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KKK

CKK

KKC

KCK

CCK

CKC

KCC

CCC

0

1

2

3

Sℜℜℜℜ

X

s

)S(X

)s(Xx ====

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Uma função X que associa a cada

elemento de S (s ∈ S) um número real

x = X(s) é denominada variável

aleatória.

Variável Aleatória

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O conjunto formado por todos os

valores “x”, isto é, a imagem da variável

aleatória X, é denominado de conjunto de

valores de X.

X(S) = { x ∈∈∈∈ ℜℜℜℜ | X(s) = x }

O conjunto de valores

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Conforme o conjunto de valores –

X(S) – uma variável aleatória poderá ser

discreta ou contínua.

Tipos de variáveis

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Se o conjunto de valores for finito ou

então infinito enumerável a variável é dita

discreta.

Variável Discreta (VAD)

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Se o conjunto de valores for

infinito não enumerável então a

variável é dita contínua.

Variável Contínua (VAC)

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A função de probabilidade (fp) de uma

VAD é a função que associa a cada xi ∈ X(S)

o número f(xi) = P(X = xi) que satisfaz as

seguintes propriedades:

f(xi) ≥ 0, para todo “i”

∑f(xi) = 1

A função de probabilidade (fp)

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A coleção dos pares [xi, f(xi)] para

i = 1, 2, 3, ... é denominada de

distribuição de probabilidade da VAD X.

A distribuição de probabilidade

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Suponha que uma moeda equilibrada

é lançada três vezes. Seja X = “número de

caras”. Então a distribuição de

probabilidade de X é:

Exemplo:

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KKK

CKK

KKC

KCK

CCK

CKC

KCC

CCC

0

1

2

3

0

0

0

1

S

ℜx(s)

X

]1;0[)x(f

f

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KKK

CKK

KKC

KCK

CCK

CKC

KCC

CCC

0

1

2

3

1/8

3/8

3/8

1/8

S

ℜx(s)

X

]1;0[)x(f

f

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Suponha que um par de dados é

lançado. Então X = “soma do par” é uma

variável aleatória discreta com o

seguinte conjunto de valores:

Exemplo:

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Como X((a, b)) = a + b, o conjunto

de valores de X é dado por:

X(S) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10, 11, 12}

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A função de probabilidade

f(x) = P(X = x), associa a cada

x ∈ X(S), um número no intervalo [0; 1]

dado por:

f(x) = P(X = x) = P(X(s) = x) =

= P([x ∈ X(S) / X(s) = x})

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Desta forma:

f(2) = P(X = 2) = P{(1,1)} = 1/36

f(3) = P(X = 3) = P{(1,2), (2, 1)} = 2/36

...............................................................

f(11) = P(X=11) = P{(6, 5), (5, 6)} = 2/36

f(12) = P(X = 12) = P{(6, 6)} = 1/36

A distribuição de probabilidade será:

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x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ΣΣΣΣ

f(x) 1 36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1

A distribuição de probabilidade de

X será então:

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uma tabela

uma expressão analítica (fórmula)

um diagrama

Poderá ser feita por meio de:

Representação de uma

distribuição de probabilidade

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Seja X = “número de

caras”, obtidas no

lançamento de 4 moedas

honestas. Então a

distribuição de X é a da

tabela ao lado.

x f(x)

0 1/16

1 4/16

2 6/16

3 4/16

4 1/16

Σ 1

Tabela

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Considere X = “soma do par”, no

lançamento de dois dados equilibrados,

então:

f : X(S) →→→→ ℜℜℜℜ

x → (x - 1)/36 se x ≤ 7

(12 - x + 1)/36 se x > 7

Expressão analística

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0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Diagrama

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(a) Expectância, valor esperado (Expectation)

(b) Variância (Variance)

µ = = = =∑ ∑ E(X) x.f(x) x.P(X x)

= = − =−µ µ∑ ∑σ

=

2 22 2

22

f(x) f(x)(x ) x

E( )-E(X)X

VAD - Caracterização

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(iii) Desvio Padrão

(Standard Deviation)

(iv) O Coeficiente de Variação

(Variation Coeficient)

γ = σ/µ

2 222 2 f (x) f (x) E( )-(x ) E(X)x Xσ = = − =−µ µ∑ ∑

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Seja X uma VA. O momento de

ordem “k” de X é o valor E(Xk) = µk, se

esse valor convergir.

Obs.: A expectância é o primeiro

momento.

Definições:

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Seja X uma VA. O momento central

de ordem “k” de X é o valor E[(X –

E(X))k] = E[(X – µ)k] , se esse valor

convergir.

