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Prof. Thiago Figueiredo
Análise Combinatória
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(Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras que podemos pintar esse tapete de modo que as faixas consecutivas não sejam da mesma cor é:
a) 256b) 384c) 520d) 6561e) 8574
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Resolução:
Logo pelo principio multiplicativo temos que o número de maneiras de pintar o tapete é: 3.2.2.2.2.2.2.2 = 384
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Resolução:
Logo pelo principio multiplicativo temos que o número de maneiras de pintar o tapete é: 3.2.2.2.2.2.2.2 = 384
a) 256 b) 384 c) 520
d) 6561 e) 8574
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A figura mostra um mapa com 4 regiões.
a) De quantos modos esse mapa pode ser colorido (cada país com uma cor e países com uma linha fronteira comum não podem ter a mesma cor) se dispomos de b cores diferentes?
b) Qual o menor valor de b que permite colorir o mapa?
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Resolução:
b-1
bb-2
b-3
a)
Portanto, Total = b.(b-1).(b-2).(b-3)
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Resolução:
b) Como, total = b.(b-1).(b-2).(b-3), necessitamos de no mínimo 4 cores.
Se b = 4, teremos 24 maneiras de pintar o mapa
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a)De quantos modos é possível colocar um rei negro e um rei branco em casas não adjacentes de um tabuleiro de xadrez (8x8)?
b) Qual seria a resposta se fossem dois reis brancos iguais?
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Resolução:
1° caso: rei negro ocupa as casas dos vértices:
Rei negro: 4 opções Rei Branco: 60 opções
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Resolução:
2° caso: rei negro ocupa borda mas não vértice:
Rei negro: 24 opções Rei Branco: 58 opções
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Resolução:
3° caso: rei negro ocupa casa interna:
Rei negro: 36 opções Rei Branco: 55 opções
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Resolução:
Portanto,
Total = 4 . 60 + 24 . 58 + 36 . 55 = 3.612
b) Agora passa a ser metade da anterior e,Portanto: 1.806
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Quantos elementos têm o conjunto A, subconjunto do conjunto dos números racionais, onde: / , ;1 10 1 10
pA p q p e q
q
a) 20 b) 50 c) 63
d) 83 e) 100
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Resolução:
Fixamos os numeradores com os números naturais de 1 a 10, e depois colocamos os denominadores, de forma que numerador e denominador sejam primos entre si, pois caso contrário, simplificaremos e ficamos com uma com um número racional já contado.
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Resolução:
numerador 1 : 10 possibilidades, todos os números de 1 a 10.
numerador 2 :
numerador 3 :
numerador 4 :
5 possibilidades, eliminamos os pares.
7 possibilidades, eliminamos os múltiplos de 3.
5 possibilidades, eliminamos os pares.
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Resolução:
numerador 5 : 8 possibilidades, eliminamos 5 e 10.
numerador 6 :
numerador 7 :
numerador 8 :
3 possibilidades, eliminamos os pares ou os múltiplos de 3.
9 possibilidades, eliminamos 7.
5 possibilidades, eliminamos os pares.
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Resolução:
numerador 9 : 7 possibilidades, eliminamos os múltiplos de 3.
numerador 10 : 4 possibilidades, eliminamos os pares ou os múltiplos de 5.
Total = 10 5 7 5 8 3 9 5 7
63 element
4
os
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Resolução:
Total = 10 5 7 5 8 3 9 5 7
63 element
4
os
a) 20 b) 50 c) 63
d) 83 e) 100
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a) 375 b) 465 c) 545
d) 585 e) 625
(ITA 2001) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par?
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Resolução:
2 algarismos : 3 . 3 = 9
3 algarismos :
4 algarismos :
5 algarismos :
3 . 4 . 3 = 36
3 . 4 . 3 . 3 = 108
3 . 4 . 3 . 2 . 3 = 216
6 algarismos : 3 . 4 . 3 . 2 . 1 . 3 = 216
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Resolução:
Total = 9 36 108 216 216 585
a) 375 b) 465 c) 545
d) 585 e) 625
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(ITA 2003) O número de divisores de 17.640 que , por sua vez, são divisores por 3 é:
a) 24 b) 36 c) 48
d) 54 e) 96
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Resolução:
3 2 1 221 .640 37 5 7
do 2: temos 4 possibilidades (0 ou 1 ou 2 ou 3)
Para a escolha do expoente:
do 3:
do 5:
do 7:
temos só 2 possibilidades pois o número deve ser divisível por 3 (1ou 2)
temos, 2 possibilidades (0 ou 1)
temos, 3 possibilidades (0 ou 1 ou 2)
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Resolução:
Número de “divisores positivos” que são divisíveis por 3 é:
4 . 2 . 3 . 2 = 48
O número de divisores é 96 (48 positivos e 48 negativos).
