Profª Juliana Schivani Monômios: a xn Produto de uma constante não nula a por uma variável x...

Profª Juliana Schivani

Monômios:

Produto de uma constante não nula a por uma variável x elevada a um número natural n.

5x 1/2

9x -1

-5y³√2 x7

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Polinômios:

É a junção de dois os mais monômios. Um polinômio P(x) é sempre da forma:

P(x) = an x∙ n + an-1 x∙ n-1 + ... + ao

x4 – 2x10x6 – 15x5 + 20x4

20x - 60000

Escrevemos um polinômio com os

coeficientes da variável na ordem

decrescente

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Polinômios idênticos:A(x) = B(x) se, e somente se, os coeficientes das

variáveis de mesmo expoentes, forem iguais, isto é, a3x3 = b3x3, ..., a1x1 = b1x1, ...

Assim, 2x³ + 5x² + 10 somente será igual a (p + q)x³ + 2qx² + rx + 10 se:

p + q = 22q = 5r = 0

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Polinômios nulos:A(x) será nulo se, e somente se, os coeficientes das

variáveis forem todos iguais a zero.

Assim, (p + q)x³ + 2qx² + rx será nulo se:

p + q = 02q = 0r = 0

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Grau de um polinômio:

É o maior número expoente de x com coeficiente não nulo.

x4 – 2x polinômio de grau 410x6 – 15x5 + 20x4

polinômio de grau 6

20x – 60000 polinômio de grau 1-7 monômio de grau 0

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Coeficiente dominante:

Seja o polinômio de grau n:

an x∙ n + an-1 x∙ n-1 + ... + ao com an ≠ 0

coeficiente dominante do polinômio

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Operações com polinômios:

ADIÇÃOSchivani


SUBTRAÇÃOSchivani


MULTIPLICAÇÃOSchivani

Schivani DIVISÃO

DIVISÃO

A (x) = B (x) Q (x) + R (x)∙

B (x)

Q (x)R (x)

A (x)

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DIVISÃO DE POLINÔMIOS:Método da chave

212- 42

489

693

- 636

489 = 4 10² + ∙ 8 10∙ 1 + 9 10∙ 0

21 = 2 10∙ 1 + 1 10∙ 0

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4 10² + ∙ 8 10∙ 1 + 9 ∙100

2 10∙ 1 + 1 10∙ 0

2 10∙ 1 4 10∙ 2 + 2 10∙ 1-6 10∙ 1 + 9 10∙ 0

+ 3 10∙ 0

6 10∙ 1 + 3 10∙ 0-6 10∙ 0 Grau menor do que o do

divisor, portanto, Resto < Divisor.

23

6

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4x² + 8x + 9 2x + 12x 4x² + 2x-

6 x + 9

+ 3

6 x + 3-6

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8x4 – 6x² + 3x – 2 2x² – 3x + 24x² 8x4 – 12x³ + 8x²-

12x³ – 14x² + 3x – 2 + 6x

12x³ – 18x² + 12x- 4x² – 9x – 2

+ 2

4x² – 6x + 4- – 3x – 6

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Ao dividir um polinômio M(x) de grau m por um polinômio N (x) de grau de n:

Qual será o grau do polinômio quociente Q (x)?

Qual será o grau do polinômio resto R(x) ?

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DIVISÃO DE POLINÔMIOS:Método da chave II

6x4 – 2x³ + 8x² + x – 4 3x² – x + 1 ax² + bx + c dx + e

A (x) = B (x) Q (x) + R (x)∙6x4 – 2x³ + 8x² + x – 4 = (3x² – x + 1) (ax² + bx + c) + (dx + e)∙6x4 – 2x³ + 8x² + x – 4 = 3ax4 + 3bx3 + 3cx² - ax³ - bx² - cx + ax² + bx + c + dx + e

6x4 – 2x³ + 8x² + x – 4 = 3ax4 + (3b – a)x3 + (3c – b + a)x² + (b – c + d)x + (c + e)

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DIVISÃO DE POLINÔMIOS:Método da chave II

6x4 – 2x³ + 8x² + x – 4 = 3ax4 + (3b – a)x3 + (3c – b + a)x² + (b – c + d)x + (c + e)

6x4 = 3ax4

– 2x³ = (3b – a)x3

8x² = (3c – b + a)x²x = (b – c + d)x

– 4 = (c + e)

=> a = 2=> b = 0

=> c = 2

=> d = 3=> e = - 6

Q(x) = 2x² + 0x + 2 R(x) = 3x - 6

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Divisão de polinômio por binômio3x4 – 2x³ + 2x² – x + 1 x – 2

ax3 + bx² + cx + d e

3x4 – 2x³ + 2x² – x + 1 = (x - 2) (ax∙ 3 + bx² + cx + d) + e

3x4 – 2x³ + 2x² – x + 1 = ax4 + bx³ + cx² + dx – 2ax³ - 2bx² - 2cx – 2d + e

3x4 – 2x³ + 2x² - x + 1 = ax4 + (b – 2a)x3 + (c – 2b)x² + (d – 2c)x + (e – 2d)

