Técnicas de Integração

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS

Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni

UNESP, FEG, Depto de Matemática

Guaratinguetá, agosto de 2017

Direitos reservados. Reprodução autorizada desde que citada a fonte.

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Integral de Função Racional - Teorema

Teorema: a integral (primitiva ou antiderivada) de uma função racional pode ser escrita como a combinação linear de uma função racional, de logaritmos e de funções arcotangente.

Lembrando: uma função racional pode ser escrita como o quociente de dois polinômios.

∫p (x )

q( x)dx

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Integral de Função RacionalAlguns Exemplos do Teorema

∫1

x−adx = ln( x−a) + c ∫

1

(x−a)2 dx = −

1x−a

+ c

∫m x + k

a2+ x2 dx = m /2 ln (a2

+x2) + k / a arctan (x /a) + c

∫ 6 x2− 9 x + 9

x3− 3 x2 dx =

3x

+ 2 ln(x ) + 4 ln(x−3) + c

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Expansão em Frações Parciais

Considere que o grau do denominador, q(x), é maior que o grau do numerador, p(x).

Neste caso, o quociente p(x)/q(x) pode ser expandido na soma de frações parciais sendo que a integral de cada fração parcial pode ser resolvida facilmente.

A expansão de p(x)/q(x) em Frações Parciais depende do tipo (real ou complexa) de raízes do denominador e da multiplicidade de cada raiz.

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Expansão em Frações Parciais Contribuição de uma Raiz Real

Frações Parciais Associadas com uma raiz real r do denominador q(x).

se r é raiz simples (m = 1)

se r é raiz dupla (m = 2)

se r é raiz tripla (m = 3)

e assim por diante. A, B e C são constantes.

Ax−r

Ax−r

+B

(x−r )2

Ax−r

+B

(x−r )2+

C

(x−r )3

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Expansão em Frações Parciais Raízes Reais - Observações

Cada raiz real de multiplicidade m do denominador q(x) contribui com m Frações Parciais para a expansão de p(x)/q(x).

● A soma das multiplicidades de todas as raízes de um polinômio é igual ao seu grau.

● O número de Frações Parciais na expansão de p(x)/q(x) é igual ao grau do denominador (incluindo na conta, as frações parciais cujos coeficientes são igual a zero).

● Nos exemplos do slide 3, as raízes do denominador são reais, exceto o terceiro exemplo que é um caso de raízes complexas.

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Expansão em Frações Parciais Exemplo – grau do denominador igual a 2

2 Raízes reais e distintas, r1 e r2 (raízes simples)

A e B constantes a determinar em função dos coeficiente do numerador, m e k, e das raízes do denominador r1 e r2.

Escrevendo o lado direito sobre o mesmo denominador, obtemos a seguinte igualdade entre polinômios

p (x)q (x )

=mx + k

(x − r1). (x − r2)=

Ax − r1

+B

x − r2

mx + k = A .( x − r2) + B .(x − r 1)

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Integração de Funções Racionais Denominador de grau 2 – Raízes reais

1) Simmons, exercício 4. 2) Simmons, exercício 3.

Dicas:

● Fatore o denominador,

● Expanda o integrando em frações parciais,

● Calcule os coeficientes da expansão (A e B),

● Integre as frações parciais.

∫10 − 2 x

x2+ 5 x

dx ∫14 x − 12

2 x2− 2x − 12

dx

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Expansão em Frações Parciais Denominador de grau 3 – Raízes reais

3 raízes reais e distintas, r1 , r2 e r3 (cada raiz simples contribue com uma fração parcial)

1 raiz real simples, r1, e 1 raiz real dupla, r2

(a raiz dupla contribue com duas frações parciais)

p (x)q (x )

=n x2

+ mx + k(x − r1). (x − r2).(x − r 3)

=A

x − r1

+B

x − r2

+C

x − r 3

p (x)q (x )

=n x2

+ mx + k(x − r1). (x − r2)

2 =A

x − r1

+B

x − r2

+C

(x − r2)2

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Integração de Funções Racionais Denominador de Grau 3 – Raízes Reais

1) Simmons, exercício 8. 2) Simmons, exercício 10.

3) Thomas, exemplo 7. 4) Simmons, exercício 11.

∫ 16 x2+ 3 x − 7

x3− x

dx ∫ 6 x2− 9 x + 9

x3− 3 x2 dx

∫x + 4

x3+ 3 x 2

− 10 xdx ∫−4 x2

− 5 x − 3x3

+ 2x2+ x

dx

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Expansão em Frações Parciais Denominador de grau 4 – Raízes Reais

1) Escreva a expansão em Frações Parciais para p(x)/q(x) considerando os seguintes casos para as raízes do denominador (grau p < grau q = 4, todas as raízes de q(x) são reais)

i) 4 raízes simples, ii) 2 raízes simples e 1 raiz dupla,

iii) 2 raízes duplas, iv) 1 raiz simples e 1 raiz tripla.

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Integração de Funções Racionais Denominador de grau 4 – Raízes Reais

Calcule as integrais abaixo

2) 3) Simmons, exemplo 3.

4) Thomas, exercício 19.

∫ 4 x2+ 2 x

x4− 5 x2

+ 4dx

∫1

(x2− 1)

2 dx

∫ 3 x3− 4 x2

− 3 x + 2x 4

− x2 dx

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Integração de Funções Racionais Raízes reais iguais - Observação

Se as raízes do denominador são todas reais e iguais, isto é, o denominador é da forma q(x) = (x – r)n , então o quociente p(x)/q(x) pode ser integrado por substituição.

Fazendo u = x – r, segue que

O integrando em u pode ser escrito como soma de potências de u, simples de integrar (não é necessário expandir em frações parciais).

∫p( x)

(x − r )ndx = ∫

p (u+r)

un du

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Integração de Funções Racionais Raízes reais iguais - Exercícios

1) Thomas, exemplo 2. 2)

3) 4)

∫2x − 5

x2+ 6 x + 9

dx

∫ x2+ 4

x3− 3 x2

+ 3 x − 1dx

∫6 x + 7

(x + 2)2 dx

∫ x3− x

(x − 2)4 dx

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Expansão em Frações ParciaisDenominador com pelo menos uma raiz

complexaConsidere polinômios com coeficientes reais (funções reais).

As raízes complexas de um polinômio aparecem aos pares de complexas conjugadas.

Na fatoração de um polinômio, um par de raízes complexas está associado a um fator quadrático x^2 + bx + c do polinômio do qual elas são raízes (observe que Δ = b2 – 4c < 0).

A multiplicidade de uma raiz complexa é o expoente do fator quadrático na fatoração do polinômio.

Cada par de raiz complexa conjugada contribui para a expansão em frações parciais de acordo com sua multiplicidade.

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Expansão em Frações ParciaisContribuição de raízes complexas

Frações Parciais associadas com um par de raízes complexas conjugadas, associadas ao fator quadrático x² + bx + c de q(x).

Raízes complexas simples

Raízes complexas dupla

E assim por diante, conforme a multiplicidade da raiz (uma raiz tripla contribuiria com 3 frações parciais).

Observe que o numerador é, em geral, uma função linear de x, distintamente das frações parciais associadas a uma raiz real cujo numerador é constante.

Ax + B

x2+ bx + c

Ax + B

x2+ bx + c

+Cx + D

(x2+ bx + c)2

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Integração de Funções RacionaisDenominador de grau 2 - raízes complexas

(b² – 4 c < 0)

Neste caso, o quociente p(x)/q(x) é a própria fração parcial.

A integração é feita completando o quadrado em q(x), isto é, escrevendo q(x) como a soma de dois quadrados

x² + bx + c = (x + b/2)² + (c – b²/4) = u² + a²

Substituindo u = x + b/2 e definindo a² = c – b²/4 segue

continua no próximo slide

∫p (x )

q( x)dx = ∫ mx + k

x2+ bx + c

dx

∫mx + k

x2+ bx + c

dx = ∫mu + k '

u2+ a2 du (k ' = k−mb /2)

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Integração de Funções RacionaisDenominador de grau 2 - raízes complexas

Separando as frações (numerador) obtemos duas integrais básicas para o caso de raízes complexas

Deve-se retornar a variável x e também as constantes do problema original (m, k, b e c), lembrando das definições de u, a e k' afim de obter a solução para

∫mu

u2+ a2 du =

m2

ln(u2+ a2

)

∫k '

u2+ a2 du =

k 'a

arctan (u /a)

∫p (x )

q( x)dx = ∫ mx + k

x2+ bx + c

dx

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Integração de Funções RacionaisDenominador de grau 2 - raízes complexas

Exemplos

1) 2) Thomas, exercício 38 (seção 1)

3) 4) Simmons, exemplo 2 (seção 5)

∫2 x+1

x2+9

dx

∫dx

x2+ 2 x + 10

∫2

x2− 6 x + 10

dx

∫3 x − 7

x2+ 2 x + 5

dx

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Expansão em Frações ParciaisDenominador de grau 3 - raízes complexas

Existe apenas um caso: além do par de raízes complexas conjugadas, associadas ao fator quadrático x² + bx + c, o denominador tem uma raiz real simples, r.

Neste caso, a expansão em frações parciais é

A, B e C são constantes a determinar em função dos coeficientes n, m e k (do numerador), b e c (do fator quadrático) e da raiz r, resolvendo a seguinte igualdade entre polinômios

p (x)q (x )

=n x2

+ mx + k(x − r ) .(x2

+ b x + c )=

Ax − r

+B x + C

x2+ b x + c

n x2+ mx + k = A .( x2

+ b x + c) + (B x + C) .(x − r )

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Integração de Funções RacionaisDenominador de grau 3 - raízes complexas

Exemplos

1) P3, 2013. 2) Thomas, exercício 21.

3) Simmons, exercício 12. 4) P3, 2015.

∫1

x3+ x

dx ∫dx

x3+ x2

+ x + 1

∫ 3 x2

x3+ 2 x2

+ 2xdx∫ 4 x2

+ 2 x + 4x3

+ 4 xdx

JRRZ 22

Integração de Funções Racionais Denominador de grau 4 – Raízes Complexas

1) Escreva a expansão em Frações Parciais para p(x)/q(x) considerando os seguintes casos para as raízes do denominador

i) 2 raízes reais simples e 2 raízes complexas conjugadas,

ii) 1 raiz real dupla e 2 raízes complexas conjugadas,

iii) 2 pares de raízes complexas conjugadas (distintas),

iv) 2 raízes complexas conjugadas dupla.

Resolva os exercícios abaixo

2) Thomas, exemplo 4 3) Simmons, exemplo 4

∫ x3+ x2

+ 2 x − 1x 4

− 1dx∫

− 2 x + 4

(x2+ 1) .(x − 1)

2 dx

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Referências Bibliográficas

● Thomas, cap 8, seções 3 e 1.

● Simmons, cap 10, seções 6 e 5.