ANO LECTIVO DE 2003/2004

Prof. Carlos R. Paiva

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Instituto Superior Técnico

Maio de 2003

1

The history of science reveals that scientific knowledge and method did not spring

full-blown from the minds of the ancient Greeks any more than language and

culture emerged fully formed in the minds of Homo sapiens sapiens. Scientific

knowledge is an extension of ordinary language into greater levels of abstraction

and precision through reliance upon geometric and numerical relationships. We

speculate that the seeds of the scientific imagination were planted in ancient

Greece, as opposed to Chinese or Babylonian culture, partially because the social,

political, and economical climate in Greece was more open to the pursuit of

knowledge with marginal cultural utility.

Robert Nadeau and Menas Kafatos, The Non-Local Universe – The New Physics and

Matters of the Mind (New York: Oxford University Press, 1999)

2

The fifth generation of fiber-optic communication systems is concerned with extending the wavelength range over

which a WDM system can operate simultaneously. The conventional wavelength window, known as the C band,

covers the wavelength range 1.53-1.57 µm. It has been extended on both the long- and short-wavelength sides,

resulting in the L and S bands, respectively. (…) The fifth generation also attempt to increase the bit rate of each

channel within the WDM signal. Starting in 2000, many experiments used channels operating at 40 Gb/s;

migration toward 160 Gb/s is also likely in the future. An interesting approach is based on the concept of optical

solitons – pulses that preserve their shape during propagation in a lossless fiber by counteracting the effect of

dispersion trough the fiber nonlinearity.

Govind P. Agrawal, Fiber-Optic Communication Systems (2002)

After 20 years since the discovery of the optical soliton in fibre, (…) we finally come to the point at which the

soliton has achieved the best result both in the bit rate and in the distance of transmission, of all schemes.

Akira Hasegawa and Yuji Kodama, Solitons in Optical Communications (1995)

(…) it should come as no surprise that solitons are the indisputed long-distance champions for both single-channel

and WDM transmission, or that certain modes, such as single-channel rates greater than 10Gb/s or massive

WDM at a per-channel rate of 10Gb/s, are their exclusive domains.

L. F. Mollenauer, J. P. Gordon, and P. V. Mamyshev, Solitons in High Bit-Rate,

LongDistance Transmission – in I. P. Kaminov and T. L. Koch, Eds., Optical Fiber

Communications IIIA (1997)

3

Índice

Bibliografia 4

1. Introdução 8

2. Efeito não-linear de Kerr numa fibra óptica 12

3. Equação de propagação de impulsos em regime não-linear 20

4. Soluções analíticas da equação NLS: ondas periódicas e ondas solitárias 26

5. Características do solitão fundamental 35

6. Simulação numérica da equação NLS: split-step Fourier method 44

7. Perdas e amplificação óptica periódica: solitão médio 49

8. Diagramas operacionais 54

Apêndice A 59

Apêndice B 61

4

Bibliografia

1. Livros

• G. P. Agrawal, Fiber-Optic Communication Systems

(New York: Wiley, 3rd ed., 2002), Chap. 9

• E. Iannone, F. Matera, A. Mecozzi, and M. Settembre, Nonlinear Optical Communication Networks

(New York: Wiley, 1998), Chaps. 5, 8

• G. P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics

(San Diego, CA: Academic Press, 3rd ed., 2001), Chap. 5

• G. P. Agrawal, Applications of Nonlinear Fiber Optics

(San Diego, CA: Academic Press, 2001), Chap. 8

• A. Hasegawa and Y. Kodama, Solitons in Optical Communications

(Oxford: Clarendon Press, 1995)

• J. R. Taylor, Ed., Optical Solitons – Theory and Experiment

(Cambridge: Cambridge University Press, 1992)

• L. Kazovsky, S. Benedetto, and A. Willner, Optical Fiber Communication Systems

(Boston: Artech House, 1996), Chap. 6

• E. G. Sauter, Nonlinear Optics

(New York: Wiley, 1996), Chaps. 9-10

• D. Marcuse, Theory of Dielectric Optical Waveguides

(Boston: Academic Press, 2nd ed., 1991), Chap. 9

• A. Yariv, Optical Electronics in Modern Communications

(New York: Oxford University Press, 5 th ed., 1997), Chap. 19

• B. E. A. Saleh and M. C. Teich, Fundamentals of Photonics

(New York: Wiley, 1991), pp. 786-793

• I. P. Kaminov and T. L. Koch, Eds., Optical Fiber Telecommunications IIIA

(San Diego: Academic Press, 1997), Chap. 12

• G. P. Agrawal and R. W. Boyd, Eds., Contemporary Nonlinear Optics

(Boston: Academic Press, 1992), Chap. 2

• N. N. Akhmediev and A. Ankiewicz, Solitons, Nonlinear Pulses and Beams

(London: Chapman & Hall, 1997)

• F. Abdullaev, S. Darmanyan, and P. Khabibullaev, Optical Solitons

(Berlin: Springer-Verlag, 1993)

• P. G. Drazin and R. S. Johnson, Solitons: An Introduction

5

(Cambridge: Cambridge University Press, 1993)

• M. J. Ablowitz and H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform

(Philadelphia: SIAM – Society for Industrial and Applied Mathematics, 1985)

• G. L. Lamb, Jr., Elements of Soliton Theory

(New York: Wiley, 1980)

• R. K. Dodd, J. C. Elbeck, J. D. Gibson, and H. C. Morris, Solitons and Nonlinear Evolution Equations

(New York: Academic Press, 1982)

• E. Infeld and G. Rowlands, Nonlinear Waves, Solitons and Chaos

(Cambridge: Cambridge University Press, 1990)

• M. J. Ablowitz and P. A. Clarkson, Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering

(Cambridge: Cambridge University Press, 1992)

• G. B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves

(New York: Wiley, 1974)

• L. D. Faddeev and L. A. Takhtajan, Hamiltonian Methods in the Theory of Solitons

(Berlin: Springer-Verlag, 1987)

• H. Goldstein, Classical Mechanics

(Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 2nd ed., 1980)

2. Artigos em revistas

• P. M. Ramos and C. R. Paiva, “Influence of Cross-Phase Modulation on Self-Routing Pulse Switching

in Nonlinear Optical Fibers,” Microwave & Optical Technology Letters, vol. 15, pp. 91-95, June 1997

• P. M. Ramos and C. R. Paiva, “Optimization and Characterization of Phase-Controlled All-Optical

Switching with Fiber Solitons,” IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics, vol. 3, pp. 1224-

1231, Oct. 1997

• L. M. Manica and C. R. Paiva, “Combined Effect of Group Velocity and Group-Velocity Dispersion

Mismatches on Wavelength-Division Multiplexing with Fiber Solitons,” Microwave & Optical Technology

Letters, vol. 18, pp. 154-159, June 1998

• J. R. Costa and C. R. Paiva, “Multichannel Soliton Amplification in Erbium-Doped Fiber Amplifiers,”

Microwave & Optical Technology Letters, vol. 19, pp. 309-313, Nov. 1998

• F. M. Janeiro, P. M. Ramos, and C. R. Paiva, “Hamiltonian Formulation for Dispersion-Managed

WDM Soliton Communication Systems,” Microwave & Optical Technology Letters, vol. 21, pp. 72-77, Apr.

1999

• P. M. Ramos and C. R. Paiva, “All-Optical Pulse Switching in Twin-Core Fiber Couplers with

Intermodal Dispersion,” IEEE Journal of Quantum Electronics, vol. 35, pp. 983-989, June 1999

6

• C. R. Paiva, A. L. Topa, and A. M. Barbosa, “Influence of Intermodal Dispersion on the Switching of

Solitons at Different Wavelengths in Twin-Core Fiber Couplers,” Journal of the Optical Society of America

B, vol. 16, pp. 1636-1641, Oct. 1999

• P. M. Ramos and C. R. Paiva, “Self-Routing Switching of Solitonlike Pulses in Multiple-Core

Nonlinear Fiber Arrays,” Journal of the Optical Society of America B, vol. 17, pp. 1125-1133, July 2000

• J. R. Costa, C. R. Paiva, and A. M. Barbosa, “Modified Split-Step Fourier Method for the Numerical

Simulation of Soliton Amplification in Erbium-Doped Fibers with Forward-Propagating Noise,”

IEEE Journal of Quantum Electronics, vol. 37, pp. 145-152, Jan. 2001

• J. R. Costa, P. M. Ramos, C. R. Paiva, and A. M. Barbosa, “Numerical Study of Passive Gain

Equalization With Twin-Core Fiber Coupler Amplifiers for a WDM System,” IEEE Journal of Quantum

Electronics, vol. 37, pp. 1553-1561, Dec. 2001

Leitura recomendada:

Akira Hasegawa, “Soliton-Based Optical Comunications: An

Overview,” IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics, vol. 6,

pp. 1161-1172, November/December 2000

Linn F. Mollenauer (na fotografia com Kevin Smith) foi o primeiro

a observar experimentalmente a propagação de solitões em fibras

ópticas (1980).