a) 24 b) 36 c) 48
d) 54 e) 96
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(ITA 2007) Determine quantos números de 3 algarismos podem ser formados com os algarismos 1,2,3,4,5,6, e 7 satisfazendo à seguinte regra: O número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7 (e apenas o 7 ) pode aparecer mais de uma vez. Assinale o resultado obtido:
a) 204 b) 206 c) 208
d) 210 e) 212
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Resolução:
Do enunciado, ou os números tem 3 algarismos distintos, ou o número é 177, ou o número é 277. Assim:
3 algarismos distintos: 7 . 6 . 5 = 210
Portanto, total = 210 +2 = 212 números
a) 204 b) 206 c) 208
d) 210 e) 212
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Um ministro brasileiro organiza uma recepção. Metade dos convidados são estrangeiros cuja língua oficial não é o português e, por delicadeza, cada um deles diz “Bom Dia” a cada um dos outros na língua oficial de quem a se dirige. O ministro responde “Seja Bem Vindo” a cada um dos convidados. Sabendo que no total forma ditos 78 bons dias em português o número de convidados na recepção foi:
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a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
Resolução:
Brasileiros - Brasileiros = n . (n – 1)
Estrangeiros - Brasileiros= n . n
Convidados - Ministro = 2 . n
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Resolução:
2
2
1 2 78
2 78 0
13não convém
6
2
n n
n
n n
n n
ou n
total de convida
=2 .
do
26
s
12n
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Resolução:
total de convida
=2 .
do
26
s
12n
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
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a) 1.814.400 d) 5.760
b) 21 e) 34.560
c) 86.400
Há 4 livros de Matemática, 2 livros diferentes de Química e 5 livros diferentes de Física. De quantas maneiras podemos arrumar esses livros numa prateleira, de modo que os livros de Física fiquem todos separados?
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Resolução:
Colocamos em fila os livros de Matemática e de Química deixando os espaços para colocarmos os livros de Física:
_M_M_M_M_Q_Q_
7,5
7 espaços para 5 livros:
7!C
72
5 ! !1
5
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Resolução:
Como os livros de uma mesma disciplinas são diferentes, então devemos multiplicar pelas permutações:
Permutações dos livros de Matemática e de Química:
Permutações dos livros de Física:
P6: 6! = 720
P5: 5! = 120
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Resolução:
21 720 120Total 1.814.40 0
a) 1.814.400 d) 5.760
b) 21 e) 34.560
c) 86.400
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Um campeonato é disputado por 10 clubes em rodadas de 5 jogos cada. De quantos modos é possível selecionar os jogos da primeira rodada?
a) 315 b) 925 c) 720
d) 36.228.800 e) 120
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Resolução:
Selecionar os jogos da primeira rodada é dividir os 10 clubes em 5 grupos de 2. Mas isso pode ser feito, permutando os 10 clubes e dividindo por 5! . (2!)5 .
5
10!
5! 2Total 945
!
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Resolução:
5
10!
5! 2Total 945
!
a) 315 b) 945 c) 720
d) 36.228.800 e) 120
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Quantos dados diferentes podemos formar gravando números de 1 a 6 sobre as faces indistinguíveis de um cubo de madeira?
Resolução:
Façamos de conta que as faces são diferentes e sendo assim: P6 = 6! = 720.
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Resolução:
![Page 40: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/40.jpg)
Mas as faces são indistinguíveis e então, por exemplo, 1 na face de cima e 6 na de baixo e igual a 1 na de baixo e 6 na de cima.
Sendo assim, temos:
720Tot 30 maal
2ne
4iras
Resolução:
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(ITA 2007) Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada?
