Programao Linear Aplicaes em redes e transporte.

(Programao Linear Aplicaes em redes e transporte. ) (30)

No volume 3, a disciplina Mtodos Quantitativos tratou do assunto Programao Linear no ambiente de gesto. Vimos que este assunto era um importante instrumento dos gestores na anlise de problemas e na tomada de decises.

A possibilidade de obteno da melhor resposta para um dado problema (otimizao), por meio da criao de um modelo matemtico e do uso da ferramenta SOLVER do Excel, tem aplicaes prticas comprovadas no ambiente de gesto.

Neste roteiro de estudo do Volume 04, trataremos da resoluo dos problemas de distribuio e de transporte que, apesar de serem facilmente resolvidos com o auxlio da programao linear, tm caractersticas singulares que merecem ser destacadas.

necessrio aprender como interpretar o relatrio de sensibilidade do SOLVER para que se possa ampliar o entendimento sobre a resposta calculada com o uso da programao linear, chegando-se, assim, a outras possibilidades de interpretaes das solues encontradas.

ANLISE DA SENSIBILIDADE

Em todos os modelos de programao linear, os coeficientes da funo objetivo e das restries so considerados como entrada de dados ou parmetros para os modelos. As solues timas que obtemos so baseadas nos valores destes coeficientes que, na prtica, so raramente conhecidos com absoluta certeza.

A anlise de sensibilidade nos ajuda a entender como esta soluo tima mudar mediante a entrada dos novos coeficientes. Custo reduzido, preo sombra, limites dos coeficientes da funo objetivo e das restries so termos cujo entendimento necessrio para conduzirmos a anlise de sensibilidade.

Para proporcionar um melhor entendimento sobre o assunto, trabalharemos, novamente, com o caso da confeco de roupas, que foi apresentado no nosso ltimo roteiro (volume 03).

O CASO DA CONFECO DE ROUPAS

Cada variao nos valores destes coeficientes muda o problema de programao linear que pode afetar a soluo tima encontrada anteriormente.

Lembrando o exemplo:

Imaginemos que seja pedido a voc, como gestor de uma confeco de roupas, e precisa determinar a melhor forma de produzir a linha Jeans da empresa, neste momento, para que a margem de contribuio total da linha seja a maior possvel. Voc, juntamente com o setor de contabilidade da empresa, consegue as seguintes informaes relevantes:

1. Margens de contribuio dos produtos, por unidade:

2. Restries produo:

A melhor soluo, neste caso, seria uma combinao de produo que contribusse para gerar a maior Margem de Contribuio Total (MCT) possvel, dentro dos limites mximos estabelecidos para o espao fsico, estoque de tecidos e horas-mquinas. Neste caso, atribuindo as variveis a, b e c para as quantidades de cada produto, temos que a funo objetivo para a MCT pode ser representada pela soma das margens totais de contribuio para cada produto, assim:

J que funo est sujeita s restries impostas pelo problema, teremos que a quantidade total de recursos necessrios para a produo no poder ultrapassar o limite estabelecido no levantamento das informaes. Assim, podemos representar os limites do problema por meio de inequaes, como apresentado, a seguir:

4a + 1b + 2c 2.500 (espao fsico em m2 )

1a + 4b + 2c 4.000 (tecido em m)

1a + 2b + 4c 3.500 (horas-mquina, em h)

Em que: a, b, e c 0, pois no se podem fabricar quantidades de produtos negativas.

Colocando os dados numa planilha Excel, temos:

Para que possamos tornar este exemplo mais apropriado para as anlises de sensibilidade, consideraremos que, em funo de um aumento de custo, a margem de contribuio unitria das saias tenha sido reduzida para R$ 1,50.

Modificando o valor do coeficiente das saias na funo objetivo de R$ 2,00 para R$ 1,50 vamos executar novamente o procedimento de soluo do SOLVER.

O relatrio de Resposta fica:

O Relatrio de Sensibilidade fica:

Este relatrio til para avaliarmos o quo sensvel a resposta obtida frente a possveis mudanas nos coeficientes do modelo. As principais variaes a serem analisadas so a dos coeficientes da funo objetivo, dos limites das funes de restries e dos coeficientes das restries.

Para entender o Custo Reduzido, tente isto:

Faa uma cpia da planilha, e mude o valor da clula B3 de 1,5 para 1,6.

Use Solver para resolver o problema (novamente).

O que aconteceu?

Nada mudou!

Agora tente isto

Faa uma cpia da planilha, e mude o valor da clula B3 de 1,6 para 1,7.

Use o Solver para resolver o problema (novamente).

O que aconteceu?

Tranquilo, nada aconteceu.

Agora faa isto

Faa uma cpia da planilha, e mude o valor da clula B3 de 1,7 para 1,83335.

Use o Solver para resolver o problema (novamente).

O que aconteceu?

O valor timo da quantidade de saia no mais zero.

Explicao:

Quando o valor da clula B3 aumentou para 1,83335, O valor timo da quantidade de saia no mais zero.

De onde veio este 1,83335?

1,5 + 0,33335= 1,83335

O coeficiente objetivo original da quantidade de saia menos o custo reduzido (acrscimo permissvel).

No problema original, o valor timo da varivel de deciso quantidade de saia foi zero. O custo reduzido , portanto, a quantia que o coeficiente objetivo da varivel de deciso quantidade de saia teve que aumentar (num problema de maximizao) para o valor timo desta varivel de deciso quantidade de saia ficar positivo e maior que zero.

Num problema de minimizao, o custo reduzido a quantia que o seu coeficiente objetivo tem que diminuir para o valor timo de daquela varivel de deciso ficar positivo.

Interpretando o custo reduzido

a quantia que o coeficiente da varivel de deciso na funo objetivo teria que melhorar antes que fosse vantajoso dar varivel de deciso em questo um valor positivo (diferente de zero) na soluo tima.

a quantia de penalidade que voc teria que pagar para poder introduzir uma unidade daquela varivel de deciso na soluo tima.

O custo reduzido s se aplica a variveis que na soluo tima so zero

Agora, tente isto

Faa uma cpia do problema original, com a margem unitria da varivel de deciso quantidade de saia como 1,5.

Adicione uma restrio forando a varivel de deciso quantidade de saia =1.

O que aconteceu?

O valor da funo objetivo caiu de (6.500 6.499,67) = 0,33

De onde veio este 0,33?

Explicando...

O custo reduzido de uma varivel de deciso (cujo valor timo correntemente zero) a taxa em que o valor da funo objetivo penalizada quando uma varivel forada numa soluo tima anteriormente.

Adicionamos uma restrio forando a varivel de deciso quantidade de saia =1, e o valor da funo objetivo LUCRO penalizado (diminudo) por 1 * 0,33.

O que acontece se tentarmos forar a quantidade de saia para =100? Resp: 33,33

Entendendo o Preo Sombra (Shadow Price)

a quantidade em que a funo objetivo (lucro no nosso exemplo) melhoraria se o limite da restrio (RHS) aumentasse em uma unidade.

Para entender o Preo Sombra, tente isto:

Faa uma cpia da planilha, e mude o valor da clula G8 de 4.000 para 4.100.

Use Solver para resolver o problema (novamente).

O que aconteceu?

Advertncia:- No se esquea de excluir aquela restrio adicional de 100 como quantidade obrigatria de saia.

Vemos claramente da soluo do Solver que se aumentarmos a disponibilidade de tecidos em 100m, teremos uma melhora (aumento) na funo objetivo (lucro) de R$ 16,67. Este o mximo valor que estaramos dispostos a pagar pela adio de 100 metros de tecido.

Cuidado o acrscimo mximo permissvel de tecido de 3.000 metros!

No caso de escassez de material, o decrscimo mximo seria de 2.250 metros.

Tente isto agora para entender o Preo Sombra

Faa uma cpia da planilha, e mude o valor da clula G9 de 3.500 para 3.600.

Use Solver para resolver o problema (novamente).

O que aconteceu?

O preo sombra assim chamado porque diz quanto voc estaria disposto a pagar pelas unidades adicionais de um recurso.