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Divisão de polinômio por binômio3x4 – 2x³ + 2x² - x + 1 = ax4 + (b – 2a)x3 + (c – 2b)x² + (d – 2c)x + (e – 2d)

3 = a– 2 = – 2a2 = c – 2b-1 = d – 2c

1 = e – 2d

=> a = 3=> b = 2a - 2 = 4=> c = 2b + 2 = 10=> d = 2c – 1 = 19=> e = 2d + 1 = 39

Q(x) = 3x³ + 4x² + 10x + 19 R(x) = 39

Em P(x) ÷ (x + a) ou ÷ (x – a), o coeficiente dominante do Q(x) é

sempre igual a do P(x).

Os demais coeficientes são o produto de a (raiz do binômio)

pelo coeficiente anterior, somado ao coeficiente

semelhante de P(x).

Schivani

Divisão de polinômio por binômio3x4 – 2x³ + 2x² - x + 1 = ax4 + (b – 2a)x3 + (c – 2b)x² + (d – 2c)x + (e – 2d)

3x4 = ax4

– 2x³ = (b – 2a)x3

2x² = (c – 2b)x²-1x = (d – 2c)x

1 = (e – 2d)

Q(x) = 3x³ + 4x² + 19 R(x) = 39

=> a = 3=> b = 2 a + (-2) => b = 2 3 – 2 = 4 ∙ ∙

=> c = 2 b + 2 => c = 2 4 + 2 = 10 ∙ ∙=> d = 2 c + (-1) => d = 2 10 – 1 = 19 ∙ ∙

=> e = 2 d + 1 => e = 2 19 + 1 = 39 ∙ ∙

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Charles Auguste Briot1817 – 1882

Paolo Ruffini1765 – 1822

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Dispositivo prático de Briot-RuffiniAplica-se apenas a divisão de polinômios por binômios do tipo (x + a) ou (x – a). Segue a mesma ideia do método da chave.

A(x) = 3x4 – 2x³ + 2x² – x + 1

2 3 - 2 2 -1 1

Raiz de(x – 2) é 2,

pois, x – 2 = 0 => x = 2

Coeficientes de A(x)

B(x) = x – 2

Schivani


A(x) = 3x4 – 2x³ + 2x² – x + 1

3

2 3 - 2 2 -1 1

B(x) = x – 2

4

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A(x) = 3x4 – 2x³ + 2x² – x + 1

3

2 3 - 2 2 -1 1

B(x) = x – 2

4 10

Schivani


A(x) = 3x4 – 2x³ + 2x² – x + 1

3

2 3 - 2 2 -1 1

B(x) = x – 2

4 10 19

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Dispositivo prático de Briot-RuffiniSc

hivani

LEMBRE-SE SEMPRE DE COLOCAR OS COEFICIENTES EM ORDEM DECRESCENTE E, QUANDO UM DELES NÃO TIVER, PREENCHER

COM O NÚMERO ZERO.


A(x) = 3x4 – 2x³ + 2x² – x + 1

3

2 3 - 2 2 -1 1

4 10 19 39

B(x) = x – 2

Schivani

Ao dividirmos f(x) por g(x), com g(x) ≠ 0, a divisão será exata se r(x) = 0.

Ex.: Para quais valores de a e b o polinômio -2x³ + ax + b é divisível pelo polinômio –x² + 6x – 1?

Resp.:a = 70 e b = - 12

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O resto da divisão de f(x) por x – a é f(a).

Dem.: f(x) = (x – a) q(x) + r∙

Para x = a, temos:

f(a) = (a – a) q(a) + r∙f(a) = 0 q(a) + r∙f(a) = r

x – a q (x)r

f(x)

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Qual o resto da divisão de f(x) = 4x³ + x² - 5x + 8 por g(x) = x – 2 ?

4x3 + x² - 5x + 8 x - 2

4x² 4x3 – 8x² -

9x² – 5x + 8

+ 9x

9x³ – 18x- 13x + 8

+ 13

13x – 26- 34 = 4 (2)∙ 3 + (2)² - 5 (2) + 8 = ∙

f(2)

Schivani

f(x) é divisível por x – a se, e somente se, a for raiz de f(x).

Dem.: Þ f é divisível por x – a, então, r = 0.Como r = f(a) e r = 0, então, f(a) = 0. Logo, a é raiz de f. a é raiz de f(x), então, f(a) = 0. Como r = f(a), então, r = 0, logo, f(x) é divisível por x – a.

Schivani

f(x) é divisível por x – a se, e somente se, a for raiz de f(x).

Ex.: Determine m

Resp.:

m = 7/2

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Referências:

• SMOLE, Kátia; DINIZ, Maria Ignez. Matemática 3. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010.

• IEZZI, Gelson; [et al.] . Matemática: Ciência e Aplicações. Vol. 3. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010.

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