Obs.: (i) A variância é o segundo

momento central;

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(ii) O primeiro momento central é sempre zero;

(iii) O terceiro momento central é utilizado

para determinar a assimetria de uma

distribuição;

(iv) O quarto momento central é utilizado na

determinação da curtose de uma

distribuição.

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Se X é um VAD então o k-ésimo

momento de X é dado por:

e o k-ésimo momento central de X é

obtido por:

kik i

i 1

f ( )x x∞

=

=µ ∑

ik

iki 1

f ( )( ) xx∞

== −µµ ∑

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Considerando que o momento de

ordem “k” de X é E(Xk) = µk, pode-se

expressar a expectância e as demais

medidas em função desse resultado. Tem-

se, então:

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(a) Expectância, valor esperado

µ1 = E(X)

(b) Variância

σ2 = V(X) = E(X2) – E(X)2 = µ2 – µ12

(c) Assimetria

γ1 = [µ3 – 3µ1µ2 + 2µ13]/σ3

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(v) Curtose

γ2 = E[(X - µ)4]/σ4 – 3 =

= [µ4 – 4µ1µ3 + 6µ12µ2 – 3µ1

4]/σ4 - 3

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Calcular o valor esperado, a

variabilidade da variável X = “número de

caras” no lançamento de quatro moedas

honestas.

Exemplo

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x f(x) x.f(x) x2f(x) x3f(x) x4f(x)

0 1/16 0 0 0 0

1 4/16 4/16 4/16 4/16 4/16

2 6/16 12/16 24/16 48/16 96/16

3 4/16 12/16 36/16 108/16 324/16

4 1/16 4/16 16/16 64/16 256/16

Σ 1 2 5 14 42,5

Cálculos

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µ1 = 2; µ2 = 5; µ3 = 14 e µ4 = 42,5

Assim:

(i) E(X) = µ1 = 2 caras

(ii) σ2 = µ2 – µ12 = 5 – 4 = 1 cara

(iii) γ1 = [µ3 – 3µ1µ2 + 2µ13]/σ3 =

=14 – 3.2.5 + 2.8 = 30 – 30 = 0

Tem-se:

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(iv) Curtose

γ2 = [µ4 – 4µ1µ3 + 6µ12µ2 – 3µ1

4]/σ4 - 3 =

42,5 – 4.2.14 + 6.4.5 – 3.16 – 3 =

= 42,5 – 112 + 120 – 48 – 3 = 2,5 – 3 =

= -0,50

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Moda

Mediana

mo = 2 caras

me = 2 caras

Outros resultados

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Da expectância ou valor esperado

(i) Linearidade

E(aX +b) = aE(X) + b

(ii) Não multiplicativa

E(XY) ≠ E(X)E(Y), em geral

(iii) E(X ± Y) = E(X) ± E(Y)

Propriedades

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Da variância

(i) V(a) = 0

(ii) V(aX + b) = a2V(X)

(iii) V(X ± Y) = V(X) + V(Y) se X e Y

forem independentes.

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Três dados honestos são lançados.

Seja X = soma dos resultados. Determine

a distribuição de X e calcule os momentos

até a quarta ordem.

Exercício

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A partir dos momentos, determinar:

(i) A expectância

(ii) A variância

(iii) A assimetria

(iv) A curtose

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Seja X uma variável aleatória

(discreta ou contínua). A função de

distribuição (acumulada) ou

simplesmente “função de repartição” é

definida por: F(x) = P(X ≤ x).

A Função de Distribuição (FD)

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(a) 0 ≤ F(x) ≤ 1;

(b) F(x1) ≤ F(x1) se x1 < x2

Propriedades da FD

x

x

(c) F(x) 0lim

(d) F(x) 1lim

→−

→+

=

=

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(i) P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a);

(ii) P(X < a) = F(a) e

(iii) P(X > a) = 1 - F(a)

Determinação de probabilidades a

partir da FD

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xi

ix

F(x) P(X )x≤

= =∑

VAD e FD

Seja X é uma variável aleatória

discreta (VAD) então a FD é a função em

escada dada por:

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0 se x < 0

F(x) P(X x) p se 0 x < 1

1 se x 1

= ≤ = ≤ ≥

Seja X = número de caras no

lançamento de uma moeda. Então a FD de

X é:

Exemplo

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A Função de Distribuição

10

p

1

q 1 p= −

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i i i i 1P(X ) f( ) F( ) F( )x x x x −= = = −

Observação:

Seja X é uma variável aleatória

discreta (VAD) com FD F(x), então:

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Uma fonte de informação gera símbolos ao

acaso a partir de um alfabeto de quatro letras { a, b,

c, d } com probabilidades f(a) = ½, f(b) = ¼ e f(c) =

f(d) = 1/8. Um esquema codifica esses símbolos em

binário da seguinte forma: a → 0, b → 10, c → 110,

d → 111. Seja X a VA que representa o tamanho do

código, isto é, o número de dígitos binários (bits).

