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Logaritmos
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Qual é o tempo?
Giovanna ganhou 1 000 reais de seu pai pra
fazer sua festa de 15 anos. Ao receber o
dinheiro, no entanto, resolveu abri mão da
festa. É que ela queria comprar um computador.
Mas havia um problema: o computador que ela
queria custava 1 500 reais. O jeito era aplicar o
dinheiro que tinha, até conseguir o valor
necessário.
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Qual é o tempo?
Giovanna foi ao banco e conseguiu uma taxa de
5 % ao mês, capitalizados mensalmente.
Chegando em casa, ficou curiosa. Em quanto
tempo os 1000 reais aplicados se transfor-
mariam nos 1500 reais de que precisava?
Ela havia acabado de aprender a calcular juros
compostos. Fez, então, as suas contas.
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Veja os cálculos
Capital aplicado: C = 1 000
Taxa: 5 % ao mês = 0,05 ao mês
Montante pretendido: M = 1 500,00
M = C.(1 + i)t ⇒ 1 500 = 1 000 . (1,05)t
⇒ 1,05t = 1,5
Giovanna concluiu, portanto, que seu objetivo seria atingido no final do 9º mês de aplicação.
1,057 ≈ 1,4071,058 ≈ 1,4771,059 ≈ 1,551
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Qual é o expoente?
Como poderia ser obtido, com uma aproximação
razoável e sem utilizar o método das tentativas,
o valor de t na equação 1,05t = 1,6?
A teoria dos logaritmos é muito útil em
problemas como esse, que envolve a
determinação de um expoente.
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História
A invenção dos logaritmos ocorreu no início do
século XVII e é creditada ao escocês John Napier
e ao suiço Jobst Burgi.
Inicialmente seu objetivo era simplificar os
cálculos numéricos, principalmente em
problemas ligados à Astronomia e à Navegação.
A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se
mais simples e mais ágeis cálculos de
expressões como
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História
A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se
mais simples e mais ágeis cálculos de
expressões como
2,382,5
5,13,8 . √12,43
O valor dessa expressão equivale ao valor de
102,5.log 2,38 + (1/3).log 12,4 – 3,8.log 5,1
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História
Foi o matemático inglês Henry Briggs (1561 –
1631) quem propôs, inicialmente, a utilização do
sistema de logaritmos decimais. Afinal, o nosso
sistema de numeração utiliza justamente a base
10.
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História
Atualmente, são inúmeras as aplicações
tecnológicas dos logaritmos. Eles são úteis, por
exemplo, na resolução de problemas que
envolvem desintegração radiotiva, o
crescimento de uma população de animais ou
bactérias, etc.
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Trabalhando compotências de base 10
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A base 10
Todo número positivo pode ser escrito como
uma potência de base 10, ou como uma
aproximação dessa potência. Veja os exemplos:
1 = 100 0,1 = 10–1
10 = 101 0,01 = 10–2
100 = 102 0,001 = 10–3
1 000 = 103 0,0001 = 10–4
10 000 = 104 0,00001 = 10–5
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A base 10
Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um
número como potência de base 10. Em valores
aproximados apresentamos os exemplos:
2 = 100,301
3 = 100,477
7 = 100,845
11 = 101,041
13 = 101,114
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Exemplos
Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477,
escreva os números 4, 5 e 6 como potência de
base 10.
4 = 22 = (100,301)2 = 100,602
5 = = = 101 – 0,30110
2
10
100,301 = 100,699
6 = 2.3 = 100,301 . 100,477 = 100,301 + 0,477
= 100,778
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Exemplos
Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477,
escreva o número 60 como potência de base 10.
60 = 2.3.10 = 100,301 . 100,477 . 10
⇒ 60 = 100,301 + 0,477 + 1
⇒ 60 = 101,778
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Exemplos
Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477,
resolva a equação exponencial 2x = 12.
