Prof. Fábio Amorim - Aula 01 · além de ter o conhecimento da teoria, deverá estar bem treinado...

Curso: Estatística p/ ICMS RJ Teoria e Questões comentadas

Prof. Fábio Amorim - Aula 01

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Aula 01

Curso: Estatística p/ ICMS RJ

Professor: Fábio Amorim





Olá pessoal!

Vamos dar continuidade ao nosso curso de Estatística para o concurso

da SEFAZ/RJ, no cargo de Auditor Fiscal.

Antes, porém, é válido dar algumas dicas iniciais para que você

aproveite da melhor forma possível este curso.

A disciplina de Estatística requer do candidato um tempo considerável

para a realização das questões durante o concurso. Sendo assim, quanto mais

o candidato estiver preparado, menos tempo ele gastará para responder as

questões.

Nesse sentido é fundamental que vocês estejam bem “treinados” nessa

disciplina, e a melhor forma de fazer isso é praticar a resolução de questões.

Vocês vão perceber já nesta aula, que a prova de Estatística aplicada

pela Fundação Carlos Chagas segue um padrão bem definido. Não observamos

questões mirabolantes, que demandem do candidato um conhecimento além

do normal, entretanto, algumas questões podem ser trabalhosas.

Sendo assim, para fazer uma boa prova de Estatística, o candidato,

além de ter o conhecimento da teoria, deverá estar bem treinado na resolução

das questões. Caso contrário, o candidato pode se atrapalhar na hora de

resolver a questão e, no final, nem chegar à resposta correta.

Na próxima aula, trarei algumas dicas de estudos que eu acumulei

durante meu período de estudos para concursos.

Nesta aula, veremos um tema recorrente nas provas, que é a teoria das

probabilidades. Pelo Raio-X mostrado na aula 00, vocês podem perceber que

essa matéria teve grande incidência nas provas anteriores.

Então, vamos começar? Bons estudos!

Assunto Página

1- Introdução 04

2- Conceitos 05

3- Axiomas das probabilidades 08

4- Teoremas das probabilidades 09

5- Questões comentadas 16

6- Resumo final 58

8- Lista de exercícios 59

9- Gabarito 67

Aula 00 – Probabilidades





O estudo das probabilidades começou com os jogos de azar, como o

lançamento de dados, os jogos de roleta, de cartas, etc. A intenção, claro, era

dimensionar, de alguma forma, a chance de sucesso sobre cada aposta feita.

Sendo assim, caberia ao jogador arriscar mais naquelas situações em que a

probabilidade de ganho fosse maior.

Atualmente, o estudo das probabilidades está em todas as áreas, e,

também, no nosso dia-a-dia. Qual a probabilidade de o Brasil ser campeão da

Copa do Mundo? Qual a probabilidade de a inflação anual alcançar um

percentual superior a 6%? Qual a probabilidade de chover hoje na sua cidade?

Evidentemente, todos esses acontecimentos possuem um resultado

incerto. Caso contrário, não falaríamos em probabilidade. Porém, apesar de

serem imprevisíveis, é possível dimensionar a chance de acontecer, tendo

como base, entre outras possibilidades, dados de observações anteriores.

Por exemplo, são poucas as ocorrências de tornados no Brasil. Sendo

assim, qual a probabilidade de acontecer um tornado no próximo mês no

Estado de São Paulo? Para responder isso, é necessário realizar um

levantamento dos acontecimentos anteriores, bem como analisar outros

fatores que podem interferir nessa avaliação. Dessa forma, dado que

ocorreram 205 tornados entre 1990 e 2010, qual a chance de ocorrer esse

fenômeno no próximo mês?

A teoria das probabilidades é quem dará a resposta.

Assim, em resumo, podemos dizer que por meio da teoria das

probabilidades é possível quantificar a ocorrência de um evento

incerto, ou seja, de resultado imprevisível.

Vamos aos principais conceitos que envolvem as probabilidades!

2.1– Experimento Aleatório

Podemos conceituar o experimento, genericamente, como uma

observação ou realização de certa atividade, com o objetivo de alcançar um

determinado resultado.

A depender do experimento, esse resultado pode ser previamente

conhecido, ou então, imprevisível. Quanto ao primeiro caso, em que os

resultados são conhecidos, dizemos que os experimentos são

determinísticos. A Física e a Química possuem diversos exemplos de

experimentos determinísticos. Entre eles, pode-se citar a força da gravidade:

se jogarmos uma bola de vôlei para cima, é certo que, em condições normais,

essa bola sofrerá a ação da gravidade e cairá em direção ao chão. Se esse

2- Conceitos

1- Introdução





experimento for repetido diversas vezes, o resultado será conhecido, ou seja,

a bola cairá no chão em todos os experimentos.

Experimento determinístico

Quanto à segunda hipótese, em que os resultados são imprevisíveis,

dizemos que os experimentos são aleatórios. Nesses casos, o resultado

varia de um experimento para outro, dificultando, pois, a sua previsão. São

exemplos de experimentos aleatórios:

� Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima;

� Jogar uma moeda e observar o resultado, se cara ou coroa;

� Contar o número de peças defeituosas na produção diária de um

equipamento;

� Selecionar 20 pessoas de uma cidade e contar o número de pessoas que

ganham acima de R$ 1.000,00 por mês.

Experimento Aleatório

O estudo das probabilidades, portanto, se atém aos experimentos

aleatórios, haja vista que os resultados são desconhecidos. Sendo assim,

serão esses os experimentos explorados na presente aula.

Importante destacar, por fim, algumas características relativas à análise

dos resultados de um experimento aleatório:

� O experimento pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas

condições e o resultado continuará a ser incerto;





� Apesar de não se conhecer o resultado previamente, é possível

estabelecer os possíveis resultados para o experimento;

� Se o experimento for repetido diversas vezes, haverá uma

estabilidade da relação entre o número de sucessos (ocorrência de

um resultado esperado) e o número de repetições do experimento.

2.2– Espaço Amostral

Para cada experimento aleatório, define-se espaço amostral como o

conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento.

Normalmente é representado pela letra S ou Ω.

Assim, suponhamos o evento aleatório de lançamento de um dado

comum, de seis faces. O espaço amostral desse experimento é representado

pelo conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. No caso do lançamento de uma moeda, o

espaço amostral é o conjunto {cara, coroa}.

2.3– Evento

Evento é um conjunto de resultados do experimento, em outras

palavras, o evento é um subconjunto do espaço amostral. Normalmente é

representado por uma letra maiúscula do nosso alfabeto (�, �, . . . ). Por exemplo, se lançarmos um dado comum, alguns eventos podem

acontecer:

� Ocorrência de número par: � = {2, 4, 6}; � Ocorrência de um número menor que 3: � = {1, 2}; � Ocorrência do número 2: � = {2}.

Os eventos que possuem um único elemento, como o exemplo anterior,

� = {2}, são chamados de eventos elementares.

2.4– Operação entre Eventos

� União entre eventos

Sejam dois eventos A e B, dizemos que existe união entre os eventos

quando, em um determinado experimento, tem-se a ocorrência dos eventos A

ou B ou ambos. A união entre esses eventos é representada pela expressão

� ∪ �.

S





União de dois eventos: A ∪ B

Suponha-se o lançamento de um dado comum de seis faces

(experimento). O espaço amostral “S” desse experimento é dado pelo

conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Caso o evento A seja representado pelos números

pares, ou seja, � = {2, 4, 6}, e que o evento B sejam os números menores que

4, � = {1, 2, 3}, a união entre esses eventos, � ∪ �, é representado pelo evento

{1, 2, 3, 4, 6}.

� Intersecção de dois eventos

Sejam dois eventos A e B, dizemos que existe intersecção desses

eventos quando, em um determinado experimento, A e B ocorrerem

simultaneamente. A intersecção entre esses eventos é representada pela

expressão � ∩ �.

Interseção de dois eventos: A ∩ B

Tomando-se o exemplo anterior, em que � = {2, 4, 6} e � = {1, 2, 3}, a

intersecção � ∩ � é representada pelo evento {2}.

� Evento complementar

Seja A um evento qualquer, chamamos de evento complementar

aqueles eventos em que A não ocorre. O evento complementar de A é

representado pela expressão �∁.





Evento complementar do evento A: �∁

Tendo como base o exemplo anterior, em que � = {2, 4, 6}, o evento

complementar de A, �∁, é representado por {1, 3, 5}.

2.5– Probabilidades

Estabelecidos esses conceitos iniciais, podemos definir probabilidade de

um evento como a relação entre o número de vezes que um evento ocorre no

experimento e o número de vezes que o experimento é realizado.

Porém, para chegarmos ao resultado preciso da probabilidade, é

necessário realizar o experimento por diversas vezes, até que haja uma

estabilização entre o número de ocorrências do evento e o número de vezes

que o experimento ocorreu. Ou seja, ocorre uma quantificação mais precisa a

respeito da possibilidade do evento incerto.

Assim, se jogarmos uma moeda para o alto, o resultado pode ser “cara”

ou “coroa”. Se fizermos o lançamento dez vezes, não necessariamente, o

número de resultados “cara” vai ser igual a 5, ou 50% do número de

lançamentos.

Porém, se efetuarmos o mesmo experimento por 100.000 vezes, a

tendência é que o número de resultados “cara” represente um número muito

próximo a 50% do total de lançamentos.

Assim, caso o experimento seja repetido por diversas vezes, a

probabilidade de um evento tende a ser, portanto, a razão entre o número de

elementos desse evento, e o número de elementos do espaço

amostral.

Vamos ao exemplo para assimilarmos melhor esses conceitos.

� Se lançarmos um dado comum de seis faces, qual a

probabilidade de o resultado ser maior que 4?

R. Chamamos de A o evento em que a face superior do dado seja maior

que 4. Dessa forma, � = {5, 6}.





O espaço amostral, S, é representado pelo conjunto dos possíveis

resultados desse lançamento. Dessa maneira, � = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A probabilidade de ocorrência do evento A, P(A), pode ser calculada

pela expressão:

�(�) = �º �� !� �"�� º �� !� � #$ç� $�� &$� = 2

6 = 0,33

Percebam que a probabilidade P(A) está associada a um número. No

exemplo, a probabilidade é de 33%. Isso significa, conceitualmente, que a

quantificação da possibilidade de ocorrência do evento “maior que 4” é igual a

33%. Matematicamente, significa que se efetuarmos esse lançamento por

centenas, milhares de vezes, a tendência é que o número de lançamentos com

o resultado “maior que 4” seja igual a 33% do número total de lançamentos

feitos.

Apesar disso, a probabilidade sempre está ligada à incerteza, ou seja,

mesmo que a probabilidade seja de 33% para o evento “maior que 4”, pode

ocorrer de realizarmos 10, 20, 30 lançamentos, e não aparecer o evento

“maior que 4” em nenhuma das vezes!

Axiomas são postulados básicos sobre uma ciência. No caso do estudo

das probabilidades, temos três axiomas.

� Considerando P(A) como a probabilidade de ocorrência de um evento A,

pertencente a um espaço amostral S, então:

Axioma 1: A probabilidade de um evento A ocorrer é quantificada por

um número situado entre 0 e 1, para todo evento A pertencente ao espaço

amostral S.

Ou seja, ( ≤ *(+) ≤ ,, ∀+ ∈ /.

Ou seja, a probabilidade sempre estará entre o número “0” (evento impossível de ocorrer) e o número “1” (evento que ocorre com certeza).

Axioma 2: A probabilidade de ocorrer o evento espaço amostral S é

igual a 1.

Ou seja, *(/) = ,.

Suponhamos o lançamento de um dado comum, de seis faces. Desejamos saber a probabilidade de ocorrer o evento do espaço amostral, ou seja, que o resultado do lançamento esteja no conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Logicamente, a probabilidade de ocorrência desse evento é igual a 1, ou 100%, já que, em todo lançamento, o resultado será um dos elementos do espaço amostral. É um evento certo.

3- Axiomas das probabilidades





Axioma 3: Sejam A e B eventos pertencentes ao espaço amostral S. Se

a interseção entre os eventos A e B é um conjunto vazio, então a

probabilidade de ocorrência do evento � ∪ � é igual à probabilidade de

ocorrência do evento A, somada à probabilidade de ocorrência do evento B.

Se +, 0 ∈ / � + ∩ 0 = ∅, então, *(+ ∪ 0) = *(+) + *(0). Por exemplo, no lançamento de um dado comum, o evento A é

representado pelo conjunto {2}, e o evento B, pelo conjunto {3}. Como A e B

pertencem ao espaço amostral, ou seja, ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e � ∩ � = ∅,

então �(� ∪ �) = �(�) + �(�) = 1/6 + 1/6 = 0,33, onde � ∪ � = {2, 3}.

Pessoal, agora vamos explorar os principais teoremas decorrentes dos

axiomas das probabilidades.

4.1– Teorema do Evento Complementar

Sejam os eventos A e B pertencentes ao espaço amostral S.

De acordo com o teorema do evento complementar, a probabilidade do

evento �∁ ocorrer é calculada da seguinte forma:

�4�∁5 = �(�) − �(�) Como �(�) = 1 (�78��$ 2), então

*4+∁5 = , − *(+)

� Exemplo: No lançamento de um dado comum de seis faces, a

probabilidade de o resultado ser igual ao número 3 (evento A) é

igual a 1/6. Qual a probabilidade de o resultado não ser o

número 3 (evento complementar de A)?

R. O evento complementar de A é formado por todos os resultados

possíveis, que não o evento A. Sendo assim, �∁ = {1, 2, 4, 5, 6}, e a probabilidade

de ocorrência de �∁ é igual a:

�4�∁5 = 1 − �(�) = 1 − 16 = 5/6

4.2– Teorema da União

Dado o espaço amostral S, e os eventos A e B, tal que ambos

pertencem a S, a probabilidade da ocorrência de � ∪ � é dada pela expressão:

4- Teoremas das probabilidades





*(+ ∪ 0) = *(+) + *(0) − *(+ ∩ 0)

Vamos visualizar o diagrama a seguir para entender bem essa fórmula.

Se somarmos �(�) + �(�), apenas, iremos automaticamente somar

duplamente a probabilidade �(� ∩ �), por isso, precisamos descontá-la na

fórmula de �(� ∪ �).

O diagrama abaixo, portanto, retrata �(� ∪ �):

�(� ∪ �) = �(�) + �(�) − �(� ∩ �)

Normalmente, as questões do concurso que abordam o teorema da

união se restringem a dois eventos, como vocês verão nas questões

comentadas.

No entanto, é possível que apareçam questões com três eventos,

conforme o diagrama abaixo.

+





Para três eventos, a probabilidade de � ∪ � ∪ � é igual a:

�(� ∪ � ∪ �) = �(�) + �(�) + �(�) − �(� ∩ �) − �(� ∩ �) − �(� ∩ �) + �(� ∩ � ∩ �)

Sejam A, B e C três eventos quaisquer definidos em um

espaço amostral S. Então, P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩

C) refere-se à probabilidade da ocorrência de:

(A) um ou dois dos eventos.

