Processamento Digital de Sinais -...

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Processamento Digital de Sinais Conversão A/D e D/A Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti

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Processamento Digital de Sinais

Conversão A/D e D/A

Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti

Introdução

A maioria dos sinais encontrados na natureza é contínua

Para processá­los digitalmente, devemos:Converter o sinal analógico para a forma digital (conversão A/D)

Processar o sinal digitalmente

Converter o sinal digital processado de volta à forma analógica (conversão D/A)

Digitalização de um sinal analógico

Diferenças entre o sinal digital e o sinal analógico: amostragem e quantização.

Ambos os processos restringem a quantidade de informação presente no sinal digital

Questão fundamental: qual informação é necessária, e qual pode ser descartada, para uma dada aplicação?

Digitalização de um sinal analógico

Amostragem QuantizaçãoSinal

analógicoSinal

amostradoSinaldigital

Perda de informação devido a:

Intervalo entre os instantes de amostragem (amostragem)

Passo de quantização (quantização)

Amostragem

É o processo no qual são armazenados os valores de um sinal contínuo apenas em instantes discretos de tempo.

Este processo é similar ao que acontece nos filmes de cinema:

tiram­se fotos das cenas a intervalos regulares de tempo. 

Estas fotos, quando apresentadas em progressão, nos dão a sensação de movimento.

Produto de dois sinais

o produto de um sinal ...

... com outro, é realizado...

... ponto a ponto

Amostragem ideal

A multiplicação dosinal contínuo ...

... com um trem deimpulsos ...

... gera um sinalamostrado.

Amostragem na prática

S am ple  &  H old

S ina lanalóg ico

S ina lam ostrado

sinal original

sinal amostrado

O Sample&Hold “segura” a tensão por um tempo para que o quantizadortenha tempo para medir a tensão da amostra.

Problemas devido à amostragem

Um evento ...

... que ocorre entre os instantes de amostragem ...

... não aparece no sinal reconstituído.

Mais problemas

Um sinal de alta frequência ...

... amostrado a uma taxa muito baixa ...

... é reconstituído como

... um sinal de baixa frequência.

Amostragem adequada

Se for possível reconstruir exatamente o sinal analógico a partir das amostras, então a amostragem foi realizada de forma adequada.

Teorema da Amostragem

Harry Nyquist (1889­1976) Claude E. Shannon (1916­2001)

Um sinal contínuo pode ser apropriadamente amostrado somente se ele não contiver componentes em frequência acima de metade da frequência de amostragem.  

f maxf s

2

Em forma gráfica

um sinal

amostrado duas vezespor período

tem informação suficiente

para ser reconstruído

Exemplos:

Aplicação fmax fsGeofísica 500 Hz 1 kHzBiomédica 1 kHz 2 kHzMecânica 2 kHz 4 kHz

Voz 4 kHz 8 kHzÁudio 20 kHz 40 kHzVídeo 4 MHz 8 MHz

Aliasing

Alias: adv também chamado // n outro nome, pseudônimo.

Ocorre quando amostramos um sinal a uma taxa inferior à de Nyquist.

sinal original

sinal amostrado

sinal reconstruído(com aliasing)

Efeitos na frequência devido ao aliasing

Ponto chave: um sinal digital não pode conter frequências acima da frequência de Nyquist (metade da frequência de amostragem).

Quando o sinal analógico tem somente componentes no intervalo (0,fs/2), não ocorre aliasing. 

Caso contrário, toda frequência acima de fs/2 será mapeada para alguma frequência no intervalo (0,fs/2).

Correspondência de frequências no aliasing

Cada frequência contínua acima da taxa de Nyquist tem uma frequência digital correspondente no intervalo (0, fs/2).

Se já houver uma senóide nesta frequência, este sinal irá se somar a ela, corrompendo o sinal reconstruído.

OK com aliasing

frequência contínua

freq

uênc

ia d

igita

l

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0,5

0 fs

fs

Efeitos na fase devido ao aliasing

O aliasing provoca também uma mudança de fase.