Resolução:
Do enunciado, para ter, pelo menos uma moça e um rapaz, a comissão formada só não pode ter cinco rapazes. Assim:
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9,5 5,5
9!1
9 5 ! 5
125comissões
!C C
Resolução:
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(ITA 2004) Considere 12 pontos distintos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta . Qualquer outra reta do plano contém no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos?
a) 210 b) 315 c) 410
d) 415 e) 521
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Resolução:
12,3 5,3
12! 5!
12 3 ! 3! 5 3 !
210 triângulos
3!C C
![Page 45: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/45.jpg)
Resolução:
12,3 5,3
12! 5!
12 3 ! 3! 5 3 !
210 triângulos
3!C C
a) 210 b) 315 c) 410
d) 415 e) 521
![Page 46: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/46.jpg)
a) 1.692 b) 1.572 c) 1.520
d) 1.512 e) 1392
(ITA 2002) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham 2 das letras a,b e c?
![Page 47: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/47.jpg)
Resolução:
Para escolhermos 4 letras, sem importar a ordem, de modo que contenham duas das letras a, b e c, temos:
3,2 7,2
3! 7!
3 2 ! 2! 7 2 ! 2!C C
Como os anagramas são as permutações das 4 letras escolhidas, o número de anagramas é:
![Page 48: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/48.jpg)
Resolução:
3,2 7,2 4! 3 21 1.5124 2C C
a) 1.692 b) 1.572 c) 1.520
d) 1.512 e) 1392
![Page 49: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/49.jpg)
Em uma urna há fichas numeradas de 1 a 10. De quantos modos se podem retirar 3 fichas de modo que a soma dessas fichas não seja menor que 9?
a) 116 b) 120 c) 87
d) 88 e) 89
![Page 50: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/50.jpg)
Resolução:
O número de modos de retirar 3 fichas é:
10,3
10!
10 3 ! 3!120C
São 4 os grupos de 3 fichas cuja a soma é inferior a 9:
1 2 3 , 1 2 4 ,
1 2 5 e 1 3 4
![Page 51: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/51.jpg)
Resolução:
O número de modos de retirar 3 fichas é:
10,3 4 120 14 16C
a) 116 b) 120 c) 87
d) 88 e) 89
![Page 52: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/52.jpg)
Sobre os lado AB, AC e BC de um triangulo ABC, consideram-se, respectivamente, 3 pontos, 4 pontos e 5 pontos, distintos e não coincidentes com os vértices. Quantos segmentos podem ser traçados cujas extremidades sejam os centros das circunferências determinadas pelos 12 pontos?
![Page 53: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/53.jpg)
Resolução:
12,3 3,3 4,3 5,3
Total de circunferências:
205C C C C
![Page 54: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/54.jpg)
Resolução:
205,2
Total de circunferênc
20.910
ias:
C
Como cada dois centros determinam um segmento, temos:
![Page 55: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/55.jpg)
Cinco amigos, Arnaldo, Bernaldo, Cenaldo, Denaldo e Ernaldo, devem formar uma fila com outras 30 pessoas. De quantas maneiras podemos formar esta fila de modo que Arnaldo fique na frente de seus 4 amigos?(Obs.: Os amigos não precisam ficar em posições consecutivas.)
163
35! 35!)35! ) )
5! 535
) 5! )5
a b c
d e e
![Page 56: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/56.jpg)
Resolução:
O número de filas nas quais Arnaldo fica na frente de seus amigos é igual ao número de filas nas quais Bernaldo fica na frente de seus amigos. E o mesmo ocorre se o amigo que fica na frente é Cenaldo ou Denaldo ou Ernaldo, respectivamente.
35!
5
![Page 57: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/57.jpg)
Resolução:
35!
5
163
35! 35!)35! ) )
5! 535
) 5! )5
a b c
d e e
![Page 58: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/58.jpg)
Convenciona-se transmitir sinais luminosos de uma ilha para a costa por meio de 6 lâmpadas brancas e 6 vermelhas, colocadas nos vértices de um hexágono regular, de tal modo que:Em cada vértice haja 2 lâmpadas de cores diferentes.Em cada vértice não haja mais do que uma lâmpada acesa.O número mínimo de vértices iluminados seja 3.Determine o número total de sinais que podem ser transmitidos.
