Problemas de Circuitos y Sistemas Digitales - Carmen Baena.pdf

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  • Y SSTEMAS DGTALES

    Carmen Baena Manuel Jess Bellido Alberto Jess Molina

    Mara del Pilar Parra Manuel Valencia

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  • PROBLEMAS

    DE CRCUTOS

    Y SSTEMAS DGTALES

    C- q7

    Carmen Baena Oliva

    Manuel Jess Bellido Daz

    Alberto Jess Molina Cantero

    Mara del Pilar Parra Fernndez

    Manuel Valencia Barrero

    Departamento de Tecnologa Electrnica

    Universidad de Sevilla

    McGraw-Hill

    MADRD BUENOS ARES CARACAS GUATEMALA LSBOA MXCO

    NUEVA YORK PANAM SAN JUAN SANTAF DE BOGOT SANTAGO SO PAULO

    AUCKLANDHAMBURGO LONDRES MLN MONTREAL

    NUEVA DELH PARS

    SAN FRANCSCO SDNEY SNGAPUR ST. LOUS TOKO TORONTO

  • TABLA DE CONTENDOS

    PRLOGOvi

    1 .

    REPRESENTACN Y CODFCACN BNARA1

    2.

    LGEBRA Y FUNCONES DE CONMUTACN19

    3.

    ANLSS DE CRCUTOS COMBNACONALES35

    4.

    DSEO DE CRCUTOS COMBNACONALES51

    5.

    SUBSSTEMAS COMBNACONALES 89

    6. CRCUTOS ARTMTCOS141

    7. ANLSS DE CRCUTOS SECUENCALES169

    8.

    DSEO DE CRCUTOS SECUENCALES197

    9.

    SUBSSTEMAS SECUENCALES229

    10 .

    MEMORAS SEMCONDUCTORAS263

    11 .

    NTRODUCCN A LOS SSTEMAS DGTALES291

    12 .

    DSEO DE UNDADES DE CONTROL325

    13 MSCELNEA359

    BBLOGRAFA391

    v

  • PRLOGO

    Este ejemplar es un libro de problemas resueltos en el campo del Diseo Lgico. Como tal

    libro de problemas ha sido concebido con la finalidad de ensear cmo se aplican los

    conceptos y herramientas a casos concretos . Esto significa que nuestra atencin no se centra

    en el desarrollo de la doctrina terica, sino en tratar de explicar cmo interpretar enunciados

    de problemas ms o menos bien especificados y, empleando los conocimientos tericos

    adquiridos por otras vas, resolver ese problema en particular y no otro. Como se ve, nuestros

    objetivos primarios son potenciar las capacidades de aplicacin de la teora y la de resolucin

    prctica de problemas .

    En cuanto a la disciplina, el trmino Diseo Lgico alude a materias tan bien conocidas

    como son los Circuitos y Sistemas Digitales o la Teora de Conmutacin. En ella se incluyen :

    1) los fundamentos matemticos usuales (lgebra de Boole, representaciones binarias de n-

    meros y su aritmtica, codificacin binaria); 2) la presentacin, anlisis y diseo de circuitos

    a nivel de conmutacin, tanto combinacionales como secuenciales; y 3) la descripcin y reali-

    zacin de sistemas digitales a nivel de transferencias entre registros (RT), organizando el sis-

    tema como una unidad de procesado de datos y otra de control . Aunque claramente fuera del

    contexto de este libro, las materias fronteras son, en el nivel inferior, el tratamiento elctrico

    de las puertas lgicas y, en el nivel superior, la arquitectura de computadores, as como los sis-

    temas multiprocesadores. La proliferacin de aplicaciones y el considerable aumento de la

    complejidad experimentada por los circuitos digitales en los ltimos aos hacen inviable el cu-

    brimiento completo de esta materia. Nuestro propsito ha sido desarrollar un conjunto de pro-

    blemas que den soporte y fundamenten adecuadamente a todos los circuitos y tcnicas de Di-

    seo Lgico .

    Nuestro libro est pensado para un primer curso de Diseo Lgico, con aplicacin en

    diversos estudios universitarios tales como nformtica (fundamentos del hardware) e ngenie-

    ra Electrnica (realizacin de sistemas digitales) . Tambin es til en algunos campos cient-

    ficos, en concreto, los relacionados con la Teora de Conmutacin, la Teora de Autmatas y

    la Aritmtica del Computador . Adems, al estar fuertemente enfocado a la resolucin de pro-

    blemas, este texto tambin puede servir a profesionales que deseen realizar una puesta al da

    vi

  • viii PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    rpida y eficiente en las realizaciones de circuitos y de sistemas digitales . El uso de este libro

    no requiere conocimientos especficos previos ni en Electrnica, ni en Computadores, ni en

    Matemticas avanzadas . Sin embargo, al ser un libro de problemas, el lector debe conocer a

    nivel terico los conceptos, principios y tcnicas del diseo digital . En la actualidad hay dis-

    ponibles suficientes libros que cubren satisfactoriamente los aspectos tericos de esta materia

    (vanse las referencias que citamos). A ellos deber acceder el lector para conocer los funda-

    mentos tericos de este libro de problemas . No obstante, con el doble fin de resumir los con-

    ceptos ms importantes y de presentar la terminologa que utilizamos, en cada Captulo hay

    una pequea presentacin terica. Adems, en los problemas que introducen materias, durante

    su resolucin se detallan los nuevos aspectos tericos involucrados .

    En la realizacin del libro hemos huido de los ejercicios puramente repetitivos, de los

    excesivamente simples y de los de escasa entidad . Esto es debido a que, en nuestra experiencia,

    es claramente preferible primar el nivel de profundidad de los problemas sobre la cantidad de

    stos. Por otra parte y desde un punto de vista ms prctico, hemos establecido dos tipos de

    ejercicios . En primer lugar hemos seleccionado un amplio conjunto de problemas para

    resolverlos en detalle . Sobre ellos el lector aprender la metodologa de resolucin . Hemos

    intentado que cada aspecto importante de la materia est cubierto por problemas bien

    desarrollados . Posteriormente se presenta un segundo conjunto de problemas de los que slo

    se ofrece la solucin final . Con ello se pretende que el lector se aventure en la resolucin de

    stos y simplemente pueda comprobar la correccin de sus resultados .

    La organizacin elegida obedece a un cubrimiento de la materia que va de abajo a arriba

    (de forma similar a la metodologa "bottom-up"), avanzando desde lo ms simple a lo ms

    complejo. En gran parte el material es autocontenido por lo que no se necesita ningn

    prerrequisito .

    Bsicamente la materia contenida en este libro de problemas est dividida en tres gran-

    des bloques ms un Captulo final . El primero de los bloques (Captulos 1 al 6) corresponde a

    circuitos combinacionales, el segundo (Captulos 7 al 10) a circuitos secuenciales y el ltimo

    (Captulos 11 y 12), donde se aumenta significativamente la complejidad, a los sistemas digi-

    tales. Dentro de cada bloque hemos ordenado los problemas procurando ordenarlos para que

    el lector pueda apoyarse en los ya realizados a la hora de abordar los que vengan a continua-

    cin. As, cada bloque consta de varios Captulos, cada uno de los cuales contiene problemas

    de una materia concreta . Los problemas de estos Captulos han sido desarrollados procurando

    que el lector vaya aprendiendo a resolverlos dentro de esa materia . Por el contrario, el ltimo

    Captulo est ideado con la finalidad de que el lector evale su nivel de conocimientos . Para

    ello, por una parte, los problemas no se han ordenado segn la materia, de forma que el lector

    no los site a priori en un contexto predeterminado ; por otra, se incluyen algunos que afectan

    a ms de una unidad temtica ; y, por ltimo, se presentan todos los enunciados juntos, cada

    problema separado de su solucin, con el fin de que el lector tenga que ir a buscar explcita-

    mente cada solucin .

  • Concretando, la organizacin de este libro de problemas es como sigue :

    Captulo 1 .- Aplicacin de los conceptos bsicos como son los sistemas de numeracin

    y la codificacin binaria. Estos problemas estn orientados a practicar con las representaciones

    no decimales de magnitudes y las conversiones entre las distintas bases, as como la de nme-

    ros con signo y fraccionarios incluyendo tanto el punto fijo como el punto flotante . Tambin

    se tratan los principales cdigos binarios y decimales .

    Captulo 2 .- Desarrollo de los problemas relacionados con el lgebra de Boole y con el

    manejo de las funciones booleanas incluyendo demostraciones de teoremas e identidades, y las

    diversas representaciones de funciones de n variables (tablas de verdad, mapas binarios y de

    Karnaugh) y los teoremas para dichas funciones que dan lugar a las expresiones cannicas y

    estndares .

    Captulo 3.- Anlisis de circuitos combinacionales, tanto a nivel puramente lgico como

    temporal, incluyendo tcnicas especficas para el anlisis de circuitos con slo puertas NAND

    o NOR .

    Captulo 4.- Diseo de funciones . En l se aplican tcnicas de reduccin para obtener las

    expresiones mnimas en suma de productos o producto de sumas (basadas en mapas de Kar-

    naugh y en los mtodos de Quine-McCluskey y de Petrick). Adems se presta una especial

    atencin a la obtencin de los O's y los l's de una funcin cuando sta se da a travs de una

    descripcin verbal de su comportamiento .

    Captulo 5.- Presentacin de los subsistemas combinacionales de propsito especfico,

    en particular los que convierten cdigos binarios (decodificadores, codificadores y converti-

    dores de cdigos) y los comparadores . Tambin se incluyen los subsistemas de propsito ge-

    neral como son los multiplexores y los subsistemas programables (las memorias de slo lectu-

    ra, los PLA's y los PAL's) . Los subsistemas se estudian desde tres perspectivas : cmo se cons-

    truyen a nivel de puertas, cmo se analizan circuitos que los contienen y cmo se disean

    funciones utilizndolos como componentes de la realizacin .

    Captulo 6.- Desarrollo de los problemas relacionados con la aritmtica binaria . En ellos

    se muestran tanto las operaciones aritmticas (suma, resta, multiplicacin . . .) como los

    circuitos combinacionales que las realizan (sumadores, sumadores-restadores y unidades

    aritmtico-lgicas) .

    Captulo 7.- Presentacin del biestable tanto a nivel lgico (RS, JK, D y T) como a nivel

    temporal (sin reloj, disparados por nivel, tipo Master-Slave y disparados por flanco) . Tambin

    se aborda el anlisis de circuitos secuenciales . Se desarrollan tanto los circuitos sncronos o

    con una nica seal de reloj, como los asncronos, incluyendo en stos los que operan mediante

    entradas asncronas y los circuitos que poseen ms de una seal de reloj .

    PRLOGO ix

  • x

    PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    Captulo 8.- Diseo de circuitos secuenciales sncronos . Se muestran los distintos pasos

    del proceso habitual de diseo, sistemtico en su mayor parte, y que consigue como resultado

    un circuito de coste reducido u ptimo . Algunos de los problemas van encaminados a practicar

    con determinados pasos del proceso mientras que otros muestran el proceso globalmente .

    Captulo 9.- Desarrollo de los problemas de anlisis de circuitos secuenciales construi-

    dos con contadores y registros, el diseo interno de estos dispositivos para que posean opera-

    ciones especficas, su realizacin mediante la asociacin de subsistemas semejantes de menor

    tamao y el diseo en general de funciones secuenciales .

    Captulo 10.- Problemas de memorias semiconductoras . Bsicamente estn dirigidos al

    uso de estas memorias y a la formacin de memorias "principales" por la asociacin de varios

    de estos dispositivos (realizacin de mapas de memorias) .

    Captulo 11 .- ntroduccin al nivel de transferencia entre registros (nivel RT) y al diseo

    de sistemas digitales . En particular, se tratan las formas de descripcin (notacin RT, cartas

    ASM y lenguaje HDL), conectndolas con los bloques de circuitos funcionales, bsicamente

    registros . Tambin se incluyen problemas sobre las tcnicas de interconexin entre registros

    mediante buses y la realizacin de unidades de datos simples cuando se conoce su operacin

    a nivel RT .

    Captulo 12 .- Diseo de sistemas digitales completos, esto es, la unidad de datos y la de

    control. En los primeros problemas se parte de una unidad de procesado de datos conocida y

    hay que desarrollar una unidad de control adecuada . Finalmente se afrontan problemas de

    diseo completo de sistemas digitales .

    Captulo 13 .- Presentacin de problemas de las materias ya tratadas .

  • Captulo 1

    REPRESENTACN Y CODFCACN BNARA

    Los circuitos digitales operan con dos niveles de seal, la mayora de las veces una tensin baja

    y otra alta . Desde el punto de vista matemtico decimos que operan con seales binarias y los

    dos niveles se representan mediante 0 y 1 . Toda la informacin que ha de procesar un sistema

    digital ha de expresarse mediante combinaciones de esos dos valores . En consecuencia, hay

    que describir cmo se representan los entes mediante 0 y 1 (codificacin binaria) y, ms espe-

    cficamente, por ser esencial en el clculo, cmo se representan los nmeros .

    REPRESENTACN POSCONAL DE MAGNTUDES

    Un sistema numrico se caracteriza por sus smbolos bsicos ; estos son llamados dgitos, cada

    uno de los cuales representa una determinada cantidad de unidades. A su vez, cada cantidad

    puede expresarse mediante una secuencia de tales dgitos . En algunos sistemas la posicin ocu-

    pada por cada uno de los dgitos dentro de la secuencia est asociada a un valor determinado

    (peso). Decimos entonces que se trata de un sistema de representacin posicional .

    Un sistema numrico de base r es un sistema posicional de representacin donde los

    pesos de los dgitos son potencias de r . As, una magnitud M puede representarse en la base r

    de la siguiente forma :

    M = dn-1 dn _2 . . . d 1 do .

    d_1 d-2. . . d_m

    (r

    n-1

    siendo d; un dgito de dicha base y cumplindose que d i e {0, 1, . . .,r-1}

    y M =

    d . r1 .

    j -m

    Para realizar cambios entre distintas bases existen diversos mtodos . En este Captulo se

    - Para cambiar de base 10 a base r, se utiliza el mtodo de las divisiones sucesivas para

    obtener la parte entera y el mtodo de las multiplicaciones sucesivas para obtener la parte frac-

    cionaria .

    1

    usan fundamentalmente los siguientes :n -1

    - Para cambiar de base r a base 10, se aplica la frmula : M = Y, d . r .

    j= -m

  • 2

    PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    - Para cambiar de una base arbitraria rl a otra r2 , se pasa en primer lugar de rl a 10 y

    despus de 10 a r2.

    - Para cambiar entre las bases 2, 8 y 16 (potencias de 2) se utiliza un mtodo de agrupa-

    cin de bits .

    REPRESENTACN DE NMEROS CON SGNO

    De entre las notaciones existentes para expresar nmeros con signo nos hemos centrado en las

    notaciones signo-magnitud, complemento a 1 y complemento a 2. En algunos aspectos que de-

    tallaremos a continuacin las tres notaciones son similares. Se designa un bit especial denomi-

    nado bit de signo (bs) cuyo valor es 0 en nmeros positivos y 1 en nmeros negativos . En n-

    meros positivos los dems bits representan la magnitud:

    A = n-1 an_2 . . . al a0 . a_ 1 a_2 . . . a-

    l

    m/

    T

    bit de signo

    magnitud

    La forma de representar los nmeros negativos es distinta para las tres notaciones:

    - En la notacin signo magnitud bs se hace igual a 1 y el resto de bits representan de

    nuevo la magnitud :

    - A = 1 a

    17

    1 a

    n_2 . . . al a0 .

    a-1 a-2. . . a_T

    T

    5

    bit de signo

    magnitud

    -

    En la notacin complemento a 1, el nmero negativo es el complemento a 1 del co-

    rrespondiente nmero positivo:

    -A= Cal (A) = 1 an_

    l

    a n _ 2 . . . al ao .

    a-1 a-2

    . . . a_m

    -

    En la notacin complemento a 2, el nmero negativo es el complemento a 2 del co-

    rrespondiente nmero positivo :

    - A = Ca2(A) = Cal (A) + 2

    -m

    REPRESENTACN DE NMEROS EN PUNTO FLOTANTE

    La representacin en punto (o coma) flotante se basa en la notacin exponencial o cientfica.

    En dicha notacin los nmeros se expresan en la forma M = m x b e (m mantisa, b base, e ex-

    ponente). Esto permite expresar cantidades de muy distinto tamao de forma compacta, por

    ejemplo, la masa del sol: 1 .989 x 1030 Kg o la carga del electrn : -1 .602 x 10-19 C. Si se su-

    pone conocida la base, basta representar los valores de mantisa y exponente. Esto es lo que se

    hace cuando se representan nmeros en punto flotante.

    Una cantidad se puede expresar de muchas formas distintas en notacin exponencial, por

    ejemplo la velocidad de la luz, c, es 3 x 10 8 m/s 0.003 x 1011 m/s 3000,n 10 m/s, etc . Para

    trabajar con nmeros en punto flotante se suele adoptar un convenio acerca de cul de las

    mltiples expresiones de la forma m x be es la que se escoge . En este Captulo trabajaremos

    con mantisas cuyo dgito ms significativo es "no nulo" (notacin normalizada). Por ejemplo,

  • REPRESENTACN Y CODFCACN BNARA

    supongamos que disponemos de 5 dgitos para la mantisa, representaciones normalizadas de c

    seran: 3.0000 x 108 3000.0 x 105 30000 x 10 4 , pero no lo sera 0 .0030 x 10 11

    0.00003 x 10 13 . Sin embargo, an es necesario adoptar un segundo convenio para elegir una

    entre las diversas representaciones normalizadas. Ese convenio se refiere a concretar cul es

    la posicin del punto decimal de la mantisa . En este texto se trabaja con dos convenios :

    - Notacin fraccionaria : el punto decimal est a la izquierda del primer dgito represen-

    tado de la mantisa, en nuestro ejemplo : 0.30000 x 109 .

    - Notacin entera: el punto decimal est a la derecha del ltimo bit representado de la

    mantisa, en nuestro ejemplo : 30000 x 104 .

    CODFCACN BNARA

    Por codificacin binaria se entiende la representacin de un conjunto de entes, numricos o no

    numricos, mediante palabras de n bits . Ahora presentaremos algunos cdigos binarios de cada

    tipo .

    La conversin entre la base 2 y la base 8 16 se realiza por agrupacin de bits . Por ex-

    tensin cualquier cdigo binario puede representarse mediante los dgitos de dichas bases . As

    podemos hablar de cdigo octal y cdigo hexadecimal .

    Entre los cdigos ms utilizados se encuentran los llamados cdigos decimales . Estos

    asignan a cada uno de los dgitos de la base 10 una palabra binaria . Con su utilizacin se evita

    el proceso de conversin entre base 2 y base 10, aunque el nmero de bits precisado para ex-

    presar una cantidad es, en general, mayor. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos :

    dgito decimal BCD natural BCD exceso 3 2 de 5 7 segmentos

    0 0000 0011 00011 1111110

    1 0001 0100 00101 0110000

    2 0010 0101 00110 1101101

    3 0011 0110 01001 1111001

    4

    0100 0111 01010 0110011

    5 0101 1000 01100 1011011

    6 0110 1001 10001 0011111

    7 0111 1010 10010 1110000

    8 1000 1011 10100 1111111

    9 1001 1100 11000 1110011

    cdigo

    octal hexadecimal

    cdigo cdigo

    hexadecimal

    0 000 0 0000

    8 0000

    1 001 1 0001

    9

    0001

    2 010 2 0010 A 0010

    3 011 3 0011

    B

    0011

    4 100 4 0100 C 0100

    5 101 5 0101 D 0101

    6 110 6 0110 E 0110

    7 111 7 0111 F 0111

  • 4

    PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    Otro cdigo de gran inters es el cdigo Gray (o cdigo reflejado) de n bits. En las

    siguientes tablas se muestran los casos n = 3 y n = 4. Puede observarse en ellas la particularidad

    de que las palabras asignadas a dos nmeros consecutivos se diferencian nicamente en 1 bit.

    Se trata por tanto de un cdigo con distancia unidad.

    cdigo

    cdigo

    cdigo

    Gray(n=3)

    Gray(n=4)Gray(n=4)

    0 000

    0 0000

    8

    1100

    1

    001

    1

    0001

    9

    1101

    2

    011

    2

    0011

    10

    1111

    3

    010

    3

    0010

    11

    1110

    4

    110

    4

    0110

    12

    1010

    5

    111

    5

    0111

    13

    1011

    6

    101

    6

    0101

    14

    1001

    7

    100

    7

    0100

    15

    1000

    Como ejemplo de cdigo alfanumrico, en este texto se usa el cdigo ASC. Mediante

    este cdigo de 7 bits es posible codificar las 26 letras del alfabeto, tanto maysculas como mi-

    nsculas, los 10 dgitos decimales, caracteres como

  • REPRESENTACN Y CODFCACN BNARA

    5

    dedos . En un cuaderno que encontraron en la nave haba escrito:

    "5X2 - 50X+ 125= 0 -4 X t = 8, X2 = 5"

    Suponiendo que tanto el sistema de numeracin como las matemticas extraterrestres

    tengan una historia similar a los desarrollados en la Tierra, cuntos dedos (B) posean?

    Solucin Pl.-Debemos encontrar un sistema de numeracin B en el cul se verifique que 8 y

    5 son soluciones a la ecuacin encontrada .

    En un sistema posicional de base B una secuencia de dgitos, d n_ 1 dn _2 . . . d l do, repre-

    n-1

    senta a una magnitud M si se cumple que M =

    d . B~ .

    _ -M

    Aplicando dicha frmula a los coeficientes de la ecuacin : 5, 50 y 125, obtenemos la

    siguiente :

    5 X2 -(5 B +0) X+(1 B2 +2 B +5)=0

    Sustituyendo los valores X 1 = 8 y X2 = 5 en la variable X :

    5 .82-(5 B +0) 8 +(1 B2+2 B +5)=0

    5 . 52 -(5 . 8+0) 5 +(1 B2+2 B +5)=0

    Basta resolver el sistema formado por estas dos ecuaciones para encontrar que el nico

    valor de B que satisface ambas esB = 13 . Por tanto, los extraterrestres de Ophiocus posean 13

    dedos en su nico brazo.

    Problema 2.- Represente posicionalmente la cantidad "diecisis unidades" en las bases 3, 7,

    8 y 16.

    Solucin P2.-

    La cantidad "diecisis unidades" en base 3 deber cumplir (utilizando la nota-

    cin decimal en las operaciones) :

    16= . . .+d3 . 33 +d2 .32 +d1 . 3 1 +1 . 30 +d_ 1 3-1 + . . .

    con di =0,12.

    Para obtener los valores de los dgitos d i hay dos mtodos :

    1) Comprobar valores de di hasta que la suma sea igual a la magnitud . En nuestro caso :

    16=1 . 32 +2 . 3 1 +1 . 30 =121 (3

    2) Mediante divisiones sucesivas para la parte entera y multiplicaciones sucesivas para

    la parte fraccionaria. En nuestro caso sera :

    do d i

    d2 d3

    Con lo que 16 = . . .0121 (3= 121 (3 .

    Ntese que sin ms que sustituir el dividendo por la suma del divisor por el cociente y

    del resto, se obtiene la expresin general .

  • 6

    PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    Operando de la misma forma para los dems casos obtenemos :

    16=2 . 7 1 +2 . 70 =22

    (7

    16 = 2 . 8 1 + 0 . 80 = 20(8

    16 = 1 16' +0 160 = 10(16

    En general, "r unidades" en base r se representa 10(r

    Problema 3 .- Represente el nmero decimal 23.75 en las bases 2, 5, 6, 8 y 16.

    Solucin P3.- Obtendremos en primer lugar la representacin de la parte entera por el mtodo

    de las divisiones sucesivas . Para pasar a base 2 :

    23

    t

    v11

    v

    5

    v C_2

    ` '

    1

    0

    1

    v v

    do d i

    d2 d3

    d4

    Por tanto: 23(10 = 1011 l(2

    gualmente para las otras bases obtenemos:

    23(10 = 43(5

    = 35(6 = 27(8 = 17

    (16

    En cuanto a la parte fraccionaria, ha de obtenerse mediante el mtodo de las multiplica-

    ciones sucesivas . En el caso del paso a base 2:

    0.75 2 = 1 .5

    La parte entera de esta cantidad es d_ 1 ; la parte fraccionaria es la que se multiplica por

    la base en el paso siguiente :

    0.5 2 = 1 .0

    La parte entera, en esta ocasin, nos da el bit d_ 2 . Como la parte fraccionaria es 0, todas

    las siguientes multiplicaciones daran como resultado 0 y, por tanto, el resto de los bits

    (d_ 3 , d_4 , . . .) son iguales a 0 .

    Por tanto : 0.75(10 =0.11

    (2

    y

    23.75(10 = 10111 .1 l

    (2

    Para base 5:

    0.75 5 = 3 .75 - d_, = 3

    0.75 . 5=3 .75--> d_2=3=d_3= . . .

    por tanto, 23 .75(10 = 43 .333 . . . (5

    Para base 6 :

    0.75 6 = 4.5 - d_ 1 = 4

    0.5 . 6=3 .0

    -4d_3=3,d_4=0=d_5= . . .

    por tanto, 23 .75(10 = 35.436

    Para base 8 :

    0.75 8 = 6.0 - d_, = 6, d_ 2 = 0 = d_3 = . . .

    por tanto, 23 .75(10 = 27.6(8

  • REPRESENTACN Y CODFCACN BNARA

    7

    Para base 16 :

    0.75 16 = 12.0 -+ d_, = 12, d_2 = 0 = d_3 = . . .

    por tanto, 23 .75(10 = 17.C(16

    Problema 4.- Convierta los siguientes nmeros a base 10:

    a) 100.111010 (2; b) 50(8, c) 101

    .1(2;

    d) 198

    F(16-

    Solucin P4 .- Para convertir a base 10 basta sustituir el valor de la base y de los dgitos en la

    n-1

    expresin M =E

    d . r1 y realizar las operaciones .

    j = -m

    a) 100.111010(2 = 1 22 + 1 2 -1 + 1 2-2 + 1 2-3 + 1

    2-5

    = 4.90625(10

    b)50

    (

    8=5 8+0=40(1 0

    c)101 .1

    (2

    =1 22 +1 20 +1 2 -1 =5.5 (10

    d) 198F(16 = 1 163 + 9 162 + 8 16 1 + 15 160 = 6543(, 0

    Problema 5.-Se cuenta que un rey, encantado con el juego, ofreci al inventor del ajedrez el

    premio que desease . El inventor slo pidi 1 grano de arroz por la primera casilla del tablero,

    2 granos por la segunda, 4 por la tercera y as, el doble cada vez, hasta llegar a la ltima ca-

    silla (la nmero 64) . Los matemticos del reino concluyeron que no haba arroz suficiente para

    pagar al inventor. Sabra decir cuntos granos de arroz se necesitaban?

    Solucin P5.-La cantidad pedida M es, en base 2, el nmero compuesto por 64 unos :

    M=1 1 . . .1 1 1 1 ya que en ese caso M=1 20 +1 2 1 +1 22 + . . .+12

    63

    Esta cantidad es una unidad menos que la representada por un 1 seguido de 64 ceros .

    Entonces :

    M = 264 - 1 = 1 .844674407 x 10

    19

    Problema 6.- Cuntos bits son necesarios como mnimo para representar cada uno de los

    siguientes nmeros decimales?

    50, 1000, 5000, 100000 y 1000000.

    Solucin P6 .- Para calcular el nmero mnimo n de bits que representa la magnitud M, tenga-

    mos en cuenta que n ha de cumplir la siguiente desigualdad :

    2n-1-1

  • 8

    PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    Para los nmeros decimales propuestos tendremos :

    Problema 7.-Convierta el nmero binario 10110110011 .10110 a las bases 4, 8 y 16; el

    nmero 372.105 en base 8 a base 2, 4 y 16 y el nmero FO .A en base 16 a base 2, 4 y 8.

    Solucin P7.- Para convertir un nmero de base 2 a base 4, basta agrupar a partir del punto

    fraccionario de 2 en 2 bits y convertir cada grupo a base 4 . De la misma forma, para convertir

    a base 8 16 se agrupan de tres en tres o de cuatro en cuatro bits respectivamente . Entonces :

    1 01 10 11 00 11 .10 11 0

    10 110 110 011 .101 10

    101 1011 0011 .1011 0

    1 1 2 3 0 3. 2 3 0

    (4

    2 6 6 3 .

    5 4

    (8

    5 B

    3.

    B 0

    (16

    Para pasar de bases 4, 8 16 a base 2, se hace la descomposicin inversa . Por otra parte,

    la conversin entre las bases 4 y 16 tambin se realiza de la misma forma. Sin embargo, para

    pasar de base 8 a base 4 16, o viceversa, conviene pasar antes a base 2.

    Por tanto :

    Problema 8.-En la colonia humana de Ganimedes la energa se obtiene con pilas atmicas

    de exactamente 1 Kg de peso. Las pilas son enviadas desde Tritn en 6 cajas de 50 pilas cada

    una .

    a) Tras un envo se avisa a Ganimedes que, por error, una de las cajas contiene pilas

    malas con 1 g de menos. Deben detectarla y reenviarla a Tritn. Los operadores de Ganime-

    des deciden detectarla mediante una sola pesada . Cmo?

    b) Tiempo despus y tras otro envo, el aviso es que una o ms cajas contienen pilas

    malas con 1 g de menos . Cmo podrn ahora detectar las cajas errneas con slo una

    pesada?

    Solucin P8.

    a) dentifiquemos cada una de las seis cajas con una letra : caja A, caja B, caja C, caja D,

    caja E y caja F. Si pesamos 1 pila de la caja A, 2 de B, 3 de C, 4 de D, 5 de E y 6 de F, la

    cantidad de gramos que falten para un nmero entero de Kg indica la caja errnea .

    b) En este caso ser necesario tomar 1 pila de A, 2 de B, 4 de C, 8 de D, 16 de E y

    32 de F. Con esto, el nmero de gramos que faltan para un nmero entero de Kg representados

    M n

    50 6

    1000 10

    5000 13

    100000 17

    1000000 20

    372 .105 (8 = 011 111010

    . 001 000 101(2 = 3322.020224 = FA.228(16

    F0.A(16 =

    11110000-

    1010(2 = 3300.22(4 = 360.50 (8

  • REPRESENTACN Y CODFCACN BNARA

    9

    en base 2 indica las cajas errneas. Por ejemplo, supongamos que las cajas errneas son A, B,

    D y F: entonces, faltarn 1 + 2 + 8 + 32 = 43 g. El nmero 43 expresado en binario es : 101011

    lo que sealara a las cajas F - D - B A .

    Problema 9 .- La figura representa 6 cartas con las que se pretende hacer un juego de magia.

    Alguien debe pensar un nmero y, sin decir cul es, debe indicar las cartas donde el numero

    est presente. Conociendo slo esto, se podr adivinar el nmero pensado. Por ejemplo, si

    est en las tarjetas A, D, F y G, se trata del nmero 75 . Sabiendo que el juego se basa en la

    representacin binaria de magnitudes:

    a) Explquelo .

    b) Cmo lo cambiara si quiere incluir hasta el nmero 123? Ysi incluye hasta el200?

    '

    64 65 66 67 68 69~"

    '

    32 33 34 35 36 37~

    70 71 72 73 74 75

    76 77 78 79 80 81

    82 83 84 85 86 87

    88 89 90 91 92 93

    94 95 96 97 98 99

    A

    ~45671213 "\~

    38 39 40 41 42 43

    44 45 46 47 48 49

    50 51 52 53 54 55

    565758596061

    62 63 96 97 98 99

    B

    %23671011

    6 17 18 19 20 21 1,11

    8 9 10 11 12 13

    22 23 24 25 26 27

    28 29 30 3148 49

    50 51 52 53 54 55

    565758596061

    62 63 80 81 82 83

    84 85 86 87 88 89

    90 91 92 93 94 95

    1357911

    15 17 19 21 23

    27 29 31 33 35

    39 41 43 45 47

    51 53 55 57 59

    63 65 67 69 71

    75 77 79 81 83

    87 89 91 93 95

    97 99

    14 15 24 25 26 27

    28 29 30 31 40 41

    42 43 44 45 46 47

    56 57 58 59 60 61

    62 63 72 73 74 75

    76 77 78 79 88 89

    90 91 92 93 94 95~

    Solucin P9.

    a) El mayor nmero, el 99, se representa en binario con 7 bits, concretamente como

    99(2 = 1100011 .

    De aqu que haya 7 tarjetas (A, B, C, . . ., G) cada una encabezada por una potencia de 2

    (26 = 64 para A, 25 = 32 para B, 2 4 = 16 para C, etc) . El resto de nmeros en cada tarjeta son

    aquellos cuya representacin en base 2 contiene un 1 en la posicin de la potencia correspon-

    diente a la tarjeta. As el 99 estar en las tarjetas A, B, F y G pero no en las otras. El nmero

    75 (= 64 + 8 + 2 + 1) estar slo en las tarjetas A, D, F y G ; etc .

    b) El 123 precisa tambin 7 bits por lo que no hay que aumentar el nmero de tarjetas .

    A cada una de stas habra que incorporar los nuevos nmeros (del 100 al 123) de la forma

    explicada antes ; por ejemplo : el 111 (10 = 1101111

    (2

    se incorporara a A, B, D, E, F y G .

    14 15 20 21 22 23

    14 15 18 19 22 23

    13

    28 29 30 31 36 37

    26 27 30 31 34 35

    25

    38 39 44 45 46 47

    38 39 42 43 46 47

    37

    52 53 54 55 60 61

    50 51 54 55 58 59

    49

    626368697071

    626366677071

    61

    76 77 78 79 84 85

    74 75 78 79 82 83

    73

    86 87 92 93 94 95

    86 87 90 91 94 95

    85

    98 99

  • 10 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    Para aadir hasta el 200 se necesitara una nueva tarjeta encabezada por 128 = 27 , ya que

    para representar nmeros mayores de 128 se precisan 8 bits .

    Problema 10.- Represente el 6 en los siguientes casos:

    Cdigo Gray asumiendo que se representan del 0 al 7.

    Cdigo Gray asumiendo que se representan del 0 al 9 .

    c) Cdigo Gray asumiendo que se representan del 0 al 15 .

    En cdigo ASC.

    En cdigo ASC con paridad par.

    f) En cdigo ASC con paridad impar.

    En cdigo "2-out-of-5" .

    Solucin P10 .- El cdigo Gray es un cdigo reflejado de distancia unidad que utiliza el

    mnimo nmero de bits necesarios . La distancia unidad implica que dos nmeros consecutivos

    tienen cdigos adyacentes (slo se diferencian en un bit) . Por otra parte, el ser un cdigo

    reflejado, implica simetra respecto a la mitad de los nmeros representados, con lo que, dos

    nmeros simtricos tienen cdigos adyacentes .

    a) Para representar los nmeros del 0 al 7 necesitaremos 3 bits. Por tanto, el cdigo Gray

    ser :

    000 001 011 010

    110 111

    0

    1

    2

    3

    4 5

    (eje de simetra)

    101

    6

    100

    7

    b) y c) Para representar tanto los diez nmeros del 0 al 9, como los 16 nmeros del 0 al

    15 se necesitan 4 bits, con lo que el cdigo Gray a utilizar es el de 4 bits. Al ser un cdigo re-

    flejado, para asignar valores del cdigo a los diez nmeros (0-9) lo haremos con los 10 cdigos

    centrales, tal como se muestra . En la codificacin de los 16 nmeros (0-15) ocupamos los 16

    cdigos existentes .

    0000 0001 0011 0010 0110 0111

    b) -

    0

    1

    2

    c) 0

    1

    2

    3

    4

    5

    10101

    3

    0100

    4

    7

    1100

    5

    8

    (eje de simetra)

    d) El cdigo ASC consta de 7 bits y representa 26 letras minsculas, 26 letras mays-

    culas, 10 dgitos decimales, 32 caracteres especiales y 34 comandos. La codificacin procede

    de un convenio y, en concreto, el cdigo del 6 es 0110110 que, expresado en cdigo hexade-

    cimal, es $36.

    e) Para un cdigo de n bits, incluir la paridad supone aadir 1 bit adicional a los n ante-

    riores que se llama bit de paridad. Su fin es hacer que el nmero total de unos en el cdigo

    1101

    6

    9

    1111 1110 1010 1011 1001 1000

    7

    8

    9

    -

    10

    11

    12

    13

    14

    15

  • REPRESENTACN Y CODFCACN BNARA 11

    (ahora de n + 1 bits) sea par en el caso de paridad par o impar en el caso de paridad impar .

    La posicin del bit de paridad es convenida previamente ; por ejemplo, ponemos el bit

    de paridad en primer lugar .

    El cdigo ASC de paridad par para el 6 ser 00110110 (aadimos un 0 para tener un

    total de cuatro unos) . En hexadecimal ser $36 .

    f) El cdigo ASC de paridad impar para el 6 ser 10110110 (aadimos un 1 para tener

    un total de cinco unos) . En hexadecimal, $B6 .

    g) El cdigo 2-out-of-5 representa los 10 dgitos decimales mediante 5 bits de los que

    tres son 0 y dos son 1 . La codificacin es la mostrada a continuacin :

    Problema 11.- Determine el bit de paridad impar para cada uno de los 10 dgitos decimales

    en el cdigo 8, 4, -2, -1 .

    Solucin P11.-En la siguiente tabla, se muestra la codificacin para cada dgito decimal en el

    cdigo pesado 8, 4, -2, -1, junto con el bit de paridad que hay que generar para que en cada

    dgito haya un nmero impar de 1.

    nmero cdigo

    0 00011

    1 00101

    2 00110

    3

    01001

    4 01010

    5

    01100

    6

    10001

    7

    10010

    8 10100

    9 11000

    dgito 84-2-1 P

    0 0000 1

    1 0111 0

    2 0110 1

    3 0101 1

    4 0100 0

    5 1011 0

    6 1010

    1

    7 1001 1

    8 1000 0

    9 1111 1

  • 12 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    Problema 12.- Obtenga el complemento a 1 y a 2 de los siguientes nmeros binarios :

    1010101, 0111000, 0000001, 10000, 00000 .

    Solucin P12 .- Dado B = b n- 1 b n _2 . . .b 1b0 se obtienen su complementos a 1 y a 2 .

    El complemento a 1 se obtiene como Cal(B) =

    bn-1bn-2 . . . blbo

    El complemento a 2 puede obtenerse de dos formas : sumando 1 al complemento a 1 (ya

    que Ca2(B) = Cal (B) + 1) dejando iguales todos los bits menos significativos hasta llegar al

    primer bit igual a 1 (que tambin se deja igual) y complementando los bits restantes .

    Para las palabras propuestas:

    Problema 13 .- Obtenga el complemento a 9 y a 10 de los siguientes nmeros decimales :

    13579, 09900, 90090, 10000, 00000.

    Solucin P13.- Se define Ca9(N) =

    (on

    - 1) - N. De esta definicin podemos inferir que si N

    Problema 14.- Represente con el mnimo nmero de bits posibles los siguientes nmeros de-

    cimales en notacin binaria, signo-magnitud, complemento a 1 y complemento a 2 :

    a) 122, b) 64 ; c) 15; d) 37

    Solucin P14.- La representacin binaria con n bits permite representar los nmeros compren-

    didos entre 0 y 2 n-1 , siendo una representacin sin signo . Esto es, no podemos representar +N

    ni -N sino slo N . En particular, operando como en el problema 2 :

    a) 122 = 1111010 (2

    b) 64 = 1000000(2

    c) 15 = 1111(2

    d) 37 = 100101(2

    = Nn_1Nn_2 . .

    .N1N0, entonces Ca9(N) =

    Por otra parte CalO(N) = 10 n -

    Para las cantidades propuestas en

    nmero

    (9 - Nn_ 1 )(9 -

    1 = Ca9(N) + 1

    el enunciado:

    compl . a 9

    Nn_2) . . .(9 - N 1 )(9 - N0) .

    compl. a 10

    13579

    86420

    86421

    09900 90099

    90100

    90090 09909 09910

    10000 89999 90000

    00000 99999 00000

    palabra compl . a 1 compl. a 2

    1010101 0101010 0101011

    0111000 1000111 1001000

    0000001 1111110 1111111

    10000 01111 10000

    00000 11111 00000

  • REPRESENTACN Y CODFCACN BNARA 13

    La representacin signo-magnitud aade un bit de signo (0 para + y 1 para -) a la repre-

    sentacin binaria de la magnitud, situando ese bit de signo en la posicin ms significativa.

    Entonces, con n bits pueden representarse todos los nmeros enteros comprendidos entre

    - (2

    n-1

    - 1) y + (2n-1 -1) . En particular,

    La representacin complemento a 1 sigue el siguiente convenio :

    - Un nmero positivo se representa igual que en signo-magnitud .

    - Un nmero negativo se representa complementando a 1 el correspondiente nmero

    positivo. Con n bits pueden representarse todos los nmeros enteros comprendidos entre

    - (2n-1 - 1) y + (2n-1 - 1) . En particular,

    La representacin en complemento a 2 sigue el siguiente convenio :

    - Un nmero positivo se representa como en los casos anteriores .

    - Un nmero negativo se representa mediante el complemento a 2 del correspondiente

    nmero positivo . Con n bits pueden representarse los 2 n nmeros comprendidos entre -2

    n-1

    Problema 15.- Se dispone de palabras de 10 bits. Sobre ellas se escriben nmeros fraccio-

    narios en punto fijo dedicando 3 bits a la parte fraccionaria . Represente los siguientes nme-

    ros en las notaciones signo-magnitud, complemento a 1 y complemento a 2, en los dos casos

    siguientes: a) Redondeando el valor; b) Truncando el valor .

    Nota: Para los nmeros negativos, obtenga primero el valor de la magnitud y, despus, apli-

    que la notacin .

    1) + 27 .625 = 0011011 . 101(2, en este primer caso, no es necesario redondear ni truncar

    la parte fraccionaria pues slo hay tres dgitos en la parte fraccionaria del nmero exacto . Por

    tanto, la representacin con 10 bits (7 para la parte entera y 3 para la fraccionaria) sera :

    010111110 1

    a)+122=01111010 -122=11111010

    b) + 64 = 01000000 - 64 = 11000000

    c)+15=01111 -15=11111

    d)+37=0100101 -37=1100101

    y + (2n- -1) . En nuestro caso,

    a) + 122 = 01111010 - 122 = 10000110

    b) + 64 = 01000000 - 64 = 1000000

    c)+15=01111 -15=10001

    d)+37=0100101 -37=1011011

    a) + 122 = 01111010 - 122 = 10000101

    b) + 64 = 01000000 - 64 = 10111111

    c)+15=01111 -15=10000

    d)+37=0100101 -37=1011010

    1)+27.625 3)+33.3 5)+45.67 7)+45.7

    2)-27.625

    Solucin P15.

    4)-33.3 6)-45.67 8)-45.7

  • 14

    PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    2) - 27 .625 = 1011011 .101

    S-m= 1100100.010c.,

    1 = 1100100 -011,., 2-

    3) + 33

    .3 = 0100001 .0100 . . . truncando en 3 bits para la parte fraccionaria : 0100001 .010,

    redondeando se obtiene el mismo valor ya que el valor exacto en el bit b-4 es 0 .

    4) - 33.3 = 1100001 .01

    Os-n]

    = 1011110

    .101 101,. a 1 = 1011110: 110, . a 2-

    5) + 45.67 = 0101101 .10101 . . .

    truncando en 3 bits para la parte fraccionaria :

    0101101 .101, redondeando : 0101101 .110 .

    6) - 45 .67 = 1101101 .101 S _m = 1010010.010c

    . a1 =

    1010010.011

    c . a 2

    (truncando) .

    -45

    .67 = 1101101 .110 s _m = 1010010.001,

    . a 1 = 1010010-010, .a2

    (redondeando) .

    7) + 45

    .7 = 0101101 .1011 truncando en 3 bits para la parte fraccionaria : 0101101 .101

    y redondeando: 0101101 .110 .

    8) - 45

    .7 = 1101101 .1 l

    OS-n1

    = 1010010.001,

    . a 1 =

    1010010.010,

    . a 2

    (truncando) .

    -

    45

    .7 = 1101101 .1 l

    OS-n1

    = 1010010.001c

    . a 1 =

    1010010.01

    Oc. a 2

    (redondeando) .

    Problema 16.- Se dispone de 30 bits para escribir nmeros en notacin exponencial . De ellos

    se destinan 21 a la mantisa y 9 al exponente . Mantisa y exponente se escriben en notacin

    signo-magnitud.

    a) Determine los rangos de valores decimales que se pueden escribir .

    b) Represente en BCD los siguientes nmeros :

    1. Velocidad de la luz en mis (3x10 8).

    2. Carga del electrn en culombios (- 1,602x10 -19) .

    3

    . Masa del electrn en kilogramos (9,109x10

    -31) .

    4

    . Aceleracin de la gravedad en mis 2 (9,807) .

    5. Cero.

    6. nfinito .

    Solucin P16 .- En notacin exponencial los nmeros se expresan en la forma: M = m x be (m

    mantisa, b base, e exponente) . En nuestro caso, hay que representar las cantidades pedidas en

    BCD . Por tanto la base es decimal . Cada dgito BCD es codificado por 4 bits . Disponemos de

    21 bits para la mantisa de los cuales uno es para el signo, los otros 20 bits nos permiten alma-

    cenar 5 dgitos BCD . En cuanto a la parte fraccionaria, tenemos 9 bits, uno para el signo y 8

    para dos dgitos BCD. Por tanto, el espacio disponible se distribuye de la siguiente forma :

    mantisa

    exponente

    Sm

    Se

    Utilizaremos normalizacin fraccionaria, es decir, el punto decimal se encuentra a la iz-

    quierda del primer dgito representado y ese primer dgito ha de ser no nulo .

    a) El rango de valores positivos que se puede representar viene dado por el menor n-

    mero representable : mantisa + 10000 y exponente - 99 que corresponde al 0.1 x 10-99 ,y el

    mayor representable : mantisa + 99999 y exponente + 99 que corresponde al 0 .99999 x 10

    99

    Por tanto el rango cubierto es [0 .1 x 10-99 , 0.99999 x 1099] .

    En cuanto al rango de valores negativos, ser [- 0.99999 x 1099, - 0.1 X 10

    -99 ]

  • 0011100001000010000 0000

    mantisa

    2) - 1 .602 x 10-19 , normalizado - - 0.1602 x 10

    -18

    , los 30 bits sern :

    REPRESENTACN Y CODFCACN BNARA15

    b) Las cantidades propuestas quedan :

    1) 3 x 108 , normalizado -* 0 .3 x 109 , los 30 bits sern :

    1

    0001101101000010010_ 0000

    3) 9 .109 x 10-31 , normalizado -4 0.9109 x 10-30, los 30 bits sern :

    01100110001100001100110000

    0 1001 1000 000110111 0000

    5) Por convenio, cero, es el nico nmero con el primer dgito de la mantisa a 0 . (Nor-

    malmente se ponen todos los dgitos de la mantisa y el exponente a 0, pero bastara slo con

    fijar a cero el primer dgito de la mantisa).

    xl00001xxxxlxxxxlxxxxlxxxx

    6) nfinito. Con signo positivo, por convenio viene dado por el mayor nmero represen-

    table. Con signo negativo, ser el menor representable :

    + infinito

    - infinito

    10011100111001 1001 10011

    1001110011100111001110011

    mantisa

    010000 1001

    exponente

    1

    1100011 1000

    0011

    4) 9.807, normalizado -* 0.9807 x 10 1, los 30 bits sern :

    0000

    000010001

    xxxx1xlxxxx

    011001 1001

    101100111001

    exponente

    Problema 17.- Represente el nmero (+ 31.5) 10 con un coeficiente entero normalizado de 13

    bits y un exponente de 7 bits como :

    a) Un nmero binario (asuma base 2) .

    b) Un nmero octal binario codificado (asuma base 8).

    c) Un nmero hexadecimal binario codificado (asuma base 16).

    Solucin P17 .

    a) 31 .5 ( 10 = 11111 .1(2 pero hemos de escribirlo en forma exponencial de manera que la

    mantisa tenga 13 bits (incluido el bit de signo) y el exponente 7 bits (incluido bit de signo):

    31 .5(10 = 0111111000000 x 2

    _7(2

    Entonces la mantisa, de 13 bits, es : 0 1111110000000 y el exponente, de 7 bits, es:

    1000111 .

  • 16

    PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    b) 31 .5(10 = 37.4 (8 , tambin hemos de escribirlo en forma exponencial de manera que la

    mantisa tenga 13 bits (incluido el bit de signo) y el exponente 7 bits (incluido bit de signo) . Sin

    embargo, en este caso se trata de dgitos octales, y cada dgito octal se codifica mediante tres

    bits. Por tanto, hemos de escribirlo en forma exponencial de modo que la mantisa tenga 4 dgi-

    tos octales (+ el bit de signo son un total de 13 bits) y el exponente 2 dgitos octales (+ el bit

    de signo hacen un total de 7 bits) . Entonces :

    31 .5(10 = 3740 x

    8-2(8,

    con lo que la mantisa quedara : 0 011 111 100 000 y el exponen-

    te, de 7 bits, es 1 000 010 .

    c) 31 .5(10 = 1F.8(16 , en este caso la normalizacin ha de realizarse teniendo en cuenta

    que un dgito hexadecimal se codifica con 4 bits. La mantisa, por tanto, ha de tener 4 dgitos

    hexadecimales (12 bits) .

    31 .5 (10 = 1F8 x 16 -1 , por tanto, la mantisa ser: 0 0001 1111 1000, y el exponente

    quedar: 1 00 0001 .

    PROBLEMAS CON SOLUCN RESUMDA

    Problema 18.-Represente los siguientes nmeros decimales en base 2 y compruebe el re-

    sultado: a) 17,, b) 94 .

    Solucin P18 .

    a) 17(10 = 10001(2-

    b) 94(10 = 1011110(2 .

    Problema 19.- Pase los siguientes cdigos hexadecimales a cdigo binario, octal y BCD: a)

    $F2.85; b) $B02.A; c) $25.FA; d) $71.02.

    Solucin P19 .- El cdigo BCD corresponde a la representacin binaria de un nmero decimal.

    Esta se obtiene asociando a cada dgito decimal su representacin binaria de 4 bits . Para pasar

    un nmero desde una determinada base a BCD, deber obtenerse en primer lugar el nmero en

    base 10, y despus hacer la conversin antes indicada .

    a) $F2.B5 = 1111 0010.1011 0101(2 = 011 110 010.101 101 010(2 = 362.552

    ( 8 . Para

    representarlo en BCD pasamos a base 10 :

    $F2

    .B5 = F x 16 + 2 x 160 + 11 x 16 -1 + 5 x 16 -2 = 242.70(10 _3 0010 0100 0010.0111 (BCD)

    Procedemos de igual forma con el resto de los casos :

    b) $B02.A = 1011 0000 0010.1010(2 = 5402.5 (8 = 2818 .625

    (

    10

    d) $71 .02 = 0111000 1 .0000 0010(2 = 161 .004(8 = 113 .007(10 =

    = 000 1000 100 11 .0000 0000 0111 (BCD)

    = 0010 1000 0001 1000.0110 0010 0101 (BCD)

    .

    c) $25 .FA = 0010 0101 .1111 1010(2 = 45 .764 (8 = 37 .977(10

    = 0011 0111

    .1001 0111 0111 (BCD)

  • REPRESENTACN Y CODFCACN BNARA 17

    Problema 20.- Represente el nmero decimal 8620 (a) en BCD, (b) en cdigo exceso 3,

    (c) en cdigo 2, 4, 2, 1 y (d) como nmero binario .

    Solucin P20 .

    a) 8620(10 3 1000 0110 0010 0000(BCp) .

    b) 8620 (10 -3 1011 1001 0101 001 1

    (exceso-3)

    c) El cdigo 2,4,2,1 es un cdigo pesado de 4 bits cuyos pesos son precisamente 2,4,2,1.

    Entonces, 8620(10 -3 1110 1100 0010 0000

    d) Lo ms fcil es pasar primero a base 16 por el mtodo de las divisiones sucesivas y

    despus pasar a base 2, desde base 16 .

    8620(10

    -3 21AC(16 -* 0010 0001 1010 1100 (2 -*

    10000 110 10 1100(2

    .

    Problema 21 .- Un cdigo binario usa 10 bits para representar cada uno de los diez dgitos

    decimales. A cada dgito le asigna un cdigo de nueve ceros y un uno . El cdigo binario para

    el nmero 6, por ejemplo, es 0001000000. Determine el cdigo binario para los nmeros de-

    cimales restantes .

    Solucin P21.- Se trata del cdigo "1-hot", tambin llamado "1-out-of-n" . En este caso n = 10 .

    dgito

    decimal

    Pesos :

    2421

    0 0000

    1 0001

    2 0010

    3 0011

    4 0100

    5 1011

    6 1100

    7 1101

    8 1110

    9 1111

    dgito bgb8b

    7

    b6b5b4b3b2b lbo

    0 0000000001

    1 0000000010

    2 0000000100

    3 0000001000

    4

    0000010000

    5 0000100000

    6 0001000000

    7 0010000000

    8 0100000000

    9 1000000000

  • 18

    PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    Problema 22.- Obtenga un cdigo binario pesado para los dgitos de la base 12 usando los

    pesos 5421 .

    Solucin P22.

    Problema 23.- Determine el rango de valores numricos que pueden escribirse en palabras

    de 8, 16 y 32 bits, en las diferentes notaciones de nmeros enteros con signo .

    Solucin P23.- Con n bits se representan los siguientes rangos :

    - Signo-magnitud : [- (2n-1 - 1), + (2

    n-1

    - 1)]

    - Complemento a 1 : [- (2n-1 - 1), + (2 n-1 - 1)]

    - Complemento a 2 : [- 2 n-1 , + (2n-1 - 1)]

    Entonces para los valores de n propuestos :

    Problema 24.- Un registro de 30 bits almacena un nmero decimal en punto flotante repre-

    sentado en BCD. Los coeficientes ocupan 21 bits del registro y se asume como un entero nor-

    malizado. Los nmeros en el coeficiente y el exponente se asumen representados en forma

    de signo-magnitud. Cules son las cantidades mayores y menores que pueden ser acomo-

    dadas excluyendo el cero?. Repita para representacin binaria, con base 2, si se representa

    con fraccin normalizada .

    Solucin P24 .

    BCD normalizado entero,

    - Cantidad mayor positiva : 99999 x 10

    99

    -Cantidad menor positiva : 10000 x 10-99 =

    10-95

    Base 2 fraccin normalizada,

    11111111 =

    255.

    - Cantidad mayor positiva : 0.111 . ..111 x 2

    (1 -2

    -21)

    x 2

    - Cantidad menor positiva : 0.100 . ..000x2-11111111 =

    2-1

    x2

    -255

    =2

    -256

    n2 de bitssigno-magnitud y

    complemento a 1

    complemento a 2

    8 [- 127,+ 127] [- 128,+ 127]

    16 [- 32767, + 32767] [- 32768, + 32767]

    32

    [- (231- 1) + (2

    31- 1 )] 1-

    231,+

    (231- 1)]

    dgito 5421

    dgito 5421

    0 0000

    6 1001

    1 0001

    7 1010

    2 0010

    8 1011

    3 0011

    9 1100

    4 0100

    A 1101

    5 1000

    B 1110

  • Captulo 2

    LGEBRA Y FUNCONES DE CONMUTACN

    El modo ms riguroso e inequvoco de describir la funcionalidad de los circuitos digitales es

    de forma matemtica, mediante expresiones y funciones de conmutacin . Con ello, adems, se

    facilita el desarrollo de mtodos ms o menos sistemticos a la hora de abordar las tareas de

    anlisis o diseo de circuitos. Es objetivo de este Captulo familiarizar al lector con los con-

    ceptos relacionados con el lgebra de conmutacin, el manejo de expresiones lgicas y las for-

    mas de representacin de funciones que se utilizarn en este y otros Captulos .

    LGEBRA DE CONMUTACN

    El lgebra de conmutacin es un sistema matemtico compuesto por un conjunto de dos ele-

    mentos: B = {0, 11, y dos operaciones OR (+) y AND ( ) definidas en B de la siguiente forma :

    ORAND

    El lgebra de conmutacin cumple los postulados del lgebra de Boole . De ah que po-

    damos decir que la primera es un caso particular de la segunda. Los postulados del lgebra de

    Boole son los siguientes :

    P1 . Ley de identidad: Existen elementos identidad (0 para la operacin "+" y 1 para la

    operacin " ") de forma que para cualquier elemento x, se cumple:

    x+0=x

    x 1=*

    P2. Ley conmutativa: Para cualesquiera dos elementos x e y, se cumple :

    x+y=y+x

    x .y=y .x

    P3 . Ley distributiva : Dados tres elementos x, y, z se cumple:

    x+(y .z)=(x+y) .(x+z)

    x . (y+z)=x .y+x .z

    19

    0 1 0 1

    0 0 1 0

    0 0

    1 1 1

    1 0 1

  • 20 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    P4. Ley del complemento: Para todo elemento x existe un elemento x tal que:

    x+x= 1

    x x=0

    A partir de estos postulados es posible probar una serie de propiedades de inters . Estas

    propiedades, que aqu simplemente se enumeran, son demostradas en el problema 1 para el

    caso general del lgebra de Boole y probadas en el problema 2 para el lgebra de conmutacin .

    T . Ley de idempotencia :

    x + x = x

    x x = x

    T2. Ley de unicidad del complemento : el elemento x del postulado cuarto es nico .

    T3. Ley de los elementos dominantes :

    x + 1 = 1

    x 0 = 0

    T4. Ley involutiva :

    (x) = x

    T5 . Ley de absorcin : x + x y = x

    x (x + y) = x

    T6 . Ley del consenso : x + x y = x + y x (x + y) = x y

    T7. Ley asociativa :

    x (y z) _ (x y) z

    x + (y + z) = (x + y) + z

    T8. Ley de DeMorgan :

    xy=x+y

    x +y=x y

    T9. Ley de De Morgan generalizada :

    x y z . .. = x + y + z + . . .

    x + y + z . ..= x y z . . .

    T10. Ley del consenso generalizado :

    x y + x z + y z = x y + x z

    (x+y) (x+z) (y+z)=(x+ y) (x+z)

    FUNCONES DE CONMUTACN

    Son funciones que se definen sobre el conjunto B = (0, 1 } del lgebra de conmutacin . Estric-

    tamente se definen como :

    f: Bx . .. xBxB = Bn -4 B .

    As una funcin de n variables asigna un valor o imagen de B (0 1) a cada punto del

    espacio B

    ' :

    (x 1 ,x2 ,. . .,x,). Por ejemplo, una funcin de tres variables : f(x, y, z) se puede definir

    de la siguiente forma: f(0,0,0) = 0, f(0,0,1) = 1, f(0,1,0) = 0, f(0,1,1) = 1, f(1,0,0) = 0,

    f(1,0,1) = 0, f(1,1,0) = 1, f (1,1,1) = 1 . A veces no todas las combinaciones de las variables tie-

    nen imagen, decimos entonces que la funcin es incompleta o que est incompletamente espe-

    cificada. Cuando esto sucede, por ejemplo, en la combinacin (x 0,Y0,z0) lo simbolizamos de

    la siguiente forma : f(x0,yo,z0) = d f(x 0,Y0,z0) = -, donde los smbolos "-" y "d" (don't care)

    son llamadas inespecificaciones o indeterminaciones .

    REPRESENTACN DE FUNCONES

    Existen diversos modos de representar las funciones de conmutacin . Algunas formas utilizan

    tablas o mapas (modos grficos) . Otras, consisten en expresiones algebraicas . A continuacin

    daremos algunos detalles sobre las formas de representacin utilizadas en este texto .

    - Tablas de verdad.

    En una tabla se representan dos columnas. En la primera de ellas se escriben todas las

    combinaciones de las variables de entrada en orden binario . En la otra columna se anota el va-

    lor que toma la funcin para cada combinacin de las variables de entrada. A continuacin se

    muestra un ejemplo para una funcin de tres variables . Ntese que para n variables se necesi-

    tara una tabla de 2n filas. As, este tipo de representacin es ms interesante para funciones de

    un nmero reducido de variables .

  • 01

    11

    10

    LGEBRA Y FUNCONES DE CONMUTACN 21

    xyz

    000

    001

    010

    011

    100

    101

    110

    111

    - Mapa de Karnaugh .

    Es tambin una forma grfica. Las variables de la funcin se dividen en dos grupos . Uno

    de ellos se sita en el eje horizontal de una tabla y el otro en el eje vertical . Las combinaciones

    de cada grupo de variables se escriben en el orden del cdigo Gray . As, disponemos de una

    cuadrcula en cuyas celdas se anota el valor de la funcin para la combinacin de las variables

    asignada. La propiedad principal es que dos celdas geomtricamente adyacentes tambin co-

    rresponden a cdigos lgicos adyacentes . En el ejemplo se muestra un mapa para una funcin

    de 4 variables. En los problemas aparecen ejemplos para 5 variables . Al igual que en el caso

    de las tablas de verdad, este tipo de representacin aumenta su tamao de forma potencial con

    el nmero de variables . Si el orden en que se escriben los valores de las variables es el binario

    natural, el mapa es denominado binario .

    ab

    c

    00

    f

    - Expresiones o frmulas .

    En este caso se utiliza una expresin algebraica para representar las funciones . Se

    combinan las variables con los operadores NOT , AND2 y OR. Aquellas combinaciones de las

    variables que hagan 1 ( 0) la expresin sern las combinaciones en que la funcin es 1 ( 0) .

    Algunos tipos de frmulas son de un inters particular. Entre las ms destacables estn

    las formas cannicas y estndares . Tanto unas como otras tienen en comn que son frmulas

    compuestas nicamente por suma de productos, o bien, nicamente por producto de sumas . En

    las formas cannicas, adems, se cumple que los productos son siempre mintrminos y las su-

    1

    NOT(x) = x.

    2 El smbolo del operador AND ( ) puede omitirse: a b = a b .

    f

    11 10

    0 0 0

    0

    1 1 0 0

    0 0 1 1

    0 1

    1 1

  • 22

    PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    mas son maxtrminos . Tenemos as que las formas cannicas son sumas de mintrminos o pro-

    ducto de maxtrminos . A continuacin se muestra para la funcin de cuatro variables del ejem-

    plo anterior expresiones en forma cannica y estndar tanto de sumas como de productos .

    -

    Suma de mintrminos :

    f(a,b,c,d)=abcd+abcd+abcd+abcd+abcd+abcd+abcd=

    =m1+m5+m6+m10+m11+m14+m15=E(1,5,6, 10, 11, 14, 15) .

    -

    Producto de maxtrminos :

    f(a,b,c,d)=(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)

    (a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)=

    = M0 M2 M3 M4 M7 M8 M9 M12 M13 = T (0, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 12, 13) .

    - Suma de productos :

    f(a,b,c,d)=acd+ac+bcd.

    - Producto de sumas :

    f(a, b, c, d) = (c + d) ( + c) (a + c + d) (a + b + c) .

    Mientras que las dos primeras formas son nicas para cada funcin (cannicas), las dos

    siguientes (es- tndares) no lo son, pero presentan una mayor simplicidad .

    ndice del Captulo

    Este Captulo desarrolla problemas de las siguientes materias :

    - Demostracin de teoremas e identidades .

    - Manejo de expresiones lgicas .

    -

    Representacin mediante tablas, mapas y formas cannicas y estndares .

    PROBLEMAS RESUELTOS

    Problema 1 .- Demuestre los teoremas booleanos en base a la definicin del lgebra.

    Solucin P1 .-Nos basaremos en los postulados del lgebra de Boole :

    Los teoremas y sus demostraciones se relacionan a continuacin .

    T1 . dempotencia :

    x+ x= x

    x x= x

    x+x=(x+x) 1 =(x+x)(x+x)=x+xx=x+0=x

    x-x=x-x+0=x-x+x-x=x-(x+x)=x- 1 =x

    Hemos aplicado los postulados P, P4, P3, P4 y P1, en ese orden .

    T2. Unicidad del complemento :

    da e B, 3' a' EB 1 a'=

    Si existieran dos complementos, al y a2 se cumpliran las siguientes igualdades (por P4):

    a+a 1 =1 a+a 2 =1 a .a1=0

    a .a2 =0

    Entonces :

    al =al 1=a1 (a+a2),=a1 -a+ al a2=0+a1 a2=a a2+a1 a2=

    =(a+al)-a2=1 a2=a2

    P1 . dentidad : x+ 0= x

    x- 1= 1

    P2. Conmutativa :

    P3 . Distributiva :

    x+ y= y+ x

    x y= y .X

    x (y + z) = x y + x zx + (y - z) = (x + y) - (x + z)

    P4. Complemento : x+ x= 1

    x x= 0

  • LGEBRA Y FUNCONES DE CONMUTACN 23

    Se han aplicado los postulados P1, P4, P3, P2, P4, P3 y P1, en ese orden.

    T3. Elementos dominantes: x + 1= 1

    x 0= 0

    x+1=(x+1) 1 =(x +1) (x+x)= x +1 x_= x+x=1

    x 0 =x 0 +0=x 0 +x x =x(O+x)=x x =0

    Los postulados utilizados son P1, P4, P3, P2, Pl y P4 .

    T4. Lev involutiva: (x) = x

    (x)=(x)+0=(x)+x x=[(X)+x] [(X)+x]=[(X)+x] 1 =

    =[(x)+x](x+x)=x+ [x (x)]=x+0=x

    donde se han aplicado P, P4, P3, P4, P2, P4, P2, P3, P4 y P1.

    T5 . Ley de absorcin : x + x y = x

    x (x + y) = x

    x+x y =x 1 +x y =x ( 1+y)=x 1 =x

    x (x+y)=(x +0) (x+y)=x +0 y =x+0=x

    En esta demostracin hemos usado P, P3, T3 y Pl en ese orden .

    T6. Ley del consenso : x + x y = x + y

    x (x + y) = x y

    x+ x y =(x+x) ( x+y)=1 (x+y)=x+y

    x (x+y)=x x +x y =0+x y =x y

    Los postulados en que nos hemos apoyado son P3, P4, P2 y P1 .

    a+b (a c)=(a+b) (a+ a c)=(a+b) a = a

    a [b+(a+c)]=a b +a (a+c)=a.b+a=a

    donde hemos utilizado P3 y T5 .

    L3. a=a+b (c a )

    a=a [b+(c+a)]

    por P2 y L2 .

    Ahora demostremos la ley asociativa :

    = z (x y) = (x y) z

    (por L, L2 y finalmente P2) .

    Luego, hemos probado x (y z) = (x y) z

    Por otra parte,

    x+(y+z)=x [z+(x+y)]+(y [z+(x+y)]+z [z + (x + y)]) = (porL2, L3 y L)

    = x [z + (x + y)] + (y + z) [z + (x + y)] = (por P3)

    _ [x + (y + z)] [z + (x + y)] = (aqu tambin hemos aplicado P3)

    = [z + (x + y)] [x + (y + z)] = (esto, por P2)

    x (y z) = [x + z (x y)] ([y + z (x y)] [z + z (x y)]) _

    =[x+z .(x .y)] .(y z +z .(x y))=

    (porP3)

    (por L2, L3 y L1)

    = x

    = z

    = [z

    = z

    (y z) + z

    (x y) + x

    (x y) =

    (y z) =

    (aqu tambin hemos aplicado P3)

    (esto, por P2)

    + x (y z)] [x y + x (y z)] =

    (donde hemos aplicado P3)

    . [x y + x (y z)] =

    (por L3)

    = z [x + x (y z)] [y + x (y z)] =

    (porP3)

    T7. Lev asociativa :

    x (y z) = (x

    y) z x + (y + z) =

    previamente tres lemas :

    (x + y) + z

    Para demostrarla es necesario demostrar

    L1 . a = a + a (b c) a = a [a + (b + c)](ambos por T5)

    L2. a = a + b (a c) a = a [b + (a + c)]cuya demostracin es :

  • 24 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    = z [x + (y + z)] + (x + y)

    [x + (y + z)] = (donde hemos aplicado P3)

    =z+(x+y) [x+(y+z)]= (porL3)

    = z + x [x + (y + z)] + y

    [x + (y + z)] =

    (por P3)

    = z + (x + y) = (x + y) + z

    (por L, L2 y finalmente P2).

    Con lo que queda probado que x + (y + z) _ (x + y) + z .

    T8. Ley de DeMorgan :

    x y = x + y

    x+y=x.y

    La base de la demostracin es que como el complemento es nico y cumple el postulado

    P4, entonces, si A + B = 1 y A B = 0 es porque A = B, esto es :

    A=BOA+B=1 y A B=0.

    Sean A = x + y, B = x y; demostremos que A = B

    .

    A

    +B=x+y+x y=x+y+x=x+x+y=1+y=1 (T6, P2, P4 y T)

    .

    AB =(x+y) xy =x xy +y xy =0 y +0 x =0+0=0(P3,P2,P4,T3,T1).

    Sean A = x y, B = x + y ; demostremos que A = B

    .

    A +B= x y +x+y=y+x+y=x+y+y=x+1=1 (T5, P2, P4 y T3) .

    AB=x y(x+y)=x yx +x yy

    =0 y+x 0 =0+0=0(P3, P2, P4, T3, T) .

    T9. Ley de De Morgan generalizada :

    xyz . . .=x+y+z+ . .x

    x + y + z . . .=x yz . . .

    xyz . . .

    =x(yz. ..)=x+yz . . .=x+y(z . . .)=x+y+z . ..=

    =x+y+z(. . .)= . . .=x+y+z+ . . .

    x+y+z . . .=x+(y+z+ . . .)=x y + z. ..=x

    y+(z. ..)=x

    y z+ . ..=

    =x yz +( . ..)= . ..=x yz . . .

    En las dos demostraciones se utilizan los teoremas T7 y T8 alternativamente .

    T10. Lev del consenso generalizado :

    x y +x z +y z =x.y+x

    z

    (x+y)(x+z) (

    y+z)=(x+y)(x+z)

    Problema 2.- Demuestre los teoremas booleanos en el lgebra de conmutacin comproban-

    do su validez mediante tablas de verdad .

    Solucin P2 .- A partir de la definicin de las operaciones AND ( )

    y OR (+) en el lgebra de

    conmutacin, comprobaremos :

    - dempotencia:

    x = x + x,

    x = x x;

    - Elementos dominantes:

    x + 1 = 1, x 0 = 0;

    x y +x z +y z =x y +x z +y z1=

    (P1)

    =x y +x z +y z(x+x)=(P4)

    =x .y+x z +y zx +y zx=

    (P3)

    =x .y+x yz +x z +x.z y =

    (P2)

    =x .y+x z(T5)

    (x+y)(x+z)

    (y+z)=(x+y)(x+z) (

    y+z+0)= (P1)

    =(x+y) (x+z) (y+z+x

    x) =(P4)

    =(x+y) (x+z) (y+z+x)

    (y+z+ x)= (P3)

    =(x+y) (x+y+z) (x+z) (x+z+y)=(P2)

    = (x + y) (x + z)

    (T5)

  • LGEBRA Y FUNCONES DE CONMUTACN25

    - nvolutiva:

    x = x;

    - Absorcin:

    x + x y = x,

    x (x + y) = x;

    - Consenso:

    x + x y = x + y,

    x (x + y) = x y;

    - Asociativa:

    (x + y) + z = x + (y + z),

    (x y) z = x (y z) ;

    -LeyDeDeMorgan: xy=x+y,

    x+y=xy .

    En las dos tablas siguientes podemos ver la comprobacin de todos los teoremas excepto

    el de la ley asociativa que se prueba a continuacin .

    La comprobacin de la ley asociativa :

    Problema 3.-Para elementos del lgebra de conmutacin, pruebe la validez de :

    a) a b=a c- b=c;

    b)a+b=a+c-+b=c;

    c) a b =a cya+b=a+c->b=c.

    Solucin P3 .

    a) No se cumple, por ejemplo, para a = 0, b = 1, c = 0 .

    b) No se cumple, por ejemplo, para a = 1, b = 1, c = 0 .

    c) S se cumple . Se puede comprobar que para cualquier combinacin de valores se

    cumple. Tambin se puede demostrar algebraicamente :

    x y x x+x xx x+1 x0 x p(donde p=x)x + x y x(x+y)

    0 0 0 0 0 1 0

    1 0 0 0

    0

    1 0 0 0 1 0

    1 0 0 0

    1

    0 1 1 1 1 0

    0 1 1 1

    1

    1 1 1 1 1 0 0

    1 1 1

    x y x + x y x+y x(x+y) xy xy x + y x+y xy

    0 0 0 0 0

    0 1 1 1 1

    0

    1 1 1 0

    0 1 1 0 0

    1

    0 1 1 0

    0 1 1 0 0

    1

    1 1 1

    1 1 0 0 0 0

    x y z x+y(x+y)+z y+z

    x+(y+z) xy(xy)z yz

    x(yz)

    000 0 0 0 0 0

    0 0 0

    001 0 1 1 1

    0 0 0 0

    010 1 1 1

    1 0 0 0 0

    011 1 1 1

    1 0 0 1 0

    100 1 1 0

    1 0 0 0 0

    101 1 1 1

    1 0 0 0 0

    110 1 1

    1 1 1 0 0 0

    111 1 1

    1 1 1 1 1 1

  • 26 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    b=b+a b =b+a c =(b+a) (b+c)=(a+b) (b+c)=(a+c) (b+c)=

    =a b +c=a c +c=c .

    Se han aplicado la ley del consenso, las propiedades distributiva y conmutativa, y las

    igualdades a b= a c y a+ b= a+ c .

    Problema 4 .- Compruebe las siguientes igualdades:

    a) x y+ x z + y z = x y+ x z (ley del consenso generalizado)

    b)x(x+y)+z+zy=y+z

    c)xy+xyz=xy+z

    d)w+wx+yz=w(y+z)

    e)w[x+y(z+w)]=w+xy+xz

    f) (w+x+ y) (w+x+y) (y+z) (w+z)= (w+ y) (y+z)

    Solucin P4 .

    a)xy+xz+yz=xy+xz+(x+x)yz=xy+xz+xyz+xyz=

    =xy+xyz+xz+xzy=xy(1+z)+xz(1+y)=xy+xz

    donde hemos aplicado P4, P3, P2, P3, T3 y P1

    b)x(x+y)+z+zy=xy+z+y=y+yx+z=y+zporT6,P2yT5

    c) x y + xyz = x y + z

    (por la ley del consenso : u + u z = u + z donde u = x y)

    d)w+wx+yz=w+yz=wyz=w(y+z)porT5yT8

    e)w[x+y(z+w)]=w+x+y(z+w)=w+xy(z+w)=w+x(y+z+w)=

    =w+xy+xzw=w+xy+xz

    por T8yT6

    fl(w+x+y)(w+x+y)(y+ z) (w+z)= [(w+y)+xx](y+z)(w+z)=

    =(w+y)(y+z)(w+z)=(w+y) (y+z)

    por P2,P3,P4,PlyT10 .

    Problema 5.- Reduzca las siguientes expresiones del lgebra de Boole al nmero de literales

    solicitado al lado de cada una de ellas .

    a)abc+abc+abc+abc+abc

    (a cinco literales)

    b) b c + a c + a b+ b c d

    (a cuatro literales)

    c)[cd+a]+a+cd+ab

    (a tres literales)

    d) [(a + c + d) (a + c + d) (a + c + d) (a + b)]

    (a cuatro literales)

    Solucin P5.

    a) abc+abc+abc+abc+abc=

    =abc+abc+abc+abc+abc+bc=

    (ya que x + x = x)

    =abc+abc+abc+abc+abc+bc=

    (por la propiedad conmutativa)

    =ab(c+c)+ab(c+c)+(a+a)b c=

  • LGEBRA Y FUNCONES DE CONMUTACN 27

    =ab 1 +b 1+ 1 bc=

    (ya que x+x= 1)

    = a b + a b + b c = b (a + c) + a b

    (ya quex 1=1 x =x) .

    b) b c + a c + a b + b c d = b c + b c d + a c + a b =(por la propiedad conmutativa)

    =bc+ac+ab=bc+ac+ab(c+c)=

    (ya que x + x y = x)

    = b c+ a c+ a b c+ a b c= (por la propiedad distributiva)

    =bc(1+a)+ac(l+b)=

    =bc+ac

    (ya que 1 +x= 1) .

    c) aplicando la ley de De Morgan a la expresin, obtenemos :

    cd + a + c d + a b =cd + a + a b + c d =

    (por la propiedad conmutativa)

    = c d + a + c d = (ya que x + x y = x) .

    =a+cd (yaquex+x=x)

    d)(a+c+d)(a+c+d)(a+c+d)(a+b)=

    =(a+c+d)(a+c+d)(a+c+d)(a+c+d)(a+b)=

    (yaquex=xx)

    = (a + c) (a + d) (a + b) = a + b c d

    (por la propiedad distributiva) .

    Problema 6.- Verifique si se cumplen o no las siguientes igualdades :

    a)M(a,b,c)+M(d,e,f)=M(a+d,b+e,c+f) .

    b) M (a, b, c) M (d, e, f) = M (a d, b e, c f) .

    c) M (a, b, M (c, d, e)) = M (M(a, b, c), d, M(a, b, e)].

    donde M (x y, z) es la funcin mayora de x y, z: M (x, y, z) = x y + x z + y z.

    Solucin P6 .

    a) No se cumple pues para a = 0, b = 0, c = 1, d = 0, e = 1 y f = 0 se tiene que

    M(a, b, c) + M(d, e, f) = M(0, 0, 1) + M (0, 1, 0) = 0 + 0 = 0 y, sin embargo :

    M(a+d,b+e,c+f)=M(0, 1, 1)=1 .

    b) No se cumple, pues para a = 0, b = 1,c = 1, d = 1, e = 0 y f = 1 se tiene que

    M(a, b, c) M (d, e, f) = M(0, 1, 1) M(1, 0, 1) = 1 1 = 1 mientras que

    M(a d,b e,c f)=M(0,0,1)=0

    c) S se cumple pues M[a, b, M(c, d, e)] = M[a, b, c d + c e + d e] _

    =ab+a(cd+ce+de)+b(cd+ce+de)=ab+acd+ace+ade+bcd+bce+bde

    y, por la otra parte :

    M[M(a, b, c), d, M(a, b, e)] = M[a b + a c + b c, d, a b + a e + b e]=

    =(ab+ac+bc)d+(ab+ac+bc)(ab+ae+b e)+d (ab+ae+b e)=

    =abd+acd+bcd+ab+abe+abc+ace+ a b c e+ abce+bce+abd+ade+bde=

    = a b+ a c d+ b c d+ a c e+ b c e + a d e+ b d e, luego ambas expresiones son iguales .

    Problema 7.- Obtenga la tabla de verdad de las siguientes expresiones :

    a)f=wyz+xy+wy) b) f= (w+x+y) (x+z) (w+x) .

  • 28 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    Solucin P7 .

    a) Si f = w y z + x y + w y, entonces es fcil deducir cundo f = 1 :

    /wyz=1 ==> w=1,y=1,z=1

    f=1 f=> xy=1 ~x=1,y=1

    \wy=1~w=1,y=1

    con ello, la tabla de verdad es :

    wxyz

    0000

    0001

    0010

    0011

    0100

    0101

    110

    111

    wxyz

    0000

    0001

    0010

    001 1

    0100

    0101

    110

    0111

    f

    wxyz

    0 1000

    1001

    1010

    1011

    1100

    1101

    1

    1110

    1

    1111

    b) Si f = (w + x + y) (x + z) (w + x), es fcil encontrar los ceros de f:

    /w+x+y=O==> w=0,x=0,y=0

    f=0e-> x+z=0~ x=0,z=0

    \w+x=0~ w=0,x=0

    con ello, la tabla de verdad es :

    f

    wxyz

    1000

    0 1001

    0 1010

    1011

    1

    1100

    1

    1101

    1

    1110

    1

    1111

    Problema 8.- Obtenga los mapas de las siguientes funciones :

    a) f = E (5, 6, 7, 12) + d(1, 3, 8, 10) .

    b) f =11 (10, 13, 14, 15) d(0, 1, 2, 8, 9) .

    c) f = E (1, 2, 3, 8, 12, 23) + d(17) .

    f

    f

  • Solucin P8.

    a) f (a, b, c, d) = E (5, 6, 7, 12) + d(1, 3, 8, 10)

    00

    01

    11

    10

    c

    00

    01

    11

    10

    ab

    c

    00

    01

    11

    10

    LGEBRA Y FUNCONES DE CONMUTACN 29

    01

    f

    f

    f

    c) f (a, b, c, d, e) = E (1, 2, 3, 8, 12, 23) + d(17)

    cd

    11

    b) f (a, b, c, d) = f (10, 13, 14, 15) + d(0, 1, 2, 8, 9)

    11

    10

    10

    Problema 9.- Obtenga las formas normales en suma de productos y producto de sumas de

    las siguientes expresiones :

    a)f=(ab+ac)(ab)) b)f=xy(v+w)[(x+y) vi .

    c)f=x+yz) d)f=(a+b+c)(d+a)+bc+ a c .

    0 0 1 1 0 0 0 0

    1 0 0 0 0 0 0 d

    1 0 0 0 0 0 1 0

    1 0 0 0 0 0 0 0

    d 1 1 d

    d 1 0 d

    1 1

    0

    1

    d 1 0 0

    0 0 1 d

    4

    d0

    o

    d 1 0 0

    0 1 0

    4

  • 30 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    Solucin P9.

    a) (a b + a c) (a b) = a b

    (por la ley del consenso)

    Con esto tenemos una forma en suma de productos, donde el producto p = a b es el ni-

    co. Tambin tenemos un producto de sumas, donde los trminos suma son dos : s1 = a y s 2 = b .

    b) x y (v + w) [(x + y) v] = x y (v + w) (x + y) v = v x y (x + y) = v x y (ley de absorcin) .

    Con esto tenemos una forma en suma de productos, donde el producto p = v x y es nico .

    Tambin tenemos un producto de sumas, donde los trminos suma son tres : S= v, s 2 = x,

    s 3 y .

    c) x + yz, es suma de dos productos,pl

    =

    X,P2 = y z. Por otra parte, aplicando la propie-

    dad distributiva : x + yz = (x + y) (x + z) . Con ello tenemos una expresin en producto de sumas :

    s1 =x+y, s 2 =x+z.

    d)f=(a+b+ c) (d + a) + b c + a c

    Para reducirlo a una forma en producto de sumas operaremos sobre la expresin de f

    aplicando repetidas veces la propiedad distributiva :

    (a + b + c) (a + d) + b c + a c = (a + b + c) (a+d)+(a+b)c=

    =[(a+b+c)(a+d)+(a+b)] [(a+b+c)(a+d)+c]=

    =[(ab+c+a+b)+(a+d+a+b)] [(a+b+c+c)(a+d+c)]=

    =(a+b+ c) (a+b+ d) (a+c+ d) .

    Obtenemos por tanto un producto de tres trminos suma: s1 = a + b + c, s2 = a + b + d

    y s3=a+c+d.

    De forma similar se puede obtener una expresin en suma de productos :

    (a + b + c) (a + d) + b c + a c = [a + (b + c) d)] + a c + b c = a + a c + b c + (b + c) d=

    =a+bc+bd+c d .

    Son, por tanto, cuatro trminos producto :pl

    = a, P2 = b c, p 3 = b d, P4 = c d .

    Problema 10.- Determine y exprese en forma de mintrminos y maxtrminos las funciones

    f, + f2 y f, - f2, siendo :

    f, = (1, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 14, 15) ;

    f2 = E (0, 4, 8, 9, 10, 14, 15)

    Repetir para f, O f2 y la equivalencia : f, O f2.

    Solucin P10.- Para expresar la funcin f 1 + f2 como suma de mintrminos hay que tener en

    consideracin que todos los mintrminos de f 1 y todos los mintrminos de f2 son mintrminos

    de f1 + f2 ya que 1 + x = 1 . Entonces :

    fl + f2 = E (0, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15), y por exclusin : f1 + f2 = U (1, 2, 3, 5, 6, 7, 13) .

    Para expresar la funcin f 1 . f2 , es mejor comenzar por la expresin en forma de produc-

    to de maxtrminos ya que debido a que 0 x = 0 podemos decir que todos los maxtrminos de

    f1 y todos los de f2 son maxtrminos de f 1 f2 . Entonces :

    fl f2 =11(1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 14, 15) =E (0, 4, 8, 9, 10) .

    En cuanto a la funcin f 1 O f2 , para que sea 1 es preciso que f 1 y f2 sean distintas . Por

    tanto, los mintrminos de f 1 O f2 son los mintrminos de f 1 que no lo son de f2 y los de f2 que

    no lo son de f1 :

    f1 f2 = E (11, 12, 14, 15) = f (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13) .

  • LGEBRA Y FUNCONES DE CONMUTACN 31

    Finalmente, como f 1 0 f2 es la funcin negada de f 1 O+ f2 , tendremos:

    f 1 O+ f2 = f (11, 12, 14, 15) = E (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13) .

    Problema 11 .- Sea el circuito combinacional con cuatro entradas A, B, C y D, tres salidas in-

    termedias P, Q y R y dos salidas T 1 y T2, como se muestra en la figura. Slo Q y R pueden

    tener inespecificaciones .

    T 1 = E (0, 1, 3, 4, 5, 7, 11,15)

    T2 = E (2, 3, 6, 7, 11,15)

    a) Suponiendo que tanto G 1 como G2 son puertas AND, obtenga el mapa de la funcin

    Pmin

    (es decir, la funcin P que tiene el menor nmero de mintrminos) que permite obtener

    T 1 y T2 .

    Obtener los mapas para Q y R correspondientes alPmin

    anterior. ndique, explcita-

    mente, las posiciones de las inespecificaciones .

    Suponiendo que G 1 y G2 son puertas OR obtenga el mayor Pmax(la funcin P con

    mayor nmero de mintrminos) y sus mapas correspondientes para a y R.

    Pueden obtenerse Q, P y R si G 1 es una puerta AND y G2 una puerta OR? Y si G 1

    es una puerta OR y G2 una puerta AND?

    Solucin Pll .

    a) G 1 y G2 son puertas AND .

    En este caso T 1 = Q . P y T2 = R P, por tanto, Q y P tienen que tener todos los mintr-

    minos de T 1 (o sea: 0, 1, 3, 4, 5, 7, 11, 15), y R y P tienen que tener todos los mintrminos de

    T2 ( o sea : 2, 3, 6, 7, 11, 15) . Entonces P como mnimo tiene que contener todos esos mintr-

    minos, luego : Pmin = E (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 15) .

    b) La funcin Q tiene al menos los mintrminos de T 1 ; R tiene los de T2 . Ahora bien, Q

    tiene ceros en las celdas en quePmin

    vale 1 pero T 1 no es 1 ; por ejemplo, 2 es mintrmino de

    Pmin

    pero no lo es de T 1 , por lo que 2 es un 0 de Q. Lo mismo ocurre para R con respecto a T2

    Y PminPor ltimo, en las celdas donde T 1 vale 0 y

    Pmin

    tambin es 0, Q est inespecificada ;

    algo similar ocurre para R respecto a T2 y Pmin . Por tanto :

    Q = E (0, 1, 3, 4, 5, 7, 11, 15) + d (8, 9, 10, 12, 13, 14) .

    R = E (2, 3, 6, 7, 11, 15) + d (8, 9, 10, 12, 13, 14) .

    c) G 1 y G2 son puertas OR .

    En este caso T 1 = Q + P y T2 = R + P, por tanto donde T 1 sea cero tambin deben de

    serlo forzosamente Q y P (o sea en 2, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14) y donde T2 lo sea debern serlo

  • 32 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    tambin R y P (o sea en 0, 1, 4, 5, 8, 9, 10, 12, 13, 14). As, P tendr como mximo los

    mintrminos que sean comunes aT y T2 : Pmax = Y- (

    3, 7, 11, 15)

    .

    Q y R contendrn los mintrminos que le faltan a P para completar los de T y T2 :

    Q = E (0, 1, 4, 5) + d (3, 7, 11, 15) .

    R = E (2, 6) + d(3, 7, 11, 15) .

    Las celdas en que Q est inespecificada son aquellas en las que T vale 1 yPmax

    tambin

    es 1. Algo similar ocurre para R respecto a

    T2 y Pmax

    d) No es posible, ya que si G 1 es una AND y G2 una OR: T = Q P, T 2 = R + P . En-

    tonces, en aquellos valores en los que T es 1 y T 2 es 0 (como por ejemplo en 4) sera imposible

    encontrar un valor adecuado para la funcin P. Si P valiese 1 forzara T2 = 1 y si valiese 0 for-

    zara T = 0) .

    Si G 1 es una OR y G2 es una AND, tampoco es posible ya que T = R + P y T2 = Q P .

    As, en aquellos puntos en que T = 0 y T2 = 1(como por ejemplo en 6) no se puede encontrar

    un valor adecuado para P.

    PROBLEMAS CON SOLUCN RESUMDA

    Problema 12.-Encuentre los complementos de las siguientes funciones :

    a)f=(bc+adL(ab+cd)_

    b)f=bd_+ab c+ acd+abc)

    c) f = [(a b) a]((a b) b].

    d)f=ab+cd.

    Solucin P12 .

    a)f=(E+c)(a+d)+(+b) (c+d) .

    b)f=bd+bc+acd+bc=ab+acd+bd,entonces:

    f = (a + b) ( + c + d) (b + d) .

    c) Operando obtenemos f = 0 luego f = 1 .

    d)f=(+b) (c+d) .

    Problema 13.- Demuestre que x, O+ x2 +p . . . Oe x = (x, O

    . . . O+ x;) 0 (x ; + , . . .O+

    x) ;

    donde a 0 b= a O b.

    Solucin P13.-La operacin XOR cumple la propiedad asociativa . Entonces :

    (x 1 O+ . . .$ xi) 0 (xi+1 O+ . .

    .(9

    xn )=

    (x1 0. . . O+ xi) O

    (xi+1 . . .

    O+ xn) =

    = xlm . . . mxiE) xi+l

    O+ . . .0

    xn

  • LGEBRA Y FUNCONES DE CONMUTACN 33

    Problema 14 .- Escriba las siguientes func iones como suma de mintrminos :

    a)f(a, b, c)=a+b+c .

    b) f (a, b, c) = (a + b) (b + c) .

    c)f(a, b, c, d)=(ab+bcd)+acd.

    Solucin P14 .

    Problema 15.- Exprese las siguientes funciones como producto de maxtrminos :

    a) f (a, b, c, d) = (a + c) d + b d.

    b) f (x, y, z) _ (x y + z) (y + x z) .

    c)f(a,b,c)=(abc+abc))

    d) f (a, b, c) _ (a b + c (a + b)) (b + c) .

    Solucin P15 .

    a) f(a, b, c, d) =11(0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 13, 14) .

    b) f(x, y, z) =1-1(0, 1, 3, 4, 5, 6, 7) .

    c) f(a, b, c, d) =11(5, 6) .

    d) f(a, b, c) =11(0, 2, 4, 6) .

    Problema 16.- A partir de las tablas de verdad de las siguientes funciones, obtenga sus ex-

    presiones algebraicas.

    Solucin P16.-Directamente de las tablas :

    f1 =xy+xy=y.

    f2=xy+xy=xODy.

    f3=xy+xy+xy=x+y=xy .

    xy f,

    xy f2

    xy f3

    00 1

    00 0

    00 1

    01 0

    01 1

    01 1

    10 1

    10 1

    10 1

    11

    0

    11 0

    11 0

    a) f (a, b, c) = E (0, 1, 3, 4, 5, 6, 7) .

    b) f (a, b, c) = E (0, 2, 3, 4, 5, 6, 7) .

    c) f (a, b, c, d) = E (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10, 11) .

  • 34 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    Problema 17.- Obtenga las expresiones algebraicas de las siguientes funciones :

    Solucin P17 .

    f =xyz+xyz=yz .

    f2 =xyz+xyz+xyz+xyz=xy+yz+xyz .

    f3 =xyz+xyz=xy .

    f4 =x+y+z.

    f =x+z

    f6 =xyz+xyz+xyz+xyz=z .

    Problema 18.- nterprete las siguientes expresiones lgicas considerando que el dato tiene

    n bits. (Para ayudarse puede considerar un caso particular de n, por ejemplo: n = 4) .

    a)z=xox1(D . .

    .x,,1) b)z=xn-1=x0

    x1(D . .

    .(D Xn_2 .

    c) zk = xk+ 1 X

    k,

    k = n - 2, . . ., 1, 0, con zn

    _ 1 = xn - 1

    d) zk = zk+ 1 (D

    Xk,

    k = n - 2, . . ., 1, 0, con z

    n _ 1= xn _ 1 .

    e) zk = xk

    q)

    yk,

    k = n - 1, n-2, . . . . 1,0

    donde y

    k = yk 1

    + xk 1 , con k > 1, 2, . . ., n - 1 e yo = 0.

    Solucin P18 .

    a) La operacin XOR de n variables se hace 1 si y slo si hay un nmero impar de unos

    en las n variables . Por tanto, en este caso z es un detector de paridad .

    b) La funcin z forma parte de la palabra den bits dada por: x0 x 1 x2 . . . x

    n

    - 2 xi- 1 . En-

    tonces, z es el bit de paridad par para x 0 x 1 x2 . . . xn _2 .

    c) Si se particulariza paran = 4 y se obtiene la tabla de verdad de las 4 funciones se pue-

    de concluir fcilmente que se trata de una conversin binario-Gray .

    d) Procediendo como en el apartado anterior se puede concluir que se trata de una con-

    version de cdigo Gray a binario .

    e) Si se considera el caso particular de n = 4 y se obtiene la tabla puede observarse que

    z3-0 = Ca2(x3-0)

    X y z f, f

    2

    f3 f4 f5 f6

    000 0 1 0 1 1 1

    001 1 0 0 1 0 0

    010 0 0 0 1 1 1

    011 0 1 0 0 0 0

    100 0 1 1 1 1 1

    101

    1

    1 1 1 1 0

    110

    0 0 0 1 1 1

    1 1 1 0

    0 0 1 1 0

  • Captulo 3

    ANLSS DE CRCUTOS COMBNACONALES

    Un circuito digital combinacional es aquel que implementa funciones de conmutacin cuyas

    salidas en un instante, t, dependen slo del valor de las entradas en ese mismo instante . El cir-

    cuito consta de puertas lgicas interconectadas entre s sin que haya lazos de realimentacin .

    Hay dos enfoques principales : si es conocido el circuito y se desea establecer cul es la opera-

    cin que realiza, se trata del anlisis, que es el aspecto que se trata en este Captulo ; si se plan-

    tea el problema contrario, conocida la funcin hay que obtener el circuito, se trata del diseo

    o sntesis, lo que se aborda en el Captulo siguiente .

    circuito

    combinacional

    z(t) = f(x(t))

    ANLSS DE CRCUTOS

    El objetivo principal del anlisis de un circuito combinacional es, por tanto, obtener una repre-

    sentacin de la funcin de conmutacin que implementa . A este objetivo se le llama anlisis

    lgico del circuito . En algunos casos es posible, adems, obtener una descripcin verbal de la

    operacin del circuito (del tipo "hace la suma", "compara nmeros", etc) . Adems, incluso

    cuando es posible esta operacin a partir de las tablas o expresiones lgicas es difcil salvo que

    se est sobre aviso. En este texto no se har el paso a la descripcin verbal salvo que se indique

    explcitamente en el enunciado (vase, p . ej ., el problema 4) .

    Aunque el anlisis lgico es el objetivo principal no es el nico aspecto que debe con-

    templar un buen anlisis de un circuito . Otros aspectos que se deben considerar son :

    - El coste del circuito . Una manera de medir el coste es a travs del nmero de puertas

    lgicas y conexiones entre puertas del circuito .

    - Un anlisis de parmetros elctricos . Se debe establecer la tecnologa en la que se im-

    35

  • 36 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    plementa el circuito y evaluar, en funcin de las caractersticas elctricas de la misma, el ren-

    dimiento del circuito en cuanto a mrgenes de ruido, fan-in y fan-out, potencia disipada, etc .

    - Un anlisis temporal . Este tipo de anlisis consiste en, dado un patrn de entradas, de-

    terminar la forma de onda de las seales de salida considerando los retrasos de propagacin de

    las puertas lgicas . El anlisis temporal sirve para verificar si el circuito realiza correctamente

    la funcin de conmutacin o si, por el contrario, existen fenmenos transitorios como por

    ejemplo azares, as como para calcular los valores mximos y mnimos de los tiempos de pro-

    pagacin que determinan la velocidad de operacin del circuito .

    Este Captulo est centrado en el anlisis de circuitos a nivel de puertas lgicas . Los as-

    pectos que se tratan son los de anlisis lgico, mostrando mtodos generales vlidos para cual-

    quier circuito e independientes del tipo de puerta, y mtodos especficos para circuitos con slo

    NAND o slo NOR . Estos procedimientos son explicados en los problemas 1 y 3 respectiva-

    mente . Adems, en este Captulo tambin se incluyen algunos casos de anlisis del coste del

    circuito, medido en funcin del nmero de puertas y conexiones del circuito y de anlisis tem-

    poral, analizando circuitos que presentan azares .

    ndice del Captulo

    Este Captulo desarrolla problemas de las siguientes materias :

    - Anlisis lgico segn el procedimiento general .

    - Anlisis lgico de circuitos slo NAND (y slo NOR) .

    - Anlisis temporal .

    PROBLEMAS RESUELTOS

    Problema 1.- Analice a nivel lgico el siguiente circuito combinacional . Ponga tambin la fun-

    cin en forma de suma de productos o producto de sumas y realice el nuevo circuito a partir

    de estas expresiones .

    1

    z

    Solucin Pl .- El proceso de anlisis de un circuito combinacional consiste en, a partir de un

    circuito, obtener una expresin algebraica, o bien su tabla de verdad o mapa de Karnaugh . Para

    ello se puede proceder bien desde las entradas hasta las salidas o bien desde las salidas hasta

    las entradas .

    Deben encontrarse expresiones para la salida de cada puerta en funcin de sus entradas :

  • zxl

    x l

    X2-

    x3

    X2

    z+

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    z

    ANLSS DE CRCUTOS COMBNACONALES 37

    x +y+z)(z+y)i

    A partir de esta expresin puede obtenerse otra simplificada o la tabla de verdad o el

    mapa de Karnaugh, y un nuevo circuito :

    _

    f=(x+y+ z) ( z + y ) z = z (y + z) = y z

    00

    01

    11

    10

    3--

    Problema 2.- Realice un anlisis lgico del circuito representado en la figura. Obtenga las ex-

    presiones en forma de suma de productos y producto de sumas . Liste los mintrminos y max-

    trminos correspondientes. Determine el coste .

    x3

    D--X1

    x2

    >_1

    - f

    Solucin P2.- Comencemos determinando el coste del circuito. Este se calcula : 1 .- dando el

    nmero de puertas del circuito ; 2.- dando el nmero de entradas a puertas (conexiones) del cir-

    cuito y el nmero de salidas . Adems, a veces se evala el "coste" temporal estableciendo los

    retrasos mximos y mnimos que experimentan las seales de entrada al propagarse hasta las

    salidas. Para ello, lo ms habitual es considerar una unidad de retraso por puerta. En este cir-

    cuito el coste es el siguiente :

  • 38 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES

    Anlisis lgico. Teniendo en cuenta la funcin lgica que realiza cada puerta, se obtiene

    la siguiente expresin para f :

    f = x 3(x,x 2 ) + x

    3

    (x,x2 ) (x 3x2 ) +x1x2 = x 3 (x 2 +x,)+x3 (x2+x,) (X2

    +X3)

    +x,x2

    f=x 1x3 +x3x2 +x1x2x 3 +x 1 x2 =x1

    x3

    +x3x2+x

    x2 =x3 (x2 +x1

    ) + x 1 x2

    A partir de esta expresin se obtienen otras en for