Acrscimo e decrscimo permissvel

Estes limites mostram at onde voc pode mudar um coeficiente na funo objetivo sem causar mudana nos valores timos das variveis de deciso, ou mudar o limite da restrio de uma fila sem fazer com que quaisquer dos valores timos dos preos sombras ou custo reduzido mudem.

importante atentarmos para o fato de que esses valores so apenas vlidos se estamos planejando alterar um nico coeficiente da funo objetivo ou dos limites das restries. possvel, portanto, mudar um coeficiente de qualquer quantidade que indicada nos limites permissveis sem causar uma mudana na soluo tima.

Anlise do exemplo

A partir deste ponto, aprenderemos que possvel, sem utilizao de NOVAS TENTATIVAS de resoluo no Excel, medir o impacto das variaes nos coeficientes da funo objetivo.

O relatrio de sensibilidade poderia nos ajudar a responder vrios questionamentos:

PREO SOMBRA:

Se a confeco tivesse que fazer uma manuteno preventiva, diminuindo em 50 horas-mquinas na capacidade mxima de produo, quanto seria reduzido na margem de contribuio total da empresa?

RESPOSTA:

No relatrio de sensibilidade, observamos que o preo sombra para hora-mquina de R$ 2,00, ou seja, para cada unidade de hora-mquina que retiramos ou colocamos no problema em questo ir afetar a margem de contribuio total da empresa em R$ 2,00.

Assim, uma reduo de 50 horas (o decrscimo permissvel de 1.500 h) ir reduzir a margem de contribuio em 50 x 2,00 = R$ 100,00, fazendo que o novo valor da margem de contribuio total seja R$ 6.400,00.

CUSTO REDUZIDO:

Se existisse um pedido firme de 100 saias para um grande distribuidor local, qual seria o impacto do seu atendimento no lucro da empresa?

RESPOSTA:

Lembremos que o SOLVER sugeriu no produzir quantidade alguma de saias, porm, informou quanto o custo reduzido dela no relatrio de sensibilidade. O valor de -0,3 pode ser interpretado como sendo uma reduo no valor total da margem de contribuio para cada unidade produzida de saia, ou seja, para um aumento de zero para 100, teremos uma reduo na margem de contribuio de 100 x 0,3 = R$ 30,00.

CUSTO REDUZIDO:

Quanto deveria ser reduzido nos custos da saia para que ela se torne atrativa para ser produzida?

RESPOSTA:

A saia pode ser produzida, desde que sua margem unitria aumente em 0,3, zerando o custo reduzido no relatrio. Assim, temos que o custo referente saia deve diminuir em R$ 0,30 por unidade para que sua produo se torne vivel.

As quantidades informadas pelas grandezas Preo Sombra e Custo Reduzido refletem as conseqncias de alteraes unitrias;

Alteraes diferentes da unidade provocaram conseqncias proporcionais

Entretanto, estes valores s podem ser garantidos dentro de intervalos.

Intervalos de validao do Preo Sombra e do Custo Reduzido

O Custo Reduzido tambm possui intervalos nos quais ele vlido;

A anlise de sensibilidade determina estes intervalos em que o Custo Reduzido e o Preo Sombra so vlidos;

Existe uma outra razo para estabelecer estes intervalos: o problema da certeza dos coeficientes

Anlise de Sensibilidade

A anlise de sensibilidade serve tambm para amenizar a hiptese de certeza nos coeficientes e constantes.

Em uma anlise de sensibilidade queremos responder basicamente a trs perguntas:

Qual o efeito de uma mudana num coeficiente da funo objetivo?

Qual o efeito de uma mudana numa constante de uma restrio?

A pergunta

Qual o efeito de uma mudana num coeficiente de uma restrio?

tambm parece importante de ser respondida, e . Entretanto, a Anlise de Sensibilidade geralmente no responde esta pergunta

A quantidade de coeficientes muito grande!

Existem dois tipos bsicos de anlise de sensibilidade:

Estabelece limites inferiores e superiores para todos os coeficientes e constantes:

Lindo/Excel;

Hiptese de uma alterao a cada momento;

Verifica se uma ou mais mudanas em um problema alteram a sua soluo tima:

Mais complicado;

Pode ser feito atravs da alterao do problema e sua nova resoluo.