![Page 59: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/59.jpg)
Resolução:Para calcular o número de sinais com 3 vértices iluminados. Consideramos os seguintes acontecimentos e seus respectivos números de ocorrências:
Acontecimentos Nº de OcorrênciasA1: escolha de 3 vértices
para serem iluminados
C6,3
A2 : escolha da lâmpada
após ter ocorrido A1
23 , pois em cada vértice devemos escolher uma
lâmpada dentre duas para ser acesa.
![Page 60: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/60.jpg)
Resolução:
O número de sinais com 3 vértices iluminados é C6,3
. 23 .
O número de sinais com 4 vértices iluminados é C6,4
. 24 .
O número de sinais com 5 vértices iluminados é C6,5
. 25 .
O número de sinais com 6 vértices iluminados é C6,6
. 26 .
![Page 61: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/61.jpg)
Resolução:
3 4 5 66,3 6,4 6,5 6,62 2 2
6
2
65
C C C C
![Page 62: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/62.jpg)
O número máximo de pontos de intersecção entre 2.007 circunferências distintas é:
a) 4.014 b) 4.026.042 c) 2.013.021 d) 2.007 e) 2.0072.007
![Page 63: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/63.jpg)
Resolução:
Duas circunferências distintas se cortam em, no máximo, dois pontos distintos. Portanto, o número máximo de pontos de interseção de 2.007 circunferências distintas é:
2.007,2 4.026.0422 C
![Page 64: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/64.jpg)
Resolução:
2.007,2 4.026.0422 C a) 4.014 b) 4.026.042 c) 2.013.021 d) 2.007 e) 2.0072.007
![Page 65: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/65.jpg)
Na figura temos o primeiro quadrante de um sistema de coordenadas cartesianas com 7 pontos no eixo das abscissas e 6 pontos no eixo das ordenadas. Utilizando um dos 6 pontos do eixo das ordenadas, e um dos 7 pontos do eixo das abscissas podemos formar 42 retas.Na intersecção dessas retas algumas ocorrem nesse primeiro quadrante. Determine o total de intersecções no primeiro quadrante.
![Page 66: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/66.jpg)
![Page 67: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/67.jpg)
Para cada quatro pontos escolhidos (dois no eixo das abscissas e dois no eixo das ordenadas), é determinado um ponto de intersecção dessas retas.
Resolução:
7,2 6,2 21 1515 3C C
![Page 68: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/68.jpg)
Uma prova consta de 3 partes, cada uma com 5 questões. Cada questão, independentemente da parte a que pertença, vale 1 ponto, sendo o critério de correção “certo” ou “errado”. De quantas maneiras diferentes podemos alcançar 10 pontos nessa prova, se devem ser resolvidas pelo menos 3 questões de cada parte e 10 questões no total?
a) 1.500 b) 500 c) 5.000
d) 50 e) 3.000
![Page 69: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/69.jpg)
Resolução:
Como devem ser resolvidas pelo menos 10 questões, será necessário resolver 3 questões em duas partes e 4 questões em uma das partes.
(4, 3, 3,), (3, 4, 3,) ou (3, 3, 4)
5,3 5,3 5,4 3 . . . 1.500C C C
a) 1.500 b) 500 c) 5.000
d) 50 e) 3.000
![Page 70: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/70.jpg)
De quantos modos se pode pintar as faces de uma pirâmide pentagonal regular usando seis cores diferentes, sendo cada face de uma cor?
a) 144 b) 288 c) 720
d) 340 e) 72 Resolução:
Consideramos os seguintes acontecimentos e seus respectivos números de ocorrências:
![Page 71: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/71.jpg)
Resolução:
Acontecimentos Nº de Ocorrências
A1 : Escolha da cor
para base da pirâmide
6
A2: Permutação
circulares das 5 cores sobre as faces
laterais.
4!
![Page 72: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/72.jpg)
Resolução:
144 modo
6 4! 6
s de pintar
24
a) 144 b) 288 c) 720
d) 340 e) 72
![Page 73: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/73.jpg)
Numa demonstração de pára-quedismo, durante a queda livre, participam 10 pára-quedistas. Em, certo momento, 7 deles devem dar as mãos e formar um círculo. De quantas formas distintas eles poderão ser escolhidos e dispostos nesse círculo?
a) 120 b) 720 c) 86.400
d) 151.200 e) 723.043
![Page 74: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/74.jpg)
Resolução:
Escolha dos 7 pára-quedistas para formar o círculo:
C10,7 = 120
Após a escolha dos 7 pára-quedistas, determinam o total de posições no circulo, através de permutações circulares:
6! = 720
Portanto, 120 . 720= 86.400
![Page 75: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/75.jpg)
Resolução:
Portanto, 120 . 720= 86.400
a) 120 b) 720 c) 86.400
d) 151.200 e) 723.043
![Page 76: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/76.jpg)
Uma partícula estando no ponto (x , y), pode-se mover para o ponto (x +1, y) ou para (x, y + 1).Quantos são os caminhos que a partícula pode tomar para, partindo do ponto (0 , 0), chegar ao ponto (a, b), onde a > 0 e b > 0 ?
Resolução:
A partícula deve se mover a vezes para a direita e b vezes para a esquerda.
!! !
a b
a b
![Page 77: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/77.jpg)
Quantos números de 5 algarismos podem ser formados usando apenas os algarismos 1, 1, 1, 1, 2 e 3 ?
Resolução:
Utilizando os algarismos:
30
1, 1, 1, 1, 2 :
1, 1, 1, 1, 3 :
1, 1, 1, 2, 3 :
![Page 78: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/78.jpg)
De quantas maneiras é possível colocar 6 anéis diferentes em 4 dedos?
Resolução:Primeiramente, devemos decidir quantos anéis haverá em cada dedo, o que equivale:
x1 + x2 + x3 + x4 = 6
Sendo assim, temos 84 opções.
Depois, devemos permutar os anéis:P6 = 6! = 720
Portanto,84 . 720 = 60.480 maneiras
![Page 79: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/79.jpg)
De quantos modos é possível comprar 4 sorvetes em uma loja que os oferece em 7 sabores ?
Resolução:
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 4
10!
6!2 0
4!1
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Resolução:
Quantas s o as solu es inteiras e n o negativas da inequa o
5
ã çõã çã
x y z
5 2
4 1
3 0
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
![Page 81: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/81.jpg)
Resolução:
21
15
10
6
3
5
4
3
2
1
5
10
6
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
![Page 82: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/82.jpg)
Uma livraria vai doar 15 livros iguais a 4 bibliotecas . Cada biblioteca deve receber ao menos dois livros. O número de modos que esses dois livros pode ser repartidos nessa doação, é igual a:
a) 1.365 b) 840 c) 240
d) 120 e) 35
![Page 83: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/83.jpg)
Resolução:
Se considerarmos a equação: x1 + x2+ x3 + x4 = 15
Como cada biblioteca deve receber ao menos dois livros, então xi ≥ 2. Façamos então a substituição por xi = yi + 2
A quantidade de soluções da equação, com é igual a quantidade de soluções inteiras não negativas de:
y1 + y2+ y3 + y4 = 7
![Page 84: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/84.jpg)
Resolução:
Portanto, 120 soluções.
a) 1.365 b) 840 c) 240
d) 120 e) 35
![Page 85: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/85.jpg)
Sejam r1 e r2 distintas paralelas, P1.........Pm
pontos distintos em r1 e S1 ......... S n pontos distintos em r2. Determine o valor de m + n se 18 e 30 são, respectivamente, o número de quadriláteros convexos e de triângulos que se pode construir com vértices nos pontos acima considerados.
a) 10 b) 13 c) 5
d) 7 e) 15
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Resolução:
,2 ,2
De acordo com as informações, temos:
Quadriláteros: 18
1 72
m n
mn m n
C C
n m
,2 ,2Tr
2
iân
60
gulos: 30m nn C m C
mn m n
Dividindo as duas equações, temos:
![Page 87: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/87.jpg)
Resolução:
2 60
1 72
5 11 2 5
mn m n
mn
mn m n
n
n
m
m
Substituindo esta equação na anterior:
11 2 5 2 300m n m n
Substituindo (m + n – 2) por r, temos:
![Page 88: Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras.](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022061606/552fc12c497959413d8d1d89/html5/thumbnails/88.jpg)
Resolução:
211 5 300 0
60(não convém5 )
11
r r
our r
2 5 7n mm n
a) 10 b) 13 c) 5
d) 7 e) 15