Problema: Sejam v1, v2,...,vn e b vectores de Rm.Consegue-se obter b como soma de múltiplos de v1, v2,...,vn?

Exemplos:

1) v1=(1,0), v2=(0,0) e b=(0,1)

!impossível sistema 1|00

0|01

possível? é 1

0

2

1 00

01

1

020

010

1

x

xxx

2) v1=(1,2), v2=(0,1) e b=(1,0)

.0

1)2(

1

01

2

1

2

1

2|10

1|01

0|12

1|01

0

1

2

112

01

0

121

012

1

2

1

x

x

x

xxx

3) v1=(1,2), v2=(0,1), v3=(-1,1) e b=(1,0)

etc.

0

11

1

1)5(

1

02

2

1,13

0

10

1

1)2(

1

01

2

1,03

:Exemplos

3,0

131

1)332(

1

0)31(

2

1

3

3322

311

2|310

1|101

0|112

1|101

0

1

3

2

1

112

101

0

131

121

012

1

x

x

xxxx

x

xx

xx

x

x

x

xxx

Sejam v1, v2,...,vn e b vectores de Rm.Diz-se que b é combinação linear de v1, v2,...,vn

se b se escrever como soma de múltiplos destes vectores

se o sistema Ax=b for possível em que A=[v1 v2...vn].

Diz-se que b é combinação linear dos vectores v1, v2,...,vn ou das colunas da matriz A=[v1 v2...vn].

Observação: Ax=b é impossível quando na matriz em escada A´|b´ a coluna b´ tem pivot.

Problema: Sejam v1, v2,...,vn vectores de Rm.Quais são os vectores de Rm que são combinação linear de v1, v2,...,vn?

Exemplos:

1) v1=(1,0), v2=(0,0)

0 recta 0 |00

|01

possível é 0

0

0

1:

221

2

1

2

1

21

2

1

y):b,b(bb

b

b

bxx

b

b

2) v1=(1,2), v2=(0,1)

22121

122|10

1|01

2|121|01

possível é 2

121

012

1:

2

1

R ,b):b,b(b

bb

b

b

b

b

bxx

b

b

3) v1=(1,2,-1), v2=(6,4,2)

(0,0,0) ponto no

passa que e (-1,1,1) vector ao plano 03213

,2

,1

321|00

12

2|80

1|61

13|80

12

2|80

1|61

3|21

2|42

1|61

possível é

3

2

1

22

4

6

11

2

1

:

3

2

1

bbb):bb(b

bbb

bb

b

bb

bb

b

b

b

b

b

b

b

xx

b

b

b

Chama-se espaço gerado pelos vectores v1, v2,...,vn de Rm <v1, v2,...,vn>

ao conjunto dos vectores de Rm que são combinação linear de v1, v2,...,vn

nvvvA}bAxmR{b ...21

que em possível é : ao

Também se diz que <v1, v2,...,vn> é o espaço gerado pelas colunas da matriz A=[v1 v2...vn], espaço das colunas de A ou C(A).

Determinação de <v1, v2,...,vn> =C(A) em que A=[v1 v2...vn] e v1 v2...vn

mR

( )= : é possívelmC A {b R Ax b }

1. Constrói-se A|b.2. Aplica-se a fase descendente do método de Gauss a A|b. Seja A´|b´ a

matriz em escada resultante.3. Se A´ não tem linhas nulas,

(O sistema Ax=b é possível4. Caso contrário, se i é linha nula de A´, tem-se a restrição b´i=0.

.( )= mC A R.)mb R

Nota: quando A′ tem linhas nulas, o algoritmo identifica C(A) com o espaço nulo de uma matriz com m colunas e tantas linhas quantas as linhas nulas de A′.

