Prof. Nestor RoqueiroProf. Nestor Roqueiro

Laboratório de Controle de Processos Laboratório de Controle de Processos

EQA - UFSC EQA - UFSC

e-mail: nestor@enq.ufsc.bre-mail: nestor@enq.ufsc.br

Aplicações de Métodos Aplicações de Métodos MatemáticosMatemáticos

O ProblemaO Problema

• Os modelos matemáticos que representam Os modelos matemáticos que representam processos ou equipamentos são sistemas de processos ou equipamentos são sistemas de equações algébricas, diferenciais e integrais equações algébricas, diferenciais e integrais que, em geral, não tem solução analítica. que, em geral, não tem solução analítica.

• Para obter soluções, portanto, devem ser Para obter soluções, portanto, devem ser utilizados métodos numéricos.utilizados métodos numéricos.

• Para solução numérica de problemas de medio e Para solução numérica de problemas de medio e grande porte é necessário o auxilio de grande porte é necessário o auxilio de computadores. computadores.

• E para que os computadores funcionem são E para que os computadores funcionem são necessários programas. necessários programas.

A SoluçãoA Solução

• Comprar o software que resolva a classe Comprar o software que resolva a classe de problemas que deseja tratarde problemas que deseja tratar

• Desenvolver seus proprios programas Desenvolver seus proprios programas

• Contratar alguem que desenvolva os Contratar alguem que desenvolva os programasprogramas

• Fazer combinações das três propostas Fazer combinações das três propostas acimaacima

A Melhor SoluçãoA Melhor Solução

• A melhor solução depende da verba A melhor solução depende da verba disponível mas, em geral, o disponível mas, em geral, o conhecimento de uma linguagem de conhecimento de uma linguagem de programação de alto nível e programas programação de alto nível e programas que auxiliem na resolução de que auxiliem na resolução de problemas numéricos costumam ser a problemas numéricos costumam ser a solução mais eficiente, e mais barata.solução mais eficiente, e mais barata.

Os Problemas Os Problemas MatemáticosMatemáticos

– Os problmas matemáticos que sugem na Os problmas matemáticos que sugem na modelagem de processos e equipamentos são:modelagem de processos e equipamentos são:• Solução de sistemas de equaçoes algébricasSolução de sistemas de equaçoes algébricas

• Solução de sistemas de equações diferencias Solução de sistemas de equações diferencias ordináriasordinárias

• Solução de sistemas de equações diferenciais Solução de sistemas de equações diferenciais parciaisparciais

• Ajuste de curvas e interpolação Ajuste de curvas e interpolação

• OtimizaçãoOtimização

A Aula de HojeA Aula de Hoje

• Nesta aula abordademos:Nesta aula abordademos:– Solução de sistema de equações algébricas Solução de sistema de equações algébricas

(raízes)(raízes)

– Solução numérica de EDO com condições iniciaisSolução numérica de EDO com condições iniciais

– Solução numérica de EDO com condições de Solução numérica de EDO com condições de contornocontorno

– Solução numérica de EDPSolução numérica de EDP

– InterpolaçãoInterpolação

Software Software

• Usaremos o Matlab que combina Usaremos o Matlab que combina uma linguagem de programação de uma linguagem de programação de alto nível com bibliotecas de alto nível com bibliotecas de programas de diversas áreas do programas de diversas áreas do conhecimento. Esta característica conhecimento. Esta característica facilita a implementação de facilita a implementação de soluções numéricas.soluções numéricas.

Objetivo da AulaObjetivo da Aula

• Resolver numericamente problemas Resolver numericamente problemas matemáticos provenientes da matemáticos provenientes da modelagem de processos ou modelagem de processos ou equipamentos. equipamentos.

Reator Continuo em Reator Continuo em Estado EstacionarioEstado Estacionario

O modelo é:O modelo é:

os programas usados para resolver são:os programas usados para resolver são:

‘‘reatorreator’ e ‘’ e ‘cstrcstr’ ’

TTUAekVCHTTwC

ekVCCCq

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E

Ai

RTE

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0

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Simulação de um tanque Simulação de um tanque de nivelde nivelO tanque de nivel está representado O tanque de nivel está representado

pela equação:pela equação:

os programas usados para resolver os programas usados para resolver são: ‘edo’, ‘nivel’ e ‘tanque’. são: ‘edo’, ‘nivel’ e ‘tanque’.

0)0(;0 hht

hCArea

q

dt

dhvalvula

entrada

Pellet de Catalisador Pellet de Catalisador

O pellet está representado pela equação:O pellet está representado pela equação:

os programas para solução numérica são ‘pell’ e os programas para solução numérica são ‘pell’ e ‘pellet’‘pellet’

0;0)(;

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22

22

dr

dCreCRCRr

CD

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asaa

aa

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Matemática simbólicaMatemática simbólica

Em uma calculadora a linha de comandoEm uma calculadora a linha de comando

y=sin(x)y=sin(x)

dará erro se não for atribuído dará erro se não for atribuído previamentepreviamente

um valor a um valor a

xx

• Em cálculo simbólico é possível operar Em cálculo simbólico é possível operar expressões como sin(x) sem atribuir expressões como sin(x) sem atribuir valores numéricos às variáveis.valores numéricos às variáveis.

Ex: Cálculo da derivada de sin(x)Ex: Cálculo da derivada de sin(x)

>>syms x>>syms x

>>f=sin(x)>>f=sin(x)

>>diff(f)>>diff(f)

>>>>

cos(x) cos(x)

Outros exemplosOutros exemplosDeterminante de uma matriz simbólicaDeterminante de uma matriz simbólica

syms a b c d syms a b c d

M= [a,b;c,d];M= [a,b;c,d];

det(M)det(M)

Integral Integral

f=int(x^3/sqrt(1-x),a,b)f=int(x^3/sqrt(1-x),a,b)

Conversão de variáveisConversão de variáveis

• Para converter uma variável Para converter uma variável simbólica em numérica usa-se simbólica em numérica usa-se doubledouble

Ex: Ex:

phi=sym((1+sqrt(5))/2)phi=sym((1+sqrt(5))/2)

double(phi)double(phi)

Substituição de variáveisSubstituição de variáveis

• Para substituir uma variável em uma Para substituir uma variável em uma expressão simbólica usa-se expressão simbólica usa-se subssubs

Ex:Ex:

syms ssyms s

f=a*x^2+b*x+cf=a*x^2+b*x+c

subs(f,x,s)subs(f,x,s)

DerivaçãoDerivação

• Para derivação analítica utiliza-se a Para derivação analítica utiliza-se a função função diffdiff

Ex: Ex:

f=a*x^3+b*x^2-x+cf=a*x^3+b*x^2-x+c

diff(f,b,2)%deriva em relação a b duas diff(f,b,2)%deriva em relação a b duas vezesvezes

IntegraçãoIntegração

• Para integração analítica utiliza-se a função Para integração analítica utiliza-se a função intint

Ex: Ex:

syms m nsyms m n

f=sin(s+2*x)f=sin(s+2*x)

int(f,s,m,n)int(f,s,m,n)

Resolução de equações Resolução de equações algébricasalgébricas

• Um sistema de equações algébricasUm sistema de equações algébricas

syms u c d vsyms u c d v

e2=u-c+d+v-10e2=u-c+d+v-10

e1=d+(c+u)/2-ve1=d+(c+u)/2-v

e3=v+d-u+c/4e3=v+d-u+c/4

e4=v+u-c+8*d-1e4=v+u-c+8*d-1

resolve-se usandoresolve-se usando

solve(e1,e2,e3,e4)solve(e1,e2,e3,e4)

Resolução de equações Resolução de equações diferenciaisdiferenciais

• Uma equação diferencial pode ser resolvida Uma equação diferencial pode ser resolvida usando a função usando a função dsolvedsolve

Ex:Ex:

y=dsolve('D2y-2*Dy-3*y=0','y(0)=0','y(1)=1')y=dsolve('D2y-2*Dy-3*y=0','y(0)=0','y(1)=1')

tentar tambémtentar também

y=dsolve('D2y-2*Dy-3*y=0')y=dsolve('D2y-2*Dy-3*y=0')

Formatação e Formatação e simplificaçãosimplificaçãoPara simplificar expressões usa-se a Para simplificar expressões usa-se a

função função simplesimple

f= (1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3)f= (1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3)

y=simple(f)y=simple(f)

e para melhorar a apresentação usa-e para melhorar a apresentação usa-sese

pretty(y)pretty(y)

Representação gráficaRepresentação gráfica

• Para representar graficamente uma Para representar graficamente uma expressão simbólica como:expressão simbólica como:

syms t syms t

y=-5*t^2+20*t+30y=-5*t^2+20*t+30

ezplot(y)ezplot(y)

Simulação de um tanque de Simulação de um tanque de nívelnívelO tanque de nível está representado pela equação:O tanque de nível está representado pela equação:

A solução analítica pode ser calculada como:A solução analítica pode ser calculada como:

h=dsolve(h=dsolve(''Dh=q/A-Cv*hDh=q/A-Cv*h''))

e a solução pode ser observada usandoe a solução pode ser observada usando

pretty(h)pretty(h)

0)0(;0 hht

hCArea

q

dt

dhvalvula

entrada

Para representar graficamente usa-se a Para representar graficamente usa-se a função ezplot, mas antes devem ser função ezplot, mas antes devem ser

substituídos os valores de q,A,C1 e Cvsubstituídos os valores de q,A,C1 e Cv

h=subs(h, 'q',2)h=subs(h, 'q',2)

h=subs(h, 'C1',5)h=subs(h, 'C1',5)

h=subs(h, 'Cv',1)h=subs(h, 'Cv',1)

h=subs(h, 'A',10)h=subs(h, 'A',10)

ezplot(h)ezplot(h)

Problema PropostoProblema Proposto

Resolver y”-xy-y=0Resolver y”-xy-y=0

Para resolverPara resolver

y=dsolve('D2y-x*Dy-y=dsolve('D2y-x*Dy-y=0','y(0)=1','Dy(0)=2', 'x')y=0','y(0)=1','Dy(0)=2', 'x')

Para representar graficamente Para representar graficamente

ezplot(y)ezplot(y)

Pellet de CatalisadorPellet de Catalisador O pellet está representado pela equação:O pellet está representado pela equação:

E a linha de comando para resolver é:E a linha de comando para resolver é:Ca=dsolve('x^2*D2y+x*Dy-Ca=dsolve('x^2*D2y+x*Dy-

x^2*y*k=0','Dy(0)=0','y(R)=Cas','x')x^2*y*k=0','Dy(0)=0','y(R)=Cas','x')Ca=subs(Ca,'Cas',1)Ca=subs(Ca,'Cas',1)Ca=subs(Ca,'k',1)Ca=subs(Ca,'k',1)Ca=subs(Ca,'R',1)Ca=subs(Ca,'R',1)plot(1/besseli(0,1)*besseli(0,[0:0.01:1]))plot(1/besseli(0,1)*besseli(0,[0:0.01:1]))

0;0)(;

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22

22

dr

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aa

ExemplosExemplos

21' yy

0'2 22 xyxyy

SoluçõesSoluções

• caso1caso1

y=dsolve('Dy=1+y^2','x')y=dsolve('Dy=1+y^2','x')

• caso2caso2

y=dsolve('2*x*y*Dy-y^2+x^2=0','y(1)=1','x')y=dsolve('2*x*y*Dy-y^2+x^2=0','y(1)=1','x')

ezplot('(-x^2+2*x)^(1/2)')ezplot('(-x^2+2*x)^(1/2)')

Problemas sugeridosProblemas sugeridos

0 xdyydx

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0''' byayy

0)0(';1)0(,'2'' yyxeyyy x

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