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PRODUTOS INFINITOS E FORMULAÇÕES DISCRETAS DA DINÂMICA DE UM FOGUETE

L. MirandaL. MirandaL. MirandaL. Miranda1, S. Moreira2

1 Coordenação de Licenciatura em Matemática, IFPI, Brasil 2 Coordenação de Licenciatura em Física, IFPI, Brasil

Resumo

Fazemos uma correlação entre as seqüências de retiradas de partes de uma massa discretamente variável e o movimento linear desta, enfatizando o uso da teoria dos produtos infinitos. Palavras-chave: Massa variável, seqüências de Antifonte, produtos infinitos.

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Introdução O Cálculo se inicia com a Conjectura de Antifonte (480-411, Grécia), a qual

afirma que se de uma quantidade de certa grandeza retirarmos uma porção não menor que a metade, e da quantidade restante também retirarmos uma segunda porção não menor que a metade, e assim sucessivamente, então haverá alguma etapa em que o restante não retirado tornar-se-á tão pequeno quanto qualquer quantidade previamente fixada da referida grandeza. Em lugar da metade pode-se também considerar uma fração fixa qualquer entre zero e um. Originalmente, deve-se ter considerado a metade, inclusive porque o procedimento proposto por Antifonte para a quadratura do círculo pleiteia tal possibilidade, conforme cita Temístio [Temístio, In Aristotelis Physica parafrasis 3.27-4.8 Schenkel [B.13 DK/ B.13 U/ F13(c) P, conforme Bellintani Ribeiro].

A generalização deste procedimento de exaustão, que nos leva naturalmente aos produtos infinitos, cujos primeiros estudos são atribuídos a Vieta [Opera mathematica, Leyden, 1646, p.400], induz de modo natural uma bijeção entre a dinâmica que exaure uma quantidade (de qualquer grandeza mensurável) e o

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conjunto das seqüências de números do intervalo �0,1�. A partir dos resultados teóricos acerca dos produtos infinitos, adquiridos desde Vieta, faremos uma classificação de tais movimentos através da divergência para zero dos produtos infinitos dos complementos dos elementos destas seqüências, bem como da convergência das mesmas e divergência de suas séries. Aplicamos estes resultados ao estudo dos movimentos livres de corpos de massas discretamente variáveis

2. As seqüências de Antifonte

Considere uma quantidade não nula � de uma grandeza mensurável qualquer. Propomo-nos a fazer uma classificação de todas as seqüências de retiradas, sem reposição, capazes de exaurir esta quantidade. Por exaurir devemos entender o seguinte: para qualquer quantidade �� previamente fixada da mesma grandeza existe uma retirada para a qual o resto da quantidade � é menor que a quantidade ��.

Suponhamos que a primeira retirada, a qual corresponde à condição inicial seja de uma fração nula de �, isto é, � 0. Seja ��� a primeira porção efetivamente retirada, com o respectivo primeiro resto efetivo �1 ����. Seja ��(1-���� a

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segunda porção retirada, com respectivo resto �1 ����1 ����. Este procedimento pode se repetir indefinidamente, e é formalizado no seguinte resultado.

PROPOSIÇÃO 1. Seja � �0 �, ��, ��, … , ��, … |�� � �0,1�� o conjunto das respectivas frações dos restos sucessivos de uma quantidade mensurável � � 0 de uma determinada grandeza. Então: i) o resto ���� de ordem � é igual a � ∏ �1 �

�����; ii) a soma das partes retiradas na ordem �, ����, é igual a � ∑ ��� ∏ �1 �!��"�

!� ����� .

DEMONSTRAÇÃO. Provaremos por indução sobre �. Para � 0 o resto de tal ordem é igual a ��0� � e a soma das partes, ��0� 0. Por outro lado, � ∏ �1 ��

�� � ��1 0� � e � ∑ ���

��� ∏ ��"�

!� 1 �!�� 0, visto que neste somatório não há nenhuma parcela. Suponhamos por indução que as duas expressões sejam verdadeiras para a ordem �, isto é, que ���� � ∏ �1 ��

��� � e

���� � ∑ ������ ∏ ��

�"�!� �1 �!��. Temos ��� # 1� ���� ��$�����

�����1 ��$�� � ∏ �1 ����� ��1 ��$�� � ∏ �1 ��

�$��� � e ��� # 1�

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���� # ��$����� � ∑ ������� ∏ ��"�

!� 1 �!�� # ��$�� ∏ �1 ����� �

� ∑ ��� ∏ �1 �!��"�!� ��$�

��� %

Notemos que ∑ ��� ∏ �1 �!��"�!� ��

��� 1 ∏ �1 ����� �.

DEFINIÇÃO 1. A uma seqüência � ������,�,�,… de números reais do intervalo unitário �0,1� damos o nome de seqüência antifontiana se &'(�)$* ∏ �1 �

����0 e em caso contrário, seqüência não antifontiana.

Note que o escólio da proposição 1 indica que ������,�,… é antifontiana se e somente &'(�)$* ∑ ��� ∏ �1 �!��"�

!� ����� 1.

3. Produtos infinitos e seqüências antifontianas

Nesta parte usaremos alguns resultados clássicos da teoria dos produtos infinitos para fazer a classificação das seqüências antifontianas. Os resultados podem ser vistos nos textos usuais de análise, tais como Tom Apostol.

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DEFINIÇÃO 2. Seja �+����,�,�,… uma seqüência de números reais e ,� ∏ +�

��� . Ao par ��+��. �,��� damos o nome de produto infinito e o denotamos por

∏ +�*�� . i) Se infinitos +� são nulos diz-se que o produto é 0; ii) se nenhum +� é

nulo diz-se que o produto converge se e somente se existe , � /0 tal que &'(�)*,� ,. Se &'(�)*,� 0, diz-se que o produto diverge para 0. iii) se existe 1 tal que � 2 1 implica +� � 0, diz-se que o produto converge, sempre que ∏ +�

*��3$� converge no sentido descrito em (ii) e neste caso ∏ +�

*��

++� … +3 ∏ +�*��3$� . iv) o produto é divergente se não convergir em nenhum dos

sentidos (ii) ou (iii).

TEOREMA 1. Se �� 4 0, então ∏ �1 ���*�� converge se e somente se ∑ ��

*��

converge.

Em conformidade com o teorema acima, se �� ��0,1� e ∑ ��*�� diverge,

então ∏ �1 ���*�� não é convergente. Visto que ,� ∏ �1 ���*

�� decresce monotonicamente e ,� 2 0, 5� � 1, resulta que &'(�)*,� 0, ou seja, o produto diverge para 0. Isto significa que a divergência de ∑ ��

*��6 , com �� 2 0 para

algum ( � 1, é condição suficiente para que a seqüência ������,�,�,… seja

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antifontiana. Em particular, este é o caso das seqüências pertencentes aos conjuntos da forma �7

6 8�0 �, ��, … �: �� � �:, 1�, 5� 2 (;, sendo : 2 0. Obviamente, esta divergência não é condição necessária, pois toda seqüência do tipo �0, … 0, 1, 0, … � é antifontiana. No entanto, se a seqüência antifontiana ������,�,… é tal que �� ��0,1�, 5� 4 (, então ∑ ��

*��6 diverge. De fato, neste caso o produto

diverge para 0 e, portanto, ∑ ��*��6 não poderá convergir.

TEOREMA 2. Toda seqüência � �0 �, ��, … ��, … �, �� � �0,1�, não antifontiana converge para 0.

DEMONSTRAÇÃO. Suponhamos que � não convirja para 0. Então existe subseqüência �< ���=�>��,�,… de s, e ? 2 0 tais que ��= 2 ?, 5& 1, 2, … Pela observação acima, �< será seqüência antifontiana. Portanto, �, que associada a um processo de retiradas sucessivas não exaure qualquer quantidade pré-fixada, possuirá uma subseqüência que exaure a mesma quantidade. Como não há reposição de qualquer quantidade retirada, a existência desta subseqüência antifontiana constitui uma contradição. Logo, não existe tal subseqüência e, portanto, s deve convergir para zero%

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4. Produtos infinitos e movimentos livres de corpos de massas discretamente variáveis

Em relação a um referencial inercial ABCD um corpo de massa variável, com massa inicial ( no instante de tempo E 0, encontra-se livremente em repouso (num campo de forças nulo). No instante E� 2 E é ejetada com velocidade +�, relativa ao referencial ABCD, uma porção do corpo de massa igual a (��, restando um 1-subcorpo de massa igual a �1 ���(. No instante de tempo E� 2 E�, do 1-subcorpo restante da primeira ejeção é ejetada com velocidade +�, relativa ao referencial ABCD, uma segunda porção de massa igual a ���1 ���(, restando um 2-subcorpo de massa igual �1 ����1 ���(. Iterativamente, no instante E� 2 E�"� é ejetada com velocidade +�, relativa ao referencial ABCD, uma porção de massa igual a ���1 ��"���1 ��"�� · … · �1 ���(, restando um n-subcorpo de massa igual a �1 ����1 ��"�� · … · �1 ���(.

A seguir, apresentamos o cálculo da velocidade imediatamente após a �-ésima

ejeção. Pelo princípio de conservação da quantidade de movimento, temos:

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1ª Ejeção: G�HHHHI JK

�"JK+�HHHHI;

2ª Ejeção: G�HHHHI JK

��"JL���"JK�+�HHHHI JL

�"JL+�HHHHI;

3ª Ejeção: GMHHHHI JK

��"JN���"JL���"JK�+�HHHHI JL

��"JN���"JL�+�HHHHI JN

�"JN+MHHHHI;

.

.

. �ª Ejeção: G�HHHHI ∑ JO

∏ ��"JP�QPRO

�S�� +THHHI

Tendo em conta que G�HHHHI "�∏ ��"JP�Q

PRK���+�HHHHI # ∑ �∏ �1 �>�U"�

>�� �U+UHHHHI��U�� �, se

������3 for antifontiana, lim�)$*YG�HHHHIY só não divergirá caso o somatório ∑ �∏ �1 �>�U"�

>�� �U+UHHHHI��U�� � convirja para o vetor nulo. Mesmo com quantidades

finitas de energia é possível, com conveniente escolha da seqüência de velocidades �+THHHI�S�30, atingirmos velocidades G�HHHHI arbitrariamente grandes.

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Conclusão

As condições de mútua suficiência e necessidade para que uma seqüência seja antifontiana, por nós apresentadas, é de baixa operacionalização técnica, sendo de alta operacionalização apenas a condição suficiente. A classificação dos movimentos livres de corpos de massas discretamente variáveis depende de um estudo mais aprofundado das correlações existentes entre as seqüências �+THHHI�S�30 e ������30.

Bibliografia

1. ANTIFONTE - Testemunhos, Fragmentos, Discursos. Edição bilíngüe. Prefácio e tradução: Luís Felipe Bellintani Ribeiro. São Paulo: Edições Loyola, 2009.

2. APOSTOL, T. M. Análisis Matemático. Tradução de Henrique Linés Escardó. Editorial Reverté, 1976.