(B) exatamente um dos eventos.

(C) pelo menos um dos eventos.

(D) no máximo dois eventos.

(E) pelo menos dois eventos.

R. Percebam que a expressão �(�) + �(�) + �(�)– �(� ∩ �) – �(� ∩ �)– �(� ∩ �) é parte da fórmula de �(� ∪ � ∪ �) vista anteriormente. Sendo assim:

�(� ∪ � ∪ �) = �(�) + �(�) + �(�) − �(� ∩ �) − �(� ∩ �) − �(� ∩ �) + �(� ∩ � ∩ �) ⇒ �(�) + �(�) + �(�) − �(� ∩ �) − �(� ∩ �) − �(� ∩ �) = �(� ∪ � ∪ �) − �(� ∩ � ∩ �)

Portanto, a expressão do enunciado é igual a �(� ∪ � ∪ �) − �(� ∩ � ∩ �). Desenhando o diagrama, podemos visualizar melhor essa probabilidade:





A área hachurada representa a expressão �(� ∪ � ∪ �) − �(� ∩ � ∩ �). Ou

seja, refere-se à probabilidade de ocorrer A ou B ou C ou (� ∩ �) ou (� ∩ �) ou

(� ∩ �). Ou seja, um ou dois eventos.

Resposta, letra A.

4.3– Teorema da Probabilidade Condicionada


pertencem a S. Denomina-se probabilidade condicionada, a probabilidade de

um evento A, dado a ocorrência de um evento B.

Em outras palavras, ocorre uma redução do espaço amostral, de S para

B. Assim, supondo-se a ocorrência de B, calcula-se a probabilidade de A.

Essa situação é representada pela expressão �(�|�), e pode ser

representada graficamente por:

O teorema da probabilidade condicionada permite calcular �(�|�) pela

expressão:

*(+|0) = *(+ ∩ 0)*(0)





4.4– Eventos Mutuamente Exclusivos

Dado dois eventos A e B, dizemos que estes são eventos mutuamente

exclusivos, ou disjuntos, quando � ∩ � = ∅, ou seja, a intersecção entre os

eventos de A e B é representada pelo conjunto vazio. Graficamente, podemos

representar por:

No caso de eventos mutuamente exclusivos, o teorema da união é

trazido pelo Axioma 3, visto anteriormente:

�(� ∪ �) = �(�) + �(�) − �(� ∩ �) ⇒ �(� ∪ �) = �(�) + �(�)

Já o teorema da probabilidade condicionada resulta em:

�(�|�) =�(� ∩ �)

�(�)

⇒ �(�|�) = 0

4.5– Teorema do Produto

Dado os eventos A e B pertencentes ao espaço amostral S. Pelo

Teorema do Produto, a probabilidade de ocorrência do evento � ∩ � é dada

por:

*(+ ∩ 0) = *(0) × *(+|0)

ou então

*(+ ∩ 0) = *(+) × *(0|+)

Esse teorema nada mais é do que uma consequência do teorema da

probabilidade condicionada.

0

0





4.6– Eventos Independentes

Eventos independentes são definidos como aqueles em que a

probabilidade de ocorrência de um evento não interfere na probabilidade de

ocorrência de outro.


pertencem a S, podemos representar os eventos independentes como:

�(�) = �(�|�) e �(�) = �(�|�)

Aplicando-se essa consideração no teorema do produto, temos:

�(�|�) =�(� ∩ �)

�(�)= �(�)

⇒ �(� ∩ �) = �(�) × �(�)

Percebam, pois, que, para eventos independentes, �(� ∩ �) = �(�) ×

�(�). No entanto, para eventos dependentes, �(� ∩ �) = �(�) × �(�|�) = �(�) ×

�(�|�).

� Exemplo: Em uma caixa existem três bolas, uma branca, uma

preta e outra vermelha. Se retirarmos da caixa duas bolas,

sendo que, a bola retirada na primeira é devolvida na caixa, qual

a probabilidade de as duas bolas retiradas serem brancas?

R. Percebam que a probabilidade da segunda retirada não é influenciada pela

primeira retirada, já que a primeira bola é recolocada na caixa. Sendo assim,

dizemos que a primeira e a segunda retirada são eventos independentes. Se

quisermos então calcular a probabilidade de retirar duas brancas, basta

considerarmos dois eventos:

� Evento A: retirada da primeira bola branca.

� Evento B: retirada da segunda bola branca.

A probabilidade do evento A é igual a 1/3, correto? O mesmo se aplica

ao evento B, já que existe a reposição. Dessa forma: P(A)=P(B)=1/3.

Portanto, para calcularmos a probabilidade de a primeira ser branca e a

segunda ser branca �(� ∩ �):, basta utilizarmos o teorema do produto aplicado

aos eventos independentes:

�(� ∩ �) = �(�) × �(�) =1

3×

1

3=

1

9

Um exemplo de evento dependente seria o mesmo exemplo anterior, no

entanto, sem recolocar a primeira bola retirada da caixa. Desse modo, as





probabilidades da segunda retirada estariam condicionadas às probabilidades

da primeira retirada.

(SEFAZ/RJ – FGV/2010) Se A e B são eventos independentes

com probabilidades �[�] = 0,4 e �[�] = 0,5 então �[� ∪ �] é igual a:

(A) 0,2 (B) 0,4 (C) 0,5 (D) 0,7 (E) 0,9

Resolução:

Pessoal, se A e B são eventos independentes, então �(� ∩ �) = �(�) × �(�). O

problema quer saber o valor de �(� ∪ �), assim, aplicando-se o teorema da

união, temos:

�(� ∪ �) = �(�) + �(�) − �(� ∩ �) = �(�) + �(�) − �(�) × �(�) �(� ∪ �) = 0,4 + 0,5 − 0,4 × 0,5 = 0,7

Resposta letra D.





1. (SEFAZ/RJ – FGV/2009) Os eventos A e B são tais que P(A) = 0,4 e

P(B) = 0,9. Assinale a única alternativa que apresenta um possível valor para

P(A ∩ B).

(A) 0,13 (B) 0,22 (C) 0,31 (D) 0,49 (E) 0,54

Resolução:

Inicialmente, precisamos considerar que �(�) ≥ �(� ∩ �)1 e �(�) ≥ �(� ∩ �). Sendo assim *(+ ∩ 0) ≤ (, B (I).

Depois, vamos aplicar o teorema da união, para relacionar �(� ∪ �) e �(� ∩ �): �(� ∪ �) = �(�) + �(�) − �(� ∩ �) �(� ∪ �) = 0,4 + 0,9 − �(� ∩ �) = 1,3 − �(� ∩ �)

Além disso, podemos aplicar o segundo axioma visto nesta aula, ou seja, que a probabilidade de qualquer evento deve ser igual ou inferior a 1.

�(� ∪ �) = 1,3 − �(� ∩ �) ≤ 1

⇒ *(+ ∩ 0) ≥ (, C (II)

Portanto, juntando (I) e (II) temos: 0,3 ≤ �(� ∩ �) ≤ 0,4.

Resposta, letra C.

2. (FCC-TRT/1ª-2011) Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço

amostral. Sabe-se que: P (A) = 0,4 e P (B) = 0,75. Nessas condições, é

verdade que:

(A) A e B são disjuntos.

(B) 0 ≤ �(� ∩ �) ≤ 0,05

(C) 0 ≤ �(� ∩ �) ≤ 0,10

(D) 0,15 ≤ �(� ∩ �) ≤ 0,40

(E) A e B são independentes

Resolução: (Método de Resolução idêntico ao anterior).

Inicialmente, precisamos considerar que �(�) ≥ �(� ∩ �) e �(�) ≥ �(� ∩�). Sendo assim *(+ ∩ 0) ≤ (, B (I).

1 Se �(�|�) =

D(E∩F)

D(F) e �(�|�) ≤ 1($78��$ 1), então

D(E∩F)

D(F)≤ 1 ⇒ �(�) ≥ �(� ∩ �)

5- Questões Comentadas





Depois, vamos aplicar o teorema da união, para relacionar �(� ∪ �) e �(� ∩ �). �(� ∪ �) = �(�) + �(�) − �(� ∩ �) �(� ∪ �) = 0,4 + 0,75 − �(� ∩ �) = 1,15 − �(� ∩ �)

Além disso, podemos aplicar o segundo axioma visto nesta aula, ou seja, que a probabilidade de um evento deve ser igual ou inferior a 1.

�(� ∪ �) = 1,15 − �(� ∩ �) ≤ 1

⇒ *(+ ∩ 0) ≥ (, ,G (II)

Portanto, juntando (I) e (II) temos: 0,15 ≤ �(� ∩ �) ≤ 0,4.

Resposta, letra D.

3. (FCC-SEPLAG/MG-2012) Antonio, Bruno e Celso disputaram uma

corrida. Dadas as condições físicas e de preparo, Bruno tem o triplo de

chances de vencer Antonio e Celso tem o quádruplo de chances de vencer

Bruno. Dessa forma, a probabilidade de Bruno vencer é de

(A) 1/16 (B) 3/16 (C) 3/4 (D) 3/8

Resolução: Vamos convencionar que:

� Probabilidade de Antonio ganhar: P(A)

� Probabilidade de Bruno ganhar: P(B)

� Probabilidade de Celso ganhar P(C)

Dadas as informações do enunciado:

�(�) = 3 × �(�) �(�) = 4 × �(�)

Os eventos P(A), P(B) e P(C) são mutuamente exclusivos, ou seja, �(� ∩ �) = �(� ∩ �) = �(� ∩ �) = ∅.

Além disso, considerando que a corrida sempre terá um vencedor, �(� ∪ � ∪ �) = 1

Sendo assim:

�(� ∪ � ∪ �) = �(�) + �(�) + �(�) = 1

�(� ∪ � ∪ �) = �(�)3 + �(�) + 4�(�) = 1

⇒ �(�) = 316

Resposta, letra B.





4. (FCC-SEPLAG/MG-2012) Em uma pesquisa realizada com 100 jovens,

40 são loiros, 30 usam óculos e 20 são loiros e usam óculos. Escolhendo um

desses jovens ao acaso, a probabilidade de que ele não use óculos é de

(A) 30% (B) 35% (C) 50% (D)70%

Resolução: Dadas as informações do enunciado, temos:

� nº total de jovens: �(�) = 100 (� #$ç� $�� &$�) � nº loiros: �(H) = 40

� nº usam óculos: �(I) = 30

� nº são loiros e usam óculos: �(H ∩ I) = 20

Probabilidade de usar óculos:

�(I) = �(I)�(�) = 30

100 = 30%

Probabilidade de não usar óculos (evento complementar):

�(I)∁ = 1 − �(I) �(I)∁ = 100% − 30% = 70%

⇒ �(I)∁ = 70%

Resposta, letra D.

5. (FCC-SEE/SP-2010) Uma avenida possui 3 semáforos, identificados

por A, B e C, funcionando de forma independente um do outro. Cada semáforo

deixa de funcionar com probabilidade de 1 em 1001. A probabilidade de que

dois dos três semáforos estejam funcionando e um esteja quebrado é de

(A) K.LMMM²LMML³ (B) 3 PLMMM

LMMLQK (C)

LMMM²LMML³ (D) 3 PLMMM

LMMLQRS (E)

LMMMLMML³

Resolução:

Probabilidade de o semáforo estar quebrado: �(T) = LLMML

Probabilidade de o semáforo estar funcionando: �(U) = 1 − LLMML = LMMM

LMML

Percebam que o problema pergunta a probabilidade de dois dos três semáforos estarem funcionando, sem especificar quais seriam. Sendo assim, nos interessa as seguintes combinações:

Semáforo A Semáforo B Semáforo C

Combinação M quebrado quebrado funcionando

Combinação N quebrado funcionando quebrado

Combinação O funcionando quebrado quebrado





Desse modo, precisamos calcular a probabilidade dessas três combinações que nos interessa.

Como são eventos independentes:

�(T ∩ U ∩ U) = �(T) × �(U) × �(U) = 11001 × 1000

1001 × 10001001 = 1000V

1001K

Os mesmos valores se aplicam a �(U ∩ T ∩ U) e �(U ∩ U ∩ T) Somando-se as três combinações, temos:

�(T ∩ U ∩ U) + �(U ∩ T ∩ U) + �(U ∩ U ∩ T) = 3 × 1000V

1001K

Resposta, letra A.

6. (FCC-TRT/6ª-2012) As probabilidades de um contador, A, demorar

uma, duas ou três horas para preencher uma declaração de imposto de

renda são dadas, respectivamente, por 1/4 , 1/2 e 1/4 . Dentre 5 declarações

escolhidas aleatoriamente e com reposição, das declarações que A deverá

elaborar, a probabilidade dele demorar para o preenchimento, em três delas 1

hora, em uma 2 horas e na restante 3 horas, é igual a

(A) 3/64 (B) 9/64 (C) 5/32 (D) 5/64 (E) 5/128

Resolução: Pessoal, precisamos calcular a probabilidade de que, nas declarações escolhidas, no total de cinco, três devem ter sido preenchidas em uma hora (A), uma em uma hora (B), e uma em duas horas (C).

� P(A)=1/4

� P(B)=1/2

� P(C)=1/4

Dentre as cinco amostras retiradas, com reposição, um dos conjuntos que nos interessa é representado por {A, A, A, B, C}.

Supondo, inicialmente, a ordem {A, A, A, B, C}, como são eventos independentes, sua probabilidade é calculada por:

�&�W$W8�8!$!� = �(�) × �(�) × �(�) × �(�) × �(�) = 14 × 1

4 × 14 × 1

2 × 14 = 1

512

No entanto, nos interessa não apenas {A, A, A, B, C}, mas também todas as permutações possíveis desse conjunto.

Portanto, precisamos calcular o número de permutações, considerando a repetição de 3 elementos A (conforme vimos na aula 0):

�XK = 5!

3! = 20 #� 8W8�8!$!�

Assim, além da amostra {A, A, A, B, C}, nos interessam outras 19.





Desse modo, a probabilidade de o contador demorar, em três declarações 1 hora, em uma declaração 2 horas, e na declaração restante, 3 horas, pode ser calculada por:

�&�W$W8�8!$!� = 20 × 1512 = 5

128

Resposta, letra E.

7. (FCC-TRE/SP-2012) Sabe-se que A, B e C são eventos

independentes, associados a um mesmo espaço amostral, com probabilidades

dadas, respectivamente, por 1/3, 1/5, 1/2. A probabilidade de que

exatamente dois desses eventos ocorram é igual a

(A) 1/10 (B) 2/15 (C) 7/30 (D) 1/3 (E) 11/30

Resolução: Para que dois desses eventos ocorram, é necessário calcular �(� ∩ �), �(� ∩ �) � �(� ∩ �), sem considerar a intersecção �(� ∩ � ∩ �).

