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Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 1

PROGRAMA TEMÁTICO

CURSO: Licenciatura em Engenharia Informática

DISCIPLINA: Análise de Circuitos DISCIPLINA DE FORMAÇÃO

ANO: 1º

PESO: 3 GERAL

BÁSICO-

ESPECÍFICA x

SEMESTRE: 2º CRÉDITOS: 6 BÁSICA ESPECÍFICA

OBJECTIVOS GERAIS:

No fim desta disciplina os estudantes devem ser capazes de:

Analisar os circuitos eléctricos lineares de corrente contínua e corrente alternada;

Analisar e calcular os circuitos trifásicos;

Analisar e calcular os processos transitórios nos circuitos eléctricos;

Analisar e calcular circuitos com quadrípolos.

TEMAS

HORAS

TEOR. PRÁT. SEMIN. LAB. TOTAL

1 Conceitos básicos 2 4 0 0 6

2 Comportamento dos elementos dos circuitos

eléctricos: Fontes de energia; Resistência,

Capacitaria e Indutância

4 6 0 0 10

3 Análise de Circuitos lineares de corrente

contínua

8 10 0 4 22


4 Análise de Circuitos lineares de corrente

alternada sinusoidal

10 12 0 4 26

5 Circuitos Acoplados e Transformadores

monofásicos

4 6 0 4 14

6 Fenómenos transitórios 6 8 0 4 18

TOTAL DE HORAS 34 46 0 16 96

1. BIBLIOGRAFIA:

1. Notas do docente

2. Bartkowiak, Robert A. Circuitos eléctricos, Makron Books, 1994, São Paulo, Brasil.

3. Edminister, Joseph A. Circuitos eléctricos (350 probl. resolvidos), 2ª edição, Macron, McGraw-

Hill, 1991, São Paulo, Brasil.—(Coleção Schaum).

4. Edminister, Joseph A. Circuitos eléctricos (280 probl. resolvidos), 2ª edição, McGraw-Hill,

1985, São Paulo, Brasil.

5. Bessonov L. Electricidade aplicada para engenheiros, 1ª edição , Edições Lopes da Silva, 1975,

Porto/Portugal.

2. LECCIONAÇÃO:

1 REGENTE: Prof. engº Afonso Lobo : [email protected]

→→ Aulas Teóricas e Teórico-Práticas

1 ASSISTENTE Engº Gerson Zango

→→ AULAS PRÁTICAS E LABORATORIAIS

3. AVALIAÇÃO:

3 TESTES

4 LABORATÓRIOS

4 TPCS:

TPCSMÉDIAx10LABSxMÉDIA20TESTESMÉDIAx70Frequência ,,,

DISCIPLINAS PRECEDENTES: DISCIPLINAS SUBSEQUENTES:

Física Electrónica Básica


AVALIAÇÃO SEMANA CAPÍTULOS

TESTE 1

5ª

Conceitos básicos

Resistência, capacitaria e indutância

Análise de Circuitos Lineares de corrente contínua

TESTE 2

9ª

Circuitos Lineares de corrente alternada sinusoidal

TESTE 3 15ª Circuitos acoplados e Transformadores monofásicos

Fenómenos transitórios

LABS A PARTIR DA 8ª

SEMANA

TODOS CAPÍTULOS


TEMA 1- CONCEITOS BÁSICOS

1. Definições:

Newton :

È a força produzida por uma aceleração de 1 m/s2 sobre uma massa de 1 kg, isto é:

2s

maxkgmNF

Joule:

É o trabalho realizado por uma força de 1 N para deslocar uma massa de 1 kg numa distância de 1

m, isto é:

mdxNFJW

watt:

É a energia transferida durante o intervalo de tempo de 1 s, isto é:

sdt

JdWwp

Carga Eléctrica

Existem 2 tipos de carga eléctrica carregada por partículas elementares chamadas de portadores

de carga: positiva e negativa. Os portadores de carga positiva são protões e os de carga negativa,

electrões. Todas as demais cargas são múltipos inteiram destas cargas elementares. Repelem-se

se forem do mesmo sinal e atraem-se se forem de sinais contrarios.

A unidade da carga é o Coulomb (C).

A carga Transportada por um electrão(-e) e um protão (+e) é 1,602x10-19

C .

Submúltiplos usuais do Coulomb:

Submúltiplo Símbolo Factor de Multiplicação

Micro-Coulomb μC 10-6

Nano-Coulomb ηC 10-9

Pico-Coulomb pC 10-12


Lei de Coulomb

A lei de Coulomb governa a força de interacção de duas cargas num determinado meio

homogéneo.

Força entre duas cargas no vácuo

221

0 r

QQ

4

1F

Onde:

Q1 e Q2→ são duas cargas puntiformes;

r→ a distância entre as duas cargas;

ε0→ Permissividade do vácuo que depende das unidades usadas para Q1 , Q2 , r e F.

Se F[N]; r[ m]; Q1 [C] e Q2 [C], Então: ε0=8,85x10-12

[ C2/N.m

2 ]

Entretanto, se definir-se:

04

1k

Então:

2

21

r

QQkF

onde

k→ É uma constante de proporcionalidade que depende também das unidades usadas

para Q1 , Q2 , r e F.

Se F[N]; r[ m]; Q1 [C] e Q2 [C] k=9x109[ N.m

2/C

2]

Força entre duas cargas em meio diferente do vácuo:

Para um meio diferente do vácuo as forças causadas pelas cargas induzidas no meio reduzem a

força resultante entre as cargas livres mergulhadas no meio. A força resultante é dada por:

221

r

QQ

4

1F


Onde ε é a permissividade de qualquer meio circundante. Em geral, para um meio circundante

arbitrário diferente do ar, ε>ε0. Para o ar, ε é apenas ligeiramente maior que ε0 e para a maioria

dos propósitos é considerado igual a ε0 . Para os demais materiais,

0r

Onde εr é uma constante adimensional, chamada de constante dieléctrica relativa ou capacidade

indutiva específica do material entre as cargas.

Diferença de Potencial (d.d.p.) V ou Tensão Eléctrica

A diferença de potencial entre dois pontos V, é a medida do trabalho necessário para transferir

uma carga unitária de um ponto para o outro. A d.d.p. entre dois pontos é medida em [ Volts ]. O

volt é a diferença de potencial entre dois pontos quando é necessário o trabalho de um Joule para

a transferência de 1 Coulomb de um ponto para o outro. Portanto,

C

J1V1

Corrente i

O material que contém electrões livres, capazes de se deslocarem de um átomo para o seguinte, é

um condutor. Aplicando-se nele uma d.d.p., os electrões ganham energia cinética e se deslocam.

Quando uma carga Q está sendo transferida de um ponto para o outro de um condutor, existe nele

uma corrente eléctrica. Se a carga é transferida na razão constante de 1 C/s, a corrente constante

existente é 1 Ampère. Portanto,

s

C1A1

Em geral, a corrente eléctrica instantânea i num condutor é dada por:

sdt

CdQAi

O sentido da corrente positivo é, por convenção, oposto àquele em que se deslocam os electrões.

Sentido da Corrente

Movimento de Electrões

Figura Corrente eléctrica num condutor


Potência, p

A potência eléctrica p é por definição a taxa de transferência de energia em função de tempo.

Num circuito eléctrico ela é dada pelo produto da tensão aplicada v pela corrente resultante i, isto

é:

AixVvWp

Por definição, a corrente positiva sai do terminal positivo da fonte, como mostrado na figura a

seguir. Assim, quando p é positiva, a fonte transfere energia para o circuito e quando é negativa,

recebe energia do circuito.

i

v

Figura - Sentido da corrente

Se a potência p é uma função periódica de tempo t, de Período T, a potência média é dada por :

T

0

dtpT

1P

Energia , W

Sendo a potência a taxa de transferência de energia em função de tempo,

2

1

t

t

dtpWdt

wdp

Onde W é a energia transferida durante o intervalo de tempo considerado.

Circuito e elementos de um circuito eléctrico

Um circuito eléctrico é um caminho fechado por onde circula uma corrente eléctrica e o seu

objectivo é fornecer energia eléctrica a um consumidor de energia eléctrica. A corrente eléctrica

circula partindo da fonte, passando pelos elos de ligação que ligam a fonte ao consumidor

retornando finalmente à fonte. Qualquer circuito eléctrico é composto de elementos activos e

passivos.


Elementos activos ou fontes de energia

Os elementos activos são aqueles que podem fornecer energia eléctrica ao circuito.

Fontes de energia independentes

Bateria ou PilhaGerador de

tensão Contínua

ou Dínamo

Gerador de

tensão alternada

ou alternador

Fonte de corrente

Figura. Fontes de energia independentes

Elementos passivos e comportamento

São aqueles que absorvem a energia fornecida pelas fontes ou elementos activos. Estão neste

grupo os resistores, os indutores ou bobinas e os capacitores ou condensadores.

Um elemento de circuito eléctrico recebendo energia eléctrica pode comportar-se de cada uma

das seguintes formas:

Consumir energia: O elemento de circuito é um elemento resistivo, ou simplesmente

resistor puro;

Armazenar energia num campo magnético: O elemento de circuito é um elemento

indutivo, ou apenas, Indutor puro;

Armazenar energia num campo eléctrico: O elemento de circuito é um elemento

capacitivo ou em outras palavras, um Capacitor puro.

Resistor e Resistência, R

Aplicando-se uma diferença de potencia v(t) entre os terminais de um resistor puro, uma corrente

i(t) proporcional àquela irá circular no elemento resistivo. A constante de proporcionalidade R é

designada de resistência eléctrica sendo expressa em volts/ampère ou Ohms [Ω]. Efectivamente

ela representa a oposição que o elemento oferece ao estabelecimento de uma corrente eléctrica. A

relação entre a diferença de potencial e a corrente eléctrica é conhecida por Lei de Ohm que no

caso do resistor é dada por:

)t(iR)t(v


i(t)

v(t)

+

-

R

Figura - Elemento Resistivo

Resistividade, condutividade e condutância

A resistência eléctrica de um condutor depende do material de que o mesmo é feito. A resistência

do condutor é dada pela seguinte expressão:

A

lR

Onde:

é uma constante de proporcionalidade e designa-se resistividade. Na verdade é

uma característica que mede a dificuldade com que o material de que é feito o condutor deixa

passar a corrente eléctrica.

l é o comprimento do condutor e

A a secção transversal do condutor.

O recíproco da resistividade se chama condutividade do material e representa-se por . Assim,

a resistência do condutor pode ser calculada a partir da fórmula:

A

l

A

l1R

.

.

onde é a condutividade do material que mede a facilidade com

que o material deixa passar a corrente eléctrica.

Por outro lado, define-se como condutância de um condutor ao inverso da sua resistência

eléctrica e representa-se por "" g . Assim,:

l

A

Rg .

1

A tabela a seguir mostra a resistividade de diferentes materiais

Tabela 1.4 Resistividade de diferentes materiais

Material Resistividade a 20ºC

m.

Prata 1,64.10-8


Cobre recozido 1,72.10-8

Alumínio 2,83.10-8

Ferro 12,3.10-8

Constantan 49.10-8

Nicromo 100.10-8

Silício 2500

Papel 1010

Mica 5.1011

Quartzo 1017

Influência da temperatura na resistência

Conhecendo-se a resistência do material a uma determinada temperatura a resistência em

qualquer outra temperatura é dada por:

101

022 R

TT

TTR .

,

onde:

1R É a resistência à temperatura 1T e 2R é a resistência à temperatura 2T

0T á temperatura em que teoricamente a resistência eléctrica do material é nula.

Naturalmente esta temperatura é uma característica do material condutor. A tabela 1.5

mostra os valores de 0T para diferentes materiais.

Tabela 1.6 Temperatura absoluta para diferentes materiais :

Material Temperatura absoluta 0T

Cº

Tungsténio -202

Cobre -234,5

Alumínio -236

Prata -243


Constantan -125.000

A resistência em função da temperatura também pode ser calculada a partir da expressão:

121T12 TT1RR

Onde 1T é o coeficiente de temperatura do material à temperatura 1T . Normalmente 1T é

tomado igual a 20ºC. A tabela 1.7 a seguir mostra coeficientes de temperatura para diferentes

materiais.

Tabela 1.7 Coeficientes de temperatura para diferentes materiais :

Material Coeficiente de Temperatura 1T a 20ºC

C

1

º

Tungsténio 0,0045

Cobre 0,00393

Alumínio 0,00391

Prata 0,0038

Constantan 0,000008

Carbono -0,0005

O coeficiente de temperatura de um material a qualquer temperatura pode ser também

determinado através da expressão:

011

TT

1

Consumo de potência no resistor

Uma característica muito importante de um resistor é a sua capacidade de dissipação de potência

eléctrica ou potência máxima. Esta depende da sua capacidade de isolamento, isto é, voltagem

máxima suportada e corrente máxima permissível. O consumo real de potência depende da

voltagem aplicada aos seus terminais e da corrente que o atravessa e é dada pela expressão:

R

V

R

VVRIIIRIVP

22

....

Circuito aberto e curto-circuito


Por definição, um circuito aberto é aquele que possui uma resistência infinita. Portanto, não

circula corrente nele quando aplicada uma voltagem finita aos seus terminais. Diagramaticamente

ele é representado por dois terminais não ligados.

Pelo contrário, um curto-circuito possui uma queda de tensão nula, qualquer que seja a corrente

finita nele circulando. Diagramaticamente é representado por um condutor ideal, isto é, com

resistência nula. Os terminais ficam conectados sem resistência alguma.

Nem o curto-circuito, nem o circuito aberto são desejáveis. A sua ocorrência indica um defeito ou

mau funcionamento do circuito.

Resistência interna de uma fonte

Qualquer fonte de energia real possui uma determinada resistência correspondente aos processos

intrínsecos de funcionamento. A esta resistência intrínseca se chama de resistência interna da

fonte. Ela interfere no funcionamento da fonte. A fonte de corrente possui uma resistência interna

que tende ao infinito.

Fonte de

corrente ideal

Resistência

interna TerminaisFonte de tensão

ideal

Resistência

interna

Terminais

Fonte de

corrente real

Fonte de tensão

real

Figura. Representação de fontes de energia reais.

Indutor (Bobina) e Indutância (L)

À constante de proporcionalidade è chamada de coeficiente de auto-indução, auto-indutância,

indutância - própria ou simplesmente indutância do elemento indutivo ou indutor. Fisicamente

ela representa a oposição que o elemento oferece à variação do fluxo. A relação entre a tensão

induzida e a taxa de variação da corrente que a provoca é dada por:

dt

idL)t(v


Ou ainda,

dtvL

1)t(i

i(t)

v(t)

+

-

L

Figura - Elemento Indutor

Sendo v expresso em volts; di/dt em àmperes/segundo; L será expresso em Volt-segundo/àmpere,

ou Henry (H).

Capacitor (Condensador) e Capacitância (C)

Foi já referido que um capacitor é um elemento que armazena energia eléctrica num campo

eléctrico. Esta energia apresenta-se na forma de uma carga entre dois pontos com potenciais

diferentes, sendo que a diferença de potencial, v, entre os terminais do capacitor é proporcional à

carga eléctrica, q, armazenada. A constante de proporcionalidade C é designada de capacitância

do capacitor. A relação entre a carga e a tensão é:

)t(vC)t(q

Sendo,

dt

)t(dq)t(i

Vem,

dt

tdvCti

)(

)( =

Ou ainda,

dtiC

1)t(v


i(t)

v(t)

+

-

C

Figura - Elemento Capacitivo

Com Coulomb; v em volts, C é expresso em Coulomb/volt ou Farads [ F ].

F10microfarad1F16

F10picofarad1pF112

Topologia dos circuitos eléctricos

No que concerne à topologia ou configuração um circuito eléctrico é uma combinação de

elementos activos e passivos de modo a formarem um ou mais caminhos fechados. Quando é

constituído por vários caminhos, cada um deles chama-se malha ou laço. O ramo é uma

combinação de um ou mais elementos que são atravessados pela mesma corrente. Os pontos de

convergência ou junção de 2 ou mais ramos chamam-se nós.

Nós

MalhaFonte

de

corrente

Ramo

RamoFonte

de

tensäo

Circuito eléctrico

Malha

Leis de Kirchhoff

1a Lei:


1a Formulação - A soma das correntes que chegam a um nó é igual a soma das correntes que dele

saem, esta regra é também conhecida como lei dos nós.

2a Formulação - O somatório das correntes que chegam e saem de um nó é nula.

Resumidamente,

i1

i2 i

3

i4

i5

saindocorrentes

entrandocorrentes

054321

54231

iiiii

Ou

iiiii

2a Lei:

1a Formulação - A soma das elevações de potencial ao longo de qualquer circuito fechado é igual

à soma das quedas de potencial nesse mesmo circuito.

