Processamento Digital de Sinais -...
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Introdução
A maioria dos sinais encontrados na natureza é contínua
Para processálos digitalmente, devemos:Converter o sinal analógico para a forma digital (conversão A/D)
Processar o sinal digitalmente
Converter o sinal digital processado de volta à forma analógica (conversão D/A)
Digitalização de um sinal analógico
Diferenças entre o sinal digital e o sinal analógico: amostragem e quantização.
Ambos os processos restringem a quantidade de informação presente no sinal digital
Questão fundamental: qual informação é necessária, e qual pode ser descartada, para uma dada aplicação?
Digitalização de um sinal analógico
Amostragem QuantizaçãoSinal
analógicoSinal
amostradoSinaldigital
Perda de informação devido a:
Intervalo entre os instantes de amostragem (amostragem)
Passo de quantização (quantização)
Amostragem
É o processo no qual são armazenados os valores de um sinal contínuo apenas em instantes discretos de tempo.
Este processo é similar ao que acontece nos filmes de cinema:
tiramse fotos das cenas a intervalos regulares de tempo.
Estas fotos, quando apresentadas em progressão, nos dão a sensação de movimento.
Amostragem ideal
A multiplicação dosinal contínuo ...
... com um trem deimpulsos ...
... gera um sinalamostrado.
Amostragem na prática
S am ple & H old
S ina lanalóg ico
S ina lam ostrado
sinal original
sinal amostrado
O Sample&Hold “segura” a tensão por um tempo para que o quantizadortenha tempo para medir a tensão da amostra.
Problemas devido à amostragem
Um evento ...
... que ocorre entre os instantes de amostragem ...
... não aparece no sinal reconstituído.
Mais problemas
Um sinal de alta frequência ...
... amostrado a uma taxa muito baixa ...
... é reconstituído como
... um sinal de baixa frequência.
Amostragem adequada
Se for possível reconstruir exatamente o sinal analógico a partir das amostras, então a amostragem foi realizada de forma adequada.
Teorema da Amostragem
Harry Nyquist (18891976) Claude E. Shannon (19162001)
Um sinal contínuo pode ser apropriadamente amostrado somente se ele não contiver componentes em frequência acima de metade da frequência de amostragem.
f maxf s
2
Em forma gráfica
um sinal
amostrado duas vezespor período
tem informação suficiente
para ser reconstruído
Exemplos:
Aplicação fmax fsGeofísica 500 Hz 1 kHzBiomédica 1 kHz 2 kHzMecânica 2 kHz 4 kHz
Voz 4 kHz 8 kHzÁudio 20 kHz 40 kHzVídeo 4 MHz 8 MHz
Aliasing
Alias: adv também chamado // n outro nome, pseudônimo.
Ocorre quando amostramos um sinal a uma taxa inferior à de Nyquist.
sinal original
sinal amostrado
sinal reconstruído(com aliasing)
Efeitos na frequência devido ao aliasing
Ponto chave: um sinal digital não pode conter frequências acima da frequência de Nyquist (metade da frequência de amostragem).
Quando o sinal analógico tem somente componentes no intervalo (0,fs/2), não ocorre aliasing.
Caso contrário, toda frequência acima de fs/2 será mapeada para alguma frequência no intervalo (0,fs/2).
Correspondência de frequências no aliasing
Cada frequência contínua acima da taxa de Nyquist tem uma frequência digital correspondente no intervalo (0, fs/2).
Se já houver uma senóide nesta frequência, este sinal irá se somar a ela, corrompendo o sinal reconstruído.
OK com aliasing
frequência contínua
freq
uênc
ia d
igita
l
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0,5
0 fs
fs
Efeitos na fase devido ao aliasing
O aliasing provoca também uma mudança de fase.
Somente dois deslocamentos de fase são observados: 0o e 180o
OK com aliasing
frequência contínua
fase
dig
ital (
grau
s)
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
180o
0 fs0o
Octave: aliasing.m & voz.wav
Análise no domínio da frequência
No tempo (multiplicação) Na frequência (convolução)
1/fs
t
t
t
x
=
f0
f0 fs 2fsfs2fs
f0 fs 2fsfs2fs
*
=
Aliasing no domínio da frequência
Quando um sinal possui componentes acima de fs/2, estas irão interferir em outras componentes do sinal.
f0
f0 fs 2fsfs2fs
f0 fs 2fsfs2fs
*
=
Para evitar o aliasing devemos:
Remover todas as componentes do sinal acima de fs/2 antes da amostragem, através de um filtro analógico passabaixas.
Amostrar o sinal a uma taxa ligeiramente superior à taxa de Nyquist.Assim, tanto o filtro antialiasing no transmissor como o filtro de reconstrução no receptor possam ter uma banda de transição que vai de fmax a fsfmax.
Exemplo: em telefonia, os sinais de voz são passados por um filtro passabaixas com freqüência de corte igual a 3400 Hz, e a seguir amostrados à taxa de 8 KHz.
Reconstrução analógica
Objetivo: recuperar o sinal analógico digital a partir das amostras.
Amostragem: gera uma replicação do espectro original do sinal a intevalos de fs.
Para recuperar o sinal original, basta eliminar as réplicas. Isto pode ser feito através de um filtro passa baixas com frequência de corte fs/2.
f0 fs 2fsfs2fs
Quantização
Depois de amostrados, os sinais mudam de valor apenas em instantes discretos de tempo, mas assumem valores em uma faixa contínua.
De modo a poder representálos em um computador digital, é necessário também discretizar o sinal em amplitude.
Este processo é realizado pelo quantizador.
Exemplo
Imagine que um sinal contínuo assuma valores na faixa de 0 a 4095 volts.
Se quantizarmos este sinal com 12 bits, teremos 4096 valores possíveis para as tensões.
Desta forma, os valores 2.2 e 2.1 serão quantizados como 2 volts.
O processo de quantização leva a uma perda de informação. A questão passa a ser: quanto da informação pode ser descartada?
Conceitos básicos
LSB (Least Significant Bit): distância entre dois níveis de quantização adjacentes.
Todos os pontos do sinal que estiverem no intervalo do segmento em vermelho serão quantizados pelo nível representado pela bola verde.
Podemos ver que o erro de quantização máximo neste cenário será LSB/2.Níveis de quantização
Limiares de deteção
LSB
LSB
LSB/
2
sinal
Análise do erro de quantização
O erro de quantização se parece muito com um ruído aleatório.
De fato, ele pode ser modelado como um ruído aleatório com distribuição uniforme entre 1/2LSB e +1/2LSB.
Desta forma, podemos ver o efeito da quantização sobre o sinal original como a adição de uma certa quantidade de ruído aleatório ao mesmo.
Este modelo é extremamente poderoso pois o ruído aleatório gerado pela quantização pode simplesmente ser adicionado ao ruído já presente no sinal analógico.
Distribuição Uniforme
f X x
1b−a
a bx
E [X ]=ab
2Var [X ]=
b−a2
12
f X x ={ 1b−a
, axb
0, caso contrário
Soma de Variáveis Aleatórias Independentes
Se X e Y são variáveis aleatórias estatisticamente independentes então para a v.a. Z = X+Y temos:
E [Z ]=E [X ]E [Y ]
Var [Z ]=Var [X ]Var [Y ]
Em resumo:
Amostragem:
O sinal analógico deve ser filtrado de modo a não conter componentes acima de fmax = fs/2.
devemos amostrar o sinal a uma frequência fs maior ou igual a 2fmax.
Quantização:
Modelada como um ruído com distribuição uniforme entre 1/2 LSB e 1/2 LSB.
Número de bits para a quantização sinal depende da:
a) quantidade de ruído já presente no sinal analógico.
b) quantidade de ruído que pode ser tolerada no sinal digital.
Exercícios
Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme entre 1/2LSB e 1/2LSB. Calcule a média e a variância de X.
Verifique o ruído adicionado a um sinal analógico por um quantizador de 8 bits.
Seja um sinal analógico com amplitude máxima de 1 V, e um ruído aleatório de 1mV rms. Analise o que acontece a este sinal quando o quantizamos com 8 bits.