assim, “a um nível superior de justificação-

explicação-produção, estamos no nível da teoria Θ. Esta retoma o papel da tecnologia com

relação à técnica” (CHEVALLARD, 1999, p.225, tradução nossa)36

. Assim, a teoria é o

discurso suficientemente amplo que serve para interpretar e justificar a tecnologia.

A teoria é a “tecnologia de sua tecnologia”. De alguma maneira, é o fundamento

último da atividade que vai além do que parece óbvio e natural, sem necessidade de nenhuma

justificativa (CHEVALLARD, 1999).

3.2.2 Praxeologias Pontual, Local e Regional

Chevallard e Bosch explicitam como a abordagem antropológica responde à questão

de modelagem das práticas sociais, de suas componentes e de seus produtos para a

Matemática. A esse respeito, os autores dizem que:

[...] Para a Matemática, considerada como atividade humana estruturada em

organizações praxeológicas, podemos dizer que elas nascem da problematização de

certos tipos de tarefas, logo vistas como tipos de problemas cujo estudo dá lugar à

construção de organizações praxeológicas locais. A articulação de algumas destas

praxeologias em torno de uma tecnologia comum permite formar organizações

regionais que, elas próprias, se articulam em organizações mais amplas até constituir o

que denominaremos, globalmente, “o saber matemático”. A descrição destas

organizações e o estudo de sua ecologia institucional estão no coração do programa de

estudo da didática das Matemáticas. (BOSCH; CHEVALLARD, 1999, p.87).

Com base nessas acepções, Almouloud (2010) aponta que no Ensino Médio, por

exemplo, a organização praxeológica pode ser: pontual, local e regional. Na nossa pesquisa,

podemos ter:

Organização praxeológica pontual relativo a um problema, por exemplo, de

progressão aritmética que responderia à seguinte questão “como resolver esse

problema”?

Organização praxeológica local, que versa sobre a resolução de diferentes tipos de

problemas de progressão aritmética.

36

Se pasa entonces a un nivel superior de justificación-explicación- producción, el de la teoria Θ, que retoma,

en relación a la tecnología, el papel que ésta última tiene respecto a la técnica (CHEVALLARD, 1999, p.225).

68

Organização regional, que envolve todo um campo da Matemática ensinada no Ensino

Médio, como por exemplo, as funções.

3.2.3 As Praxeologias Matemáticas ou Organizações Matemáticas e as Praxeologias Didáticas

ou Organizações Didáticas

Ao referir-se à atividade Matemática, Chevallard (1999) assinala dois tipos de

praxeologias ou organizações: as Praxeologias Matemáticas ou Organizações Matemáticas e

as Praxeologias Didáticas ou Organizações Didáticas.

Dado um tema de estudo matemático, se considerará consecutivamente: a realidade

Matemática que se pode construir, a qual Chevallard nomeia de Praxeologias Matemáticas ou

Organizações Matemáticas. A maneira em que pode ser construída esta realidade Matemática,

ou seja, o modo como pode ser realizado o estudo de um determinado tema é denominado

Praxeologias Didáticas ou Organizações Didáticas. Silva (2007) acrescenta que estudar uma

Organização Didática é o como estudar uma Organização Matemática desse tema,

identificando as ações que podem ser vistas como didáticas.

As Praxeologias Matemáticas ou Organizações Matemáticas, dizem respeito aos

objetos matemáticos em termos de tarefa, técnica, tecnologia e teoria as quais já foram

mencionadas.

Em síntese, de acordo com Chevallard (1999), a Teoria Antropológica do Didático

parte do princípio que toda obra, e toda obra Matemática em particular, surge como resposta a

uma questão ou conjunto de questões problemáticas. A resposta para essas questões se

materializa em um conjunto organizado de objetos ligados entre si por diversas relações.

Deste modo, a organização é um resultado final de uma atividade Matemática que apresenta

dois blocos inseparáveis: o bloco prático-técnico [T/ô] que compõe o saber-fazer e o bloco

tecnológico-teórico [/] que constitui o saber.

Chevallard, Bosch e Gascón (2001) asseguram que para elaborar uma praxeologia

Matemática é necessário também elaborar uma praxeologia didática. Considerando esse ponto

de vista, entendemos que ao analisar um livro didático, por exemplo, estamos verificando ao

mesmo tempo a organização Matemática e as técnicas didáticas que organizam estes livros

didáticos.

No que se refere às Praxeologias Didáticas ou Organizações Didáticas, Chevallard

(1999) explica que são respostas às questões do tipo: “Como estudar um objeto O?” Podemos

perguntar, por exemplo, como definir progressões aritméticas para alunos do Ensino Médio?

69

Que resposta dar a questão, como organizar o ensino de progressões aritméticas? Na busca de

respostas a essas indagações, outra questão se coloca: quais os tipos de tarefas aparecem

nestas Praxeologias Didáticas?

Como toda Organização Praxeológica, uma Organização Didática se articula em tipos

de tarefas, técnicas, tecnologias e teorias. Mas como descrever tal organização? Quais são,

por exemplo, os principais tipos de tarefas?

Para Chevallard (1999) qualquer que seja o caminho do estudo, certos tipos de

situações são necessariamente presentes. Tais tipos de situações são chamados pelo autor de

momentos de estudo ou momentos didáticos.

Em nossos estudos dos livros didáticos, investigamos a forma em que as obras

propõem as progressões aritméticas e geométricas, como organizam e apresentam os

conceitos, bem como os tipos de tarefas resolvidas e as tarefas propostas aos alunos, nos

fundamentado essencialmente na praxeologia de Chevallard.

Em uma Organização Didática, pode-se recorrer a diferentes caminhos da Matemática

para desenvolver um conteúdo, dentre eles o numérico, geométrico e algébrico. Tais caminhos

são denominados por Douady de quadros.

3.3 QUADROS E JOGOS DE QUADROS (JEAUX DÊS CADRES)

Segundo Almouloud (2010), a noção de jogos de quadros foi introduzida pela francesa

Régine Douady (1986) com a intenção de especificar algumas características importantes da

Matemática. Dentre essas características o autor faz referência “a capacidade de mudar de

ponto de vista, de traduzir um problema de um quadro para outro, com a finalidade específica

de mobilizar outras ferramentas na resolução, que não são as inicialmente encaminhadas”

(ALMOULOUD, 2010, p. 64).

Na concepção de Douady um quadro é

Constituído de ferramentas de uma parte da Matemática, de relações entre os objetos,

de formulações eventualmente diferentes e de imagens mentais associadas a essas

ferramentas e relações. Dois quadros podem ter os mesmos objetos e ser diferentes por

causa das imagens mentais e da problemática desenvolvida (DOUADY, 1993 apud

ALMOULOUD, 2010, p. 64).

70

Desse modo, Douady (1992) reconhece que a imagem mental desempenha um papel

importante no funcionamento como ferramenta dos objetos do quadro.

Assim, um mesmo objeto visto em quadros distintos, gera imagens mentais diferentes

que são necessárias para a compreensão desse objeto, pois a mudança de quadros permite a

mudança de ponto de vista. De acordo com a autora

A mudança dos quadros é uma forma de obter formulações diferentes para um

problema que, embora não sejam necessariamente equivalentes, proporcionam

caminhos diferentes para as dificuldades encontradas, com a disponibilização de

ferramentas e técnicas que não ocorreram na primeira formulação (DOUADY, 1992,

p. 389, tradução nossa)37

.

De acordo com a autora jogos de quadros são mudanças de quadros geradas por meio

da iniciativa do professor, que seleciona problemas apropriados que proporcionam a

aprendizagem dos alunos. Nos livros didáticos, as mudanças de quadros são propostas pelos

autores, que podem selecionar tarefas cuja resolução envolve os diferentes quadros, entre eles

podemos ter, por exemplo, os quadros numéricos, geométricos, algébricos.

Almouloud (2010) assegura que o quadro numérico corresponde aos números inteiros,

certas funções, números reais e as operações básicas para todas as etapas do estudo, qualquer

que seja o quadro considerado. O quadro geométrico envolve figuras geométricas, tais como,

cubos, quadrados, triângulos, ângulos, representação gráfica de uma função, dimensões,

perímetro e área, que podem ser utilizados diretamente na resolução ou no enunciado. O

quadro algébrico são as equações, incógnitas e soluções de uma equação.

Neste contexto, problemas que envolvem progressões aritméticas e geométricas

podem ser apresentados em diversos quadros da Matemática, como por exemplo: o numérico

por meio da elaboração de uma tabela, o geométrico com a construção de um padrão, por

meio do gráfico cartesiano que expressa o seu crescimento ou decrescimento ou o quadro

algébrico com a determinação da expressão algébrica que melhor representa o problema. Ou

ainda, um dado problema pode ser resolvido por meio da articulação dos diversos quadros.

Consideramos as acepções propostas por Douady (1992) para verificarmos se os jogos

de quadros são contemplados nas praxeologias apresentadas nos livros didáticos selecionados

para a nossa investigação. De tal modo, que os quadros numéricos, geométricos e algébricos

podem-se constituir em ferramentas que auxiliam na construção do pensamento algébrico.

37

Le changement de cadres est un moyen d'obtenir des formulations différentes d'un probléme qui, sans être

nécessairement tout à fait équivalentes, permettent un nouvel accés aux difficultés recontrées et la mise en

oeuvre d'outils et techniques qui ne s'imposaient pas dans la premiére formulation (DOUADY, 1992, p. 389).

CAPÍTULO IV

4 ANÁLISE PRAXEOLÓGICA DE LIVROS DIDÁTICOS

Este capítulo se refere aos estudos da Organização Didática, que incluem a parte

conceitual em livros didáticos, bem como as tarefas resolvidas e as tarefas propostas aos

alunos. Realizamos os estudos da Organização Matemática do objeto de estudo em questão

com relação ao bloco prático-técnico (que se constitui de tarefas e técnicas) e o discurso

tecnológico-teórico. Consideramos técnica a maneira de fazer uma tarefa e de bloco

tecnológico-teórico as justificativas que sustentam as técnicas realizadas.

De acordo com os nossos objetivos e o problema da investigação articulamos as

praxeologias expostas nas obras com as propostas dos documentos oficiais e os jogos de

quadros. Na discussão dos resultados dos estudos, verificamos se as intencionalidades

expostas nos livros didáticos condizem com as praxeologias presentes nos livros didáticos.

4.1 CRITÉRIOS PARA ANÁLISE

Para a realização dos estudos do capítulo referente às progressões aritméticas e

geométricas dos livros didáticos escolhidos para esta investigação estabelecemos alguns

critérios:

Critério 1 – Organização praxeológica: verificamos inicialmente as praxeologias

presentes nos livros didáticos, identificando as tarefas, técnicas e o discurso tecnológico-

teórico.

Critério 2 – Jogos de Quadros – Para cada tarefa estudada identificamos os quadros

de resolução, ou seja, o numérico, o algébrico e o geométrico, que constituem os jogos de

quadros propostos por Douady (1992).

Verificamos se as praxeologias estão em consonância com os documentos oficiais,

visto que tais documentos embasam o manual dos professores e os critérios do edital do

PNLEM (2009).

Inicialmente o nosso olhar se atém aos aspectos históricos apresentados no capítulo

referente às progressões. Outro aspecto diz respeito à associação das progressões aritméticas e

geométricas com o conteúdo funções, conforme sugestão dos PCN+ (2002). Observamos

72

também se as praxeologias expostas nos livros didáticos propõem a percepção de

regularidades para a generalização de padrões, que é uma das recomendações do PCNEM

(1999).

Para a verificação desses critérios, constituímos os estudos em quatro partes, cuja

disposição procede da própria organização dos livros didáticos que integram a investigação,

os quais sucedem de leituras preliminares. A seguir delineamos como realizamos os estudos

em cada uma dessas partes.

Parte 1 – Compreendem os aspectos históricos retratados em livros didáticos no

capítulo referente às progressões.

Parte 2 – Referem à parte conceitual, ou seja, tarefas voltadas à introdução de

conceitos.

A conceituação se refere:

A formulação, definições, o enunciado de proposições, o estabelecimento de conexões

entre os diversos conceitos, bem como a interpretação e a reformulação dos mesmos

sob diferentes aspectos. É importante destacar que a conceituação precisa é

indispensável para o êxito das aplicações (LIMA, 2001, p.1).

É conveniente notar que nesta parte verificamos todas as técnicas referentes a cada

tarefa proposta, as quais são apresentadas ao mesmo tempo, sem distinção dos livros. Após a

descrição das técnicas indicamos quais delas cada um dos livros adotam. Elegemos a

descrição da organização praxeológica dessa forma com o intento de evitar muitas repetições.

Parte 3: esta parte dos estudos se refere às tarefas resolvidas nas obras, com suas

respectivas técnicas e discurso tecnológico-teórico. Inicialmente identificamos dois tipos de

tarefas:

que trazem explícitas P.A/P.G. no enunciado;

que não explicitam P.A./P.G no enunciado.

A partir desses dois grupos emergiram outros, os quais dividimos em 3 blocos de

tarefas:

Bloco 1 – Limitadas ao próprio conteúdo

Bloco 2 – Conexões internas à própria Matemática

Bloco 3 – Tarefas de Aplicação – “A aplicação é o emprego de noções e teorias da

Matemática em situações que vão de problemas triviais do dia-a-dia a questões mais sutis

provenientes de outras áreas, quer científicas, quer tecnológicas” (LIMA, 2001, p. 1).

73

Parte 4: Pesquisamos na parte 4 as tarefas propostas aos alunos. Desenvolvemos essa

parte do mesmo modo que a parte 3, ou seja, as tarefas foram selecionadas atendendo aos três

blocos mencionados anteriormente.