2x = 12 ⇒ 2x = 22.3
⇒ (100,301)x = (100,301)2 . 100,477
⇒ 100,301.x = 100,602 . 100,477
⇒ 100,301.x = 101,079 ⇒ 0,301.x = 1,079
⇒ x = 1,079
0,301 ⇒ x ≈ 3,585
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Logaritmocomo expoente
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Logaritmo como expoente
O conceito de logaritmo está associado à
operação potenciação: mais precisamente à
determinação do expoente. Veja:
2x = 8 ⇒ x = 3
No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2 , é igual ao expoente 3. Em símbolos,
log2 8 = 3
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Logaritmo como expoente
Observe: calcular o log2 8 é descobrir o
expoente ao qual se deve elevar a base 2, para
obter, como resultado, a potência 8.
Vale, portanto a equivalência:
log2 8 = 3 ⇔ 23 = 8
Calcular um logaritmo é obter um expoente.Logaritmo é o mesmo que expoente.
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Definição
Suponhamos dois reais positivos a e b (a ≠ 1).
Se ax = b, dizemos que x é o logaritmo de b na
base a (simbolicamente loga b = x).
loga b = x ⇔ ax = b
a é a base; b é o logaritmando ou antilogaritmo;
x é o logaritmo;
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log5 √25 = 2/3, porque 52/3 = √252
Exemplos
log2 32 = 5, porque 25 = 32
log3 (1/81) = –4, porque 3–4 = 81
log10 0,001 = –3, porque 10–3 = 0,001
3 3
De acordo com a definição, calcular um logaritmo é descobrir o expoente, ou seja, resolver uma equação exponencial.
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Exemplos
Calcular log4 8.
log4 8 = x ⇒ 4x = 8 ⇒ (22)x = 23
⇒ 22x = 23 ⇒ x = 3
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Exemplos
Calcular log1/3 √9.5
log1/3 √9 = x5 ⇒ 13
x
= √95
⇒ (3–1)x = 32/5 ⇒ 3–x = 32/5
⇒ –x = 2/5
⇒ x = –2/5
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Condição de existência do logaritmo
Da definição, concluímos que o logaritmo só
existe sob certas condições:
loga b = x ⇔
b > 0
a > 0
a ≠ 1
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Condição de existência
Analise quais seriam os significados de log2 (–4),
log(–2) 8, log7 0, log1 6 e log0 2, caso fossem
definidos.
log2 (–4) = x ⇒ 2x = –4 impossível
log–2 8 = x ⇒ (–2)x = 8 impossível
log7 0 = x ⇒ 7x = 0 impossível
log1 6 = x ⇒ 1x = 6 impossível
log0 2 = x ⇒ 0x = 2 impossível
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Observação
Muitas vezes, um logaritmo envolve variáveis.
Nesse caso, devemos analisar o domínio dessas
variáveis. Para isso, usamos as condições de
existência do logaritmo.
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Exemplos
Resolver a equação logx (2x + 8) = 2.
1o. Vamos analisar a condição de existência do logaritmo.
2x + 8 > 0
x > 0
x ≠ 1
⇒
x > –4
x > 0
x ≠ 1
⇒x > 0
x ≠ 1
2o. Usando a definição de logaritmo.
logx (2x + 8) = 2 ⇒ x2 = 2x + 8 ⇒ x2 – 2x – 8 = 0
⇒ x = –2 ou x = 4. ⇒ S = {4}
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Conseqüências da definição
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Conseqüências da definição
Admitindo-se válidas as condições de existência
dos logaritmos, temos os seguintes casos
especiais, que são conseqüências da definição.
loga 1 = 0
loga a = 1
loga ak = k
porque a0 = 1
porque a1 = a
porque ak = ak
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Exemplos
log3 3 = log10 10 = log3,7 3,7 = 1
log3 1 = log10 1 = log3,7 1 = 0
log3 39 = 9
log10 10–3 = –3
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Conseqüências da definição
Sabemos que loga k é o expoente ao qual se
deve elevar a base a para se obter k. Vale por
isso, a seguinte igualdade:
loga ka = k
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Exemplos
log5 3 5 = 3
1 + log2 6 2 = 21.2 log2 6
= 2.6 = 12
log3 5 9 = (32) log3 5
3 log3 5 2
= = 52 = 25
1 – log15 3 15 = log15 3151
15 =
15
3 = 5
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Sistema de logaritmos
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Sistema de logaritmos
Sistema de logaritmos é o conjunto de todos os
logaritmos numa determinada base. Entre os
infinitos sistema de logaritmos, destacam-se dois:
O sistema de logaritmos decimais utiliza a base
10. No cálculo de logaritmos decimais,
convenciona-se não escrever a base, ou seja, log x
é o mesmo que log10 x.
log x → logaritmo decimal de x (base 10)
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Exemplos
log 1000 = log10 1000 = 3
log 0,01 = log10 10–2 = –2
log 1 = log10 1 = 0
log 100 = log10 100 = 2
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Sistema de logaritmos
O sistema de logaritmos naturais ou neperianos,
utiliza, como base, o número irracional e.
Esse número foi introduzido por Euler, em meados
do século XVIII. Seu valor aproximado é
e = 2,71828.
O logaritmo natural de um número x pode ser
indicado por Ln x.
Ln x → logaritmo natural de x (base e)
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Exemplos
Ln e = loge e = 1
Ln 10 = loge 10 ≈ 2,3
Ln e3 = loge e3 = 3
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Observação
Chama-se co-logaritmo de a na base b (em
símbolos, cologb a) o oposto do logaritmo de a
na base b.
cologb a = – logb a
colog2 8 = – log2 8 = –3
colog3 (1/9) = – log3 (1/9) = 2
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Logaritmos decimais
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Logaritmos decimais
O primeiro a utilizar os logaritmos decimais foi o
matemático inglês Henry Briggs (1561-1631).
Foi ele quem construiu a primeira tábua de
logaritmos decimais.
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Tábua de logaritmos decimais
n log n n log n n log n n log n
1 0 11 1,041 21 1,322 31 1,491
2 0,301 12 1,079 22 1,342 32 1,505
3 0,477 13 1,114 23 1,362 33 1,519
4 0,602 14 1,146 24 1,380 34 1,531
5 0,699 15 1,176 25 1,398 35 1,544
6 0,778 16 1,204 26 1,415 36 1,556
7 0,845 17 1,230 27 1,431 37 1,568
8 0,903 18 1,255 28 1,447 ... ...
9 0,954 19 1,279 29 1,462 99 1,996
10 1 20 1,301 30 1,477 100 2
log 13 = 1,114ou
101,114 = 13
log 35 = 1,544ou
101,544 = 35
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Exemplos
Calcule os logaritmos decimais
a) log 10
b) log 10 000
c) log 1013
d) log 10–30
e) log 0,000001
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Exemplos
Consultando a tábua de logaritmos calcule
a) log 60 + log 31 – log 5
b) 100,903 + 101,505 – 1000,69
c) os valores de x e y tais que 10x = 26 e
1000y = 15
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Exemplos
Em valores aproximados, a tábua de logaritmos
mostra que log 13 = 1,114 ou 101,114 = 13. A
partir desses valores, sem uso de calculadora,
obtenha os números seguintes.
a) 102,114; 104,114; 100,114 e 1001,557.
b) log 130; log 13000; log 1,3 e log 1300
c) os valores de x e y tais que 10x = 0,13 e
13y = 103,342.
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Mudança de base
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Mudança de base
Observe uma calculadora científica. Ela permite
o cálculo apenas dos logaritmos decimais (tecla
log) e dos logaritmos naturais (tecla Ln).
Como obter então, numa calculadora, logaritmos
em outras bases?
Será possível achar, por exemplo, os valores de
log3 5 e log7 23?
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Mudança de base
Na tábua de logaritmos decimais, encontramos
que log10 23 = 1,362 e log10 7 = 0,845. A partir
deles, determine o valor log7 23.
log10 23 = 1,362 ⇒ 101,362 = 23
log10 7 = 0,845 ⇒ 100,845 = 7
log7 23 = x ⇒ 7x = 23
⇒ (100,845)x = 101,362 ⇒ 100,845.x = 101,362
⇒ 0,845.x = 1,3621,362
0,845 ⇒ x = = 1,612
log7 23 = log10 23
log10 7
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Fórmula de mudança de base
De modo geral, podemos calcular logba,
utilizando uma outra base k arbitrária. Para
isso, dividimos o logaritmo de a pelo logaritmo
de b, na base k escolhida.
logk a
logk bLogb a =
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Exemplos
Pela tecla Ln (logaritmo natural) de uma
calculadora, obtemos Ln 6 = 1,792 e Ln 2 = 0,693.
A partir desses valores, calcular log2 6.
loge 6
loge 2log2 6 =
Ln 6
Ln 2=
1,792
0,693= = 2,586
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Exemplos
Resolver a equação 5x = 20, dados os logaritmos
decimais log 5 = 0,699 e log 20 = 1,301.
5x = 20 ⇒ x = log5 20
log10 20
log10 5log5 20 =
log 20
log 5=
1,301
0,699= = 1,861
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Exemplos
Se logk x = 2, calcular logx (1/k).
logk (1/k)
logk xlogx (1/k) =
–1
2=
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Exemplos
Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcular log2 3.
log 3
log 2log2 3 =
0,48
0,30=
1o. Vamos a fórmula de mudança de base.
= 1,6
Observe que, log2 3 = 1,6 ⇔ 21,6 = 3.
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Exemplos
Escrevendo os logaritmos numa mesma base,
obtenha o valor mais simples do produto
log2 7 . Log7 13 . Log13 2
log 7
log 2.
1o. Vamos a fórmula de mudança de base.
log 13
log 7. log 2
log 13= 1
1
1
1
1
1
1
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Conseqüência – mudança de base
Compare os valores dos log5 25 e log25 5.
Compare, também, os valores log2 8 e log8 2.
Que conclusão se pode tirar dessas comparações?
Se logx y = 3/5, calcule logy x.
log5 25 = 2 e log25 5 = 1/2
log2 8 = 3 e log8 2 = 1/3
logb a = 1/loga b
logy x = 5/3
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Generalizando
Como conseqüência da fórmula de mudança de
base, temos:
loga a
loga blogb a =
1loga b
logb a =
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Propriedades dos logaritmos
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Propriedades dos logaritmos
O logaritmo tem uma particularidade importante.
Ele transforma operações mais complicadas em
operações mais simples.
Com as propriedades dos logaritmos podemos
transformar:
multiplicações em adições;
divisões em subtrações;
potenciações em multiplicações;
radiciações em divisões.
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Logaritmo do produto
Vamos calcular o valor do log 21, a partir dos
valores de log 3 = 0,477 e log 7 = 0,845.
log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3
log 7 = 0,845 ⇒ 100,845 = 7
log 21 = x ⇒ 10x = 21
⇒ 10x = 3.7 ⇒ 10x = 100,477.100,845
⇒ x = 0,477 + 0,845 ⇒ x = 1,322
⇒ 10x = 100,477 + 0,845
log 21 = log (3.7) = log 3 + log 7
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Logaritmo do produto
De modo geral, o logaritmo do produto de dois
números, numa certa base, é a soma dos
logaritmos desses números, na mesma base.
Loga (x.y) = loga x + loga y
Para o produto de três ou mais fatores, a propriedade continua válida.
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Exemplos
A partir de log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114,
calcular log 26 e log 2000.
log 26 = log (2.13) = log 2 + log 13
log 26 = 0,301 + 1,114 = 1,415
log 2000 = log (2.1000) = log 2 + log 1000
log 2000 = 0,301 + 3 = 3,301
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Exemplos
Sendo x e y reais positivos, decompor log3 (9xy)
numa soma de logaritmos.
log3 (9xy) = log3 9 + log3 x + log3 y
log3 (9xy) = 2 + log3 x + log3 y
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Exemplos
Transformar num único logaritmo e calcular o
valor da expressão log 4 + log 5 + log 50.
log 4 + log 5 + log 50 = log (4.5.50)
log 4 + log 5 + log 50 = log 1000 = 3
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Logaritmo do quociente
Vamos calcular o valor do log (3/2), a partir dos
valores de log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477.
log 2 = 0,301 ⇒ 100,301 = 2
log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3
log (3/2) = x ⇒ 10x = 3/2
⇒ 10x = 32
= 100,477
100,301= 100,477 – 0,301
⇒ x = 0,477 – 0,301 ⇒ x = 0,176
log (3/2) = log 3 – log 2
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Logaritmo do quociente
De modo geral, o logaritmo do quociente de dois
números, numa certa base, é a diferença dos
logaritmos desses números, na mesma base.
Loga = loga x – loga y xy
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Exemplos
A partir de log 2 = 0,301 obter log 5.
log 5 = log 102
= log 10 – log 2 = 1 – 0,301
⇒ log 5 = 0,699
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Exemplos
Se x e y são reais positivos, decompor em
parcelas log2 (x/4y).
log2 x4y
= log2 x – log2 4y
= log2 x – (log2 4 + log2 y)
= log2 x – (2 + log2 y)
= log2 x – 2 – log2 y
= log2 x – log2 y – 2
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Exemplos
Compor (transformar num único logaritmo) a
expressão E = log m – log 3 + 2 – log n.
1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmo decimal. log 100 = 2.
E = log m – log 3 + log 100 – log n
E = (log m + log 100) – (log 3 + log n)
E = (log 100m) – (log 3n)
E = log 100m3n
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Logaritmo da potência
Vamos calcular o valor do log 34, a partir do
valor de log 3 = 0,477.
log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3
log 34 = x ⇒ 10x = 34 ⇒ 10x = (100,477)4
⇒ x = 4 . 0,477 ⇒ x = 1,908
log 34 = 4 . log 3
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Logaritmo da potência
Generalizando, o logaritmo de uma potência, é
igual ao produto do expoente da potência pelo
logaritmo da base.
Loga xk = k . loga x
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Exemplos
A partir do log 3 = 0,477, calcular log 0,009.
log 0,009 = log 9100
= log 9 – log 100
= log 32 – 2 = 2 . log 3 – 2
= 2 . 0,477 – 2
= 0,954 – 2 = – 1,046
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Exemplos
Calcular log , a partir dos valores log 2 =
0,301, log 3 = 0,477 e log 13 = 1,114.
13√34
log 13√34
= log 13 + log √3 – log 4
= log 13 + log 31/2 – log 22
= log 13 + . log 3 – 2 . log 2 1 2
= 1,144 + 0,5.0,477 – 2.0,301
= 1,144 + 0,2385 – 0,601 = 0,7505
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Exemplos
Compor e simplificar a expressão
E = 2.log3 12 – log3 8 – 2 1 3
1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmo de base 3. (log3 9 = 2).
E = 2.log3 12 – log3 8 + log3 9 1 3
E = log3 122 – log3 81/3 + log3 9
E = log3 144 – log3 2 + log3 9 = log3 144 – log3 (2.9)
E = log3 144 – log3 18 ⇒ E = log3 144 18
= log3 8
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Utilizando as propriedades dos logaritmos complete a tabela de logaritmos decimais.
1 + 2A401 + B301 + A20110
B + E39I29G192B9
A + G382A + C28A + 2B183A8
K373B27F17C7
2(A+B)36A + E264A16A + B6
1–A + C352(1 – A)251 + B – A151 – A5
A + F343A + B24A + C142A4
B + D33H23E13B3
5A32A + D222A + B12A2
J31B + C21D1101
log nnlog nnlog nnlog nn
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Exemplos
(FGV-RJ) A tabela abaixo fornece os valores dos logaritmos naturais (base e) dos números inteiros de 1 a 10. Ela pode ser usada para resolver a equação exponencial 3x = 24, encontrando-se, aproximadamente,
a) 2,1.b) 2,3.c) 2,5.d) 2,7e) 2,9
x Ln x x Ln x
1 0,00 6 1,79
2 0,69 7 1,95
3 1,10 8 2,08
4 1,39 9 2,20
5 1,61 10 2,30
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Exemplos
Se log 2 = a e log 3 = b, escreva o log2 72 em
função de a e b.
log2 72 = log 72
log 2=
log 23.32
log 2
= log 23 + log 32
log 2=
3.log 2 + 2.log 3
log 2
= 3a + 2b
a