2a Formulação - A soma algébrica das diferenças de potencial, ao longo de um circuito fechado,

é nula. Se existir mais de uma fonte e os sentidos não forem iguais, será considerada positiva a

tensão da fonte cujo sentido coincidir com o admitido para a corrente. Esta regra é conhecida por

Lei de Malhas.

vA

vB

R L

i


potencialdequedas

potencialdeelevações

0

dt

diLiRVV

Ou

dt

diLiRVV

BA

BA

Associação dos elementos num circuito

Ligação de resistores em série

R1

R2

R3

Rn

V1

V2

V3 V

n

VT

I I I I

Figura. resistores associados em série

Com efeito, vem::

nn RIV

RIV

RIV

RIV

...

33

22

11

Por outro lado,

eqsnnT RIRRRRIVVVVV ......

321321

Onde Req é o valor da resistência do resistor que substitui o conjunto de todos os resistores da

associação.

Pela lei de Ohm, vem:


n

Teqs RRRR

I

VR ...

321

Generalizando, a resistência equivalente de uma associação de n resistores associados em série é

dada pela seguinte fórmula:

N

n

neqs RR1

Divisor de tensão:

A queda de tensão sobre cada elemento do grupo pode ser encontrada a partir de:

T

n

n

T

eqs

nn

eqs

Tnn V

RRRR

RV

R

RR

R

VRIV

...321

À relação entre a queda de tensão sobre cada elemento e a tensão total aplicada ao conjunto

TN

n

n

nn V

R

RV

1

é conhecida como Lei ou Regra do Divisor de Tensão.

Ligação de resistores em Paralelo

R1

R2

R3

Rn

I1

I2

I3

In

IT

V

V

Figura. Associação de resistores em paralelo

Com efeito, partindo da figura ( ) vem:

n

nR

VI

R

VI

R

VI

R

VI ....

3

3

2

2

1

1


Por outro lado,

n

nTR

V

R

V

R

V

R

VIIIII ......

321

321

Ou,

eqPn

TR

V

RRRRVI

1

...

111

321

Onde Req p é o valor da resistência do resistor que substitui o conjunto de todos os resistores da

associação.

Pela lei de Ohm, vem:

nPeq RRRRR

1

...

1111

321

No caso particular de dois resistores em paralelo a respectiva resistência equivalente será dada

por:

21

21

2

RR

RRR

eqp

Divisor de corrente

A corrente transportada por cada elemento do grupo de resistores em paralelo pode ser encontrada

a partir de:

TN

n

nRexcepton

nRexcepton

Tn

eqPn I

RΠ

RΠI

R

RI

1

À esta relação entre a corrente total do combinado paralelo e a corrente que atravessa cada

elemento da associação é conhecida como Lei ou Regra do Divisor de Corrente.

Transformação Delta (∆) - Estrela (Y)


312312

3112 *

RRR

RRRa

312312

23*12

RRR

RRRb

312312

3123 *

RRR

RRRc

Transformação Estrela (Y) - Delta (∆)

b

acac

a

cbcb

c

baba

R

RRRRR

R

RRRRR

R

RRRRR

*

*

*

31

23

12


Exercícios.

1. Encontre a carga em Coulomb de:

a) 5.31*1020

electrões;

b) 2.9*1022

protões.

Sabendo que a carga de um electrão e de um protão é igual a 1.602*10-19

C, isto é,

1(-e) = -1.602*10-19

C

1(e) = +1.602*10-19

C.

a)

CQ 066.8510*31.5*10*602.1 2019

b)

CQ 8.464510*9.2*10*602.1 2219

2. Qual é o valor da energia Química gasta para bateria do carro de 12V, para mover 8.93*1020

electrões

do terminal positivo para o terminal negativo?

KjVneW

VQW

717.112*10*602.1*10*3.9.8**

*

1920

3. Encontre o valor da corrente através do bulbo de uma lâmpada causado pelo movimento constante de:

a) 60C em 4segundos;

b) 15C em 2minutos;

c) 1022

electrões em 1h.

Resolução:

a)

AsCt

QI 15/15

4

60

b)

AsCt

QI 125.0/125.0

2*60

15


c)

AsCt

QI 45.4/45.4

1*3600

10*602.1*10 1922

4. Qual é o trabalho necessário para erguer um elevador vertical de 4500Kg a uma distância de 50m?

MJdgmdFW 21.250*8.9*4500***

5. Se o deslocamento de uma carga positiva de 9.9875*1019

electrões de um ponto "B" para um ponto "A"

requer a energia de 0.8J, encontre a queda de potencial.

VCJQ

WVVQW oaEnt 05.0/05.0

10*9875.9*10*602.1

8.0*

1919

~

6. Encontre a energia armazenada em uma bateria de carro de 12V/650Ah

ChshAAhtIQ 2340000/3600*1*650650*

MJVQW 08.2812*2340000*

7. Uma bateria de 6V/20Ah, é usada para deslocar uma carga de 2000Kg.

a) Qual será a velocidade constante da carga se deslocarmos a horizontalmente?

b) Quanto tempo irá a bateria permanecer carregada se tiver que deslocar a carga a uma

velocidade constante de 10m/s fornecendo 15A?

c) Consegue esta bateria deslocar a mesma carga para uma altura de 150 metros em menos de 5

minutos, fornecendo 10A?

Resolução:

a)

smm

VQvVQ

vmWW

VQW

vmW

oaEnt/785.20

2000

6*3600*20*2**2*

2

*

*

2

*

~2

2

b)


hsVI

vmtVtIVQ

vm oaEnt31.0min52.18111.1111

6*15*2

10*2000

**2

****

2

* 22~

2

c)

hsVI

hgmtVtIVQhgmW oaEnt 6.13min7.81649000

6*10

150*8.9*2000

*

*******

~

* Esta bateria não irá conseguir deslocar a carga a uma altura de 150 metros em menos de

5minutos.

7. Dado o circuito da figura, encontre a tensão aos terminais da resistência de 2Ω usando divisor de

tensão.

Resolução:

667.4

25410

)25(*)410(equR

VUequ 066.1816667.4

667.4*80

VU 162.552

2*066.182

8. Dado o circuito da figura a seguir, encontre a corrente I1 e I2 usando o divisor de corrente.


Resolução:

667.021

2*1equR

AI 6.21667.0425

25*361

AI 4.1425667.04

667.04*362

9.

10.

11.


12.

Determina a resistência equivalente vista dos terminais AB do circuito resistivo mostrado

na figura a seguir.

A

B

a

b

d

c

4,5 Ω

3 Ω6 Ω

9 Ω

3 Ω

13.

Determina a potência fornecida à rede da figura a seguir.


100 V

a

bc

6 Ω

6 Ω

3 Ω9 Ω

3 Ω

9 Ω

TPC - 1


TEMA 2 - ANÁLISE DE CIRCUITOS LINEARES DE CORRENTE CONTÍNUA

Neste capítulo vamos apresentar e discutir algumas Leis, Teoremas e procedimentos que

governam a análise dos circuitos eléctricos de corrente contínua. Juntamente com as leis de Ohm

e Kirchoff para Correntes e Tensões estes procedimentos são também válidas para a análise de

circuitos de corrente alternada contendo indutâncias e Capacitância. Também são válidas para a

análise de circuitos no domínio de frequência

De que maneira marcamos o sentido da corrente e da tensão em um ramo?

A corrente em um ramo é marcado através de uma seta, do potencial mais alto ao potencial mais

baixo.

A tensão em um ramo é marcado também através de uma seta, do potencial mais alto ao potência

mais baixo.

Análises de quedas de tensão e correntes em um ramo

Caso a) Ramo sem fonte de tensão e de corrente:

IRba

Sendo que a condutância é: SR

g ,1

, então:

gUR

U

RI ab

abba *

Caso b) Ramo com fonte de tensão geradora


gEUgEIIRE abba

oaEnt

ba *)(*)(~

Caso c) Ramo com fonte de tensão consumidora

gEUgEIIRE abba

oaEnt

ba *)(*)(~

Caso d) Ramo com fonte de corrente

Para estes ramos, a corrente que neles circulam é a corrente gerada pela fonte de corrente.

A análise de queda de potencial que se realiza é aos terminais da própria fonte:

Substituição da fonte de corrente real pela fonte de tensão real e vice-versa


Métodos de cálculos de circuitos complexos de Corrente Contínua (CC)

Calcular um circuito eléctrico significa determinar todas as correntes em todos os seus

ramos.

Método das equações de Kirchoff para circuitos complexos de CC.

Passos principais deste método:

1. Determinar o número de nós do circuito (N), o número de ramos do circuitos (r) e o

número de ramos contendo fontes de corrente (rc);

2. Marcar arbitrariamente os sentidos das correntes em todos os ramos;

3. Construir as equações pela 1a Lei de Kirchoff, sendo o número de equações igual a:

110 NN Leiequ a

4. Determinar o número de equações pela 2a Lei de Kirchoff, sendo o número de

equações igual a:

)1()(20 NrrN cLeiequ a

5. Escolher as malhas respectivas, marcar nelas os percursos pelas malhas escolhidas e

construir as equações de acordo com a 2a Lei de Kirchoff para todas as malhas.

Nota A: Cada malha deve conter no mínimo um ramo o qual nenhuma outra malha

contem.

Nota B: Qualquer malha escolhida não deve conter nenhuma fonte de corrente

6. Resolver o sistema de equações obtidas;

7. Se a corrente em um ramo for negativa, significa que na realidade o sentido da corrente

é o oposto.

8. Fazer a prova das resoluções pela equação do balanço de potência.

Exemplo:

Para o circuito da figura a seguir, determine as expressões para o cálculo das correntes

usando o método de Kirchoff.


N = 4; r = 6; rc = 1

equNN Leieq a 314110

452

531

21

:3

:2

:1

IIINo

IIINo

IIJNo

equNrrN cLeiequ a 2)14()16()1()(20

0:2

:1

554433

552211

RIRIRIM

ERIRIRIM

Equações do equilíbrio de potencia

Quando a corrente passa através de uma resistência liberta-se energia sob a forma de

calor.

Com base na Lei de Conservação de energia, a quantidade de energia fornecida a um

circuito eléctrico deve ser igual a quantidade de energia dissipada.

n

K

m

i

iesconsumidorKfontes PP1 1

,,

Para as fontes:


n

K

L

l

llab

N

j

jjKfontes JUIEP1 1

,

1

,

Para os consumidores:

m

i

m

i

iiiesconsumidor RIP1 1

,

Exemplo:

Para o circuito da figura a seguir:

foram calculadas e encontradas as seguintes correntes:

AI

AI

4

1

3

2

Faça a prova do balanço de potência.

Resolução:

Para as fontes:

Para a fonte de tensão:

Esta fonte é geradora pois a corrente I3 entra nela a partir do terminal negativo (-) e sai a

partir do terminal positivo (+), por isso na equação do balanço, a sua potência vem com o

sinal positivo.

WEIPE 804*203


Para a fonte de corrente:

É necessário encontrar a tensão aos terminais "ab" desta fonte.

Seguindo a malha "Uab", temos:

VJIUJIU ab

oaEnt

ab 142*54*12*4*02*4* 2

~

2

Logo:

WJUP abJ 705*14*

Fazendo a soma das potências das duas fontes existentes no circuito:

WPPP JEfontes 1507080


WIP

WIP

WJP

966*46*

44*14*

502*52*

22

36

22

24

22

2

Fazendo a soma das potências dos três consumidores existentes no circuito:

WPPPP esconsumidor 15096450642

Logo vemos que satisfaz a condição:


WWPPn

K

m

i

iesconsumidorKfontes 1501501 1

,,

Método de sobreposição

Baseia-se no principio de sobreposição. A corrente em qualquer ramo de uma rede é a

soma algébrica das correntes devido a cada uma das fontes consideradas separadamente,

mas deixando no circuito as resistências internas respectivas. Este teorema é valido para

todos os circuitos eléctricos lineares.

Exemplo:

Para o circuito da figura a seguir, resolva-o usando o método de sobreposição.

Resolução:

Caso 1) Sem a fonte de tensão

Retiramos a fonte de tensão, mais deixando no circuito a sua resistência interna:


AJI

AJI

36.0*564

6*

24.0*564

4*

'

2

'

3

Caso 2) Sem a fonte de corrente

Retiramos a fonte de corrente no circuito mas deixamos a sua resistência interna. A

resistência interna de uma fonte de corrente tende a infinito, logo este ramo pode ser

desprezado pois a corrente que flui nele é próxima a zero.

AI

AII

2

246

20

"

2

"

2

"

3

Caso 3) Com a fonte de tensão e a fonte de corrente


Finalmente, fazemos a soma algébrica para ter a corrente devido as duas fontes nos

ramos:

AIII

AIII

422

1)2(3

"

3

'

33

"

2

'

22

Método das malhas independentes

a) Neste método supõe-se que em cada malha flui a corrente própria chamada corrente de

malha;

b) As incógnitas deste método são as correntes de malha;

c) Neste caso as equações constituem-se relativamente a estas correntes de malha de

acordo com a 2a Lei de Kirchoff;

d) Como resultado desta imaginação não se constituem as equações de acordo com a 1a

Lei de Kirchoff.


1. Determinar o número de equações necessárias que o constituem pela expressão:

)1()(0 NrrN cequ

2. Escolher as malhas independentes de acordo com o número determinado no ponto 1 e

marcar arbitrariamente os sentidos das correntes de malha em cada malha;

Nota A: Qualquer malha escolhida não deve conter fonte de corrente;

Nota B: Para levar em conta as influencias das fontes de correntes sobre a distribuição de

potenciais e correntes no circuito eléctrico, é preciso marcar também as correntes de

malha conhecidas;

Nota C: Uma malha com corrente de malha conhecida deve conter só uma fonte de

corrente.

3. Constituir as equações pela 2a Lei de Kirchoff para cada malha escolhida;

4. Resolver o sistema das equações obtidas, isto e, determinar todas as correntes de

malhas incógnitas. Se a corrente de malha é negativa, significa que na realidade o seu

sentido é contrario;

5. Determinar as correntes reais nos ramo escolhendo aleatoriamente os seus sentidos;

Nota A: Nos ramos comuns a corrente real é a soma algébrica das correntes de malha que

passam através destes ramos;


Nota B: Nos ramos comuns a corrente real é a soma algébrica das correntes de malha que

passam através destes ramos.


Exemplo:

Para o circuito da figura a seguir, resolva-o usando o método de malhas independentes.

Resolução:

N = 2; r = 3; rc = 1

equNrrN cequ 1)12()13()1()(0

Para a malha de corrente de malha "Ia":


AIEJI a

oaEnt

a 464

4*520)4()64(

~

Finalmente as correntes nos ramos:

AII

AJII

a

a

4

154

3

2

Método de análise nodal

a) Este método tem vantagens para circuitos eléctricos com muitos ramos e poucos nós;

b) Neste método as incógnitas são os potenciais dos nós.


1. O potencial de um nó deve ser igualado a zero;

2. Determinar o número das equações a resolver pela expressão:

10 NN equ

Nota A: Quando em alguns ramos contém a fonte de tensão ideal, o número das equações

necessárias determina-se pela expressão:

itfrnNN equ ....10

itrn ... - Número de ramos com fonte de tensão ideal.

3. Constituir as equações de acordo com o método de análise nodal;

Nota A: Para cada nó de potencial incógnito, escrever uma equação que consiste em:

Na parte esquerda: O produto do potencial do nó em questão e condutância própria deste

nó com o sinal positivo (+) e a soma dos produtos entre potenciais de nós vizinhos e

condutâncias mútuas respectivas com o sinal negativo (-).

Na parte direita: A soma algébrica dos produtos ( KK gE * ) ligadas com o nó em

questão, e a soma algébrica das fontes de correntes (J) ligadas com o mesmo nó.

4. Resolver o sistema das equações obtidas, isto é, determinar os potenciais do esquema;

5. Marcar arbitrariamente os sentidos das correntes em todos os ramos e depois calcula-

las conhecendo os potenciais.


Exemplo:


Para o circuito da figura a seguir, resolva-o usando o método de análise nodal.

Resolução:

N = 3; n.r.f.t.i = 1

equitfrnNN equ 1113....10

O potencial aterrado foi o potencial do nó 3, então:

V

V

4040040

0

32

3

Ficamos somente com o nó 1 como incógnita.

