Professor-Ambrósio-Elias-Material-Números-Complexos.pdf

8/17/2019 Professor-Ambrósio-Elias-Material-Números-Complexos.pdf

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MATEMÁTICA – PROFESSOR AMBRÓSIO ELIAS

NÚMEROS COMPLEXOS

QUESTÕES:

01. Determine as raízes imaginárias das equações:a) x² + 9 = 0 b) 2x² + 10 = 0 c) 2x² – 6x + 9 = 0 d) x² – 10x + 34 = 0

02. Determine o valor real de x para que o número z = x + 1 + (x² – 1)i seja:a) real b) imaginário puro

03. Determine o valor de x, para que o número complexo z = (x² – x) + xi seja um número imaginário puro.Resp. 1 ou 0

04. Determine o número real , para que:a) z = (² – 4) + ( – 2)i seja imaginário puro b) w = 5 + (² – 5 + 6)i seja real

05. Se o número z = (x – 7) + (x² – 10x + 21)i é real, quais são os possíveis valores de x?

06. Determine x R para que (x + 12i)(3 – xi) seja um número real.

07. Determine o real x para que z = (13i – 6) + (2x + i)(3 – 2xi) seja:a) imaginário puro b) real

08. Determine o valor de w, w R, para que (3 + 4i)(w + i) seja um número real.

09. Dados os complexos z1 = a + 2i e z2 = 3 – bi, determine a e b para que 2z1 – z2 seja um imaginário puro.Resp. a = 3/2 , b -4

10. (UFLA-MG) Determine os valores de x de modo que o número complexo z = 2 + (x – 4i)(2 + xi) seja real.

a) 2 2 b) 1/3 c) 2 d) 2 e) 3

11. Efetue os cálculos :a) i462 b) i756 c) i931 d) 3i8 e) 5i40 + 8i35 – 1 f) i5 . i37 . i302 g) 5i37 h) ( –2i)5 i) ( –i)8 j) (5 + 3i)(2 – 4i) k) (6 + 2i)(6 – 2i)

12. (UFAL) Seja o número complexo z = i101 + i102 + i103 + i104 + i105 + i106. Calcule z². Resp. –2i

13. (UFCE) Se i representa o número complexo cujo quadrado é igual a –1, determine o valor numérico dasoma 1 + i + i2 + i3 + ... + i27. Resp. zero

14. (UA-AM) O valor da expressão i + i2 + i3 + i4 + i5 + ... + i1005 é igual a:a) –i b) i c) 1 d) –1 e) 0

15. Dada a equação i + i2 + i3 + i4 + ... + i92 + i93 + i94 = a + bi, determine o valor de a + b.

16. Calcule o valor do produto P = i . i2 . i3 . i4. ... . i99 . i100.

17. Determine o valor da expressão i31 + i108 – i64 + i431 . i-795 + 3i365.

18. Dados os números z1 = 5 + 2i e z2 = 1 – 3i, calcule:a) z1 + z2 b) z1 – z2 c) z2 – z1 d) z1 . z2

19. Dado os números z1 = 5 + 4i e z2 = 13 + 5i, calcule:

a) 5z1 – 4z2 b) 22

21

zz c) z1 . i




20. Sendo z1 = 3 + 5i e z2 = 2 – 4i, efetue:

a) 11 zz b) 22 zz c) 2z d) 21 zz

21. Dados z1 = 2 – 3i, z2 = 5i, z3 = 4 e z4 = –3 + i, calcule:

a) 2z1 – z2 + z3 – iz4 b) (z1 + z2) 43 zz c) 3z1.z4 d) 432 ziz

22. Sejam os números complexos z1 = 9 + 5i, z2 = 15 – 2i, z3 = 6i e z4 = –8. Calcule:a) z1 + z2 – z3 b) z1 – z2 + z3 – z4 c) z3 – z1 – z3 + 5i d) (z4 + z1) – (z3 – z2)

23. Simplifique as expressões:a) (2 – 5i)² + (4 – i)(4 + i) b) (5 – 4i)² + 40i c) i – 2i(1 + 2i)(1 – 2i)d) –4i(3 – i) + (1 – i)2 – 2i19 e) (2 – i)² + (2 + i)² + (2 – i)(2 + i)

24. Sendo z = 1 + i, efetue:a) z² b) z4 c) z8 d) z5

25. (F.E.Bauru-SP) A expressão10

)3i()2i()1i(i , onde i é a unidade imaginária, é igual a:

a) 1 b) i c) –1 d) –i e) nda

26. (UFPA) Numa PG de quatro termos, a soma dos termos de ordem ímpar é 1 – i e a soma dos termos deordem par é 2i, em que i é a unidade imaginária. Determine o número complexo a + bi que representa arazão desta progressão.