Destacamos que consideramos tarefas propostas todos os exercícios que compõem

cada livro. No LD1 as tarefas estão distribuídas em três blocos: exercícios propostos,

atividades adicionais e questões de vestibulares. O LD2 traz os exercícios propostos e os

exercícios complementares. Quanto ao LD3 a distribuição é feita da seguinte maneira: elabore

a resolução, desenvolva a criatividade, exercícios complementares. E o LD4 procede a

organização didática por meio de exercícios e o recordando.

4.2 ASPECTOS HISTÓRICOS DAS PROGRESSÕES APRESENTADOS NOS LIVROS

DIDÁTICOS SELECIONADOS PARA ESTA PESQUISA

Averiguamos de que forma os aspectos históricos são apresentados nos livros didáticos

no capítulo referente às progressões, visto que estes integram a organização praxeológica dos

livros didáticos.

Verificamos no LD1 aspectos históricos referentes à sequência de Fibonacci em duas

partes distintas. O primeiro momento da organização didática do capítulo referente às

progressões é dado por meio de um texto que discorre sucintamente sobre as regularidades

que se encontram na natureza, como por exemplo, o formato das flores, dos gomos da casca

do abacaxi, ondas do oceano, as espirais das galáxias, as carapaças de caracóis, números de

descendentes numa família de coelho entre outras.

Posteriormente o autor menciona a página de abertura de outro capítulo do LD1, no

qual foi apresentada a sequência de Fibonacci por meio de uma tarefa para descobrir a lei de

formação dessa sequência. Embora não se refira à história dos números figurados, propõe

também nessa página de abertura do capítulo uma tarefa para encontrar a regra de formação

dos números triangulares e números quadrados. No final do capítulo, propõe como leitura o

problema dos coelhos, com sua respectiva resolução, conforme apresentamos anteriormente.

O LD2 também propõe a tarefa de resolver o problema dos coelhos. Nessa tarefa são

apresentados dados históricos sobre Fibonnaci e sugere que em grupo os alunos representem

os doze primeiros termos da sequência de Fibonacci e encontre a sua lei de formação.

O LD3 apresenta a contribuição de Fibonacci na página de abertura do capítulo que

trata das progressões, com abordagem sobre a influência do número de ouro na arquitetura e

74

na arte. Propõe no final do capítulo a leitura de um texto que mostra outras aplicações da

sequência de Fibonacci, como a colmeia e os talos de uma planta.

Outro aspecto histórico que os LD1, LD2 e LD4 apresentam se refere à soma que

Gauss resolveu. Essa história é mencionada nos LD1 e LD2 na introdução da soma de P.A. O

LD3 apresenta o evento Gauss na página de abertura do capítulo, contudo não explica o

procedimento utilizado para encontrar o resultado da soma.

Além disso, verificamos que o LD3 insere um texto informativo que aborda o

paradoxo de Zenão.

Constatamos que a inserção da história das progressões no LD1 é abordada como fator

motivacional e parece que há intenção em auxiliar a construção dos conceitos. No LD2 a

história também é dada com o mesmo enfoque. Quanto aos LD3 e LD4, a história tem aspecto

apenas motivacional, não há esclarecimento de como a sequência de Fibonacci é constituída e

nem o método utilizado por Gauss para somar a P.A, o texto é superficial.

Percebemos que esse recurso não está limitado apenas na descrição de fatos ocorridos

no passado ou à apresentação de biografias de matemáticos famosos. Pois os autores buscam,

quando possível estabelecer relações com suas aplicações na realidade. Na verdade, a história

das progressões é inserida na organização didática em um contexto, então, de certa forma

estão em conformidade com as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006).

Contudo, não podemos afirmar que elas possam vir a auxiliar na construção dos conceitos,

pois a história das progressões é somente um recurso dentre tantos outros existentes.

4.3 ANÁLISE DA CONCEITUAÇÃO EM LIVROS DIDÁTICOS: UMA ÓTICA

PRAXEOLÓGICA

Os estudos da conceituação advêm dos tópicos presentes nos livros didáticos

escolhidos pela pesquisa referentes ao trabalho com progressões aritméticas e geométricas.

Conforme o quadro exposto nas pp. 35-36, verificamos quais assuntos referentes à P.A e P.G.

são abordados nas obras. Assim, identificamos diversos tópicos, no entanto, preferimos

mantê-los na íntegra nos estudos dos livros didáticos. Deste modo, podemos ter uma visão

mais ampla para respondermos o problema da nossa pesquisa: como os livros didáticos do

primeiro ano do Ensino Médio propõem o estudo das progressões aritméticas e geométricas?

Em estudos preliminares percebemos que as obras selecionadas para esta investigação

realizam tarefas para introduzir cada um dos tópicos do capítulo que trata de P.A. e P.G. Para

realizar os estudos da organização praxeológica, buscamos cada tarefa proposta, suas

75

respectivas técnicas e discurso tecnológico-teórico, com a perspectiva de responder questões

sobre como realizar o estudo de um determinado tópico. Deste modo, os estudos das

organizações praxeológicas da primeira parte da pesquisa decorrem das seguintes

situações38

:

C1: como formular a definição de sequências numéricas finitas e infinitas e como determinar

a lei de formação de uma sequência?

C2: como construir o conceito de progressão aritmética e como deduzir a fórmula do termo

geral de uma P.A.?

C3: como é proposta a interpretação geométrica de uma P.A.?

C4: como é proposta a interpolação aritmética de uma P.A?

C5: como são demonstradas as propriedades de uma P.A?

C6: como é proposta a soma dos termos de uma P.A?

C7: como conceituar progressões aritméticas de segunda ordem?

C8: como construir a definição de progressão geométrica e como determinar o termo geral de

uma P.G?

C9: como é feita a interpretação geométrica de uma progressão geométrica?

C10: como fazer a interpolação geométrica de uma P.G?

C11: como obter a soma dos n primeiros termos de uma P.G. finita?

C12: como conceituar o limite da soma dos infinitos termos de uma P. G.?

Passamos a descrever os estudos de cada situação da parte conceitual, cujas tarefas

sucedem das situações citadas anteriormente. Convencionamos que cada tarefa da parte

conceitual está denominada por TC1, que é relativa a C1; TC2 relativa a C2 e assim

sucessivamente.

É conveniente notar que nesta parte da análise praxeológica, verificamos todas as

técnicas referentes a cada situação proposta, as quais são apresentadas ao mesmo tempo, sem

distinção dos livros. Após a descrição das técnicas indicamos quais delas cada um dos livros

adotam. Optamos por descrever a organização praxeológica dessa forma com o intento de

evitar muitas repetições.

TC1: formular a definição de sequências e determinar a lei de formação de uma sequência.

Técnica 1: articulação de situações da vida diária em que surge a ideia de sequência.

38

Designadas por nós pela letra C, por se tratar de conceitos.

76

Técnica 2: observação de números colocados numa certa ordem, com ideia de termos

sucessivos.

Técnica 3: associação de sequências com funções.

Técnica 4: representação do 1º termo por a1, segundo termo por a2, e assim sucessivamente

até o termo de ordem n ou enésimo termo (an).

Técnica 5: determinar uma sequência pelo termo geral

Técnica 6: determinar uma sequência por recorrência

Quadros empregados em TC1: numérico e/ou algébrico.

A técnica 1 é apresentada em todos os livros. O LD1 relaciona sequências com os

anos, nos quais a copa do mundo foi realizada, a partir de 1990. O LD2 articula com a

classificação final da VI Copa América de basquete feminino. O LD3 considera a temperatura

do ar, durante um período do dia. O LD4 relaciona sequência com a ordem cronológica do

aparecimento de um cometa.

A partir das sequências apresentadas, o LD1, o LD3 e o LD4 passam a observar que os

números estão colocados numa certa ordem (técnica 2), os quais são chamados termos da

sequência.

A técnica 3 só é apresentada no LD2, por meio da associação da posição de cada país

em um diagrama de flechas (figura 14), indicando por A o conjunto de números naturais de 1

a 8 e por B o conjunto dos países participantes do torneio:

Figura 14 – Diagrama de flechas

Fonte: LD2, 2009a, p. 213

Assim, nota-se que cada elemento de A está associado a um único elemento de B.

Dessa forma, a relação é uma função de A em B. De acordo com essas ideias é esclarecido

que a relação dada é um exemplo de sequência finita, e em seguida, cita um exemplo de

sequência infinita. Convém enfatizar que nesse caso estamos tratando de pontos discretos.

A técnica 4 é utilizada pelos quatro livros, nos quais há uma conversão do quadro

numérico para o quadro algébrico, esse procedimento consiste em representar o primeiro

77

termo por a1, o segundo termo por a2, e assim, até o termo an. Notamos que os LD1 e LD4

esclarecem o significado de a1, explicam que esse número 1, que está junto à letra a é um

índice, que dá a posição ou ordem de cada termo da sequência. Esse fato nos chamou a

atenção, pois julgamos importante esse comentário, visto que provavelmente os alunos não

estejam familiarizados com essa notação.

Observamos que os LD1, LD3 e LD4 não utilizam a técnica 3, ou seja, não fica

explícita uma articulação com função, pois não há referência a respeito de conjunto de pares

ordenados, nem de correspondência. As sequências são introduzidas por meio de situações

que são traduzidas para o quadro numérico como elementos que estão dispostos numa certa

ordem. Embora isso aconteça, o discurso tecnológico-teórico apresentado na obra faz menção

à função. Destacamos que o discurso tecnológico- teórico que sustenta as técnicas 1, 2, 3 e 4

nessa tarefa é a definição de sequência.

LD1 – Uma sequência finita de n termos é uma função cujo domínio é o conjunto

numérico {1, 2, 3, ..., n}. Uma sequência infinita é uma função f cujo domínio é N* = {1, 2, 3,

..., n, ...}.

LD4 – Denomina-se sequência qualquer função f cujo domínio é N*.

Notamos, que a definição do LD4 pode levar a uma confusão de conceitos, ela cede

lugar a ambiguidade. Nesse caso, a definição trata de uma sequência infinita, porém a

informação é omitida, o que proporciona a ideia de que toda sequência é infinita.

Com base nesses estudos, constatamos que a ausência da técnica 3 nos LD1 e LD4

acarretam um discurso tecnológico-teórico que não condiz com os procedimentos usados para

formular a definição de sequências.

O LD3 não traz uma definição explícita para sequências. Na obra é simplesmente

escrita que “a palavra sequência sugere a ideia de termos sucessivos e pode ser finita ou

infinita”.

Quanto ao LD2 as técnicas utilizadas condizem com o discurso tecnológico-teórico,

conforme mencionado anteriormente.

Para encontrar o termo geral de uma sequência os LD1, LD2 e LD3 usam a técnica 5,

ou seja, a sequência é definida por uma fórmula que dá o valor de cada termo an em função de

sua posição n na sequência. Fórmula esta que é denominada termo geral da sequência. Por

exemplo, o LD1 apresenta a lei de formação an = 2n – 1, n Є N*. Posteriormente, substitui n

pelos números 1, 2, 3, 4,..., obtendo a sequência (1, 3, 5, 7, ...).

No que se refere ao LD4, além da técnica 5, também é apresentada a técnica 6, em que

os autores determinam uma sequência por recorrência. Elucidam que essa técnica permite

78

constituir uma sequência. Para isso é atribuído determinado valor a um de seus termos

(geralmente o primeiro) e indicado uma fórmula que permita calcular cada termo, conhecendo

o valor do termo anterior da sequência. Escrevem uma sequência definida por:

a1 = 5

an + 1 = an + 2, n ≥ 1

Observam que essa definição indica que, qualquer termo, diferente do primeiro, é

igual ao anterior adicionado a 2. Em seguida, é feita a substituição de n pelos números

naturais 1, 2, 3,...

n = 1 a1 + 1 = a1 + 2 n = 2 a2 + 1 = a2 + 2

a2 = 5 + 2 a3 = 7 + 2

a2 = 7 a3 = 9 ...

Assim, a sequência é (5, 7, 9, 11, 13, ...).

O discurso tecnológico-teórico que justifica as técnicas 5 e 6 é a lei de formação de

uma sequência.

TC2: definir progressão aritmética e deduzir a fórmula do termo geral de uma P.A.

Técnica 1: interpretação de um problema39

.

Técnica 2: observação de que a diferença entre cada termo e o termo anterior é fixo (razão da

progressão).

Técnica 3: observação de padrão numérico.

Técnica 4: observação de padrão algébrico.

Técnica 5: generalização de padrão.

Técnica 6: notação de que o primeiro termo de uma P.A. pode ser a0.

Quadros empregados em TC2: numérico, algébrico e geométrico.

Os LD1, LD2 e LD3 usam a técnica 1 para introduzir o assunto. Fato que não acontece

no LD4.

O LD1 insere o assunto por meio do seguinte problema: Uma empresa produziu, em

2007, 100 000 unidades de certo produto. Quantas unidades produzirá, anualmente, de 2007 a

39

Um problema é uma questão para a qual o aluno não dispõe de um método que permita a sua resolução

imediata (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 22).

79

2012, se o aumento anual de produção for estabelecido em 20 000 unidades? (LD1, 2008a, p.

263).

No LD2 o problema apresentado é: Uma nova linha de metrô, ainda em construção,

tinha 12 km no início de janeiro do ano passado. De lá para cá, essa linha cresceu 0,5 km ao

mês (LD2, 2009a, p. 217).

Já no LD3, é exposto: Imaginemos uma situação em que um atleta inicie seu

treinamento numa pista de corrida de 300 m, percorrendo 2 voltas no 1º dia, 5 voltas no 2º

dia, 8 voltas no 3º dia e assim por diante, até atingir o limite de sua capacidade (LD3, 2005a,

p.382).

Quanto a técnica 2 os quatro livros a utilizam. Escrevem a sequência no quadro

numérico, e observam que, o aumento de cada termo para o seguinte é sempre o mesmo e é

chamado de razão da progressão.

