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Produto Interno no Plano Produto Interno e Norma Ortogonalizacao

Produto Interno

Prof. Marcio [email protected]

Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica

Disciplina: Algebra Linear - 2015.1

19 de agosto de 2015

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Considere um vetor no plano, isto e, um ponto P(x , y). A distanciade P a origem do plano e determinada pelo Teorema de Pitagoras:

d =√

x2 + y2

O numero real nao negativo d e o tamanho do vetor−→OP e o

representaremos por ‖−→OP‖.

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Considere agora uma forca de intensidade constante F agindosobre um corpo ao longo de uma linha reta por uma distancia d .

Da Fısica, sabemos que o trabalho realizado por F sera dado por

W = (‖F‖. cos θ).d

onde θ e o angulo que a forca F faz com o caminho.

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Considerando um caso mais geral (como na Figura abaixo), entao

W = [‖F‖. cos(t2 − t1)].‖−→OP‖ = ‖F‖.‖

−→OP‖. cos(t2 − t1)

onde ‖F‖ =√

x22 + y2

2 , ‖−→OP‖ =

√x2

1 + y21 e

cos(t2 − t1) = cos t2. cos t1 + sent2.sent1

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Observe que

cos t2 =x2

‖F‖e sent2 =

y2

‖F‖cos t1 =

x1

‖−→OP‖

e sent1 =y1

‖−→OP‖

Portanto,

cos(t2−t1) =x2

‖F‖.

x1

‖−→OP‖

+y2

‖F‖.

y1

‖−→OP‖

=1

‖F‖.‖−→OP‖

.(x2.x1+y2.y1)

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Assim,

W = ‖F‖.‖−→OP‖. cos(t2 − t1)

= ‖F‖.‖−→OP‖. 1

‖F‖.‖−→OP‖

.(x2.x1 + y2.y1)

= x2.x1 + y2.y1

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Repare que a operacao realizada entre os vetores Forca e Distanciapode ser generalizada para quaisquer dois vetores no plano:

Sendo v = (x1, y1) e w = (x2, y2), vamos denotar a operacaofeita anteriormente (trabalho) por

〈v ,w〉 = ‖v‖.‖w‖. cos t = x1.x2 + y1.y2

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Podemos, tambem, dizer que o angulo entre os vetores v e w edado por:

cos t =〈v ,w〉‖v‖.‖w‖

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Propriedades

Se v = (x , y), entao

‖v‖ =√x2 + y2 =

√x .x + y .y =

√〈v , v〉

Isso significa que 〈v , v〉 ≥ 0 para todo v ∈ R2 e que〈v , v〉 = 0 se, e somente se, v = (0, 0).

〈αv ,w〉 = (αx1).x2 + (αy1).y2 = α(x1.x2 + y1.y2) = α〈v ,w〉〈v ,w + u〉 = x1.(x2 + x3) + y1.(y2 + y3) =(x1.x2 + y1.y2) + (x1.x3 + y1.y3) = 〈v ,w〉+ 〈v , u〉〈v ,w〉 = x1.x2 + y1.y2 = x2.x1 + y2.y1 = 〈w , v〉

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Vamos estender a ideia da operacao 〈v ,w〉 do R2 para um espacovetorial qualquer.

Definicao - Produto Interno

Seja E um espaco vetorial. Um produto interno sobre E e umfuncional bilinear simetrico e positivo em E . Em outras palavras: euma funcao f : E × E −→ R que a cada par de vetores u, v ∈ Eassocia o numero real 〈u, v〉 de modo que sejam validas:

Comutativade ou Simetria: 〈u, v〉 = 〈v , u〉Positividade: 〈u, u〉 ≥ 0 e a igualdade ocorre somente

quando u =−→0 E

Bilinearidade: 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉 e〈αu, v〉 = α〈u, v〉

Definicao - Norma

O numero real ‖v‖ =√〈v , v〉 e chamado NORMA ou

comprimento do vetor v ∈ E .10 / 28


Exemplo

Mostre que‖u + v‖2 = ‖u‖2 + 2〈u, v〉+ ‖v‖2

Solucao: ‖u + v‖2 = 〈u + v , u + v〉= 〈u, u + v〉+ 〈v , u + v〉= 〈u, u〉+ 〈u, v〉+ 〈v , u〉+ 〈v , v〉= ‖u‖2 + 〈u, v〉+ 〈u, v〉+ ‖v‖2

= ‖u‖2 + 2〈u, v〉+ ‖v‖2

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Vetor Unitario

Quando ‖v‖ = 1, diz-se que v e um vetor unitario.

Observacao

Dado um vetor v em um espaco vetorial com produto interno,

tem-se que u =1

‖v‖.v e um vetor unitario.

De fato,

‖u‖2 = 〈u, u〉 = 〈 1

‖v‖.v ,

1

‖v‖.v〉

=

(1

‖v‖

)2

.〈v , v〉 =

(1

‖v‖

)2

.‖v‖2 = 1

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Produto Interno Canonico no Rn

Sejam u = (x1, x2, ..., xn), v = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rn. O produtointerno canonico de Rn e definido por:

〈u, v〉 = x1.y1 + x2.y2 + ...+ xn.yn

Consequentemente, a norma de u e definida por:

‖u‖ =√x2

1 + x22 + ...+ x2

n

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Exemplo

Seja E = C0([a, b]) o conjunto das funcoes contınuas no intervalo[a, b]. Um produto interno em E pode ser definido por:

〈f , g〉 =

∫ b

af (x).g(x)dx

〈f , g〉 =

∫ b

af (x).g(x)dx =

∫ b

ag(x).f (x)dx = 〈g , f 〉

〈f , f 〉 =

∫ b

af (x).f (x)dx =

∫ b

a[f (x)]2dx ≥ 0

〈f , g + h〉 = ... = 〈f , g〉+ 〈f , h〉〈κf , g〉 = ... = κ〈f , g〉

Norma: ‖f ‖ =

√∫ b

a[f (x)]2dx

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Produto Interno em um espaco vetorial qualquer

Seja E um espaco vetorial de dimensao n e B = {u1, u2, ..., un}uma base para E . Entao dados u, v ∈ E , temos:

u = α1u1 + α2u2 + ...+ αnun

v = β1u1 + β2u2 + ...+ βnun

Defina〈u, v〉 = α1.β1 + α2.β2 + ...+ αn.βn

Mostre que, de fato, tem-se um produto interno.

Consequentemente, ‖u‖ =√α2

1 + α22 + ...+ α2

n e umanorma.

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Vetores Ortogonais

Seja E um espaco vetorial com produto interno. Dois vetores u, vsao ditos ortogonais (ou perpendiculares) quando 〈u, v〉 = 0.Escreve-se, entao, u ⊥ v .

Exemplo: Considerando a base canonica de R2×2 e o produtointerno definido como citado anteriormente, as matrizes

A =

[3 02 1

]e B =

[−2 42 2

]sao ortogonais pois 〈A,B〉 = 0.

Observacao: O vetor nulo de um espaco vetorial E e sempreortogonal a qualquer vetor v ∈ E .

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Conjunto Ortogonal

Seja E um espaco vetorial com produto interno. Um conjuntoX ⊂ E e dito ortogonal quando dois vetores distintos quaisquer deX sao ortogonais.

Exemplo: A base canonica de Rn (se considerarmos oproduto interno definido a partir desta base) e um conjuntoortogonal: 〈ei , ej〉 = 0 e 〈ei , ei 〉 6= 0

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Conjunto Ortonormal

Seja E um espaco vetorial com produto interno. Um conjuntoX ⊂ E e dito ortonormal quando, alem de ortogonal, todos osvetores de X sao unitarios.

Exemplo: A base canonica de Rn (se considerarmos oproduto interno definido a partir desta base) e um conjuntoortonormal: 〈ei , ej〉 = 0 e 〈ei , ei 〉 = ‖ei‖2 = 1. Tambempodemos chama-la de Base Ortonormal.

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TEOREMA

Seja E um espaco vetorial com produto interno. Se e X umconjunto ortogonal de vetores nao nulos, entao X e um conjuntoLI.

Prova Seja X = {v1, v2, ..., vr} um conjunto ortogonal em E .Tomemos uma combinacao linear

α1v1 + α2v2 + ...+ αrvr =−→0

Fazendo o produto interno em ambos os membros com ovetor v1, teremos:

〈α1v1 + α2v2 + ...+ αrvr , v1〉 = 〈−→0 , v1〉〈α1v1, v1〉+ 〈α2v2, v1〉+ ...+ 〈αrvr , v1〉 = 〈−→0 , v1〉α1〈v1, v1〉+ α2〈v2, v1〉+ ...+ αr 〈vr , v1〉 = 〈−→0 , v1〉α1‖v1‖2 + α2.0 + ...+ αr .0 = 0

α1 = 0 e analogamente α2 = α3 = ... = αr = 0

�19 / 28


Teorema de Pitagoras

Seja E um espaco vetorial com produto interno. Quando u e v saoortogonais, entao

‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2

Prova Ja vimos que

‖u + v‖2 = ‖u‖2 + 2〈u, v〉+ ‖v‖2

Se u ⊥ v , entao 〈u, v〉 = 0 e

‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2

�

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Considere um vetor qualquer v num espaco vetorial E com produtointerno. Seja u um vetor unitario e w perpendicular a u de modoque v = w + au.

Qual o valor de a para que tenhamos v = au + w?

Observe que 〈au,w〉 = 0.

Por outro lado, w = v − au.

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Assim,

0 = 〈au,w〉 = 〈au, v − au〉= 〈au, v〉 − 〈au, au〉= a〈u, v〉 − a2〈u, u〉= a〈u, v〉 − a2

Conclusao: a2 = a〈u, v〉, isto e

a = 〈u, v〉22 / 28


Agora, suponha que u seja um vetor qualquer (naonecessariamente unitario).

Entao,0 = 〈au,w〉 = 〈au, v − au〉 = 〈au, v〉 − 〈au, au〉= a〈u, v〉 − a2〈u, u〉Conclusao: a2〈u, u〉 = a〈u, v〉, isto e

a =〈u, v〉〈u, u〉

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Projecao Ortogonal

Seja E um espaco vetorial com produto interno. Sejam u e vvetores nao nulos de E . A projecao ortogonal de v na direcao de ue o vetor

pru(v) =〈u, v〉〈u, u〉

.u

w + pru(v) = v ∴ w = v − pru(v)

〈w , pru(v)〉 = 0

Conclusao: o vetor v − pru(v) eortogonal a u.

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Projecao Ortogonal



.u

Alem disso, ‖v‖2 = ‖w‖2 + ‖pru(v)‖2

ou seja, ‖pru(v)‖ ≤ ‖v‖Conclusao: o comprimento daprojecao ortogonal e menor do que ouigual ao comprimento do vetor.

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Projecao Ortogonal



.u

‖pru(v)‖ =

√〈〈u, v〉〈u, u〉

.u,〈u, v〉〈u, u〉

.u〉

=

√〈u, v〉2

〈u, u〉2.〈u, u〉

=

√〈u, v〉2

‖u‖4.‖u‖2 =

|〈u, v〉|‖u‖

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Projecao Ortogonal



.u

Portanto, ‖v‖ ≥ ‖pru(v)‖ =|〈u, v〉|‖u‖

Desigualdade de Schwarz

|〈u, v〉| ≤ ‖u‖.‖v‖

Quando ocorre igualdade naDesigualdade acima?

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Desigualdade Triangular

Seja E um espaco vetorial com produto interno. Entao a normasatisfaz a desigualdade triangular, isto e,

‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖

Prova ‖u + v‖2 = ‖u‖2 + 2〈u, v〉+ ‖v‖2

≤ ‖u‖2 + 2|〈u, v〉|+ ‖v‖2

≤ ‖u‖2 + 2‖u‖.‖v‖+ ‖v‖2

= (‖u‖+ ‖v‖)2

Como ‖u + v‖, ‖u‖ e ‖v‖ sao numeros positivos, podemosconcluir que

‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖�

Quando vale a igualdade?

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