Cálculo das condutâncias


Sg

Sg

Sg

Sg

Sg

010

1

1667.06

1

25.04

1

5.02

1

1.046

1

10

6

4

2

)64(

Cálculo do potencial incógnito

Jgggggg )()()()( 103)64(222102)64(1

Sabendo que g10Ω = 0,S e que V03 , a equação acima fica ainda mais reduzida

Jgggg )()()( )64(2222)64(1

Calculando o potencial

V333.48

5)1.0(*40)5.0(*40)5.01.0(

1

1

Cálculo das correntes nos ramos


AIIIIIINo

AIIIIIIIIIINo

AgII

AgII

AgII

AgII

oaEnt

oaEnt

oaEnt

oaEnt

oaEnt

oaEnt

002.1555:3

002.15:2

002.10)20(6

)20()6(20

10)(4

)()4(

167.4)(2

)()2(

833.0)(46

)()46(

326

~

632

54326

~

32654

63232

3

~

332

43232

2

~

232

22121

4

~

421

)64(2121

5

~

521

Prova pelo balanço de potencias

Para as fontes:

Primeiro é necessário encontrar a tensão aos terminais da fonte de corrente

Seguindo a malha do Uab

VU

IIUIIU

ab

ab

oaEnt

ab

334.9810*54*102*167.4

)10(5)4()2(0)10(5)4()2( 24

~

24

WPfontes 79.1291002.15*40002.10*205*334.98


WPcons 91.129110*56*002.104*102*167.4)64(*833.0 22222


Verifica-se:

WWPPn

K

m

i

iesconsumidorKfontes 91.129179.12911 1

,,

%009.0%100*79.1291

79.129191.1291%

Erro

Erro aceitável pois é menor a 3%.

Método do gerador equivalente ou teorema de Thévenin

Este teorema estabelece que qualquer rede linear activa contendo resistências e fontes de

energia com terminais de saída 1 e 2 como mostra a figura pode ser substituído por um

circuito contendo uma fonte de tensão de valor Uth em série com uma resistência de valor

Rth como mostra a figura

Rede

Linear A

com

Fontes de

Tensão e

Corrente

Rede B

1

2

a

Rede B

1

2

b

Rth

Vth

Redes A e B originais Rede B original e A reduzida a Thévenin

Figura – Redução de circuito pelo Teorema de Thévenin

A tensão equivalente de Thévenin, Vth , é a tensão em circuito aberto medida aos

terminais 1-2 e a resistência equivalente, Rth, é a resistência da rede, vista dos terminais

1-2, quando todas as fontes internas independentes são anuladas, isto é, substituídas pelas

respectivas impedâncias internas. Havendo fontes de tensão dependentes, estas são

mantidas activas no circuito. O Teorema de Thévenin é importante na simplificação de

circuitos, particularmente na determinação da corrente num ramo de uma rede complexa.


1. Determinar a tensão Uab de marcha em vazio que aparece aos terminais "ab" quando o

respectivo ramo é removido;

2. Determinar a resistência Requ que o bípolo apresenta quando vista entre 2 terminais;

Nota A: Neste caso para as fontes de tensão é necessário curto circuita-las deixando

somente no esquema as suas resistências internas. As fontes de corrente devem ser

desligadas pois as suas resistências internas tendem ao infinito.


3. Calcular a corrente no ramo que se removeu pela formula:

nequ

mvab

nRR

UI

,

Exemplo:

Para o circuito da figura a seguir, encontre a corrente pela resistência de 4Ω usando o

método de Thévenin.

Resolução:

Primeiro encontramos a resistência equivalente vista dos terminais da resistência de 4Ω.

Para tal curto circuitamos as fontes deixando somente as suas resistências internas.

Para a fonte de corrente, removemos o ramo, pois a sua resistência interna tende ao

infinito.

75.3106

10*6equR

Calculamos a tensão de marcha em vazio

Esta é a tensão que aparece entre os terminais da resistência ou ramo removido.


Vamos usar o método de malhas independentes para retirar as correntes nos ramos neste

regime de funcionamento

N = 2; r = 3; rc = 1

equNrrN cequ 1)12()13()1()(0

AIJI a

oaEnt

a 625.10106

10*152020)10()106(

~

As correntes nos ramos

AIJI

AII

a

a

375.4)625.10(15

625.10)625.10(

2

1

Calculamos a tensão Uab,mv seguindo a sua malha apresentada no esquema

VUIU mvab

oaEnt

mvab 75.4310*375.40)10( ,

~

2,

Calculamos a corrente pretendida

ARR

UI

equ

mvab645.5

475.3

75.43

4

,

4

Potência transferida de um bípolo activo a uma carga

Determina a potência máxima realizada na resistência R


RIP RR

2

RR

UI

equ

mvab

R

,

RRR

UP

equ

mvab

R *)( 2

2

,

Vamos derivar a potência em função da resistência:

4

,

22

,

)(

)(2)(

RR

RRRURRU

dR

dP

equ

equmvabequmvab

Pelo domínio da expressão:

RRRRRR equ

oaEnt

equ

aotEn

equ ~~

0 para que a potencia dissipada seja

a máxima.

Se RRequ então Tende

dR

dP

Logo:

equ

mvab

R

equ

equequ

mvab

R

R

UP

RRR

UP

4

*)(

2

,

max

2

2

,

max


Exemplo:

Determinar o valor da resistência R5 para que a potência dissipada nela seja a máxima

R1 = 1Ω; R2 = 2Ω; R3 = 3Ω; R4 = 5Ω; R6 = 5Ω; J = 10A; E = 10V

Resolução:

Cálculo da resistência equivalente vista dos terminais da R5

Para tal curto circuitamos as fontes deixando somente as suas resistências internas.

Para a fonte de corrente, removemos o ramo, pois a sua resistência interna tende ao

infinito.

308.2

)(*)(2

346

346 RRRR

RRRRequ


Calculamos a tensão de marcha em vazio

Esta é a tensão que aparece entre os terminais da resistência ou ramo removido.

Antes de escolher um método alternativo de resolução, vamos analisar certas correntes e

nós no circuito.

O ramo da corrente IE está aberto, logo por definição de ramos abertos não circula

corrente por este ramo. Logo:

AIE 0

Como o IE = 0A, os pontos "T" e "H", deixam de ser nós, pois não existem repartições de

correntes nestes pontos, ficamos somente com o nó 1 e o nó 2.

Consequentemente como o IE = 0A, pela 1a Lei de Kirchoff, faz com que( I3 = I4).

Consequentemente como o IE = 0A, pela 1a Lei de Kirchoff, faz com que (I2 = J).

Agora usamos o método de malhas independentes para encontrar o valor das correntes

nos ramos neste regime de funcionamento.

N = 2; r = 3; rc = 1

equNrrN cequ 1)12()13()1()(0


AIRJRRRI a

oaEnt

a 846.3553

5*100)()(

~

6643

Calculo das correntes pelos ramos

AJII

AIII

AJI

a

a

154.610846.3

846.3

10

6

43

2

Calculo do Uab,mv

VUERIRIU mvab

oaEnt

mvab 538.412*103*846.310,

~

2233,

O sinal negativo da tensão quer dizer que na realidade o seu sentido é o contrario ao

sentido escolhido no esquema.

WR

UP

equ

mvab

R 894.186308.2*4

)538.41(

4

22

,

max

Exercícios.

FICHA DADA PELO DOCENTE.

TPC - 2


TEMA 3 - ANÁLISE DE CIRCUITOS LINEARES DE CORRENTE ALTERNADA

No capítulo anterior, as tensões e correntes de alimentação dos circuitos eram grandezas

contínuas ou unidireccionais. Em contraste, a maior parte das redes de utilidade prática são

alimentadas por fontes de tensão e corrente alternada. O exemplo mais comum são as redes

eléctricas de energia que contêm centrais eléctricas, linhas de transmissão, subestações, etc.

Apesar de o termo tensão e corrente alternada se referir a uma série de grandezas com variação

periódica a análise neste capítulo restringe-se a grandezas variando sinusoidalmente.

Expressões de corrente e tensão alternada na forma sinusoidal

A corrente na forma sinusoidal:

AtIi t ),sin(*max)( Onde:

maxI é a corrente máxima;

é a frequência angular;

t é o tempo;

é o ângulo da corrente.

A tensão na forma sinusoidal:

VtUu t ),sin(*max)( Onde:

VUmax é a tensão máxima;

srad / é a frequência angular;

st é o tempo;

0 é o ângulo da tensão.


0o

T

2

2

T

mV

t

v

2

3

Figura... Representação de uma tensão sinusoidal e valores característicos

Alguns dos valores característicos das tensões sinusoidais são:

O Período, T , definido como o intervalo de tempo em que a função se repete. Em geral,

o período de qualquer função periódica sinusoidal é dado por ω

π2

T .

A frequência f , medida em ciclos por segundo ou Hertz, sendo que: π2

ω1

T

f .

Ângulo de fase ( )

Definido como o desfasamento entre duas grandezas sinusoidais, por exemplo entre a tensão e a

corrente quando representadas sobre a mesma escala de tempo como mostrado na figura a seguir.

Na verdade este ângulo representa o passo ou afastamento entre as duas grandezas no tempo, ela

tem a fórmula:

v

i

θ ω t

Figura .... Ângulo de fase

Valor instantâneo

Valor instantâneo de uma grandeza qualquer ,v, variável no domínio do tempo, t, é o valor dessa

grandeza num dado instante de tempo, t.


Valor médio

Valor médio de uma grandeza variável no tempo, periódica, é por definição:

Tt

t

médio dttuT

U0

0

)(1

Obviamente, o valor médio de uma função sinusoidal num período é nulo. Por isso, um novo

conceito, o valor médio quadrático ou eficaz é mais útil.

Valor médio quadrático ou Eficaz

O valor médio quadrático de uma função qualquer variável no tempo, periódica, é dado por:

2

sin2

1)(

1 max2

2

0

220

0

UdttUdttu

TU m

Tt

t

eficaz

Elementos R,L e C em circuitos de corrente alternada

Resistência (R)

R

UI

R

A corrente e a tensão estão em fase

Indutância (L)


LL jX

UI

Onde ,LX L

A corrente está atrasada 900 em relação a tensão

Capacidade (C)

CC jX

UI

Onde ,

1

CX C

A corrente adiantada 900 em relação a tensão

Impedância Complexa

Consideremos o circuito R-L-C série a seguir.


tωsenV)t(v m

θtωsenI)t(i m R

L

C

Figura...Circuito R-L-C-série para Impedância Complexa

Escrevendo a equação de malha obtêm-se:

tj

mm eVtVdttiCdt

tdiLtiR sin)(

1)()(

Esta equação diferencial tem uma solução particular da forma tjKeti )( .

Substituindo esta solução na equação geral vem:

tj

m

tjtj

tj eVdtKeCdt

KedLKeR

1

Ou,

tj

m

tjtjtj eVKeCj

KeLjKeR

1

Donde

CjLjR

V

eCj

eLjeR

eVK m

tjtjtj

tj

m

11

E portanto,

tjm e

CjLjR

Vti

1)(


À relação entre a tensão e a corrente, isto é:

CL

tjm

tj

m

XXjRC

jLjR

CjLjR

e

CjLjR

V

eV

ti

tv

1

1

1

)(

)(

Então:

),( CL XXjRZ

,)(

arctan()(( 22

R

XXXXRZ CL

CL

Se:

oaEntCL

R

XX ~

0)arctan( Impedância com característica capacitiva

oaEntCL

R

XX ~

0)arctan( Impedância com característica indutiva.

Se designa Impedância, e sendo esta número complexo. Daí designar-se de Impedância

Complexa. Na verdade, ela representa a reacção dos elementos R-L-C do circuito face à

excitação por uma tensão sinusoidal. A representação da impedância no plano complexo é

mostrada na figura a seguir.

Z

Z

R

X

j

0 Zθ

Figura....... Representação de Impedância no Plano Complexo


Impedância com característica indutiva:

CL XX Então

,LjXRZ

Impedância com característica capacitiva:

CL XX Então

,CjXRZ

Impedância com característica resistiva:

,0LX

,0CX Então

,RZ

Admitância complexa

A admitância complexa será dada pela seguinte expressão:

SXXjRZ

YCL

,)(

11

Susceptância

A susceptância será dada pela expressão:

SXXj

bCL

,)(

1

Fasores

Sabemos já, que uma tensão ou corrente sinusoidais com uma frequência constante podem ser

caracterizados por dois parâmetros: O valor da amplitude máxima (crista ou pico) e o ângulo de

fase. Isto é, uma tensão dada por:

VtUu t ),sin(max)(

tem a amplitude máxima Umax e o ângulo de fase referido a ωt igual a δ . O valor

médio quadrático, também chamado valor eficaz, será:


VU

U eficaz ,2

max

Usando a equação de Euler, sincos je j

A corrente ou tensão sinusoidal podem ser representadas sob a forma de fasores, isto é, um vector

rotativo representado por uma amplitude constante U, igual ao seu valor eficaz e um ângulo de

fase, δ . No caso dado,

2

maxUU

Forma Forma polar;

FormaUj

UU sin*

2cos*

2

maxmax Forma rectangular

FormajeU

U

2

max Forma exponencial.

Operações com números complexos

Sejam dados os números complexos:

0

1204

A e 43

2jA

a) Represente A1 na forma rectangular

368.1759.3)20sin20(cos41

jjA

b) Determine A2 na forma polar

022

213.535)

3

4tan(43

acA

c) Determine a soma entre A1 e A2

36.576.6)436.1()376.3(213

jjAAA

d) Multiplique A1 e A2

0

21413.7320)13.5320()5*4(13.535*204*

AAA

e) Determine o conjugado de A1

0*

1204

A

f) Determine a divisão entre A1 e A2*


0

*

2

1

513.738.0)13.53(20

5

4

13.535

204

A

AA

Potência Real e Reactiva

Seja :

VtUu

AtIi

t

t

),sin(

),sin(

max)(

max)(

Então a potência instantânea será:

)()()()()()()(

)()()()( )(

tCtLtRtCtLtRt

tCLRttt

pppiuiuiup

iuuuuip

)2sin(

)2sin()2sin(*)2

sin(

)2cos1(

max)()(

)(

tIUp

tIUtItUiup

tIUp

LL

CCtCtC

RtR

Somando a potência da indutância e capacidade:

)2sin(*)sin()2sin()2sin()()( tUItIUtIUpp CLtCtL Então:

)2cos()cos()( tUIUIp t

Potência Activa:

WgURIUIP ,)cos( 22

Potência Reactiva:

VARbUXIUIUIQ X ,)sin( 22


como se sabe, o ângulo pode ser positivo (+) ou negativo (-), para:

LogooaEnt Q 00

~

Potência Reactiva com característica indutiva

LogooaEnt Q 00

~

Potência Reactiva com característica capacitiva.

Potência aparente:

VAUIS ,

Factor de Potência (f.p)

O termo )cos( chama-se factor de potência (f.p). O ângulo de fase )( que é o ângulo

entre a tensão e a corrente, é chamado de ângulo do factor de potência. Para circuitos de corrente

continua, a potência absorvida pela carga é o produto da tensão contínua pela corrente. Para

circuitos em corrente alternada, a potência média absorvida pela carga é o produto dos valores

eficazes da tensão e corrente e o factor de potência (f.p) )cos( . Para cargas capacitivas, a

corrente está adiantada em relação a tensão o que significa que é maior do que e o factor de

potência diz-se adiantado.

Triângulo de potências

É comum representar as três formas de potência envolvidas num circuito, nomeadamente

aparente, activa e reactiva num mesmo diagrama de potências. A este diagrama dá-se o nome de

triângulo de potências. A figura a seguir mostra um diagrama deste tipo.

θ

P=VIcosθ [ W ]

Q=VI senθ [ VAR ]

S=VI [ VA ]

22

22

cos..tan

arctan

QP

P

S

PpfPQ

P

QQPS

Potência Complexa


Para circuitos operando com tensão alternada sinusoidal estacionária, as potências activa e

reactiva podem ser facilmente calculadas a partir da potência complexa a partir dos fasores

tensão e corrente.

A potência complexa S , é por definição, o produto da tensão pelo conjugado da corrente, isto é:

VAjQPsenIjVIVIVIVIVS o ,cos0*

Ou seja:

SIsenIVQ

SRIVP

m

e

cos

As relações entre a tensão, corrente, potência complexa e as potências activa e reactiva são

apresentadas na figura a seguir.