Somente dois deslocamentos de fase são observados: 0o e 180o

OK com aliasing

frequência contínua

fase

 dig

ital (

grau

s)

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

180o

0 fs0o

Octave: aliasing.m & voz.wav

Análise no domínio da frequência

No tempo (multiplicação) Na frequência (convolução)

1/fs

t

t

t

x

=

f0

f0 fs 2fs­fs­2fs

f0 fs 2fs­fs­2fs

*

=

Aliasing no domínio da frequência

Quando um sinal possui componentes acima de fs/2, estas irão interferir em outras componentes do sinal. 

f0

f0 fs 2fs­fs­2fs

f0 fs 2fs­fs­2fs

*

=

Para evitar o aliasing devemos:

Remover todas as componentes do sinal acima de fs/2 antes da amostragem, através de um filtro analógico passa­baixas.

Amostrar o sinal a uma taxa ligeiramente superior à taxa de Nyquist.Assim,  tanto o  filtro anti­aliasing no  transmissor como o  filtro de reconstrução  no  receptor  possam  ter  uma  banda  de  transição que vai de fmax  a fs­fmax.

Exemplo: em telefonia, os sinais de voz são passados por um filtro passa­baixas com freqüência de corte igual a 3400 Hz, e a seguir amostrados à taxa de 8 KHz.

Reconstrução analógica

Objetivo: recuperar o sinal analógico digital a partir das amostras.

Amostragem: gera uma replicação do espectro original do sinal a intevalos de fs.

Para recuperar o sinal original, basta eliminar as réplicas. Isto pode ser feito através de um filtro passa baixas com frequência de corte fs/2.

f0 fs 2fs­fs­2fs

Quantização

Depois de amostrados, os sinais mudam de valor apenas em instantes discretos de tempo, mas assumem valores em uma faixa contínua.

De modo a poder representá­los em um computador digital, é necessário também discretizar o sinal em amplitude.

Este processo é realizado pelo quantizador.

Exemplo

Imagine que um sinal contínuo assuma valores na faixa de 0 a 4095 volts. 

Se quantizarmos este sinal com 12 bits, teremos 4096 valores possíveis para as tensões. 

Desta forma, os valores 2.2 e 2.1 serão quantizados como 2 volts.

O processo de quantização leva a uma perda de informação. A questão passa a ser: quanto da informação pode ser descartada?

Conceitos básicos

LSB (Least Significant Bit): distância entre dois níveis de quantização adjacentes.

Todos os pontos do sinal que estiverem no intervalo do segmento em vermelho serão quantizados pelo nível representado pela bola verde.

Podemos ver que o erro de quantização máximo neste cenário será LSB/2.Níveis de quantização

Limiares de deteção

LSB

LSB

LSB/

2

sinal

Erro de quantização

sinal original

sinal quantizado

erro de quantização

Análise do erro de quantização

O erro de quantização se parece muito com um ruído aleatório.

De fato, ele pode ser modelado como um ruído aleatório com distribuição uniforme entre ­1/2LSB e +1/2LSB.

Desta forma, podemos ver o efeito da quantização sobre o sinal original como a adição de uma certa quantidade de ruído aleatório ao mesmo.

Este modelo é extremamente poderoso pois o ruído aleatório gerado pela quantização pode simplesmente ser adicionado ao ruído já presente no sinal analógico.

Distribuição Uniforme

f X x

1b−a

a bx

E [X ]=ab

2Var [X ]=

b−a2

12

f X x ={ 1b−a

, axb

0, caso contrário

Soma de Variáveis Aleatórias Independentes

Se X e Y são variáveis aleatórias estatisticamente independentes então para a v.a. Z = X+Y temos:

E [Z ]=E [X ]E [Y ]

Var [Z ]=Var [X ]Var [Y ]

Em resumo:

Amostragem: 

O sinal analógico deve ser filtrado de modo a não conter componentes acima de fmax = fs/2.

devemos amostrar o sinal a uma frequência fs maior ou igual a 2fmax.

Quantização: 

Modelada como um ruído com distribuição uniforme entre ­1/2 LSB e 1/2 LSB.

Número de bits para a quantização sinal depende da:

     a)  quantidade de ruído já presente no sinal analógico.

     b)  quantidade de ruído que pode ser tolerada no sinal digital.

Exercícios

 Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme entre       ­1/2LSB e 1/2LSB. Calcule a média e a variância de X.

 Verifique o ruído adicionado a um sinal analógico por um quantizador de 8 bits.

 Seja um sinal analógico com amplitude máxima de 1 V, e um ruído aleatório de 1mV rms. Analise o que acontece a este sinal quando o quantizamos com 8 bits.