Como são eventos independentes, a probabilidade pode ser calculada por:

�(� ∩ �) = �(�) × �(�) = 13 × 1

5 = 115

�(� ∩ �) = �(�) × �(�) = 13 × 1

2 = 16

�(� ∩ �) = �(�) × �(�) = 15 × 1

2 = 110

�(� ∩ � ∩ �) = �(�) × �(�) × �(�) = 13 × 1

5 × 12 = 1

30

� 8�, �(� ∩ �) + �(� ∩ �) + �(� ∩ �) − 3 × �(� ∩ � ∩ �) =

= 115 + 1

6 + 110 − 3 × 1

30 = 730

Resposta, letra C.





8. (FCC-METRO/SP-2008) Em uma cidade em que existem somente os

jornais A e B, 20% da população lê somente o jornal A, 15% lê o jornal A e o

jornal B e 10% não lê nenhum dos jornais. Escolhendo aleatoriamente uma

pessoa desta cidade, a probabilidade dela ler um e somente um dos jornais é

de

(A) 55% (B) 60% (C) 65% (D) 70% (E) 75%

Resolução: dadas as informações do enunciado, convencionamos que:

� Probabilidade de a pessoa ler o jornal A: P(A)

� Probabilidade de a pessoa ler o jornal B: P(B)

a) Informa o enunciado que 20% da população leem somente A, então:

�(�) − �(� ∩ �) = 20%

b) Além disso, que 15% da população leem o jornal A e o jornal B, assim:

�(� ∩ �) = 15% ⇒ �(�) = 35% c) Por fim, 10% não leem nenhum dos jornais, portanto:

�(� ∪ �)∁ = 10% d) O enunciado pergunta a probabilidade de que o escolhido leia apenas o

jornal B, ou, apenas o jornal A. Sendo assim, precisamos somar as parcelas [�(�) − �(� ∩ �)] e [�(�) − �(� ∩ �)]. Para tal, precisamos calcular P(B):

Aplicando o teorema do evento complementar:

�(� ∪ �)∁ + �(� ∪ �) = 100%

⇒ �(� ∪ �) = 100% − �(� ∪ �)∁ = 100% − 10% = 90% Aplicando o teorema da união dos eventos:

�(� ∪ �) = �(�) + �(�) − �(� ∩ �) 90% = 35% + �(�) − 15%

⇒ �(�) = 70%

e) Calculando, finalmente, [�(�) − �(� ∩ �)] e [�(�) − �(� ∩ �)]:

� �(�) − �(� ∩ �) = 70% − 15% = 55%

� �(�) − �(� ∩ �) = 20% (!$!� !� #&�W��$) Portanto,

[�(�) − �(� ∩ �)] + [�(�) − �(� ∩ �)] = 55% + 20% = 75% Resposta, letra E.





9. (FCC-TRT/7ª-2009) O grupo que trabalha num departamento de uma

empresa estatal é composto de 3 analistas e 4 advogados. Se 4 indivíduos são

escolhidos aleatoriamente e se lhes atribui um projeto, a probabilidade de que

o grupo do projeto tenha exatamente 2 analistas é

(A) 2/17 (B) 4/15 (C) 9/17 (D) 5/19 (E) 18/35

Resolução:

Pessoal, apresento a resolução desse problema por dois métodos

diferentes!

Método 1

Precisamos calcular a probabilidade de que a escolha tenha dois analistas, ou seja, precisamos estudar o experimento, cujo evento é formado por dois analistas (n) e dois advogados (a). Vamos supor que a ordem de escolha tenha sido � = {�, �, $, $}.

Neste caso, supondo-se a escolha primeiramente de um analista, temos a seguinte probabilidade:

�(�L) = �º �� !8 #��í"�8 !� $�$�8 �$ �º ��$� !� �� !8 #��í"�8 = 3

7

A probabilidade de a segunda escolha ter sido um analista é dada por:

�(�V|�L) = �º �� !8 #��í"�8 !� $�$�8 �$ �º ��$� !� �� !8 #��í"�8 = 2

6

A probabilidade de a terceira escolha ter sido um advogado é dada por:

�($K|�L ∩ �V) = �º �� !8 #��í"�8 !� $!"�\$!� �º ��$� !� �� !8 #��í"�8 = 4

5

A probabilidade de a quarta escolha ter sido um advogado é dada por:

�($]|�L ∩ �V ∩ $K) = �º �� !8 #��í"�8 !� $!"�\$!� �º ��$� !� �� !8 #��í"�8 = 3

4

Aplicando o teorema do produto para todos os quatro elementos, temos que:

P(�L ∩ �V ∩ $K ∩ $]) = �($]|�L ∩ �V ∩ $K) × �($K|�L ∩ �V) × �(�V|�L) × �(�L) =

= 34 × 4

5 × 26 × 3

7 = 335

Ou seja, basta apenas efetuar o produto das probabilidades condicionadas. No entanto, não nos interessa somente a ordem {�, �, $, $}, mas também as demais permutações desses elementos: {�, $, �, $}, {$, �, $, �}, ��^. Precisamos, pois, calcular o número de permutações:





�]V,V = 4!

2! 2! = 6 #� 8W8�8!$!�

Desse modo, a probabilidade de que o grupo do projeto tenha exatamente 2 analistas é calculada por:

� = 6 × 335 = 18

35

Resposta, letra E.

Método 2

R. Precisamos calcular a probabilidade de que a escolha tenha dois analistas, ou seja, precisamos estudar o evento A, cuja amostra é formada por dois analistas (n) e dois advogados (a). � = {�, �, $, $}

a) A probabilidade de ocorrência do evento A é dada pela razão:

�(�) = �º #� 8W8�8!$!� !� �"�� º #� 8W8�8!$!� !� � #$ç� $�� &$�

b) Vamos calcular, inicialmente, o número de possibilidades do espaço amostral desse experimento.

O espaço amostral é representado por todas as seleções, com quatro elementos. Assim, temos um conjunto com 7 elementos e precisamos, dele, extrair apenas 4. Sendo assim, duas técnicas de contagem seriam possíveis, ou o arranjo ou a combinação.

Mas percebam que não importa a ordem das seleções. Sendo assim, conforme vimos na aula 0, a técnica de contagem mais adequada para essa situação é a combinação. Desse modo, temos que contar o número de combinações possíveis de 7 elementos, tomados 4 a 4, ou seja, �_, ` = �a, ].

�a, ] = 7!(7 − 4)! 4! = 7!

3! 4! = 7 × 6 × 5 × 4!3! × (4 × 3 × 2 × 1) = 35 #� 8W8�8!$!�

c) Agora, vamos contar o número de possibilidades de ocorrer o evento A: {�, �, $, $} Temos 3 analistas e precisamos selecionar, destes, 2 analistas. Essa vai

ser nossa tarefa T1. Além disso, temos 4 advogados e precisamos selecionar, destes, 2 advogados. Essa vai ser nossa tarefa T2. Após calcularmos T1 e T2, iremos aplicar o princípio fundamental da contagem para calcular, finalmente, o número de possibilidades de ocorrer o evento A.

Tarefa T1: Não importa a ordem de escolha. Dessa forma, precisamos calcular a combinação de 3 elementos tomados 2 a 2, ou seja, C3, 2.

�K, V = 3!(3 − 2)! 2! = 3!

1! 2! = 3 × 2!1! × 2! = 3 #� 8W8�8!$!�





Tarefa T2: Não importa a ordem de escolha. Dessa forma, precisamos calcular a combinação de 4 elementos tomados 2 a 2, ou seja, C4, 2.

�], V = 4!(4 − 2)! 2! = 4!

2! 2! = 6 #� 8W8�8!$!�

Princípio Fundamental da Contagem: para calcularmos o número de possibilidades da tarefa T1, seguida da tarefa T2:

d) Por fim, podemos calcular a probabilidade P(A).

�(�) = �º #� 8W8�8!$!� !� �"�� º #� 8W8�8!$!� !� � #$ç� $�� &$� = 18

35

Resposta, letra E.

10. (FCC-SEED/SE-2003) Nelson tem no bolso 4 cartelas iguais. Em uma

cartela está escrita a letra N, na outra, a letra U, na outra, a letra P, e na

última a letra E. Nelson vai retirar sem olhar, uma cartela de cada vez de seu

bolso. Qual é a probabilidade dele conseguir formar, na ordem de retirada, a

palavra PNEU?

(A) 1/48 (B) 1/24 (C) 1/12 (D) 1/8 (E) 1/4

Resolução:

Método 1

Na primeira retirada, Nelson terá que conseguir a Letra P, entre quatro cartelas:

�(�) = �º �� !� �"�� º �� !� � #$ç� $�� &$� = 1

4

Na segunda retirada, Nelson terá que conseguir a Letra N, entre três cartelas:

�(b|�) = �º �� !� �"�� b�º �� !8 #��í"�8 = 1

3

Na terceira retirada, Nelson terá que conseguir a Letra E, entre duas cartelas:

�(c|� ∩ b) = �º �� !� �"�� c�º �� !8 #��í"�8 = 1

2

Na quarta retirada, Nelson terá apenas a letra U para retirar:

Tarefa 1 Tarefa 2

3 x 6 = 18 possibilidades _____ _____





�(d|� ∩ b ∩ c) = �º �� !� �"�� d�º �� !8 #��í"�8 = 1

1

Como todos os eventos devem ocorrer:

�(� ∩ b ∩ c ∩ d) = �(�) × �(b|�) × �(c|� ∩ b) × �(d|� ∩ b ∩ c) =

= 14 × 1

3 × 12 × 1

1 = 124

Resposta, letra B.

Método 2

Outra forma de resolver é considerar que existe uma possibilidade de, a partir das letras (e, n, p, u), conseguirmos retirar as letras na ordem {p, n, e, u}. Todavia, outras possibilidades podem ocorrer, como {n, p, u, e}, {e, p, u, n}, e assim por diante. Para calcular o número total de possibilidades de ordenar as letras (e, n, p, u), basta calcular a permutação desses 4 elementos.

Dessa forma a probabilidade de obter a palavra pneu, nesta ordem é:

�(#��e) = �º #� 8W8�8!$!� !� {#, �, �, e}�º !� #�&�e�$çõ� = 1

�]= 1

4! = 124

Resposta, letra B.

11. (SEFAZ/RJ – FCC/2013) Um lote de determinado artigo é formado

por 8 bons e 4 defeituosos. Desse lote, é extraída uma amostra aleatória, sem

reposição, de 3 artigos. A probabilidade dessa amostra conter no máximo um

artigo bom é

(A) LK

LMM (B) LKXX (C)

aXX (D)

gLLM (E)

gXX

Resolução:

Pessoal, precisamos calcular a probabilidade de que a extração da amostra tenha, no máximo, um artigo bom. Nessa situação, interessa para nós dois eventos:

� O evento A, cuja amostra é formada por três elementos defeituosos, apenas. � = {!, !, !}

� O evento B, cuja amostra é formada por dois elementos defeituosos e um elemento bom. � = {!, !, �}

Método 1

a) Inicialmente, vamos calcular a probabilidade do evento A

Nessa amostra, o primeiro elemento extraído tem que ser defeituoso:





�(!L) = �º �� !�h�8�e� � �º �� !8 #��í"�8 = 4

12

O segundo elemento extraído tem que ser defeituoso:

�(!V|!L) = �º �� !�h�8�e� � �º �� !8 #��í"�8 = 3

11

O terceiro elemento extraído tem que ser defeituoso:

�(!K|!L ∩ !V) = �º �� !�h�8�e� � �º �� !8 #��í"�8 = 2

10


�(!L ∩ !V ∩ !K) = �(!L) × �(!V|!L) × �(!K|!L ∩ !V) = 412 × 3

11 × 210 = 1

55

b) Agora, vamos calcular a probabilidade do evento B. Vamos supor, inicialmente, que a ordem seja � = {!, !, �}. Nessa amostra, o primeiro elemento extraído tem que ser defeituoso:

�(!L) = �º �� !�h�8�e� � �º �� !8 #��í"�8 = 4

12

O segundo elemento extraído tem que ser defeituoso:

�(!V|!L) = �º �� !�h�8�e� � �º �� !8 #��í"�8 = 3

11

O terceiro elemento extraído tem que ser bom:

�(�K|!L ∩ !V) = �º �� W�� º �� !8 #��í"�8 = 8

10


�(!L ∩ !V ∩ �K) = �(!L) × �(!V|!L) × �(�K|!L ∩ !V) = 412 × 3

11 × 810 = 4

55

No entanto, não nos interessa apenas a ordem {!, !, �}, mas também {!, �, !} e {�, !, !}, no total de três possibilidades.

Portanto, a probabilidade do evento B é calculada por

�(�) = 3 × 455 = 12

55

c) Sendo assim, como nos interessa P(A)+P(B)

�(�) + �(�) = 155 + 12

55 = 1355

Resposta, letra B.





Método 2

a) As probabilidades de ocorrência dos eventos A e B são dadas pelas razões:

�(�) = �º #� 8W8�8!$!� !� �"�� º #� 8W8�8!$!� !� � #$ç� $�� &$�

�(�) = �º #� 8W8�8!$!� !� �"�� º #� 8W8�8!$!� !� � #$ç� $�� &$�


O espaço amostral é representado por todas as amostras, com três elementos, possíveis de serem extraídas do lote com 8 artigos bons e 4 defeituosos. Assim, temos um conjunto com 12 elementos e precisamos, dele, extrair apenas 3. Sendo assim, duas técnicas de contagem seriam possíveis, ou o arranjo ou a combinação.

Mas percebam que não importa a ordem das extrações. Sendo assim, conforme vimos na aula 0, a técnica de contagem mais adequada para essa situação é a combinação. Desse modo, temos que contar o número de combinações possíveis de 12 elementos, tomados 3 a 3, ou seja, �_, ` = �LV, K.

�LV, K = 12!(12 − 3)! 3! = 12!

9! 3! = 12 × 11 × 10 × 9!9! × (3 × 2 × 1) = 220 #� 8W8�8!$!�

c) Agora, vamos contar o número de possibilidades de ocorrer o evento A: {!, !, !} Como temos no lote 4 artigos defeituosos, e precisamos extrair dele,

três defeituosos. Podemos contar o número de possibilidades fazendo uma combinação desses 4 artigos defeituosos, tomados 3 a 3, haja vista que, também, não nos interessa a ordem de retirada dos artigos.

Portanto, �_, ` = �], K = ]!(]iK)!K! = ]!

L!K! = ]×K!L×K! = 4 #� 8W8�8!$!�

d) Agora, vamos contar o número de possibilidades de ocorrer o evento B: {!, !, W} Temos 4 artigos defeituosos e precisamos extrair, destes, 2 defeituosos.