I

V

-θ

θ

*IVS

P=VIcosθ

S=VI

Q=VI senθ

jQ ( eixo imaginário )

P ( eixo real )

Figura--- Potência Complexa

Equilíbrio ou balanço de potência em circuitos de corrente alternada

O equilíbrio de potências em circuitos trifásicos deve obedecer também a Lei de

conservação de energia:

m

i

M

k

Kesconsumidorifontes PP1 1

,,

J

j

L

l

lesconsumidorjfontes QQ1 1

,,

As fórmulas são:

Para as fontes:


S

s

C

c

G

g

m

i

J

j

jfontesifontesggabccsfontes

VAjalQjPJUIES1 1 1 1 1

,,

*

,

*

,Im,Re

S

ssfontes

ifontes

m

i

WSalP1

,,1

),(Re

J

j

S

s

sfontesfontes VARSQ1 1

, ),Im(


M

k

M

k

kkkesconsumidor WRIP1 1

2

, ,

L

l

L

l

lllesconsumidor VARXIQ1 1

2

, ,

Exemplo de resoluções de circuitos complexos de corrente alternada:

Exemplo 1: Dado o circuito da figura a seguir, resolva-o pelo método de Kirchoff

DADOS:

AJ ,01 0

; VE ,010 0

; 31X ; 52X ; 53X ; 104X ; 51R

Nota A: Por ser um circuito de corrente alternada a simbologia das fontes vêem com o sinal de um

número complexo;

Nota B: As impedâncias indutivas em qualquer circuito de corrente alternada vêem sempre com um

ângulo de +900 que está simbolizado pela letra "j" no esquema. É o caso de (X2 e X4);

Nota C: As impedâncias capacitivas em qualquer circuito de corrente alternada vêem sempre com um

ângulo de -900 que está simbolizado pela letra "-j" no esquema. É o caso de (X1 e X3).


Resolução:

N = 4; r = 6; rc = 1

equNN Leiequ a 314110

43

21

31

:4

:2

:1

IIINo

IIINo

IIJNo

E

E

equNrrN cLeiequ a 2)14()16()1()(20

EjXIjXIM

EjXIRIM

)()(:2

)(:1

44

22

33

11

Resolvendo todas as equações em um único sistema de equações:

0

42

0

31

43

21

0

31

010105

01055

0

0

01

IjIj

IjI

III

III

II

E

E

A solução do sistema de equações na formas polar é:


AI

AI

AI

AI

AI

E,309.11849.0

,435.63745.0

,135707.0

,135943.0

,435.18581.1

0

0

4

0

3

0

2

0

1

Exemplo 2: Dado o circuito da figura a seguir, resolva-o pelo malhas independentes

DADOS:

AJ ,01 0

; VE ,010 0

; 31X ; 52X ; 53X ; 104X ; 51R

Resolução:


N = 4; r = 6; rc = 1

equNrrN cequ 2)14()16()1()(0

EjXJjXjXI

ERJjXRI

b

a

)()(

)()(

242

131

Resolvendo o sistema de duas equações e duas incógnitas acima escrita:

)5(*01010)105(

5*01010)55(

00

00

jjjI

jI

b

a

As correntes de malha são:

AI

AI

b

a

,435.63745.0

,135707.0

0

0

Cálculo das correntes pelos ramos na forma polar:


AIIIIIINo

AII

AII

AJII

AIJI

E

oaEnt

E

b

a

b

a

,297.11849.0135707.0435.63745.0:2

,435.63745.0

,135707.0

,021.135943.001435.63745.0

,433.18581.1135707.001

000

34

~

43

0

4

0

3

000

2

000

1

Exemplo 3: Dado o circuito da figura a seguir, resolva-o pelo método de analise nodal

Aterre o nó 2.

DADOS:

AJ ,01 0

; VE ,010 0

; 31X ; 52X ; 53X ; 104X ; 51R

Resolução

N = 4; n.r.f.t.i = 1

equitfrnNN equ 2114....10


VE

V

10100

0

24

2

Calculo das admitâncias

SjX

Y

SjjX

Y

SjjX

Y

SjjX

Y

SR

Y

J,0

1

,1.01

,2.01

,2.01

,2.01

1

44

33

22

11

Calculo do sistema de equações

JYYY

JYYY

44423

34311

)(

)(

Vj

Vj

,45714.4333.3333.3

,43.18906.75.25.7

0

3

0

1

Cálculo das correntes pelos ramos

AIIINo

AjYIjXI

AjYIjXI

AjYIjXI

AjYIRI

E

oaEnt

oaEnt

oaEnt

oaEnt

,30.11849.0:4

,135707.05.05.0)()(

,44.63745.0667.0333.0)()(

,135943.0666.0666.0)()(

,43.18581.15.05.1)(

0

34

0

3413

~

3341

0

4344

~

4443

0

2232

~

2223

0

1211

~

1121

Exemplo 4: Dado o circuito da figura a seguir, determine a corrente pela resistência R1 pelo método de

Thévenin


DADOS:

AJ ,01 0

; VE ,010 0

; 31X ; 52X ; 53X ; 104X ; 51R

Resolução

Cálculo da impedância equivalente

5

0

0*)(33

42

42 jjXjXjXjX

jXjXZ

equ

Cálculo da tensão Uab,mv


Vamos usar malhas independentes para as correntes nos ramos

N = 2; r = 3; rc = 1

equNrrN cequ 1)12()13()1()(0

AjIJI

AjII

AjIEjXJjXjXI

a

a

a

oaEnt

a

,45943.0667.0667.0

,43.63745.0666.0333.0

,43.63745.0666.0333.0)()(

0

2

0

4

0~

242

Então

VUEjXJUmvab

oaEnt

mvab,57.2680.11)( 0

,

~

3,

Cálculo da corrente pretendida

AjjZZ

UI

equ

mvab,43.18581.150.050.1

55

57.2680.11 00

1

,

1

Exemplo 5: O circuito da figura a seguir foi resolvido pelo método de análise nodal, e obtiveram-se os

seguintes valores de correntes pelos ramos


AI

AI

AI

AI

AI

E,30.11849.0

,135707.0

,44.63745.0

,135943.0

,43.18581.1

0

0

3

0

4

0

2

0

1

Faça a prova pelas equações do balanço de potência

Resolução

Para as fontes

Cálculo da tensão Uab aos terminais da fonte de corrente


VjURIjXIjXJUab

oaEnt

ab,22.34038.5833.2166.40)()( 0~

11

22

1

VAjIEJUSEabfontes

,497.449.12)30.11849.0)(010()01)(22.34038.5(**

WPfontes 49.12

VARQfontes

497.4

Para os consumidores

WRIP esconsumidor 49.125*581.1 2

1

2

1

VARXJXIXIXIQ fontes 497.43*15*707.010*745.05*943.0 2222

1

2

3

2

34

2

42

2

2

Logo verifica-se o equilíbrio

WPWP esconsumidorfontes 49.1249.12

VARQVARQ esconsumidorfontes497.4497.4

Sobreposição fica para os estudantes

A Ficha dos métodos deve ser dada pelo docente


Exercícios

1. A tensão e corrente instantânea num circuito de corrente alternada são:

Vt377sen6155v , A8736t377sen077i 0,,

Determina:

a) A frequência em HZ;

b) O período;

c) O ângulo de fase entre a tensão e a corrente em radianos.

Resolução

a) srad /377

00

087.36

Hzff oaEnt 602

377

22

~

b) sf

T 0167.060

11

c) 087.36)87.36(0

209.0180

*87.360

0

2. Determina a potência média P em uma resistência pura de 10 Ohms, onde circula uma corrente

tωcos,)t(i 1414 amperes.

Resolução

WR

U

R

UP

ef

media 1010

)2

14.14()

2( 22max

2

3. A onda de tensão mostrada na figura a seguir é aplicada sobre um Resistor de 20 Ω. Se a tarifa de

energia for de USD 0,06 por kWh, quanto custará operar a fonte durante 24 horas?


v [ V ]

t [ s ]0,01 0,02

100

Figura... Forma de Onda

Resolução

VU 100max

VUeficaz 711.702

100

WP 25020

711.70 2

KwhWhhorasWtPE 6600024*250*

Custo de operação USDKwh

USDKwh36.0

1

06.0*6

3. A corrente no circuito R-L da figura a seguir é tsen,i 50002 . Calcular a tensão total aplicada.

)t(vT

)t(i

Ω10

mH20

Resolução

HmHL

R

srad

3

0

10*2020

10

0

/500

AI

Ieficaz

,0414.102

2

2

00max


,LjXRZ

1010*20*500 3LX L

,1010 jZ

VjjZIUeficazeficaz

,452014.1414.14)1010(*)0414.1(* 00

Vttu t ),45500sin(284.28)45500sin(*20*2 00

)(

4. Num circuito R-L série com ΩR 20 e HL 06,0 a corrente está atrasada de 80º em relação à

tensão. Determina a frequência ângulo ω.

Resolução

0

0

80

0

06.0

20

HX

R

L

080)80(0

R

XXRZ L

L arctan(22

425.1130603.0

877.775877.7750603.0

40080sin*80cos*80sin*80cos*

80sin80sin*80cos*80cos*400

)80sin*(()80cos*(()()20(

)80sin80(cos)(

~2

222222222

222222222

22222222

22

L

oaEnt

L

LLL

LLL

LLL

LL

XX

RRXXX

XRXRX

XRjXRjX

jXRjXR

sradL

XLX LoaEnt

L /417.189006.0

425.113~

5. No circuito R-C série mostrado na figura a seguir, tsco)t(i 50002 . Determinar a

tensão total aplicada VT(t) assim como o ângulo de desfasamento entre a tensão

aplicada e a corrente pelo circuito. Esboçar também )t(vT

e )t(i no mesmo gráfico.


)t(VT

Ω5

)t(i

Fμ20

6. Dois elementos puros de circuito estão associados em série, possuindo a corrente

A,tsen,i 04535004213 para uma tensão aplicada de Vtsenv 010500150 .

Determina o tipo e os valores característicos dos elementos do circuito.

Resolução

0

0

0

4.63)4.53(10

4.53

10

/500

srad

é positivo (+), então o circuito tem característica indutiva

AI

Ief

,4.53489.94.532

42.13

2

0max

VU

Uef

,10066.106102

150

2

00max

0

0

0

4.63178.111054.53489.9

10066.106j

I

U

Z

ef

ef

10

5

LX

R

HX

LLX LoaEnt

L 02.0500

10~

7. Um circuito série constituído de 2 elementos puros tem as seguintes corrente e tensão

aplicadas: Vtsenv 0502000200 A,tcosi 021320004 . Achar os

elementos que constituem o circuito.


8. Dados V45t5000sen150v º e A15t5000sen150i º , construir os

diagramas de fasores da tensão e corrente, e da impedância complexa e determinar os

valores das constantes (R, L, C) do circuito.

Nota: Na prática, na representação de fasores são usados valores eficazes para as grandezas

tensão e corrente no lugar de valores máximos.

9. Dados V170t2500sen311v º e A145t2500sen515i º, , construir os

diagramas de fasores da tensão e corrente, e da impedância complexa e determinar os

valores das constantes do circuito.

10. Um circuito série R-L de 20R e H020L , tem uma impedância 40Z .

Determinar o ângulo e a frequência hertziana f.

11. Em um circuito série R-C de 10R e F50C , a tensão aplicada e a frequência

são tais que a corrente está adiantada de 30º em relação à tensão. Qual a mudança

de frequência necessária para que a corrente fique avançada de 70º?

12. Sendo Hz500f , determinar o elemento puro que, em série com uma resistência

25R , produz um atraso de 20º da corrente em relação à tensão aplicada ao

conjunto. Repetir para um avanço de 20º.

13. Pretende-se utilizar um circuito em série de 25R e H010L , nas frequências de

100 Hz, 500 Hz e 1000 Hz. Achar a impedância Z em cada uma das frequências.

14. Uma tensão V20t2500500tv ºcos)( é aplicada a um circuito em série com

10R e F40C . Achar as correntes I e )(ti

15. Um circuito em série R-L com 8R e H020L , tem uma tensão aplicada de

V90t300sen283tv º)( . Achar as correntes I e )(ti .

16. Num circuito em série R-L com 5R e H030L , a corrente está atrasada de 80º

em relação à tensão. Determinar as frequências angular e hertziana da fonte.

17. Um Capacitor de F25 está em série com um resistor R na frequência de 60 Hz. A

corrente resultante está avançada de 45º em relação à tensão. Determinar o valor de

R.

18. A tensão V30t200sen770tv1 º,)( é aplicada a um circuito em série de


8R e H060L , . Posteriormente, uma segunda tensão

V30t300sen770tv2 º,)( é aplicada no lugar da primeira. Achar I e )(ti e

Desenhar os diagramas de fasores correspondentes às duas fontes.

19. Determinar a soma das correntes A213tsen1414ti1 º,,)( e

A6121tsen858ti2 º,,)( Usando fasores.

20. Determinar a diferença )()( titi 21 sendo A75t50ti1 ºcos)( e

A120t435ti2 ºcos,)( Usando fasores.

21. Determinar a soma das 3 correntes seguintes: A145t632ti1 ºcos,)( e

A25t632ti2 ºcos,)( e A95t632ti3 ºcos,)( usando fasores.

22. Determinar a soma das duas tensões: V463tsen5126tv1 º,,)( e

V5161t744tv2 º,cos,)( Usando fasores.

23. Exprimir cada uma das tensões a seguir em notação de fasores e representar cada

Uma delas no mesmo diagrama de fasores: V45tsen212tv1 º)( ,

V90tsen4141tv2 º,)( , V30t3127tv3 ºcos,)( ,

V45t85tv4 ºcos)( e V180tsen4141tv5 º,)( .

24. As duas impedâncias 1Z e 2Z do circuito da figura a seguir estão em série com uma Fonte de tensão

V0100V º . Achar a tensão nos terminais de cada impedância e Traçar o diagrama dos

fasores tensão.

V0100 º

I 1Z

2Z

10

º,, 463474

Resolução

AZ

U

Iequ

ef,419.18905.7

4.6347.410

0100


VZIU

VZIU

Z

Z

,98.44335.35)4.6347.4(*)419.18905.7(*

,419.1805.7910*419.18905.7*

000

22

00

11

25. Calcular a impedância 2Z do circuito em série da figura a seguir.

V4550 º

A1552I º,

1Z

2Z

6

8j

26. No circuito da figura a seguir a corrente está avançada de 63,4º em relação à tensão na

frequência srad400 / . Determinar R e o valor da tensão em cada elemento do

circuito. Traçar também o diagrama fasorial das tensões.

V0120 º

IR

F50

mH25

Resolução


0

0

0

4.634.630

4.63

0

srad /400

1010*25*400

5010*50*400

11

3

6

LX

CX

L

C

))4.63sin()4.63(cos())(()(()( 2222

jXXRXXRXXjRZ CLCLCL

)4.63(sin*))5010(()4.63(cos*))5010(()5010( 22222222 RRR

024.206.1

562.641562.6416.1

562.6411600219.1279781.3208.02.0

~2

222

RR

RRR

oaEnt

AjXXjR

U

Z

UI

CL

,407.63683.2)5010(024.20

0120

)(

0

VRIUR

,407.63724.53)024.20)(407.63683.2( 0

Logo

Nota-se que a corrente e a

tensão pela resistência tem o mesmo ângulo, logo estão em fase, comprovando-se a teoria.

Logo

LL

VjjXIU ,407.15383.26)10)(407.63683.2()( 0 Nota-se que a corrente pela

indutância tem um atraso de 900 em relação, comprovando-se a teoria.

Logo

CC

VjjXIU ,593.2615.134)50)(407.63683.2()( 0 Nota-se que a corrente

pela Capacitância tem um avanço de 900 em relação, comprovando-se a teoria.

27. Calcular as correntes nos ramos e a corrente total do circuito paralelo da figura a seguir. Traçar o

diagrama de fasores. Achar eqZ a partir da relação I

V, e comparar

com 21

21

ZZ

ZZ

.


1I 2I

Ω10

Ω3

Ωj4

Vº050

TI

28. Determinar a corrente em cada elemento do circuito série - paralelo dado na figura a

Seguir.

Vº0100

Ω10

Ωj10 Ω5

29. Os valores eficazes das correntes 1I , 2I e TI do circuito apresentado na figura a seguir são

respectivamente 18 A, 15 A e 30 A. Determinar as impedâncias desconhecidas (módulo e argumento) R e

jXL.

Ω4LXj R

1I 2ITI


30. O valor eficaz da corrente no circuito série da figura a seguir é 5 A. Qual é a leitura de um voltímetro

ligado, primeiro nos terminais do circuito e, depois, nos terminais de cada elemento?

