MOVIMENTO RETILÍNEO

Prof. Fábio de Oliveira BorgesCurso de Física I

Instituto de Física, Universidade Federal Fluminense

TEMPO E DESLOCAMENTOEm cinemática, os conceitos de tempo e posição são primitivos.

Um objeto é localizado pela sua posição ao longo de um eixoorientado, relativamente a um ponto de referência, geralmentetomado como a origem (x = 0). Exemplo:

O movimento de um objeto consiste na mudança de sua posiçãocom o decorrer do tempo.

Um conceito importante é o da relatividade do movimento: suadescrição depende do observador. Já a escolha da origem éarbitrária.

A trajetória é o lugar geométrico dos pontos do espaço ocupadospelo objeto que se movimenta.

VELOCIDADE MÉDIAMovimento mais simples

Movimento retilíneo uniforme

gráfico = reta x(t) = at+b

Característica principal deste movimento em percursos iguais, x=x3-x2=x2-x1,são descritos em intervalos de tempos

Logo, a velocidade média é definida como:

são descritos em intervalos de temposiguais, t=t3-t2=t2-t1.

VELOCIDADE MÉDIA

• Se x > 0 vm > 0 (movimento para a direita, ou no sentido dex crescente);• Se x < 0 vm < 0 (movimento para a esquerda, ou no sentidode x decrescente, “marcha à ré”).de x decrescente, “marcha à ré”).

Graficamente, v representa o coeficiente angular da reta nográfico posição (x) tempo (t).

VELOCIDADE ESCALAR MÉDIAA velocidade escalar média é uma forma de descrever a “rapidez” comque um objeto se move. Ela envolve apenas a distância percorrida,independentemente da direção e do sentido:

Em muitas situações vm=|vm|. Entretanto, essas duas velocidadespodem ser bastante diferentes. Exemplo: partícula parte de O, descreveuma circunferência de raio r e retorna a O, depois de decorrido umuma circunferência de raio r e retorna a O, depois de decorrido umtempo T. Neste caso:

A velocidade escalar é o módulo da velocidade; ela é destituída dequalquer indicação de direção e sentido.

DESLOCAMENTOO deslocamento unidimensional de um objeto num intervalo de

tempo (t2t1) é a diferença entre a posição final (x2) no instante t2 e aposição inicial (x1) no instante t1. Se fizermos t2=t, t1=t0 ex(t1)=x(t0)=x0 na equação da velocidade média, obtemos a “leihorária” do movimento retilíneo uniforme:

Graficamente:Graficamente:

MAIS DE VELOCIDADE MÉDIAQualquer movimento retilíneo não uniforme chama-se

“acelerado”.

Vamos estender a ideiacontida na equação davelocidade média a ummovimento aceleradodefinindo a velocidade médiaentre dois instantes de

Corresponde a velocidade média requerida por um movimentouniforme que partindo de x1 em t1, chegue a x2 em t2.

entre dois instantes detempo:

VELOCIDADE INSTANTÂNEAO que significa “velocidade num dado instante de tempo t”?

Em uma experiência de quedalivre com bolinhas, o gráfico xt tem asforma de uma parábola (fig. Ao lado),x = at2, onde a 5 m/s2, temos:

x(t)=5 t2

Qual é a velocidade instantânea paraQual é a velocidade instantânea parat= 2 s ? ( I) t = 1; II) t = 0,1; III)t = 0,01; ......)

VELOCIDADE INSTANTÂNEAConcluímos que: 15m/s < v < 25m/s; 19,0m/s < v < 21,0m/s; 19,95m/s < v < 20,05m/s . Isso sugere que o valor de v é:

v = 20 m/s para t = 2sEste valor é obtido da sequência anterior, quando t0 .Assim

Note que: t0 x0 , mas o quociente x/t 20m/s

VELOCIDADE INSTANTÂNEAAssim, para uma função x(t), o limite

Chama-se derivada de x em relação a t no ponto t0. No exemploanterior:

Exemplo: Calcule a derivada de x(t)=at2+bt+c, onde a, b e c = cte

VELOCIDADE INSTANTÂNEAA velocidade instantânea v(t) num instante t qualquer descrito porx=x(t) é dada por:

Da interpretação geométrica, a velocidade instantânea v(t0)representa o coeficiente angular da tangente ao gráfico xt no pontot0. Isto é o que chamamos de “declive” da curva no ponto.