As definições apresentadas pelos livros equivalem à definição elaborada por Lima40

(2001).

Para deduzir o termo geral de uma P.A. o LD2 retoma o problema utilizado para

apresentar o assunto (técnica 1). Inicialmente sugere a ideia no quadro numérico, parte de um

caso particular. Assim, a partir do mês de janeiro, mostra que para calcular o comprimento no

mês de fevereiro, basta efetuar 12 + 0,5, obtendo-se o segundo termo da P.A.; para calcular o

comprimento do mês de março basta efetuar 12 + 2 . 0,5, obtendo-se o terceiro termo da P.A.,

e assim por diante. Nesse caso, a tarefa conduz à observação de um padrão numérico (técnica

3), primeiro a razão foi multiplicada por 1, depois por dois e assim sucessivamente.

Procede a organização praxeológica acrescentando mais um exemplo, porém no

quadro geométrico (técnica 4). Exemplifica com a figura 15, o qual conjectura que uma

escada une dois pisos de um edifício.

Figura 15 – Nível da calçada

Fonte: LD2, 2009a, p.218

40

Definição apresentada no capítulo II, p. 42.

80

Ao piso inferior associa um número a1 que indica a altura desse piso em relação ao

nível da calçada. Associa aos patamares dos degraus as alturas a2, a3, a4, a5, ..., an,..., em

relação ao nível da calçada. Sendo a razão r a altura de cada degrau, a sequência (a1, a2, a3, a4,

a5, ..., an, ...) é uma P.A. Passa a observar que se uma pessoa estiver no patamar de altura a1

terá que subir 6 degraus, que equivale a 6r. Deste modo, a altura a7 é igual à soma a1 + 6r.

Assim, questiona quantos degraus uma pessoa deverá subir para atingir a altura a7 se a pessoa

estiver no patamar a1. Por meio desse procedimento conduz ao processo de generalização.

No patamar de altura a2, a pessoa terá subido 1 degrau; no de altura a3, terá subido 2

degraus; no de altura a4, terá subido 3 degraus; e assim sucessivamente. Complementa que:

a1 = a1 + 0r

a2 = a1 + 1r

a3 = a1 + 3r

⋮

Antes de deduzir a fórmula do termo geral observa que em cada igualdade, o

coeficiente de r tem uma unidade a menos que o índice do termo à esquerda da igualdade.

Assim, generaliza que: an = a1 + (n – 1)r

Os LD1, LD3 e LD4 aplicam as técnicas 4 e 5. Começam a partir do quadro algébrico,

conforme descrito anteriormente. Nos LD1 e LD4, a técnica de generalização é feita de forma

adequada, pois é evidenciado que ao passar de a1 para an, avançamos (n – 1) termos, ou seja,

basta somar (n – 1) vezes a razão ao 1º termo. No LD3 os dados são ordenados num quadro

(quadro 4), e simplesmente a fórmula é inserida, seria necessário esclarecer o porquê do (n –

1).

Quadro 4 – Termo geral da P.A

1º termo a1 = a1 + 0r

2º termo a2 = a1 + 1r

3º termo a3 = a1 + 2r

4º termo a4 = a1 + 3r

.

.

.

. .

. .

. .

6º termo an = a1 + (n – 1)r Fonte: LD3, 2005a, p.383

O LD1 observa que muitas vezes é conveniente começar uma progressão aritmética

com a0 e não a1 (técnica 6), ficando o termo geral da P.A. definido por:

an = a0 + (n – 1) r

81

Essa é uma informação importante, pois o termo a0 pode representar melhor situações

que se aplicam à Matemática financeira.

O discurso tecnológico-teórico que sustenta as técnicas empregadas nessa tarefa é

composto pela definição de progressão aritmética e pela fórmula do termo geral de uma P.A.

TC3: representar geometricamente uma progressão aritmética.

Técnica 1: interpretação de um problema.

Técnica 2:articulação de progressão aritmética com uma função afim com domínio em N.

Técnica 3: representação gráfica de uma P.A. por pontos (n, an) no plano cartesiano.

Quadros empregados em TC3: numérico, algébrico e geométrico.

A técnica 1 é utilizada pelo LD2. As outras duas são empregadas no LD1 e no LD2.

Os demais livros não apresentam a interpretação geométrica de uma P.A.

O LD2 retoma um problema que foi apresentado na abertura do capítulo: Na fase de

preparação de uma atleta, o treinador estabeleceu que no primeiro dia ela deveria correr 10

km e, em cada um dos dias seguintes, deveria correr 2 km a mais que no dia anterior (LD2,

2009a, p. 226).

Partindo dessa situação representa as distâncias percorridas, dia a dia, em

quilômetros, por uma progressão aritmética. Com base nisso, utiliza as técnicas 2 e 3.

Para essa situação o tópico do LD2 é intitulado como “a progressão aritmética e a

função afim”. Na obra é bem explícita a conexão entre os dois temas (figura 16).

Figura 16 – Interpretação geométrica de uma P.A. – LD2

Fonte: LD2, 2009a, p. 226

82

O LD1 também utiliza as técnicas 2 e 3 (figura 17).

Figura 17 – Interpretação geométrica de uma P.A. – LD1

Fonte: LD1, 2008a, p. 269

Observamos que parece haver na obra a intenção em atender as orientações dos

documentos oficiais, associando as progressões aritméticas com funções. No entanto, a forma

com que é feita a aproximação dos conteúdos pode derivar erros, tendo em vista que o

domínio da função é definido no conjunto dos números naturais, logo a representação gráfica

de uma P.A. é dada por pontos discretos que nos dá a ideia de uma reta, embora não seja

traçada. Daí a necessidade das obras realçarem a diferença entre gráficos contínuos e

discretos.

Todas as técnicas empregadas nessa tarefa são justificadas pela interpretação

geométrica de uma P.A., que é o discurso tecnológico-teórico.

TC4: fazer interpolação aritmética.

Técnica 1: apresentação de um problema para introdução do conteúdo.

Técnica 2: articulação dos dados do problema a uma P. A.

Técnica 3: determinação do número de termos de uma P. A.

Técnica 4: emprego da fórmula do termo geral para calcular o valor da razão da P.A.

Técnica 5: uso da razão encontrada para constituir a P.A.

Quadros empregados em TC4: numérico e algébrico.

83

O LD1 utiliza a técnica 1 e a partir disso emprega a demais técnicas mencionadas

anteriormente.

No LD1 é apresentado o seguinte problema para esclarecer o que é uma interpolação

aritmética: no primeiro semestre de um dado ano, a produção mensal de uma montadora está

em PA crescente. Em janeiro, a produção foi de 18 000 carros e, em junho, de 78 000

unidades. Qual foi a produção dessa montadora nos meses de fevereiro, março, abril e maio?

(LD1, 2008a, p. 269).

Com base no problema, é feita uma associação com a progressão aritmética, a partir

disso é identificado o primeiro termo, o último termo e o número de termos, ou seja,

interpretação do problema a partir dos dados fornecidos.

Em seguida, é efetuado o cálculo da razão com a aplicação da fórmula do termo geral.

Após o cálculo da razão, a P.A. é construída, ou seja, são inseridos termos entre o primeiro e o

último. Isso justifica as técnicas empregadas e constitui o discurso tecnológico-teórico.

Os LD3 e LD4 utilizam as mesmas técnicas, com exceção da primeira.

A interpolação aritmética ficaria mais visível, com melhor significação se as obras

utilizassem nas organizações praxeológicas a representação gráfica dos dados da

interpolação. Assim seria possível trabalhar o crescimento da produção no período

mencionado (P.A. crescente).

TC5: demonstrar as propriedades de uma P.A.

Técnica 1: demonstração da propriedade 1- a soma de dois termos equidistantes dos extremos

é igual à soma dos extremos.

Técnica 2: demonstração da propriedade 2- a soma de três termos é P.A. se, e somente se, o

termo do meio é igual a média aritmética entre os outros dois.

Técnica 3: demonstração da consequência da propriedade 2- em um número ímpar de termos,

o termo médio é a média aritmética entre os termos.

Técnica 4: exemplos de sequências numéricas para testar a validade das propriedades.

Quadros empregados em TC5: numérico e algébrico.

O LD1 utiliza as técnicas 1, 2 e 3:

Inicialmente há observação de que em uma P.A. finita (a1, a2, a3, a4) os termos a2 e a3

são equidistantes dos extremos a1 e a4, com enunciação que, de modo geral: a soma dos

termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Posteriormente é exposta algebricamente essa generalização:

am + an = ak + ap, se m + n = k + p.

84

Em seguida, a obra mostra que, tomando-se três termos consecutivos (..., ak -1, ak, ak + 1,

...), temos que 2ak = ak -1 + ak + 1, pois k + k = k -1 + k + 1. De acordo com o que é explícito na

obra, isso significa que o termo central é a média aritmética dos seus vizinhos:

ak =

Encontramos essas técnicas como uma observação, e consequentemente não é

explícito que se trata de uma propriedade. Percebemos que a propriedade 2 surge na

praxeologia como consequência da propriedade 1.

O LD2 emprega as técnicas 1, 2, 3, e 4.

Técnica 1

Verificamos que inicialmente é enunciado o discurso tecnológico-teórico:

P1 – Em toda P. A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma

dos extremos.

Posteriormente a propriedade é demonstrada, conforme exposto a seguir:

Seja a P. A. finita (a1, a2, a3, ..., ak, ak + 1, ..., an – k, an) de razão r.

Os termos ak + 1 e an – k são equidistantes dos extremos, pois antes de ak + 1 existem k

termos e depois de an – k existem, também, k termos. A partir disso, é feita a demonstração:

ak + 1 + an – k = a1 + an

Demonstração:

ak + 1 + an – k = a1 + (k + 1 – 1)r + a1 + (n – k – 1)r = a1 + kr + a1 + (n – 1)r – kr =

= a1 + a1 + (n – 1)r = a1 + an

Técnicas 2 e 3

Quanto as técnicas 2 e 3, primeiro a obra enuncia a propriedade.

P2 – Uma sequência de três termos é P. A. se, e somente se, o termo médio é igual à média

aritmética entre os outros dois, isto é:

( )

85

Figura 18 – Demonstração de propriedade de P.A.

Fonte: LD2, 2009a, p. 221

Para cada propriedade são inseridos exemplos (técnica 4) para comprovar a validade

das propriedades.

O LD3 usa apenas as técnicas 1 e 4.

Figura 19 – Propriedade da P.A

Fonte: LD3, 2005a, p. 390

86

O LD4 utiliza a técnica 1.

Inicialmente o livro apresenta a P.A. finita (6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34) e destaca que:

6 e 34 são extremos, cuja soma é 40. Do mesmo modo, observam que 10 e 30, 14 e 26, 18 e

22 são termos equidistantes, nos quais a soma também é igual a 40.

A partir daí a propriedade é descrita de forma análoga ao LD1.

Para demonstrar a veracidade dessa propriedade considera uma P.A. finita de razão r,

sendo ap e as dois termos equidistantes dos extremos a1 e an.

a1 , a2, ..., ap, ..., as, ..., an - 1, an

Em seguida considera nessa P.A. duas sequências:

(a1, a2, ..., ap) P. A. finita de p termos, em que a1 é o 1º termo e ap é o último termo.

Daí, ap = a1 + (p – 1)r (I)

(as, ..., an - 1, an) P. A. finita de p termos, em que as é o 1º termo e an é o último termo.

Então, an = as + (p – 1)r (II).

Fazendo (II) – (I), obtém: an – ap = as – a1 as + ap = a1 + an

Soma de dois termos soma dos extremos

equidistantes dos

extremos

Notamos que os LD1 e LD2 explicam as propriedades genericamente no quadro

algébrico. Já os LD3 e LD4 partem de um caso particular para o geral, do quadro numérico

para o algébrico. O discurso tecnológico-teórico que sustenta as técnicas empregadas é o

resultado final de cada demonstração.

TC6: adicionar os termos de uma P.A.

Técnica 1: introdução do assunto por meio de um problema.

Técnica 2: obtenção da soma por meio da adição dos termos de uma P.A. no quadro

numérico.

Técnica 3: uso da propriedade – a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à

soma dos extremos.

Técnica 4: demonstração da fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.A utilizando

a soma membro a membro.

Técnica 5: interpretação geométrica da soma dos termos de uma P.A.

Quadros empregados em TC6: numérico, algébrico e geométrico (LD2 e LD1), demais

livros, numérico e algébrico.

A técnicas 1 e 2 são apresentadas apenas pelo LD1.

87

Por meio da tabela 5 a obra demonstra a produção anual de uma empresa num

determinado período.

Tabela 5 – Produção de uma empresa no período de 2000 a 2007

Ano

2 000 2 001 2 002 2 003 2 004 2 005 2 006 2 007

Produção

(em unidades)

10 000

12 000

14 000

16 000

18 000

20 000

22 000

24 000

Fonte: LD1, 2008a, p. 270.

Com base nas informações da tabela 5, coloca a seguinte questão: quantas unidades a

empresa produziu nos anos de 2000 a 2007? Segue a explicação somando as produções de

cada ano. Os dados da situação apresentada são traduzidos como uma P.A. finita, na qual a

soma obtida representa a soma dos termos dessa P. A.

A técnica 3 é utilizada pelos LD1, LD2, LD3 e LD4. Os LD1 e LD2 articulam a soma

com o procedimento utilizado por Friederich Gauss41

, que decorre da propriedade: a soma de

dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Os LD3 e LD4 articulam

a propriedade com a soma, mas não fazem referência ao procedimento de Gauss.

A técnica 4 é utilizada pelos quatro livros de forma análoga.

Sejam a P.A. finita (a1, a2, a3, ..., an – 2, an – 1, an) e Sn a soma dos termos dessa P.A.