A

Ω2 Ωj4 Ωj6

31. A leitura do voltímetro nos terminais do resistor de 3 Ohms do circuito paralelo da figura a seguir é de

45 V. Qual é a indicação do amperímetro?

Ω5

Ωj2 Ωj3

A

Ω3 V

V

1I 2I

32. No circuito série paralelo da figura a seguir o valor eficaz da tensão, no trecho paralelo do circuito, é

50 V. Calcular o valor correspondente de V .


Ωj6

Ω20

Ωj60

Ωº, 3058

V

33. Para o circuito mostrado na figura a seguir:

+

-

1I

I

2I

20 Ω

10 Ω

V02173 o,

1V1

-j11,55 Ω

0

a) Determina a corrente I , 1I e 2I através dos ramos;

b) Determina a tensão sobre cada elemento do circuito;

c) Desenha os correspondentes diagramas fasoriais.

34. Calcular a impedância equivalente e a corrente em cada ramo do circuito em paralelo da figura a

seguir.


Vº6050

Aº,IT 24531

1Z Ω10

Ω4

Ωj3

35. Dado o circuito da figura a seguir determina:

a) A corrente total dada pela fonte de tensão;

b) As correntes em cada um dos ramos de impedância;

c) As potências activa e reactiva absorvidas em cada ramo paralelo;

d) O triângulo de potências da fonte.

Vº6020

ΩºZ 3041

ΩºZ 6052

1I 2I

36. Determinar a potência activa total de uma associação de três cargas individuais, assim especificadas:

carga 1: 250 VA, factor de potência 0,5 atrasado; carga 2: 180 W, factor de potência 0,8 adiantado; carga

3: 300 VAR ; factor de potência 0,5 atrasado.

A FICHA DOS MÉTODOS DEVE SER DADA PELO DOCENTE.

TPC - 2


Circuitos trifásico

A maioria dos sistemas eléctricos de potência são trifásicos, isto é, envolvem três fontes de tensão

com a mesma amplitude e frequência, mas desfasadas de 120º entre si no eixo frequência tempo.

Assim, resultam para cada uma das fontes as seguintes expressões de tensão:

No domínio de tempo No domínio de frequência

o

mo

ma

omb

ma

120tsenV240tsenVv

120tsenVv

tsenVv

o

c

ob

oa

120VV

120VV

0VV

Onde 2

VV m é o valor eficaz da tensão. Estas relações são representadas na figura a seguir.

v

ωt

va

vb v

c

Figura ... Representação de tensões trifásicas no domínio de tempo


0120

anV

bnV

cnV

Figura.... Representação fasorial de um sistema de tensões trifásico

Os enrolamentos das três fontes de tensão podem ser ligados entre si em estrela ou triângulo. A

figura a seguir apresenta sistemas de tensões trifásicas ligadas em estrela ou triângulo e os

respectivos diagramas fasoriais.

bV

aV

cV

bcI

a

b

ccaI

abI

aI

bI

cI

aV

cV

bV

Ligação de Fontes em Triângulo Diagrama de Fasores

Figura……Ligação de Fontes em Triângulo


anV

bnV

cnV

a

b

c

aI

bI

cI

n

anV

cnV

bnV

aIbI

cI

θ

Figura ... Ligação de Fontes em Estrela Diagrama Fasorial de Tensões e Correntes

Ligações entre fontes e cargas nos sistemas trifásicos

Figura….Ligação de uma fonte a uma carga em estrela


Figura….Ligação de uma fonte a uma carga em triângulo

Tensões de Fase

Define-se como tensões de fase, fV , às tensões entre os dois terminais de cada fonte ou carga.

Nos circuitos em estrela a tensão de fase pode também ser definida como a existente entre cada

condutor de linha e o ponto ou condutor neutro. São representadas pelos fasores aV , bV e cV ,

respectivamente para a fase a, fase b e fase c.

Tensões de Linha

LV , são as tensões entre dois condutores de linha quaisquer dum sistema trifásico. São

representadas por abV , bcV e caV , respectivamente as tensões entre os condutores de linha das

fases a e b; b e c; c e a. A figura … apresenta estes conceitos.


bnV

a

b

c

n Tensão de

LinhaTensão de

Fase

Condutor de

Linha

abV

Figura…..Ligação em estrela

bV

aV

cV

a

b

c

Tensão de

Fase

Tensão de

LinhacaV

caV

Figura …..Ligação em triângulo

Correntes de Fase e Linha

Define-se como correntes de fase, fI , às correntes que circulam entre os dois terminais de cada

fonte ou carga dum sistema trifásico. São representadas pelos fasores aI , bI e cI ,

respectivamente para a fase a, fase b e fase c.

Correntes de Linha, LI , são as correntes transportadas pelos condutores de linha que ligam as

fontes de tensão às cargas num sistema trifásico. São representadas por LaI , LbI e LaI ,

respectivamente as correntes nos condutores de linha das fases a, b e c.. A figura … apresenta

estes conceitos.


a

b

c

LaI

LbI

LcI

n

Corrente de Linha

Corrente de Linha

Corrente de

Fase

nI

Corrente pelo

condutor neutro

bI


bcI

a

b

ccaI

abI

Corrente de

FaseCorrente de

Linha

LcI

LaI

LbI


Relações entre as Tensões de Fase e Linha

As relações dependem do modo de ligação dos elementos do circuito:

Ligação em Estrela


bnV

a

b

c

n Tensão de

LinhaTensão de

Fase

Condutor de

Linha

abV


Como pode ser visto da figura:

ancnca

cnbnbc

bnanab

VVV

VVV

VVV

Cujo diagrama fasorial dá:

030

anV

bnVcnV

abV

anV

caV

bnV

cnV

bcV

Figura …… Diagrama Fasorial

Portanto, fL

cnca

bnbc

anab

V.3V

º30V.3V

º30V.3V

º30V.3V


Ligação em Triângulo

bV

aV

cV

a

b

c

Tensão de

Fase

Tensão de

LinhacaV

caV


Da figura: fL

cca

bbc

aab

VV

VV

VV

VV

Relações entre as Correntes de Fase e Linha

As relações também dependem do modo de ligação dos elementos do circuito:

Ligação em Estrela

YZ YZ

YZ

a

b

c A

B

CnI

n N

Corrente de

Linha

Corrente de

Fase

cnV

anV

bnVCorrente de

Neutro

LcI

LaI

LbI



Como pode ser visto da figura: fL

cLC

bLb

aLa

II

II

II

II

Ligação em Triângulo

anV

bnVcnV

a

b

cA

B

C

nZ

CAI

ABIBCI

Z Z

Corrente de

Linha

Corrente de

Fase

LcI

LaI

LbI


Da figura:

BCCALc

ABBCLb

CAABLa

iII

III

III

Cujo diagrama fasorial dá:


030

ABI

AIBCI

BI

CAI

CI

CAI

BCI

ABI

Figura …… Diagrama Fasorial

Donde: fL I.3I

o

CALc

o

BCLb

o

ABLa

30I3I

30I3I

30I3I

Potência em Sistemas trifásicos

Potência Instantânea

De acordo com a figura ( ), é dada pela soma das potências instantâneas de cada fase. Isto é:


a

b

c

n

GZ

cnE

anE

bnE

(t)cnv

(t)anv

(t)vbn

(t)ci

(t)ai

(t)bi

GZ

GZ

Considerando para cada fase:

δ)tsin(ωV2 an )t(va β)t.sin(ω.I2 La )t(ia

)120º-δtsin(ωV2 bn )t(vb )120º-βt.sin(ω.I2 Lb )t(ib

)120ºδtsin(ωV2 cn )t(vc )120ºβt.sin(ω.I2 Lc )(tic

Onde

δ e β são respectivamente os ângulos de fase de corrente e tensão e

β-δ é o ângulo de desfasamento entre a corrente e a tensão.

A potência instantânea total será:


º120t2coscos2

1..2

º120t2coscos2

1..2t2coscos

2

1..2

vvv

Lf

LfLf

Lccn

LbbnLaan

ccnbbnaancba3

.IV

.IV.IV

)120ºβt).sin(ω120ºδtsin(ω.I2V2

)120º-βt).sin(ω120º-δtsin(ω.I2V2β)tδ).sin(ωtsin(ω.I2V2

(t)(t).i(t)(t)i(t)(t)ipppp

β)cos(δIU

.IV.IVp

Lf

LfLf3

.3

º120t2cos

º120t2cost2cos.

2

1..2cos..3

Portanto, a potência instantânea total fornecida por um gerador trifásico sob condições normais de

serviço equilibrado não varia com o tempo, isto é, ela é praticamente constante. Um gerador

trifásico (construído com os seus enrolamentos de campo num mesmo veio e com os seus 3

enrolamentos estatóricos no núcleo deslocados entre si de 120º), terá também uma potência

mecânica de entrada aproximadamente constante sob condições normais de operação, uma vez

que a potência mecânica de entrada é igual à potência de saída eléctrica mais as pequenas perdas

no gerador. Assim, o torque mecânico do veio, que é igual à potência mecânica de entrada,

dividida pela frequência angular (n

mecmec

ω

PT ) será também aproximadamente constante.

Por outro lado, a equação para a potência instantânea fornecida por um gerador monofásico sob

condições estacionárias de funcionamento é a mesma que a equação para a potência instantânea

fornecida por uma fase de um gerador trifásico. Como pode ser demonstrado em cursos mais

avançados, p(t) tem duas componentes: uma constante e outra sinusoidal com uma frequência

dupla da rede. Assim, tanto a potência mecânica de entrada como o torque mecânico do veio de

um gerador monofásico terão uma componente oscilatória com o dobro da frequência da rede a

qual cria uma vibração do veio e ruído, que poderia criar grandes falhas nas máquinas de elevada

potência.

Por causa disso, a maioria das máquinas eléctricas rotativas (geradores e motores) de potência

igual ou superior a 5 kVA são construídas como trifásicas, com a finalidade de produzir torques

aproximadamente constantes e, portanto, minimizar as vibrações dos veios e o ruído.

Potência Complexa

Usando a representação complexa das tensões e correntes num sistema trifásico vem:

δVfan V βII La


A potência complexa S fornecida pela fase a do gerador será então:

β)sin(δIVjβ)cos(δIV

β)(δ)I(Vβ)()I(δVIVS

LfLf

LfLf*

aana

Para um sistema trifásico equilibrado, a potência complexa entregue pelas fases b e c do gerador é

idêntica a da fase a . Portanto, a potência total da fonte será:

β)sin(δIj3Vβ)cos(δIV

β)(δI3V

S3SSSS

LfLf

Lf

acba3φ

3

Em termos de potência activa e reactiva:

ΦΦΦ 333 jQPS

onde:

β)cos(δIV3β)cos(δI3V)SRe(P LLLf3Φ3Φ

β)cos(δIV3β)sin(δI3V)SIm(Q LLLf3Φ3Φ

E a potência aparente total:

LLLL3φ3φ IV3I3VSS

Vantagens do Sistema Trifásico Sobre o Monofásico

A figura a seguir apresenta três sistemas monofásicos separados. Cada sistema

monofásico compreende os seguintes componentes idênticos:

1. Um gerador representado por uma fonte de tensão e uma impedância interna gZ ;

2. Um condutor activo e outro de retorno, representados por duas impedâncias de linha série LZ ;

3. Uma carga representada por uma impedância de valor YZ . Embora completamente separados

entre si, os 3 sistemas monofásicos são apresentados numa configuração idêntica à estrela, para

melhor ilustração das vantagens do sistema trifásico sobre o monofásico.


n1

n2 n3

N1

N2N3

LZ

LωjRLLZ

GZYZ

YZ

YZ

LZGZ

GZ

Figura Três sistemas monofásicos separados

Da análise da figura pode-se concluir a seguintes Principais Vantagens Comparativas:

1. Cada sistema monofásico separado requer que os dois condutores, nomeadamente o activo e o de

retorno, tenham a mesma capacidade de carga (amperagem), igual ou maior que a corrente de

carga. Contudo, se as fontes da figura anterior forem ligadas por forma a constituir um sistema

trifásico, e se as fontes de tensão forem balanceadas com igual amplitude e desfasamento entre

fases consecutivas de ± 120º , então, a corrente pelo condutor neutro será nula e os 3 condutores

de neutro podem ser removidos. Portanto, apesar de estar a entregar a mesma potência à carga, o

sistema trifásico requer apenas metade do número de condutores necessários para 3

sistemas monofásicos separados fornecendo mesma potência.

2. Também, em virtude da diminuição da impedância de fase, as perdas totais de potência I2R no

sistema trifásico são também metade que em 3 sistemas monofásicos separados fornecendo a

mesma potência.

3. Igualmente, a queda de tensão entre a fonte e a carga no sistema trifásico será metade da

queda nos sistemas monofásicos.

Portanto, uma primeira vantagem do sistema trifásico equilibrado relativamente ao monofásico é

o baixo capital e custos de operacionais dos subsistemas de transporte e distribuição de energia

eléctrica, para além de uma melhor regulação de tensão.


Exercícios

1. Um fonte de tensão trifásica tem uma tensão de fase de 120 V e alimenta uma carga trifásica ligada em

estrela com uma impedância de fase

jZLΩ

4836 . Calcula:

a) A tensão de linha;

b) A corrente de linha;

c) O factor de potência;

d) A potência total trifásica fornecida à carga.

Resolução

Redução a um circuito monofásico

a)

VU fase 120

Tensões de fase

VU

VU

VU

cn

bn

an

,120120)1200(120

,120120)1200(120

,0120

0

0

0

Tensões de Linha

VUU anab

,30846.20730120*33003 000

VUbc

,90846.207)12030(846.207 0

VUca

,150846.207)12030(846.207 0


b) Seguindo a malha M1:

AjZ

UIZIU

Y

an

a

oaEnt

Yaan,13.532

4836

0120 0~

c) O factor de potência

6.0)13.53cos(cos.

13.53)13.53(0 0

pf

d) A potência total trifásica

VAjIUSaan

,57643213.53720)13.532)(0120(33 0*

3

2.Considera agora que as três impedância de fase do problema anterior estão ligada em delta e

alimentadas por uma fonte de tensão trifásica de linha de 207,8 V. Calcula:

a) A corrente de fase;

b) A corrente de linha;

c) O factor de potência;

d) A potência total trifásica fornecida à carga.

Resolução

Redução da carga em Delta para a carga em Estrela

,1612

3

4836

3j

jZZ

Y

Redução a um circuito monofásico


VU linha 8.207

Tensões de Linha

VU

VU

VU

ca

bc

ab

,1208.207)1200(8.207

,1208.207)1200(8.207

,08.207

0

0

0

Tensões de fase

VU

VU

VU

U

cn

bn

ab

an

,90120)12030(120

,150120)12030(120

,30120303

8.207)300(

3

0

0

0

a) Seguindo a malha M1

AI

I

AjZ

UI

a

AB

Y

an

a

,13.53464.313.533

6)3013.83(

3

,13.8361612

30120

00

0

b)

AIa

,13.836 0

c)

6.0)13.53cos(cos.

13.5313.8330)13.83(30 0

pf

d)

VAjIUSaan

,1728129613.532160)13.836)(30120(33*

3

3. Uma fonte de tensão trifásica equilibrada de 208-V alimenta uma carga trifásica também equilibrada.


Se a corrente de linha LaI medida for de 10 A e em fase com a tensão linha - linha bcV , calcula a

impedância por fase da carga se:

a) A carga for ligada em Y;

b) A carga for ligada em Δ.

4. Um alternador trifásico, 480 V, 50 kVA, 50 Hz, fornece uma corrente de linha de 20 A com um factor

de potência 0.8 em atraso com a tensão de operação nominal. Determina o triângulo de potências para

esta condição de funcionamento.

5. Uma impedância de carga trifásica ligada em triângulo com um valor de 9j12 por fase é

alimentada por uma fonte de tensão trifásica 50 Hz, 208 V.

a) Calcula as correntes de linha, a potência total activa e reactiva absorvidas pela carga, o

factor de potência e a potência aparente;

b) Esboça um diagrama fasorial mostrando as correntes de linha, as tensões linha da fonte

de alimentação e as correntes pela carga.

6. Duas cargas trifásicas ligadas em estrela, uma absorvendo 10 kW com um factor de potência de 0.8

indutivo e a outra 15 kW com um factor de potência 0.9 capacitivo, estão ligadas em paralelo e

alimentadas por uma fonte de tensão trifásica de 480 V também ligada em estrela. Calcula o valor da

corrente pela fonte de alimentação;

7. Três impedâncias idênticas o3030Z estão ligadas em triângulo a uma fonte de tensão

trifásica equilibrada de 500 V através de 3 condutores idênticos com uma impedância de valor

),,( 60j80ZL Ω por condutor. Calcula a tensão de linha nos terminais da carga.


TEMA 4 - TRANSFORMADORES MONOFÁSICOS

Um circuito magnético é um caminho fechado para a circulação o fluxo magnético, tal como um circuito

eléctrico propicia um caminho para a circulação da corrente eléctrica. Os transformadores, as máquinas

eléctricas rotativas e muitos outros dispositivos de conversão electromecânica usam circuitos magnéticos.

Os circuitos magnéticos são constituídos por materiais ferromagnéticos (núcleo) capazes de se magnetizar

com a circulação de fluxo magnético e fontes de excitação ou força magneto motriz. No caso de máquinas

eléctricas como por exemplo o transformador, o núcleo é normalmente feito de material ferromagnéticos

(aço electrotécnico). Existem entretanto casos especiais em que para além de material ferromagnéticos o

caminho do fluxo contém interrupções com caminhos de ar a que se chama entre ferro.

Transformado ideal

1E

1I2I

2E

Enrolamento 1 Enrolamento 2

1N 2N

+

-

+

-

+

-

1V 2V

c - Permeabilidade do núcleo;

cH - Intensidade do campo magnético;

CB - Indução do campo magnético;

c - Fluxo magnético;

cA - Área do núcleo;

cl - Comprimento médio;

N - Número de espiras.

1. Resistência do enrolamento = 0. Sem perdas

2. Tende

c ; *mmm RF ; c

c

cm A

lR *


3. Não existem fluxo de fugas;

4. Não existem perdas no núcleo.

cCc

ccC

AB

HB

*

*

Consoante

constIHdl Lei de Ampere

22112211

2211

**

* ININlA

ININlB

ININlH

c

cc

cc

c

C

cc

Como Tende

c

2211 ININ

dt

tdNte

)()( 11

dt

tdNte

)()( 22

2

1

2

1

N

N

E

E

Para um transformador ideal, e1=v1 e e2=v2. Portanto,

dtvN

dtvN

2

2

1

1

11

Assim, se o fluxo variar sinusoidalmente, isto é:

tsenm

Resultando para a tensão induzida num enrolamento de N - espiras :

tNdt

tsendN

dt

dNe m

m

cos

Cujo valor médio eficaz é:


mmm Nf

NfNE

44,4

2

2

2

Esta é conhecida como a equação da força electromotriz (f.e.m.)

Onde,

2f é a frequência do fluxo magnético ou da fonte de excitação magnética em Hz

Representação de um transformador ideal

1I

2U

2I

N1 N

2

+ + +

-- -

1E 2E1U

2211 ININ

2

1

2

1

N

N

E

E

Potência de um transformador ideal

A potência fornecida pelos enrolamentos do transformador será

*

111 IES Para o enrolamento primário

E

*

222 IES Para o enrolamento secundário

2

*

22

*

21

2

22

1*

111)(

SIEI

N

NE

N

NIES

Impedância do secundário vista do primário


2

22

I

EZ

Seja 2

1

N

Na

2

2

2

12

2

2

22

2

2

1

121 Z

N

NZa

I

Ea

a

I

Ea

I

EZ

Exemplo:

Um transformador ideal monofásico de dois enrolamentos tem uma potência nominal de 20 KVA; tensões

nominais 480V/120V e frequência nominal 60Hz.

Uma fonte ligada ao enrolamento de 480V alimenta uma impedância de carga ligada ao enrolamento de

120V. A carga absorve 15 KVA com um f.p. 0,8 atrasado, quando a tensão pela carga é de 118 V.

Calcula:

a) A tensão pelo enrolamento de 480V;

b) A impedância de carga;

c) A impedância da carga vista do enrolamento de 480V;

d) A potência activa e reactiva fornecida ao enrolamento de 480V.

Solução:

1I

2U

2I

N1 N

2

+ + +

-- -

1E 2E1U

a) Das relações de tensão primária e secundária vem para a relação de transformação:


4V120

V480

E

E

N

Na

n2

n1

2

1

e a tensão através do enrolamento 1 será:

V0472V0118x4EaE oo21

b) A potência complexa absorvida pela carga Z será:

*

2o*

222 Ix0118IES

A87,3612,1278,0cosarV118

VA15000

E

SI o

2

2*

2

A impedância de carga será:

o

o

o

2

22 87,369283,0

A87,3612,127

V0118

I

EZ

c) A impedância de carga referida ao primário será:

oo22

221 87,3685,1487,369283,0x4ZaZ

d) A potência complexa pelos enrolamentos é dada por:

VA9000j12000VAº87,3615000SS 21 ∠


Donde:

kVAR9VAR9000SIQ

kW12W12000SRP

1m

1e1

Transformadores Reais e Circuito Equivalente

Na prática os transformadores não são ideais pois:

1) Os enrolamentos tem resistência;

2) A permeabilidade magnética do núcleo μc é finita;

3) O fluxo magnético não é completamente confinado ao núcleo, havendo dispersão;

4) Existem perdas de potência activa e reactiva no núcleo.

Sob estas condições, resulta:

ΦRININ m2211 -

Ou

m1

2

1

m

1

1

1

m

1

m21

1

m2

1

21 Ij

E

N

Rj

jN

E

N

R

j

E

N

R

a

II

N

RI

N

NI

-

Donde, considerando as perdas activas no núcleo do transformador:

cm

2

1II

a

II

Representação de um transformador real


1V

1I

2V

a 1

+ +

_ _

2I

1E

jX2jX

1R

2R1

+

_ _

+

2E

CRmXj

mICI

0I

a

I2

:

Considerando que a permeabilidade magnética do núcleo é finita, a relutância magnética e a fmm total

não são nulos. Deste modo, obtemos os seguintes esquemas equivalentes.

1V

1I

2V

2IjX1R

1

CR mjX

mICI

0I

a : 1

a) Transformador real

1E

2E

jX2

R2

1V

1Ia

I2jX

1R1

CR mj X

mICI

0I

b) Transformabor real com X2 e R

2 referidos ao

enrolamento primário

22Ra

2Va

22Xaj


2V

2I2

1

a

R

jX2

R2

2

C

a

R

2a

Xmj

mIaCIa0Ia

c) Transformabor real com X1 e R

1 referidos ao

enrolamento secundário

a

1V

1Ia2

1

a

Xj

121

121

XXX

RRR

equ

equ

12

2

2

1

12

2

2

1

*)(

*)(

XXN

NX

RRN

NR

equ

equ

Ensaios em Transformadores

As características de funcionamento dos transformadores podem ser obtidos a partir dos esquemas

equivalentes desenvolvidos na secção anterior. Os parâmetros do circuito podem ser determinados quer

pelos dados dos projectos das máquinas quer por ensaios. Os ensaios mais comuns são o ensaio em vazio

e o ensaio de curto-circuito que são descritos a seguir.

Ensaio em Vazio

Aqui, um dos enrolamentos é aberto e uma tensão, normalmente a nominal, também com frequência

nominal, é aplicada ao outro enrolamento, medindo-se a tensão, corrente e potência deste enrolamento,

como mostrado na figura a seguir.


+

_

+

_

AW

P0 I

0

U10 V V

U20

Figura.... Esquema do ensaio em vazio

Medindo-se a tensão em vazio do outro enrolamento pode-se também determinar a razão de

transformação do transformador. É conveniente aplicar-se a tensão ao enrolamento com a tensão nominal

próxima da tensão da fonte disponível. Isto significa que para transformadores elevadores, a tensão em

vazio do segundo enrolamento há-se ser maior que a tensão aplicada. Assim, cuidados especiais devem

ser tomados para resguardar os terminais desses enrolamentos por forma a assegura a segurança do

pessoal de teste e evitar que esses terminais estejam próximos de outros circuitos, instrumentos, terras,

etc.

Na apresentação dos parâmetros do ensaio em vazio assume-se que a tensão é aplicada ao enrolamento

primário e que o enrolamento secundário fica aberto. A potência de perdas em vazio é igual à potência

medida pelo wattímetro do ensaio; as perdas no ferro são obtidas por subtracção das perdas Óhmicas no

enrolamento primário, que em muitos casos são muito pequenas e desprezáveis. Assim, se 0P , 0I e

10U forem os valores medidos, a perdas no cobre serão dadas por:

1200 RIPPC

A tensão induzida no primário é dada por:

1100o

101 XjRI0UE

Onde 0 é o ângulo de potência em vazio dado por:

00

00

IV

Pcosarθ .

Outras grandezas são determinadas a partir das seguintes fórmulas :


C

21

CP

ER

1E

PI CC

220 Cm III

mm

I

EX 1

2

10

E

Ua

Como teremos oportunidade de verificar nos exemplos numéricos pode-se aceitar as seguintes

simplificações:

0C1200 PPRIP » o

1011100o

10 0UEXjRI0U »

Assim, pode-se usar as seguintes expressões aproximadas para o cálculo dos parâmetros do circuito de

excitação dos transformadores reais com erros relativos menores do que 10% :

0

210

CP

VR

0

0C

V

PI

220 Cm III

m

10m

I

VX

20

10

V

Ua

Ensaio de Curto-Circuito

Neste teste um enrolamento é curto-circuitado sobre os seus terminais e uma tensão reduzida aplicada

ao outro enrolamento, como mostrado na figura a seguir.

+

_

+

_

AW

Pcc I

cc

Ucc V


Figura.... Esquema do ensaio em curto-circuito

O valor da tensão reduzida é tal que deve produzir uma determinada corrente, normalmente a corrente

nominal, no enrolamento curto-circuitado. Também aqui, a escolha do enrolamento a curto-circuitar

depende do equipamento de teste disponível. Entretanto, cuidado deve ser tomado para notar o

enrolamento curto-circuitado pois ele vai servir de referência para exprimir os componentes da

impedância obtidos no teste. Aqui vai-se considerar que o enrolamento curto-circuitado é o

secundário e que a tensão reduzida é aplicada ao enrolamento primário. Com uma tensão muito

reduzida aplicada ao enrolamento primário, as correntes de perdas no ferro e de magnetização

tornam-se muito pequenas e o circuito equivalente reduz-se ao apresentado na figura a seguir.

ccU

ccIa2R

2R1

+

-

a2X2X

1

Xeq

Req

Figura. 13.8.... Esquema equivalente do transformador simplificado do ensaio de curto-circuito

Assim, se ccP , ccI e ccV forem as grandezas medidas durante o ensaio de curto-circuito, então, os

parâmetros do transformador referidos ao primário serão dados por:

cc

cceq

I

UZ

2cc

cceq2

21

I

PRRaR

22

22

1 eqeqeq RZXXaX

Dados R1 e a, R2 pode ser determinado a partir das equações anteriores. Por outro lado, é comummente

assumido que a reactância de dispersão equivalente vista de um lado do transformador é igualmente

dividida pelos dois enrolamentos, isto é:


eqXXaX2

12

21

Exemplo

Um transformador monofásico de dois enrolamentos tem os seguintes dados nominais: Potência: 20 kVA;

Tensão: 480 V/120V; Frequência: 60Hz. Durante um ensaio de curto circuito com aplicação de corrente

nominal no enrolamento primário com enrolamento secundário curto-circuitado, foram obtidos os

seguintes valores: U1=35 V; P1=300 W. No ensaio em vazio, com aplicação de tensão nominal no

enrolamento secundário e enrolamento primário aberto, foram obtidos os seguintes valores: I2=12 A;

P2=200 W.

a) A partir dos dados do ensaio de curto circuito, calcula a impedância série equivalente, referida ao

enrolamento primário 111 eqeqeq

jXRZ . Despreza a admitância paralela.

b) A partir dos dados do ensaio em vazio, determina os dados da admitância paralela, referida ao

enrolamento primário, nomeadamente a resistência de ferro e reactância de magnetização cR e

mX . Despreza a impedância série.

Solução:

a) O esquema equivalente para o ensaio de curto circuito é mostrado na figura a

seguir:

1ccU

1n1cc I =I Req1

480: 120

jXeq1

a) ensaio de curo circuito (desprezando acorrente de excitação)

+

_

+

_

Da figura,


A66741480

10x20

U

SII

3

n1

nn1cc ,

1728066741

300

I

PR

2cc

cc1eq

,

).(

8400066741

35

I

UZ

cc

cc1eq

,

,

8220017280840RZX 222

1eq

2

1eq1eq,,, --

º,,,, 1378840008220j17280jXRZ1eq1eq1eq

∠

b) O esquema equivalente para o ensaio em vazio é mostrado na figura a seguir:

1V

21

2 IN

N

2E

2I

CR mj X

480: 120

b) ensaio em vazio ( desprezando aimpedância série)

+

_

+

_

V 1201E

Da figura,

V480V120x120

480V

N

NEaEV n2

2

1211

21997802002

17280x

4

12200R

a

IPRIPP

2

12

220

01200C ,,

,

Portanto, 0C PP


º

.

coscos 823480

200ar

IV

Par

00

00

º,,

,,

ºº

0107478

2

8220j

2

172808230480XjRI0UE 1100

o101

Assim,

411502199

7478

P

ER

2

C

21

c ,

,

,

A416107478

2199

E

PI

1

CC ,

,

,

A9712416103III 222C

20m ,,

121619712

7478

I

EX

m

1m ,

,

,

Usando as expressões simplificadas:

Portanto, 101 UE

1152200

480

P

V

P

ER

2

0

102

C

21

c

A41670480

200

V

P

E

PI

10

0

1

CC ,

A972416703III 222C

20m ,,

Comparação dos valores exactos e aproximados:

7161972

480

I

EX

m

1m ,

,


Valores [Ω]

Erro [%] Exactos Aproximados

Rc 1150,4 1152 0,139

Xm 161,12 161,7 0,36

Auto transformadores

Auto-transformadores são transformadores de um único enrolamento muito usual para algumas aplicações

devido à sua simplicidade e custo baixo comparado com os transformadores multi enrolamentos. O

esquema equivalente de um auto-transformador pode ser desenvolvido a partir de um transformador

comum ligando os enrolamentos em série, como mostrado na figura a seguir, para um auto-transformador

abaixador. Considera agora que tal ligação foi efectuada para o transformador comum mostrado na

mesma figura em que o enrolamento primário é AB e o enrolamento secundário é BC. O primário do

transformador fica então formado pela soma dos dois enrolamentos do transformador comum, isto é, AC.

O secundário do auto-transformador fica constituído pelo enrolamento BC.

a) Transformador de 2 enrolamentos normal

+

-

+

-

Ientrada I

saída

Ventrada

Vsaída

A

B

B

C

b) Auto-transformadorAbaixador

Ventrada

Ientrada

A

B

C

H1

H2

X1

X2

ICB

Vsaída

Isaída

Terminal

de Alta

Tensão

Terminal

de Baixa

Tensão


A relação de transformação deste dispositivo será então:

1a1N

N

N

NN

E

EE

E

Ea

BC

AB

BC

BCAB

BC

BCAB

X

H

'

Onde a é a razão de transformação do transformador comum.

Para além de fornecer uma maior relação de tensões a ligação como auto-transformador pode também

proporcionar uma maior potência aparente que na ligação como transformador comum. A razão principal

é que a potência no auto-transformador é transferida por duas vias: por via da ligação eléctrica e por via

da ligação magnética entre os dois enrolamentos.

O auto-transformador apresenta também valores menores de impedância de curto circuito que os do

transformador comum, resultando valores inferiores de quedas de tensão (vantagem) e valores superiores

de corrente de curto circuito (desvantagem).

O auto-transformador tem ainda menores valores por unidade de perdas de potência (maior eficiência),

valores menores de corrente de magnetização e menores custos para uma razão de transformação não

muito grande. Contudo, o acoplamento eléctrico dos dois enrolamentos facilita a propagação de sobre

tensões transitórias (desvantagem) o que limita a sua aplicação em ambientes onde se requeira um

isolamento eléctrico entre o primário e o secundário.

Exemplo

O transformador monofásico de dois enrolamentos 20 kVA, 480V/120V do exemplo anterior é ligado

como um auto-transformador, sendo o enrolamento 1 o de 120V. Determina para a ligação como auto-

transformador:

a) As tensões nominais xE e HE dos terminais de baixa e alta tensão respectivamente;

b) A razão de transformação do auto-transformador;

c) A potência nominal do auto-transformador.

Solução:

a) Uma vez que o enrolamento de 480V é o enrolamento de entrada, estando ligado ao terminal de

alta tensão, tem-se:


Portanto:

V600V120V480EEE BCABH

b) A razão de transformação para o auto-transformador será então:

5141V120

V4801

E

Ea

BC

AB ' Ou

5V120

V600

E

Ea

X

H '

c) A corrente nominal pelo secundário do transformador monofásico comum será:

A66741V480

VA20000II H2 ,

No funcionamento como auto-transformador o enrolamento de 480V deverá suportar esta mesma

corrente. Portanto,

VA25000V600Ax66741IES HHH ,

Repara também que quando A66741II 2H , , será induzida no enrolamento de 120 V, uma

corrente dada igual a:

A716666741x4IaI 21 ,,

Assim, a corrente total de saída será:

A3208A66741A7166III 21x ,,,

V120EV480E BCAB


Portanto, desprezando a corrente de magnetização, vem para a potência aparente:

VA25000VA3208Vx120IES xxx ,

Isto é, VA25000SSS NHX

Do presente exemplo pode-se concluir que na ligação como auto- transformador, o

transformador pode fornecer uma potência maior de até 25 kVA contra 20 kVA na ligação como

transformador comum. Contudo, a maior tensão de saída bem como as ligações peculiares

dos enrolamentos poderão requer um maior nível de isolamento para ambos enrolamentos.