Essa vai ser nossa tarefa T1. Além disso, temos 8 artigos bons e precisamos extrair, destes, 1 bom. Essa vai ser nossa tarefa T2. Após calcularmos T1 e T2, iremos aplicar o princípio fundamental da contagem para calcular, finalmente, o número de possibilidades de ocorrer o evento B.

Tarefa T1: Não importa a ordem de retirada. Dessa forma, precisamos calcular a combinação de 4 elementos tomados 2 a 2, ou seja, C4, 2.

�], V = 4!(4 − 2)! 2! = 4!

2! 2! = 4 × 3 × 2!2! × 2! = 6 #� 8W8�8!$!�





Tarefa T2: Não importa a ordem de retirada. Dessa forma, precisamos calcular a combinação de 8 elementos tomados 1 a 1, ou seja, C8, 1.

�j, L = 8!(8 − 1)! 1! = 8!

7! 1! = 8 × 7!7! × 1! = 8 #� 8W8�8!$!�

Princípio Fundamental da Contagem: para calcularmos o número de possibilidades da tarefa T1, seguida da tarefa T2:

e) Por fim, podemos calcular a probabilidade P(A) e P(B).

�(�) = �º #� 8W8�8!$!� !� �"�� º #� 8W8�8!$!� !� � #$ç� $�� &$� = 4

220

�(�) = �º #� 8W8�8!$!� !� �"�� º #� 8W8�8!$!� !� � #$ç� $�� &$� = 48

220

Como nos interessam as duas hipóteses, �(�) + �(�) = ]VVM + ]j

VVM = XVVVM = LK

XX.

Resposta, letra B.

12. (SEFAZ/RJ – FGV/2009) Um torneio será disputado por 4 tenistas

(entre os quais A e B) de mesma habilidade, isto é, em qualquer jogo entre

dois dos quatro jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar. Na

primeira rodada, eles se enfrentarão em dois jogos, com adversários definidos

por sorteio. Os vencedores disputarão a final. A probabilidade de que o torneio

termine com A derrotando B na final é:

(A) 1/2 (B) 1/4 (C) 1/6 (D) 1/8 (E) 1/12

Resolução:

Na primeira rodada, temos as seguintes opções de confrontos:

Evento X

Evento Y

Evento Z

Tarefa 1 Tarefa 2

6 x 8 = 48 possibilidades ______ _______

A x B C x D

A x C B x D

A x D B x C





A probabilidade de ocorrência de cada um desses eventos é

�(k) = �(l) = �(m) = 1/3

Evento X:

Supondo a ocorrência do evento X, a probabilidade de A e B irem para a final é igual a zero, haja vista que esses jogadores irão se enfrentar na semifinal.

Evento Y:

Para esse caso, a probabilidade do tenista A vencer o tenista C e conquistar uma vaga na final é igual a 1/2. O mesmo valor se aplica à probabilidade do tenista B vencer o tenista D na semifinal, 1/2.

Como são eventos independentes, ou seja, a probabilidade de ocorrência do resultado de um jogo não interfere no outro, a probabilidade de ocorrência de ambos os eventos (Y1) é calculada pelo teorema do produto:

�(lL|l) = 1/2 × 1/2 = 1/4. Assim, precisamos calcular a probabilidade de ocorrência do evento lL ∩ l:

�(lL ∩ l) = �(l) × �(lL|l) = 13 × 1

4 = 112

Além disso, precisamos considerar a probabilidade de A vencer B nessa final (evento lV,), ou seja:

�(lV ∩ [lL ∩ l]) = �(lL ∩ l) × �(lV|lL ∩ l) = 112 × 1

2 = 124

Portanto, a possibilidade de ocorrer o evento Y, juntamente com o evento lL e lV, é igual a 1/24.

Evento Z:

Esse caso é análogo ao evento Y, haja vista que apenas houve uma troca entre os adversários de A e B na semifinal, o que não altera a probabilidade calculada anteriormente, assim:

�(mV ∩ mL ∩ m) = �(mL ∩ m) × �(mV|mL ∩ m) = 112 × 1

2 = 1/24

Conclusão: Como nos interessa tanto as probabilidades calculadas para

a vitória de A sobre B nos eventos X, Y e Z, a probabilidade desses eventos é

igual a:

Probabilidade = 0 + 1/24 + 1/24 = 2/24 = 1/12 Resposta, letra E.





13. (FCC-TRT/1ª-2011) Após o lançamento de um novo modelo de

automóvel observou-se que 20% deles apresentavam defeitos na suspensão,

15% no sistema elétrico e 5% na suspensão e no sistema elétrico.

Selecionaram-se aleatoriamente e com reposição 3 automóveis do modelo

novo. A probabilidade de pelo menos dois apresentarem algum tipo de defeito

é

(A) 0,354 (B) 0,324 (C) 0,316 (D) 0,296 (E) 0,216

Resolução: Pessoal, precisamos calcular a probabilidade de que os automóveis escolhidos, no total de três, pelo menos dois devem possuir algum defeito (D).

Considerando os defeitos possíveis no sistema elétrico (E) e na suspensão (P), a probabilidade de o automóvel possuir algum defeito é dado por:

�(w) = �(c ∪ �) = �(c) + �(�) − �(c ∩ �) �(w) = 20% + 15% − 5% = 30%

Dentre os três automóveis selecionados, teremos que ter o conjunto {D, D, F} não necessariamente nessa ordem, ou então {D, D, D}.

a) Supondo, inicialmente, o conjunto {D, D, F}, a probabilidade é calculada por:

�&�W$W8�8!$!� = 310 × 3

10 × 710 ×= 63

1000 = 0,063

No entanto, nos interessa não apenas {D, D, F}, mas também todas as permutações possíveis desse conjunto.

Portanto, precisamos calcular o número de permutações, considerando a repetição de 2 elementos D:

�KV = 3!2! = 3 #� 8W8�8!$!�

Assim, a probabilidade pode ser calculada por:

�&�W$W8�8!$!� = 3 × 0,063 = 0,189.

b) Supondo, agora, a sequência {D, D, D}, a probabilidade é calculada por:

�&�W$W8�8!$!� = 310 × 3

10 × 3100 ×= 27

1000 = 0,027

Para essa sequência, não há permutações a fazer, já que todos os elementos são defeituosos.

c) Dessa forma, a probabilidade de haver pelo menos dois automóveis defeituosos é de: 0,189 + 0,027 = 0,216





Resposta, letra E.

14. (FCC-TRT/6ª-2012) A caixa A tem 5 cartas numeradas de 1 a 5. A

caixa B tem 8 cartas numeradas de 1 a 8. A caixa C tem 10 cartas numeradas

de 1 a 10. Uma caixa é selecionada ao acaso e uma carta é retirada. Se o

número da carta é impar, a probabilidade de a carta selecionada ter vindo da

caixa B é

(A) 5/16 (B) 7/32 (C) 1/6 (D) 5/32 (E) 1/4

R. Seja:

� P(A), P(B), P(C), as probabilidades de retirar as caixas A, B e C, respectivamente;

� P(I) a probabilidade de o número ser ímpar.

Portanto,

� �(�) = �(�) = �(�) = 1/3 � �(x|�) = 3/5 = 0,6 � �(x|�) = 4/8 = 0,5 � �(x|�) = 5/10 = 0,5

Dessa forma:

�(x ∩ �) = �(x|�) × �(�) = 0,6 × 0,33 = 1/5

�(x ∩ �) = �(x|�) × �(�) = 0,5 × 0,33 = 1/6

�(x ∩ �) = �(x|�) × �(�) = 0,5 × 0,33 = 1/6

Portanto:

�(x) = �(x ∩ �) + �(x ∩ �) + �(x ∩ �) = 815

O enunciado pergunta o valor de �(�|x):

�(�|x) = �(� ∩ x)�(x) = 1/6

8/15 = 516

Resposta, letra A.

15. (FCC-TRT/2ª-2012) Uma amostra casual de tamanho n = 3, com

reposição, é extraída de uma população com N = 8 elementos. A probabilidade

de haver pelo menos uma repetição na amostra é de:

(A) 11/32 (B) 13/32 (C) 11/64 (D) 19/32 (E) 21/32

Resolução: Para que haja pelo menos um elemento repetido (r), a amostra pode ser da seguinte forma: {r, r, n}, {r, n, r}, {n, r, r} ou {r, r, r}. Assim, são quatro possibilidades.





Para {r, r, n}

�&�W$W8�8!$!� = 88 × 1

8 × 78 = 7

64

Para {r, n, r}

�&�W$W8�8!$!� = 88 × 7

8 × 18 = 7

64

Para {n, r, r}

�&�W$W8�8!$!� = 88 × 7

8 × 18 = 7

64

Para {r, r, r}

�&�W$W8�8!$!� = 88 × 1

8 × 18 = 1

64

Para calcular a probabilidade de haver pelo menos uma repetição na amostra, basta somarmos:

� = 764 + 7

64 + 764 + 1

64 = 2264 = 11

32

Resposta, letra A.

16. (FCC-INFRAERO/2011) Um dado é viciado de tal modo que a

probabilidade de ocorrer face par é duas vezes mais provável do que ocorrer

face ímpar. O dado é lançado duas vezes independentemente. Considere os

seguintes eventos: A = a soma dos pontos das faces é 6; B = o número da

face do primeiro dado é menor do que 3. Nessas condições, a probabilidade de

A, sabendo que ocorreu B, é

(A) 5/27 (B) 5/81 (C) 27/81 (D) 12/81 (E) 8/27

Resolução:

Vamos convencionar que:

� Evento A: soma dos pontos das faces igual a 6

� Evento B: número do primeiro dado é menor que 3

Considerando que a probabilidade de ímpar é o dobro de par:

�(�) = 2 × �(x) Assim, a probabilidade de cada número ímpar é �(x) = 1/9 e cada par,

�(�) = 2/9.

Temos que calcular, agora, a probabilidade de cada binário (� ∩ �), (� ∩x), (x ∩ �), (x ∩ x).





Como são eventos independentes:

�(� ∩ �) = 29 × 2

9 = 481

�(� ∩ x) = �(x ∩ �) = 29 × 1

9 = 281

�(x ∩ x) = 19 × 1

9 = 181

� Para o evento A, temos as seguintes possibilidades:

{1, 5}, {2, 4}, {3, 3}, {4, 2}, {5, 1} = 5 possibilidades. São 3 binários x ∩ x e 2 binários � ∩ �.

Assim, a probabilidade do evento A é igual a:

�(�) = 3 × 181 + 2 × 4

81 = 1181

� Para o evento B, temos as seguintes possibilidades:

{2, 1}, {2, 2}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {2, 6}, {1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {1, 6} = 12 possibilidades. São 3 binários x ∩ x, 3 binários � ∩ � e 6 binários � ∩ x �e x ∩ �.

Assim, a probabilidade do evento B é igual a:

�(�) = 3 × 181 + 3 × 4

81 + 6 × 281 = 27

81

O Conjunto � ∩ � é formado pelos binários {1, 5}, {2, 4}. Ou seja, binários x ∩ x e � ∩ �. Desse modo:

�(� ∩ �) = 181 + 4

81 = 581

O enunciado quer saber o valor de P(A|B), pelo teorema da probabilidade condicionada:

�(�|�) =�(� ∩ �)

�(�)=

5/81

27/81=

5

27

Resposta, letra A.

17. (FCC-TRT/4ª-2009) Considere amostras ordenadas de tamanho 4

com repetição, com escolhas aleatórias tomadas de uma população de

tamanho 10. A probabilidade de que nenhum elemento apareça mais de uma

vez na amostra é





(A) 1/40 (B) 1/20 (C) 1/8 (D) 27/1000 (E) 63/125

Resolução: Pessoal, temos uma amostra de 10 elementos, e, destes, tiramos amostras com 4 elementos, havendo, pois, a reposição de cada elemento tirado.

A probabilidade de que nenhum elemento apareça mais de uma vez (evento A) é igual à probabilidade de que todos os elementos da amostra sejam diferentes. A partir daí, calculamos a probabilidade do evento A, da seguinte forma:

A primeira amostra extraída pode ser qualquer um dos elementos:

�($L) = �º �� º �� !8 #��í"�8 = 10

10

A segunda amostra extraída pode ser qualquer um dos elementos, desde que diferente do primeiro:

�($V|$L) = �º �� º �� !8 #��í"�8 = 9

10

A terceira amostra extraída pode ser qualquer um dos elementos, desde que diferente do primeiro e do segundo:

�($K|$L ∩ $V) = �º �� º �� !8 #��í"�8 = 8

10

A quarta amostra extraída pode ser qualquer um dos elementos, desde que diferente do primeiro, do segundo e do terceiro:

�($]|$L ∩ $V ∩ $K) = �º �� º �� !8 #��í"�8 = 7

10


�($L ∩ $V ∩ $K ∩ $]) = �($L) × �($V|$L) × �($K|$L ∩ $V) × �($]|$L ∩ $V ∩ $K) =

= 1010 × 9

10 × 810 × 7

10 = 504010000

Assim:

�(�) = 504010000 = 63

125

Resposta, letra E.

18. (FCC-TRT/4ª-2009) Uma urna contém n bolas numeradas de 1 até n.

Duas bolas são retiradas ao acaso e com reposição. Seja X a variável aleatória

que representa o valor da diferença absoluta entre os dois números

observados. A probabilidade de X ser igual a um é





(A) 1/n (B) 1/�² (C) 2(� − 1) �²⁄ (D) (� − 1) �²⁄ (E) 2/�² Resolução: Temos uma amostra de n elementos, e, destes, tiramos amostras com 2 elementos, havendo, pois, a reposição do primeiro elemento tirado.

A probabilidade de que a diferença absoluta entre os dois elementos selecionados ser igual a 1 (evento A), pode ser calculada da seguinte forma:

�(�) = �º #� 8W8�8!$!� !� �"�� º !� #� 8W8�8!$!� !� � #$ç� $�� &$�

a) O número de possibilidades do evento A pode ser calculada, partindo-se do seguinte raciocínio.

Para que a diferença absoluta seja igual a 1, temos:

i. considerando o primeiro elemento igual a “1”, para satisfazer o evento A, o segundo elemento deve ser igual a “2”, ou seja, para o elemento “1” temos apenas uma possibilidade;

ii. considerando o primeiro elemento igual a “n”, para satisfazer o evento A, o segundo elemento deve ser igual a “n-1”, ou seja, para o elemento “n” temos uma possibilidade;

iii. considerando que o primeiro elemento varie de “2” até “n-1”, para cada um dos elementos deste intervalo temos duas possibilidades de satisfazer A, o número posterior e o número anterior ao primeiro elemento, ou seja, temos “(n-2) x 2” possibilidades.