27. Efetue as seguintes divisões:

a)i4

i531

b)

i43

i2632

c)

i21

i167

28. Determine o valor de z :

a)i2

i413

i31

i193z

b)

i22

i610

i2

i55z

c) z =

17

26948

i

ii .

d) z = 1 + i +i1

1

i1

1

Resp. 1 + 2i e) z = 3

i2

2

i2

1

f) z =

i2

2

i2

1

i

1

g) z =1ii

ii3i

618

4175

h) z =

3028

10423

i2i

i2ii

29. (UEL-PR) A forma algébrica do número complexo z =i2

i31

é:

a) i32

1 b) i

3

7

3

5 c) i

5

7

5

1 d)

i75

1 e) i

5

4

5

3

30. (UFPel-RS) Qual o conjugado do número complexo z =i1

4

? Resp. 2 – 2i

31. Determine o inverso dos seguintes númerosa) z = i b) z = 3i c) z = 4 + 2i d) z =

2

i e) z =

3

i54

32. Escreva na forma de par ordenado os complexos:




a) z = –2 – 5i b) z = (3 + i)(3 – i) c) z =i2

i25

d) z = (4 + 2i)²

33. A soma do complexo z = (1 – i)50 com o complexo w = (1 + i)50 é igual a:a) 8 b) 0 c) –8 d) i e) –8i

34. (MACK-SP) Efetuandoi8

)i1( 6, obtemos:

a) 0 b) 1 c) i d) –1 e) –i

35. (MACK-SP) 1i,i1

i1 102

, é igual a:

a) i b) –i c) 1 d) 1 + i e) –1

36. (ITA-SP) O valor da potência

93

i1

2

é:

a)2

i1 b)

2

i1 c )

2

i1 d) i2

93 e) i2

93

37. Determine os valores reais de x e y de modo que (5 + 2xi) + (x + yi) = 7 + 10i.

38. (UFSCar-SP) Sejam x, y R e z = x + yi um número complexo.

a) Calcule o produto (x + yi).(1 + i) Resp. (x – y) + (x + y)i b) Determine x e y, para que se tenha (x + yi).(1 + i) = 2 Resp. x = 1 e y = –1

39. Calcule os números reais x e y de forma que a igualdade (3x² + 8x) + (y² + 13y + 19)i = (2x² + 12x) +(y² + 10y + 4)i seja satisfeita.

40. Determine x e y reais tal quei1

i

i1

1i1yi2

2

x

.

41. Determine o número complexo z tal que:a) i248z3z5 b) i247z6zz c) 2z – 3 = z + 5i.

d) z . z + (z – z ) = 34 + 10i. Resp. z = –3 + 5i ou z = 3 + 5i e) 8i4z2z

42. (UFU-MG) Sejam z1 e z2 os dois números complexos de parte imaginaria não-nula que são soluções daequação z² = z . Determine z1 + z2.

43. Calcule os módulos dos números complexos a seguir:

a) z = 3 – 4i e) z = 24 – 10i i) z = 1 + i3 m) z = –2 – 4i

b) z = 20 + 21i f) z = –3 + i7 j) z = –8 – 15i n) z = i3

c) z = 5 g) z = 7i k) z = (3 + 2i)(5 – 2i) o) z = –4i

d) z =i23

i24

h) z =

40i

)i26()i27( l) z =

615

83

ii

ii

44. (MACK-SP) O módulo dei3

3i

vale:

a) 0 b) 1 c) 3 d) 1/2 e) 1/4




45. (UFSC) Dada a expressão 2z + z = 2zi – 7, sendo z um número complexo, determine |z|². Resp. 5

46. Seja z = (x – 1) + ix, com x R. determine x sabendo que |z| = 5.

47. Determine p para que o módulo do número complexo z = (3 + pi)(2 + i) seja igual a 7.

48. Seja z = + 2i, R. Determine sabendo que |z – 2| = 5 .

49. Determine o argumento dos seguintes números complexos:

a) z = –7i b) z = -4 c) z = 1 + i3 d) z = –1 + 3 i

e) z = –8 + 8i f) z = –3 + i3 g) z = –1 – i3 h) z = 5

i) z = 1 + 3 i j) z = –1 + i k) z = 1 – i l) z = 3i

50. Escreva na forma trigonométrica os seguintes números complexosa) z = 7i b) z = 8i c) z = –2i d) z = –4

e) z = 3 + i f) z = –3 + 3i g) z = –3 – 3 3 i h) z = 4 – 4i

i) i3z j) z = i k) z = –4i l) z = 5 – 5i

m) z = 3 + 3 i3 n) z = –3 + 3 i3 o) z = 3 – 3 i3 p) z = –5

q) z = –4 3 – 4i r) z = –7 – 7i s) z = – 3 – i t) z = 4 3 + 4i

51. Expresse os números complexos na forma trigonométrica:

a) z =i

4

b) z = (7 – i)(3 + 4i) c) z =i1

3

i1

1

Resp.

