Prof. Cesário

6 – ESPAÇO PERCORRIDO E DESLOCAMENTO

A tabela ao lado mostra o registro das das velocidades de um corpo.

Instante

(t) em s

Velocidade

(m/s)

0 36

1 15

2 0

3 -9

4 -12

5 -9

6 0

7 15

8 36

O gráfico v = f(t) desse movimento tem a forma:

1 2 3 4 5 6 7 8

v(m/s) 36

24

12

0

-12

-24

-36

t(s)

A equação da velocidade em função do tempo é: v = 3t2 – 24t + 36.

Calculando as integrais nos intervalos 0 a 2 s, 2s a 6 s e 6s a 8 s, temos:

2

0

(3t2 – 24t + 36)dt = t3 – 12t2 + 36t

0

2

= 32

6

2

(3t2 – 24t + 36)dt = t3 – 12t2 + 36t

2

6

= - 32

8

6

(3t2 – 24t + 36)dt = t3 – 12t2 + 36t

6

8

= 32

8

0

(3t2 – 24t + 36)dt = t3 – 12t2 + 36t

0

8

= 32

O deslocamento foi de 32 m.Porém: no intervalo 0 a 2 s, o móvel percorreu 32 m no sentido positivo do eixo das posições pois, a velocidade era positiva;no intervalo 2 a 6 s, o móvel percorreu32 m no sentido negativo do eixo dasposições pois, a velocidade eranegativa; eno intervalo 6 a 8 s, o móvel percorreu32 m no sentido positivo do eixo dasposições pois, a velocidade voltou aser positiva.

Isto significa que a distância realmentepercorrida foi de 32 + 32 + 32 = 96 m.

Do exposto pode-se concluir que:

se v(t) tem raízes t2, t3, ... tn-1 no intervalo t1 a tn, para o calculo

do deslocamento faz-se

tn

t1

v(t)dt

da distância efetivamente percorrida faz-se

t2

t1

v(t)dt

t3

t2

v(t)dt

tn

tn-1

v(t)dt+ + . . . . . . +

onde t2, t3, .... tn são as raízes de v(t) = 0.

As barras indicam que se deve considerar os módulos (valores absolutos) das integrais definidas.

7 - ACELERAÇÃO

Observe as posições inicial e final do ponteiro do velocímetro bem como a marcação norelógio.

Início: v = 20 km/h e t = 15 h 22 min 10 sFinal: v = 190 km/h e t = 15 h 22 min 26 s.

início

fim

No intervalo de tempo t = 16 s a velocidadevariou de 170 km/h.

Tivemos então uma variação de 170/10 = 17 km/h em cada segundo.

Esta variação da velocidade em uma unidade de tempo é denominada aceleração.

Expressando a aceleração matematicamente tem-se:

Aceleração média:

Aceleração instantânea:

a = vt

a = lim = vt

t 0

dvdt

Como foi visto anteriormente, a aceleração tem unidades:

(a) km/h em cada segundo, que se escreve km/h-s

(b) m/s em cada segundo, que se escreve m/s-s ou m/s2.

Responda: o que significa quando se diz que um corpo em queda livre (sem resistência do ar) tem aceleração de 9,8 m/s2? NÃO LEIA A PRÓXIMA INFORMAÇÃO SEM ANTES RESPONDER

Resposta – significa que à medida que o corpo cai, a velocidade aumenta de 9,8 m/s em cada segundo.

Vejamos alguns exemplos:

Solução: a = v/t = (100 – 10)/10 = 9 km/h-s

Solução: como se quer a aceleração em m/s2, a velocidade deverá ser expressa em m/s. 72 km/h = 72 : 3,6 = 20 m/s a = v/t = (0 – 20)/5 = - 4 m/s2.

Exemplo 1 – Um automóvel modifica sua velocidade de 10 km/h para 100 km/h num intervalo de tempo de 10 segundos. Qual é sua aceleração?

Exemplo 2 – Um ônibus com velocidade de 72 km/h leva 5 segundos parapara em uma freada brusca. Qual é, em m/s2, sua aceleração?

Exemplo 3 – Uma nave para viagens interplanetárias deve atingir a velocidadede 11 km/s = 39600 km/h para que possa se livrar a ação gravitacional da Terra. Ela é impulsionada por um foguete. Supondo que a aceleração da nave seja cerca de 7 vezes a aceleração da gravidade (9,8 m/s2), quanto tempo leva a nave para atingir a velocidade de 39.600 km/h?

Solução: 39.600 : 3,6 = 11000 m/s (convertendo em m/s) – velocidade final O foguete parte do repouso, a velocidade no início é zero. a = 7g = 7 x 9,8 = 68,6 m/s2. a = v/t 68,6 = (11000 – 0)/ t t = 11000/69,6 = 158 s = 2 min 38 s.

8 – O MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

Um movimento é dito uniformemente variado quando a aceleraçãoé constante.Sejam então: a – aceleração

v0 – a velocidade no instante t = 0 (velocidade inicial)v – a velocidade no instante tx0 – a posição no instante t = 0x – a posição no instante t

0

0

tDe a = dv/dt tira-se:

dv = adt

tv = at

0

t

0

tv – v0 = at v = v0 + at

0

t

De v = dx/dt tira-se

dx = vdt = (v0 + at)dt0

t 0

tx = v0t + (1/2)at2

0

t

0

t

x – x0 = v0t + (1/2)at2 ou x = x0 + v0t + (1/2)at2

As equações v = v0 + at e x = x0 + v0t + (1/2)at2 são denominadas equações horárias da velocidade e da posição em um movimento uniformemente variado.

9 – OUTRAS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

Façamos x – x0 = x

Temos então as equações: v = v0 + at (I) e x = v0t + (1/2)at2 (II)

Substituindo o valor de v0 da equação (I) na equação (II) resulta:

x = vt - (1/2)at2 (III)

Substituindo o valor de a da equação (I) na equação (II) resulta:

x = (v + v0).t/2 (IV)

Substituindo o valor de t da equação (I) na equação (II) resulta:

v = v02 + 2.a. x (V)

Cada uma das equações apresentam 4 variáveis. Para resolver qualquerproblema devemos ter 3 valores dados e um pedido. Estes 4 elementos identificam a equação a ser usada.

EXERCÍCIOS01 – Uma esfera apresenta um movimento cuja aceleração varia com o tempo segundo a equação: a = 6t2 + 4t + 12, t em segundos e a em m/s2. Se no instante t = 0 a velocidade é 20 m/s e a posição é x = 100 m, determine: a) a equação da velocidade; b) a equação da posição; c) a velocidade no instante t = 5 segundos; d) a posição no instante t = 5 segundos; e) o deslocamento entre t = 2 e t = 5 segundos.  

02 – Um movimento harmônico simples pode ser descrito pela equação x = A.cos (2t/T) onde T é o período, A é a amplitude e x a posição

O período é o tempo gasto para que o bloco percorra 4 amplitudes. Considere que, na figura A = 40 cm, T = 4 segundos e que no instante t = 0, o bloco passe pela posição de equilíbrio em movimento para a direita.  

a) escreva as equações da velocidade e da aceleração em função do tempo; b) qual a velocidade no instante t = 1/3 s? c) quais são as velocidades nos instantes t = 1 e t = 3 segundos? d) qual é a aceleração no instante t = 7/3 s?

3 - Um caminhão passa às 7 h pelo km 50 e às 12 h do mesmo dia pelo km 350.a) Qual foi a velocidade escalar média desse caminhão nesse percurso ?b) Sabendo-se que o limite de velocidade nessa estrada é 80 km/h, é possível garantir-se que em nenhum momento essa velocidade foi ultrapassada ?

4 - Em uma avenida de uma cidade, existem semáforos regularmente espaçados a cada 500 m. Se em todos os semáforos a luz vermelha (sinal de parada) permanece acesa durante 40 s, qual deve ser a velocidade média, em km/h, para que um carro não pare nos semáforos dessa avenida?

5 - Dois móveis A e B movimentam-se ao longo do eixo x, obedecendo às equações móvel A: xA = 100 + 5,0t e móvel B: xB = 5,0t2, onde xA e xB são medidos em m e t em s. Pode-se afirmar que:        a) A e B possuem a mesma velocidade;      b) A e B possuem a mesma aceleração;      c) o movimento de B é uniforme e o de A é acelerado;      d) entre t = 0 e t = 2,0s ambos percorrem a mesma distância;      e) a aceleração de A é nula e a de B tem intensidade igual a 10 m/s2.    

6 - Um móvel parte do repouso com aceleração constante de intensidade igual a 2,0 m/s2 em uma trajetória retilínea. Após 20s, começa a frear uniformemente até parar a 500m do ponto de partida. Em valor absoluto, qual foi a aceleração de freada?  

7 - Uma motocicleta pode manter uma aceleração constante de intensidade 10 m/s2. Qual é a velocidade inicial de um motociclista, com esta motocicleta, que deseja percorrer uma distância de 500m, em linha reta, chegando ao final desta com uma velocidade de intensidade 100 m/s? 

8 - Um ponto material parte do repouso em movimento uniformemente variado e, após percorrer 12 m, está animado de uma velocidade escalar de 6,0 m/s. A aceleração escalar do ponto material, em m/s vale: