7/25/2019 Problema 2 [Geometria]Carlos Victor

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PROBLEMA 2 GEOMETRIA [2016] - PROPOSTO POR CARLOS VICTOR

ABC um triangulo issceles com AC = BC e AB = 2. D o ponto mdio do lado AB.

A razo da medida r ( raio da circunferncia inscrita ) para a medidaR ( raio da circunferncia circunscrita)

igual a 3 : 8. Nestas condies existem somente dois tringulos diferentes [a menos de congruncias].

Sabe-se que em um dos tringulos, CD2 um inteiro a, enquanto que no outro tringulo,

CD2=n

m

, com mdc ( m, n) = 1. Determine o valor da soma: a + m + n.

RESOLUODesde que r: R= 3 : 8, ento r= 3k e R= 8k para algum k> O.

Denotando por O e I respectivamente circuncentro e incentro do ABC,

OI2= R22Rr [TEOREMA DE EULER].

Dai, OI2= 64k248k2= 16k2 e, portanto, OI = 4k.

Como o ABC issceles de base AB , e D ponto mdio de AB , ento necessariamente

O, I pertencem reta CD e CD . AB . Ainda mais, como ID AB, ento ID = r = 3k .

Nestas condies, claramente , I um ponto interior ao ABC edistinto de O (OI = 4k>0), enquanto que O D,

pois, caso contrrio, OI = r, o que implica, 4k = 3k, ou seja, k = 0 ; contrariando o fato de k > 0. Por curiosidade, a

igualdade O = D ,leva-nos a razo 8

312

12

r

r

R

r

( figura).

Por outro lado, sendoID = r = 3k < OI = 4k, ento , claramente, O externoao segmento ID.

Deste modo , existem apenas duas posies possveis para o ponto D em relao ao segmento OI :

(I) D externo ao segmento OI ( C < 900). ( II)D interno ao segmento OI ( C > 900).

7/25/2019 Problema 2 [Geometria]Carlos Victor

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De ( I):

ADO

e

222

15

AOODAO

kODCOIDOICOCD

e

2264491

1578

kk

kkkCD

e

115

15.15

2

22

k

kCD

152 CD .

De ( II):

ADO

e

222AOODAO

IDCICD

e

22641

734

kk

kkkCD

e

17.9

7.7

2

22

k

kCD

9

72 CD .

Destes resultados, conclui-se que existem somente dois tringulos ( ABC)diferentes; satisfazendo o enunciado.

Um deles, com CD2= 15 , o que implica a = 15 , enquanto, o outro com CD2=9

7,o que implica m = 7 e n = 9.

Portanto, a + m + n = 15 +7 + 9 = 31.

RESPOSTA: 31

NOTA1 : TEOREMA DE EULER DISTNCIA DO CIRCUNCENTRO AO INCENTRO.

NOTA 2 : TEXTO ORIGINAL PROPOSTO POR CARLOS VICTOR

AUTOR:Luiz Antonio Ponce Alonso [ 07/01/2016]