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an

+ Sn = an + an – 1 + an – 2 + ... a3 + a2 + a1

2 Sn = (a1 + an) + (a2 + an – 1) + (a3 + an – 2) + …+ (an – 2 + a3) + (an – 1+ a2) + (an + a1 )

As n parcelas têm o mesmo valor, pois são termos equidistantes dos extremos, então:

2 Sn = (a1 + an) . n

Sn = ( )

A técnica 5 (interpretação geométrica) é utilizada pelos LD1 e LD2.

No LD2 a interpretação geométrica da fórmula da soma dos n primeiros termos de

uma P. A. considera n retângulos de bases unitárias (1) cujas medidas das alturas formam a P.

A. crescente (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an). Como a base de cada retângulo mede 1 unidade, as áreas

desses retângulos são numericamente iguais aos termos dessa P.A. Esses retângulos são

colocados lado a lado, com as alturas em ordem crescente, obtendo a primeira figura.

Acima de cada retângulo constrói outro, tal que a soma de suas alturas seja igual a a1 +

an, conforme mostra a figura 20.

41

Ver página 57 do capítulo II.

88

Figura 20 – Interpretação geométrica da fórmula dos n primeiros termos de uma P.A.

Fonte: LD2, 2009a, p. 224

Notamos nos livros a dedução da fórmula, entretanto não constatamos a explicação de

Sn em função de n, o que representaria uma oportunidade para se constituir articulação entre

P.A. e função quadrática.

No LD1, encontramos uma interpretação geométrica da soma dos números naturais

ímpares (figura 21):

Figura 21 – Interpretação geométrica da soma dos números naturais ímpares

Fonte: LD1, 2008a, p. 298

A partir da interpretação geométrica, utiliza a observação do padrão no quadro

numérico e generaliza a fórmula da soma dos n primeiros números naturais pares.

89

O discurso tecnológico-teórico que justifica as técnicas aplicadas nessa tarefa é

composto pela definição da soma dos n termos de uma P.A e pela fórmula da soma dos n

termos de uma P.A.

TC7: definir progressão aritmética de segunda ordem.

Técnica 1: tomando as diferenças entre cada termo e o termo anterior de uma sequência dada

para obter uma P.A. não estacionária (r ≠ 0).

Técnica 2: articulação de P.A. com função quadrática.

Quadros empregados em TC7: numérico e algébrico.

As técnicas 1 e 2 são encontradas no LD1.

Por meio da sequência numérica (an) = (0, 3, 8, 15, 24, 35, ...) a obra apresenta uma

progressão aritmética tomando as diferenças entre cada termo e o termo anterior (an +1 – an)

que constitui uma P.A não estacionária (r ≠ 0).

3, 5, 7, 9, 11, ...

A técnica 2 faz conexão com função quadrática. Para tanto, a obra faz referência ao

capítulo 5, no qual é colocado o tema função quadrática e progressão aritmética como assunto

optativo.

Considera também a função quadrática f(x) = x² e a progressão aritmética 1, 3, 5, 7, 9,

11, ..., 2n + 1, assim, mostra que ao substituir os valores da P.A. dada na função quadrática se

obtém:

f(1), f(3), f(5), f(7), f (9), f(11), ..., f(2n – 1), f(2n + 1), ....

1 9 25 49 81 121 , ..., 4n² - 4n + 1, 4n² + 4n + 1, ...

Posteriormente nota que a sequência obtida não é uma progressão aritmética, pois a

diferença entre dois termos consecutivos não é constante. Mas, tomando-se as diferenças entre

os termos consecutivos 8, 16, 24, 32, 40, ..., 8n, ..., tem-se uma progressão aritmética de razão

8. Isso pode ocorrer com qualquer função quadrática. Se f é uma função quadrática, então ela

transforma uma P.A. numa sequência cujas diferenças dos termos consecutivos formam uma

P.A. Notamos mais uma vez, que nesse caso, estamos lidando com pontos discretos, contudo

não verificamos esse enfoque nas praxeologias.

A definição dada é o discurso tecnológico-teórico que justifica as técnicas empregadas

nessa tarefa.

TC8: construir a definição de progressão geométrica e determinar o termo geral de uma P.G.

90

Técnica 1: articulação com taxa de crescimento relativo constante.

Técnica 2 : apresentação de um problema, com sua respectiva interpretação.

Técnica 3: construção de uma sequência a partir da situação apresentada.

Técnica 4: observação de como cada termo, a partir do segundo é obtido.

Técnica 5: emprego da generalização de padrão.

Quadros empregados em TC8: numérico e algébrico.

As técnicas 1 e 2 são empregadas pelos LD1e LD2 . O LD1 explicita que a taxa

relativa de uma grandeza é dada pela razão entre o seu aumento e o seu valor inicial. A partir

daí, introduz um problema que trata de produção anual de uma empresa em um determinado

período. Do mesmo modo, o LD2 evidencia que problemas que envolvem grandezas que

crescem ou decrescem por meio do produto por uma taxa constante podem ser resolvidos por

uma sequência chamada progressão geométrica. Prossegue introduzindo uma situação que

versa sobre o buraco na camada de ozônio, o qual apresenta previsões realistas com

estimativas da sua redução média, caso os países cumpram o Protocolo de Montreal (realizado

por 31 países e estabeleceu acordos para a eliminação do uso de substâncias que destroem a

camada de ozônio).

Os dados dos problemas apresentados pelos LD1 e LD2 são esquematizados,

constituindo sequências (técnica 3), nas quais cada termo, a partir do segundo, é igual ao

anterior multiplicado por um número fixo (técnica 4).

O LD3 traz um problema (técnica 2) que versa sobre a venda de álcool de um posto de

abastecimento de combustível. A situação traz a redução diária de álcool nesse posto.

Percebemos que o problema indica a taxa de decrescimento relativo constante. Entretanto, não

observamos na praxeologia dos autores menção a isso. A partir da situação prossegue

conforme os LD1 e LD2 empregando as técnicas 3 e 4.

O LD4 emprega apenas as técnicas 3 e 4, conforme os outros livros.

Encontramos no LD1 a seguinte definição:

Progressão geométrica (PG) é toda sequência de números não-nulos na qual é constante o

quociente da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior. Esse quociente

constante é chamado razão (q) da progressão. Ou seja, uma progressão geométrica é uma

sequência na qual a taxa de crescimento relativo de cada termo para o seguinte é sempre a

mesma (LD1, 2008a, p. 275).

Os LD1, LD2 e LD3 fazem relação de progressão geométrica com taxa de crescimento

relativo, o que representa um dos principais motivos para o seu estudo.

Nos LD2, LD3 e LD4 a definição dada é análoga. Vejamos a do LD3.

91

Progressão geométrica (P.G.) é toda sequência de números não nulos em que cada termo, a

partir do segundo, é igual ao produto de seu termo procedente por uma constante,

denominada razão q da progressão geométrica.

Uma parte do discurso tecnológico-teórico dessa tarefa é a definição de P.G. que

justificam as técnicas 1, 2 e 3.

Para tratar do termo geral de uma P.G. o LD2 propõe a seguinte situação: Um capital

de R$ 10 000, 00 é aplicado durante quatro anos à taxa de juro composto de 20% ao ano.

A obra esclarece que a taxa de juro composto incide sobre o montante acumulado ao

final de cada unidade de tempo. Assim, constitui a P.G. (técnica 1), ano a ano, a partir do

início da aplicação.

(10 000, 12 000, 14 400, 17 280, 20 736)

Continua a explicação e elucida que o montante pode ser calculado em cada ano. Para

encontrar o seu valor basta multiplicar o capital inicial por potências de 1,2. Então, para

calcular o 2º montante, basta efetuar 10 000. (1,2)¹, assim nota que a1 = 10 000 e q = 1,2, o

que corresponde a → a2 = a1 . q¹. Esse raciocínio resulta em: a3 = a1 . q², a4 = a1 . q³ e a5 = a1 .

q4. A partir disso, há a afirmação de que essa ideia pode ser estendida para qualquer P.G, e

por meio da observação desse padrão a fórmula é generalizada (técnicas 4 e 5).

Os LD1, LD3 e LD4 partem diretamente de um padrão algébrico para constituir a

fórmula do termo geral da P.G.

No LD1 é mencionado que ao passar de a1 para an, avançamos (n – 1) termos. Desse

modo, fica mais óbvio de onde emergiu o expoente n – 1.

A fórmula do termo geral de uma P.G. justifica as técnicas 4 e 5 e compõe outra parte

do discurso tecnológico-teórico.

TC9: interpretar geometricamente uma P.G.

Técnica 1: articulação de progressão geométrica com função exponencial.

Técnica 2: representação de pontos no plano cartesiano.

Quadros empregados em TC9: numérico, algébrico e geométrico.

As técnicas 1e 2 foram identificadas nos LD1 e LD2. O LD2 traz um subtema

intitulado “a progressão geométrica e a função exponencial”. Essa situação é apresentada pelo

LD1 de modo análogo ao LD2 (figura 22).

92

Figura 22 – Interpretação geométrica de uma P.G.

Fonte: LD2, 2009a, p. 237

A P.G. possui uma associação com função exponencial, porém ela á uma função com

domínio no conjunto dos números naturais, assim, a curva que resulta da representação

gráfica também é formada por pontos discretos. Ainda que a obra enfatize que o gráfico de

uma P.G. é formado por pontos de uma função exponencial, a forma com que é exposta pode

gerar a ideia de ser possível traçar a curva.

O discurso tecnológico-teórico que justifica as técnicas utilizadas é composto pela

representação gráfica de uma P.G. no plano cartesiano.

Não identificamos essa situação na organização praxeológica dos LD3 e LD4.

Conforme vimos, é um excelente momento para estabelecer conexão com função exponencial,

desde que haja uma boa diferenciação entre gráficos contínuos e discretos. Isto é muito

importante, pois os problemas científicos e financeiros em que se usam funções exponenciais

são os mesmos nos quais se podem usar, alternativamente, progressões geométricas. Inclusive

é também oportuno para verificar o crescimento e o decrescimento de uma P.G.

TC10: interpolar geometricamente uma P.G.

Técnica 1: uso de um problema.

Técnica 2: cálculo do valor da razão q.

Quadros empregados em TC10: numérico e algébrico.

Verificamos essa situação apenas no LD1, o qual apresenta as técnicas 1 e 2 . No livro

é apresentado o seguinte problema: No primeiro semestre de 2007, a produção mensal de uma

indústria cresceu em P.G. Em janeiro, a produção foi de 1 500 unidades, em junho, foi de 48

93

000 unidades. Qual foi a produção dessa indústria nos meses de fevereiro, março, abril e

maio? (LD1, 2008a, p. 283).

Para a resolução da tarefa, expõe-se que o problema consiste em formar uma P.G, com

o primeiro termo igual a 1 500 e o último termo igual a 48 000, o que constitui uma P.G. de

seis termos. A continuação da resolução é feita com o emprego da técnica 2, ou seja, o cálculo

da razão da P.G. por meio da manipulação da fórmula do termo geral. A resolução é concluída

ao constituir a P.G por meio da multiplicação do primeiro termo pela razão encontrada e

assim sucessivamente. Essa construção é o discurso tecnológico-teórico que justifica as

técnicas empregadas.

Assim, como na progressão aritmética, esse tópico pode ser enriquecido com a sua

representação gráfica.

TC11: adicionar os n primeiros termos de uma P.G. finita.

Técnica 1: interpretação de um problema

Técnica 2: demonstração da fórmula da soma.

Quadros empregados em TC11: numérico e algébrico.

O LD2 usa um problema (técnica 1) articulado à taxa de crescimento relativo e

prossegue empregando a técnica 2.

Os LD1, LD3 e LD4 trabalham diretamente com a fórmula da soma (técnica 2),

mostrando a sua demonstração, sendo utilizado pelos quatro livros as mesmas técnicas para

demonstrar a fórmula.

Demonstração:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an - 1 + an, ou ainda,

Sn = a1 + a1q + a1q² + ... a1qn – 1

(I)

Multiplicando ambos os membros dessa igualdade pela razão q da P.G., obtém-se:

qSn = a1q + a1q² + a1q³ +... + a1qn

(II)

Subtraindo as igualdades (I) e (II), membro a membro, tem-se:

Sn - qSn = a1 - a1qn → Sn (1 – q) = a1(1 - q

n)

Como q ≠ 1, pois a P.G. não é constante, podemos dividir ambos os membros dessa

última igualdade por 1 – q, logo:

Sn = (

)

–

Essa fórmula sustenta as técnicas usadas, ou seja, é o discurso tecnológico-teórico da

tarefa apresentada.

94

TC12: encontrar o limite da soma dos infinitos termos de uma P.G.

Técnica 1: introdução a partir de um problema.

Técnica 2: interpretação no quadro numérico.

Técnica 3: pela fórmula da soma dos n termos de uma P.G. infinita.

Técnica 4: interpretação no quadro geométrico.

Quadros empregados em TC12: numérico, algébrico e geométrico.

O LD1 emprega as técnicas 2, 3 e 4.

Primeiramente a obra considera a sequência (an) =

com n ∈ N*, explicitada por:

Figura 23 – Para refletir 1

Fonte: LD1, 2008a, p. 286

Ou, ainda, em representação decimal:

1; 0,5; 0, 333...; 0,25; 0,2; 0,16...; 0,142; 0,125; 0,11...; 0,1...; 0,001; ...

Assim, observa que, à medida que n cresce indefinidamente (tendendo a infinito), o

termo an =

tende a 0 (zero). Desse modo, indica a representação:

→

(lê-se limite de

quando n tende a infinito tende a 0).

Nas progressões geométricas em que 0 < q < 1, a soma dos n primeiros termos tem

um limite finito quando n tende a infinito. Nesse caso, qn aproxima-se de zero para n

suficientemente grande, ou seja:

→

Sabe-se que:

Sn = a1. ( )

– , q ≠ 1. Logo,

→

→

, 0 < q < 1

95

Figura 24 – Para refletir 2

Fonte: LD1, 2008a, p. 296

Em seguida é realizado o cálculo do limite da soma dos infinitos termos de outra P.G.

