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©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 1/27Matemática Discreta I

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

Campus de Caraguatatuba

10 Semestre de 2013

Matemática Discreta 1 – MD 1 Prof. Lineu Mialaret

Aula 4: Matrizes (1)


Introdução (1)

Matriz pode ser definida como um conjunto de elementos dispostos de forma tabular, os quais podem representar por exemplo, números reais, números complexos e expressões, dentre outros.Normalmente uma matriz é delimitada por colchetes ou

chaves; eO tamanho da matriz é definido por seu número de linhas e

de colunas.Notação:

Implícita - Letras Maiúsculas – A ou A (em negrito ou não)– A ou A (em itálico ou não)– ou (uma matriz com m linhas e n colunas)–

nmA mnAnmA


Introdução (2)

Notação Explícita

O elemento , denominado de ij-ésima entrada ou elemento, aparece na linha i e na coluna j.

Uma matriz com m linhas e n colunas é uma matriz m x n, onde m e n determinam o tamanho da matriz.

ija


Introdução (3)

Duas matrizes A e B são iguais se tiverem o mesmo tamanho e se os elementos correspondentes forem iguais.Ou seja,

Há uma série de matrizes especiais, que serão apresentadas a seguir.

jiba ijij ,


Matriz Linha e Matriz Coluna

Matriz LinhaUma matriz A de tamanho 1 x n, ou seja, com uma linha e

n colunas.

Matriz ColunaUma matriz B de tamanho m x 1, ou seja, com m linhas e

uma coluna.

Obs.: Um vetor pode ser representado por essas matrizes.


Matriz Quadrada (1)

Matriz QuadradaUma matriz A é denominada de matriz quadrada se for de

tamanho n x n (ou m x m), ou seja, ela tem o mesmo número de linhas e colunas.

Exemplo 1: Matriz Quadrada A.


Matriz Quadrada (2)

Numa matriz quadrada A define-se a diagonal principal e a diagonal secundária. A diagonal principal é formada pelos elementos aij tais

que i = j. Na diagonal secundária, tem-se i + j = n + 1.


Matriz Diagonal

Matriz DiagonalUma matriz quadrada B é denominada de Matriz Diagonal

se apenas os elementos da diagonal são diferentes de zero, ou seja, se ela satisfaz a seguinte proposição a seguir,

Exemplo 2: Matriz Diagonal B.


Matriz Nula

Matriz NulaUma matriz A é denominada de Matriz Nula se todos os

seus elementos forem iguais a zero, ou seja, se ela satisfaz a seguinte proposição a seguir,

Exemplo 3: Matriz Nula A.


Matriz Identidade

Matriz IdentidadeUma matriz diagonal B é denominada de Matriz Identidade

(ou In) se todos os seus elementos da diagonal forem iguais a um, ou seja, se ela satisfaz a seguinte proposição a seguir,

Exemplo 4: Matriz Identidade B.


Matriz Triangular Superior

Matriz Triangular SuperiorUma matriz quadrada A é denominada de Matriz Triangular

Superior se todos os seus elementos abaixo da diagonal principal forem zero, ou seja, se ela satisfaz a seguinte proposição que se segue,

Exemplo 5: Matriz Triangular Superior A.


Matriz Triangular Inferior

Matriz Triangular InferiorUma matriz quadrada B é denominada de Matriz Triangular

Inferior se todos os seus elementos acima da diagonal principal forem zero, ou seja, se ela satisfaz a seguinte proposição a seguir,

Exemplo 6: Matriz Triangular Inferior B.


Matriz Simétrica

Matriz SimétricaUma matriz quadrada A ou B é denominada de Matriz

Simétrica se houver uma simetria dos seus elementos com relação à diagonal principal, ou seja se ela satisfaz a seguinte proposição a seguir,

Exemplo 7: Matrizes Simétricas A e B.


Matriz Densa

Matriz DensaUma matriz A é denominada de Matriz Densa se a maior

parte de seus elementos for diferente de zero.

Exemplo 8: Matriz Densa A.


Matriz Esparsa Matriz Esparsa Uma matriz é denominada de Matriz Esparsa se a maior parte de seus

elementos for igual a zero. Uma matriz diagonal é um exemplo de uma matriz esparsa quadrada.

Exemplo 9: Matrizes Esparsas.

Matrizes esparsas de alta ordem geralmente representam a solução de muitos problemas reais.


Matriz Transposta (1)

Matriz TranspostaA operação de transposição de uma matriz para se gerar a

Matriz Transposta se faz trocando suas linhas por suas colunas, de tal forma que a linha m se transforma na coluna n e a coluna n se transforma na linha j.

Notação: Exemplo 10: Matriz A e sua transposta AT. A ou AT

Exemplo 11: Vetor transposto.

jiijT aa


Matriz Transposta (2)

Exercício 1: Qual é a matriz transposta AT da matriz A apresentada a seguir?


Potência de Matrizes

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. As potências de A são definidas como se segue,


Operações com Matrizes (1)

Sejam duas matrizes A e B de dimensões iguais a m x n. A soma destas matrizes gera uma matriz C = A + B, construída de forma a atender a equação a seguir,

Exemplo 12: Soma das matrizes A e B.



Sejam duas matrizes A e B de dimensões iguais a m x n. A subtração dessas matrizes gera uma nova matriz D = A - B, construída de forma a atender a equação a seguir,

Exemplo 13: Subtração das matrizes A e B.



Seja um escalar e a matriz A com dimensão igual m x n. A multiplicação de um escalar (ou c) pela matriz A gera uma matriz F construída usando a equação a seguir,

Exemplo 14: Multiplicação das matrizes A e B.



Há uma série de propriedades nas operações algébricas das matrizes de soma e multiplicação por escalar.A + B = B + A; (A + B) + C = A + (B + C);(A + B) = A + B; ( + )A = cA + A; ()A = (A); (A + B)′ = A′ + B′; e (A)′ = A′.

Obs.:A e B matrizes; e e escalares.



Para a multiplicação de duas matrizes, seja A uma matriz de dimensão m x n e B uma matriz de dimensão p x q.

A multiplicação da matriz A pela matriz B só é possível se n = p, caso contrário se diz que as matrizes A e B são incompatíveis para a multiplicação.

Se as matrizes A e B são compatíveis, a multiplicação das matrizes gera uma nova matriz P = AB com cada elementos pij construído da seguinte forma a seguir,

A matriz P tem a dimensão m x q.



A multiplicação de duas matrizes A e B de dimensões iguais a m x n ocorre como apresentado a seguir,

E o ij-ésimo elemento cij é dado por como se segue,



Exemplo 15: Sejam as matrizes A e B dadas a seguir. Calcular a matriz AB.



Exercício 2: Sejam as matrizes A e B dadas a seguir. Calcular a matriz P = AB.



Há uma série de propriedades adicionais nas operações algébricas das matrizes (as matrizes A, B e C são de dimensões tais que os produtos abaixo sejam definidos).(AB)′ = B′A′ ou (AB)T = BTAT; C(AB) = (CA)B;A(B + C) = (AB + AC); eA(BC) = (AB)C.

Obs.: Em geral não vale a propriedade comutativa, ou seja,

AB≠BA; e Se AB = 0, isso não implica que A = 0 ou que B = 0.

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