Exemplos:

1) <(1,0), (0,0)> =

2) <(1,2),(0,1)> = R2

3) <(1,2,-1),(6,4,2)> =

0221 ):b,b(b

03213

,2

,1

bbb):bb(b

Exercício: Sejam v1=(0,0,1), v2=(0,1,1), v3=(0,2,1) e b=(1,0,0). 1) Determine E=<v1,v2,v3>.

yOz) (plano 01

:)3

,2

,1

(

1|000

2|210

3|111

3|111

2|210

1|000

bbbbE

b

b

b

b

b

b

2) Verifique que v3 é combinação linear de v1 e v2.

possível é 32211

sistema o

0|00

2|10

1|11

1|11

2|10

0|00

vxvxv

3) Determine <v1,v2>.

Ebbbb

b

b

b

b

b

b

01

:)3

,2

,1

(

1|00

2|10

3|11

3|11

2|10

1|00

v1=(0,0,1), v2=(0,1,1) e b=(1,0,0) 4) Verifique que b não é combinação linear de v1 e v2.

5) Determine F=<v1,v2,b>.

falsa proposição uma é 01 pois ,01

:)3

,2

,1

(

bbbbEb

3

1|100

2|010

3|011

3|011

2|010

1|100

RF

b

b

b

b

b

b

Um conjunto {v1, v2,...,vn} de vectores de Rm diz-selinearmente independente se nenhum dos vectores é combinaçãolinear dos outros. Se {v1, v2,...,vn} não é linearmente independente diz-selinearmente dependente.

Observação: {v1} diz-se linearmente independente se v1≠0. Caso contrário, diz-se linearmente dependente.

Exemplos:

1) {(0,0),(1,1)} é l.d.: (0,0)=0(1,1). Repare que (1,1) não é comb. l. de (0,0).

2) {(0,1),(1,1),(1,0)} é l.d.: (1,1)=1(1,0)+1(0,1).

3) V={v1,v2,v3,v4} em que

v1=(1,0,1,1), v2=(0,1,2,1), v3= (2,-1,0,1), v4=(0,0,3,3).

0000

3000

0110

0201

3000

3000

0110

0201

3110

3220

0110

0201

3111

3021

0110

0201

000

000

110

201

110

220

110

201

111

021

110

201

v3 é c.l. de v1 e v2, logo de v1, v2 e v4

Como existem colunas sem pivot na matriz em escada resultante de A=[v1 v2 v3 v4], V é linearmente dependente.

4) V={v1,v2,v4} em que v1=(1,0,1,1), v2=(0,1,2,1), v4=(0,0,3,3).

v4 não é c.l. de v1 e v2

v2 não é c.l. de v1

A troca de colunas na matriz inicial não altera o nº de pivots na matriz em escada resultante.

000

300

010

001

300

300

010

001

310

320

010

001

311

321

010

001

pivots 3 com ́...142

pivots 3 com ́...241

pivots 3 com ́...421

CvvvC

BvvvB

AvvvA

v2 não é c.l. de v1 e v4

v1 não é c.l. de v2 e v4

Como na matriz em escada resultante de A=[v1 v2 v4] todas as colunas têm pivot, V é linearmente independente.

Considere, por exemplo, o sistema homogéneo Ax=0.

Geometricamente, é a intersecção de 4 planos que passam na origem de R3.

Se trocarmos duas colunas em A, continuamos a ter a intersecção dos mesmos 4 planos e, portanto, o conjunto das soluções é o mesmo.

A troca de colunas na matriz inicial A=[v1 v2 v4] não altera o nº de pivots na matriz em escada resultante.

Sejam V = {v1, v2,...,vn} e

V é linearmente independente

Todas as colunas da matriz em escada que resulta de A têm pivot

O sistema homogéneo Ax=0 é determinado

nvvvA ...21

Chama-se característica de A, car A, ao nº de colunas pivot de A´.

car A corresponde ao número máximo de vectores linearmente independentes de V.

Nota: um conjunto de n vectores de Rm com n > m é linearmente dependente.(O sistema Amxnx = 0 é indeterminado com n > m.)