Exercícios

1. O fluxo máximo no núcleo de um transformador operando a 110 V, 60 Hz é de 4,13 mWb. Determina o

número de espiras necessário no enrolamento primário.

2. Um transformador tem um enrolamento de 500 espiras acoplado por um fluxo que varia a uma taxa de

0,4 Wb/s. Determinar o valor eficaz da tensão induzida nesse enrolamento.

3. Um transformador com núcleo de ferro tem 400 espiras no primário e 100 espiras no secundário. Se

uma tensão de 220 V (valor eficaz), 50 Hz, é aplicada ao primário, determinar o valor eficaz da tensão do

secundário e o valor máximo (de pico) do fluxo magnético.

4. Se um enrolamento de 50 espiras de um transformador monofásico tem uma tensão de 120 V e o valor

de pico de fluxo de acoplamento é 20 mWb, determina a frequência da tensão aplicada.

5. Um transformador com núcleo de ferro tem 1500 espiras no primário e 500 no secundário. Um resistor

de 12 Ohms é ligado no enrolamento secundário. Determina a tensão sobre o resistor quando a corrente

no primário é de 5 A.

6. O estágio de saída de um sistema de audio tem uma resistência de saída de 2 kΩ. Um transformador de

saída faz o casamento de resistência com um microfone de 6Ω. Se este transformador tem 400 espiras no

primário determina o número de espiras do secundário.

7. Determina os valores nominais de corrente dos enrolamentos primário e secundário de um

transformador abaixador de 25000 V/240 V , 50 kVA.

8. Um transformador em vazio operando com 50 Hz, drena da fonte uma potência de 75 W ao se aplicar

uma tensão de 120 V e uma corrente de 1,5 A. Se a resistência do enrolamento primário for de 0,4 Ω,

calcula:


d) As perdas de ferro do núcleo;

e) O factor de potência do transformador operando em vazio

9. Os parâmetros do circuito equivalente de um transformador com uma razão de transformação 5, são:

R1=0,5 Ω; R2=0,021 Ω; X1=3,2 Ω; X2=0,12 Ω; Rc=350 e Xm = 98Ω referidos ao primário. Desenha o

esquema equivalente do transformador com os valores numéricos dos parâmetros, com:

a) Valores referidos ao primário;

b) Valores referidos 10. Os resultados dos testes em vazio e curto-circuito de um transformador

monofásico de 25 kVA; 440 V/220 V, 60 Hz são apresentados a seguir:

Ensaio Tensão entrada [

V ]

Corrente entrada [

A ]

Potência entrada [

W ]

Primário aberto 220 9,6 710

Secundário em curto-circuito 42 57 1030

a) Determina os valores dos parâmetros do circuito equivalente exacto referidos ao enrolamento de

alta tensão assumindo que R1=a2R2 e X1=a

2X2;

b) Desenha o correspondente esquema equivalente.

11. A partir dos dados de ensaio do transformador do exercício anterior determina os valores dos

parâmetros do circuito equivalente referidos ao enrolamento de baixa tensão.

12. Um transformador com os dados de chapa 25 Hz; 120 V/30 V; 500 VA deve ser ligado a uma fonte de

tensão de 60 Hz. Considerando que a densidade de fluxo no núcleo de ferro mantêm-se constante,

determina:

a) A tensão máxima permitida no enrolamento primário;

b) Os novos valores de tensão e corrente máximas (valores nominais) no enrolamento secundário

para o transformador operando com 60 Hz.

13. Qual a relação de transformação de um transformador monofásico de dois enrolamentos que pode ser

conectado como um auto transformador de 500/350 kV?

14. Compara as correntes dos enrolamentos de um transformador de dois enrolamentos, 277 V/ 120 V, 50

kVA, com carga nominal, e um auto transformador de mesma potência.


TEMA 5 - FENOMENOS TRANSITÓRIOS

As leis de comutação

1a Lei de comutação

A corrente através de uma indutância imediatamente antes da comutação é igual a corrente imediatamente

depois da comutação.

A corrente através de uma indutância não pode variar bruscamente.

dt

diLu L

L

di

diLRiU

UUU

LL

LR

2a Lei de comutação

A tensão aos terminais de uma capacidade imediatamente antes da comutação é igual a tensão nos

terminais da mesma capacidade imediatamente após a comutação

A tensão através de uma capacidade não pode variar bruscamente.

dt

duCi C

C


dt

duCRiU

UUU

CC

CR

Métodos de cálculos de fenómenos transitórios

1. Método Clássico (Método das equações diferenciais)

2. Método Operacional (Operador Laplace ou Karson);

3. Método Integral de Duhamel (Utilizados nos circuitos discretos)

Passos principais do uso do Método Clássico

1. Constituir as equações diferenciais para o circuito obtido depois da comutação;

2. Escrever a solução geral como a soma de duas componentes, a estacionária ou forçada e a

livre;

Nota A: Para a indutância é uma equação de correntes:

AAeii

Aiii

Pt

forestLtL

livreLforestLtL

,

,

)/()(

)()/()(

Nota B: Para a capacidade é uma equação de tensões:

VAeuu

Vuuu

Pt

forestCtC

LivreCforestCtC

,

,

)/()(

)()/()(

Nota C: A parte estacionária é a resolução particular da equação diferencial não homogénea quando o

tempo tende ao infinito;

Nota D: A parte livre é a resolução geral da equação homogénea, isto é, com a parte esquerda igual a

zero.

3. Determinar as raízes da equação característica;

4. Determinar as constantes de integração usando as condições iniciais;


Nota A: Para isso, calcula-se o circuito antes da comutação e depois das leis da comutação.

Nota B: Determinam-se as condições iniciais, isto é, as condições no instante de tempo "t=0".

Processos transitórios em circuito R-L

1.

LR UUU

De acordo com a 1a Lei de comutação:

dt

diLu L

L , Então:

dt

diLRiU L

L

Derivando ambos os membros da equação acima em função da Li e fazendo Pdt

diL teremos:

1,

0

SL

R

L

RP

LPR

P - Equação característica ou constante de tempo.

2.

AAeiAeii

iii

tL

R

estL

Pt

estLtL

LivreLforestLtL

,)()()(

)()/()(


Caso a) Fontes de Corrente Contínua (CC)

Cálculo da corrente estacionária

AIi TendetLest ,

)( A corrente após a comutação. Após a comutação o circuito fica:

Então:

R

UIi R

Lest

E a solução geral muda para:

AAeR

Ui

tL

R

RtL ,)(

Cálculo da constante A

Esta constante retira-se antes da comutação, ou quando o tempo é igual a zero

Ai sulta

tL

Re

)0(

Para t=0, que é antes da comutação, no circuito a chave "S" ainda se encontra aberta, sendo que no

circuito não existe a passagem de corrente

AIi LtL ,0)0(


Então a solução geral:

AAeR

Ui

tL

R

RtL ,)(

Para t=0 temos:

AR

UA

AR

UAe

R

U

R

RL

R

R

,

000*

A solução geral final é:

AeR

Ue

R

U

R

Ui

tL

R

Rt

L

R

RRtL ),1()(

A solução geral da tensão é:

VUeeR

UL

dt

diLu

tL

Rt

L

R

RLL ,))1((

Gráficos


Caso b) Fonte de corrente alternada (CA)

VtUu t ),sin(max)(

Cálculo da corrente estacionária

AIiTende

tLest ,

)( A corrente após a comutação. Após a comutação o circuito fica:

AZ

U

Z

UIi

Lest ),(maxmax

,arctan)( 022 ZR

XXRjXRZ L

LL

,LX L

AtIi

AII

est

estest

),sin(

),(

max)(

max,max,


AAetIit

L

R

tL ,)sin(max)(



Ai sulta

tL

Re

)0(


circuito não existe a passagem de corrente


AIiL

tL ,0)0(


AAetIit

L

R

tL ,)sin(max)(

Para t=0 temos:

AIA

AIAeI L

R

),sin(

0)sin()0*sin(0

max

max

0*

max


AeItIit

L

R

tL ,)sin()sin( maxmax)(

A solução geral da tensão é:

VeUtUu

VeRItLIu

etILdt

diLu

tL

R

RLtL

tL

R

tL

tL

R

LtL

,)sin()cos(

,)sin()cos(

)))sin()(sin((

(max)(max))(

maxmax)(

max)(

Gráficos


Processos transitórios em circuito R-C

1.

CR UUU


dt

duCi C

C , Então:

CC

CC

Udt

duRCU

URiU

Derivando ambos os membros da equação acima em função da CU e fazendo Pdt

duC teremos:

1,11

10

SRCRC

P

RCP

P - Equação característica ou constante de tempo.

2.

VAeuAeuu

uuu

tRC

estC

Pt

estCtC

LivreCforestCtC

,

1

)()()(

)()/()(

Caso a) Fontes de Corrente Contínua (CC)

Cálculo da tensão estacionária

VUu TendetCestC ,

)( A tensão após a comutação. Após a comutação o circuito fica:


Então:

VUUUu RCestC ,


VAeUUut

RCRtC ,)(

1

)(



Au sulta

tC

Re

)0(


circuito não existe a passagem de corrente, mas existe tensão aos terminais da resistência uma tensão

inicial, esta tensão pode ser igual a zero, dependendo do instante em que o circuito começa a ser

analisado.

AIC ,0

VUUu RCtC ,0)0(


VAeUUut

RCRtC ,)(

1

)(


Para t=0 temos:

VUUUUUUA

AeUUU

RRRR

RCRR

,)(

)(

00

0*1

0


VeUUUUUut

RCRRRtC ,)()(

1

0)(

A solução geral da corrente é:

AeR

UUU

dt

duCi

tRCRRC

C ,)(

1

0

Gráficos

Caso b) Fonte de corrente alternada (CA)

VtUu t ),sin(max)(

Cálculo da tensão estacionária

AUuTende

tCest ,

)( A tensão após a comutação. Após a comutação o circuito fica:


VjXIUUUu CCRC

est ),(*

,arctan)( 022 ZR

XXRjXRZ C

CC

,1

CX C

AZ

UI

C,

VtXIu

VXIU

CCest

CC

),sin(**2

,)(* 0


VAetXIut

RCCCtC ,)sin(**2

1

)(



Au sulta

tC

Re

)0(


circuito não existe a passagem de corrente. AIC

,0


AUuC

tC ,0)0(


VAetXIut

RCCCtC ,)sin(**2

1

)(

Para t=0 temos:

VXIAAXI

AeXI

CC

oaEnt

CC

RCCC

),sin(**2)sin(**20

)0*sin(**20~

0*1


VeXItXIut

RCCCCCtC ,)sin(**2)sin(**2

1

)(

VetXIut

RCCCtC ),)sin()(sin(**2

1

)(

A solução geral da corrente é:

AR

eUtUCi

ARC

etXICi

RC

eXItXIC

dt

diCi

tRC

CCtC

tRC

CCtC

tRC

CCCC

CtC

),)sin(

)cos(*(2

),)sin(

)cos((**2

))sin(**2

)cos(**2*(

1

)(

1

)(

1

)(

Gráficos


Exemplos:

Exemplo1:

Processos transitórios em circuito R-C de corrente continua (CC)

Dado o circuito de corrente contínua da figura a seguir, a chave ‘S’ encontra-se no instante inicial (t = 0

segundos) na posição aberta, determina as expressões da tensão e corrente em função do tempo, através

da capacidade, tomando em conta os processos transitórios.

NOTA: O estudante deve usar o método clássico.

R1 = 500Ω; R2 = R3 = 250Ω; C = 10*10-6

F ; E = 120V.

RESOLUÇÃO PELO MÉTODO CLÁSSICO

10 Constituir as equações de Kirchoff para o circuito depois da comutação.

Nota-se que depois da comutação a resistência R1 fica curto-circuitado.


3

333

22

3

22322

32

0:2

:1

R

UiRiUM

EURiRR

UEURiRiEURiM

iii

CEntao

C

ccCEntao

Cc

Entao

C

c

Vamos optar pela equação da malha 1 porque possui somente correntes e tensões relacionados

com a capacidade, e usando a segunda lei da comutação dt

duci c

c , ficamos:

Edt

ducR

R

RUE

dt

ducRU

R

RU c

c

Entaoccc 2

3

22

3

2 )1(

Derivando ambos os membros em relação a Uc:

1

6

2

3

2

2

3

2 ,800250*10*10

)1250

250()1(

01

ScR

R

R

PPcRR

R Entao

20 Escrever a solução geral como a soma de duas componentes, a estacionária e a livre:

Uc (t) = Uc (est) + Uc (livre) = Uc (est) + AePt

= Uc (est) + Ae-800t

,V

30 Procurar o valor da tensão estacionária:

Esta tensão retira-se no regime estacionário ou quando Tende

t , e escreve-se Uc (est) = Uc

(0+), e diz-se tensão imediatamente após a comutação.

No ramo da capacidade não irá atravessar corrente contínua imediatamente após a comutação mas

existindo entre os seus terminais uma tensão.


VRIU

ARR

EIIM

AI

c

c

60250*24.0

24.0250250

120:1

0

32

32

21

Logo Uc (est) = Uc (0+) = 60V

40 Procurar o valor da constante A.

Para tal, procuramos o valor da tensão no instante 0t , escreve-se Uc (t=0) = Uc (0-), e diz-se

tensão imediatamente antes da comutação

Antes da comutação, a resistência R1 não está curto-circuitada, e pelo ramo da capacidade

imediatamente antes da comutação não irá atravessar a corrente continua, então o circuito fica:


VRIuU

ARRR

EIIM

AI

tcc

c

30250*12.0

,12.0250250500

120:1

,0

32)0(

321

21

Este é o valor da tensão para o instante t=0segundos.

Então, para t=0, a nossa equação vista no passo 2 fica:

VA

AAAe

AeUU Pt

esttc

,306030

601*606030 0*800

)()0(

Finalmente a expressão da tensão pela capacidade em função do tempo fica:

Veu t

tc ,3060 800

)(

E a expressão da corrente fica:

Aei

eececdt

duci

t

tc

tttctc

,24.0

2400*10*10)2400())800(*300(

800

)(

8006800800

)(

Graficos:


Exemplo2:

Processos transitórios em circuito R-C de corrente alternada (CA)

Dado o circuito de corrente alternada da figura a seguir, a chave ‘S’ encontra-se no instante inicial (t = 0




R1 = 500Ω; R2 = R3 = 250Ω; C = 10*10-6

F ; Vte t ),30500sin(120 0

)(


Dados:

20010*10*500

11

,30853.84302

120

6

00

CX

VE

C




3

333

22

3

22322

32

0:2

:1

R

UiRiUM

EURiRR

UEURiRiEURiM

iii

CEntao

C

ccCEntao

Cc

Entao

C

c

Vamos optar pela equação da malha 1 porque possui somente correntes e tensões relacionados

com a capacidade, e usando a segunda lei da comutação dt

duci c

c , ficamos:

Edt

ducR

R

RUE

dt

ducRU

R

RU c

c

Entaoccc 2

3

22

3

2 )1(

Derivando ambos os membros em relação a Uc:

1

6

2

3

2

2

3

2 ,800250*10*10

)1250

250()1(

01

ScR

R

R

PPcRR

R Entao


Uc (t) = Uc (est) + Uc (livre) = Uc (est) + AePt

= Uc (est) + Ae-800t

,V

30 Procurar o valor da tensão estacionária:

Esta tensão retira-se no regime estacionário ou quando Tende

t , e escreve-se Uc (est) = Uc

(0+), e diz-se tensão imediatamente após a comutação.

No ramo da capacidade irá atravessar corrente alternada imediatamente após a comutação e existe

entre os seus terminais uma tensão.


Vamos usar malhas independentes para encontrar as correntes nos ramos.