, n ϵ N*

A resolução é dada por meio da aplicação da fórmula que foi deduzida anteriormente.

Logo: →

Isso significa que, quanto maior for n, a soma

será

mais próxima de 1.

Figura 25 – Para refletir 3

Fonte: LD1, 2008a, p. 296

Posteriormente mostra a interpretação geométrica desse fato considerando a área da

região quadrada (figura 26) igual a 1, e indica que foi colorido inicialmente

da figura,

depois

,depois

, e assim por diante. O autor observa que ao continuar esse processo

indefinidamente, estaremos nos aproximando da área total da região quadrada, que é 1.

Figura 26 – Interpretação geométrica

do limite da soma uma P.G.

Fonte: LD1, 2008a, p. 287

96

Notamos que a obra exibe a organização com muito cuidado, deixa bem explícito o

símbolo do infinito, parte do quadro algébrico, coloca a soma no quadro numérico e sugere o

“para refletir”, que é um recurso adicional. Além do mais, utiliza a interpretação geométrica.

O LD2 emprega as técnicas 1, 2 e 3.

Começa com um problema (técnica 1): Uma empresa reservou 1 milhão de reais para

aplicar em obras sociais. No primeiro ano será aplicada a metade, e em cada ano seguinte

será aplicada metade do que sobrou da verba no ano anterior. A P.G. infinita a seguir

representa os valores, em milhões de reais, aplicados ano a ano:

(

)

Em seguida, observa que a cada ano que passa, o total aplicado em obras sociais

aumenta e se aproxima cada vez mais de 1 milhão de reais:

⋮

A obra evidencia que essa soma mostra que por mais que adicionemos todos os

termos dessa P.G., jamais chegaremos à soma 1; porém, adicionando mais e mais parcelas,

iremos nos aproximar de 1 tanto quanto quisermos. Então, afirma que 1 é o limite dessa soma.

Em seguida, apresenta a fórmula do limite da soma dos infinitos termos de uma P.G. e

posteriormente a justifica de forma semelhante ao LD1 (técnica 2). Porém usa -1 < q < 1.

Quanto ao LD3 verificamos a seguinte abordagem com o emprego das técnicas 2 e 3.

Para tanto, considera a dízima periódica 0,444..., cuja fração geratriz é igual a

, ou

seja, 4 : 9 = 0,444.... Assim, escreve:

0,444,... =

0,4 + 0,04 + 0,004 + ... =

Destaca que essa adição possui infinitas parcelas, que formam uma P.G. infinita de

razão q = 0,1 (-1 < q < 1). Depois insere o quadro algébrico deduzindo a fórmula dos infinitos

termos.

97

Vale ressaltar que essa seria provavelmente a primeira vez que os alunos desse nível

de escolaridade teriam contato com adições infinitas, sendo também a única oportunidade de

ver esse conteúdo. Daí a importância da organização praxeológica apresentar todos os

mínimos detalhes para que haja melhor compreensão por parte dos alunos ou até mesmo dos

professores.

O LD4 utiliza as técnicas 2, 3 e 4.

Figura 27 – Soma dos termos de uma P.G. infinita

Fonte: LD4, 2005a, p. 375

Posteriormente na obra há a observação de que a soma se aproxima cada vez mais de

1. Assim, expõe a sua representação, conforme procedimento das obras já mencionadas.

98

Depois mostra que quando n cresce indefinidamente, qn se aproxima cada vez mais de zero.

Assim, deduz a fórmula, do mesmo modo que os demais livros.

Bastante interessante a organização da obra, nesse caso, a explanação inicia com a

interpretação geométrica e numérica. Porém, observamos a existência no livro de um termo

inadequado ao se referir a “adicionar partes pintadas”. Na verdade, o termo correto seria

somar a área das partes pintadas.

Notamos que a organização praxeológica do LD4 avança um pouco mais, por mostrar

o que vem a ser série convergente e divergente, o que pode acrescer um bom embasamento

para o estudo de limites no nível superior.

O discurso tecnológico-teórico que justifica as técnicas empregadas é dado ao mostrar

que existe um valor limite da soma dos termos de uma P.G.

Convém destacar que além dessas praxeologias mencionadas nesta parte da

investigação verificamos que os livros didáticos também propõem as classificações das P.A e

P.G e as representações especiais das progressões aritméticas e geométricas. No entanto, não

detalhamos tais praxeologias pelo fato de não identificarmos nenhuma técnica, observamos

em todos os livros apenas a escrita algébrica das representações especiais. As obras poderiam

mostrar que essas representações decorrem da propriedade trabalhada anteriormente: dados

três termos consecutivos de uma progressão aritmética, o termo do meio é a média aritmética

dos outros dois. Caso contrário, isso se reduz a um amontoado de letras que provavelmente

conduzirá a uma mera “decoreba”, sem nenhum significado. As obras sequer mencionam

como elas foram obtidas, existe somente o argumento de que elas podem facilitar alguns

cálculos que envolvem P.A. e P.G. Na verdade isso se caracteriza como os famosos

“macetes”.

Outro subtema que não concebemos com a ótica praxeológica é relativo ao produto

dos termos de uma P.G., o qual consta nos LD1 e LD3. Achamos conveniente não estudar a

organização praxeológica dessa situação por acreditar que ela pouco acrescenta nos estudos

de P.G.

4.4 ANÁLISE DAS TAREFAS RESOLVIDAS: UMA ÓTICA PRAXEOLÓGICA

Passamos a analisar nesta parte da pesquisa as tarefas resolvidas. Conforme referimos

anteriormente, inicialmente identificamos dois grupos delas, cujo resultado pode ser

visualizado na figura 28:

99

Figura 28 – Gráfico de barras – quantitativo de tarefas resolvidas

com/sem P.A/P.G. no enunciado

Fonte: os pesquisadores

A proporção das tarefas que são resolvidas e que não trazem P.A./P.G. no enunciado

são respectivamente: LD1 → 17 para 76, aproximadamente 22% das tarefas resolvidas; LD2

→ 5 para 20, aproximadamente 24% das tarefas resolvidas; LD3 → 6 para 28,

aproximadamente 21% das tarefas resolvidas; LD4 → 14 para 27, aproximadamente 52% das

tarefas resolvidas.

O quadro 5 apresenta os blocos de tarefas que emergiram a partir dessa investigação.

O quadro está disposto em tipologias: às vezes, frequente e excesso. As cores que se

apresentam têm os significados de acordo com a legenda abaixo:

Legenda do quadro 5:

Às vezes Frequente Excesso

Quadro 5 – Blocos de tarefas resolvidas

Tarefas Resolvidas (TR) LD1 LD2 LD3 LD4 Bloco 1 – Limitadas ao próprio conteúdo Bloco 2 – Conexões internas à própria Matemática Bloco 3 – Tarefas de Aplicação

Fonte: Os pesquisadores

Como são muitas tarefas resolvidas e visto que embora mude o enunciado de um livro

para o outro, várias se tornam repetitivas, são resolvidas apenas por meio de aplicação de

fórmulas. Deste modo, selecionamos apenas algumas delas para realizar os estudos de acordo

com a ótica praxeológica, identificando em cada uma delas as técnicas, com os respectivos

quadros de resolução, assim como foi feito na primeira parte da investigação. Enfatizamos

que as tarefas utilizam como bloco tecnológico-teórico os conceitos, definições, fórmulas,

propriedades apresentadas na primeira parte da pesquisa, de tal modo que descrevemos

comentários em linhas gerais dessa parte da organização praxeológica.

100

Vejamos a organização praxeológica de algumas tarefas resolvidas, as quais são

designadas por nós como: TR1, TR2, TR3...

4.4.1 Bloco 1 – Tarefas resolvidas (TR)

TR1: Verificar se a sequência (6, 13, 20, 27, 34) é uma P.A.

Técnicas: definição de P. A.; efetuação da diferença entre cada termo e o termo anterior;

observação de que as diferenças são constantes.

Quadro de resolução: numérico

Vamos à resolução apresentada na obra:

13 – 6 = 7; 20 – 13 = 7; 27 – 20 = 7; 34 – 27 = 7

Logo a sequência dada é uma P.A de razão r = 7. É uma tarefa pertencente ao LD1,

sendo de simples resolução, com a utilização apenas do quadro numérico. Encontramos nesse

mesmo livro tarefa semelhante a essa, porém relacionada ao conteúdo P.G.

As outras obras também apresentam tarefas análogas a TR1.

TR2: Determine o termo an, chamado termo geral, na sequência dos números quadrados

perfeitos (1, 4, 9, 16, 25,...).

Técnicas: observação de um padrão numérico; generalização de padrão

Quadros de resolução: numérico e algébrico.

Segue a resolução exposta no livro:

an = ?

n = 1 a1 = 1 = 12

n = 2 a2 = 4 = 22

n = 3 a3 = 9 = 32

n = 4 a4 = 16 = 42

...

Para um n qualquer an = n2

Logo, an = n2 é o termo geral da sequência, com n Є N*.

É uma tarefa simples, mas muito importante para o desenvolvimento do pensamento

algébrico que provavelmente pode contribuir para modelar situações reais.

TR3: Dada a P.A. de 2ª ordem 4,7,12,19, ..., determine o polinômio de 2º grau que expressa o

termo geral.

101

Técnicas: observação de padrão numérico; generalização de padrão; manipulação algébrica.

Quadros de resolução: numérico e algébrico.

Vejamos a resolução mostrada na obra:

a1 = 4

a2 = 7 = 4 + 3

a3 = 12 = 4 + 3 + 5

a4 = 19 = 4 + 3 + 5 + 7

soma dos termos da PA (3, 5, 7, ...) . . . a8 = 4 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15

soma dos 7 termos da P.A. (3, 5, 7, ...)

. . . an = 4 + 3 + 5 + ... + bn – 1

soma dos (n – 1) termos da P.A. (3, 5, 7, ...)

Assim:

bn - 1 = 3 + (n – 1 – 1 ) . 2 = 3 + 2n – 4 = 2n – 1

Então:

3 + 5 + 7 + ... + bn – 1 = ( )( )

=

( )( )

= (n + 1) (n – 1 ) =

= n² - 1

Logo:

an = 4 + n² - 1

an = n² + 3

Tarefas desse tipo favorecem o desenvolvimento do pensamento matemático. A

resolução parte da observação de um padrão numérico, com a sua respectiva generalização. A

resposta da tarefa não é imediata, inicialmente são utilizadas técnicas de manipulação

algébrica para chegar à sua resolução.

As tarefas TR1 e TR2 empregam na resolução o discurso tecnológico-teórico da TC1.

A TR3 utiliza o discurso tecnológico-teórico da TC7.

4.4.2 Bloco 2 – Tarefas resolvidas (TR)

TR4: a) encontrar o seu termo geral da sequência (1, 3, 5, 7, ...);

b) esboçar o gráfico cartesiano dessa sequência.

102

Técnicas: considera que a sequência dada é uma P.A.; emprego da fórmula do termo geral;

considera que a sequência representa uma função; encontra os pares ordenados; esboço do

gráfico de pontos.

Quadros de resolução: numérico, algébrico, geométrico.

Figura 29 – Tarefa 4 – TR

Fonte: LD3, 2005a, p. 384

Essa tarefa pertence à resolução do LD3. Ainda que na sua resolução haja a aplicação

de fórmula para encontrar o termo geral, notamos que houve uma mudança de quadros

propostos por Douady (1992), ou melhor, há uma possibilidade de “diálogo” entre os quadros

numérico, algébrico e geométrico.

Notamos que nessa organização praxeológica, na resolução da tarefa poderia

incentivar a generalização de um padrão numérico, nesse caso, a utilização da fórmula seria

dispensável. Pois pela simples observação da sequência dada no enunciado da tarefa seria

fácil perceber que se trata dos números ímpares e que o seu termo geral é 2n – 1. Seria uma

ótima oportunidade para mostrar que existem outras formas de se obter o termo geral.

TR5: Calcular a fração geratriz da dízima 0, 3131...

Técnicas: tradução da dízima como uma P.G; emprego de fórmula.

Quadros de resolução: numérico e geométrico.

Segue a resolução dada na obra:

0, 3131... = 0,31 + 0,0031 + ...

0, 3131... =

PG

103

a1 =

q =

limn→

Sn

TR6 (figura 30):

Figura 30 – Tarefa 6 - TR

Fonte: LD3, 2005a, p. 391

Técnicas: esboço do primeiro degrau; cálculo do volume do 1º degrau; esboço do segundo

degrau; cálculo do volume do segundo e do terceiro degrau, observação de um padrão;

interpretação dos volumes como uma progressão aritmética; soma da P.A. pelo processo da

soma membro a membro.

Quadros de resolução: numérico, algébrico e geométrico.

Consideremos a resolução exposta no livro:

Para calcular o volume do primeiro degrau, a obra apresenta um esboço do primeiro

degrau (figura 31).

Figura 31 – Parte 1 da resolução tarefa 6- TR

Fonte: LD3, 2005a, p. 392.

Em seguida, classifica o sólido como paralelepípedo, nota que o seu volume é

calculado pelo produto das dimensões (altura, largura e profundidade).

V1 = (20 x 50 x 10) cm³

V1 = 10 000 cm³

104

V1 = 0,01 m³

Posteriormente faz o esboço do volume do 2º degrau (figura 32).

Figura 32 – Parte 2 da resolução da tarefa 6 - TR

Fonte: LD3, p. 392.

Então:

V2 = 2. V1 (volume do 2º degrau)

V3 = 3. V1 (volume do 3º degrau)

E, assim por diante, até V20 = 20 . V1 (volume do 20º degrau)

Desse modo, o volume total de cada escada será: V = V1 + V2 + V3 + ... + V20

V = 0,01 + 0,02 + 0,03 + ... + 0,20

Depois é feita a relação dos dados obtidos, com uma P.A., ou melhor, a soma dos

termos de uma P.A., em que:

a1 = 0,01

r = 0,01

a20 = 0,20

Logo após é efetuada a soma, com a utilização da mesma técnica utilizada por Gauss

(soma membro a membro).

V = 0,01 + 0,02 + 0,03 + ... + 0,18 + 0,19 + 0,20

V = 0,20 + 0,19 + 0,18 + ... + 0,03 + 0,02 + 0,01

2V = 0,21 + 0,21 + 0,21 + ... + 0,21 + 0,21 + 0,21

2V = 20. 0,21

V = 2,1 m³

Essa Tarefa faz parte da resolução do LD3 e de acordo com a nossa classificação está

associada aos blocos 2 e 3.

A primeira representação é feita no quadro geométrico: esboço do primeiro e do

segundo degrau, que representa um paralelepípedo (prisma de base retangular), com as suas

respectivas medidas dos lados (altura, largura e profundidade). Depois o cálculo do volume

dos degraus é determinado no quadro numérico e algébrico. No quadro geométrico e

algébrico, é realizada a observação de um padrão, com a sua generalização que ocorre até

105

chegar ao último degrau da escada. Posteriormente a soma é feita usando apenas o quadro

numérico. A interface entre os quadros geométrico, algébrico e numérico possibilitou a

resolução da tarefa. Notamos que o conteúdo P.A., não se encerra em si, mas é aplicado em

uma situação e, além disso, faz conexões com outros conteúdos da Matemática (prisma,

dimensões, cálculo do volume).

Importante evidenciar que a obra apresenta de forma minuciosa todas as técnicas que

foram mobilizadas para a sua resolução.

TR7: Em decorrência de um ato de vandalismo, uma reserva florestal sofreu um processo de

queimada. Na 1ª hora teve 1 km² de mata queimada; na segunda hora, 2 km²; na 3ª hora, 4

km², e assim por diante (LD3, 2005a, p. 398).

a) Escrever a sequência e a fórmula do termo geral.

b) Fazer a representação gráfica dessa sequência.

Técnicas: construção de uma sequência (P.G.) a partir dos dados do problema; aplicação da

fórmula do termo geral para encontrar o termo an; tratamento da fórmula do termo geral como

uma função exponencial; encontro de pares ordenados; representação gráfica da sequência.

Quadros de resolução: numérico, algébrico e geométrico.

Resolução apresentada no LD3 (figura 33):

Figura 33 – Resolução da Tarefa 7.

Fonte: LD3, 2005a, p. 398.

Tarefa pertencente à resolução do LD3. As técnicas empregadas transcorrem pelo

quadro numérico, na construção da sequência, quadro algébrico ao encontrar o termo geral e

106

geométrico, ao ser representado no gráfico. Desse modo há uma vinculação entre os quadros,

constituindo os jogos dos quadros. Também faz conexão com o conteúdo função exponencial,

que é uma das recomendações das Orientações Curriculares Nacionais. No LD3 não há

referência a essa situação na parte expositiva da organização praxeológica, porém ela se

apresenta como tarefa resolvida. Por outro lado, os LD1 e LD2 propõem a situação na parte

expositiva, mas não apresentam tarefas resolvidas atreladas a ela.

4.4.3 Bloco 3 – Tarefas resolvidas (TR)

As tarefas resolvidas TR6 e TR7 também se agregam a este bloco.

TR8: Durante quinze dias observou-se o crescimento do caule de uma semente germinada. No

primeiro dia sua altura era de 10 mm e no último, 80 mm. Qual foi seu crescimento diário

sabendo-se que esse valor foi constante? (LD3, 2005a, p. 385).

Técnicas: interpretação da situação dada como uma P.A.; emprego da fórmula do termo

geral.

Quadros de resolução: numérico e algébrico.

A tarefa é resolvida na obra, assim:

Pelo enunciado podemos escrever: (10, ..., 80)

a1 = 10

a15 = 80

n = 15

Como an = a1 + (n – 10)r, temos: 80 = 10 + (15 – 1) . r

80 = 10 + (15 – 1) . r

r = 5

Diariamente a planta cresceu 5 mm.

Essa tarefa se encontra no LD3, e está inserida no bloco 3. Embora seja uma tarefa de

aplicação, a sua resolução se limita ao emprego da fórmula do termo geral.

TR9: Um corpo caindo em queda livre (desprezando-se a resistência do ar) tem, no final do

primeiro segundo, velocidade 9,8 m/s; velocidade de 19,6 m/s no final do segundo seguinte;

de 29,4 m/s no final do terceiro segundo; e assim por diante. Continuando nesse ritmo, qual

será a sua velocidade no final do décimo segundo?

Técnicas: interpretação dos dados do problema para constituir uma P.A.; emprego da fórmula

do termo geral.

107

Quadros de resolução: numérico e algébrico.

Resolução exposta na obra:

Estabelece a P.A. (9, 8; 19,6; 29,4; ...), na qual:

a1 = 9,8 e r = 9,8 e determina o termo a10:

an = a1 + (n – 10)r

a10 = 9,8 + 9 . 9,8 a10 = 98 m/s

Logo no final do décimo segundo sua velocidade será de 98 m/s.

É uma tarefa que está situada na resolução do LD1. É aplicada à física e embora

envolva a construção da P.A., a resolução se limita à mera aplicação de fórmula.

TR10: Numa situação em que há empréstimo de dinheiro para devolução depois de certo

número de períodos, e em que esse empréstimo é baseado no sistema de juros compostos, os

juros correspondentes a cada período são constantes e, por isso precisam ser calculados no fim

de cada período relativo ao montante atual da dívida. Dessa forma, no fim do 1º período, os

juros são acrescidos ao capital inicial, resultando no montante M1. No fim do 2º período, os

juros são recalculados sobre o montante M1 e somados, resultando no montante M2, e assim

por diante até o fim dos períodos contratados, em que o capital emprestado terá se

transformado no montante Mn (LD1, 2008a, p. 291).

Considere então um empréstimo de R$ 800,00 a ser pago em 6 meses, à taxa de juros

compostos de 4% a. m. No fim de 6 meses, quanto deverá ser pago para a quitação da dívida?

Técnicas: cálculo do fator de atualização, construção de um padrão numérico que mostra a

evolução dos valores; representação da sequência dos valores obtidos por uma progressão

geométrica; mostra que a razão da P.G. é igual a um acrescido da taxa de juros; emprego da

fórmula do termo geral para encontrar o montante usando como 1º termo o valor devido após

o 1º período; uso da fórmula do termo geral, porém usando o capital inicial.

Quadros de resolução: numérico e algébrico.

Resolução dada na obra:

x1 = x + 0,04x = x( 1 + 0,04) = 1,04x . Chamamos 1,04 de fator de atualização.

Essa é uma situação em que os valores devidos evoluem da seguinte forma:

Mês 0: 800,00

Mês 1: 800 . 1,04 = 832,00

Mês 2: 832 . 1,04 = 800 . (1,04)² = 865,28

Mês 3: 865, 28 . 1,04 = 800 . (1, 04)³ = ...

Mês 4: ...

108

Nota que é possível representar a sequência de valores devidos por uma progressão

geométrica usando como 1º termo o valor devido após o 1º período e, como razão, o valor do

fator multiplicativo que permite calcular a atualização do valor:

q = 1 + i = 1 + 0,04 = 1, 04

an = a1 . qn – 1

Mn = 832 . (1,04)n – 1

M6 = 832 . (1,04)6 – 1

= 1 012, 25

Observa também que é importante salientar que essa progressão poderia ser mais bem

representada usando-se a0 em vez de a1 no termo geral:

an = a0 . qn

Mn = 800 . (1,04)n M6 = 800 . (1,04)

6 = 1 012, 25

No fim do 6º mês, deverão ser pagos R$ 1 012, 25.

Todas as tarefas resolvidas utilizam o mesmo discurso tecnológico-teórico da parte

conceitual descrito na parte 1 dos estudos. Elaboramos o quadro 6, para identificarmos qual

discurso tecnológico-teórico sustenta as técnicas empregadas nas tarefas comentadas na parte

2 da investigação.

Quadro 6 – discurso tecnológico-teórico das tarefas resolvidas

TR1 TR2 TR3 TR4 TR5 TR6 TR7 TR8 TR9 TR10 TR11

TC1 x x x x x

TC2

TC3 x

TC4

TC5

TC6 x

TC7 x

TC8 x x x

TC9

TC10

TC11 x

TC12 x Fonte: os pesquisadores

Do mesmo modo, apresentamos a seguir a tabela 6 que contém um resumo do

quantitativo das tarefas resolvidas nos diversos quadros. Notamos que se referem a todas as

tarefas resolvidas dos LD1, LD2, LD3 e LD4.

109

Tabela 6 - Quantitativo de tarefas resolvidas nos diversos quadros

Livros Quadro

numérico

Quadros:

numérico e/ou

algébrico

Quadros: numérico,

algébrico e geométrico

LD1 3 66 1

LD2 1 20 1

LD3 4 27 2

LD4 2 21 3

Fonte: Os pesquisadores

Observamos que as resoluções das tarefas são predominantemente resolvidas no

quadro algébrico, o quadro numérico aparece mais como ferramenta para as etapas do estudo.

4.5 TAREFAS PROPOSTAS AOS ALUNOS: UMA ÓTICA PRAXEOLÓGICA

As tarefas propostas aos alunos foram categorizadas do mesmo modo que as tarefas

resolvidas pelos autores. A figura 34 mostra o resultado de dois grupos de tarefas propostas

aos alunos.

Figura 34 – Quantitativo de tarefas propostas aos alunos com/sem P.A./P.G. no enunciado

Fonte: Os pesquisadores

Do mesmo modo que investigamos as tarefas resolvidas, também a partir desses dois

grupos constituímos os blocos de tarefas que estão organizados no quadro 7. O quadro está

disposto em tipologias: às vezes, frequente e excesso. Sendo que as cores que se apresentam

têm os significados de acordo com a legenda:

Legenda do quadro 7:

Às vezes Frequente Excesso

110

Quadro 7 - Tarefas propostas aos alunos

Tarefas (TP) LD1 LD2 LD3 LD4

Bloco 1 - Limitada ao próprio conteúdo

Bloco 2 - Conexão interna à própria Matemática

Bloco 3 – Aplicação Fonte: Os pesquisadores

Elegemos essa organização dos tipos de tarefas propostas aos alunos desse modo para

termos uma visualização das tarefas que são mais comuns nos livros selecionados para a

pesquisa. A partir disso, selecionamos algumas delas para realizara análise, mais

especificamente a organização praxeológica, destacando as técnicas. O discurso tecnológico-

teórico é comentado de forma geral. Destacamos também, os possíveis quadros que poderiam

ser utilizados na resolução das tarefas.

Ressaltamos que realizamos a análise pensando em possíveis técnicas que os alunos

poderiam mobilizar na realização das tarefas.

Apresentamos a organização praxeológica de algumas tarefas propostas aos alunos.

4.5.1 Bloco 1 – Tarefas propostas aos alunos (TP)

TP1: Verifique se a sequência dada é uma P.A. e, caso positivo, dê o valor da razão r.

a) (2, 5, 8, 11, 14)

b) (15, 10, 5, 0, -5)

c) (2, 3, 5,7)

d) (

)

e) (1, 1 + √ , 1 + 2 √ , 1 + 3√ )

f) (

)

g)(–

)

h) (x – 5y, x – 2y, x + y, x + 4y) (LD1, 2008a, p.265)

Técnicas: para resolver essa tarefa, os alunos necessitariam ter conhecimentos prévios sobre

P.A.; verificar que um termo a partir do segundo menos o anterior é constante; encontrar a

razão das sequências que representam uma P.A.; mobilizar conhecimentos sobre subtração de

números racionais e irracionais, bem como subtração de polinômios.

Quadros de resolução: numérico e/ou algébrico

É uma tarefa fechada no próprio conteúdo P.A. No entanto, para a sua resolução, o aluno

teria que utilizar técnicas auxiliares, mobilizando conhecimentos prévios sobre subtração de

números racionais e irracionais, bem como subtração de polinômios.

TP2: Verifique se as sequências abaixo são progressões geométricas:

111

a) (a1, a2, a3, a4, a5, a6) tal que an = 3. 2n – 1

, com n natural não nulo e n ≤ 6.

b) (a1, a2, a3, a4, a5) tal que an = (n – 1)2, com n natural não nulo e n ≤ 5 (LD2, 2009a, p 35).

Técnicas: construir a sequência, substituindo os valores de n ≤ n fó u do te o ge

da sequência; empregar conhecimentos sobre P.G. para o cálculo da razão.

Quadros empregados na resolução: numérico e algébrico.

Essa tarefa requer o mesmo princípio da tarefa 1, mas apresenta um diferencial, pois o

autor não traz a sequência na forma numérica, para a sua resolução seria necessário

primeiramente construir a sequência por meio da substituição dos valores dos números

naturais de 1 a 6 para depois prosseguir com a verificação. Isso lhe confere um diferencial em

relação à tarefa 1.

Verificamos tarefas do gênero verificar apenas nos LD1 e LD2.

TP3: Dada a P.A. (2, 7, 12, 17, ...), determine:

a) o n-ésimo termo, isto é, an.

b) a soma dos n primeiros termos (LD2, 2009a, p. 225).

Técnicas: observar o padrão numérico; generalizar a fórmula do termo geral; deduzir a soma

dos n primeiros termos da P.A; ou empregar diretamente a fórmula do termo geral e da soma.

Quadros empregados na resolução: numérico e algébrico.

É necessário esclarecer que caso a resolução do aluno seja feita com base na

praxeologia exposta na obra, a resolução se daria apenas com a aplicação das fórmulas do

termo geral e da soma, caso contrário poderia estar mobilizando outras técnicas.

4.5.2 Bloco 2 – Tarefas propostas aos alunos (TP)

TP4: Felipe começa a escrever números naturais em uma folha muito grande, uma linha após

a outra, como mostrado a seguir:

1

2 3 4

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11 12 13

6 ....7....8....9...10...11....12 12 14 15 16

..................

Considerando que Felipe mantenha o padrão adotado em todas as linhas:

a) determine quantos números naturais ele escreverá na 50ª linha;

112

b) determine a soma de todos os números escritos na 50ª linha;

c) prove que a soma de todos os elementos de uma linha é sempre o quadrado do número

ímpar (LD4, 2005a, p. 381).

Técnicas: observar e continuar o padrão apresentado, utilizando apenas o quadro numérico

até se chegar a 50ª linha; somar todos os números naturais 50ª linha; generalização da fórmula

do termo geral para obter a quantidade de números da 50ª linha; empregar a fórmula do termo

geral; deduzir ou aplicar a fórmula da soma; conjecturar.

Quadros de resolução: numérico e algébrico.

TP5 (figura 35):

Figura 35 – TP5

Fonte: LD1, 2008a, p. 262.

Técnicas: para responder as questões propostas os alunos poderiam usar a técnica de observar

que existe um padrão geométrico na construção dos triângulos, ou seja, um triângulo três

palitos, dois triângulos cinco palitos..., e assim ir desenhando os triângulos usando apenas o

quadro geométrico. Também poderiam completar a tabela até chegar ao número de palitos

necessários para formar os triângulos, nesse caso estariam utilizando o quadro aritmético.

Outra forma de resolução poderia ser a de encontrar o termo geral de uma sequência, usando o

padrão apresentado para o processo de generalização, incidindo no quadro algébrico.

Quadros de resolução: numérico, algébrico e geométrico.

113

TP6: Calcule a soma dos n primeiros números naturais ímpares (LD2, 2009a, p. 225).

Técnicas: usar o diagrama pitagórico; escrever a sequência dos números naturais ímpares;

somar os dois primeiros termos; somar os três primeiros termos e assim sucessivamente;

generalizar a fórmula para calcular a soma dos n primeiros números naturais ímpares.

Quadros de resolução: numérico, algébrico e geométrico.

TP7: Partindo de um quadrado Q1, cujo lado mede a, consideremos os quadrados Q2, Q3,

Q4,..., tal que os vértices de cada um sejam os pontos médios dos lados do quadrado anterior.

Determine o limite da soma das áreas de todos esses quadrados (LD1, 2008a, p.289).

Técnicas: esboçar o desenho dos quadrados; encontrar a medida dos lados dos quadrados;

considerar as sequências das áreas dos quadrados uma P.G.; encontrar o primeiro termo e a

razão da P.G.; usar a fórmula do limite da soma de uma P.G.

Quadros de resolução: numérico, algébrico e geométrico.

TP8 (figura 36):

Fonte: LD2, p. 239

Técnicas: resolver no quadro geométrico, dando continuidade ao desenho apresentado no

enunciado da tarefa; observar padrão geométrico ou numérico.

Quadros de resolução: numérico, algébrico e geométrico.

As tarefas apresentadas nesse bloco fazem articulação com outros conteúdos da

Matemática. Encontramos nos livros selecionados tarefas que fazem conexão com diversos

Figura 36 – Tarefa TP8

114

conteúdos da Matemática, sendo algumas delas bastante interessantes, embora seja fechada na

própria Matemática. Algumas delas contribuem para o desenvolvimento do pensamento

algébrico, constituindo uma função formativa da Matemática. A resolução exige que o aluno

encontre técnicas que não são caracterizadas como um processo previamente estruturado.

Verificamos também algumas em que a sua resolução pode ser dada por meio dos diversos

quadros, conforme mostramos em cada tarefa apresentada.

4.5.3 Bloco 3 – Tarefas propostas aos alunos (TP)

TP9: Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, foi um matemático italiano que

viveu de 1 180 a 1 250, aproximadamente. Em 1 202, ele propôs em sua obra Líber abaci

(Livro de cálculos) o problema a seguir, de grande repercussão por ter aplicações em várias

áreas do conhecimento, como Economia, Biologia, Física, etc.

“Admitindo-se que cada casal de coelhos só procrie pela primeira vez aos dois meses,

exatamente, após o seu nascimento e que, a partir de então, gere um casal a cada mês, quantos

casais haverá ao final de doze meses, partindo-se de um único casal de coelhos recém-

nascidos?”

A sequência formada pelo número de coelhos em cada mês ficou conhecida como sequência

de Fibonacci. Agora em grupos, resolvam os itens abaixo:

a) Representem os doze primeiros termos da sequência de Fibonacci.

b) Considerando infinita a sequência de Fibonacci, dê sua lei de formação.

Na sequência (an) de Fibonacci, a razão

tende ao número 1, 61803..., quando n

aumenta indefinidamente. Esse número é conhecido como número de ouro (LD2, 2009a,

p.216).

Técnicas: interpretar os dados do problema; constituir a sequência a partir da interpretação

feita; observar que o primeiro termo é igual ao segundo; observar que a partir do terceiro

termo existe um padrão que vai se repetindo; observar que a sua lei de formação é definida

por recorrência.

Quadros de resolução: numérico e algébrico.

TP10 (figura 37)

115

Figura 37– TP10

Fonte: LD2, 2009a, p. 220

Técnicas: interpretar os dados do problema como uma P.A.; escrever numericamente a

sequência a partir do primeiro termo 87,9 até 107,9 para obter o número máximo de emissoras

FM ou empregar a fórmula do termo geral.

Quadros de resolução: numérico e/ou algébrico.

Tarefas que compõem esse bloco desempenham a função instrumental da Matemática,

são problemas que se aplicam a situações de outras áreas do conhecimento. A tarefa 9 se

aplica a uma situação real, o autor do LD2 traz informações adicionais, ou seja, aspectos

históricos. Além disso, desempenha uma função formativa da Matemática.

Para esse bloco de tarefas seria interessante as obras proporem mais tarefas que se

articulam com Matemática financeira, conforme tarefa resolvida do LD1. Em todos os livros

selecionados são apresentadas algumas, no entanto, os problemas poderiam ser mais

interessantes.

4 . 6 RESULTADOS E DISCUSSÃO DAS ANÁLISES

Fizemos alguns comentários concernentes aos aspectos históricos apresentados nos

LD1, LD2, LD3 e LD4 no item 3.2 deste capítulo. Assim, não sentimos a necessidade de

inserir mais discussões sobre essa parte dos estudos. Então, os resultados e discussões são

referentes à parte conceitual, tarefas resolvidas e tarefas propostas aos alunos.

4.6.1 Parte conceitual

116

Os estudos referentes à parte conceitual mostraram que os tópicos dos capítulos que se

referem às progressões aritméticas e geométricas são introduzidos, na maioria das vezes,

mediante apresentação de problemas que podem ser modelados como uma progressão

aritmética e geométrica, para as quais as obras usam técnicas que permitem a sua resolução.

As técnicas são apresentadas e posteriormente o discurso tecnológico-teórico é explicitado,

são raras as situações em que o discurso tecnológico-teórico é exposto sem apresentação de

técnicas.

Observamos que dentre as 12 situações analisadas, o discurso tecnológico-teórico da

TC1 dos LD1 e LD4 não condizem com as técnicas apresentadas. Parece que há uma tentativa

em atender as recomendações das Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006), pois

as obras não explicitam e nem fazem relação do conteúdo sequências com funções, entretanto,

as define como funções.

Não identificamos na parte conceitual dos LD3 e LD4 a articulação do conteúdo

sequências com funções. Essa articulação é dada pelos LD1 e LD2 nas TC3 e TC9 (interpretar

geometricamente P.A. e P.G., respectivamente), nas quais se estabelece relações com funções

afim e exponencial. Também é apresentada no LD1 na TC11 (definir progressões aritméticas

de 2ª ordem), sendo constituída uma vinculação entre P.A. e função quadrática.

Outra sugestão dos documentos oficiais é o estudo de P.G. infinita, quanto a esse

aspecto verificamos que os quatro livros abordam o assunto.

Ao estudar a organização praxeológica da parte conceitual dos livros didáticos, nossos

olhares se ativeram nas técnicas que vislumbram a generalização de padrões, que é mais uma

proposta dos documentos oficiais. Constatamos que essa técnica é realizada pelos autores, em

algumas das situações estudadas.

Outro olhar dos estudos se baseia na busca de soluções para um problema, nos

diferentes quadros: numérico, algébrico, geométrico, os quais constituem os jogos de quadros

propostos por Douady (1992). No entanto, nessa parte do estudo identificamos um número

reduzido de tarefas que possibilitem a articulação dos diferentes quadros.

A articulação dos quadros numérico, algébrico e geométrico é explorada pelos LD1 e

LD2 nas TC3 e TC9 (interpretar geometricamente P.A. e P.G.), na TC6 (adicionar os termos de

uma P.A.). São encontrados também nas praxeologias dos LD1 e LD3 na TC12 (limite da

soma dos infinitos termos de uma P.G). Verificamos que é muito conveniente o uso dos

diferentes quadros, pois conforme os documentos oficiais essa é talvez a exclusiva chance de

o aluno estender o conceito de adição para um número infinito de parcelas, e assim obter uma

ampliação da sua compreensão sobre o assunto, tendo a oportunidade de se defrontar com as

117

ideias de convergência e de infinito. Disso decorre a necessidade da explicação detalhada para

essa situação, tendo em vista que essas ideias foram e ainda são fundamentais para o

desenvolvimento da ciência. Oferecer formas diferenciadas para a compreensão da ideia de

infinito nos diferentes quadros pode desencadear melhor compreensão tanto dos professores

quanto dos alunos e pode ainda contribuir para o desenvolvimento do pensamento algébrico.

Nas demais situações as técnicas são apresentadas nos quadros numéricos e

algébricos. Na maioria das vezes, parte de um caso particular empregando o quadro numérico

e posteriormente há o uso o quadro algébrico.

4.6.2 Tarefas resolvidas

Analisamos a organização praxeológica pontual de cada situação na primeira parte

dos estudos. Para cada organização pontual algumas tarefas são resolvidas, constituindo a

praxeologia local.

Conforme vimos no quadro 5, as tarefas que se limitam ao próprio conteúdo (Bloco 1)

são frequentemente resolvidas pelos autores dos LD1, LD2 e LD4. Já o LD3 apresenta um

excesso de tarefas que contemplam esse bloco.

Tarefas que fazem conexões internas à própria Matemática (Bloco 2) aparece

frequentemente na organização praxeológica dos LD3 e LD4 e, às vezes, é apresentada pelos

LD1 e LD2. As tarefas de aplicação (Bloco 3) às vezes são resolvidas nos quatro livros

analisados.

Conforme vimos, na TR6 do LD1 e na TR7 do LD3, existem outras formas de se

encontrar a resolução, que ora pode ser no quadro numérico, ora pode ser no quadro

algébrico. Por outro lado, na maioria das vezes a prioridade da resolução é dada em função da

aplicação de fórmulas. Na verdade, os autores excluem técnicas alternativas, que podem ser

eficazes para encontrar o resultado desejado. Assim, constatamos que as resoluções das

tarefas são dadas em decorrência da parte expositiva dos autores.

Também vimos que algumas tarefas não foram contempladas na parte conceitual, elas

são dadas como exercício resolvido, como é o caso do LD3, que estabelece conexão entre P.A

e P.G. nas tarefas resolvidas.

Os estudos referentes às tarefas resolvidas expostas nos livros didáticos nos

possibilitaram verificar que embora haja algumas situações que fazem conexão com outras

áreas de conhecimento e com a própria Matemática, ainda há nas praxeologias apresentadas

nas obras o predomínio de tarefas do gênero calcular, determinar, que se constituem em

118

tarefas de imitação, visando a rotinização da técnica. Consideramos que tarefas desse tipo se

caracterizam como exercícios e envolvem a mera aplicação do discurso tecnológico-teórico,

ou seja, aplicação dos resultados advindos da parte expositiva dos autores, como por exemplo,

a aplicação direta da fórmula do termo geral de P.A. e P.G, da fórmula da soma de P.A entre

outras. Na verdade, são tarefas que não exigem técnicas diversificadas para a sua solução, são

as tarefas rotineiras. As tarefas que se caracterizam como problema são as que exercitam o

pensar matemático, exigem criatividade na resolução e precisam de vários pontos de vista

para a sua resolução.

4.6.3. Tarefas propostas aos alunos

As possíveis técnicas empregadas nas resoluções das tarefas que demandam

conhecimentos sobre progressões estão organizadas no quadro 8.

Quadro 8 – Tipos de tarefas

Fonte: os pesquisadores

Tipos de tarefas Possíveis Técnicas

- Provar/demonstrar uma expressão

que envolve sequências (progressões).

Conjecturar e levantar hipóteses

Aplicar a definição de P.A.

Aplicar a definição de P.G.

-Verificar se uma sequência é P.A ou

P.G.

Aplicar a definição de P.A./ P.G.

- Encontrar o termo geral de uma

sequência.

- Encontrar termos de sequências

definidas por recorrência.

Observação de um padrão

numérico/geométrico;

Generalização de padrões

Dedução da fórmula

- Calcular/determinar os termos de

uma P.A/P.G.

Conhecimentos de P.A./P.G.

Encontrar a razão da P.A/P.G.

Determinar o termo geral e a

soma de P.A/P.G. usando apenas

o quadro numérico;

Aplicar a fórmula do termo geral

e da soma.

- Calcular/determinar a soma de uma

P.A/P.G.

Determinar o produto de n primeiros

termos de uma P.G.