Sendo assim, temos as seguintes possibilidades para satisfazer A:

�º #� 8W8�8!$!� !� �"�� = 1 + 1 + (� − 2) × 2 = 2 + 2� − 4 = 2(� − 1)

b) O número de possibilidades do espaço amostral pode ser calculado pelo princípio fundamental da contagem.

i. Considerando que o primeiro elemento de A pode ser qualquer um dos elementos do conjunto, temos “n” possibilidades.

ii. Considerando que há reposição, o número de possibilidades do segundo elemento também é “n”.

iii. Sendo assim, temos o seguinte cálculo:

Elemento 1 Elemento 2 n x n = n² possibilidades _____ ______





Assim:

�(�) = �º #� 8W8�8!$!� !� �"�� º !� #� 8W8�8!$!� !� � #$ç� $�� &$� = 2(� − 1)

�²

Resposta, letra C.

19. (FCC-METRO/SP-2008) Em uma assembleia com 25 participantes,

sabe-se que 5 deles são contra a realização de determinado projeto e o

restante a favor. Extraindo ao acaso uma amostra de 3 participantes desta

assembleia, sem reposição, a probabilidade (P) de todos os 3 participantes

serem a favor do projeto é tal que

(A) � < 50% (B) 50% ≤ � < 60% (C) 60% ≤ � < 70% (D) 70% ≤ � < 80% (E) 80% ≤ � < 90% Resolução:

Método 1

Pessoal, precisamos calcular a probabilidade de que a extração da amostra três participantes favoráveis ao projeto (f). Nessa situação, interessa para nós o evento:

� O evento A, cuja amostra é formada por três participantes favoráveis. � = {h, h, h}

Nessa seleção, a primeira amostra extraída tem que ser de um participante favorável:

�(hL) = �º �� h$"�&á"�8 �º �� !8 #��í"�8 = 20

25

A segunda amostra extraída, sem reposição, tem que ser de um participante favorável:

�(hV|hL) = �º �� h$"�&á"�8 �º �� !8 #��í"�8 = 19

24

A terceira amostra extraída, sem reposição, tem que ser de um participante favorável:

�(hK|hL ∩ hV) = �º �� º �� !8 #��í"�8 = 18

23






�(hL ∩ hV ∩ hK) = �(hL) × �(hV|hL) × �(hK|hL ∩ hV) =

= 2025 × 19

24 × 1823 = 6840

13800 = 0,49

Resposta, letra A.

Método 2

Precisamos calcular a probabilidade de que a extração da amostra três participantes favoráveis ao projeto (f). Nessa situação, interessa para nós o evento:

� O evento A, cuja amostra é formada por três participantes favoráveis. � = {h, h, h}

a) A probabilidade de ocorrência do evento A é dada pela razão:

�(�) = �º #� 8W8�8!$!� !� �"�� º #� 8W8�8!$!� !� � #$ç� $�� &$�


O espaço amostral é representado por todas as amostras, com três elementos, possíveis de serem extraídas de 20 participantes favoráveis e 5 contrários. Assim, temos um conjunto com 25 elementos e precisamos, dele, extrair apenas 3. Sendo assim, duas técnicas de contagem seriam possíveis, ou o arranjo ou a combinação.

Mas percebam que não importa a ordem das extrações. Sendo assim, conforme vimos na aula 0, a técnica de contagem mais adequada para essa situação é a combinação. Desse modo, temos que contar o número de combinações possíveis de 25 elementos, tomados 3 a 3, ou seja, �_, ` = �VX, K.

�VX, K = 25!(25 − 3)! 3! = 25!

22! 3! = 25 × 24 × 23 × 22!22! × (3 × 2 × 1) = 2300 #� 8W8�8!$!�

c) Agora, vamos contar o número de possibilidades de ocorrer o evento A: {h, h, h} Como temos 20 participantes favoráveis, e precisamos extrair dele, três

favoráveis. Podemos contar o número de possibilidades fazendo uma combinação desses 20 elementos, tomados 3 a 3, haja vista que, também, não nos interessa a ordem de retirada dos artigos.

Portanto,

�VM, K = 20!(20 − 3)! 3! = 20!

17! 3! = 20 × 19 × 18 × 17!17! × (3 × 2 × 1) = 1140 #� 8W8�8!$!�





d) Por fim, podemos calcular a probabilidade P(A).

�(�) = �º #� 8W8�8!$!� !� �"�� º #� 8W8�8!$!� !� � #$ç� $�� &$� = 1140

2300 = 0,49

Resposta letra A.

20. (FCC - Câmara dos Deputados-2007) Sabe-se que existem inúmeros

fornecedores de um material X. Porém, somente 60% deles estão aptos a

participar de uma licitação para fornecimento do material X para o setor

público. Então, a probabilidade de que, numa amostra aleatória simples de 3

destes fornecedores, pelo menos um esteja apto a participar de uma licitação

para fornecimento do material X para o setor público é

(A) 60% (B) 78,4% (C) 80,4% (D) 90,4% (E) 93,6%

Resolução:

Precisamos calcular a probabilidade de que, dentre 3 fornecedores, pelo menos um esteja apto (a) a participar de uma licitação. Nessa situação, interessa para nós três eventos:

� O evento A, cuja amostra é formada por um fornecedor apto, apenas. � = {$, �, �}

� O evento B, cuja amostra é formada por dois fornecedores aptos. � ={$, $, �}

� O evento C, cuja amostra é formada por três fornecedores aptos. � ={$, $, $}

Mas percebam que o cálculo do evento A, B e C pode-se tornar trabalhoso. O caminho mais fácil é calcular o evento complementar de � ∪ � ∪�, ou evento D, cuja amostra é formada por nenhum fornecedor apto w ={�, �, �}

a) A probabilidade de ocorrência do evento D é dada pela razão:

�(w) = #&�W$W8�8!$!� !� �"�� w#&�W$W8�8!$!� !� � #$ç� $�� &$� = #&�W$W8�8!$!� !� �"�� w

1

b) Basta calcular, então, o número de possibilidades do evento D.

A probabilidade dos três fornecedores não serem aptos é dado por:

�(w) = 40% × 40% × 40% = 6,4%

Sendo assim, �(� ∪ � ∪ �) = 1 − �(w) = 1 − 6,4% = 93,6%

Resposta, letra E.





21. (FCC - Câmara dos Deputados-2007) Uma pesquisa eleitoral foi

realizada com uma amostra de 500 eleitores com o objetivo de estudas a

influência da idade na preferência por dois candidatos presidenciais. Os

resultados obtidos foram os seguintes:

Duas pessoas serão selecionadas ao acaso e com reposição dentre os

500 eleitores. A probabilidade de exatamente uma pertencer à faixa etária

50 ⊢ 80 e preferir o candidato Alfa é

(A) L}j}VX (B)

j]}VX (C)

}]}VX (D)

]V}VX (E)

VL}VX

Resolução:

Vamos convencionar que:

� Evento A = o eleitor pertencer à faixa etária 50 ⊢ 80. � Evento B = o eleitor preferir o candidato Alfa.

O enunciado pergunta o valor de a probabilidade de exatamente uma pessoa, dentre duas selecionadas, pertencer ao conjunto � ∩ �.

Sendo assim, vamos calcular as probabilidades de �� ∩ ��

�� ∩ �� 80500 �

16100

Para exatamente um pertencer ao conjunto � ∩ �, a amostra selecionada pode possuir a seguinte sequência: {� ∩ �, �� ∩ ��∁} ou {�� ∩��∁, � ∩ �}.

Para a primeira sequência, utilizando-se o teorema do evento complementar, a probabilidade é calculada por:

� � �� ∩ �� < �� ∩ ��∁ � 16100 < ~1 6

16100� �

13,44100

A probabilidade da segunda sequencia é calculada por:

� � �� ∩ ��∁ < �� ∩ �� ~1 6 16100� <

16100 �

13,44100





Assim, a probabilidade de exatamente uma pessoa pertencer à faixa etária 50 ⊢ 80 e preferir o candidato Alfa, dentre duas selecionadas, é calculada por:

� = 13,44100 + 13,44

100 = 26,88100 = 26,88

100 × 625625 = 16800

62500 = 168625

Resposta, letra A.

22. (FCC-AL/RN-2013) Em uma pesquisa sobre o uso de duas marcas (A

e B) de alvejante, o entrevistado poderia responder que usa “apenas A”,

“apenas B”, “A e B”, ou ainda que “não usa A nem usa B”. Todos os

entrevistados responderam corretamente à pesquisa, cujos resultados são

apresentados a seguir:

− 75 usam apenas a marca A;

− 67 usam a marca B, dos quais 45 usam apenas a marca B;

− 18 não usam a marca A, nem usam a marca B.

Sorteando-se ao acaso um dos entrevistados, a probabilidade de que

ele tenha respondido na pesquisa que usa ambas as marcas é de

(A) 14,25%. (B) 13,75%. (C) 15,75%. (D) 12,25%. (E) 14,50%.

Resolução: Considerando:

�(�) = �º !� ��&�"8 �$!� �e� e $� � �(�) = �º !� ��&�"8 �$!� �e� e $� � �(� ∪ �) = �º !� ��&�"8 �$!� �e� e $� � �e �

�(� ∩ �) = �º !� ��&�"8 �$!� �e� e $� � � �

�(� ∪ �)∁ = �º !� ��&�"8 �$!� �e� �ã� e $� � �e �

�(�) = �º !� ��&�"8 �$!� Temos que:


75 = �(�) − �(� ∩ �) − 67 usam a marca B, dos quais 45 usam apenas a marca B;

67 = �(�) 45 = �(�) − �(� ∩ �)


18 = �(� ∩ �)∁

Dadas essas informações, podemos calcular �(� ∩ �) 45 = �(�) − �(� ∩ �)





�(� ∩ �� 6 45 � 67 6 45 � 22 ⇒ �� ∩ �� 22

Sabendo o valor de �� ∩ ��, podemos calcular �� 75 � �� 6 �� ∩ ��

75 � �� 6 22 ⇒ �� 97

Para calcular a probabilidade, precisamos obter, inicialmente, o espaço amostral.

�� ∪ �� 2 �� ∪ ��∁ �� >�� 2 �� 6 �� ∩ ��? 2 �� ∪ ��∁ ⇒

�� >�� 2 �� 6 �� ∩ ��? 2 �� ∪ ��∁ � >97 2 67 6 22? 2 18 �� 160 O problema pergunta a probabilidade de o entrevistado responder que

usa as marcas A e B, ou seja, � ∩ �.

�� ∩ �� ∩ �� 22

160 � 13,75%

Resposta, letra A.

23. (FCC-TRT/7ª-2009) A tabela apresenta a classificação segundo duas

variáveis, sexo e idade, dos 1.200 funcionários de uma empresa.

Se um funcionário é selecionado ao acaso dessa empresa, a probabilidade dele

ser mulher ou ter pelo menos 30 anos é

(A) 11/24 (B) 13/15 (C) 19/24 (D) 12/17 (E) 11/17

Resolução: A probabilidade de ser mulher P(M) é igual a:

�� 4701200 �

47120

A probabilidade de ter pelo menos 30 anos P(I) é igual a:

�(x) = 8001200 �

80120

A probabilidade de �� ∩ x� é igual a:

�� ∩ x� � 200 2 1201200 � 320

1200 �32120





O problema pede �(� ∪ x). �(� ∪ x) = �(�) + �(x) − �(� ∩ x)

�(� ∩ x) = 47120 + 80

120 − 32120 = 95

120 = 1924

Resposta, letra C.

Pessoal, agora veremos outro bloco de questões, cuja resolução

é parecida e, para ser feita de forma mais rápida na prova, sugiro que

sigam a metodologia proposta.

Essa metodologia consiste em construir uma tabela de apoio,

evitando, assim, confusão na com as diversas informações do

enunciado.

A tabela é a seguinte, cuja dimensão vai depender do problema:

Evento (D) Evento (�∁)

Evento (A) *(+ ∩ �) *(+ ∩ �∁) P(A)

Evento (B) *(0 ∩ �) *(0 ∩ �∁) P(B)

Evento (C) *(0 ∩ �) *(0 ∩ �∁) P(C)

P(D) P(�∁) Total

Vamos às recorrentes questões da FCC que podem ser resolvidas

dessa forma:

24. (FCC-METRO/SP-2012) Uma recém inaugurada linha do Metrô tem

atualmente apenas quatro estações: A, B, C e D. Em um determinado dia, o

número de usuários que entrou no trem na estação A, com destino à estação

D, foi igual ao daquele que entrou na estação B, com destino à D, e o dobro

daquele que entrou na estação C, com destino à D. Naquele dia, a proporção

de usuários que tiveram sua entrada franqueada nas estações A, B e C foram,

respectivamente, 5%, 3% e 2%. Sabendo-se que um usuário, selecionado ao

acaso dentre todos os usuários que utilizaram a referida linha naquele dia,

teve sua entrada franqueada, a probabilidade dele ter ingressado na estação A

é de

(A) 4/9 (B) 5/9 (C) 1/3 (D) 1/2 (E) 2/9

Inicialmente, vamos fazer pelo método tradicional, para vocês

sentirem a complexidade.

� Método 1

Resolução:

Vamos considerar as seguintes probabilidades:





P(A): probabilidade de o usuário ter entrado na estação A, com destino a D.

P(B): probabilidade de o usuário ter entrado na estação B, com destino a D.

P(C): probabilidade de o usuário ter entrado na estação C, com destino a D.

P(F): probabilidade de o usuário ter a entrada franqueada.

Segundo dados do enunciado:

� �(�) = �(�) = 2�(�) � �(U|�) = 5%

� �(U|�) = 3%

� �(U|�) = 2%

Os eventos P(A), P(B) e P(C) são mutuamente exclusivos, ou seja, �(� ∩ �) = �(� ∩ �) = �(� ∩ �) = ∅.

Considerando que só existem as estações A, B, C e D, �(� ∪ � ∪ �) = 1

Sendo assim:

�(� ∪ � ∪ �) = �(�) + �(�) + �(�) = 1

�(� ∪ � ∪ �) = �(�) + �(�) + �(�)2 = 1

⇒ �(�) = 0,4

⇒ �(�) = 0,4 e �(�) = 0,2

Por meio do valor de �(U|�), �(U|�) e �(U|�) obtemos �(U ∩ �), �(U ∩�) � �(U ∩ �): �(U ∩ �) = �(U|�) × �(�) = 0,05 × 0,4 = 0,020

�(U ∩ �) = �(U|�) × �(�) = 0,03 × 0,4 = 0,012

�(U ∩ �) = �(U|�) × �(�) = 0,02 × 0,2 = 0,004

Como o usuário franqueado, obrigatoriamente, deve entrar em umas das estações, A, B ou C, podemos dizer que:

�(U) = �(U ∩ �) + �(U ∩ �) + �(U ∩ �) = 0,02 + 0,012 + 0,004 = 0,036

O problema quer saber a probabilidade de o usuário ter entrado na estação A, dado que ele é franqueado, ou seja, P(A|F).

