Prof. Rodrigo Fioravanti Pereira Orientador: Dr. Marcio Violante Ferreira
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Introduçãoxxx xxxxxx xxx
Prof. Rodrigo Fioravanti PereiraOrientador: Dr. Marcio Violante Ferreira
IntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto Sair
ATIVIDADES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA – JUROS COMPOSTOS
Link para dissertação (PDF): http://tede.unifra.br/tde_busca/arquivo.php?codArquivo=54
Introduçãoxxx xxxxxx xxx
Matemática financeira
A matemática financeira é amplamente trabalhada
em diversos cursos de graduação por ser uma
ferramenta adequada para a tomada de decisões
relacionadas ao mercado financeiro.
Entretanto, o ensino desta disciplina mostra-se
alheio à realidade do mercado que deveria ter
como fim. A percepção deste fato é clara se
observados os livros didáticos de matemática
financeira que trazem a disciplina de forma
estanque, com os problemas previamente
determinados, sem espaço para as novidades e
imprevistos do mercado.
No ensino
Formam-se profissionais com características
fortes do ponto de vista do conteúdo puramente
matemático mas inexperientes quanto a
aplicações deste conteúdo à realidade do
mercado.
Proposta
O que acontece
A proposta deste trabalho é dar ferramentas para
a contextualização da matemática financeira com
o mercado financeiro no mesmo momento que
constrói o conteúdo matemático de forma
aplicada ao mercado que está se desenvolvendo
contemporaneamente.
IntroduçãoTitulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto Sair
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Desenvolvimento da fórmula do Montante Compostos.
Na tabela abaixo obtida a partir de dados bancários analise o índice da poupança e faça o que se pede a seguir
Atividade 1:
Seção A:
IntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto Sair
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1° mês → FV1 = 1000 (1,0059) = 1005,9
2° mês → FV2 = 1005,9 (1,0063) = 1012,2371
3° mês → FV3 = 1012,2371 (1,0067) = 1019,0191
4° mês → FV4 = 1019,0191 (1,0060) = 1025,1332
5° mês → FV5 = 1025,1332 (1,0065) = 1031,7965
6° mês → FV6 = 1031,7965 (1,0065) = 1038,5032
...
12° mês → FV12 = 1068,6522 (1,0052) = 1074,2092
FVFV (Future ValueFuture Value) é o montantemontante auferido a cada mês.
Determine, a partir de um capital inicial de R$ 1000,00, o montante ao final dos 12 meses constantes da
tabela, considerando o índice da poupança a cada mês.
Dica
Mar/07
Abr/07
Mai/07
Jun/07
Jul/07
Ago/07
Set/07
Out/07
Nov/07
Dez/07
Jan/08
Fev/08
Ano12
meses24
meses36
meses
INVESTIMENTO
Poupança(5 a.m.)2
0,59 0,63 0,67 0,60 0,65 0,65 0,54 0,61 0,56 0,56 0,60 0,52 1,12 7,53 16,46 27,15
IntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto Sair
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Pela tabela, percebe-se que uma estimativa para o valor procurado é de 0,6% a.m.
Estime, mentalmente, um valor médio que poderia resumir todas as taxas da poupança constantes na tabela.
Atividade 2:
Mar/07
Abr/07
Mai/07
Jun/07
Jul/07
Ago/07
Set/07
Out/07
Nov/07
Dez/07
Jan/08
Fev/08
Ano12
meses24
meses36
meses
INVESTIMENTO
Poupança(5 a.m.)2
0,59 0,63 0,67 0,60 0,65 0,65 0,54 0,61 0,56 0,56 0,60 0,52 1,12 7,53 16,46 27,15
IntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto Sair
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Esta forma de resolução é comum entre os estudantes mas não permite a visualização da fórmula do montante composto.
Atividade 3:
Calcular o montante ao final dos 12 meses, a partir do capital de R$ 1000,00 e da taxa estimada de 0,6% a.m.