Aplicação da fórmula do produto

dos n primeiros termos de uma

P.G.

Classificar se uma sequência é ou não

uma progressão aritmética.

Definição de P.A.

Definição de P.G.

Determinar a razão de uma P.A./P.G.

119

As outras tarefas incidem de conhecimentos prévios que supostamente os alunos

construíram em anos anteriores.

Essas técnicas se aplicam aos três blocos de tarefas. No bloco 1 que agrega tarefas

que se limitam ao próprio conteúdo, os livros as resolvem com frequência, com exceção do

LD3, que apresenta excesso de tarefas resolvidas. Do mesmo modo, os LD1 e LD3 propõem

uma quantidade ampla dessas tarefas. E os LD2 e LD4 as propõem com frequência.

Evidenciamos que as tarefas que se juntam a esse bloco são exaustivas coletâneas de

cálculos que fazem o simples uso de fórmulas, o que contradiz as recomendações das

Orientações Curriculares Nacionais. Fórmulas, macetes são esquecidos, é muito mais

interessante aprender a constituí-las, conjecturar, generalizar. As fórmulas são consequências

do ato de fazer Matemática e não o seu ponto central.

Para esse bloco seria interessante que os livros proporcionassem inicialmente um

número maior de tarefas que estimulassem a observação de padrões, com sua respectiva

generalização.

Nesse sentido estaria contribuindo para o desenvolvimento do pensamento algébrico,

pois Fiorentini, Miguel e Miorim (1993) recomendam a percepção de regularidades com o

procedimento de generalização como perspectiva para o desenvolvimento do pensamento

algébrico.

As tarefas que estabelecem conexões internas à própria Matemática (Bloco 2) são

frequentes nos LD1, LD2, LD3 e LD4. Observamos que os livros propõem pouquíssimas

tarefas que se articulam com o conteúdo funções. As obras propõem tarefas que estabelecem

conexões com outros conteúdos da Matemática, como, fração geratriz, ângulos, equação do

segundo grau, múltiplos e divisores, média, teorema de Pitágoras etc.

Historicamente os padrões geométricos eram bastante explorados, Pitágoras, por

exemplo, os observava e a partir disso conjecturava, estabelecia relações. Desse modo,

poderiam ser propostas mais tarefas no quadro geométrico para estimular o pensamento dos

alunos. Pesquisas de Ferreira (2009), Carvalho (2008) mostram, que mesmo estando no

Ensino Médio os alunos não empregaram notação algébrica formal para representar a

generalidade. Fato que nos remete a conjecturar que ainda há a necessidade de proporcionar

situações que explorem isso.

Quanto às tarefas de aplicação (Bloco 3), verificamos que os LD1 e LD2 as propõem

frequentemente, e os LD3 e LD4 as propõem raramente. Tarefas desse bloco condizem com

outro ponto de vista do PCNEM (1999), segundo o qual a Matemática do Ensino Médio

120

também exerce um valor instrumental, serve para resolver situações das atividades do

cotidiano. Essas tarefas referentes ao conteúdo sequências se aplicam a situações de

Matemática financeira, biologia, física entre outras.

Enfatizamos que apesar de se caracterizarem como tarefas de aplicação, muitas dessas

tarefas apresentadas nos livros didáticos, principalmente nos LD3 e LD4, fazem parte de uma

realidade idealizada, com dados artificiais. Os livros poderiam esclarecer ao leitor o que é real

e o que é irreal. Conforme vimos no capítulo da história das sequências, existem muitas

situações que aproximam o conteúdo de situações que são reais.

Percebemos que os LD1 e LD3 ainda propõem muitas tarefas aos alunos que

explicitam P.A. e P.G. no enunciado, conforme dados da figura 34. É importante atentar para

esse fato, pois em situações cotidianas, quem modela e articula a situação com o conteúdo é

quem resolve o problema.

CONSIDERAÇÕES

O objetivo central deste trabalho foi investigar como os livros didáticos propõem o

estudo do conteúdo sequências no primeiro ano do Ensino Médio.

Um dos fundamentos para realizar os estudos foram os documentos oficiais, os quais

indicam que a Matemática no Ensino Médio tem um valor formativo, que auxilia a estruturar

o pensamento e o raciocínio dedutivo, e ainda desempenha uma função instrumental.

No contexto de desenvolver o pensamento matemático e o raciocínio dedutivo, os

documentos oficiais destacam a importância de se trabalhar atividades sobre a resolução de

problemas diversificados, que incentivam a elaboração de conjecturas, estímulo da

observação de regularidades com a generalização de padrões, os quais são elementos

essenciais do conhecimento matemático. Os documentos oficiais recomendam ainda que o

estudo do conteúdo sequências deva dar ênfase na fórmula do termo geral. Apesar de não

dizerem como, acreditamos que não deveriam ser dadas as fórmulas prontas, mas sim oferecer

diversas situações para que os próprios alunos as deduzam, contribuindo dessa forma para

desenvolver o pensamento algébrico.

Com esta perspectiva, a generalização de padrões é um dos objetivos dos quatro livros

selecionados para os estudos, convém ressaltar que embora esse objetivo seja contemplado

pelos livros selecionados para esta investigação, acreditamos que essa abordagem ainda não é

satisfatória para o conteúdo sequências, visto que todas as primeiras generalizações são

realizadas pelos autores, sem dar margem à criatividade dos alunos. Em geral, a parte

conceitual é toda desenvolvida pelos autores, e tarefas que incentivem a observar

regularidades, com o uso da linguagem algébrica para representá-las não são propostas com

muita frequência no capítulo que trata das progressões aritméticas e geométricas.

Além disso, as Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros

Curriculares Nacionais – PCN+ indicam a necessidade de garantir uma abordagem das

sequências vinculada à ideia de função. Com base nisso, verificamos que os objetivos

expostos nos livros didáticos não contemplam tal abordagem. Contudo, ainda que não

explicitem como objetivo, essa articulação entre os conteúdos é proposta pelos LD1 e LD2 na

parte conceitual. Porém são raras as tarefas propostas que aproximam progressões e funções.

Outra recomendação dos documentos oficiais é o estudo da progressão geométrica

infinita com razão positiva e menor que um. Nesse aspecto, os autores além de contemplá-lo

122

nos objetivos, também desenvolvem um tópico sobre o assunto, o que representa um fator

relevante para os estudos. De acordo com os documentos oficiais, essa é talvez a única

oportunidade de o aluno ampliar o conceito de adição para um número infinito de parcelas,

aumentar sua compreensão sobre a adição e ter a oportunidade de se defrontar com as ideias

de convergência e de infinito no Ensino Médio.

Para o capítulo referente às progressões aritméticas e geométricas não identificamos

nos LD2 e LD4 objetivos que se caracterizam como função instrumental. Porém, dentre os

livros selecionados para esta pesquisa, observamos que o LD2 é o que mais apresenta

equilíbrio entre os blocos de tarefas, com maior consonância com os documentos oficiais em

relação ao capítulo das progressões. O autor propõe algumas tarefas que se aplicam a algumas

situações. Os estudos nos mostram que todos os objetivos expostos para o capítulo destinado

às sequências são contemplados pelos autores dos livros LD2 e LD4.

Verificamos que o LD1 expõe competências e habilidades que figuram como uma

função instrumental. Por outro lado, os estudos evidenciam que embora o livro apresente esse

aspecto, ainda são propostas um excesso de tarefas dos gêneros calcular, determinar entre

outros. Propõe tarefas, muitas vezes repetitivas. As tarefas mais interessantes são

apresentadas no final do capítulo, nas atividades adicionais e questões de vestibulares. Diante

disso, constatamos que a obra é parcialmente coesa com as competências e habilidades que

expõe para o estudo de progressões.

Para o capítulo que diz respeito às sequências, o LD3 apresenta vários objetivos que

confere um valor instrumental. No entanto, ainda possui um exagero de tarefas do gênero

calcular, determinar. As questões mais interessantes também estão no final do capítulo. Por

outro lado, na apresentação da obra, os autores ressaltam que o maior objetivo é colocar o

leitor diante de uma Matemática que os instigue e ao mesmo tempo ofereça uma busca para

compreensão de mundo. Porém, verificamos que em relação às progressões, os alunos são

pouco instigados. Evidenciamos que esse é o livro mais utilizado no município de Cuiabá, no

entanto, não temos clareza da razão da escolha desse material. Convém destacar que não

analisamos outros capítulos, mas conforme o catálogo do PNLEM (2009) tal obra não é a que

possui um maior índice de aspectos positivos na síntese avaliativa.

Na verdade, constatamos que a atividade algébrica do capítulo referente às progressões

ainda é a “letrista” tradicional que se assenta na concepção descrita por Forentini, Miguel e

Miorim (1993), ou seja, é Fundamentalista-Estrutural. De modo geral, os livros didáticos

empregam no capítulo referente às progressões, técnicas (algoritmos), e a prática (tarefas). As

123

técnicas utilizadas nas praxeologias pouco estimulam a investigação dos alunos,

principalmente nos LD3 e LD4.

Verificamos que embora apresentem uma diversidade de tarefas, as obras selecionadas

para esta investigação atendem parcialmente as recomendações dos documentos oficiais no

capítulo referente às progressões. Assim, consideramos como elemento caracterizador do

pensamento algébrico, a percepção de regularidades, as tentativas de expressar a estrutura de

uma situação-problema, com o processo de generalização.

Nesse sentido, enfatizamos a importância de articular progressões com funções afins e

exponenciais para modelar situações. As tarefas podem ser de contextos puramente

matemáticos, ou podem ser vinculadas às situações da vida real. O importante é que elas

sejam bem selecionadas, sejam instigantes, que se apresentem como um desafio aos alunos.

É esperado que as obras proponham com mais frequência o uso e a integração dos

diferentes quadros, na resolução de problemas. A álgebra proporciona um modo de apropriar-

se da estrutura dos problemas que provém de uma elaborada construção, na qual o livro

didático tem um papel essencial a desempenhar, visto que ainda é uma das fontes de

influência no ensino da Matemática, em particular no que retratamos nesta pesquisa,

progressões aritméticas e geométricas. Seria interessante incentivar o uso dos diferentes

quadros na resolução das tarefas, conforme proposto por Douady (1992).

A Teoria Antropológica do Didático, em particular a praxeologia de Chevallard

(1999), nos possibilitou realizar uma análise das progressões, o que nos permitiu identificar

minúcias relevantes para os estudos, que podem passar despercebidas pelos professores ou até

mesmo pelos próprios autores dos livros didáticos.

Deste modo, esta pesquisa remete a reflexões a respeito das praxeologias expostas nos

livros didáticos que podem influenciar nas praxeologias dos professores, bem como os

possíveis efeitos sobre a aprendizagem dos alunos, o que acresce contribuições proeminentes

para a Educação Matemática. As ações realizadas proporcionam uma reflexão para o processo

ensino aprendizagem das progressões, e podem colaborar para que haja mudanças na

organização didática e Matemática dos livros didáticos no capítulo referente às progressões,

assim como propor mudanças no próprio espaço escolar, nas quais o professor pode

enriquecer a utilização do livro didático.

Entre os livros selecionados para os estudos, constatamos que não existe um livro

“completo” que contemple todas as recomendações dos documentos oficiais, com autores que

proponham um ensino que contribua efetivamente para o desenvolvimento do pensamento

algébrico nos estudos das progressões. Ainda que contemplasse todas as recomendações não

124

seria completo, então, cabe ao professor selecionar o livro que considerar mais adequado,

segundo sua opinião e de acordo com os alunos que tem na escola, tendo em mente a

necessidade de ao se planejar as aulas recorrer a mais de um livro didático.

A nossa pesquisa foi delimitada às progressões aritméticas e geométricas, entretanto a

efetivação desta nos proporcionou saberes que são necessários para uma boa utilização do

livro didático, agregando conhecimentos que podem ser adaptados a outros conteúdos

abordados pelos livros didáticos.

Hoje os nossos olhares para esse recurso já não são mais os mesmos, a partir desta

pesquisa podemos potencializar o seu uso. Na utilização ou escolha de um livro didático,

podemos questionar sobre a finalidade de se propor tantas tarefas semelhantes; se o livro

propõe caminhos diferentes para a resolução de um dado problema; se as praxeologias

expostas nos livros didáticos são coesas com a nossa; se todas as situações apresentadas na

parte conceitual são realmente necessárias; averiguar se há um equilíbrio de tarefas propostas

que tenham função formativa e instrumental; observar se atendem as recomendações dos

documentos oficiais; selecionar as tarefas que realmente são necessárias aos estudos de

progressões; verificar se as tarefas aparecem sem motivos válidos, como por exemplo, o

produto dos termos de uma P.G., representação genérica de uma P.A entre outros.

Por meio dos mapeamentos citados na introdução desta dissertação, identificamos que

algumas pesquisas direcionadas para o conteúdo do Ensino Médio em livros didáticos já

foram realizadas, a nossa pesquisa é mais uma dentre elas. Apesar disso, pesquisas que

focalizam os estudos em livros didáticos do Ensino Médio não se esgotaram, ainda existem

vários pontos a serem investigados. Nesse contexto, sugerimos futuras pesquisas que possam

ampliar a nossa, com a respectiva observação das praxeologias dos professores no que

concerne ao uso do livro didático de Matemática na proposta das progressões aritméticas e

geométricas.

Além disso, recomendamos estudos das organizações praxeológicas de outros

conteúdos, visto que existem diversos que ainda não foram contemplados pelas pesquisas e a

discussão sobre trabalhos que tematizam os diferentes saberes do conhecimento nessa etapa

de escolaridade ainda não são satisfatórios.

Acreditamos que a soma desta investigação com outras já realizadas, que tiveram

como fonte de pesquisa o livro didático de Matemática podem ser referência para autores de

livros didáticos, pesquisadores e professores, de modo a acrescentar contribuições bastante

consistentes.

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