�(�|U) = �(� ∩ U)�(U)

�(�|U) = 0,020,036 = 20

36 = 59

Resposta, letra B.





� Método 2 (método proposto):

Resolução: Vamos desenhar nossa tabela de apoio, com as informações dadas no enunciado:

Franqueados (F) Não franqueados (NF)

Estação (A) (1) 5% de A (2) 40%

Estação (B) (3) 3% de B (4) 40%

Estação (C) (5) 2% de C (6) 20%

(7) (8) Total

Podemos preencher o restante da tabela da seguinte forma:

� �é�e�$ (1) = 5% × 40% = 2% � �é�e�$ (2) = 40% − 2% = 38% � �é�e�$ (3) = 3% × 40% = 1,2%

� �é�e�$ (4) = 40% − 1,2% = 38,8%

� �é�e�$ (5) = 2% × 20% = 0,4%

� �é�e�$ (6) = 20% − 0,4% = 19,6%

Depois disso, nossa tabela fica assim:

Franqueados (F) Não franqueados (NF)

Estação (A) (1) 2% (2) 38% 40%

Estação (B) (3) 1,2% (4) 38,8% 40%

Estação (C) (5) 0,4% (6) 19,6% 20%

(7) 3,6% (8) 96,4% Total

O problema quer saber o valor de P(A|F):

�(�|U� � �� ∩ U)�(U) = 2%

2% + 1,2% + 0,4% = 2%3,6% = 20

36 = 59

Resposta, letra B.

25. (FCC - Câmara dos Deputados-2007) Uma rede local de

computadores é composta por um servidor e 2 (dois) clientes (Z e Y).

Registros anteriores indicam que dos pedidos de certo tipo de processamento,

cerca de 30% vêm de Z e 70% de Y. Se o pedido não for feito de forma

adequada, o processamento apresentará erro. Sabendo-se que 2% dos





pedidos feitos por Z e 1% dos feitos por Y apresentam erro, a probabilidade do

sistema apresentar erro é

(A) 5% (B) 4,1% (C) 3,5% (D) 3% (E) 1,3%


Erro (E) Processado (P)

Cliente (Z) (1) 2% de Z (2) 30%

Cliente (Y) (3) 1% de Y (4) 70%

(5) (6) Total


� �é�e�$ (1) = 2% × 30% = 0,6% � �é�e�$ (2) = 30% − 0,6% = 29,4% � �é�e�$ (3) = 1% × 70% = 0,7%

� �é�e�$ (4) = 70% − 0,7% = 69,3%

Assim, nossa tabela fica da seguinte forma:

Erro (E) Processado (P)

Cliente (Z) (1) 0,6% (2) 29,4% 30%

Cliente (Y) (3) 0,7% (4) 69,3% 70%

(5)) 1,3% (6) 98,7% Total

O problema pergunta �(c): �(c) = 0,6% + 0,7% = 1,3%

Resposta, letra E.

26. (FCC-METRO/SP-2012) No setor administrativo de uma empresa,

70% dos funcionários são do sexo masculino e os demais do sexo feminino.

Dentre os funcionários do sexo masculino, 20% têm menos do que 25 anos,

50% têm entre 25 anos (inclusive) e 50 anos (inclusive) e os demais, mais do

que 50 anos. Dentre os funcionários do sexo feminino, 30% têm menos do

que 25 anos, 60% têm entre 25 anos (inclusive) e 50 anos (inclusive) e os

demais, mais do que 50 anos. Selecionando-se ao acaso e com reposição de

dois funcionários, a probabilidade de que o primeiro tenha menos do que 25

anos e o segundo seja do sexo feminino e tenha mais do que 50 anos é de

(A) 0,0069 (B) 0,0055 (C) 0,0023 (D) 0,0012 (E) 0,0010

Resolução:

Vamos desenhar nossa tabela de apoio, com as informações dadas no enunciado:





Masculino (M) Feminino (F)

Idade < 25 anos (Z) (1) 20% de M (2) 30% de F

25 ≤ Idade ≤ 50 anos (Y)

(3) 50% de M (4) 60% de F

Idade > 50 anos (X) (5) 30% de M (6) 10% de F

(7) 70% (8) 30% Total

Podemos preencher a tabela da seguinte forma:

� �é�e�$ (1) = 20% × 70% = 14% � �é�e�$ (3) = 50% × 70% = 35% � �é�e�$ (5) = 30% × 70% = 21%

� �é�e�$ (2) = 30% × 30% = 9%

� �é�e�$ (4) = 60% × 30% = 18%

� �é�e�$ (2) = 10% × 30% = 3%



Idade < 25 anos (Z)

(1) 14% (2) 9% 14%+9%=23%

25 ≤ Idade ≤ 50 anos (Y)

(3) 35% (4) 18% 35%+18%=53%

Idade > 50 anos (X)

(5) 21% (6) 3% 21%+3%=24%

(7) 70% (8) 30% Total

O problema pergunta a probabilidade de que o primeiro tenha menos do que 25 anos:

�(m) = 23% Já o segundo seja do sexo feminino e tenha mais do que 50 anos:

�(U ∩ k) = 3% (�é�e�$ 6) Como são eventos independentes:

�(m ∩ [U ∩ k]) = �(m) × �(U ∩ k) = 23% × 3% = 6,9% Resposta, letra A.

27. (FCC-TRE/SP-2012) Numa determinada zona eleitoral sabe-se que

40% dos eleitores são do sexo masculino. Entre estes, 10% têm curso

superior ao passo que entre os eleitores do sexo feminino, 25% têm curso





superior. Selecionando-se um eleitor ao caso, a probabilidade de que ele seja

do sexo feminino ou não tenha curso superior é

(A) 0,68 (B) 0,79 (C) 0,81 (D) 0,96 (E) 0,98



Tem curso superior (S) (1) 10% de M (2) 25% de F

Não tem curso superior (�∁)

(3) (4)

(7) 40% (8) 60% Total

Podemos preencher a tabela da seguinte forma:

� �é�e�$ (1) = 10% × 40% = 4% � �é�e�$ (3) = 40% − 4% = 36% � �é�e�$ (2) = 25% × 60% = 15%

� �é�e�$ (4) = 60% − 15% = 45%



Tem curso superior (S) (1) 4% (2) 15% 4%+15%=19%

Não tem curso superior (�∁)

(3) 36% (4) 45% 36%+45%=81%

(7) 40% (8) 60% Total

O enunciado perguntou a probabilidade de que o escolhido seja do sexo feminino ou não tenha curso superior, ou seja, precisamos calcular

�(U ∪ �∁): �4U ∪ �∁5 = �(U) + �4�∁5 − �(U ∩ �∁)

�4U ∪ �∁5 = 60% + 81% − 45% = 96%

Resposta, letra D.

28. (FCC-TRT/1ª-2011) Um estudo sobre salários associados ao estado

civil dos indivíduos de certa comunidade revelou que a proporção de

indivíduos:

I. solteiros é de 0,4.

II. que recebem até 5 salários mínimos é de 0,3.





III. que recebem entre 5 (exclusive) e 10 (inclusive) salários mínimos é

de 0,5.

IV. que recebem até 5 salários mínimos entre os solteiros é de 0,3.

V. que são não solteiros dentre os que recebem mais do que 10 salários

mínimos é de 0,8.

Um indivíduo é selecionado ao acaso dessa comunidade. A probabilidade

de ele ser solteiro e ganhar entre 5 (exclusive) e 10 (inclusive) salários

mínimos é

(A) 0,24 (B) 0,27 (C) 0,30 (D) 0,32 (E) 0,40

Resolução: Vamos desenhar nossa tabela, com as informações dadas no enunciado da questão:

Solteiros (S) Não Solteiros (NS)

Até 5 salários (A) (1) 0,3 de S (2) 0,30

Entre 5 e 10 salários (B)

(3) ? (4) 0,50

Mais que 10 salários (C)

(5) (6) 0,80 de C (7)

0,40 (8) Total

A partir daí, podemos preencher o restante da tabela:

A Célula (1): 0,3 × 0,40 = 0,12

A Célula (7): 1 − 0,30 − 0,50 = 0,20

A Célula (8): 1 − 0,40 = 0,60 A Célula (6): 0,80 × 0,20 = 0,16

A Célula (5): 0,20 − 0,16 = 0,04


Solteiros (S) Não Solteiros (NS)

Até 5 salários (A) 0,12 (2) 0,30

Entre 5 e 10 salários (B)

(3) ? (4) 0,50

Mais que 10 salários (C)

0,04 0,16 0,20

0,40 0,60 Total





A pergunta do problema quer saber o valor da Célula (3), ou seja, �(� ∩ �) = 0,40 − 0,12 − 0,04 = 0,24.

Resposta, letra A.

29. (FCC-TRT/23ª-2011) Três máquinas: A, B e C de uma determinada

indústria produzem a totalidade das peças de certo tipo que são utilizadas na

fabricação de um motor de um automóvel. Sabe-se que a A e B produzem

cada uma 30% das peças e C produz 40%. Sabe-se que 5%, 10% e 2%,

respectivamente, das produções de A, B e C são defeituosas. Uma peça é

selecionada, aleatoriamente, da produção conjunta das três máquinas. A

probabilidade de ela ter sido fabricada por A, sabendo-se que é defeituosa, é

(A) 5/47 (B) 27/53 (C) 15/47 (D) 15/53 (E) 30/53

Resolução: Vamos desenhar nossa tabela, com as informações dadas no enunciado:

Defeituosas (D) Não Defeituosas (ND)

Máquina (A) (1) 5% de A (2) 30%

Máquina (B) (3) 10% de B (4) 30%

Máquina (C) (5) 2% de C (6) 40%

(7) (8) Total


� A Célula (1) é igual a 5% × 30% = 1,5%;

� A Célula (3) é igual a 10% × 30% = 3%;

� A Célula (5) é igual a 2% × 40% = 0,8 %;

O enunciado pergunta a probabilidade de ela ter sido fabricada por A, sabendo-se que é defeituosa. Deste modo

�(�|w� � �� ∩ w)�(w) = 1,5%

1,5% + 3% + 0,8% = 1,5%5,3% = 15

53

Resposta, letra D.

30. (FCC-INFRAERO/2011) A empresa de aviação T tem 4 balcões de

atendimento ao público: A, B, C e D. Sabe-se que, num determinado dia, os

balcões A e B atenderam, cada um, a 20%; C e D atenderam, cada um, a

30% do público que procurou atendimento em T. Sabe-se ainda que A, B, C e

D atenderam, respectivamente, 5%, 15%, 10% e 20% de pessoas com





atendimento prioritário (idosos, deficientes, gestantes ou mães com crianças

no colo, etc).

Selecionando-se ao acaso uma pessoa atendida por T, nesse mesmo

dia, a probabilidade dela ter sido atendida no balcão C, sabendo-se que era do

grupo de atendimento prioritário, é igual a

(A) 5/13 (B) 1/6 (C) 2/15 (D) 5/12 (E) 3/13

Resolução:

Vamos desenhar nossa tabela de apoio, com as informações dadas no enunciado:

Prioritário (P) Não Prioritário (NP)

Balcão (A) (1) 5% de A (2) 20%

Balcão (B) (3) 15% de B (4) 20%

Balcão (C) (5) 10% de C (6) 30%

Balcão (D) (7) 20% de D (8) 30%

(9) (10) Total


� A Célula (1) é igual a 5% × 20% = 1%

� A Célula (3) é igual a 15% × 20% = 3%

� A Célula (5) é igual a 10% × 30% = 3%

� A Célula (7) é igual a 20% × 30% = 6%

O enunciado pergunta a probabilidade de o cliente ter atendido no balcão C, sabendo-se que pertence ao grupo prioritário. Deste modo

�(�|�� ∩ �)�(�) = 3 %

1% + 3% + 3% + 6% = 3%13% = 3

13

Resposta, letra E.

31. (FCC-INFRAERO/2011) Selecionando-se ao acaso e com reposição

cinco pessoas atendidas no balcão D, nesse mesmo dia, a probabilidade de

exatamente duas terem sido do grupo de atendimento prioritário é de

(A) 0,1024 (B) 0,2048 (C) 0,2560 (D) 0,3072 (E) 0,3648

R. Para responder a questão, precisamos calcular o valor da célula 8, da nossa tabela.





Dado que a pessoa foi atendida no balcão D, precisamos calcular o número de atendimentos prioritários e o não prioritários.

�(�|w� � �� ∩ w)�(w) = 6%

30% = 0,2

�(b�|w� � ��b� ∩ w)�(w) = 24%

30% = 0,8

Considerando apenas duas pessoas atendidas prioritariamente em D, vamos supor que a ordem de atendimento fosse {P, P, NP, NP, NP}.

A probabilidade dessa ordem é:

� = �(w ∩ �) × �(w ∩ �) × �(w ∩ b�) × �(w ∩ b�) × �(w ∩ b�) � = 0,2 × 0,2 × 0,8 × 0,8 × 0,8 = 0,02048

No entanto, temos que considerar ainda as permutações que podemos fazer com {P, P, NP, NP, NP}, que também nos interessam. Precisamos calcular, então, a permutação de 5 elementos, considerando as 2 repetições de P e as 3 repetições de NP.

�XV,K = 5!

2! 3! = 5 × 4 × 3!2! × 3! = 10 #� 8W8�8!$!�

Portanto, a probabilidade de exatamente duas pessoas terem sido do grupo de atendimento prioritário é de

� = 0,02048 × 10 = 0,2048 Resposta, letra B.

32. (FCC-INFRAERO/2011) Em uma comunidade 10% de todos os

adultos com mais de 60 anos têm certa doença. Um teste diagnostica

corretamente 90% de todos os adultos com mais de 60 anos, como portadores

da mesma e incorretamente 5% de todos aqueles que não têm a doença,

como portadores da mesma. A probabilidade de um adulto com mais de 60

anos ter de fato a doença, sabendo que ele foi diagnosticado como portador

da mesma é

(A) 1/3 (B) 2/3 (C) 1/5 (D) 2/5 (E) 3/5


Diagnóstico Correto (DC)

Diagnóstico Incorreto (DI)

Doentes (D) (1) 90% de D (2) 10%

Não Doentes (ND)

(3) (4) 5% de ND 90%

(9) (10) Total






� �é�e�$ (1) = 90% × 10% = 9% � �é�e�$ (2) = 10% − 9% = 1% � �é�e�$ (4) = 5% × 90% = 4,5%

� �é�e�$ (3) = 90% − 4,5% = 85,5%


Diagnóstico Correto (DC)

Diagnóstico Incorreto (DI)

Doentes (D) (1) 9% (2) 1% 10%

Não Doentes (ND)

(3) 85,5% (4) 4,5% 90%

94,5% 5,5% Total

Para o paciente ter sido diagnosticado como doente, temos a possibilidade da célula (1) e da célula (4). Sendo que na célula (1), ele possui, de fato, a doença.

