Processos Estocasticos UFCG lista3_2014_2

2014.2 Universidade Federal de Campina Grande – CEEI – DEE Processos Estoc´ asticos: Lista 03 Prof. Bruno B. Albert 13 de novembro de 2014 3.1 . Sej a p(t) um pulso dente de serra definido como p(t) = t, 0 ≤ t ≤ 1 0, caso contr ´ ario, como na figura abaixo 0 p(t) t 1 1− O processo estoc ´ astico X (t) ´ e definido por X (t) = Ap(t) em que A assume os valores ±1 com igual probabilidade. (a) Esboce as fun c ¸ ˜ oes amostras e descreva o processo X (t), (se ele ´ e cont´ ınuo ou discreto no tempo, se ele tem valores discretos ou cont´ ınuos). (b) Ache a func ¸ ˜ ao de massa de probabilidade de X (t). (c) Ache a esper anc ¸ a de X (t). (d) Ache a func ¸ ˜ ao de massa de probabilidade conjunta de X (t 1 ) e X (t 2 ). (e) Ache a aut oco var i ˆ ancia C X (t 1 ,t 2 ) e a autocorr elac ¸ ˜ ao R X (t 1 ,t 2 ) de X (t). 3.2. Um pr ocess o estoc´ astico discreto no tempo {X n , n = 1, 2,...} ´ e definido como X n = A(−1) n , em que A ∈ {−1, 1} ´ e uma vari ´ avel aleat ´ oria e P [A = 1] = 1/5. (a) Esboce as func ¸ ˜ oes amostr as e descr eva o proc esso. (Obs. S ´ o t emos duas func ¸ ˜ oes amostra) (b) Ache a func ¸ ˜ ao de massa de probabilidade de X n . (Analise para n par e para n ´ ı mpa r.) (c) Ache a func ¸ ˜ ao de massa de probabilidade conjunta de X n e X n+k , k = 0, ±1, ±2,.... (d) Ache a esper anc ¸ a de X n e a autocovari ˆ ancia C X (n, n + k). 3.3. Um proce sso estoc´ astico discreto no tempo X n ´ e definido co mo segu e. Uma dado co nfi ´ avel ´ e arre messado. O resultado k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ´ e observado e o processo ´ e ent ˜ ao determinado por X n = k para todo n. (a) Desenhe a s func ¸ ˜ oes amostras do processo. (b) Ache a fmp e a f dc de X n . (c) Ache a fmp e a fdc co njun ta para X n e X n+k . (d) Ach e a m´ edia , a auto corr elac ¸˜ ao e a autocovari ˆ ancia de X n . 3.4 . Sej a p(t) um pulso retangular definido como p(t) = 1, 0 ≤ t ≤ 1 0, caso contr ´ ario O processo estoc´ astico {X (t), −∞ < t < ∞} ´ e definido por X (t) = p(t − T ) em que T ´ e uma vari ´ avel aleat ´ oria uniformente distribu´ ıda no intervalo (0, 1).

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2014.2

Universidade Federal de Campina Grande CEEI DEEProcessos Estocasticos: Lista 03

Prof. Bruno B. Albert 13 de novembro de 2014

3.1. Seja p(t) um pulso dente de serra definido como

p(t) =

{t, 0 t 1

0, caso contrario,

como na figura abaixo

0

p(t)

t1

1

O processo estocastico X(t) e definido por X(t) = Ap(t) em que A assume os valores1 com igual probabilidade.(a) Esboce as funcoes amostras e descreva o processo X(t), (se ele e contnuo ou discreto no tempo, se ele tem

valores discretos ou contnuos).(b) Ache a funcao de massa de probabilidade de X(t).(c) Ache a esperanca de X(t).(d) Ache a funcao de massa de probabilidade conjunta de X(t1) e X(t2).(e) Ache a autocovariancia CX(t1, t2) e a autocorrelacao RX(t1, t2) de X(t).

3.2. Um processo estocastico discreto no tempo {Xn, n = 1, 2, . . .} e definido como

Xn = A(1)n,

em que A {1, 1} e uma variavel aleatoria e P [A = 1] = 1/5.(a) Esboce as funcoes amostras e descreva o processo. (Obs. So temos duas funcoes amostra)(b) Ache a funcao de massa de probabilidade de Xn. (Analise para n par e para n mpar.)(c) Ache a funcao de massa de probabilidade conjunta de Xn e Xn+k, k = 0,1,2, . . ..(d) Ache a esperanca de Xn e a autocovariancia CX(n, n+ k).

3.3. Um processo estocastico discreto no tempo Xn e definido como segue. Uma dado confiavel e arremessado. Oresultado k {1, 2, 3, 4, 5, 6} e observado e o processo e entao determinado por Xn = k para todo n.(a) Desenhe as funcoes amostras do processo.(b) Ache a fmp e a fdc de Xn.(c) Ache a fmp e a fdc conjunta para Xn e Xn+k.(d) Ache a media, a autocorrelacao e a autocovariancia de Xn.

3.4. Seja p(t) um pulso retangular definido como

p(t) =

{1, 0 t 1

0, caso contrario

O processo estocastico {X(t), < t
(a) Esboce duas funcoes amostras e descreva o processo.(b) Ache a funcao de massa de probabilidade de X(t).(c) Ache a media mX(t).(d) Ache a funcao de massa de probabilidade conjunta de X(t1) e X(t2).(e) Ache a autocovariancia CX(t1, t2) e a autocorrelacao RX(t1, t2).