nº 08MATEMÁTICA

Matemática e Suas Tecnologias

Professor Eduardo Leão

COTIDIANO

Celulares de São Paulo terão nove dígitos, diz AnatelDecisão foi tomada em reunião do Conselho Diretor da

agência nesta tarde. “Quarentena” para reutilização de números desativados será reduzida.

São Paulo, 9 dez. 2010.

A Agência Nacional de Telecomunicações (Anatel) decidiu nesta quinta-feira (9) elevar para nove os dígitos dos celulares de São Paulo como forma de evitar a escassez de números. A decisão foi tomada durante reunião na tarde desta quinta pelo Conselho Diretor da agência. Com a medida, as prestadoras terão um prazo de 24 meses para implementar a possibilidade de discagem com o novo dígito.

A agência informou que não detectou a necessidade de expansão dos dígitos em outras regiões do país.

Disponível em: <http://twixar.com/07jc7wUlhEk7>.Acesso em: 25 nov. 2011 (Adaptação).

A notícia anterior chama atenção para um problema que hoje ocorre em São Paulo, mas que daqui a pouco tempo se espalhará por outros estados: a escassez de números para celular. Será que a inserção de mais um número será realmente efetiva? Vamos fazer alguns cálculos?

Considere que alguns números de celular são compostos de 8 algarismos, sendo que os 4 primeiros formam o prefi xo do número. Por exemplo, seja o número 9852-1767. Se seu prefi xo é 9852, quantos números de telefones diferentes podemos formar?

• Esse exemplo ilustra o princípio multiplicativo ou princípio fundamental da contagem, enunciado a seguir:

Se uma decisão D1 pode ser tomada de x modos e, uma vez tomada essa decisão, qualquer que seja ela, outra decisão pode ser tomada de y modos, então o número de modos de se tomar, sucessivamente, as decisões D1 e D2 é x.y.

Embora tenhamos enunciado esse princípio usando apenas duas decisões, ele pode ser utilizado para um número fi nito qualquer de decisões.

Note que esse princípio deve ser aplicado apenas se, uma vez tomada a primeira decisão, a segunda decisão puder ser tomada, sempre, de um número n de modos.

• Respondendo a pergunta anterior, basta que utilizemos o princípio multiplicativo. Observe:

9852__ __ __ __, 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 números diferentes.Com a nova opção, passaremos a ter para esse mesmo prefi xo um

total de:9852__ __ __ __ __, 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100 000 números

diferentes, ou seja, 90 000 números a mais para cada prefi xo.Assim, se um determinado estado tem, por exemplo, 10 000 000

números de celulares, precisaremos de 100 prefi xos diferentes, o que pode ser conseguido variando, por exemplo, os dois últimos dígitos do prefi xo considerado.

98 __ __ __ __ __ __ __ 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 000A partir desse cálculo, observe que essa medida será realmente

efetiva e deve solucionar o problema de falta de números de telefones celulares por um bom tempo.

Uma situação semelhante ocorreu com as placas para carros. Antigamente, cada placa era formada por duas letras e quatro números. Hoje, cada placa tem três letras e quatro números.

• Agora veja um outro exemplo de contagem que aparece em nosso cotidiano e que resolvemos pelo princípio multiplicativo:

Alexandre quer criar uma senha para acessar sua conta bancária pela Internet. Essa senha deve ser formada por duas letras e quatro dígitos. Essas letras são, necessariamente, vogais e devem aparecer nas duas primeiras posições. Para a escolha dos algarismos, exige-se que eles sejam distintos e que o último dígito seja par. Quantas senhas diferentes Alexandre pode criar?

0

50

2575

10

2030

4060

7080

90º

ºº

º

FB NO ENEM2 FB NO ENEM2

Matemática e Suas Tecnologias

Resolução:Para a escolha das letras, observe que só é pedido que elas sejam vogais. Não é exigido que estas sejam distintas. Logo, teremos cinco possibilidades para a primeira vogal e cinco para a segunda.Na parte numérica, devemos começar pelo último algarismo, pois é necessário atender a essa restrição. Como esse algarismo deve ser par, teremos cinco possibilidades de escolha para ele. Já para o primeiro dígito, teremos nove possibilidades (não se pode usar o algarismo utilizado anteriormente). É fácil notar que, para o segundo dígito, teremos oito opções e, fi nalmente, para o terceiro algarismo, teremos sete opções.

Letras Dígitos

5 5 9 8 7 5

A resposta será, então, 5 · 5 · 9 · 8 · 7 · 5 = 63 000 senhas possíveis.

Exercícios

1. Duas das cinquenta cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinquenta cadeiras, para ocupá-las, éA) 1 225 B) 2 450 C) 250 D) 49!E) 50!

2. Numa cidade A, os números de telefones têm sete algarismos, sendo que os três primeiros constituem o prefi xo da cidade.Os telefones que terminam em 10 são reservados para as farmácias e os que têm os dois últimos algarismos iguais, para os médicos e hospitais.

A quantidade dos demais números de telefones disponíveis na cidade A éA) 1 650B) 2 100C) 4 800D) 8 900E) 9 900

3. Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classifi cariam nos três primeiros lugares (por exemplo: 1º lugar, Brasil; 2º lugar, Nigéria; 3º lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?A) 69B) 2 024C) 9 562D) 12 144E) 13 824

4. Um cartógrafo, para fazer o mapa do Sudeste brasileiro mostrado na fi gura, deverá colorir cada estado com uma cor, tendo disponíveis 4 cores e podendo repeti-las no mapa. Estados que fazem divisa entre si devem ter cores distintas. Sabendo que somente SP e ES não fazem divisa entre si, o número de formas distintas de colorir o mapa é

MINAS GERAISESPÍRITOSANTO

RIO DEJANEIRO

SÃO PAULO

A) 12 B) 24 C) 36 D) 48 E) 60

5. Observe o diagrama.

R

Y ZX

S

O número de ligações distintas entre X e Z é A) 41 B) 45 C) 35 D) 39 E) 40

FB no Enem – Nº 7 – Professor: Dawison Sampaio1 2 3 4 5C E A B E

079752/14 – Erbínio-27/03/14 – Rev.: Amélia