4

5seni

4

5cos2

d) z = (1 + 3 i)² e) z =i

i1 f) z =

)i1(

)i1( 2

52. Dado o número complexo z =i3

i4

, determine:

a) o módulo de z b) o argumento de z c) a forma trigonométrica de z

53. (FEI-SP) Dado z = i43

i34

, determine:a) Seu argumento e seu módulo b) A forma trigonométrica de z.

54. (FEI-SP) Dado o número complexo z = 1 + 3 i.a) escreva na forma trigonométrica o complexo z –1 .b) escreva o complexo z na forma trigonométrica

55. (ITA-SP) Se z = 1 + i 3 , z. w = 1 e [0, 2] é um argumento de z.w, então é igual a:

a) /3 b) c) 2/3 d) 5/3 e) 3/2

56. Escrever na forma algébrica os números complexos:

a) z = 2.(cos30º + i.sen30º) Resp. z = 3 + i h) z = 3

3seni3cos

b) z = 4.

4seni

4cos Resp. z = 2 222 i i) z = 5

3

2seni

3

2cos




c) z = 6.

4

5seni

4

5cos Resp. z = –3 2 – 3 2 i j) z = 4

2

3seni

2

3cos

d) z = 3.

2seni

2cos Resp. z = 3i k) z = 2

4

5seni

4

5cos

e) z = 2

4seni

4cos l) z = 2 senicos

f) z = 2(cos 315º + i sen 315º) Resp. z = i22 m) z = cos4

3seni

4

3

g) z = cos 0º + i sen 0º Resp. z = 1

57. Considere os números complexos z1 = 4(cos 10º + i sen 10º), z2 = 2(cos 20º + i sen 20º) e z3 = cos 15º +i sen 15º. Calcule: a) z1.z2 Resp. 8(cos 30º + i sen 30º) b) z2.z3 Resp. 2(cos 35º + i sen 35º) c) z1.z3 Resp. 4(cos 25º + i sen 25º) d) z1.z2.z3 Resp. 8(cos 45º + i sen 45º)

58. Dado os números complexos z1 = 9(cos 40º + i sen 40º), z2 = 2(cos 10º + i sen 10º), z3 = 3(cos 60º + isen 60º), z4 = cos 20º + i sen 20º e z5 = 6(cos 25º + i sen 25º). Calcule.

a) z1.z2 b) z2.z3 c) z2.z4 d) z3 z4 e)5

1

z

z

59. Sendo z1 = 4(cos + i sen ); z2 = 3

4

7seni

4

7cos e z3 = 2

6

5seni

6

5cos , determine:

a) z1.z2 b) z1.z3 c) z2.z3 d) z1.z2.z3

60. Dado os complexos z1 = 2

4seni

4cos , z2 = 4

2seni

2cos e z3 =

3seni

3cos , calcule:

a)3

21

z

zz Resp. 8

12

5seni

12

5cos b)

1

32

z

zz Resp. 2

12

7seni

12

7cos

61. Determine, na forma trigonométrica, o número complexo z2, sendo z1.z2 = 18(cos 325º + i sen 325º), emque z1 = 3(cos 130º + i sen 130º).

62. Dado z = 2

3seni

3cos , calcule:

a) z² b) z³ c) z4 d) z6

63. Dado z = 2 2 (cos 25º + i sen 25º), escreva na forma trigonométrica as potências a seguir:

a) z4 b) z6 c) z3.z5 d) 52

z

64. (UFSC) Dado o número complexo z = 2

3seni

3cos , determine o valor de z6 – 2z3. Resp. 80

65. (PUCCAMP-SP) O módulo e o argumento do complexo 8i3 são respectivamente:

a)3

4e44

b)3

8e28

c)9

8e48

d)4

5e38

e) nda

66. Calcule as potências:




a)

9

i2

3

2

1

b) (3 + 3i)³

67. Dado z = i2

3

2

1 , calcule z16.

68. Dados os números complexos z =

6seni

6cos2 e w = 3i + 2i² + i³, determine parte real de

A = z6 – w4. Resp. 50

69. Mostre que o número complexo z = – 3 – i é solução da equação 038z8

1z 73 .

70. Dado o número complexo w = ni3 , com n Z, determine n para que w seja:

a) imaginário puro b) real

71. (FUVEST) Dado o número complexo z = i3 , qual o menor valor do número inteiro n > 0 para o qual

zn é um número real ?a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

72. (UFPE) Encontre o menor número natural n, maior do que 10, tal que ni3 seja um número

complexo imaginário puro.

73. Determine as raízes cúbicas do número complexo:a) z = i b) z = 216 c) z = –27.

74. O conjunto de todas as raízes complexas da equação x³ = –1 é:

a) { –1} b) {1, –1} c)

2

i

2

3,

2

i

2

3,1

d)

3

5seni

3

5cos,

3seni

3cos,1 e)

3

seni3

cos,1

75. (UFU-MG) Calcule as raízes quartas do complexo z = –8 – 8 3 i. Resp. 1 + 3 i, – 3 + i, –1 – 3 i e

3 – i .

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