Exercício

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(a) Qual é o conjunto de valores de X?

(b) Assumindo que a geração dos símbolos

são independentes, encontre: P(X = 1),

P(X = 2), P(X = 3) e P(X > 3).

(c) Determine a FD de X.

(d) Represente a FD graficamente.

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Bernoulli

Binomial

Hipergeométrica

Poisson

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Qualquer um que corresponda a apenas

dois resultados. Estes resultados são

anotados por “0” ou “fracasso” e “1” ou

“sucesso”. A probabilidade de ocorrência de

“sucesso é representada por “p” e a de

insucesso por “q = 1 – p”.

Experimento

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X(S) = { 0, 1}

===1 = x se p

0 = x se p1)xX(P)x(f

A Função de Probabilidade (fp)

Conjunto de Valores

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A Função de Probabilidade (fp)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1

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≤=≤=

1 x se 1

1 <x 0 se q

0 < x se 0

)xX(P)x(F

A Função de Distribuição (FD)

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Função de Distribuição

10

1

p1q −=

p

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pq)p1(ppp

p)p.1q.(0

E(X)-)X(E)X(V

2

222

22

=−=−=

=−+=

==

Características

Expectância ou Valor Esperado

∑ =+== pp.1q.0)x(f.x )X(E

Variância

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Suponha que um circuito é testado

e que ele seja rejeitado com

probabilidade 0,10. Seja X = “o número

de circuitos rejeitados em um teste”.

Determine a distribuição de X.

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Como se trata de um único teste,

a variável X é Bernoulli com p

=10%, assim a distribuição é:

===1 = x se 0,1

0 = x se 9,0)xX(P)x(f

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Como existem apenas duas situações: A

ocorre ou não, pode-se determinar a

probabilidade de A não ocorrer como sendo

q = 1 – p. A VAD definida por X = “número

de vezes que A ocorreu nas ‘n’ repetições de

E” é denominada BINOMIAL.

Experimento

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X(S) = {0, 1, 2, 3, ..., n}

A Função de Probabilidade (fp)

Conjunto de Valores

qpx

n)xX(P)x(f

xnx −

===

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A Função de Probabilidade (fp)

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

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A Função de Distribuição (FD)

>

≤∑ ≤

=≤=

=

n x se 1

n x 0 se qp k

n

0< x se 0

)xX(P)x(Fx

0k

k-nk

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A Função de Distribuição

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

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E(X)-)X(E)X(V22=

Características

Expectância ou Valor Esperado

np qpx

n.x )x(f.x )X(E

xnx∑ =

∑ ==

Variância

npp1)-n(n qpx

n.x )X(E

2xnx22 +∑ =

= −

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npq)p1(npnppn

)np(npp)1n(n

E(X)-)X(E)X(V

2

22

22

=−=+−=

=−+−

==

Assim: np )X(E =

npq X =σ

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Suponha que um circuito é testado e

que ele seja rejeitado com probabilidade

0,10. Seja X = “o número de circuitos

rejeitados em 10 testes”. Determine a

distribuição de X.

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Como se tratam de 10 testes a variável X

é Binomial com p =10%, assim a distribuição

é:

10 ..., 2, 1, 0, x para

)9,0(.)1,0(x

10 )xX(P)x(f

x10x

=

=== −

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Uma fábrica recebe um lote de 100

peças das quais cinco são defeituosas.

Suponhamos que a fábrica aceite todas as 100

peças se não houver nenhuma defeituosa em

uma amostra aleatória de 10 peças

selecionadas para inspeção. Determinar a

probabilidade de o lote ser aceito.

Exemplo

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Tem-se:

n = 10 e p = 5/100 = 0,05

%87,59

95,005,00

10 0) X(P)0(f 100

=

=

===

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Tem-se:

n = 10 e p = 5/100 = 5%

Então:

59,87%

)95,0(.)5,0(.0

10 0) X(P)0(f

100

=

=

===

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A distribuição Binomial é deduzida

com base em “n” repetições de um

experimento de maneira independente

(isto é, p = constante), ou retiradas com

reposição de uma população finita.