N = 2; r = 3; rc = 0

equNrrN cequ 2)12()03()1()(0

0)()(

)()(

33

332

RIjXRI

ERIRRI

aC

b

ba

AI

AI

b

a

,995.87179.0

,335.4923.0

0

0

AII

AIII

AII

bC

ba

a

,995.87179.0

,766.1144.0995.87179.0335.4923.0

,335.4923.0

0

000

3

0

2

Vttu

VjjXIUu

test

CCC

est

),005.2500sin(629.50)005.2500sin(*8.35*2

,005.28.35)200(*)995.87179.0()(

00

)(

0


Para tal, procuramos o valor da tensão no instante 0t , escreve-se Uc (t=0) = Uc (0-), e diz-se

tensão imediatamente antes da comutação

Antes da comutação, a resistência R1 não está curto-circuitada, e pelo ramo da capacidade

imediatamente antes da comutação irá atravessar a corrente alternada, então o circuito fica:


Vamos usar malhas independentes para encontrar as correntes nos ramos.

N = 2; r = 3; rc = 0

equNrrN cequ 2)12()03()1()(0

0)()(

)()(

33

3321

RIjXRI

ERIRRRI

aC

b

ba

AI

AI

b

a

,848.76077.0

,188.38099.0

0

0

AII

AIII

AII

bC

ba

a

,848.76077.0

,869.120618.0

,188.38099.0

0

0

3

0

2

VjjXIUu CCC

t ,152.134.15)200(*)848.76077.0()( 00

)0(

Vttu t ),152.13500sin(779.21)152.13500sin(4.15*2 00

)0(

Então, substituindo na solução geral, e fazendo para t=0, temos:


VA

A

Ae

Aeuu Pt

esttc

,224.3771.1995.4

771.1955.4

)005.20*500sin(629.50)152.130*500sin(779.21 0*800

)()0(

Finalmente a expressão da tensão pela capacidade em função do tempo fica:

Vetu t

tc ,224.3)005.2500sin(629.50 800

)(

E a expressão da corrente fica:

Aeti

etCdt

duCi

t

tC

tctc

,025.0)005.2500cos(25.0

))224.3*800()005.2500cos(629.50*500(

800

)(

800

)(

Gráficos


Exemplo3:

Processos transitórios em circuito R-L de corrente continua (CC)

Dado o circuito de corrente contínua da figura a seguir, a chave ‘S’ encontra-se no instante inicial (t = 0




R1 = 500Ω; R2 = R3 = 250Ω; L = 1H ; E = 120V.





ERiR

RuEuRiR

R

uEuRiM

R

uiuRiM

iiiNo

LLLLLoaEnt

L

LoaEnt

L

L

2

3

222

3

~

22

3

3

~

33

32

)1(:2

0:1

:1


dt

diLu L

L , Então:

ERidt

diL

R

RL

L 2

3

2 )1(

Derivando ambos membros e fazendo Pdt

diL

1

3

2

2~

2

3

2 ,125

1*)1250

250(

250

)1(

0)1(

S

LR

R

RPRLP

R

R oaEnt


iL (t) = iL (est) + iL (livre) = iL (est) + AePt

= iL (est) + Ae-125t

,A

30 Procurar o valor da corrente estacionária:


N = 2; r = 3; rc = 0

equNrrN cequ 2)12()03()1()(0

AI

AI

ERI

RI

b

a

b

a

,48.0

,0

)(

0)(

2

3

AIIIi baLestL ,48.048.00)(



N = 2; r = 3; rc = 0

equNrrN cequ 2)12()03()1()(0

AI

AI

ERRI

RI

b

a

b

a

,24.0

,0

)(

0)(

21

3

AIIIi baLtL ,24.024.00)0(


AA

AAe

Aeii Pt

estLtL

,24.048.024.0

48.048.024.0

,

0*125

)()0(

Finalmente a expressão da corrente pela bobina em função do tempo fica:

Aei t

tL ,24.048.0 125

)(

E a expressão para a tensão:

VeeLdt

diLu ttL

L ,30))24.0*125(( 125125

Gráficos:


Exemplo4:

Processos transitórios em circuito R-L de corrente alternada (CA)

Dado o circuito de corrente alternada da figura a seguir, a chave ‘S’ encontra-se no instante inicial (t = 0




R1 = 500Ω; R2 = R3 = 250Ω; L = 1H ; Vte t ),30500sin(120 0

)( .


Dados

5001*500

,30853.84302

120 00

LX

VE

L




ERiR

RuEuRiR

R

uEuRiM

R

uiuRiM

iiiNo

LLLLLoaEnt

L

LoaEnt

L

L

2

3

222

3

~

22

3

3

~

33

32

)1(:2

0:1

:1


dt

diLu L

L , Então:

ERidt

diL

R

RL

L 2

3

2 )1(

Derivando ambos membros e fazendo Pdt

diL

1

3

2

2~

2

3

2 ,125

1*)1250

250(

250

)1(

0)1(

S

LR

R

RPRLP

R

R oaEnt


iL (t) = iL (est) + iL (livre) = iL (est) + AePt

= iL (est) + Ae-125t

,A

30 Procurar o valor da corrente estacionária:


N = 2; r = 3; rc = 0

equNrrN cequ 2)12()03()1()(0

EjXIjXRI

jXIjXRI

La

Lb

Lb

La

)()(

0)()(

2

3

AI

AI

b

a

,471.17184.0

,964.135165.0

0

0

AIIIibaL

estL ,26.46082.0 0

)(

Atti estL ),26.46500sin(12.0)26.46500sin(082.0*2 00

)(



N = 2; r = 3; rc = 0

equNrrN cequ 2)12()03()1()(0

EjXIjXRRI

jXIjXRI

La

Lb

Lb

La

)()(

0)()(

21

3

AI

AI

b

a

,991.23089.0

,444.129079.0

0

0

AIIIibaL

tL ,575.38039.0 0

)0(

Atti tL ),575.38500sin(055.0)575.38500sin(039.0*2 00

)0(


AA

A

Ae

Aeii Pt

estLtL

,053.0087.0034.0

087.0034.0

)26.460*500sin(12.0)575.380*500sin(055.0

,

0*1250

)()0(

Finalmente a expressão da corrente pela bobina em função do tempo fica:

Aeti t

tL ,053.0)26.46500sin(12.0 1250

)(


E a expressão para a tensão:

Vetu

etLdt

diLu

t

tL

tLtL

,625.6)26.46500sin(60

))125*053.0()26.46500sin(500*12.0(

125

)(

1250

)(

Gráficos:


TEMA 6 - QUADRÍPOLOS

Um quadrípolo é um circuito eléctrico com dois terminais de entrada e dois de saída.

Onde:

m,n - São terminais de entrada do quadrípolo. Eles são também terminais de alimentação;

p,q - São terminais de saída do quadrípolo.

Nos quadrípolos em geral, determinam-se as correntes e tensões nos terminais , e não no interior do

quadrípolo.

Classificação dos quadrípolos

Podem ser classificados como:

1. Quadrípolos lineares - Todos os elementos no seu interior são lineares;

Quadrípolos não lineares - Possuem pelo menos 1 elemento não linear no interior;

2. Quadrípolos activos - Aqueles que possuem fontes de tensão ou de corrente;

Quadrípolos passivos - Não possuem nem fonte de tensão , nem fonte de corrente;

3. Quadrípolos simétrico - Se com a alimentação e a carga trocadas as respectivas correntes e

tensões permanecem as mesmas.

quadrípolos não simétrico - Se com a alimentação e a carga trocadas as respectivas correntes e

tensões não permanecem as mesmas.

Descrição matemática de quadrípolos

Um quadrípolo caracteriza-se pelas duas tensões (U1 e U2) e pelas duas correspondentes correntes (I1 e I2).

Qualquer duas grandezas de quatro grandezas pode-se determinar por meio das restantes. Tendo em conta

que a combinação de quatro elementos por dois é igual a seis, então são possíveis os seguintes modelos de

um quadrípolo:

r

KC

onde:

r - Número dos elementos que constituem uma variável;

K - Número dos elementos totais.


)!(!

!

rKr

KC r

K

O nosso caso: K = 4 e r = 2. Então

62*2

1*2*3*2*2

)!24(1*2

1*2*3*4

r

KC

Logo nota-se que são possíveis 6 combinações.

Combinação do modelo Y

2221212

2121111

UYUYI

UYUYI

Combinação do modelo Z

2221212

2121111

IZIZU

IZIZU

Combinação do modelo H

2221212

221111

UHIHI

UHIHU

Combinação do modelo G

2221212

2121111

IGUGU

IGUGI

Combinação do modelo B

2211212

1121112

IBUBI

IBUBU

Combinação do modelo A


2222211

2122111

IAUAI

IAUAU

Nestes modelos as constantes Y;Z;H;G;B e A, são os parâmetros complexos gerais de um quadrípolo, e

dependem das ligações internas dos mesmos, dos valores da impedância respectiva e frequências. Para

qualquer quadrípolo estes coeficientes podem ser calculados ou determinados experimentalmente.

Pressupõem-se que tanto a carga como as tensões de entrada podem variar, enquanto que as configurações

das ligações internas permanecem inalteradas, e as impedâncias do quadrípolo permanecem fixas.

Usaremos como modelo principal o MODELO A, isto é:

2222211

2122111

IAUAI

IAUAU

Particularidades do modelo A

a) Todos os coeficientes do A - modelo estão interligados entre si pela equação:

121122211

AAAA

b) Para um quadrípolo simétrico 2211

AA

c) Para um quadrípolo invertível, isto é, para quadrípolos com terminais de entrada e saída trocados

o modelo A fica:

2112211

2122221

IAUAI

IAUAU

A particularidade importante para um quadrípolo é a particularidade que o regime de trabalho de um

quadrípolo pode ser representado como a soma de dois regimes:

Regime de marcha em vazio;

Regime de curto-circuito.

Regime de marcha em vazio

Tende

acZ

arg

AI ,02

, Então:

22210

21110

UAI

UAU


Regime de curto-circuito

,0arg ac

Z

VU ,02

, então:

2221

2121

IAI

IAU

CC

CC

Fazendo a soma dos regimes:

2222211101

2122111101

IAUAIII

IAUAUUU

CC

CC

Determinação de coeficientes de quadrípolos

Podem ser determinados usando os métodos:

1) Método Analítico - Sabendo a configuração do esquema eléctrico no interior do quadrípolo e

parâmetros das impedâncias, e usando os métodos visto nos capítulos 2 e 3 da cadeira de Análise

de Circuitos;

2) Método de consideração - Consideramos os regimes de marcha em vazio e curto-circuito:

a) Analiticamente - Sabendo a configuração do esquema eléctrico e do valor das

impedâncias;

b) Experimentalmente.

3) Método de representação de um quadrípolo em ∏ e Т esquemas.

4) Representação de um quadrípolo complexo por meio de um quadrípolo simples.

1. Método analítico

Este método deve ser visto nas aulas praticas, pois envolve os métodos estudados (Kirchoff,

Sobreposição, Analise de malhas).

2. Métodos de consideração

A - Modelo:

2222211

2122111

IAUAI

IAUAU


1a Experiencia: Regime de marcha em vazio dos terminais p e q (I2=0)

202110

201110

UAI

UAU

21

11

2021

2011

10

10

10

A

A

UA

UA

I

UZ

2a Experiencia: Regime de curto-circuito dos terminais p e q (U2 = 0)

CCCC

CCCC

IAI

IAU

2221

2121

22

12

222

212

1

1

1

A

A

IA

IA

I

UZ

CC

CC

CC

CC

CC

3a Experiencia: Regime de curto circuito dos terminais m e n (U1 = 0)


KK

KK

IAI

IAU

2111

2121

11

12

211

212

1

1

2

A

A

IA

IA

I

UZ

K

K

K

K

K

4a Experiencia: Vemos a particularidade de quadrípolos simétricos

121122211

AAAA

Resolvendo estas 4 equações das 4 experiencias, temos a matriz 2x2:

CC

K

CCK

CC

Z

AA

Z

AA

ZAAZZZ

ZZA

1

12

22

10

11

21

21112

1102

110

11 )(

Impedância característica de um quadrípolo

Em um quadrípolo o coeficiente da tensão de entrada pela corrente de entrada chama-se impedância de

entrada e designa-se através da letra Zen.

222221

212211

1

1

1

IAUA

IAUA

I

UZ

en

Como ac

ZIUarg22

, Então


22221

12211

22arg212

12arg112

1 )(

)(

AZA

AZA

AZAI

AZAI

Z

ac

ac

en

Agora para a ligação inversa

211221

212222

1

1

2

IAUA

IAUA

I

UZ

en

Como 122

ZIU , Então

11121

12122

111212

121222

2 )(

)(

AZA

AZA

AZAI

AZAIZ

en

As formulas para Zen mostra que:

)(

)(

12

21

ZfZ

ZfZ

en

en

Então estabelece-se que para um quadrípolo não simétrico existem tais valores das impedâncias de carga

acZZ

arg22 e

acZZ

arg11 que

acZZ

arg22 quando aos terminais p e q esta ligada a impedância

acZ

arg2, e também

acZZ

arg22 quando aos terminais m e n, esta ligada a impedância

acZ

arg1.

Estas impedâncias designam-se também por impedâncias características de um quadrípolo e designa-se:

22212

12211

1arg11

AZA

AZAZZZ

caract

caract

caractac


11121

12122

2arg22

AZA

AZAZZZ

caract

caract

caractac

Resolvendo estas duas equações obtemos:

1121

1222

2

2221

1211

1

AA

AAZ

AA

AAZ

caract

caract

Mas para um quadrípolo simétrico 2211

AA Então

21

12

21

A

AZZ

caractcaract

Método de representação de um quadrípolo em ∏ e Т esquemas

Um quadrípolo passivo pode ser substituído por um circuito equivalente em ∏ ou Т configurações.

Т - Esquema:

∏ - Esquema:


Esquemas equivalente em Т configuração

De acordo com o método de Kirchoff

221121

~

2211122

3

222

3

~

223321

3

2

3

2

22321

0:

0:

1

ZIZIUUZIZIUUM

Z

ZIUIZIZIUM

ZU

Z

ZIIIII

oaEnt

oaEnt

Substituindo na equação da malha dois (M2) a corrente I1 pela expressão obtida pela primeira Lei,

obtemos:

)()1(:

:

3

21

122

3

1

212

22

3

21

212

3

1

2212

Z

ZZZZI

Z

ZUUM

ZIZ

ZZIZI

Z

ZUUUM

Então vemos nas equações de Kirchoff que temos expressão para I1 e para U1:

)()1(

)1()1

(

3

21

122

3

1

21

3

2

2

3

21

Z

ZZZZI

Z

ZUU

Z

ZI

ZUI

Fazendo a analogia com o A - modelo:

2222211

2122111

IAUAI

IAUAU


Notamos que:

3

2

22

3

21

3

21

1212

3

1

11

1

1

1

Z

ZA

ZA

Z

ZZZZA

Z

ZA

E ainda que:

21

3

21

22

2

21

11

1

1

1

1

AZ

A

AZ

A

AZ

Esquema equivalente em ∏ configuração

3

2

21'

Z

UII

)1()('

2

1

2

32

321

2

2

1

3

2

2

2

11

1

Z

ZI

ZZ

ZZZU

Z

U

Z

UI

Z

UII


12

3

1

211

3

1

212211

21

~

11

121

)1(:

'0':

ZIZ

ZUUM

Z

ZUZIUZIUUZIUUM oaEnt

Então vemos nas equações de Kirchoff que temos expressão para I1 e para U1:

12

3

1

21

2

1

2

32

321

21

)1(

)1()(

ZIZ

ZUU

Z

ZI

ZZ

ZZZUI

Fazendo a analogia com o A - modelo:

2222211

2122111

IAUAI

IAUAU

Notamos que:

3

1

22

32

321

21

112

3

1

11

1

1

Z

ZA

ZZ

ZZZA

ZA

Z

ZA

E ainda que:

121 AZ

122

12

2

A

AZ


111

12

3

A

AZ

Representação de um quadrípolo complexo por meio de um quadrípolo simples

Ligação em cascata

Neste tipo de ligação os terminais de entrada de cada quadrípolo posterior estão ligados aos terminais de

saída do quadrípolo precedente.

Para o A - modelo

2222211

2122111

IAUAI

IAUAU

Representando na forma matricial, temos:

aaaaa

aaaaa

IAUAI

IAUAU

2222211

2122111

oaEnt~

a

a

a

I

U

AI

U

2

2

1

1*

b

b

b

I

U

AI

U

2

2

1

1*


Particularidades da ligação em cascata

ba

ba

II

UU

12

12

oaEnt~

ba

I

U

I

U

1

1

2

2

a

a

II

UU

11

11

b

b

II

UU

22

22

oaEnt~

2

2

1

1**

I

U

AAI

U

ba

bateresul

AAA

*tan

Ligação em série

Ligar dois quadrípolos em série significa que é necessário ligar em serie os terminais de entrada de dois

quadrípolos e terminais de saída respectivamente.

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