Prof. Leandro Taddeo – Transformações Geométricas – Sistemas de Coordenadas Aula 3.

Prof. Leandro Taddeo

– Transformações Geométricas– Sistemas de Coordenadas

Aula 3

Transformações geométricas são operações que podem ser utilizadas visando a alteração de algumas características como posição, orientação, forma ou tamanho do objeto a ser desenhado Ex: dado um ponto no plano podemos

mudar sua posição através de transformações geométricas

Introdução2

Transformações Geométricas

T

10 unidades

Todas as transformações geométricas podem ser representadas na forma de equações Problema: manipulações de objetos gráficos

normalmente envolvem muitas operações de aritmética simples

Solução: matrizes são mais fáceis de usar e entender do que as equações algébricas

Padrão de coordenadas: Pontos no plano (x,y) Matrizes 2x2 Pontos no espaço tridimensional (x,y,z) Matrizes

3x3 Matriz de transformação: várias transformações

combinadas

Matrizes3


Dado um sistema de coordenadas, pode-se definir elementos neste sistema através de suas coordenadas Caso o sistema seja 2D

Pontos são definidos por 2 coordenadas Define-se um ponto pela sua distância

em relação ao centro dos eixos (2,1) 2 unidades distante de x=0

1 unidade distante de y=0

Representações4


x

y

(2,1)

1

2

Convencionalmente, representa-se um ponto na forma de um vetor linha ou vetor coluna Também corresponde à forma mais simples

de representação de uma matriz (linha ou coluna)

Representações5


1

21,2A

x

y

A(2,1)

1

2

Vetor linha Vetor coluna

O par pode servir para representar tanto o ponto quanto o vetor em si

Representações6


1

21,2A

x

y

A(2,1)

1

2

Vetor linha Vetor coluna

Diversas operações podem ser efetuadas entre pontos e vetores:1. Soma e subtração de vetores

t = v + u t = v + (- u)

Operações7


x

y

v

u

t=v+

u

x

y

v

-u

t=v+

(-u)

Diversas operações podem ser efetuadas entre pontos e vetores:1. Soma e subtração de vetores

t = v + u

Operações8


Seja u=[1,3] e v=[2,1],

o vetor resultante t=v+u será igual a:

t=[1+2,3+1] =[3,4]

Seja u=[1,3] e v=[2,1],

o vetor resultante t=v+u será igual a:

t=[1+2,3+1] =[3,4]x

y

v

u

t=v+

u

Obs: os vetores precisam ter as mesmas dimensões

Diversas operações podem ser efetuadas entre pontos e vetores:2. Multiplicação de um vetor por um escalar

(constante)u = 2v

Operações9


x

y

v

u=2v

v

Seja v=[2,1],

o vetor resultante u=2v será igual a:

u=[2*2,2*1] =[4,2]

Seja v=[2,1],

o vetor resultante u=2v será igual a:

u=[2*2,2*1] =[4,2]

Diversas operações podem ser efetuadas entre pontos e vetores:3. Soma de um ponto com um vetor

Q = P+v

Operações10


x

y

v

P

Q

Seja P=[2,3] e v=[2,-1],

o ponto resultante Q=P+v será igual a:

Q=[2+2,3-1] =[4,2]

Seja P=[2,3] e v=[2,-1],

o ponto resultante Q=P+v será igual a:

Q=[2+2,3-1] =[4,2]

Obs: os vetores e os pontosprecisam ter as mesmas dimensões

Diversas operações podem ser efetuadas entre pontos e vetores:4. Transposto de um vetor

v t

Operações11


x

y

v

Seja v=[3,1],

o vetor transposto resultante vt será igual a:

vt=[1,3]

Seja v=[3,1],

o vetor transposto resultante vt será igual a:

vt=[1,3]

vt

Algumas operações são também aplicadas a matrizes

Operações em Matrizes12


1010

1010

6473

8291

67

89

43

21

86

42

4232

2212

43

212

42

31

43

21t

Soma de matrizes Multiplicação de matriz por escalar

Transposta de uma matriz Multiplicação de matrizes

4555

2023

64737493

62817291

67

89

43

21

Obs: Algumas operações são limitadas pelo tamanho das matrizes

Podemos utilizar diferentes sistemas de coordenadas para descrever os objetos modelados em um sistema 2D Serve para nos dar uma referência de

tamanho e posição dos objetos

Introdução13

Sistemas de Coordenadas

Sistema de Referência: sistema de coordenadas cartesianas para alguma finalidade específica Deve-se especificar:

Unidade de referência básica Limites extremos dos valores aceitos para descrever os

objetos

Sistemas com denominação especial Sistema de Referência do Universo (SRU) Sistema de Referência do Objeto (SRO) Sistema de Referência Normalizado (SRN) Sistema de Referência do Dispositivo (SRD)

Introdução14


Sistemas com denominação especial15


Sistema de referência utilizado para descrever os objetos em termos das coordenadas utilizadas pelo usuário em determinada aplicação Também chamado de coordenadas do

universo, ou do mundo Ex:

Sistemas CAD de arquitetura o universo em metros ou centímetros

Sistemas CAD de mecânica de precisão o universo em milímetros ou nanômetros

Sistema de Referência do Universo (SRU)16


Cada objeto seja (ou possua) um miniuniverso individual Particularidades dos objetos descritas em

função de seu sistema O centro deste sistema costuma coincidir

com o centro de gravidade do objeto Na modelagem de sólidos, este centro é

conhecido como pivô

Sistema de Referência do Objeto (SRO)17


Trabalha com coordenadas normalizadas Em 2D:

0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1

Funciona como um sistema de referência intermediário entre o SRU e o SRD

Função principal: tornar a geração das imagens independente do dispositivo Coordenadas do universo são convertidas

para um sistema de coordenadas padrão normalizado

Sistema de Referência do Normalizado (SRN)18


Utiliza coordenadas que podem ser fornecidas diretamente para um dado dispositivo de saída Ex: número de pixels de monitores

640×480, 800×600

Sistema de Referência do Dispositivo (SRD)19


Exemplos20


Exemplos21


Exemplos22


A habilidade de representar um objeto em várias posições no espaço é fundamental para compreender sua forma A possibilidade de submetê-lo a diversas

transformações é muito importante para aplicações em C.G.

As transformações geométricas podem ser aplicadas em 2D ou 3D e os tipos principais são: Translação, rotação e escala

Aplicação23


Transladar significa movimentar o objeto, mas como é possível movimentar um objeto completo? Um objeto é formado pelo que?

Pontos Então, para movimentar um objeto, basta

movimentar os pontos que compõem o mesmo Como os pontos de um objeto podem ser

representados em um sistema de coordenadas, basta adicionar quantidades às suas coordenadas

Translação24


Translação – Exemplo25


Translação – Formalização26


Imagine um ponto (x,y) que representa um objeto Pode-se mover este objeto Tx unidades em

relação ao eixo x Pode-se mover este objeto Ty unidades em

relação ao eixo y A nova posição é representada por (x’,y’) e

pode ser escrita comox’ = x + Txy’ = y + Tyx’ = x + Txy’ = y + Ty

P’ = P + T[x’ y’] = [x y] + [Tx Ty]

P’ = P + T[x’ y’] = [x y] + [Tx Ty]

Representação na forma de vetores(soma de dois vetores)

ou

Translação – Formalização27


Também é possível representar a translação em um espaço 3D:

x’ = x + Txy’ = y + Tyz’ = z + Tz

x’ = x + Txy’ = y + Tyz’ = z + Tz

P’ = P + T[x’ y’ z’] = [x y z] + [Tx Ty Tz]

P’ = P + T[x’ y’ z’] = [x y z] + [Tx Ty Tz]

ou

Lembre-se que esta transformação deve ser aplicada a cada um dos pontos (P) que

formam um objeto

Escalonar significa mudar as dimensões de escala, mas como é possível escalonar um objeto completo? Basta multiplicar os valores de suas

coordenadas por um fator de escala Cada um dos vetores que compõem o

objeto são multiplicados por um mesmo fator de escala

Escala28


Escala – Exemplo29


Imagine um ponto (x,y) que representa um objeto Pode-se escalonar um objeto no eixo x

aplicando um fator de escala Sx a este ponto Pode-se escalonar um objeto no eixo y

aplicando um fator de escala Sy a este ponto A novo valor de suas coordenadas é

representado por (x’,y’) e pode ser escrito como

Escala – Formalização30


x’ = x * Sx

y’ = y * Sy

x’ = x * Sx

y’ = y * Sy

Representação matricial(multiplicação de vetor e matriz)

ou

y

x

S

Syxyx0

0''

Escala – Formalização31


Também é possível representar a escala em um espaço 3D:

x’ = x * Sx

y’ = y * Sy

z’ = z * Sz

x’ = x * Sx

y’ = y * Sy

z’ = z * Sz

ou

z

y

x

S

S

S

zyxzyx

00

00

00

'''

Para aplicar uma escala em um objeto, é necessário que o objeto esteja na origem dos eixos Caso contrário, essa operação de

multiplicação também fará com que o objeto translade

Escala – Observações32



Rotacionar significa girar

Ao lado é mostrado o exemplo de rotação de um único ponto O ponto P é

rotacionado rumo ao ponto P’

33

Rotação

Rotação – Exemplo34


90º

Se um ponto P, distante r=(x2+y2)1/2 for rotacionado de um ângulo θ em torno da origem, suas coordenadas que antes eram definidas por: x=r*cos(φ), y=r*sen(φ), passam a ser dadas por:

Rotação35


x’ = r . cos(θ + φ) = r * cos φ * cos θ – r * sen φ * sen θy’ = r . sen(θ + φ) = r * sen φ * cos θ + r * cos φ * sen θ

x’ = x * cos θ – y * sen θy’ = y * cos θ + x * sen θx’ = x * cos θ – y * sen θy’ = y * cos θ + x * sen θ

Que equivale a:

Imagine um ponto (x,y) que representa um objeto Pode-se rotacionar um objeto no plano xy

de um dado ângulo θ utilizando-se as expressões obtidas no slide anterior

A novo valor de suas coordenadas é representado por (x’,y’) e pode ser escrito como

Rotação – Formalização36


ou

cos

cos''

sen

senyxyx

x’ = x * cos θ – y * sen θy’ = y * cos θ + x * sen θx’ = x * cos θ – y * sen θy’ = y * cos θ + x * sen θ

Para aplicar uma rotação em um objeto, é necessário que o objeto esteja na origem dos eixos Caso contrário, essa operação também fará

com que o objeto translade

Rotação – Observações37


Como rotacionar um objeto em torno de um dado ponto?1. Transladar este ponto para a origem dos

eixos2. Efetuar a rotação3. Transladar o ponto para sua posição original

Rotação em Torno de um Ponto38


Obs: a mesma idéia é aplicada à escala

É possível aplicar a rotação em qualquer plano (xy, yz, xz)

Rotação 3D39


y

x

z

p

p'y

x

z

p

p'

y

x

zp

p'

Pode-se criar uma transformação geométrica através da composição de várias outras

Composição de Transformações Geométricas40


Aplique transformações geométricas para que o objeto fique como especificado

41

Exercício

y

x

y

x

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