VELOCIDADE INSTANTÂNEAInterpretação geométrica da derivada.

ALGUMAS DERIVADAS IMPORTANTES NA FISICA I

f(t) df(t)/dt

a f(t) + b g(t) a df(t)/dt + b dg(t)/dt

a = cte 0

un nun-1un nun-1

sen(t) cos(t)

cos t - sen(t)

et et

ln(u) u-1

O PROBLEMA INVERSOAgora, conhecendo a velocidade instantânea v(t) entre um dado

instante inicial t0 e um instante final t, vamos calcular o espaçopercorrido entre estes dois instantes, x(t)-x(t0).

Se um movimento for uniforme, asvelocidades instantânea e média seconfundem, v=vm=cte, e o gráfico é umareta paralela ao eixo das abscissas.Pela definição de velocidade média, oPela definição de velocidade média, oespaço percorrido entre t0=0 e t é:

Então, x(t)-x0 é numericamente igual a área da porção do gráfico vtlimitada pelas ordenadas t0=0 e t.

O PROBLEMA INVERSOConsideremos agora um movimento não-uniforme, em que v é

uma função qualquer de t.vamos subdividir o intervalo [ta,tb]

em um grande número de intervalosde largura t. Se t for infinitesimal,a velocidade variará muito pouconestes intervalos, e podemosaproximar a velocidade média desteaproximar a velocidade média desteintervalo pelo valor da velocidadeem um de seus extremos. Assim:

O PROBLEMA INVERSOSe prosseguirmos até tb, teremos:

Soma da área de todos os retângulos entre ta e tb.

no limite em que ti 0, temos:

Este limite é chamado de integral definida de v(t) entre os extremos ta

e tb, e é representada por:

ALGUMAS INTEGRAIS IMPORTANTES NA FISICA I

f(t) F(t)

a f(t) + b g(t) a F(t) + b G(t)

a = cte at

un, n -1 un+1/n+1un, n -1 un+1/n+1

sen(t) - cos(t)/

cos t sen(t)/

et et/

u-1 ln|u|

MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE

Aceleração é a medida da “rapidez” de variação da velocidadecom o tempo, ou seja, a aceleração mede a “velocidade de variaçãoda velocidade”.

Por analogia com a velocidade média, podemos definir a aceleraçãomédia no intervalo [t1,t2] por:média no intervalo [t1,t2] por:

ACELERAÇÃO MÉDIA

Observando a figura aolado, podemos concluir que:

1. Se v>0 e cresce a>0

2. Se v>0 e decresce a<02. Se v>0 e decresce a<0

3. Se v<0 e decresce a<0

4. Se v>0 e cresce a>0

5. Se v = cte a = 0

ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA

A aceleração média pode ser variável durante o movimento.

Por analogia com o já dito, para definir a aceleração instantâneano ponto p1, imaginamos que o ponto p2 da Figura se aproximacontinuamente do ponto p1, de modo que a aceleração média sejacalculada em intervalos cada vez menores.

ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA

ou seja, a aceleração instantânea é a derivada em relação ao tempoda velocidade instantânea. Logo:

Com está definição a aceleração instantânea passa a ser a segundaderivada da posição com relação ao tempo.

A interpretação geométrica da aceleração instantânea(“derivada”) e que em um gráfico de vt, a(t) é o coeficiente angularda tangente à curva no ponto correspondente ao instante t.

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICACom o auxílio da interpretação geométrica da derivada como o

coeficiente angular da tangente à curva e sabendo que v=dx/dt ea=dv/dt, podemos interpretar os gráfico a seguir.

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

Derivação

Integração

MOVIMENTO RETILÌNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

Um movimento retilíneo chama-se uniformemente aceleradoquando a aceleração instantânea é constante (independe do tempo):

Podemos usar as técnicas de solução do “problema inverso” paradeterminar a lei horária de um movimento uniforme acelerado.

Consideremos o movimento durante umintervalo de tempo [t0,t], onde t0 é o “instanteinicial” ( no gráfico ao lado t0=0).

que é a área do retângulo ao lado com t0=0.

MOVIMENTO RETILÌNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

O valor v(t0)=v0 da velocidade no instante inicial chama-sevelocidade inicial, então;

Vamos agora obter a lei horária do M.R.U.A.aplicando a ideia de integração abaixo no

A velocidade é uma função linear com o tempo no M.R.U.A.

aplicando a ideia de integração abaixo nográfico ao lado.

MOVIMENTO RETILÌNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

A área de um trapezóide (gráfico vt ao lado)pode ser calculada como a soma das áreashachurada de um retângulo e de umtriângulo dentro do intervalo [t0=0,t].

Então,

MOVIMENTO RETILÌNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

O valor x(t0)=x0 da posição no instante inicial chama-se posiçãoinicial.

lei horária do M.R.U.A. em função dos valores iniciais v0 e x0., o seu

gráfico é uma parábola.

MOVIMENTO RETILÌNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

Vamos agora, exprimir a velocidade no M.R.U.A. em função daposição. Para tanto, devemos eliminar o tempo t-t0;

Assim,

que é a expressão procurada.

MOVIMENTO RETILÌNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

Vamos agora, exprimir o M.R.U.A. em função da velocidade etempo. Para tanto, devemos eliminar a aceleração;

Assim,

que é a expressão procurada.

EQUAÇÕES DO MOVIMENTO RETILÌNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

QUEDA LIVREA aceleração constante de um corpo em quedalivre denomina-se aceleração da gravidade, eseu módulo é designado por g.

g = 9,80m/s2 = 980 cm/s2 = 32,2 pés/s2

(valor próximo à superfície terrestre)

O valor exato varia de um local para outro, demodo que normalmente fornecemos o valor deg na superfície terrestre com somente doisg na superfície terrestre com somente doisalgarismos significativos (9,8 m/s2).

ATENÇÃO: Como g é o módulo de umagrandeza vetorial, ele é sempre um númeropositivo. Se você considerar que o sentidopositivo está para cima, a aceleração énegativa (para baixo) e igual a -g. Tenhacuidado com o sinal de g na queda livre.

QUEDA LIVREComo o movimento em queda livre é um movimento retilíneouniformemente acelerado, se considerarmos a origem do referencial nasuperfície da terra, as equações de M.R.U.A. são transformadassubstituindo a por –g.

EXEMPLO: UMA MOEDA EM QUEDA LIVRE

Uma moeda de 1 euro é derrubada da Torre de Pisa. Ela parte dorepouso e se move em queda livre. A) Calcule sua posição e suavelocidade no instante t=3,0 s. B) Sabendo que a Torre de Pisa

mede 57m de altura, calcule avelocidade adquirida e o tempogasto pela moeda ao atingir o solo.(despreze a resistência do ar)

EXEMPLO: DOIS CORPOS COM ACELERAÇÕES DIFERENTES

Um motorista dirige a uma velocidade constante de 15,0 m/s quandopassa em frente a uma escola, onde a placa de limite de velocidadeindica 10,0 m/s. Um policial que estava parado no local da placaacelera sua motocicleta e persegue o motorista com uma aceleraçãoconstante de 3,0 m/s2

(a) Qual o intervalo desde o início da perseguição até o momento emque o policial alcança o motorista? (b) Qual é a velocidade do policialnesse instante? (c) Que distância cada veículo percorreu até essenesse instante? (c) Que distância cada veículo percorreu até essemomento?

FIM