Prof. Roberto Cristóvão [email protected] Aula 13 Teste da Integral e Estimativa de...
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Séries
Teorema. Se a série for convergente,
então lim 0.nna
1n
n
a
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Séries
Prova: SejaEntão é ConvergenteNote que quandoassimPortanto,
na
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Observação
A recíproca do Teorema não é verdadeira.Se não podemos concluir que
seja convergente.
Exemplo. A série harmônica
quando
Mas, sabemos que a série diverge.
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Teste para Divergência
Se não existir ou se
Então a série é divergente.
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Exemplo 8
Mostre que a série diverge.
Solução:
Assim, a série diverge pelo Teste para
Divergência.
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Propriedades
Se e forem convergentes, entãotambém o serão as séries ( é cte.), e e
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Exemplo 9
Calcule a soma da série
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Exemplo 9
Solução:
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Observação
Um número finito de termos não afeta a convergência ou divergência de uma série. Por exemplo: suponha que
é convergente. Como
Segue-se que a série inteira é convergente.
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Observação
Similarmente, se soubermos que a série converge, então a série completa
também é convergente.
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Integrais Impróprias
Definição(a) Se é contínua em
(b) Se é contínua em
[ , ),a
[ , ),b
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Integrais Impróprias
(c) Se é contínua em
onde é qualquer número real.
Em todos os casos, se o limite é finito, dizemos que a integral imprópria converge e que o limite é o valor da integral imprópria. Se o limite não existe, dizemos que a integral imprópria diverge.
[ , ),
a
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Exemplo 1
Determine se a integral converge ou diverge.
Solução:
Portanto, a integral diverge.
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Exemplo 2
Para que valores de a integralé convergente? Solução:Sabemos do Exemplo 1 que se a
integral é divergente.
Desta forma, vamos supor Então,
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Exemplo 2
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Exemplo 2
Se então assim como e
Portanto,
se
e desta forma a integral converge.
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Exemplo 2
Mas se então e assim quando
e a integral diverge. Resumindo, temos:
é convergente se e
divergente se
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Teste da Integral
Começamos investigando as séries cujos termos são os recíprocos dos quadrados de inteiros positivos:
Não existe uma fórmula simples para a soma Sn dos n primeiros termos.
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Teste da Integral
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Teste da Integral
Se excluirmos o primeiro retângulo, a área total dos retângulos remanescentes será
menor que a área sob a curva y =
1/x2 para x ≥ 1, que é o valor da integral:
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Teste da Integral
Então, as somas parciais são limitadas.
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O Teste da Integral
Suponha que seja contínua, positiva e decrescente em e seja Então, a série é convergente
a integral imprópria é convergente. Em outras palavras:
(i)Se for convergente, então
é convergente.
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O Teste da Integral
(ii) Se for divergente, então
é divergente.
Obs.: Quando você usar o teste da integral lembre-se que não é necessário começar a série ou a integral em Por exemplo, testando a série
usamos
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Observação
Também não é necessário que seja sempre decrescente. O que é importante é que seja decrescente a partir de certo ponto, isto é, decrescente para maior que algum inteiro
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Exemplo 3
Teste a série quanto à
convergência ou divergência.
Solução:
A função é contínua,positiva e decrescente em e assim
podemos usar o Teste da Integral:
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Exemplo 3
Então, a integral é convergente e, dessa forma pelo Teste da integral, a série
é convergente.
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Função arco tangente
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Exemplo 4
Para que valores de a série éconvergente?Solução: Se então Se entãoEm qualquer dos dois casos, e, assim, a série dada diverge pelo Teste para Divergência.
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Exemplo 4
Se então a função é claramente contínua, positiva e decrescente em
Já vimos que é convergente se
e divergente se
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Exemplo 4
Segue do Teste da Integral que a série
converge se e diverge se
(Para esta é a série
harmônica). A série é chamada -série.
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p-série
A -série é convergente se
e divergente se
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Exemplo 5
(a)A série
é convergente porque ela é uma -série
com
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Exemplo 6
(b) A série
é divergente porque ela é uma -série
com
![Page 35: Prof. Roberto Cristóvão robertocristovao@gmail.com Aula 13 Teste da Integral e Estimativa de Somas.](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022070311/552fc12c497959413d8d21b6/html5/thumbnails/35.jpg)
Observação
Não devemos inferir a partir do Teste da Integral que a soma da série é igual ao valor da integral. De fato,
(matemático suíço Leonhard
Euler (1707-1783)),
enquanto que
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Observação
Portanto, em geral,
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Exemplo 7
Determine se a série converge ou diverge.Solução:A função é positiva e contínua
para porque a função logaritmo é contínua. Mas não é obvio se
é decrescente ou não; assim calculamos a sua derivada:
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Exemplo 7
Então, quando isto é,
Segue que é decrescente quando
e podemos aplicar o Teste da Integral
![Page 39: Prof. Roberto Cristóvão robertocristovao@gmail.com Aula 13 Teste da Integral e Estimativa de Somas.](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022070311/552fc12c497959413d8d21b6/html5/thumbnails/39.jpg)
Exemplo 7
Como essa integral imprópria é divergente, a série também é divergente pelo
Teste da Integral.
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Estimativa do Resto para o Teste da Integral
Suponha que onde é uma função contínua, positiva, decrescente para e que é convergente. Se
o resto é dado por
então
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Exemplo 8
(a)Aproxime a soma da série usando a soma dos dez primeiros termos. Estime o erro envolvido nessa aproximação.
(b)Quantos termos são necessários para garantir que a soma tenha precisão de 0,0005?
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Solução
(a)
![Page 43: Prof. Roberto Cristóvão robertocristovao@gmail.com Aula 13 Teste da Integral e Estimativa de Somas.](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022070311/552fc12c497959413d8d21b6/html5/thumbnails/43.jpg)
Solução
De acordo com a estimativa do resto, temos
Por conseguinte, o tamanho do erro é no
máximo
![Page 44: Prof. Roberto Cristóvão robertocristovao@gmail.com Aula 13 Teste da Integral e Estimativa de Somas.](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022070311/552fc12c497959413d8d21b6/html5/thumbnails/44.jpg)
Solução
(b) A precisão de significa que temos de encontrar um valor de tal que
Como
queremos
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Solução
Resolvendo essa desigualdade, obtemos ou
Precisamos de 32 termos para garantir
precisão de
![Page 46: Prof. Roberto Cristóvão robertocristovao@gmail.com Aula 13 Teste da Integral e Estimativa de Somas.](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022070311/552fc12c497959413d8d21b6/html5/thumbnails/46.jpg)
Observação
Se somarmos em cada lado da desigualdade abaixo
obteremos
porque
( )I
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Exemplo 9
Use a fórmula para estimar a soma
da série
Solução:Do exemplo 8, sabemos que
( )I
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Exemplo 9
De modo que
Usando obteremos
Se aproximarmos pelo ponto médio do intervalo, então o erro é no máximo metade do comprimento do intervalo.
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Exemplo 9
Dessa forma,
com erro
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Exemplo 9
Se compararmos o Exemplo 8 com o Exemplo 9, veremos que a estimativa melhorada na fórmula pode ser muito melhor que a estimativa
Para fazer um erro menor que tivemos que usar 32 termos no Exemplo 8, mas apenas dez termos no Exemplo 9.
( )I
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