Portanto, a probabilidade de ter a doença, sabendo que ele foi diagnosticado como portador da mesma é igual a

� = 9%9% + 4,5% = 9

13,5 = 23

Resposta, letra B.

33. (FCC-INFRAERO/2011) Dentre os calouros de uma Universidade,

30% cursam ciências exatas, 40% cursam ciências humanas e 30% cursam

ciências biológicas. As porcentagens dos que desistem do curso no 1o ano são

dadas por 10%, 5% e 10%, respectivamente, para os alunos de exatas,

humanas e biológicas. Dois calouros são selecionados aleatoriamente e com

reposição dentre todos os calouros dessa Universidade. A probabilidade de

exatamente um desistir do curso no 1º ano é

(A) 0,0736 (B) 0,0842 (C) 0,1472 (D) 0,1684 (E) 0,1864






Desistem no 1º ano (D)

Não desistem no 1º ano (ND)

Exatas (E) (1) 10% de E (2) 30%

Humanas (H) (3) 5% de H (4) 40%

Biológicas (B) (5) 10% de B (6) 30%

(7) (8) Total


� �é�e�$ (1) = 10% × 30% = 3% � �é�e�$ (2) = 30% − 3% = 27% � �é�e�$ (3) = 5% × 40% = 2%

� �é�e�$ (4) = 40% − 2% = 38%

� �é�e�$ (5) = 10% × 30% = 3%

� �é�e�$ (6) = 30% − 3% = 27%


Desistem no 1º ano (D)

Não desistem no 1º ano (ND)

Exatas (E) (1) 3% (2) 27% 30%

Humanas (H) (3) 2% (4) 38% 40%

Biológicas (B) (5) 3% (6) 27% 30%

(7) 8% (8) 92% Total

Serão feitas duas seleções, e precisamos calcular a probabilidade de exatamente 1 ter desistido no 1º ano. Para isso, na seleção, nos interessa a sequência {D, ND} ou {ND, D}, ou seja, metade das quatro possibilidades: {D, D}, {D, ND}, {ND, D} e {ND, ND}.

Assim, a probabilidade de {D, ND} é igual a

� = 8% × 92% = 7,36% , o mesmo valor se aplica a probabilidade de {bw, w}.

Portanto, a probabilidade de exatamente 1 ter desistido no 1º ano, feitas duas seleções, é igual a: 7,36% + 7,36% = 14,72%.

Resposta, letra C.





34. (FCC-TRT/7ª-2009) Certo programa computacional pode ser usado

com uma entre três sub-rotinas: A, B e C, dependendo do problema. Sabe-se

que a sub-rotina A é usada em 50% das vezes, a B em 30% e a C em 20%.

As probabilidades de que o programa chegue a um resultado dentro do limite

de tempo são de 80%, caso seja usada a sub-rotina A, 60% caso seja usada a

sub-rotina B e 60% caso seja usada a sub-rotina C. Se o programa foi

realizado dentro do limite de tempo, a probabilidade de que a sub-rotina A

tenha sido a escolhida é igual a

(A) 2/5 (B) 4/7 (C) 3/5 (D) 5/7 (E) 4/5


Resultado dentro do tempo (R)

Resultado fora do tempo (F)

Sub-rotina (A) (1) 80% de A (2) 50%

Sub-rotina (B) (3) 60% de B (4) 30%

Sub-rotina (C) (5) 60% de C (6) 20%

(7) (8) Total


� �é�e�$ (1) = 80% × 50% = 40% � �é�e�$ (2) = 50% − 40% = 10% � �é�e�$ (3) = 60% × 30% = 18%

� �é�e�$ (4) = 30% − 18% = 12%

� �é�e�$ (5) = 60% × 20% = 12%

� �é�e�$ (6) = 20% − 12% = 8%


Resultado dentro do tempo (R)

Resultado fora do tempo (F)

Sub-rotina (A) (1) 40% (2) 10% 50%

Sub-rotina (B) (3) 18% (4) 12% 30%

Sub-rotina (C) (5) 12% (6) 8% 20%

(7) 70% (8) 30% Total

O problema pergunta �(�|�):

�(�|�) = �(� ∩ �)�(�) = 40%

70% = 47





Resposta, letra B.

35. (FCC-TRT/3ª-2009) Determinados processos de um tribunal são

encaminhados para a análise de 3 analistas: X, Y e Z. Sabe-se que 30% de

todos esses processos são encaminhados para X, 45% para Y e 25% para Z.

Usualmente, por falta de documentação, uma parcela de tais processos é

devolvida. Sabe-se que 5%, 10% e 10% dos processos de X, Y e Z,

respectivamente, são devolvidos. A probabilidade de que um processo

escolhido ao acaso tenha sido encaminhado para X, sabendo que foi devolvido,

é

(A) 4/15 (B) 3/17 (C) 6/19 (D) 7/15 (E) 3/19


Processo Devolvido (D)

Processo não devolvido (ND)

Analista (X) (1) 5% de X (2) 30%

Analista (Y) (3) 10% de Y (4) 45%

Analista (Z) (5) 10% de Z (6) 25%

(7) (8) Total


� �é�e�$ (1) = 5% × 30% = 1,5% � �é�e�$ (2) = 30% − 1,5% = 28,5% � �é�e�$ (3) = 10% × 45% = 4,5%

� �é�e�$ (4) = 45% − 4,5% = 40,5%

� �é�e�$ (5) = 10% × 25% = 2,5%

� �é�e�$ (6) = 25% − 2,5% = 22,5%


Processo Devolvido (D)

Processo não devolvido (ND)

Analista (X) (1) 1,5% (2) 28,5% 30%

Analista (Y) (3) 4,5% (4) 40,5% 45%

Analista (Z) (5) 2,5% (6) 22,5% 25%

(7) 8,5% (8) 91,5% Total





O problema pergunta �(k|w):

�(k|w) = �(k ∩ w)�(w) = 1,5%

8,5% = 317

Resposta, letra B.

36. (FCC-TRE/PI-2009) Três candidatos, A, B e C, disputam as próximas

eleições para o Governo do Estado. A, B e C têm respectivamente 30%, 38%

e 32% da preferência do eleitorado. Em sendo eleito, a probabilidade de dar

prioridade para a Educação é de 30%, 50% e 40%, para os candidatos A, B e

C, respectivamente. A probabilidade da Educação não ser priorizada no

próximo governo é dada por

(A) 0,446 (B) 0,554 (C) 0,592 (D) 0,644 (E) 0,652


Priorizar Educação (E)

Não priorizar Educação (NE)

Candidato (A) (1) 30% de A (2) 30%

Candidato (B) (3) 50% de B (4) 38%

Candidato (C) (5) 40% de C (6) 32%

(7) (8) Total


� �é�e�$ (1) = 30% × 30% = 9% � �é�e�$ (2) = 30% − 9% = 21% � �é�e�$ (3) = 50% × 38% = 19%

� �é�e�$ (4) = 38% − 19% = 19%

� �é�e�$ (5) = 40% × 32% = 12,8%

� �é�e�$ (6) = 32% − 12,8% = 19,2%


Priorizar Educação (E)

Não priorizar Educação (NE)

Candidato (A) (1) 9% (2) 21% 30%

Candidato (B) (3) 19% (4) 19% 38%

Candidato (C) (5) 12,8% (6) 19,2% 32%

(7) 40,8% (8) 59,2% Total





O problema pergunta �(bc): �(bc) = 59,2%

Resposta, letra C.

37. (FCC-METRO/SP-2008) Considere que um investidor possui metade

de seus títulos do tipo A, 20% do tipo B e o restante do tipo C. Sabe-se que a

probabilidade dele obter lucro com o tipo A é igual a 80%, com o tipo B 90% e

com o tipo C 60%. Escolhendo aleatoriamente um destes títulos e verificando

que ele não apresentou lucro, a probabilidade dele ser do tipo A é igual a

(A) 2/3 (B) 7/12 (C) 1/2 (D) 5/12 (E) 2/7


Lucro (L) Prejuízo (P)

Tipo (A) (1) 80% de A (2) 50%

Tipo (B) (3) 90% de B (4) 20%

Tipo (C) (5) 60% de C (6) 30%

(7) (8) Total


� �é�e�$ (1) = 80% × 50% = 40% � �é�e�$ (2) = 50% − 40% = 10% � �é�e�$ (3) = 90% × 20% = 18%

� �é�e�$ (4) = 20% − 18% = 2%

� �é�e�$ (5) = 60% × 30% = 18%

� �é�e�$ (6) = 30% − 18% = 12%


Lucro (L) Prejuízo (P)

Tipo (A) (1) 40% (2) 10% 50%

Tipo (B) (3) 18% (4) 2% 20%

Tipo (C) (5) 18% (6) 12% 30%

(7) 76% (8) 24% Total

O problema pergunta �(�|�):

�(�|�) = �(� ∩ �)�(�) = 10%

24% = 512

Resposta, letra D.





•Experimento de resultado incerto•Experimento tratado na teoria das probabilidades

Experimento Aleatório

•Todos os possíveis resultados do experimento

Espaço Amostral

•Conjunto de resultados do experimento•Subconjunto do espaço amostral

Evento

•União: AUB•Interseção: A∩B•Complementar: AC

Combinação entre eventos

•0 ≤ P(A) ≤ 1•P(S)=1• Se A∩B=Ø, então, P(AUB)=P(A)+P(B)

Axiomas

Teoremas

•P(AC)=1-P(A)Teorema do evento complementar

•P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)Teorema da União

•P(A|B)=P(A∩B)/P(B)Teorema da probabilidade

condicionada

•P(A∩B)=ØEventos mutuamente exclusivos

•P(A∩B)=P(A|B) x P(B)Teorema do produto

•P(A∩B)= P(A) x P(B)Eventos independentes

6- Resumo Final





1. (SEFAZ/RJ – FGV/2009) Os eventos A e B são tais que P(A) = 0,4 e

P(B) = 0,9. Assinale a única alternativa que apresenta um possível valor

para P(A ∩ B).

(A) 0,13 (B) 0,22 (C) 0,31 (D) 0,49 (E) 0,54

2. (FCC-TRT/1ª-2011) Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço

amostral. Sabe-se que: P (A) = 0,4 e P (B) = 0,75. Nessas condições, é

verdade que:

(A) A e B são disjuntos.

(B) 0 ≤ �(� ∩ �) ≤ 0,05

(C) 0 ≤ �(� ∩ �) ≤ 0,10

(D) 0,15 ≤ �(� ∩ �) ≤ 0,40

(E) A e B são independentes

3. (FCC-SEPLAG/MG-2012) Antonio, Bruno e Celso disputaram uma

corrida. Dadas as condições físicas e de preparo, Bruno tem o triplo de

chances de vencer Antonio e Celso tem o quádruplo de chances de vencer

Bruno. Dessa forma, a probabilidade de Bruno vencer é de

(A) 1/16 (B) 3/16 (C) 3/4 (D) 3/8

4. (FCC-SEPLAG/MG-2012) Em uma pesquisa realizada com 100 jovens,

40 são loiros, 30 usam óculos e 20 são loiros e usam óculos. Escolhendo um

desses jovens ao acaso, a probabilidade de que ele não use óculos é de

(A) 30% (B) 35% (C) 50% (D)70%

5. (FCC-SEE/SP-2010) Uma avenida possui 3 semáforos, identificados

por A, B e C, funcionando de forma independente um do outro. Cada semáforo

deixa de funcionar com probabilidade de 1 em 1001. A probabilidade de que

dois dos três semáforos estejam funcionando e um esteja quebrado é de

(A) K.LMMM²LMML³ (B) 3 PLMMM

LMMLQK (C)

LMMM²LMML³ (D) 3 PLMMM

LMMLQRS (E)

LMMMLMML³

6. (FCC-TRT/6ª-2012) As probabilidades de um contador, A, demorar

uma, duas ou três horas para preencher uma declaração de imposto de

renda são dadas, respectivamente, por 1/4 , 1/2 e 1/4 . Dentre 5 declarações

escolhidas aleatoriamente e com reposição, das declarações que A deverá

7- Lista de Exercícios





elaborar, a probabilidade dele demorar para o preenchimento, em três delas 1

hora, em uma 2 horas e na restante 3 horas, é igual a

(A) 3/64 (B) 9/64 (C) 5/32 (D) 5/64 (E) 5/128

7. (FCC-TRE/SP-2012) Sabe-se que A, B e C são eventos

independentes, associados a um mesmo espaço amostral, com probabilidades

dadas, respectivamente, por 1/3, 1/5, 1/2. A probabilidade de que

exatamente dois desses eventos ocorram é igual a

(A) 1/10 (B) 2/15 (C) 7/30 (D) 1/3 (E) 11/30

8. (FCC-METRO/SP-2008) Em uma cidade em que existem somente os

jornais A e B, 20% da população lê somente o jornal A, 15% lê o jornal A e o

jornal B e 10% não lê nenhum dos jornais. Escolhendo aleatoriamente uma

pessoa desta cidade, a probabilidade dela ler um e somente um dos jornais é

de

(A) 55% (B) 60% (C) 65% (D) 70% (E) 75%

9. (FCC-TRT/7ª-2009) O grupo que trabalha num departamento de uma

empresa estatal é composto de 3 analistas e 4 advogados. Se 4 indivíduos são

escolhidos aleatoriamente e se lhes atribui um projeto, a probabilidade de que

o grupo do projeto tenha exatamente 2 analistas é

(A) 2/17 (B) 4/15 (C) 9/17 (D) 5/19 (E) 18/35

10. (FCC-SEED/SE-2003) Nelson tem no bolso 4 cartelas iguais. Em uma

cartela está escrita a letra N, na outra, a letra U, na outra, a letra P, e na

última a letra E. Nelson vai retirar sem olhar, uma cartela de cada vez de seu

bolso. Qual é a probabilidade dele conseguir formar, na ordem de retirada, a

palavra PNEU?

(A) 1/48 (B) 1/24 (C) 1/12 (D) 1/8 (E) 1/4

11. (SEFAZ/RJ – FCC/2013) Um lote de determinado artigo é formado

por 8 bons e 4 defeituosos. Desse lote, é extraída uma amostra aleatória, sem

reposição, de 3 artigos. A probabilidade dessa amostra conter no máximo um

artigo bom é

(A) LK

LMM (B) LKXX (C)

aXX (D)

gLLM (E)

gXX

12. (SEFAZ/RJ – FGV/2009) Um torneio será disputado por 4 tenistas

(entre os quais A e B) de mesma habilidade, isto é, em qualquer jogo entre





dois dos quatro jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar. Na

primeira rodada, eles se enfrentarão em dois jogos, com adversários definidos

por sorteio. Os vencedores disputarão a final. A probabilidade de que o torneio

termine com A derrotando B na final é:

(A) 1/2 (B) 1/4 (C) 1/6 (D) 1/8 (E) 1/12

13. (FCC-TRT/1ª-2011) Após o lançamento de um novo modelo de

automóvel observou-se que 20% deles apresentavam defeitos na suspensão,

15% no sistema elétrico e 5% na suspensão e no sistema elétrico.

Selecionaram-se aleatoriamente e com reposição 3 automóveis do modelo

novo. A probabilidade de pelo menos dois apresentarem algum tipo de defeito

é

(A) 0,354 (B) 0,324 (C) 0,316 (D) 0,296 (E) 0,216

14. (FCC-TRT/6ª-2012) A caixa A tem 5 cartas numeradas de 1 a 5. A

caixa B tem 8 cartas numeradas de 1 a 8. A caixa C tem 10 cartas numeradas

de 1 a 10. Uma caixa é selecionada ao acaso e uma carta é retirada. Se o

número da carta é impar, a probabilidade de a carta selecionada ter vindo da

caixa B é

(A) 5/16 (B) 7/32 (C) 1/6 (D) 5/32 (E) 1/4

15. (FCC-TRT/2ª-2012) Uma amostra casual de tamanho n = 3, com

reposição, é extraída de uma população com N = 8 elementos. A probabilidade

de haver pelo menos uma repetição na amostra é de:

(A) 11/32 (B) 13/32 (C) 11/64 (D) 19/32 (E) 21/32

16. (FCC-INFRAERO/2011) Um dado é viciado de tal modo que a

probabilidade de ocorrer face par é duas vezes mais provável do que ocorrer

face ímpar. O dado é lançado duas vezes independentemente. Considere os

seguintes eventos: A = a soma dos pontos das faces é 6; B = o número da

face do primeiro dado é menor do que 3. Nessas condições, a probabilidade de

A, sabendo que ocorreu B, é

(A) 5/27 (B) 5/81 (C) 27/81 (D) 12/81 (E) 8/27

17. (FCC-TRT/4ª-2009) Considere amostras ordenadas de tamanho 4

com repetição, com escolhas aleatórias tomadas de uma população de

tamanho 10. A probabilidade de que nenhum elemento apareça mais de uma

vez na amostra é

(A) 1/40 (B) 1/20 (C) 1/8 (D) 27/1000 (E) 63/125





18. (FCC-TRT/4ª-2009) Uma urna contém n bolas numeradas de 1 até n.

Duas bolas são retiradas ao acaso e com reposição. Seja X a variável aleatória

que representa o valor da diferença absoluta entre os dois números

observados. A probabilidade de X ser igual a um é

(A) 1/n (B) 1/�² (C) 2�� 6 1� �²⁄ (D) �� 6 1� �²⁄ (E) 2/�²

19. (FCC-METRO/SP-2008) Em uma assembleia com 25 participantes,

sabe-se que 5 deles são contra a realização de determinado projeto e o

restante a favor. Extraindo ao acaso uma amostra de 3 participantes desta

assembleia, sem reposição, a probabilidade (P) de todos os 3 participantes

serem a favor do projeto é tal que

(A) � z 50%(B) 50% ) � z 60%(C) 60% ) � z 70%(D) 70% ) � z 80%(E) 80% ) � z 90%

20. (FCC - Câmara dos Deputados-2007) Sabe-se que existem inúmeros

fornecedores de um material X. Porém, somente 60% deles estão aptos a

participar de uma licitação para fornecimento do material X para o setor

público. Então, a probabilidade de que, numa amostra aleatória simples de 3

destes fornecedores, pelo menos um esteja apto a participar de uma licitação

para fornecimento do material X para o setor público é

(A) 60% (B) 78,4% (C) 80,4% (D) 90,4% (E) 93,6%

21. (FCC - Câmara dos Deputados-2007) Uma pesquisa eleitoral foi

realizada com uma amostra de 500 eleitores com o objetivo de estudas a

influência da idade na preferência por dois candidatos presidenciais. Os

resultados obtidos foram os seguintes:

Duas pessoas serão selecionadas ao acaso e com reposição dentre os

500 eleitores. A probabilidade de exatamente uma pertencer à faixa etária

50 ⊢ 80 e preferir o candidato Alfa é





(A) L}j}VX (B)

j]}VX (C)

}]}VX (D)

]V}VX (E)

VL}VX

22. (FCC-AL/RN-2013) Em uma pesquisa sobre o uso de duas marcas (A

e B) de alvejante, o entrevistado poderia responder que usa “apenas A”,

“apenas B”, “A e B”, ou ainda que “não usa A nem usa B”. Todos os

entrevistados responderam corretamente à pesquisa, cujos resultados são

apresentados a seguir:


− 67 usam a marca B, dos quais 45 usam apenas a marca B;


Sorteando-se ao acaso um dos entrevistados, a probabilidade de que

ele tenha respondido na pesquisa que usa ambas as marcas é de

(A) 14,25%. (B) 13,75%. (C) 15,75%. (D) 12,25%. (E) 14,50%.

23. (FCC-TRT/7ª-2009) A tabela apresenta a classificação segundo duas

variáveis, sexo e idade, dos 1.200 funcionários de uma empresa.

Se um funcionário é selecionado ao acaso dessa empresa, a probabilidade dele

ser mulher ou ter pelo menos 30 anos é

(A) 11/24 (B) 13/15 (C) 19/24 (D) 12/17 (E) 11/17

24. (FCC-METRO/SP-2012) Uma recém inaugurada linha do Metrô tem

atualmente apenas quatro estações: A, B, C e D. Em um determinado dia, o

número de usuários que entrou no trem na estação A, com destino à estação

D, foi igual ao daquele que entrou na estação B, com destino à D, e o dobro

daquele que entrou na estação C, com destino à D. Naquele dia, a proporção

de usuários que tiveram sua entrada franqueada nas estações A, B e C foram,

respectivamente, 5%, 3% e 2%. Sabendo-se que um usuário, selecionado ao

acaso dentre todos os usuários que utilizaram a referida linha naquele dia,

teve sua entrada franqueada, a probabilidade dele ter ingressado na estação A

é de

(A) 4/9 (B) 5/9 (C) 1/3 (D) 1/2 (E) 2/9





25. (FCC - Câmara dos Deputados-2007) Uma rede local de

computadores é composta por um servidor e 2 (dois) clientes (Z e Y).

Registros anteriores indicam que dos pedidos de certo tipo de processamento,

cerca de 30% vêm de Z e 70% de Y. Se o pedido não for feito de forma

adequada, o processamento apresentará erro. Sabendo-se que 2% dos

pedidos feitos por Z e 1% dos feitos por Y apresentam erro, a probabilidade do

sistema apresentar erro é

(A) 5% (B) 4,1% (C) 3,5% (D) 3% (E) 1,3%

26. (FCC-METRO/SP-2012) No setor administrativo de uma empresa,

70% dos funcionários são do sexo masculino e os demais do sexo feminino.

Dentre os funcionários do sexo masculino, 20% têm menos do que 25 anos,

50% têm entre 25 anos (inclusive) e 50 anos (inclusive) e os demais, mais do

que 50 anos. Dentre os funcionários do sexo feminino, 30% têm menos do

que 25 anos, 60% têm entre 25 anos (inclusive) e 50 anos (inclusive) e os

demais, mais do que 50 anos. Selecionando-se ao acaso e com reposição de

dois funcionários, a probabilidade de que o primeiro tenha menos do que 25

anos e o segundo seja do sexo feminino e tenha mais do que 50 anos é de

(A) 0,0069 (B) 0,0055 (C) 0,0023 (D) 0,0012 (E) 0,0010

27. (FCC-TRE/SP-2012) Numa determinada zona eleitoral sabe-se que

40% dos eleitores são do sexo masculino. Entre estes, 10% têm curso

superior ao passo que entre os eleitores do sexo feminino, 25% têm curso

superior. Selecionando-se um eleitor ao caso, a probabilidade de que ele seja

do sexo feminino ou não tenha curso superior é

(A) 0,68 (B) 0,79 (C) 0,81 (D) 0,96 (E) 0,98

28. (FCC-TRT/1ª-2011) Um estudo sobre salários associados ao estado

civil dos indivíduos de certa comunidade revelou que a proporção de

indivíduos:

I. solteiros é de 0,4.

II. que recebem até 5 salários mínimos é de 0,3.

III. que recebem entre 5 (exclusive) e 10 (inclusive) salários mínimos é

de 0,5.

IV. que recebem até 5 salários mínimos entre os solteiros é de 0,3.

V. que são não solteiros dentre os que recebem mais do que 10 salários

mínimos é de 0,8.





Um indivíduo é selecionado ao acaso dessa comunidade. A probabilidade

de ele ser solteiro e ganhar entre 5 (exclusive) e 10 (inclusive) salários

mínimos é

(A) 0,24 (B) 0,27 (C) 0,30 (D) 0,32 (E) 0,40

29. (FCC-TRT/23ª-2011) Três máquinas: A, B e C de uma determinada

indústria produzem a totalidade das peças de certo tipo que são utilizadas na

fabricação de um motor de um automóvel. Sabe-se que a A e B produzem

cada uma 30% das peças e C produz 40%. Sabe-se que 5%, 10% e 2%,

respectivamente, das produções de A, B e C são defeituosas. Uma peça é

selecionada, aleatoriamente, da produção conjunta das três máquinas. A

probabilidade de ela ter sido fabricada por A, sabendo-se que é defeituosa, é

(A) 5/47 (B) 27/53 (C) 15/47 (D) 15/53 (E) 30/53

30. (FCC-INFRAERO/2011) A empresa de aviação T tem 4 balcões

de atendimento ao público: A, B, C e D. Sabe-se que, num determinado dia,

os balcões A e B atenderam, cada um, a 20%; C e D atenderam, cada um, a

30% do público que procurou atendimento em T. Sabe-se ainda que A, B, C e

D atenderam, respectivamente, 5%, 15%, 10% e 20% de pessoas com

atendimento prioritário (idosos, deficientes, gestantes ou mães com crianças

no colo, etc). Selecionando-se ao acaso uma pessoa atendida por T, nesse

mesmo dia, a probabilidade dela ter sido atendida no balcão C, sabendo-se

que era do grupo de atendimento prioritário, é igual a

(A) 5/13 (B) 1/6 (C) 2/15 (D) 5/12 (E) 3/13

31. (FCC-INFRAERO/2011) Selecionando-se ao acaso e com reposição

cinco pessoas atendidas no balcão D, nesse mesmo dia, a probabilidade de

exatamente duas terem sido do grupo de atendimento prioritário é de

(A) 0,1024 (B) 0,2048 (C) 0,2560 (D) 0,3072 (E) 0,3648

32. (FCC-INFRAERO/2011) Em uma comunidade 10% de todos os

adultos com mais de 60 anos têm certa doença. Um teste diagnostica

corretamente 90% de todos os adultos com mais de 60 anos, como portadores

da mesma e incorretamente 5% de todos aqueles que não têm a doença,

como portadores da mesma. A probabilidade de um adulto com mais de 60

anos ter de fato a doença, sabendo que ele foi diagnosticado como portador

da mesma é

(A) 1/3 (B) 2/3 (C) 1/5 (D) 2/5 (E) 3/5

33. (FCC-INFRAERO/2011) Dentre os calouros de uma Universidade,

30% cursam ciências exatas, 40% cursam ciências humanas e 30% cursam





ciências biológicas. As porcentagens dos que desistem do curso no 1o ano são

dadas por 10%, 5% e 10%, respectivamente, para os alunos de exatas,

humanas e biológicas. Dois calouros são selecionados aleatoriamente e com

reposição dentre todos os calouros dessa Universidade. A probabilidade de

exatamente um desistir do curso no 1º ano é

(A) 0,0736 (B) 0,0842 (C) 0,1472 (D) 0,1684 (E) 0,1864

34. (FCC-TRT/7ª-2009) Certo programa computacional pode ser usado

com uma entre três sub-rotinas: A, B e C, dependendo do problema. Sabe-se

que a sub-rotina A é usada em 50% das vezes, a B em 30% e a C em 20%.

As probabilidades de que o programa chegue a um resultado dentro do limite

de tempo são de 80%, caso seja usada a sub-rotina A, 60% caso seja usada a

sub-rotina B e 60% caso seja usada a sub-rotina C. Se o programa foi

realizado dentro do limite de tempo, a probabilidade de que a sub-rotina A

tenha sido a escolhida é igual a

(A) 2/5 (B) 4/7 (C) 3/5 (D) 5/7 (E) 4/5

35. (FCC-TRT/3ª-2009) Determinados processos de um tribunal são

encaminhados para a análise de 3 analistas: X, Y e Z. Sabe-se que 30% de

todos esses processos são encaminhados para X, 45% para Y e 25% para Z.

Usualmente, por falta de documentação, uma parcela de tais processos é

devolvida. Sabe-se que 5%, 10% e 10% dos processos de X, Y e Z,

respectivamente, são devolvidos. A probabilidade de que um processo

escolhido ao acaso tenha sido encaminhado para X, sabendo que foi devolvido,

é: (A) 4/15 (B) 3/17 (C) 6/19 (D) 7/15 (E) 3/19

36. (FCC-TRE/PI-2009) Três candidatos, A, B e C, disputam as próximas

eleições para o Governo do Estado. A, B e C têm respectivamente 30%, 38%

e 32% da preferência do eleitorado. Em sendo eleito, a probabilidade de dar

prioridade para a Educação é de 30%, 50% e 40%, para os candidatos A, B e

C, respectivamente. A probabilidade da Educação não ser priorizada no

próximo governo é dada por

(A) 0,446 (B) 0,554 (C) 0,592 (D) 0,644 (E) 0,652

37. (FCC-METRO/SP-2008) Considere que um investidor possui metade

de seus títulos do tipo A, 20% do tipo B e o restante do tipo C. Sabe-se que a

probabilidade dele obter lucro com o tipo A é igual a 80%, com o tipo B 90% e

com o tipo C 60%. Escolhendo aleatoriamente um destes títulos e verificando

que ele não apresentou lucro, a probabilidade dele ser do tipo A é igual a

(A) 2/3 (B) 7/12 (C) 1/2 (D) 5/12 (E) 2/7





1 C 9 E 17 E 25 E 33 C

2 D 10 B 18 C 26 A 34 B

3 B 11 B 19 A 27 D 35 B

4 D 12 E 20 E 28 A 36 C

5 A 13 E 21 A 29 D 37 D

6 E 14 A 22 A 30 E

7 C 15 A 23 C 31 B

8 E 16 A 24 B 32 B

8- Gabarito

Prof. Fábio Amorim - Aula 01 · além de ter o conhecimento da teoria, deverá estar bem treinado...

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