Artigo recomendado:

L. F. Mollenauer, R. H. Stolen, and J. P. Gordon, “Experimental

observation of picosecond pulse narrowing and solitons in optical

fibers,” Phys. Rev. Lett., vol. 45, pp. 1095-1098, 1980

7

Em Julho de 1995 uma reunião internacional de cientistas

testemunhou a recriação da famosa observação de Scott Russell

em Union Canal (Edinburgh):

http://www.ma.hw.ac.uk/solitons/press.html

I was observing the motion of a boat which was rapidly drawn

along a narrow channel by a pair of horses, when the boat

suddenly stopped – not so the mass of water in the channel which

it had put in motion; it accumulated round the prow of the vessel

in a state of violent agitation, then suddenly leaving it behind,

rolled forward with great velocity, assuming the form of a large

solitary elevation, a rounded, smooth and well-defined heap of

water, which continued its course along the channel apparently

without change of form or diminution of speed. I followed it on

horseback, and overtook it still rolling on at a rate of some eight

or nine miles an hour, preserving its original figure some thirty feet

long and a foot to a foot and a half in height…

J. S. Russell, “Report on Waves,” in Report to the Fourteenth Meeting (1844) of British

Assn. for Advancement of Science (London), p. 311, 1845

Dispersion-managed solitons, now being developed by a number of different groups, can resolve the technical

problems that in the past have prevented the use of the soliton transmission format in optical fiber communication

systems. Given the rapid progress being made by researchers, within two years an Internet backbone powered by

these inherently stable and robust nonlinear optical pulses will be a reality.

Wladek Forysiak, Jeroen H. B. Nijhof, and Nick J. Doran, “Dispersion Managed Solitons: The

Key to Terabit Per Second Optical Fiber Communication Systems,” in Optics & Photonics News,

pp. 35-39, May 2000

8

1. Introdução

Comecemos por notar que, se z é um número complexo da forma biaz += , então za ℜ=

e zb ℑ= . Donde

( ) ( )babibaaz 23233 33 −−−= (1.1)

pelo que

zzzz 233 3 ℑℜ−ℜ=ℜ . (1.2)

Por outro lado, tem-se

( ) ( )babibaazzzz 232322 +++== ∗ (1.3)

de maneira que

zzzzz 322 ℜ−ℜ=ℑℜ . (1.4)

Assim, substituindo a Eq. (1.4) na Eq. (1.2), vem então

zzzz 233

43

41

ℜ+ℜ=ℜ . (1.5)

No vácuo, a relação entre o deslocamento eléctrico D e o campo eléctrico E , é dada

por

ED 0ε= . (1.6)

Num meio material, porém, a eq. (1.6) deixa de ser válida. Em vez dela deve-se escrever

PED +ε= 0 (1.7)

9

em que P é a chamada polarização eléctrica. No caso dos meios serem isotrópicos, P é um

vector paralelo a E e, consequentemente, paralelo a D . Nestas condições, tem-se

( )∑∞

=

χε=1

0n

nn EP (1.8)

o que mostra que, em geral, o meio é não-linear.

No regime linear considera-se, apenas, o termo 1=n da Eq. (1.8). Donde

( )EP 10 χε= ⇒ ( )[ ]EED 1

00 1 χ+ε=εε= . (1.9)

Num meio com simetria de inversão, as características materiais não se alteram

quando se faz uma inversão em relação ao centro de coordenadas. Assim, quando se modifica

o campo aplicado de E para E− , a polarização eléctrica deverá também modificar-se de P

para P− . Porém, de acordo com a Eq. (1.8), todos os termos correspondentes a potências

pares não alteram o sinal. Assim, num meio com simetria de inversão, deverá ter-se

( ) 02 =χ n (1.10)

na expansão da Eq. (1.8). Quando se desprezam todas as contribuições de ordem 5≥n ,

resulta então

( ) ( ) 330

10 EEP χε+χε= . (1.11)

Nas fibras ópticas usuais, a Eq. (1.11) é suficiente para descrever o comportamento não-

linear. Portanto, a parte não-linear da polarização reduz-se a

( ) ( ) ( )tEtPNL ,, 330 rr χε= . (1.12)

Admitiremos, doravante, que se tem uma portadora de frequência (angular) 0ω e que

10

( ) ( ) ( ) titEtE 0exp,, ω−ℜ= rr (1.13a)

( ) ( ) ( ) titPtP 0exp,, ω−ℜ= rr (1.13b)

onde as grandezas E e P são as envolventes que, supostamente, variam lentamente com o

tempo. Logo, de acordo com a Eq. (1.5), tem-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tPtPtP NLNLNL ,,, 00 3 rrr ωω += (1.14)

em que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) titPtP NLNL 0exp,, 00 ω−ℜ= ωω rr (1.15a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) titPtP NLNL 033 3exp,, 00 ω−ℜ= ωω rr (1.15b)

e onde

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tEtEtPNL ,,43,

230

0 rrr χε=ω (1.16a)

( ) ( ) ( ) ( )tEtPNL ,41, 33

03 0 rr χε=ω . (1.16b)

A presença de uma componente de frequência 03ω indica que, no regime não-linear, se dá a

geração de uma terceira harmónica. Esta componente é geralmente desprezada nas fibras

ópticas pois sai fora da banda de interesse prático. Assim, vai-se apenas considerar

( ) ( )tEtP NLNL ,, 0 rr εε= (1.17)

onde se tem

( ) ( ) 23 ,43 tENL rχ=ε . (1.18)

É costume, ainda, introduzir

11

22

22 ∗′+=+=′ EnnEnnn (1.19)

em que 2∗E representa a intensidade óptica. Facilmente se verifica que, se se definir

( ) NLn ε+ε=′=ε′ 2 (1.20)

vem

( )12 1 χ+==ε n (1.21a)

222 EnnNL =ε (1.21b)

com

( )32 8

3χ=

nn (1.22)

e onde se desprezou o termo em 22n visto tratar-se de uma perturbação de ordem superior. De

acordo com o que se verá na secção seguinte, tem-se

22 nyn ′= ∗ (1.23)

onde ∗y é uma admitância apropriada. Muitas vezes considera-se simplesmente 0Yy =∗ , pelo

que

20

02 nn

εµ

=′ . (1.24)

12

2. Efeito não-linear de Kerr numa fibra óptica Sendo β a constante de propagação longitudinal em regime linear e n o correspondente

índice de refracção modal, tem-se

0kn=β (2.1)

em que λπ=ω= /2/0 ck representa a constante de propagação no vácuo.

No plano transversal ( )yx, o índice de refracção da fibra é ( )yxnn ,= tal que

( ) ( )yxnyx ,, 2=ε (2.2)

onde ε é a constante dieléctrica relativa. No regime linear, a equação de Helmholtz permite

escrever

( )[ ] ( ) 0,, 220

22 =β−+∇ yxFkyxnFt (2.3)

tendo-se, em coordenadas rectangulares,

2

2

2

22

yF

xFFt ∂

∂+

∂∂

=∇ . (2.4)

Admite-se que, na aproximação dos modos LP para fibras de pequeno contraste dieléctrico, se

pode considerar

( ) ( )tzyxEtzyx ,,,ˆ,,, xE = (2.5)

13

i.e, admite-se que 0x yH E= = no caso xLP . Considera-se então

( ) ( ) ( )tzByxFtzyxE ,,,,, = (2.6)

em que

( ) ( ) ( )[ ]tzitzAtzB 00exp,, ω−β= (2.7)

onde 0ω é a frequência (angular) da portadora. Note-se que ( )00 ωβ=β , sendo ( )yxF , a

função modal. Enquanto que ( )tzB , é uma função de variação rápida (quer em z quer em t ),

a amplitude ( )tzA , é uma função de variação lenta que designaremos por envolvente do

campo. Sendo ( )yxF , adimensional, a amplitude ( )tzA , tem as dimensões de campo

eléctrico, i.e., [ ] V/m=A .

Suponhamos, agora, que se perturba a constante dieléctrica relativa de tal forma que

( ) ε∆+ε=ε′ yx, (2.8)

independentemente do processo que deu origem a essa perturbação. Mostra-se no Apêndice A

que, em consequência, a nova constante de propagação longitudinal será

β∆+β=β′ (2.9)

em que

2

220

2 F

Fk ε∆

β=β∆ (2.10)

14

e onde se adoptou a notação

( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

ψ=ψ dydxyx, . (2.11)

Porém, de acordo com a Eq. (2.2), vem

( ) nyxn ∆=ε∆ ,2 (2.12)

pelo que a Eq. (2.10) ainda se escreve na forma

2

220

F

Fnnk ∆

β=β∆ . (2.13)

Então, se se admitir a aproximação ( ) nyxn ≈, , vem ainda

2

2

0 F

Fnk

∆=β∆ (2.14)

onde se atendeu, também, à Eq. (2.1).

Numa fibra óptica de sílica, o efeito não-linear de Kerr estabelece que

( ) 22, ∗′+=′ Enyxnn (2.15)

15

onde, tipicamente, /Wm103 2202

−×=′n . Na Eq. (2.15) introduziu-se um campo fictício ∗E tal

que

IEyE == ∗∗22 (2.16)

onde [ ] 2W/m=I representa a intensidade óptica uma vez que ∗y é uma admitância

apropriada. Note-se que, assim, vem

( ) ( ) ( ) 222 ,,,,, tzAyxFytzyxE ∗∗ = (2.17)

de acordo com as Eqs. (2.6) e (2.7).

Admitindo, então, que

22 ∗′=∆ Enn (2.18)

tira-se da Eq. (2.14) que

( ) 2

2

4

02 , tzAF

Fkny ′=β∆ ∗ . (2.19)

Introduzamos, agora, uma nova amplitude

( ) ( )tzAFytzQ ,, 2∗= . (2.20)

Assim, a Eq. (2.19) ainda pode ser escrita na forma

16

( ) 2, tzQγ=β∆ (2.21)

em que

AA λ′π

=′

=γ 202 2 nkn (2.22)

e onde A é a área efectiva dada por

( )

( )∫ ∫

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

==dydxyxF

dydxyxF

F

F

,

,

4

2

2

4

22

A . (2.23)

Na aproximação gaussiana

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−= 2

0

22

2exp,

wyxyxF (2.24)

verificando-se, deste modo, que

202 wπ=A (2.25)

pelo que

17

20

2

wnλ′

=γ . (2.26)

O conjunto de normalizações que se adoptou, em que [ ] 11mW −−=γ , faz com que

( ) 2, tzQ represente a potência transportada ( )tzP , , donde

( )tzP ,γ=β∆ (2.27)

de acordo com a Eq. (2.21). Como, por outro lado, se tem

( ) ( ) ( )ztPtzP in α−= exp, (2.28)

onde α é o coeficiente de atenuação, a fase não-linear gerada pelo efeito de Kerr será

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ γ=β∆=β−β′=φL LL

NL dztzPdzdzt0 00

, (2.29)

e daí o nome de auto-modulação de fase (AMF). Portanto

( ) ( )LtPt inNL γ=φ (2.30)

onde L é o comprimento efectivo tal que

( )[ ]Lα−−α

= exp11L . (2.31)

18

Num impulso, o desvio da frequência instantânea local (em relação à portadora)

provocado pela AMF é

( )dt

dPdt

dt inNL Lγ−=φ

−=δω . (2.32)

Assim, na frente do impulso, tem-se

0>dt

dPin ⇒ ( ) 0<δω t (2.33)

dando, assim, origem a um desvio para o vermelho. Analogamente, na cauda do impulso, será

0<dt

dPin ⇒ ( ) 0>δω t (2.34)

provocando, portanto, um desvio para o azul.

O coeficiente da dispersão da velocidade de grupo (DVG), como se viu anteriormente,

é dado por

( )0

022

1

ω=ωω∂

∂

ω−=β g

g

vv

. (2.35)

Na zona de dispersão anómala ( )Dλ>λ , em que 02 <β , tem-se então

00

>ω∂

∂

ω=ω

gv (2.36)

19

pelo que as frequências mais altas se deslocam mais rapidamente do que as frequências mais

baixas. Verifica-se assim que, devido à DVG, existe um desvio para o azul na frente do

impulso e um desvio para o vermelho na sua cauda – precisamente o contrário do efeito

provocado pela AMF. Assim, na zona de dispersão anómala, os efeitos da DVG e da AMF

têm uma acção antagónica. É por esta razão que, quando 02 <β , é possível (como se verá

adiante) a propagação de solitões (de primeira ordem) – i.e., de impulsos que conservam a sua

forma ao longo da propagação. Na zona de dispersão normal, em que 02 >β , só se podem

propagar solitões escuros (dark solitons) ou topológicos. Aos solitões que ocorrem na zona de

dispersão anómala chamam-se também, por oposição, solitões claros (bright solitons) –

embora seja mais frequente designá-los simplesmente por solitões.

20

3. Equação de propagação de impulsos em regime não-linear Devido ao efeito óptico de Kerr, a propagação de impulsos numa fibra óptica monomodal em

regime não-linear dispersivo (RNLD) é governada, simultaneamente, pela DVG e pela auto-

modulação de fase (AMF) – além de outros efeitos de ordem superior. Em determinadas

circunstâncias especiais, nomeadamente quando se propagam solitões fundamentais, existe

um equilíbrio permanente entre a DVG e a AMF: os impulsos propagam-se sem alteraração

da forma – se se desprezar o efeito das perdas.

No regime linear, como se viu anteriormente, tem-se

( ) ( ) ( )ΩΩ=Ω ,,0~,~ zfAzA (3.1)

em que

( ) ( )[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α−Ω℘=Ω zzizf

2expexp, (3.2a)

( ) ∑∞

=

Ωβ

=Ω℘1 !m

mm

m (3.2b)

e onde α é a constante de atenuação (de potência). Na prática desprezam-se sempre os termos

de ordem 4≥m e escreve-se

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ωβ+Ωβ+Ωβ=Ω zzizf

2exp

61

21exp, 3

32

21 . (3.3)

Em regime não-linear admite-se que a perturbação introduzida pelo efeito óptico de

Kerr não afecta a função modal ( )yxF , . Contudo, a constante de propagação longitudinal é,

de acordo com a Eq. (2.9), β∆+β=β′ em que a perturbação β∆ é dada pela Eq. (2.21).

Assim, introduzindo – de acordo com a Eq. (2.20) – a nova amplitude ( )tzQ , , deverá

escrever-se

( ) ( ) ( )ΩΩ=Ω ;,,0~;,~ tzgQtzQ (3.4)

21

em vez da Eq. (3.1), com

( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ςςβ∆Ω=Ω ∫

z

dtizftzg0

,exp,;, . (3.5)

De acordo com a Eq. (2.21), vem ainda

( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ςςγΩ=Ω ∫

z

dtQizftzg0

2,exp,;, . (3.6)

Note-se que, pela regra de Leibniz, se tem

( ) ( ) 2

0

2 ,, tzQdtQz

z

=ςς∂∂∫ . (3.7)

Não obstante a envolvente ( )tzQ , variar com o tempo, essa variação é, contudo, lenta.

Em conformidade, vai-se desprezar doravante essa variação. Deste modo, obtém-se

( ) QQitzRzQ 2, γ+=∂∂ (3.8)

em que

( ) QtdQ

tQi

tQtzR

261

21, 3

3

32

2

21α

−∂

β+∂∂

β−∂∂

β−= (3.9)

representa a parte linear da equação (já considerada anteriormente).

Logo, utilizando as variáveis normalizadas ( )τζ, – já introduzidas no regime linear – ,

tais que

DLz

=ζ (3.10a)

22

0

1

τβ−

=τzt (3.10b)

com

2

20

βτ

=DL (3.11)

infere-se então

( ) QQQLid

QQiQD 2

sgn21 2

3

3

2

2

2Γ

−=γ−τ

∂κ−

τ∂∂

β+ζ∂

∂ (3.12)

em que

02

3

6 τββ

=κ (3.13a)

DLα=Γ . (3.13b)

Agora, introduzindo uma nova amplitude normalizada (i.e., adimensional) ( )τζ,U tal

que

( ) ( )0

,,P

QU τζ=τζ (3.14)

onde 0P é a potência de pico do impulso incidente, é possível reescrever a Eq. (3.12) na

forma

( ) UiUUNd

UiUUi2

sgn21 22

3

3

2

2

2Γ

−=+τ

∂κ−

τ∂∂

β−ζ∂

∂ (3.15)

em que

23

02 PL

LL

N DNL

D γ== (3.16)

e onde se introduziu ainda o comprimento não-linear tal que

0

1P

LNL γ= . (3.17)

Note-se que o coeficiente N (não necessariamente um número inteiro) é dado pela expressão

A2

020

2βλ′π

τ=Pn

N (3.18)

ou, de acordo com a aproximação gaussiana,

2

02

0

0

βλ′τ

=Pn

wN . (3.19)

É frequente, ainda, introduzir-se uma nova amplitude normalizada ( )τζ,u tal que

( ) ( )τζ=τζ ,, UNu . (3.20)

Facilmente se verifica que, com esta nova ampliude, a Eq. (3.15) se escreve na forma

( ) 3

32

2

2

2 2sgn

21

τ∂

κ+Γ

−=+τ∂∂

β−ζ∂∂

duiuiuuuui . (3.21)

As Eqs. (3.15) e (3.21) são as equações não-lineares de propagação de impulsos em

fibras ópticas (regime monomodal). Deve salientar-se, porém, que estas equações não

consideram os efeitos não-lineares de ordem superior (tais como o efeito Raman ou o self-

24

steepening). Por isso, estas equações não são aplicáveis a impulsos ultra-curtos (com durações

da ordem dos subpicosegundos ou dos femtosegundos).

A Eq. (3.21) reduz-se à forma canónica da equação não-linear de Schrödinger (NLS)

desde que se desprezem as perdas ( 0=Γ ) bem como a dispersão de ordem superior ( 0=κ ),

vindo então

( ) 0sgn21 2

2

2

2 =+τ∂∂

β−ζ∂∂ uuuui . (3.22)

Em termos relativamente simplistas pode dizer-se que, numa ligação óptica (por

impulsos) de comprimento L , vigora o regime linear (RL) desde que LLNL > . O regime

não-linear (RNL) governa a propagação quando LLNL < , i.e., quando a potência de pico do

impulso incidente observa a relação

Ln

P2

0 2 ′πλ

>A . (3.23)

Trata-se, obviamente, de uma classificação simplista pois é difícil dizer o que se passa quando

NLLL ≈ : há falta de melhor critério deve, neste caso, considerar-se a equação não-linear de

propagação. Dentro desta classificação grosseira, é possível distinguir quatro regimes de

propagação, a saber:

• O regime linear não-dispersivo (RLND) quando LLD > e LLNL >

• O regime linear dispersivo (RLD) quando LLD < e LLNL >

• O regime não-linear não-dispersivo (RNLND) quando LLD > e LLNL <

• O regime não-linear dispersivo (RNLD) quando LLD < e LLNL <

Note-se que, no RLND como no RNLND, é possível desprezar a acção da DVG. Por

outro lado, no RLND como no RLD, é possível desprezar a acção da AMF. Assim, no RLD

apenas actua a DVG enquanto que no RNLND apenas actua a AMF. Só no RNLD, em que

tanto a DVG como a AMF estão presentes, é que se podem propagar solitões: na zona de

dispersão normal ( Dλ<λ ), solitões escuros ou topológicos; na zona de dispersão anómala

25

( Dλ>λ ), solitões claros (ou, simplesmente, solitões). Na prática, porém, a ocorrência do

RLND (como, aliás, do RNLND) é rara: só é possível desprezar a DVG para impulsos tais

que

L20 β>τ . (3.24)

26

4. Soluções analíticas da equação NLS: ondas periódicas e ondas solitárias Vai-se, nesta secção, averiguar quais as soluções analíticas que a equação NLS admite. Antes

de mais vai-se restringir a nossa análise à zona de dispersão anómala onde podem ocorrer,

como já se referiu, solitões claros. Assim, fazendo ( ) 1sgn 2 −=β na Eq. (3.22), a equação NLS

tem a forma

021 2

2

2

=+τ∂∂

+ζ∂∂ uuuui . (4.1)

O método analítico mais geral que permite estudar as soluções desta equação é o

método inverso da dispersão ou IST (inverse scattering transform). Trata-se, porém, de um

método matemático avançado que não iremos considerar no âmbito destes apontamentos.1

Vai-se adoptar, para encontrar possíveis soluções da Eq. (4.1), um método mais usual.

Admitiremos que a solução desta equação se pode escrever como

( ) ( ) ( )[ ]τζτζ=τζ ,exp,, 0 ZiYuu (4.2)

em que 0,0 >Yu e Z é real. Então, tem-se

( )ZiYuuu exp330

2 = , (4.2a)

( )ZiZYiYuu exp0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ζ∂

∂+

ζ∂∂

=ζ∂∂ , (4.2b)

( )ZiZYiZYZYiYuu exp2 2

22

2

2

02

2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

τ∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τ∂∂

−τ∂

∂τ∂

∂+

τ∂∂

=τ∂∂ . (4.2c)

Agora, substituindo estas expressões na Eq. (4.1) e igualando a zero quer a parte real quer a

parte imaginária, obtêm-se as duas equações

1 O leitor mais interessado pode consultar, e.g., a seguinte monografia: M. J. Ablowitz and H. Segur, Solitons

and the Inverse Scattering Transform (Philadelphia, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1985).

27

022 320

2

2

2

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τ∂∂

−ζ∂

∂−

τ∂∂ YuZYZYY , (4.3a)

0222

2

=ζ∂

∂+

τ∂∂

τ∂∂

+τ∂

∂ YZYZY . (4.3b)

Para resolver estas duas equações vai-se ainda admitir, em tudo o que se segue, que se

pode escrever

( ) ( )θ=τζ yY , , (4.4a)

( ) ( ) ζ+θΘ=τζ aZ , , (4.4b)

em que

ζξ+τ=θ . (4.5)

A constante real ξ , que por enquanto não tem qualquer significado especial, tem – como se

verá mais adiante – o usual significado de frequência normalizada. Embora possa parecer

estranha a inclusão do termo ζa na Eq. (4.4b), ver-se-à mais adiante que era necessária esta

inclusão.

De acordo com as Eqs. (4.4a) e (4.5), vem

θ

ξ=ζ∂θ∂

θ=

ζ∂∂

ddy

ddyY , (4.6a)

θ

=τ∂θ∂

θ=

τ∂∂

ddy

ddyY . (4.6b)

Pelo que

τ∂

∂ξ=

ζ∂∂ YY . (4.7)

Analogamente, das Eqs. (4.4b) e (4.5), vem

28

τ∂

∂ξ+=

ζ∂∂ ZaZ . (4.8)

Agora, substituindo a Eq. (4.7) na Eq. (4.3b), tira-se que

0222

2

=τ∂

∂ξ+

τ∂∂

τ∂∂

+τ∂

∂ YZYZY , (4.9)

a qual, depois de ser integrada, conduz a

122 CZY =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ξ+

τ∂∂ , (4.10)

onde 1C é uma constante de integração. Se se fizer 01 =C , infere-se que

ξ−=θΘ

=τ∂

∂ddZ , (4.11)

ou seja

( ) 2C+θξ−=θΘ , (4.12)

onde 2C é outra constante de integração. Fazendo 02 φ=C , resulta das Eqs. (4.4b), (4.5) e

(4.12), que

( ) 02 φ+ζξ−+τξ−= aZ . (4.13)

Uma vez encontrada a função ( )τζ,Z , passemos a determinar a função ( )τζ,Y . Da Eq.

(4.13) vem

2ξ−=ζ∂

∂ aZ . (4.14)

Então, substituindo este resultado na Eq. (4.3a), tira-se que

29

( )yayud

yd 22 23202

2

−ξ−−=θ

, (4.15)

onde se atendeu ainda à Eq. (4.4a) bem como ao facto de ser

2

2

2

2

θ=

τ∂∂

dydY . (4.16)

Façamos agora

220 22 ξ−= au . (4.17)

Nestas condições a Eq. (4.15) reduz-se a

yuyud

yd 20

3202

2

22 +−=θ

. (4.18)

Então, procedendo à mudança de variável

θ= 02 ux , (4.19)

obtém-se a conhecida equação cnoidal

032

2

=−+ yydx

yd. (4.20)

No Apêndice B analisam-se as soluções desta equação. Como aí se demostra, existem

soluções periódicas e uma solução do tipo onda solitária. Porém, em tudo o que se segue nesta

secção, apenas se considera a solução particular

( ) ( )00 sech xxyxy +µ= (4.21)

30

para a Eq. (4.20). Logo, tendo em consideração que

( ) ( )xx 22 sech1tanh −= , (4.22a)

( )[ ] ( ) ( )xxxdxd tanhsechsech −= , (4.22b)

( )[ ] ( )xxdxd 2sechtanh = , (4.22c)

infere-se que que a Eq. (4.21) é solução da Eq. (4.20) desde que

µ= 20y , (4.23a)

12 =µ . (4.23b)

Como deve ser 00 >y , a solução aceitável da Eq. (4.23b) é 1=µ . Assim, a Eq. (4.21) assume

a forma

( ) ( )0sech2 xxxy += . (4.24)

Logo, de acordo com a Eq. (4.19), vem

( ) ( )[ ]002sech2 quy −θ=θ (4.25)

onde se introduziu a constante 0q tal que

000 2 qux −= . (4.26)

Portanto, a solução apresentada na Eq. (4.2) reduz-se, nestas condições, a

( ) ( )[ ] ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϑ+ζξ−η+τξ−−ζξ+τηη=τζ 0

220 2

expsech, iiiqu (4.27)

onde se introduziu o coeficiente

31

02 u=η . (4.28)

Pode, agora, compreender-se a necessidade de introduzir o coeficiente a na Eq.

(4.4b). Com efeito, de acordo com as Eqs. (4.17) e (4.28),

( )22

21

ξ+η=a . (4.29)

Logo, se 0=a , viria

22 ξ−=η . (4.30)

Porém, de acordo com a Eq. (4.28), esta última equação é incompatível com a suposição de

que a amplitude 0u deve ser real.

Quando na Eq. (4.27) se faz 0=ξ , vem mais simplesmente

( ) ( )[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ζη−τηη=τζ

2expsech, 2

0 iqu . (4.31)

Esta solução revela claramente que se trata de uma onda solitária, uma vez que se propaga

sem deformação e é uma envolvente localizada, i.e.,

( ) ( )[ ]0sech, qu −τηη=τζ (4.32)

não depende do ponto ζ sendo apenas uma função de τ e, além disso, tem-se

( ) 0,lim =τζ±∞→τ

u . (4.33)

O parâmetro ξ representa o desvio normalizado de frequência, tal que

32

( ) 000 τω−ω=τΩ=ξ , (4.34)

em relação à portadora 0ω . O parâmetro η estabelece, simultaneamente, a amplitude e a

largura do impulso. O parâmetro 0q define o centro do impulso em relação a 0=τ=ζ .

Finalmente, o parâmetro 0ϑ estabelece a fase para 0=τ=ζ .

À solução apresentada nas Eqs. (4.27) e (4.31) dá-se o nome de solitão fundamental. A

sua forma canónica é apresentada fazendo 1=η e 00 =q na Eq. (4.31):

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ζ

τ=τζ2

expsech, iu . (4.35)

Mostra-se, usando a IST, que qualquer impulso incidente

( ) ( )τ=ζ=τ ,00 uu (4.36)

com a forma

( ) ( )τ=τ sech0 Nu , (4.37)

em que o parâmetro N , introduzido nas Eqs. (3.16) e (3.20), seja um número inteiro, conduz

à propagação de um solitão de ordem N . Porém, ao contrário do solitão fundamental com

1=N , todos os solitões com 2≥N não mantêm a sua forma como na Eq. (4.32): mostram,

em vez disso, uma evolução periódica com período 2/0 π=ζ que, em unidades reais,

corresponde a

2

20

0 22 βτπ

=π

= DLz . (4.38)

Nas Figs. 1 e 2 representam-se os solitões de primeira e terceira ordem.

33

Fig. 1 – Evolução do solitão fundamental.

Fig. 2 – Evolução do solitão de terceira ordem.

34

As expressões dos solitões de ordem superior são de tal forma complicadas que é quase

impossível, à excepão do solitão 2=N , apresentá-las de forma fechada. Para o solitão de

segunda ordem, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ζ

ζ+τ+ττζ+τ

=τζ2

exp4cos32cosh44cosh

cosh4exp33cosh4, iiu . (4.39)

35

5. Características do solitão fundamental Com base na Eq. (4.27) – que representa a forma mais geral do solitão fundamental – vai-se

analisar, nesta secção, quais as principais características do solitão de ordem 1=N .

A Eq. (4.27) pode ser reescrita na forma alternativa

( ) ( )[ ] ( )[ ]φ+−τξ−−τηη=τζ iqiqu expsech, (5.1)

desde que se faça

0qq +ζξ−= , (5.2a)

( ) 022

21

φ+ζξ+η=φ , (5.2b)

000 qξ−ϑ=φ . (5.2c)

A Eq. (5.1) é, assim, equivalente à Eq. (4.27) se se fizer ( )ζ= qq e ( )ζφ=φ tais que

ξ−=ζd

dq , (5.3a)

( )22

21

ξ+η=ζφ

dd . (5.3b)

Definem-se as seguintes quantidades normalizadas (i.e., adimensionais):

∫∞

∞−

τ= duW 2 , (5.4a)

τ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τ∂∂

−τ∂

∂= ∫

∞

∞−

∗∗

duuuuiM2

, (5.4b)

∫∞

∞−

τ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

τ∂∂

−= duuH2

4 . (5.4c)

36

Enquanto W representa a energia normalizada, M e H representam o momento e a

hamiltoniana, respectivamente. Mostra-se que, relativamente à Eq. (5.1), todas estas três

quantidades são conservadas (i.e., não variam com ζ ), tendo-se

η= 2W , (5.5a)

ηξ−= 2M , (5.5b)

ηξ−η= 23 232H , (5.5c)

desde que se considere a Eq. (4.1) como governando a propagação.

Note-se que a frequência normalizada pode ser calculada através de

WM

−=ξ , (5.6)

ou seja

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

∗∗

τ

τ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τ∂∂

−τ∂

∂

−=ξdu

duuuui

22. (5.7)

Em unidades reais, o solitão fundamental da Eq. (4.27) corresponde, desde que se faça

1=η e 000 =φ==ξ q , a

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τβ−

=DL

ziztPtzQ2

expsech,0

10 , (5.8)

de acordo com as Eqs. (3.14) e (3.20) e atendendo ainda a que 1=N . Logo, a energia do

solitão fundamental será efectivamente dada por

( ) 002 2, τ== ∫

∞

∞−

PdttzQEs , (5.9)

37

uma vez que, se 0>a ,

( )∫∞

∞−

=a

dxxa 2sech 2 . (5.10)

Porém, da Eq. (5.9), não se pode inferir que a energia seja proporcional à largura temporal.

Com efeito, de acordo com a Eq. (3.16), a potência de pico do solitão fundamental

corresponde a

20

20 τγ

β=P (5.11)

atendendo ainda à Eq. (3.11). Assim, das Eqs. (5.9) e (5.11), infere-se que

0

22τγ

β=sE (5.12)

pelo que a energia do solitão fundamental é inversamente proporcional à largura temporal.

Uma medida frequente da largura temporal do solitão fundamental é sτ definida como

sendo xs t2=τ em que ( ) 2, xtzQ é metade do valor máximo 0P , i.e., sτ é a largura FWHM

(full width at half maximum). Assim,

( )2cosh 10

−τ=xt . (5.13)

Então, como para 1>x se tem

( ) ( )1lncosh 21 −+=− xxx , (5.14)

conclui-se que

38

( ) 00 763.121ln2 τ≈+τ=τ s . (5.15)

Sendo ( ) ( )tatf sech= , com ,0>a tem-se

( ) ( ) ( )∫∞

∞−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ωππ=Ω=Ω

aadttitfF

2sechexp . (5.16)

Deste modo, de acordo com a Eq. (5.8), vem

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+Ωβ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ τΩπ

τπ=Ω zL

iPzQD2

1exp2

sech,~1000 (5.17)

para o espectro do solitão fundamental. Note-se que ( )Ω,~ zQ não depende de z . Designando

a largura FWHM de ( ) 2,~ΩzQ por ss ∆Ω=ω∆ , obtém-se então

( )00

122.121ln4τ

≈+τπ

=ω∆ s (5.18)

pelo que

( ) 978.121ln8 2 ≈+π

=ω∆τ ss . (5.19)

Pelo teorema de Parseval, tem-se

( ) ( )∫∫∞

∞−

∞

∞−

ΩΩπ

= dzQdttzQ22

,~21,~ , (5.20)

de forma que

( ) ( ) 2,~Ω=Ω zQS (5.21)

39

representa a densidade espectral de potência. Assim,

( ) 00221

τ=ΩΩπ

= ∫∞

∞−

PdSEs (5.22)

como pode facilmente verificar-se.

É, também, usual definir-se a área do solitão como

( )∫∞

∞−

ττζ= du ,A . (5.23)

Portanto, atendendo a que (com 0>a )

( )∫∞

∞−

π=

adxxa 2sech , (5.24)

tem-se

π= 2A . (5.25)

Como, no solitão fundamental, a amplitude η é inversamente proporcional à meia largura

temporal (dada por ητ /0 ), a respectiva área é, efectivamente, independente de qualquer

parâmetro característico.

Para se analisar a interacção entre solitões do mesmo canal (i.e., com a mesma

portadora), há que considerar como entrada o sinal

( ) ( ) ( )[ ] ( )θ+τ+−τ=τ iqrrqu expsechsech 000 (5.26)

ou seja

40

( ) ( )θ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

τ= iqtrrqttu expsechsech 0

00

00 . (5.27)

Quando 1=r e 0=θ , esta entrada simula dois bits “um” consecutivos e distanciados no

tempo de 002 τ= qTB . Nas Figs. 3 e 4 representa-se a interacção de dois solitões quando

1=r e 0=θ , para dois valores distintos de 0q .

Fig. 3 – Interacção de dois solitões fundamentais quando 51.50 =q .

Assim, num sistema digital RZ (return-to-zero) com solitões, o bit rate B será dado

por

002

11τ

==qT

BB

. (5.28)

41

Fig. 4 – Interacção de dois solitões fundamentais quando 22.30 =q .

Admitindo que os bits “um” e “zero” são equiprováveis, a potência média do sinal RZ com

solitões será sP tal que

0

0

222 qPEB

TE

P s

B

ss === . (5.29)

Devido à interacção não-linear entre solitões consecutivos, é usual estabelecer como

regra empírica

( )00 exp

4q

zL ≤ (5.30)

de forma a evitar o problema desta interacção. Supondo que o bit rate B assim como a

distância L são conhecidos, a Eq. (5.30) é equivalente a

42

Fig. 5 – Função ( )xf , introduzida na Eq. (5.31), para 8.0=b .

( ) 1ln4 ≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xbxxf (5.31)

em que

0τ= Bx (5.32)

e onde se introduziu o coeficiente

π

β=

LBb 28

. (5.33)

Notando que o máximo da função ( )xf ocorre no ponto ebx /= valendo

ebf /4max = , conclui-se que a condição expressa pela Eq. (5.31) é sempre possível para

68.04/ ≈≤ eb . Porém, existem duas soluções possíveis 21 , xxx = quando 68.0>b :

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f (x )

43

supondo que 21 xx < , as duas zonas de solução da Eq. (5.31) correspondem a 1xx ≤ e a

2xx ≥ , i.e., deve ter-se Bx /10 ≤τ ou Bx /20 ≥τ , respectivamente.

Na Fig. 5 representa-se a função ( )xf para 8.0=b . Suponhamos, a título de exemplo,

que Gb/s10=B , km1000=L e /kmps2 22 −=β . Então 7136.0=b e as duas soluções

possíveis são 1857.01 =x e 3478.02 =x que correspondem, respectivamente, a

ps57.180 ≤τ e a ps78.340 ≥τ .

44

6. Simulação numérica da equação NLS: split-step Fourier method O split-step Fourier method (SSFM) é o método mais divulgado na literatura para a resolução

das equações não-lineares de propagação de impulsos em fibras ópticas. O SSFM é uma

variante temporal do BPM (beam propagation method), muito utilizado em Óptica Integrada

para a análise da propagação de feixes ópticos. Nesta secção vai-se desenvolver o SSFM no

contexto da resolução numérica da Eq. (3.21).

Comecemos por escrever a Eq. (3.21) na forma compacta

( ) ( )τζ+=ζ∂∂

ττ ,uNDu (6.1)

em que os operadores τD (de dispersão) e τN (de não-linearidade) estão definidos no

domínio da variável τ , sendo dados por

( ) 3

3

2

2

2sgn2 τ∂

∂κ+

τ∂∂

β−=τiD , (6.2a)

2

2uiN +

Γ−=τ . (6.2b)

Admitamos, desde já, que o operador τN não depende da variável ζ – o que,

rigorosamente, não é verdade. De facto ( )τζ= ,uu , embora – em primeira aproximação – se

possa dizer que a variação de u com ζ seja desprezável (o que, para o solitão fundamental,

é inteiramente válido quando 0=Γ ). Nestas condições, sendo ( )τ0u o impulso incidente na

fibra dado pela Eq. (4.36), a solução da Eq. (6.1) será

( ) ( )[ ] ( )τ+ζ=τζ ττ 0exp, uNDu . (6.3)

Donde se infere que

( ) ( )[ ] ( )τζ+=τ+ζ ττ ,exp, uNDhhu . (6.4)

45

A Eq. (6.4) configura, assim, um esquema iterativo de passo longitudinal h que permite ir do

início da fibra em 0=ζ até ao fim em DL LL /=ζ=ζ . O número de iterações será tanto

maior quanto menor for o tamanho do passo.

Consideremos, agora, dois operadores A e B quaisquer. Define-se o comutador

destes dois operadores como

[ ] BAABBA −=, . (6.5)

A fórmula de Baker-Hausdorff estabelece que, em geral, se tem

( ) ( ) ( )ε++= BABA expexpexp , (6.6)

em que

[ ] [ ][ ]+−+=ε BABABA ,,121,

21 . (6.7)

Quando os operadores comutam, tem-se 0=ε e, consequentemente,

( ) ( ) ( )BABA expexpexp =+ . (6.8)

Portanto, fazendo τ= DhA e τ= NhB , resulta das Eqs. (6.4) e (6.8) que

( ) ( ) ( ) ( )τζ=τ+ζ ττ ,expexp, uNhDhhu . (6.9)

Acontece, porém, que os operadores τD e τN não comutam: o erro dominante ao considerar

a Eq. (6.9) é, atendendo à Eq. (6.7),

[ ]ττ=ε NDh ,2

2

. (6.10)

46

Isto significa que, se se fizer h suficientemente pequeno, é possível manter o erro cometido

pela Eq. (6.9) dentro de limites aceitáveis. Na sua versão mais simples – que é aquela que

aqui consideramos – o SSFM baseia-se na Eq. (6.9). Trata-se, assim, de um método iterativo

que divide o espaço total da propagação Lζ≤ζ≤0 em pequenos troços elementares de

comprimento h .

De acordo com a Eq. (6.9), o SSFM consiste em dois procedimentos consecutivos:

( ) ( ) ( )τζ=τζ τ ,exp, uNhv (6.11a)

( ) ( ) ( )τζ=τ+ζ τ ,exp, vDhhu . (6.11b)

Embora a Eq. (6.11a) seja trivial, o mesmo não se aplica à Eq. (6.11b). Com efeito, das Eqs.

(6.2b) e (6.11a), vem

( ) ( )[ ] ( )τζτζ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Γ−=τζ ,,exp

2exp, 2 uuhihv . (6.12)

O mesmo tipo de solução não é directamente aplicável à Eq. (6.11b). Definamos, então, a

transformada de Fourier

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

ττξτζ=ξζ divv exp,,~ . (6.13)

Nestas condições o operador diferencial τD converte-se num operador algébrico ξD dado, de

acordo com a Eq. (6.2), por

( ) 322sgn

21

ξκ+ξβ=ξ iiD . (6.14)

Assim, em conformidade com a Eq. (6.11b), será

( ) ( ) ( )ξζ=ξ+ζ ξ ,~exp,~ vDhhu (6.15)

47

ou seja

( ) ( ) ( ) ( )ξζξκ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ξβ=ξ+ζ ,~expsgn

2exp,~ 32

2 vhihihu . (6.16)

Finalmente, para terminar cada iteração, far-se-à

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

ξτξ−ξ+ζπ

=τ+ζ dihuhu exp,~21, . (6.17)

Note-se que, em termos computacionais, as Eqs. (6.13 ) e (6.17) recorrem ao algoritmo FFT.

No caso de se considerar a existência de perdas, tem-se

( ) ( ) ( )LL uu ζΓ−τ=τ exp20

2 (6.18)

em que

LL α=ζΓ (6.19)

e onde se introduziu

( ) ( )τζ=τ ,LL uu . (6.20)

Assim, definindo a energia inicial (todoas as definições de energia que se seguem referem-se

às grandezas normalizadas e, como tal, são adimensionais)

( )∫∞

∞−

ττ= duEin2

0 (6.21)

bem como a energia final

48

( )∫∞

∞−

ττζ= duE Lout2, , (6.22)

então, de acordo com a Eq. (6.18), tem-se

( )LEE inout α−= exp . (6.23)

A Eq. (6.23) permite aferir o erro cometido no SSFM. Naturalmente que, quando se considera

0=α , deverá ser inout EE = . Uma forma de quantificar o erro cometido consiste em defini-lo

na forma

δ′−δ=∆ , (6.24)

em que

( )LE

EE

in

outin α−−=−

=δ exp1 (6.25)

e δ′ é o correspondente valor de ( ) inoutin EEE /− obtido através da aplicação do SSFM.

Quando se desprezam as perdas, será 0=δ e δ′=∆ .

49

7. Perdas e amplificação óptica periódica: solitão médio As perdas não estão contabilizadas na Eq. (4.1) – a equação NLS. Assim, num sistema real,

não se propagam solitões: as soluções dadas pelas Eqs. (4.27) e (4.35) só são possíveis

quando, na Eq. (3.21), se faz ( ) 1sgn 2 −=β e 0=κ=Γ .

A principal consequência da existência de perdas é a necessidade de amplificação

óptica periódica. Na janela centrada em m55.1 µ , a amplificação óptica pode ser feita com

EDFA’s. Nesta secção vai-se mostrar que, apesar das perdas e da amplificação óptica

periódica, se podem propagar solitões médios.

Na zona de dispersão anómala e desprezando a dispersão de ordem superior, podemos

escrever a Eq. (3.21) na forma

uiuuuui22

1 2

2

2 Γ−=+

τ∂∂

+ζ∂∂ . (7.1)

Numa ligação de comprimento L e sendo aL a distância entre amplificadores, ter-se-à em

cada ponto amζ=ζ uma amplificação do sinal (com Daa LL /=ζ e onde aNm ≤≤1 , em

que aN é o número total de amplificadores). Designando por G o ganho (de potência) de

cada amplificador óptico, a amplitude u sofre uma descontinuidade abrupta 0>∆u tal que

( ) ( )τζ=τζ −+ ,, aa muGmu (7.2)

pelo que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )τζ−=τζ−τζ=τ∆ −−+ ,1,, aaa muGmumuu . (7.3)

Admite-se que o ganho do amplificador é uniforme, i.e., que afecta da mesma maneira todas

as componentes espectrais do sinal.

Nestas condições, se se considerar a existência de amplificação periódica, devemos

corrigir a Eq. (7.1) para

( ) ( )∑=

ζ−ζδ−+Γ

−=+τ∂∂

+ζ∂∂ aN

ma umGiuiuuuui

1

2

2

2

122

1. (7.4)

50

Para resolver esta equação introduz-se a mudança de variável

( ) ( ) ( )τζζ=τζ ,, vau (7.5)

em que a amplitude ( )ζa deverá dar conta das variações rápidas devidas aos ciclos sucessivos

de perdas e amplificação. Com esta mudança de variável, é possível desdobrar a Eq. (7.4) nas

duas seguintes equações:

( ) 021 22

2

2

=ζ+τ∂∂

+ζ∂∂ vvavvi , (7.6a)

( ) ( )∑=

ζ−ζδ−+Γ

−=ζ

aN

ma amGa

dda

1

12

. (7.6b)

A solução da Eq. (7.6b) é imediata para amζ≠ζ . Vem, para aζ<ζ≤0 ,

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ζ

Γ−=ζ

2exp0aa . (7.7)

Para os restantes períodos, tem-se (com …,2,1=m )

( ) ( )ζ=ζ+ζ ama a . (7.8)

Note-se que a função ( )ζa varia periodicamente entre um máximo 0a e um mínimo 1a dado

por

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ζΓ−= aa Laaa

21exp

21exp 001 . (7.10)

Como, por outro lado, se tem

10 aGa = , (7.11)

51

resulta das Eqs. (7.10) e (7.11) que

( )aLG α= exp . (7.12)

Para caracterizar completamente a função ( )ζa há ainda que determinar a constante

0a na Eq. (7.7).

Como a função ( )τζ,v , que obedece à Eq. (7.6a), tem uma variação lenta com ζ

(comparada com a variação de a ), pode-se escrever

( ) ( ) ( )τζδ+τ=τζ ,, vvv (7.13)

em que vδ é uma pequena perturbação, tal que 0=δv , de modo que vv = . Ou seja, v é

o valor médio de v e, de acordo com a Eq. (7.6a), tem-se

( ) 021 22

2

2

=ζ+τ∂∂

+ζ∂∂ vvavvi . (7.14)

Para que a equação anterior se converta numa equação NLS, é necessário que

( ) 12 =ζa (7.15)

em que

( ) ( ) ( )[ ]aaa

ad

aa

a

ζΓ−−ζΓ

=ζζΓ−ζ

=ζ ∫ζ

exp1exp20

0

202 . (7.16)

Logo, das Eqs. (7.15) e (7.16), infere-se que

1

ln0 −=

GGGa . (7.17)

52

Na Fig. 6 representa-se a variação da função ( )ζa para aζ≤ζ≤ 30 quando dB7.24=G .

Fig. 6 – Função ( )ζa para dB7.24=G .

Assim, isolada a rápida variação com ζ da amplitude a , a amplitude ( )τζ,v

representa, em média, um solitão de acordo com as Eqs. (7.14) e (7.15).

Saliente-se que, atendendo à Eq. (7.5), o impulso incidente deverá ter a forma

( ) ( )τ=τ sech00 au . (7.18)

Isto significa em particular que, no regime do solitão médio, a potência de pico à entrada já

não será dada pela Eq. (7.11) mas sim por

20

20

200 1

lnτγ

β

−==′

GGGPaP . (7.19)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

ζ/ζa

a (ζ)

a 1

a 0

53

No regime do solitão médio a Eq. (7.29) para a potência média do sinal RZ com

solitões deve também ser revista para

0

020

0

0

22 qPa

qP

Ps =′

= . (7.20)

Uma regra empírica usada na prática para a validade do regime do solitão médio

impõe que

0108 zLa ≤ (7.21)

onde 0z é o período dos solitões dado pela Eq. (6.38). Assim, deve ter-se

π

β≥τ

25 2

0aL

. (7.22)

54

8. Diagramas operacionais No projecto de sistemas com solitões há que ter em consideração diversos factores. Além dos

problemas suscitados pela interacção não-linear entre impulsos e das limitações impostas pelo

regime do solitão médio, existem outras limitações importantes tais como a relação sinal-

ruído e o efeito de Gordon-Haus. Nesta secção vai-se indicar como construir os diagramas

operacionais as L−−τ vs que permitam ter uma ideia das soluções possíveis no projecto de

sistemas com transmissão de solitões (são conhecidos os valores de B e L ).

A delimitação das zonas permitidas no espaço ( )saL τ, é feita conjugando as quatro

principais limitações de um sistema com solitões: (i) interacção não-linear; (ii) regime do

solitão médio; (iii) relação sinal-ruído SNR (signal-to-noise ratio); (iv) efeito de Gordon-

Haus.

A limitação imposta pela interacção entre solitões foi estabelecida nas Eqs. (7.30)-

(7.33). Quanto ao regime do solitão médio, a limitação imposta ficou expressa através das

Eqs. (9.21)-(9.22).

A amplificação óptica periódica, sendo necessária, introduz contudo uma séria

limitação: depois de amplificado, cada solitão recebe também ruído devido à existência de

ASE (amplified spontaneous emission). Além disso, também as flutuações estatísticas da

fonte óptica levam a flutuações na amplitude dos solitões.

Como em qualquer sistema de comunicação óptica digital, admite-se um valor

máximo do BER (bit error rate) que, por sua vez, impõe um valor mínimo à relação sinal-

ruído. Sendo eP a probabilidade de erro correspondente à taxa digital BER, mostra-se que

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= SNR

21

2SNR

21erfc

21 QPe (8.1)

em que

( ) ( ) ( )∫∞

−=−π

=x

xdttx erf1exp2erfc 2 , ( ) ( )∫ −π

=x

dttx0

2exp2erf (8.2)

e onde

( ) ∫∞

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

π=

x

dttxQ2

exp21 2

. (8.3)

55

Note-se que

( ) ( )xQx 22erfc = , (8.4)

tendo-se

3>x ⇒ ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

π≈

2exp

21 2x

xxQ . (8.5)

Assim

( )610BER 9 Q== − ⇔ dB58.21SNR = . (8.6)

Geralmente impõe-se uma margem de dB5.1 em relação ao valor de SNR[dB] obtido pela

Eq. (8.1).

A relação sinal-ruído é dada por

ASE

s

NP

=SNR (8.7)

em que

ss EBP21

= ⇐ ( ) 02002 τ= aPEs (8.8)

e onde, sendo spn o coeficiente de inversão da população do amplificador óptico (e.g., uma

EDFA),

( )( ) fGnNN spaASE ∆ω−= 01 , 2Bf =∆ ,

aa L

LN = . (8.9)

56

Recorda-se aqui que

( )aLG α= exp , 1

ln20 −=

GGGa , 2

0

20 τγ

β=P . (8.10)

Outra limitação fundamental tem a ver com o chamado efeito de Gordon-Haus. De

facto, a introdução de ruído de fase em cada solitão amplificado leva ao aparecimento de

flutuações na frequência da portadora e, consequentemente, da velocidade de grupo. Assim, o

ruído de fase leva a uma flutuação estatística do tempo de chegada de cada solitão conhecida

por jitter de Gordon-Haus. A probabilidade de erro associada ao efeito de Gordon-Haus é

dada por

( )wa

e aQdttPw

22

exp2 2

∫∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

π= (8.11)

em que

0τσ

= ww

Ta , (8.12)

onde wT2 é a janela de detecção e σ o desvio padrão associado ao jitter temporal. A função

( )xQ foi introduzida na Eq. (8.3).

Deve ter-se

pPe ≤ ⇒ aaw ≥ ⇒ 0τ

≤σaTw . (8.13)

Assim, introduzindo os coeficientes adimensionais

ww TB=κ , (8.14a)

( )21ln2 0 +τ=τ=κ BB ss , (8.14b)

57

em que

( )21ln0 +=κ qs , (8.15)

tem-se

( )s

wwa

κκ

σ+

=21ln2 . (8.16)

Por vezes define-se ainda a fracção jf de jitter de Gordon-Haus como sendo

aTa

Tf w

B

wj

κ== , (8.17)

pelo que

00

2 qfT

f jB

j =τ

≤σ . (8.18)

Mostra-se que, sendo D o coeficiente de dispersão, o desvio padrão é tal que

( )3302

94

32

LBL

DhqFnN

Fn

a

Gsp

s

Gsp

π

γλ==σ , (8.19)

onde sN representa o número de fotões associados a cada solitão, i.e.,

0ω

= ss

EN (8.20)

e onde

58

( )20

2 1ln

1a

GGG

GFG−

=−

= . (8.21)

Assim, infere-se que

( )DnFnhLAf

DhqFnLf

LBGsp

aefswa

Gsp

aj

2

2

0

23 9 κκ

=γλ

π≤ (8.22)

que é conhecido na literatura por limite de Gordon-Haus e onde se introduziu o coeficiente

( )21ln29

2 +=

afa . (8.23)

Note-se que

9102

erf12

erfc −=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

aap ⇒ 1094.6=a , (8.24)

a que corresponde

1368.0=af . (8.25)

Deve salientar-se, por fim, que a construção de diagramas operacionais – tal como se

indica nesta secção – se refere aos sistemas sem transmissão controlada (in-line control) de

solitões. Desde 1992, porém, que várias técnicas são utilizadas com sucesso (como, e.g., o uso

dos chamados filtros deslizantes) na superação do limite de Gordon-Haus. Também a gestão

da dispersão tem vindo a melhorar o desempenho dos sistemas com solitões em relação ao

caso em que se utilizam fibras de dispersão constante.

59

APÊNDICE A Perturbação da constante de propagação longitudinal

Comecemos por reescrever a Eq. (2.3) de acordo com a Eq. (2.2). Vem

( )[ ] ( ) 0,, 220

2 =β−ε+∇ yxFkyxFt . (A.1)

Pretende-se determinar a perturbação β∆ da constante de propagação longitudinal quando

existe uma perturbação ε∆ , de acordo com a Eq. (2.8). Todavia, além da perturbação β∆ , vai

existir também uma perturbação F∆ da função modal que caracteriza o modo de propagação.

Assim, da Eq. (A.1) tira-se que

( ) ( ) β∆β+∆β=ε∆+∆ε+∆∇ FFkFFFt 2220

2 (A.2)

para uma perturbação de primeira ordem. Agora, multiplicando ambos os membros da Eq.

(A.2) por F e integrando sobre a secção transversal da fibra, obtém-se

δ+ε∆=β∆β 220

22 FkF (A.3)

em que

( ) ( ) FFkFF t ∆β−ε+∆∇=δ 220

2 (A.4)

e onde se usou a notação introduzida na Eq. (2.11).

Em seguida vai-se mostrar que 0=δ . Consideremos a identidade

( )ψ∇φ−φ∇ψ⋅∇=ψ∇φ−φ∇ψ ttttt22 (A.5)

e façamos F∆=φ e F=ψ . Assim

60

( ) JFFFF tt +∇∆=∆∇ 22 (A.6)

em que

( )[ ]∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∇∆−∆∇⋅∇= dydxFFFFJ ttt . (A.7)

Pelo teorema da divergência “bidimensional” pode-se então escrever

( )[ ]∫Γ ⋅∇∆−∆∇= dsFFFFJ ett n (A.8)

onde Γ é um contorno que fecha, pelo infinito, a secção transversal da fibra e en a normal

exterior. Como, para modos superficiais, F e F∆ se anulam no infinito, infere-se que

0=J . (A.9)

Assim, de acordo com as Eqs. (A.6) e (A.9), resulta da Eq. (A.4) que

( )[ ] ( ) ( )yxFyxFkyxFt ,,, 220

2 ∆β−ε+∇=δ . (A.10)

Logo, atendendo à Eq. (A.1), tira-se ainda que

0=δ . (A.11)

Pelo que, da Eq. (A.3) vem finalmente

2

220

2 F

Fk ε∆

β=β∆ (A.12)

o que prova a Eq. (2.10). Note-se que, na Eq. (A.12), não figura a perturbação ( )yxF ,∆ da

função modal – daí a importância prática desta expressão para β∆ .

61

APÊNDICE B Soluções da equação cnoidal

Pretende-se, neste apêndice, estudar a equação cnoidal – a Eq. (4.20) – que aqui se repete

03 =−+ yyy (B.1)

em que dxdyy /= . Comecemos por multiplicar ambos os membros desta equação por y .

Vem

( )21 yyyyy −= . (B.2)

Atendendo a que

yyydxd

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 2

21 (B.3a)

( )1121

21 222 −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − yyyyy

dxd (B.3b)

conclui-se que a integração da Eq. (B.2) conduz à equação

( ) 02

21 QyVy =+ (B.4)

em que

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 1

21

21 22 yyyV (B.5)

onde, por enquanto, 0Q é uma constante arbitrária. A Eq. (B.4) sugere uma analogia

mecânica: se considerarmos uma partícula de massa 1=m , a sua energia cinética é

2/2yEk = ; então, se for ( )yV a respectiva energia potencial, será 0Q a sua energia total que

62

será constante – o que é expresso através da Eq. (B.4). Na Fig. B1 representa-se a função

( )yV . A dinâmica do movimento da partícula pode ser mais facilmente analisada no espaço

( )yy, quando se varia o parâmetro 0Q – tal como se indica na Fig. B2. Apenas no caso

00 =Q é que o movimento ( )xy não é periódico – é antes uma onda solitária.

Fig. B1 – Energia potencial de uma partícula de massa unitária.

A observação da Fig. B2 revela que o mínimo de 0Q se obtém quando 0=y e

1±=y . Logo, de acordo com as Eqs. (B.4) e (B.5), esse mínimo será 4/10 −=Q .

As soluções da equação cnoidal – a Eq. (B.1) – são conhecidas na literatura como as

funções elípticas de Jacobi. Consideremos, então, o chamado integral elíptico

( ) ∫φ

θ−

θ=φ=

022 sin1

,k

dkFu . (B.6)

Definem-se as funções elípticas de Jacobi como segue

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2 -1 0 1 2y

V (y )

63

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

dy/d

x

Movimento no espaço das fases

-0.2 -0.2

0

0

0.2

Fig. B2 – Espaço das fases ( )yy, para 2.0,0,2.00 −=Q .

( ) φ= sin|sn 2ku (B.7a)

( ) φ= cos|cn 2ku (B.7b)

( ) φ−= 222 sin1|dn kku . (B.7c)

Note-se que sn é uma função ímpar enquanto que cn e dn são funções pares. Em particular,

tem-se

( ) uu sin0|sn = (B.8a)

( ) uu cos0|cn = (B.8b)

( ) 10|dn =u (B.8c)

( ) uu tanh1|sn = (B.8d)

( ) uu sech1|cn = (B.8e)

64

( ) uu sech1|dn = . (B.8f)

Verifica-se que

( )[ ] ( ) ( )222 |dn|cn|sn kukukudud

= (B.9a)

( )[ ] ( ) ( )222 |dn|sn|cn kukukudud

−= (B.9b)

( )[ ] ( ) ( )2222 |cn|sn|dn kukukkudud

−= . (B.9c)

Observam-se, ainda, as seguintes identidades

( ) ( ) 1|cn|sn 2222 =+ kuku (B.10a)

( ) ( ) 1|sn|dn 22222 =+ kukku (B.10b)

( ) ( ) 222222 1|cn|dn kkukku −=− . (B.10c)

Uma solução possível para a Eq. (B.1) é a função

( ) ( )2|dn kxBAxy = (B.11)

onde 2k é o módulo da função elíptica de Jacobi. De acordo com a Eq. (B.6) o módulo deverá

ser tal que

10 2 ≤≤ k (B.12)

de modo a que 02 >u . Assim, quando se tem 12 >k , deverá fazer-se

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

2 1cn|dnk

ukku . (B.13)

65

Os coeficientes A e B na Eq. (B.11) são ambos funções de k . Determinam-se, de

seguida, as funções ( )kA e ( )kB . Comecemos por notar que, de acordo com as Eqs. (B.9), se

tem

( ) ( )222 |cn|sn kxBkxBkBAy −= (B.14a)

( ) ( )[ ] ( )2222222 |dn|sn|cn kxBkxBkxBkBAy −−= . (B.14b)

Agora, substituindo as Eqs. (B.11) e (B.14b) na Eq. (B.1), obtém-se

( ) ( )

( ) ( )[ ] .0|sn|cn1|dn|dn222222

2222

=−−

−

kxBkxBkBkxBAkxBA

(B.15)

Atendendo às Eqs. (B.10b) e (B.10c) resulta então que

( ) ( ) ( ) 0|sn21 222222222 =−+−− kxBkAkBkBA (B.16)

donde se infere que

01222 =−− kBA (B.17a)

02 2222 =− kAkB (B.17b)

pelo que se conclui

222k

A−

= (B.18a)

22

1k

B−

= (B.18b)

e onde apenas se consideraram as raízes positivas. Assim, substituindo estes coeficientes na

Eq. (B.11), vem finalmente

66

041

0 <≤− Q ⇒ ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−= 2

222

dn2

2 kk

xk

xy . (B.19)

A substitução da Eq. (B.19) na Eq. (B.4) permite inferir que

( )( )22

2

021

−

−=

kkkQ . (B.20)

de acordo com a Eq. (B.14a) e atendendo ainda às Eqs. (B.10b) e (B.10c). Deste modo,

resulta da Eq. (B.20) que

0

002

24141

QQQ

k+±+

= . (B.21)

Como o valor mínimo de 0Q é, como se viu anteriormente, 4/10 −=Q , deverá ser

41

0 −≥Q ⇒ 20 2 <≤ k . (B.22)

De facto, de acordo com a Eq. (B.20), é 02 =k quando 4/10 −=Q e 22 =k quando

∞=0Q . Note-se, agora, que

041

0 <≤− Q ⇒ 10 2 <≤ k (B.23a)

00 >Q ⇒ 21 2 << k . (B.23b)

No caso da Eq. (B.23a), a função ( )xy pode efectivamente ser calculada através da Eq.

(B.19). Porém, no caso da Eq. (B.23b), é preferível usar a expressão alternativa

00 >Q ⇒ ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−= 22

2

2

12

cn2

2k

xk

kk

xy (B.24)

67

para que o módulo continue a ser inferior à unidade. De facto, tem-se

12 >k ⇒ ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

2 1cn|dnk

ukku . (B.25)

Na Fig. B3 representa-se ( )xy quando 2.00 ±=Q ; em ambos os casos ( )xy é uma função

periódica.

No caso em que

00 =Q ⇒ 12 =k (B.26)

a função ( )xy deixa de ser periódica. Efectivamente, tem-se

( ) ( ) ( )xBxBxB sech1|cn1|dn == (B.27)

e, como 2=A e 1=B para 12 =k , conclui-se que

00 =Q ⇒ ( ) ( )xxy sech2= . (B.28)

Neste caso o percurso na Fig. B2 desde 0=y até voltar ao mesmo ponto leva um

tempo que vai desde −∞=x até ∞=x . Além disso, como se tem

( ) 0lim =∞→

xyx

, (B.29)

tal como se indica na Fig. B4, diz-se que se trata de uma onda solitária.

68

Fig. B3 – Soluções periódicas da equação cnoidal.

Fig. B4 – Solução não-periódica da equação cnoidal: onda solitária ( 00 =Q ).

-2

-1

0

1

2

-10 -5 0 5 10

x

y

Q 0 = - 0.2

Q 0 = + 0.2

0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

x

y