Resposta
1º mês(1+0,6 / 100) = 1,0061000 XX 1,006 =1006
1° mês → 10001,006 = 10062° mês → 1012,0363° mês → 1018,10824° mês → 1024,2168...12° mês → 1074,4241
1° mês → 1000 x 1,0062° mês →1000 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)2
3° mês →1000 x 1,006 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)3
4° mês →1000 x 1,006 x 1,006 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)4
...n° mês → 1000 x 1,006 x ...x 1,006 = 1000(1,006)n
IntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto Sair
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Construir a fórmula do montante composto a partir das experiências anteriores
1° mês → 1000 x 1,0062° mês →1000 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)2
3° mês →1000 x 1,006 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)3
4° mês →1000 x 1,006 x 1,006 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)4
...n° mês → 1000 x 1,006 x ... x 1,006 = 1000(1,006)n
FV Future Value - MontantePV present valuei taxa decimaln número de capitalizações
Atividade 3:
Modelo
FV = 1000(1 + 0,006)n
FV = PV(1 + i)n
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Com a fórmula a disposição, é tempo de experimentá-la, a fim de surgir o convencimento com relação às suas vantagens além de permitir que os alunos desfrutem dos benefícios do seu próprio trabalho.
Fórmula do montante composto
FV = PV(1 + i)n
FV = 2050,01
Neste sentido, pede-se o montante de uma aplicação de longo prazo, como por exemplo 120
meses, mantendo a taxa de 0,6%a.m e o capital inicial de R$ 1000,00.
Resposta
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Taxas Proporcionais e Equivalentes
Seção B:
Atividade 1:Procurar no extrato bancário a relação entre as taxas mensal e anual de cada tipo de crédito,
supor um capital inicial de R$ 100,00 e calcular o montante, ao final de um ano, para a taxa mensal e anual.
IntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto Sair
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8722,123=FV
)018,0+1(100=FV
)i+1(PV=FV12
n1
1
87,123=FV
)2387,0+1(100=FV
)i+1(PV=FV1
n2
2
CDC AUTOMOVEIS
Taxa i : 1,80% mensal
23,87%, anual
Para i = 23,87% a.a.Para i = 1,80% a.m.
Percebe-se que os dois montantes são iguais e que a taxa anual aparece no extrato com duas
casas depois da vírgula para fins de arredondamento.
IntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairTaxas
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CRED. PESSOAL
35,157=FV
)5735,0+1(100=FV
)i+1(PV=FV1
n2
2
Taxa i : 3,85% mensal
57,35%, anual
Para i = 57,35% a.a.
3540,157=FV
)0385,0+1(100=FV
)i+1(PV=FV12
n1
1
Para i = 3,85% a.m.
Novamente a igualdade foi comprovada
IntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto Sair
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1 2
12 1
12 1
1 2
100(1 0,018) 100(1 0,2387)
(1 0,018) (1 0,2387)
1,2387 1,2387
(1 ) (1 )n ni i
Atividade 2:
Com base nos procedimentos anteriores, construir uma fórmula para as taxas equivalentes
Concluindo que os valores encontrados são iguais a busca da fórmula que relaciona a taxa mensal
com a anual passa por igualar as fórmulas dos montantes encontrados nos cálculos anteriores.
Abaixo, segue o desenvolvimento feito para o CDC Automóveis:
Esta é a fórmula das taxas equivalentes para os juros compostos.
Mensal Anual
Como o montante obtido pela taxa mensal é o mesmo da taxa anual podemos escrever o modelo abaixo
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1,50421585i
)i(),(
)i()i( nn
2
12
1221
1079501
11 21
Atividade 3:
Ainda no extrato, temos uma taxa de i=7,95% a.m. que não possui a sua taxa anual equivalente. Propõe-se
o cálculo da tal taxa utilizando a fórmula que foi desenvolvida.
Logo, a taxa anual equivalente a 7,95%a.m. é 150,42% a.a.
IntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto Sair
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0,75523549i
)i(),(
)i()i( nn
2
12
1221
104801
11 21
A fórmula que desenvolvida anteriormente, foi utilizada nesta atividade.
CRÉDITO UM MINUTO
Nota-se que a taxa encontrada é menor do que a indicada no extrato. A discussão em aula desta disparidade é um ótimo exercício.
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Atividade 2:
Utilizando o modelo encontrado, analisar a fatura do cartão de crédito mostrada abaixo procurando
confirmar as taxas mensais e anuais cobradas pela operadora. Baseados nas informações que já
temos sobre o mercado financeiro, o que podemos afirmar sobre estas taxas?
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Nele estão assinaladas a taxa mensal e anual de juros do cartão (11,50%a.m. e 269,23%a.a.). Verifica-se através de cálculos que estas taxas são equivalentes. A comparação entre as taxas dos dois
exercícios é um importante fator de conhecimento crítico do mercado financeiro.
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Taxa Nominal e Efetiva
A partir das informações acima, responda como esta taxa administrativa influi na taxa efetiva de
juros. Será que a taxa de juros já considera esta cobrança?
Proposta: Supor um empréstimo de R$ 1000,00 por 3 meses. Conhecendo as taxas (de juros e
administrativa) do “Crédito Um Minuto”, quanto o tomador do empréstimo efetivamente levará para casa
e quanto ele deverá pagar ao banco até o final do empréstimo?
Seção C:
Atividade 1:
Quando se contrata um “Crédito Um Minuto”, do Banrisul, além dos juros de 4,80% a.m., segundo o
extrato do Banrisul usado como exemplo, é cobrada uma taxa administrativa de R$ 8,50 devido à
realização do empréstimo (taxa informada pela gerente de contas do banco).
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Cálculo dos juros sobre um empréstimo de R$1000,00 durante 3 meses:
Como sobre os R$ 1000,00 incide uma taxa administrativa de R$ 8,50, o empréstimo será
calculado sobre R$ 1008,5 e não sobre R$ 1000,00.
Obtem-se, sucessivamente,
Lembrar que o Crédito Um Minuto”, do Banrisul, os juros são de 4,80% a.m
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Sabendo que o tomador do crédito levou pra casa a quantia de R$ 1000,00 e pagará, após 3 meses, o
montante de R$ 1160,80, podemos calcular de quanto será o juro efetivo a ser pago:
Logo, a taxa de juros que incide efetivamente sobre a operação é de 5,096% a.m. e não
apenas os 4,8% a.m. indicada no extrato
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Desconto Composto
Nesta seção pressupõe-se o conhecimento das diferentes regras dos descontos.
Seção D:
Atividade 1:
OBS:
Vamos considerar um título tal como uma nota promissória, que tem um valor de face de R$1000,00 e
é vencível em 40 dias, pergunta: Se este título for descontado antes dos 40 dias, o seu portador ainda
ficará com os R$1000,00?
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Formalização:
Desconto racional: pela definição de desconto racional, o valor atual (Va) deve ser “levado”, por 3
meses, até a data do cheque pela taxa da operação, onde terá o mesmo valor do cheque
Desconto comercial: já no desconto comercial, o valor nominal (N) é descontado por 3 meses pela
taxa de desconto até assumir o valor atual (Va).
Formalização: N
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Este trabalho buscou a mescla da realidade financeira com a construção do conteúdo matemático
constante na maioria das ementas da disciplina de matemática financeira. Neste sentido, a proposta
desenvolvida trabalhou o conteúdo dos juros compostos por estar presente, direta ou indiretamente, na
maioria das situações do mercado financeiro e no conteúdo da matemática financeira.
Conclusão:
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1° mês → FV1 = 1000 (1,0059) = 1005,9
2° mês → FV2 = 1005,9 (1,0063) = 1012,2371
3° mês → FV3 = 1012,2371 (1,0067) = 1019,0191
4° mês → FV4 = 1019,0191 (1,0060) = 1025,1332
5° mês → FV5 = 1025,1332 (1,0065) = 1031,7965
6° mês → FV6 = 1031,7965 (1,0065) = 1038,5032
...
12° mês → FV12 = 1068,6522 (1,0052) = 1074,2092
FVFV (Future ValueFuture Value) é o montantemontante auferido a cada mês.
Determine, a partir de um capital inicial de R$ 1000,00, o montante ao final dos 12 meses constantes da
tabela, considerando o índice da poupança a cada mês.
Para darmos um acréscimo a um valor
inicial multiplicamos este valor por 1 + a
taxa de acréscimo.
Exemplificando:
Se a taxa de acréscimo i =0,4% => 0,004
teremos = 1 + 0,004 =1,004
Fechar
Mar/07
Abr/07
Mai/07
Jun/07
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Ago/07
Set/07
Out/07
Nov/07
Dez/07
Jan/08
Fev/08
Ano12
meses24
meses36
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INVESTIMENTO
Poupança(5 a.m.)2
0,59 0,63 0,67 0,60 0,65 0,65 0,54 0,61 0,56 0,56 0,60 0,52 1,12 7,53 16,46 27,15
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