Experimento:

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Se a experiência consistir na seleção

de objetos, sem reposição, de uma

população finita, de tamanho “N”, onde “r”

apresentam uma característica “N – r” não

apresentam esta característica, então

existirá dependência entre as repetições.

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Neste caso a variável aleatória

X = “número de objetos com a

característica r em uma amostra de

tamanho n”, terá uma distribuição

denominada de Hipergeométrica.

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x : máx{0, n–N+r}, ..., mín{r, n}

A Função de Probabilidade (fp)

Conjunto de Valores

===

n

N

xn

rN

x

r

)xX(P)x(f

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A Função de Probabilidade (fp)

H(20; 15; 50)

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

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A Função de Distribuição (FD)

n} mín{r, k

r}N-n máx{0, j onde

k x se 1

k xj se

n

N

xn

rN

x

r

j x se 0

)xX(P)x(Fk

jx

=

+=

>

≤∑ ≤

<

=≤==

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Função de Distribuição

H(20; 15; 50)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

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1N

nNnpqX

−=σ

Características

Expectância ou Valor Esperado

np )X(E =

Desvio Padrão

N

r p Onde =

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Uma fábrica recebe um lote de 100

peças das quais cinco são defeituosas.

Suponhamos que a fábrica aceite todas as 100

peças se não houver nenhuma defeituosa em

uma amostra aleatória de 10 peças

selecionadas para inspeção. Determinar a

probabilidade de o lote ser aceito.

Exemplo

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Pela Hipergeométrica:

N = 100, r = 5, n = 10

%38,58

10

100

10

95.

0

5

0) X(P)0(f =

===

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Pela Binomial:

n = 10 e p = 5/100 = 5%

59,87%

)95,0(.)05,0(.0

10 0) X(P)0(f

100

=

=

===

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Na Binomial a variável que interessa é

o número de sucessos em um intervalo

discreto (n repetições de um experimento).

Muitas vezes, entretanto, o interesse é o

número de sucessos em um intervalo

contínuo, como o tempo, área, superfície,

etc.

Experimento

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Para determinar a f(x) de uma

distribuição deste tipo, será suposto que:

(i) Eventos definidos em intervalos não

sobrepostos são independentes;

(ii) Em intervalos de mesmo tamanho as

probabilidades de um mesmo número de

sucessos são iguais;

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(iii) Em intervalos muito pequenos a

probabilidade de mais de um sucesso é

desprezível.

(iv) Em intervalos muito pequenos a

probabilidade de um sucesso é proporcional

ao tamanho do intervalo.

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Se uma variável satisfaz estas quatro

propriedades ela é dita VAD de

POISSON. Se X é uma VAD de

POISSON, então a função de

probabilidade de X é dada por:

Definição:

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A Função de Probabilidade (fp)

“λλλλ” é denominada de taxa de sucessos

... 2, 1, 0, x para

!x

.e)xX(P)x(f

x

=

λ===

λ−

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A Função de Probabilidade (fp) - P(10)

0,00

0,03

0,06

0,09

0,12

0,15

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

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A Função de Distribuição (FD)

∑ ≥λ

<

=≤=

=

λx

0k

k-

0 x se !k

.e

0 x se 0

)xX(P)x(F

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Função de Distribuição - P(10)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

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λ=σX

Características:

Expectância ou Valor Esperado

λ= )X(E

Desvio Padrão

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O número de consultas a uma base

de dados computacional é uma VAD de

Poisson com λ = 6 em um intervalo de

dez segundos. Qual é a probabilidade de

que num intervalo de 5 segundos nenhum

acesso se verifique?

Exemplo:

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A taxa de consultas é de “seis” em

“dez” segundos em “cinco” segundos

teremos uma taxa de λ = 3 consultas.

Então:

%98,4e

0!

3.e 0) X(P)0(f

3-

0-3

==

====

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Considerando o exemplo dado na

Hipergeométrica, que foi resolvido,

também, pela Binomial, é possível ainda

utilizar a Poisson. Para isto deve-se

fazer λ = np.

Exemplo:

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%65,60e

0!

5,0.e 0) X(P)0(f

0,5-

0-0,5

==

====

Então:

λ = 10.0,05 = 0,5.

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Binomial: 59,85%

Hipergeométrica: 58,38%

Poisson: 60,65%

Como pode ser visto, nesse caso, é

possível resolver um mesmo problema,

utilizando três modelos diferentes.

Em resumo: