Estatística

Prof° Carlos

Estatística O que é:

É a ciência que coleta, organiza e

interpreta dados colhidos entre um grupo

aleatório de pessoas.

Divisão da estatística:

Estatística geral

Visa elaborar métodos gerais aplicáveis a

todas as fases do estudo dos fenômenos

de massa. A estatística geral ainda pode

ser dividida em dois subgrupos:

1. Estatística descritiva

Diz respeito à coleta, organização,

classificação, apresentação e descrição

dos dados a serem observados.

2. Estatística indutiva

Visa tirar conclusões sobre a população a

partir de amostras. Refere-se à maneira

de estabelecer conclusões para toda uma

população observando apenas parte

dela.

Conceitos:

População

É todo o conjunto de elementos que

possuam ao menos uma característica

comum observável.

Amostra

É uma parte da população que será

avaliada por um critério comum.

Dados estatísticos

São os valores associados às variáveis

de pesquisas.

Frequências

1. O número de vezes em que a variável ocorre é chamado frequência absoluta e é

indicado por ni

2. Definimos frequência relativa ( fi ) como a razão entre a frequência absoluta (ni) e

o número total de observações (n) , ou seja:

n

nf ii

Velocidade Freqüência

Absoluta

F.A

Freqüência

Relativa

(simples)

F.R

Freqüência

absoluta

acumulada

F.A.A

Freqüência

Relativa

acumulada

F.R.A

60|---- 70

70|---- 80

80|---- 90

90|---- 100

Total

9

6

3

O quadro a seguir apresenta a velocidade em km/h com que os

motoristas foram multados em uma determinada via municipal.

2

20

45%

30%

15%

10%

9

15

18

20

45%

75%

90%

100%

Velocidade Freqüência

Absoluta

F.A

Freqüência

Relativa

(simples)

F.R

Freqüência

absoluta

acumulada

F.A.A

Freqüência

Relativa

acumulada

F.R.A

60|---- 70

70|---- 80

80|---- 90

90|---- 100

Total

9

6

3

Com base na tabela, responda:

2

20

45%

30%

15%

10%

9

15

18

20

45%

75%

90%

100%

a) Quantos Motoristas foram multados com

velocidade de 80km/h a 90km/h?

b) Qual é o percentual de Motoristas

multados com velocidade de 70km/h a 80km/h?

c) Quantos Motoristas foram multados com

velocidade abaixo de 90km/h?

d) Qual o percentual de Motoristas multados

com uma velocidade abaixo de 80km/h? 3

30%

18

75%

Representação Gráfica Setores Circulares (Pizza)

Foi feita uma Pesquisa a 400 alunos de uma escola sobre as

atividades esportivas que gostariam de ter na escola. O resultado

foi o seguinte:

Atividade

Esportiva

Nº de alunos

Freqüência

Absoluta

Freqüencia

relativa

Voleibol 80 20%

Basquetebol 120 30%

Futebol 160 40%

Natação 40 10%

Total 400 100%

Representação Gráfica

Setores Circulares (Pizza)

Preferência

20%

30%

40%

10%

Volei

Basquete

futebol

natação

Representação Gráfica

Setores Circulares (Pizza)

Preferência

20,00%

30,00%

40,00%

10,00%

volei

basquete

futebol

natação

144°

108°

72°

36°

(PUC-MG) Em uma pesquisa eleitoral para verificar a posição de três candidatos a

prefeito de uma cidade, 1500 pessoas foram consultadas. Se o resultado da

pesquisa deve ser mostrado em três setores circulares de um mesmo disco e certo

candidato recebeu 350 intenções de voto, qual é o ângulo central correspondente a

esse candidato?

a) 42° b) 168° c) 90° d) 242° e) 84°

1500 360o

350 xo

x = 84°

Médias

Média Aritmética Simples

Média Aritmética ( X ) - É o quociente da divisão da soma dos valores da

variável pelo número deles:

n

x...xxx n21

Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira da vaca A, durante uma

semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para produção

média da semana:

X = 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 = 98 = 14

7 7

Exemplo: O exame de seleção pode ser composto de 3 provas onde as

duas primeiras tem peso 1 e a terceira tem peso 2. Um candidato com

notas 70, 75 e 90 terá média final:

Média Aritmética

Ponderada

(UNESP-09) Durante o ano letivo, um professor de matemática aplicou cinco provas para

seus alunos. A tabela apresenta as notas obtidas por um determinado aluno em quatro

das cinco provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada prova.

Se o aluno foi aprovado com média final ponderada

igual a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota

obtida por esse aluno na prova IV foi:

7,322321

2.(6,2)2.x3.(7,5)2.(7,3)1.(6,5)

56 + 2x = 73 x = 8,5

Outros Conceitos

Mediana (Md)

É o valor que ocupa a posição central

de um conjunto de dados ordenados.

Exemplo: Determine a mediana do

Rol abaixo:

Rol = 1,1,1,2,2,3,3,4,6,7,8,8,9,10,10.

7 elementos

7 elementos

Como o elemento 4 ocupa a posição central,

dizemos que ele é a mediana dos dados

coletados acima.

IMPORTANTE!!!!

Caso o número de elementos do Rol for

par, calculamos a mediana pela média

aritmética dos dois elementos centrais.

Moda (Mo)

É o valor que ocorre com maior frequência em

um conjunto de dados.

Exemplo: O número 1 é a Moda do exercício

anterior, posto que aparece três vezes no Rol.

Amplitude

É a diferença entre o maior valor e o menor

valor de um conjunto de dados

Ex.: Os valores seguintes representam o

número de gols marcados pela seleção

brasileira nas últimas 5 copas do mundo.

11, 14, 18, 10, 9

Amplitude = 18 – 9 = 9

Variância

Desvio Padrão:

É a raiz quadrada da variância

VDp

Bim 1º 2º 3º 4º

notas 5 8 6 9

7

4

9685

É a média aritmética dos quadrados

dos desvios.

Um aluno obteve as seguintes notas na

disciplina de matemática nos 4 bimestres:

Média aritmética =

Desvios: nota 1: 5 – 7 = - 2

nota 2: 8 – 7 = 1

nota 3: 6 – 7 = - 1

nota 4: 9 – 7 = 2

2,54

21)(1(-2)V

2222

1,582,5Dp

Quanto mais próximo de zero é o desvio

padrão, mais homogênea (regular) é a

amostra.

Candidatos que obtém menor desvio

padrão são considerados mais regulares.

Bim 1º 2º 3º 4º

notas 5 8 6 9

Ex.: As notas de dois alunos X e Y estão representadas no quadro abaixo.

N 1 N 2 N 3 N 4

Paulo 5 2 5 8

João 4 8 3 5

Por meio do desvio padrão, qual deles apresentou desempenho mais regular?

Média aritmética =

Paulo

54

8525

Média aritmética =

João 5

4

5384

Desvios: nota 1: 5 – 5 = 0

Paulo nota 2: 2 – 5 = - 3

nota 3: 5 – 5 = 0

nota 4: 8 – 5 = 3

Desvios: nota 1: 4 – 5 = -1

João nota 2: 8 – 5 = 3

nota 3: 3 – 5 = -2

nota 4: 5 – 5 = 0

4,54

232023)(20PauloVariância

2,124,5VPadrãoDesvio

3,54

2022)(232(-1)JoãoVariância

1,873,5VPadrãoDesvio

Logo, como João apresentou o menor desvio padrão, ele será dito o mais regular.

TEORIA DA INFORMAÇÃO - EXERCÍCIOS ENEM ( ENEM )O gráfico abaixo ilustra o resultado de um estudo sobre o aquecimento

global. A curva mais escura e contínua representa o resultado de um cálculo em que

se considerou a soma de cinco fatores que influenciaram a temperatura média global

de 1900 a 1990, conforme mostrado na legenda do gráfico. A contribuição efetiva de

cada um desses cinco fatores isoladamente é mostrada na parte inferior do gráfico.

Os dados apresentados revelam que, de 1960 a 1990,

contribuíram de forma efetiva e positiva para aumentar

a temperatura atmosférica:

A) aerossóis, atividade solar e atividade vulcânica.

B) atividade vulcânica, ozônio e gases estufa.

C) aerossóis, atividade solar e gases estufa.

D) aerossóis, atividade vulcânica e ozônio.

E) atividade solar, gases estufa e ozônio.

De acordo com o gráfico, os únicos fatores que

apresentaram contribuição efetiva e positiva de 1960 a

1990 são: (I) gases estufa; (II) atividade solar;

(III) ozônio. Resposta: E

(ENEM 2004) - “Comprimam-se todos os 4,5 bilhões de anos de tempo geológico em um só ano.

Nesta escala, as rochas mais antigas reconhecidas datam de março. Os seres vivos apareceram

inicialmente nos mares, em maio. As plantas e animais terrestres surgiram no final de novembro.”

(Don L. Eicher, Tempo Geológico) Meses (milhões de anos):

Na escala de tempo acima, o sistema solar surgiu no início de janeiro e vivemos hoje à meia-noite

de 31 de dezembro. Nessa mesma escala, Pedro Álvares Cabral chegou ao Brasil também no mês

de dezembro, mais precisamente na:

A) manhã do dia 01. B) tarde do dia 10.

C) noite do dia 15. D) tarde do dia 20.

E) noite do dia 31.

( ENEM ) RESOLUÇÃO

( ENEM – 2000 ) O Brasil, em 1997, com cerca de 160 X 106 habitantes, apresentou

um consumo de energia da ordem de 250.000 TEP (tonelada equivalente de

petróleo), proveniente de diversas fontes primárias. O grupo com renda familiar de

mais de vinte salários mínimos representa 5% da população brasileira e utiliza

cerca de 10% da energia total consumida no país. O grupo com renda familiar de

até três salários mínimos representa 50% da população e consome 30% do total de

energia. Com base nessas informações, pode-se concluir que o consumo médio de

energia para um indivíduo do grupo de renda superior é x vezes maior do que para

um indivíduo do grupo de renda inferior. O valor aproximado de x é:

TOTAL DE HABITANTES: 160.106 HABITANTES ENERGIA GASTA: 250 000

RENDA SUPERIOR

5% DA POPULAÇÃO:

pessoas8.10.160.10100

5 66

10% DA ENERGIA:

TEP25.10000 .250100

10 3

CONSUMO POR PESSOA:

TEP/PESSOA3,125.108.10

25.10 3

6

3

RENDA INFERIOR

50% DA POPULAÇÃO:

pessoas80.10.160.10100

50 66

30% DA ENERGIA:

TEP75.10000 .250100

30 3

CONSUMO POR PESSOA:

TEP/PESSOA0,9375.1080.10

75.10 3

6

3

Logo:

3,30,9375.10

3,125.103

3

A população mundial esta ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a

expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos

por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da

quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da

coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95

milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre

10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.

(ENEM-2010)Suponha que o modelo exponencial

y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1

corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y

é a população em milhões de habitantes no ano x, seja

usado para estimar essa população com 60 anos ou mais

de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e

2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que

a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre:

a) 490 e 510 milhões.

b) 550 e 620 milhões.

c) 780 e 800 milhões.

d) 810 e 860 milhões.

e) 870 e 910 milhões.

y = 363. e0,03x

y = 363. e0,03. 30

y = 363. e0,3. 3

y = 363. (e0,3)3

y = 363. 1,353

y = 363. 2,46

y 893 milhões