Vamos nos dedicar ao primeiro tipo de anlise. A anlise dos limites dos coeficientes da funo objetiva e das constantes das restries no problema

Vamos entender o processo da anlise dos coeficientes da funo objetivo primeiro.

Anlise de Sensibilidade - Constantes das Restries

A constantes das restries tambm esto submetidas limites;

Entretanto estes limites dizem respeito aos Preos de Sombra, e no soluo tima

Veja que os Preos de Sombra equivalem soluo tima do dual, onde as constantes das restries so os coeficientes da F. Objetivo;

O estudo dos limites feito de maneira muito similar.

Excel Relatrio de Respostas

Anlise Econmica do Excel

Anlise de Sensibilidade Excel Relatrio de Sensibilidade

O relatrio de Limites fica:

Mudanas Simultneas em Coeficientes

A anlise de sensibilidade s valida quando apenas um dos coeficientes alterado isoladamente.

Porm existem situaes que podemos utilizar a anlise de sensibilidade feita pelo Excel para garantir que a soluo tima no se altera.

Esta regra conhecida como Regra de 100%.

Caso 1:Quando todas as variveis cujos coeficientes da funo objetivo se alterarem tiverem Custo Reduzido diferentes de zero

Neste caso a soluo tima permanece inalterada, desde que, todos os coeficientes alterados permaneam dentre dos limites permitidos.

Caso 2Quando pelo menos uma das variveis cujos coeficientes da funo objetivo se alteram, tem Custo Reduzido com valor igual a zero.

Neste caso devemos calcular uma razo entre a alterao do coeficiente e a variao permitida, para todas as variveis que tiverem seus coeficientes alterados.

Limites do relatrio de sensibilidade

Precisamos resolver o modelo PL quando:

Quando se quer saber uma nova distribuio das variveis de deciso que forneceria a soluo tima resultante de uma variao nas restries.

Quando se quer saber o efeito de variar uma restrio alm do acrscimo/decrscimo permitido restrio.

Quando se quer saber o efeito de variar vrias restries quando a regra do 100% no se mantiver.

Quando se quer saber os valores das variveis de deciso aps os coeficientes objetivos mudarem mais que o acrscimo/decrscimo permissvel

ATIVIDADE #01

A empresa Decora Ambientes Ltda., em uma de suas linhas de produtos para jardins, trabalha com trs artigos: uma cadeira de gramado, um banco padro e uma mesa. Estes produtos so fabricados em um layout de produo em linha, cujos tempos de fabricao para cada item esto descritos na tabela a seguir (em minutos por unidade):

A margem de contribuio unitria que cada produto traz para a empresa , respectivamente, $10, $20 e $30. A empresa dispe de 6 funcionrios para dobra, 8 para soldagem, 4 para o acabamento e 6 na montagem final. Considere, para o caso, que cada funcionrio trabalha durante 8 horas por dia.

Descreva a funo objetivo e de restries para o problema e, modele o caso no SOLVER de forma a maximizar a margem de contribuio total da empresa, gerando os relatrios de resposta e sensibilidade. Baseado ainda nos relatrios gerados, responda s perguntas a seguir:

a) Quanto de cada tipo de pea deve ser produzido diariamente para atingir a maior margem de contribuio possvel?

b) De quanto deve ser a margem de contribuio da cadeira, para que sua produo se torne vivel?

c) Qual seria a alterao no faturamento total se a margem de contribuio da mesa fosse alterada para $35?

d) Determinar qual o impacto na produo se um dos funcionrios da dobra tiver que se ausentar durante 2 horas no seu dia de trabalho.

e) Qual seria a diminuio na margem de contribuio, se um dos funcionrios da montagem faltar meio perodo de trabalho?

SOLUO

Variveis: A = Cadeira (MC unitria 10,00), B = Banco (MC unitria 20,00), C = Mesa (MC unitria 30,00)

Funo Objetivo: Margem de Contribuio total= 10A +20B + 30C ....Mximo

Restries:

6A + 8B + 8C